Дори график и странен. Функция на паритет

Функция за изследване.

1) D (Y) - Депозит: Много от всички тези стойности на променливата x. В които алгебричните изрази f (x) и g (x) имат смисъл.

Ако функцията е зададена с формулата, зоната на дефиниция се състои от всички стойности на независима променлива, в която формулата има смисъл.

2) свойства на функцията: паритет / странност, честота:

Нечетнои продажба Наречени функции, чиито графики имат симетрия по отношение на промяната на знака на аргумента.

Нечетна функция - функция за промяна на стойността към обратното при промяна на знака на независима променлива (симетрична по отношение на центъра на координатите).

Функция за зрение - функция, която не променя стойността си при промяна на знака на независима променлива (симетрична по отношение на оргината).

Не нещо интензивно (Обща функция на формуляра) - функция, която не притежава симетрия. Тази категория включва функции, които не попадат в предишните 2 категории.

Функции, които не принадлежат към никои категории по-горе, се наричат нито едното (или функции за обща форма).

Текущи функции

Нечетната степен, където е произволно цяло число.

Дори функции

Степен, където - произволно цяло число.

Периодична функция - функция, която повтаря своите стойности чрез някакъв редовен интервал на аргументи, т.е. който не променя стойността си при добавяне на определен фиксиран ненулев номер на аргумента ( период Функции) по време на определената област.

3) Функции на нулите (корени) - точки, където се превръща в нула.

Намиране на точка на пресичане на графика с оста Oy.. За да направите това, трябва да изчислите стойността е.(0). Също точките на пресичане на графика с оста Вол.Какво да намерим корените на уравнението е.(х.) \u003d 0 (или се уверете, че няма корени).

Точки, в които графикът пресича повикването на ос zEROS функция. Да намерите нулите на функциите за решаване на уравнението, т.е. тези значения "Х"в която функцията се отнася до нула.

4) интервали от знаци за постоянство, знаци в тях.

Пропуските, където функцията F (x) запазва знак.

Интервалът на подравняването е интервалът, във всяка точка на която Функцията е положителна или отрицателна.

Над ос абсциса.

Под ос.

5) приемственост (точка на разликата, прекъсване, усвояване).

Непрекъсната функция - функция без "скокове", така че малките промени в аргумента да доведат до малки промени в стойността на функцията.

Точки за разполагане за еднократна употреба

Ако лимитът на функцията съществува, но функцията не е дефинирана в този момент, или лимитът не съответства на стойността на функцията в този момент:

тогава точката се нарича точка за прекъсване за еднократна употреба Функции (в интегриран анализ на специална точка).

Ако "фиксирате" функцията на точката за прекъсване на еднократна употреба и поставете , след това функцията е непрекъсната в този момент. Такава операция на функцията се нарича дефинирана функция за непрекъснато или определяне на функцията за непрекъснатосттова оправдава заглавието на точките като точки разполагаем Пулс.

Точки на разликата на първия и втория вид

Ако функцията има разлика в този момент (т.е. границата на функцията в тази точка липсва или не съвпада със стойността на функцията в този момент), след това за цифрови функции има две възможни опции, свързани с Наличие на цифрови функции. едностранни граници:

ако съществуват и двете едностранни ограничения и са крайни, тогава такова точка се нарича точката на счупване на първия вид. Точките за разполагане за еднократна употреба са първите точки на прекъсване;

ако съществува поне един от едностранните граници или не е крайната величина, тогава се нарича такава точка точката на разкъсване от втория вид.

Асимптоте - прав, имайки свойството, че разстоянието от точката на кривата към това прав Тя се стреми към нула, когато точката се отстранява по клоните на задухата.

Вертикален

Вертикална асимптота - директна граница .

Като правило, когато определяте вертикални асимптоти се търсят не едно ограничение, но две едностранно (ляво и дясно). Това се прави, за да се определи как функцията се държи възможно най-близо до вертикални асимптоти от различни страни. Например:

Хоризонтално

Хоризонтална асимптота - прав Видове, подлежащи на съществуване лимит

Наклонена

Наклонена асимптота - прав Видове, подлежащи на съществуване граници

Забележка: Функцията може да има не повече от две наклонени (хоризонтални) асимптоти.

Забележка: Ако поне един от посочените по-горе ограничения не съществува (или равен), тогава няма наклонени асимптоти в (или).

ако в параграф 2.), тогава и границата е с формулата на хоризонтални асимптоти, \\ t .

6) Намиране на интервали от монотонност.Намерете функцията MONOTONY интервали е.(х.) (Т.е. увеличаването и низходящите интервали). Това се прави чрез изучаване на знака на деривата е.(х.). За това намиране на дериват е.(х.) и решаване на неравенство е.(х.) 0. В интервалите, където се изпълнява това неравенство, функция е.(х.) се увеличава. Където се извършва обратното неравенство е.(х.) 0, функция е.(х.) намалява.

Локален екстремум.Намирането на интервали от монотонност, ние можем веднага да определим точките на местния екстремум, където увеличението е заменено с низходяща, се намира местен максима, и където намалението се заменя с увеличаване - местни нива. Изчислете стойността на функцията в тези точки. Ако функцията има критични точки, които не са локални екстремум точки, е полезно да се изчисли стойността на функцията и в тези точки.

Намиране на най-големите и най-малки стойности на функцията Y \u003d F (x) на сегмента(продължение)

1. Намерете дериватна функция: е.(х.).

2. Намерете точки, в които производно е нула: е.(х.)=0х. 1, х. 2 ,...

3. Определят принадлежността на точки х. 1 , Х. 2 , … сегмент [ а.; б.]: Позволявам х.1а.;б. , но х.2а.;б. .

4. Намерете стойностите на функцията в избраните точки и в края на сегмента: е.(х. 1), е.(х. 2),..., е.(х. а.),е.(х. б.),

5. Изборът на най-големите и най-малки стойности на функцията от открита.

Коментар. Ако на сегмента [ а.; б.Има точки за разлика, тогава е необходимо да се изчислят едностранни граници в тях, а след това техните значения да обмислят при избора на най-големите и най-малки функционални стойности.

7) Намиране на интервали от издатини и вдлъбнатини. Това се прави чрез изучаване на знака на втората деривация е.(х.). Намерете блистера в ставите на интервалите на издатината и вдлъбната. Изчислете стойността на функцията при инфлексичните точки. Ако функцията има други точки на непрекъснатост (с изключение на угояващите), в които второто производно е 0 или не съществува, тогава в тези точки също е полезно да се изчисли стойността на функцията. Намерен е.(х.) решаваме неравенството е.(х.) 0. На всеки от интервалите на решенията функцията ще бъде изпъкнала. Решаване на обратното неравенство е.(х.) 0, откриваме интервали, на които функцията на изпъкнала (т.е. плака). Определяме точките на инфлексията като тези точки, в които функцията променя посоката на изпъкналост (и непрекъснато).

Точка на инфлексия - Това е точка, в която функцията е непрекъсната и при преминаване, през която функцията променя посоката на изпъкналост.

Условия за съществуване

Необходимото условие за съществуването на точката на инфлексия: Ако функцията е два пъти диференцирана в някои бои в съседство на точката, тогава или .

Паритетът и страненността на функцията са една от основните му свойства, а в паритета заема впечатляваща част от училищния курс по математика. Той определя естеството на поведението на функцията и силно улеснява изграждането на подходящ график.

Определят паритета на функцията. Най-общо казано, функцията, която се изследва, се счита, че дори и за противоположни стойности на независима променлива (x), които са в нейната дефиниция, съответните стойности на Y (функции) ще бъдат равни.

Ще дадем по-строга дефиниция. Помислете за някаква функция F (x), която е поставена в региона D. Той ще бъде дори ако за всяка точка X в областта на дефиницията:

-x (противоположна точка) също се крие в тази област на дефиниция, \\ t

f (-X) \u003d f (x).

От даденото дефиниция се следва състоянието, необходимо за определяне на такава функция, а именно симетрия по отношение на точката на началото на координатите, тъй като, ако някаква точка Б се съдържа в областта на определяне на четната функция, съответната точка също е в тази област. От горепосоченото заключението предполага: дори функцията има симетрична на ордината (Oy) ос.

Как да практикувате паритета на функцията?

Позволявам се с формула H (x) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). След алгоритъма, който произтича директно от дефиницията, ние разглеждаме предимно областта на дефиницията си. Очевидно е, че е дефинирано за всички стойности на аргумента, т.е. първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замените вместо аргумента (x) неговата противоположна стойност (-x).
Получаваме:
h (-X) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Тъй като добавянето отговаря на кодовото (преходното) закон, тогава очевидно h (-X) \u003d h (x) и определената функционална зависимост е дори.

Проверете паритета на функцията H (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (- x). Следвайки същия алгоритъм, ние получаваме това h (-x) \u003d 11 ^ (- x) -11 ^ x. В резултат на това ще направя минус
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (- x)) \u003d - H (x). Следователно H (x) е странно.

Между другото, трябва да си спомните, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези функции, те се наричат \u200b\u200bнито дори или странни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

в резултат на добавянето на такива функции, тя се получава и;
в резултат на това изваждането на такива функции получава дори;
Дори и дори;
в резултат на умножаване на две такива функции, тя се получава и;
в резултат на умножение на странни и дори функции се получава нечетно;
в резултат на разделението на странните и дори функции, те получават странно;
производно на такава функция е странно;
ако изградим странна функция на квадрат, имаме дори.

Готовността на функцията може да се използва в решаването на уравнения.

За да се реши уравнението на тип G (x) \u003d 0, където лявата част на уравнението е равномерна функция, ще бъде достатъчно да се намерят решения за не-отрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да бъдат комбинирани с противоположни числа. Един от тях е обект на проверка.

Това се използва успешно за решаване на нестандартни задачи с параметър.

Например, има ли някаква стойност на параметъра А, в който уравнението 2x ^ 6-X ^ 4-AX ^ 2 \u003d 1 ще има три корена?

Ако считаме, че променливата влиза в уравнението в равномерни степени, е ясно, че замяната на X на определеното уравнение няма да се промени. От това следва, че ако определен номер е негов корен, тогава той е и обратното. Заключението е очевидно: корените на уравнението, различни от нула, са включени в многото от неговите "двойки" решения.

Ясно е, че самият номер 0 не е, т.е. броят на корените на подобно уравнение може да бъде дори и дори и естествено, нито една от стойността на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2 ^ x + 2 ^ (- X) \u003d AX ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 може да е нечетно и за всяка стойност на параметъра. Наистина, лесно е да се провери, че наборът от корените на това уравнение съдържа решения на "двойки". Проверете дали 0 е коренът. Когато го замествате в уравнението, получаваме 2 \u003d 2. Така, в допълнение към "двойката" 0, тя е и коренът, който доказва странното им количество.

Функцията се нарича дори (нечетно), ако равенството се извършва за всеки

Добната функционална графика е симетрична за оста
.

Графикът на нечетна функция е симетричен в началото на координатите.

Пример 6.2. Изследвайте паритета или странността на функцията

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) функцията се определя кога
. намирам
.

Тези.
. Така че тази функция е дори.

2) функцията се определя кога

Тези.
. Така тази функция е странна.

3) функцията е дефинирана за, т.е. за

,
. Следователно функцията не е нито дори или странна. Ние го наричаме функция за общ тип.

3. Изследване на функцията за монотонност.

Функция
тя се нарича увеличаване (намаляването) на някой интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.

Функциите за увеличаване (намаляването) се наричат \u200b\u200bмонотонни на някакъв интервал.

Ако функцията
диференциал върху интервала
и има положителен (отрицателен) дериватив
, след това функция
увеличава (намалява) на този интервал.

Пример 6.3.. Намерете интервали от функции монотонност

1)
; 3)
.

Решение.

1) Тази функция се определя на цялата цифрова ос. Намерете дериват.

Производно е нула, ако
и
. Районът на дефиницията е цифровата ос, разделена на точки
,
на интервали. Определят знака на производа във всеки интервал.

В интервала
деривата е отрицателна, функцията на този интервал намалява.

В интервала
производството е положително, следователно функцията на този интервал се увеличава.

2) Тази функция се определя, ако
или

Определят знака на квадрат три разглеждане във всеки интервал.

По този начин, областта за дефиниране на полето

Намерете дериват
,
, ако
.
, но
. Определят знака на деривата в интервалите
.

В интервала
следователно производно е отрицателно, функцията намалява на интервала
. В интервала
производно е положително, функцията се увеличава на интервала
.

4. Проучване на функцията до екстремум.

Точка
наречена максимална точка (минимална) функции
Ако има такава квартална точка за всичко
неравенството се извършва от този квартал

.

Максималните точки и минимум функции се наричат \u200b\u200bекстремум точки.

Ако функцията
в точка има екстремум, деривативната функция в този момент е нула или не съществува (необходимото условие за съществуването на екстремум).

Точките, в които производно е равно на нула или не се нарича критично.

5. достатъчно условия за съществуването на екстремум.

Правило 1.. Ако по време на прехода (отляво надясно) чрез критична точка дериватив
променя знака от "+" до "-", след това в точката функция
има максимум; Ако с "-" на "+", тогава минимум; ако
не променя знака, тогава екстремумът не е.

Правило 2.. Пуснати в точката
първа деривативна функция
равен на нула
и второто дериват съществува и е различно от нула. Ако
T. - Максимална точка, ако
T. - минимална функция на точка.

Пример 6.4 . Разгледайте максималната и минималната функция:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) функцията се определя и непрекъснато на интервала
.

Намерете дериват
и решаване на уравнение
.
.Otsyud.
- критични точки.

Определят знака на деривата на интервалите,
.

Когато се движите през точки
и
дериватив променя знака от "-" до "+", така че според правилото 1
- Минимални точки.

При преминаване през точката
производителят променя знака от "+" до "-", следователно
- Максимална точка.

,
.

2) функцията се определя и непрекъснато в интервала
. Намерете дериват
.

Решаващо уравнение
Намираме
и
- критични точки. Ако знаменателят
.
производно не съществува. Така,
- Трета критична точка. Определят знака на деривата в интервалите.

Следователно функцията има минимум в точка
, максимални точки
и
.

3) функцията е дефинирана и непрекъсната, ако
. за
.

Намерете дериват

Ще намерим критични точки:

Квартали
не принадлежат към областта на дефиницията, така че те не са t. Екстрем. Така че разследваме критични точки
и
.

4) Функцията се определя и непрекъснато на интервала
. Ние използваме правило 2. Намерете дериват
.

Ще намерим критични точки:

Ние намираме второто дериват
и определете нейния знак в точки

В точки
функцията има минимум.

В точки
функцията има максимум.

Което в една или друго или друго е било познато. Беше забелязано също, че запасът от свойствата на функциите ще бъде постепенно да се попълни. Около две нови имоти и ще бъдат обсъдени в този параграф.

Определение 1.

Функцията y \u003d F (x), x є x, се извиква, дори ако равенството f (-x) \u003d f (x) се извършва за всяка стойност x от зададения x.

Определение 2.

Функцията y \u003d f (x), x є x се нарича нечетна, ако равенството f (x) \u003d -f (x) се извършва за всяка стойност x от зададения х.

Докажете, че y \u003d x 4 е равномерна функция.

Решение. Имаме: f (x) \u003d x 4, f (s) \u003d (s) 4. Но) 4 \u003d x 4. Така че за всеки x се извършва равенството f (s) \u003d f (x), т.е. Функцията е равномерна.

По същия начин може да се докаже, че функциите на Y - X 2, Y \u003d X 6, Y - X 8 са равномерни.

Докажете, че y \u003d x 3 ~ нечетна функция.

Решение. Имаме: f (x) \u003d x 3, f (s) \u003d (s) 3. Но) 3 \u003d -kh3. Така че, за всеки x, се изпълнява равенството f (s) \u003d -f (x), т.е. Функцията е странна.

По същия начин може да се докаже, че функциите y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 са нечетни.

Вече сме убедени в факта, че нови термини в математиката най-често имат "земно" произход, т.е. Те по някакъв начин могат да ги обяснят. Такъв е случаят с дори и с нечетни функции. Вижте: Y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 - нечетни функции, докато y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 - дори функции. Като цяло, за всякакви функции на типа y \u003d x "(по-долу ще проучим тези функции), където n е естествено число, можем да заключим: ако n е нечетно число, тогава функцията y \u003d x "е странно; Ако n е четен номер, тогава функцията y \u003d xn е дори.

Има и функции, които не са нито дори или странни. Такава е, например, функцията y \u003d 2x + 3. всъщност, f (1) \u003d 5 и f (-1) \u003d 1. Както можете да видите, това означава, че няма идентичност F (-X) \u003d F (x), нито идентичността f (s) \u003d -f (x).

Така че функцията може да бъде дори и странна, както и така нито другата.

Проучване на въпроса дали дадена функция е равно или нечетна, обикновено се отнася до изучаването на функции за паритет.

В дефиниции 1 и 2 говорим за стойностите на функцията в точки X и -X. Така се приема, че функцията също е дефинирана в точката x, а в точката. Това означава, че точката -Н принадлежи на полето за определяне на функцията едновременно с точката x. Ако цифровият комплект X заедно с всеки елемент X съдържа противоположния елемент, тогава X се нарича симетричен комплект. Да речем (-2, 2), [-5, 5], (-OO, + OO) - симетрични набори, докато От y \u003d sqrt (1 + x ^ (2)) 1 за всяко x в [-1; 1].

Ограничена Обичайно е да се обадите на функцията y \u003d f (x), x в x, когато има такъв номер k\u003e 0, за който се извършва неравенството отляво | F (x) дясно | Nq k за всеки x в x.

Пример за ограничена функция: y \u003d sin x е ограничен от цялата цифрова ос, тъй като Наляво | Sin x \\ t 1..

Увеличаване и намаляване на функцията

За функцията, която се увеличава в разглеждания интервал, който е обичайно да се говори за това увеличаване на функцията След това, когато по-голямата стойност на x съответства на по-голямата стойност на функцията y \u003d f (x). От тук се оказва, че приемането на две произволни стойности на аргумента X_ (1) и x_ (2) от интервала под внимание, с x_ (1)\u003e x_ (2), ще бъде y (x_ (1) )\u003e Y (x_ (2)).

Функция, която намалява в разглеждания интервал се нарича намаляваща функция След това, когато по-голяма стойност на X съответства на по-малката стойност на функцията y (x). От тук се оказва, че двете произволни стойности на аргумента X_ (1) и X_ (2), с x_ (1)\u003e x_ (2), ще бъде y (x_ (2), ще излезе от това< y(x_{2}) .

Функция на корените Обичайно е да се обаждате на точките, в които функцията f \u003d y (x) пресича оста на абсциса (те се получават в резултат на решаване на уравнението y (x) \u003d 0).

а) ако при x\u003e 0 дори функцията се увеличава, тогава тя намалява с x< 0

b) Когато с x\u003e 0 дори функцията намалява, тогава тя се увеличава с x< 0

в) Когато с X\u003e 0 нечетна функция се увеличава, тогава тя се увеличава с x< 0

г) когато една нечетна функция ще намалее с x\u003e 0, тогава ще намалее с x< 0

Екстремна функция

Точка на минимална функция Y \u003d f (x) е обичайно да се обаждате на тази точка x \u003d x_ (0), в която нейният квартал ще има други точки (с изключение на точката x \u003d x_ (0)) и неравенството f (x)\u003e f ще бъдат изпълнени (x_ (0)). y_ (min) - обозначение функция на мин.

Точка на максимална функция Y \u003d f (x) е обичайно да се обаждате такава точка x \u003d x_ (0), в която нейният квартал ще има други точки (с изключение на точката x \u003d x_ (0)) и след това неравенството f (x) ще се извършва< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Предпоставка

Съгласно теоремата на фермата: F "(x) \u003d 0, когато функцията f (x), която е диференцирана в точката X_ (0), екстремумът ще се появи в този момент.

Достатъчно състояние

Когато производна стойност се промени от плюс до минус, тогава X_ (0) ще бъде минимална точка;
x_ (0) - Това ще бъде максимална точка само когато дериватив променя знак от минус плюс при преминаване през неподвижна точка x_ (0).

Най-голямата и най-малка стойност на функцията на интервала

Изчислителни стъпки:

Търси се производно f (x);
Има стационарни и критични точки на функцията и избират сегментната принадлежност;
Има стойности на функцията F (x) в стационарни и критични точки и сегменти. По-малко от получените резултати ще бъдат най-малката стойност на функциятаи по-голям - страхотен.