To, čemu se říká soustava lineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic: základní pojmy
- Systémy m lineární rovnice s n neznámý.
Řešení soustavy lineárních rovnic Je taková množina čísel ( x 1, x 2, ..., x n), při dosazení do každé z rovnic systému se získá správná rovnost.
kde a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- systémové koeficienty;
b i, i = 1, ..., m- volní členové;
x j, j = 1, ..., n- neznámý.
Výše uvedený systém lze zapsat v maticové formě: A X = B,
kde ( A|B) Je hlavní maticí systému;
A- rozšířená matice systému;
X- sloupec neznámých;
B- sloupec volných členů.
Pokud matice B není nulová matice ∅, pak se tento systém lineárních rovnic nazývá nehomogenní.
Pokud matice B= ∅, pak se tato soustava lineárních rovnic nazývá homogenní. Homogenní systém má vždy nulové (triviální) řešení: x 1 = x 2 =…, x n = 0.
Společná soustava lineárních rovnic Je soustava lineárních rovnic, která má řešení.
Nekonzistentní systém lineárních rovnic Je to soustava lineárních rovnic, která nemá řešení.
Definitivní systém lineárních rovnic Je to systém lineárních rovnic, který má jedinečné řešení.
Neurčitý systém lineárních rovnic Je soustava lineárních rovnic, která má nekonečnou množinu řešení. - Soustavy n lineárních rovnic s n neznámými
Pokud se počet neznámých rovná počtu rovnic, pak je matice čtvercová. Determinant matice se nazývá hlavní determinant soustavy lineárních rovnic a označuje se symbolem Δ.
Cramerova metoda k řešení systémů n lineární rovnice s n neznámý.
Cramerovo pravidlo.
Pokud se hlavní determinant soustavy lineárních rovnic nerovná nule, pak je soustava konzistentní a definovaná a jediné řešení se vypočítá podle Cramerových vzorců:
kde Δ i - determinanty získané z hlavního determinantu systému Δ nahrazením i sloupec za každý volný sloupec členů. ... - Soustavy m lineárních rovnic s n neznámými
Kroneckerova - Capelliho věta.
Aby byl daný systém lineárních rovnic konzistentní, je nutné a postačující, aby hodnost matice systému byla rovna hodnosti rozšířené matice systému, zvonil (Α) = zvonil (Α | B).
Li zvonil (Α) ≠ zvonil (Α | B), pak systém jistě nemá řešení.
Li zvonil (Α) = zvonil (Α | B), pak jsou možné dva případy:
1) zvonil (Α) = n(na počet neznámých) - řešení je jedinečné a lze jej získat pomocí Cramerových vzorců;
2) zvonil (Α)< n - řešení je nekonečně mnoho. - Gaussova metoda pro řešení soustav lineárních rovnic
Pojďme sestavit rozšířenou matici ( A|B) daného systému koeficientů na neznámé a pravé straně.
Gaussova metoda neboli metoda eliminace neznámých spočívá v redukci rozšířené matice ( A|B) pomocí elementárních transformací přes jeho řady do diagonálního tvaru (do horního trojúhelníkového tvaru). Vrátíme-li se k soustavě rovnic, jsou určeny všechny neznámé.
Mezi elementární transformace přes řetězce patří následující:
1) prohození dvou linek;
2) násobení řetězce číslem jiným než 0;
3) přidání dalšího řetězce vynásobeného libovolným číslem;
4) vyhození nulového řetězce.
Rozšířená matice, zmenšená na diagonální tvar, odpovídá lineární soustavě ekvivalentní dané dané, jejíž řešení nečiní potíže. ... - Systém homogenních lineárních rovnic.
Homogenní systém vypadá takto:
odpovídá maticové rovnici A X = 0.
1) Homogenní systém je vždy kompatibilní, protože r (A) = r (A | B), vždy existuje nulové řešení (0, 0,…, 0).
2) Aby měl homogenní systém nenulové řešení, je to nutné a dostatečné r = r (A)< n , což je ekvivalentní Δ = 0.
3) Pokud r< n , pak schválně Δ = 0, pak vznikají volné neznámé c 1, c 2, ..., c n-r, systém má netriviální řešení a je jich nekonečně mnoho.
4) Obecné řešení X na r< n lze zapsat v maticové formě takto:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
kde jsou řešení X 1, X 2, ..., X n-r tvoří základní systém rozhodování.
5) Základní soustavu řešení lze získat z obecného řešení homogenní soustavy:
,
pokud se postupně předpokládá, že hodnoty parametrů jsou (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1).
Dekompozice obecného řešení z hlediska fundamentálního systému řešení Je záznamem obecného řešení ve formě lineární kombinace řešení patřících do základního systému.
Teorém... Aby systém lineární homogenní rovnice má nenulové řešení, je nutné a postačující, aby Δ ≠ 0.
Pokud je tedy determinant Δ ≠ 0, pak má systém jedinečné řešení.
Je-li Δ ≠ 0, pak má soustava lineárních homogenních rovnic nekonečnou množinu řešení.
Teorém... Aby měl homogenní systém nenulové řešení, je to nutné a dostačující r (A)< n .
Důkaz:
1) r nemůže být víc n(hodnost matice nepřesahuje počet sloupců nebo řádků);
2) r< n od té doby -li r = n, pak hlavním determinantem systému je Δ ≠ 0 a podle Cramerových vzorců existuje jedinečné triviální řešení x 1 = x 2 =… = x n = 0, což odporuje podmínce. Prostředek, r (A)< n .
Následek... Aby byl systém homogenní n lineární rovnice s n neznámé má nenulové řešení, je nutné a postačující, aby Δ = 0.
Mnoho praktických úkolů se týká řešení systémů algebraické rovnice 1. stupeň nebo, jak se jim obvykle říká, soustavy lineárních rovnic. Naučíme se, jak řešit jakékoli takové systémy, aniž bychom vyžadovali, aby se počet rovnic shodoval s počtem neznámých.
Obecně je systém lineárních rovnic zapsán takto:
Tady jsou čísla a ij– šance systémy, b i – volní členové, x i- symboly neznámý ... Je velmi výhodné zadat maticový zápis: - hlavní matice soustavy, - matice-sloupec volných členů, - matice-sloupec neznámých. Poté lze systém zapsat následovně: SEKERA=B nebo podrobněji:
Pokud na levé straně této rovnosti provedeme násobení matic podle obvyklých pravidel a prvky výsledného sloupce přirovnáme k prvkům PROTI, pak se dostaneme k původnímu záznamu systému.
Příklad 14... Stejnou soustavu lineárních rovnic píšeme dvěma různé způsoby:
Systém lineárních rovnic se obvykle nazývá kloub pokud má alespoň jedno řešení a nekonzistentní pokud neexistují žádná řešení.
V našem příkladu je systém kompatibilní, sloupec je jeho řešením:
Toto řešení lze napsat bez matic: X=2, r=1 ... Bude se nazývat soustava rovnic nedefinováno pokud má více než jedno řešení, a určitý pokud je řešení jedinečné.
Příklad 15... Systém není definován. Například jsou její řešení. Čtenář může najít mnoho dalších řešení tohoto systému.
Naučme se nejprve řešit soustavy lineárních rovnic v konkrétním případě. Soustava rovnic ACH=PROTI zavolá Kramerova , je-li jeho hlavní matice A- hranaté a nedegenerované. Jinými slovy, v Kramerově systému se počet neznámých shoduje s počtem rovnic a.
Věta 6. (Cramerovo pravidlo). Kramerův systém lineárních rovnic má jedinečné řešení dané vzorcem:
kde je determinant hlavní matice, je determinant získaný z D výměna, nahrazení i-Tý sloupec sloupcem volných členů.
Komentář. Cramerovy systémy lze řešit i jiným způsobem, pomocí inverzní matice. Napišme takový systém v maticovém tvaru: SEKERA=PROTI... Protože pak existuje inverzní matice A –1 ... Vynásobte rovnost matice číslem A –1 vlevo, odjet: A –1 ACH=A –1 PROTI... Protože A –1 ACH=EX=NS, pak je nalezeno řešení systému: NS= A –1 PROTI Toto řešení bude tzv matice ... Ještě jednou zdůrazňujeme, že je vhodná pouze pro systémy Cramér - v ostatních případech inverzní matice neexistuje. Příklady aplikací v demontu maticová metoda a Cramerovu metodu čtenář nalezne níže.
Nakonec si prostudujme obecný případ – systém m lineární rovnice s n neznámý. Chcete-li to vyřešit, podejte žádost Gaussova metoda , kterou se budeme podrobně zabývat.Pro libovolnou soustavu rovnic ACH=PROTI vypracovat rozšířený matice. Je zvykem nazývat to matice, která se ukáže jako hlavní matice A přidejte sloupec volných členů vpravo PROTI:
Stejně jako při výpočtu pořadí pomocí elementárních transformací řádků a permutací sloupců zredukujeme naši matici do lichoběžníkového tvaru. V tomto případě se samozřejmě systém rovnic odpovídající matici změní, ale bude rovnat se původní (ᴛ.ᴇ. bude mít stejná řešení). Přeuspořádání nebo přidání rovnic skutečně nezmění řešení. Také přeskupování sloupců: rovnice x 1+3x 2+7x 3=4 a x 1+7x 3+3x 2=4, jsou samozřejmě stejné. Je pouze nutné zaznamenat, které neznámé daný sloupec odpovídá. Sloupec volných členů není přeskupován - v matici je obvykle oddělen od ostatních tečkovanou čarou. Nulové řádky v matici lze vynechat.
Příklad 1... Řešte soustavu rovnic:
Řešení. Vypíšeme rozšířenou matici a zmenšíme ji do lichoběžníkového tvaru. Podepsat ~ nyní bude znamenat nejen shodu pořadí, ale také ekvivalenci odpovídajících soustav rovnic.
~. Pojďme si vysvětlit podniknuté kroky.
Krok 1... 1. řádek byl přidán k 2. řádku a byl vynásoben (–2). 1. a 4. řádek byly přidány ke 3. a 4. řádku a vynásobeny (–3). Účelem těchto operací je získat nuly v prvním sloupci pod hlavní diagonálou.
Krok 2. Protože v místě úhlopříčky (2.2) bylo 0 , musel jsem přeskupit 2. a 3. sloupec. Aby si tuto permutaci zapamatovali, napsali navrch označení neznámých.
Krok 3 K 3. řádek přidal druhý a vynásobil ho (–2). 2. řádek byl přidán ke 4. řádku. Cílem je získat nuly ve druhém sloupci, pod hlavní úhlopříčkou.
Krok 4. Nulové čáry lze odstranit.
Takže matrice je redukována do lichoběžníkového tvaru. Její hodnost r=2 ... Neznámý x 1, x 3- základní; x 2, x 4- volný, uvolnit. Volným neznámým přiřaďme libovolné hodnoty:
x 2= a, x 4= b.
Tady a, b mohou být libovolná čísla. Nyní z poslední rovnice nového systému
x 3+x 4= –3
nalézt x 3: x 3= –3 –b. Lezení nahoru z první rovnice
x 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
nalézt x 1: x 1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.
Zapíšeme obecné řešení:
x 1=14 –2a–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=b.
Obecné řešení můžete napsat ve formě maticového sloupce:
Na konkrétních hodnotách A a b, můžeš dostat soukromé řešení. Například kdy A=0, b=1 dostaneme: - jedno z řešení soustavy.
Poznámky. V algoritmu Gaussovy metody jsme viděli (případ 1), že nekonzistence soustavy rovnic je způsobena nesouladem řad hlavní a rozšířené matice. Předkládáme bez důkazu následující důležitou větu.
Věta 7 (Kronecker - Capelli). Systém lineárních rovnic je konzistentní tehdy a pouze tehdy, když se hodnost hlavní matice rovná hodnosti rozšířené matice systému.
Soustavy lineárních rovnic - pojem a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Soustavy lineárních rovnic" 2017, 2018.
Takže jeho řádky (nebo sloupce) jsou lineárně závislé. Nechť je dána soustava obsahující m lineárních rovnic s n neznámými: 5.1. Uveďme si následující zápis. 5.2., - matice systému - jeho rozšířená matice. - sloupec volných členů. - sloupec neznámých. Pokud... .
nelineární optimalizace (NNO) a naopak. Vyjádření problému ZNO: Najděte (8.1) minimum nebo maximum v nějaké doméně D. Jak si pamatujeme z Mat. parciální derivace by měly být rovny nule. ZNO (8.1) bylo tedy redukováno na SNE (8.2) (8.2) n nelineárních rovnic. ....
Přednáška 15 Uvažujme nehomogenní systém (16) Pokud jsou odpovídající koeficienty homogenního systému (7) rovny odpovídajícím koeficientům nehomogenního systému (16), pak se homogenní systém (7) nazývá odpovídající nehomogenní systém (16) . Teorém. Pokud ... [číst dále].
7.1 Homogenní soustavy lineárních rovnic. Nechť je dána homogenní soustava lineárních rovnic (*) Předpokládejme, že množina čísel je nějakým řešením této soustavy. Pak je řešením i sada čísel. To se ověřuje přímou substitucí do rovnic soustavy .....
Tabulka 3 Etapy motorického vývoje dítěte Etapa Věk Ukazatele motorického vývoje moment narození do 4 měsíců Utváření kontroly nad polohou hlavy a možnost její volné orientace v prostoru 4-6 měsíců zvládnutí počáteční ...
Definice 1. Soustava lineárních rovnic tvaru (1), kde pole se nazývá soustava m lineárních rovnic s n neznámými nad polem, jsou koeficienty neznámých, jsou volné členy soustavy ( 1). Definice 2: Uspořádané n-ka (), kde, se nazývá řešení soustavy lineárních ....
Soustavy lineárních rovnic. Přednáška 6.
Soustavy lineárních rovnic.
Základní pojmy.
Zobrazit systém
volala soustava - lineární rovnice s neznámými.
Volají se čísla,, systémové koeficienty.
Čísla se volají volné členy systému, – systémové proměnné... Matice
volala hlavní matrice systému a matrice
– maticový rozšířený systém... Matice - sloupce
A odpovídajícím způsobem matice volných členů a neznámých systému... Potom v maticové formě může být systém rovnic zapsán ve tvaru. Systémové řešení se nazývá hodnoty proměnných, když se dosadí, všechny rovnice systému se změní na skutečné číselné rovnosti. Jakékoli řešení systému může být reprezentováno ve formě matice - sloupce. Pak platí maticová rovnost.
Systém rovnic se nazývá kloub pokud má alespoň jedno řešení a nekonzistentní pokud nemá řešení.
Řešit soustavu lineárních rovnic znamená zjistit, zda je kompatibilní, a v případě kompatibility najít její obecné řešení.
Systém se nazývá homogenní pokud jsou všechny jeho volné členy rovny nule. Homogenní systém je vždy kompatibilní, protože má řešení
Kroneckerova - Copelliho věta.
Odpověď na otázku existence řešení lineárních soustav a jejich jednoznačnosti nám umožňuje získat následující výsledek, který lze formulovat ve formě následujících tvrzení týkajících se soustavy lineárních rovnic s neznámými
(1)
Věta 2... Systém lineárních rovnic (1) je konzistentní tehdy a pouze tehdy, když se hodnost hlavní matice rovná hodnosti rozšířené (.
Věta 3... Pokud je hodnost hlavní matice sdruženého systému lineárních rovnic rovna počtu neznámých, pak má systém jedinečné řešení.
Věta 4... Pokud je hodnost hlavní matice kompatibilního systému menší než počet neznámých, pak má systém nekonečnou množinu řešení.
Pravidla systémového řešení.
3. Najděte vyjádření hlavních proměnných z hlediska volných a získejte obecné řešení soustavy.
4. Přidělením libovolných hodnot volným proměnným se získají všechny hodnoty hlavních proměnných.
Metody řešení soustav lineárních rovnic.
Metoda inverzní matice.
navíc to znamená, že systém má unikátní řešení. Zapišme systém v maticovém tvaru
kde 
,
,
.
Obě strany maticové rovnice vlevo vynásobíme maticí
Od, pak dostaneme, odkud získáme rovnost pro hledání neznámých
Příklad 27. Metodou inverzní matice řešte soustavu lineárních rovnic 
Řešení. Označme hlavní maticí systému
.
Nechť, pak najdeme řešení podle vzorce.
Pojďme počítat.
Od té doby má systém jedinečné řešení. Najděte všechny algebraické doplňky
,
,
,
,
,
,
,
,
Tím pádem
.
Pojďme zkontrolovat
.
Inverzní matice byla nalezena správně. Odtud pomocí vzorce najdeme matici proměnných.
.
Porovnáním hodnot matic dostaneme odpověď:.
Cramerova metoda.
Nechť je dána soustava lineárních rovnic s neznámými
navíc to znamená, že systém má unikátní řešení. Zapišme řešení soustavy v maticovém tvaru popř
Označujeme
. . . . . . . . . . . . . . ,
Získáme tak vzorce pro nalezení hodnot neznámých, které se nazývají Cramerovy vzorce.
Příklad 28. Vyřešte následující soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou 
.
Řešení. Najdeme determinant hlavní matice systému
.
Od té doby má systém jediné řešení.
Pojďme najít zbývající determinanty pro Cramerovy vzorce
,
,
.
Pomocí Cramerových vzorců najdeme hodnoty proměnných
Gaussova metoda.
Metoda spočívá v sekvenční eliminaci proměnných.
Nechť je dána soustava lineárních rovnic s neznámými.
Gaussův proces řešení se skládá ze dvou fází:
V první fázi je rozšířená matice systému redukována pomocí elementárních transformací do stupňovité formy
,
kde, kterému systém odpovídá
Poté proměnné 
jsou považovány za volné a v každé rovnici jsou přeneseny na pravou stranu.
Ve druhé fázi je vyjádřena proměnná z poslední rovnice, výsledná hodnota je dosazena do rovnice. Z této rovnice
je vyjádřena proměnná. Tento proces pokračuje až do první rovnice. Výsledkem je vyjádření hlavních proměnných pomocí volných proměnných 
.
Příklad 29. Vyřešte následující soustavu pomocí Gaussovy metody
Řešení. Vypišme rozšířenou matici soustavy a zredukujme ji do stupňovitého tvaru
.
Protože 
více než počet neznámých, pak je systém konzistentní a má nekonečnou množinu řešení. Napišme systém pro stupňovitou matici
Determinant rozšířené matice tohoto systému, složené z prvních tří sloupců, není roven nule, proto je považován za základní. Proměnné
Budou základní a variabilní bude zdarma. Přeneseme jej ve všech rovnicích na levou stranu
Z poslední rovnice vyjádříme
Dosazením této hodnoty v předposlední druhé rovnici dostaneme
kde 
... Dosazením hodnot proměnných a do první rovnice najdeme 
... Odpověď zapisujeme v následujícím tvaru
Systémy rovnic jsou široce používány v ekonomickém průmyslu při matematickém modelování různých procesů. Například při řešení problémů řízení a plánování výroby, logistických tras (problém dopravy) nebo umístění zařízení.
Systémy rovnic se používají nejen v oblasti matematiky, ale také ve fyzice, chemii a biologii, při řešení problémů zjišťování velikosti populace.
Soustava lineárních rovnic se nazývá dvě nebo více rovnic s více proměnnými, pro které je nutné najít obecné řešení. Taková posloupnost čísel, pro kterou se všechny rovnice stávají skutečnými rovnostmi nebo dokazují, že posloupnost neexistuje.
Lineární rovnice
Rovnice ve tvaru ax + by = c se nazývají lineární. Zápis x, y je neznámá, jejíž hodnotu musíme najít, b, a jsou koeficienty proměnných, c je volný člen rovnice.
Řešení rovnice vynesením jejího grafu bude mít tvar přímky, jejíž všechny body jsou řešením polynomu.
Typy soustav lineárních rovnic
Za nejjednodušší příklady jsou považovány soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými X a Y.
F1 (x, y) = 0 a F2 (x, y) = 0, kde F1,2 jsou funkce a (x, y) jsou funkční proměnné.
Řešte soustavu rovnic - znamená to najít takové hodnoty (x, y), při kterých se systém změní ve skutečnou rovnost, nebo zjistit, že pro x a y neexistují žádné vhodné hodnoty.
Dvojice hodnot (x, y), zapsaná jako souřadnice bodu, se nazývá řešením systému lineárních rovnic.
Pokud systémy mají jedno společné řešení nebo řešení neexistuje, nazývají se ekvivalentní.
Homogenní soustavy lineárních rovnic jsou soustavy, jejichž pravá strana je rovna nule. Pokud má pravá část za znakem „rovná se“ hodnotu nebo je vyjádřena funkcí, je takový systém heterogenní.
Počet proměnných může být mnohem více než dvě, pak bychom měli mluvit o příkladu soustavy lineárních rovnic se třemi a více proměnnými.
Když jsou školáci konfrontováni se systémy, předpokládají, že počet rovnic se musí nutně shodovat s počtem neznámých, ale není tomu tak. Počet rovnic v systému nezávisí na proměnných, může jich být tolik, kolik chcete.
Jednoduché a složité metody řešení soustav rovnic
Neexistuje žádná obecná analytická metoda pro řešení takových systémů, všechny metody jsou založeny numerická řešení... PROTI školní kurz matematici podrobně popisují takové metody jako permutace, algebraické sčítání, substituce, dále grafickou a maticovou metodu, řešení Gaussovou metodou.
Hlavním úkolem při výuce řešení je naučit správně analyzovat systém a najít optimální algoritmus řešení pro každý příklad. Hlavní věcí není zapamatovat si systém pravidel a akcí pro každou metodu, ale pochopit principy použití konkrétní metody
Řešení příkladů soustav lineárních rovnic 7. třídy programu všeobecná střední škola docela jednoduché a velmi podrobně vysvětlené. V každé učebnici matematiky je této části věnována dostatečná pozornost. Řešení příkladů soustav lineárních rovnic metodou Gauss a Cramer je podrobněji studováno v prvních ročnících vysokých škol.
Řešení soustav substituční metodou
Akce substituční metody jsou zaměřeny na vyjádření hodnoty jedné proměnné pomocí druhé. Výraz je dosazen do zbývající rovnice, poté je redukován do tvaru s jednou proměnnou. Akce se opakuje v závislosti na počtu neznámých v systému
Uveďme řešení příkladu soustavy lineárních rovnic 7. třídy substituční metodou:
Jak můžete vidět z příkladu, proměnná x byla vyjádřena pomocí F (X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosazený do 2. rovnice systému na místo X, pomohl získat jednu proměnnou Y ve 2. rovnici . Řešení tento příklad nezpůsobuje potíže a umožňuje získat hodnotu Y. Posledním krokem je kontrola získaných hodnot.
Ne vždy je možné vyřešit příklad soustavy lineárních rovnic substitucí. Rovnice mohou být složité a vyjádření proměnné pomocí druhé neznámé bude pro další výpočty příliš těžkopádné. Když je v systému více než 3 neznámých, je řešení substitucí také nepraktické.
Řešení příkladu soustavy lineárních nehomogenních rovnic:
Algebraické sčítání řešení
Při hledání řešení soustav sčítací metodou se provádí po členech sčítání a násobení rovnic různými čísly. Konečným cílem matematických operací je rovnice v jedné proměnné.
Tato metoda vyžaduje praxi a pozorování. Řešení soustavy lineárních rovnic sčítací metodou s počtem proměnných 3 a více není jednoduché. Algebraické sčítání je užitečné, když jsou v rovnicích přítomny zlomky a desetinná čísla.
Algoritmus akce řešení:
- Vynásobte obě strany rovnice nějakým číslem. V důsledku aritmetické operace se jeden z koeficientů proměnné musí rovnat 1.
- Sečtěte výsledný výraz termín po termínu a najděte jednu z neznámých.
- Dosaďte získanou hodnotu do 2. rovnice soustavy, abyste našli zbývající proměnnou.
Řešení zavedením nové proměnné
Novou proměnnou lze zavést, pokud systém potřebuje najít řešení pro ne více než dvě rovnice, počet neznámých by také neměl být větší než dvě.
Metoda se používá ke zjednodušení jedné z rovnic zadáním nové proměnné. Nová rovnice se řeší s ohledem na zadanou neznámou a výsledná hodnota se použije k určení původní proměnné.
Příklad ukazuje, že zavedením nové proměnné t bylo možné zredukovat 1. rovnici soustavy na standardní kvadratický trinom. Polynom můžete vyřešit nalezením diskriminantu.
Hodnotu diskriminantu je nutné najít podle známého vzorce: D = b2 - 4 * a * c, kde D je hledaný diskriminant, b, a, c jsou faktory polynomu. PROTI uvedený příklad a = 1, b = 16, c = 39, tedy D = 100. Pokud je diskriminant větší než nula, pak existují dvě řešení: t = -b ± √D / 2 * a, pokud je diskriminant menší než nula, pak existuje jedno řešení: x = -b / 2 * a.
Řešení pro výsledné systémy se nalézá adiční metodou.
Vizuální metoda řešení systémů
Vhodné pro systémy se 3 rovnicemi. Metoda spočívá ve vynesení grafů každé rovnice obsažené v systému na souřadnicovou osu. Souřadnice průsečíků křivek a budou společné rozhodnutí systémy.
Grafická metoda má řadu nuancí. Podívejme se na několik příkladů řešení soustav lineárních rovnic vizuálním způsobem.
Jak můžete vidět z příkladu, pro každou přímku byly postaveny dva body, hodnoty proměnné x byly zvoleny libovolně: 0 a 3. Na základě hodnot x byly nalezeny hodnoty pro y : 3 a 0. Na grafu byly vyznačeny body se souřadnicemi (0, 3) a (3, 0) a spojeny čárou.
Kroky se musí opakovat pro druhou rovnici. Průsečík čar je řešením soustavy.
V následujícím příkladu musíte najít grafické řešení soustavy lineárních rovnic: 0,5x-y + 2 = 0 a 0,5x-y-1 = 0.
Jak je vidět z příkladu, systém nemá řešení, protože grafy jsou rovnoběžné a neprotínají se po celé délce.
Systémy z příkladů 2 a 3 jsou podobné, ale při sestavování je zřejmé, že jejich řešení se liší. Je třeba mít na paměti, že není vždy možné říci, zda má systém řešení nebo ne, vždy je nutné sestavit graf.
Matrice a její variety
Matice slouží k výstižnému zápisu soustavy lineárních rovnic. Matice je tabulka zvláštního druhu naplněná čísly. n * m má n - řádků a m - sloupců.
Matice je čtvercová, když je počet sloupců a řádků stejný. Vektorová matice je jednosloupcová matice s nekonečným počtem řádků. Matice s jedničkami podél jedné z úhlopříček a dalšími nulovými prvky se nazývá matice identity.
Inverzní matice je taková matice, kterou se po vynásobení původní změní na matici identity, taková matice existuje pouze pro původní čtvercovou.
Pravidla pro převod soustavy rovnic na matici
V případě soustav rovnic se koeficienty a volné členy rovnic zapisují jako čísla matice, jedna rovnice je jeden řádek matice.
Řádek matice se nazývá nenulový, pokud je alespoň jeden prvek řádku nenulový. Pokud se tedy v některé z rovnic liší počet proměnných, pak je nutné místo chybějící neznámé napsat nulu.
Sloupce matice musí přesně odpovídat proměnným. To znamená, že koeficienty proměnné x lze zapsat pouze do jednoho sloupce, například první, koeficient neznámé y - pouze do druhého.
Při násobení matice se všechny prvky matice postupně násobí číslem.
Varianty hledání inverzní matice
Vzorec pro nalezení inverzní matice je poměrně jednoduchý: K -1 = 1 / | K |, kde K -1 je inverzní matice a | K | je determinant matice. | K | by neměla být nula, pak má systém řešení.
Determinant se snadno spočítá pro matici dva na dva, stačí vynásobit prvky na diagonále navzájem. Pro možnost "tři na tři" existuje vzorec | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Můžete použít vzorec, nebo si můžete pamatovat, že musíte vzít jeden prvek z každého řádku a každého sloupce, aby se počty sloupců a řádků prvků v produktu neopakovaly.
Řešení příkladů soustav lineárních rovnic maticovou metodou
Maticová metoda hledání řešení umožňuje snížit těžkopádné záznamy při řešení systémů s velkým počtem proměnných a rovnic.
V příkladu jsou a nm koeficienty rovnic, matice je vektor, x n jsou proměnné a b n jsou volné členy.
Gaussovo řešení soustav
Ve vyšší matematice se Gaussova metoda studuje společně s Cramerovou metodou a proces hledání řešení systémů se nazývá Gauss-Cramerova metoda. Tyto metody se používají k nalezení proměnných systémů s velkým počtem lineárních rovnic.
Gaussova metoda je velmi podobná řešení substituce a algebraického sčítání, ale je systematičtější. Ve školním kurzu se Gaussovo řešení používá pro soustavy 3 a 4 rovnic. Cílem metody je, aby systém vypadal jako obrácený lichoběžník. Hodnotu jedné proměnné v jedné z rovnic systému zjišťujeme algebraickými transformacemi a substitucemi. Druhá rovnice je výraz se 2 neznámými, ale 3 a 4 - respektive se 3 a 4 proměnnými.
Po uvedení systému do popsané podoby je další řešení redukováno na sekvenční dosazování známých proměnných do rovnic systému.
Ve školních učebnicích pro 7. ročník je příklad řešení Gaussovou metodou popsán takto:
Jak můžete vidět z příkladu, v kroku (3) byly získány dvě rovnice: 3x 3 -2x 4 = 11 a 3x 3 + 2x 4 = 7. Řešení kterékoli z rovnic vám umožní zjistit jednu z proměnných x n.
Věta 5, zmiňovaná v textu, říká, že pokud je jedna z rovnic soustavy nahrazena ekvivalentní, pak bude i výsledná soustava ekvivalentní té původní.
Gaussova metoda je pro středoškoláky obtížně pochopitelná, ale je jedním z nejzajímavějších způsobů, jak rozvíjet inteligenci dětí zapsaných do programu. hloubkové studium v hodinách matematiky a fyziky.
Pro usnadnění zaznamenávání výpočtů je obvyklé dělat následující:
Koeficienty rovnic a volné členy jsou zapsány ve formě matice, kde každý řádek matice souvisí s jednou z rovnic systému. odděluje levou stranu rovnice od pravé. Římské číslice označují počet rovnic v soustavě.
Nejprve si zapíší matici, se kterou budou pracovat, a poté všechny akce provedené s jedním z řádků. Výsledná matice je zapsána za šipkou a nezbytné algebraické akce pokračují, dokud není dosaženo výsledku.
V důsledku toho byste měli získat matici, ve které je jedna z úhlopříček 1 a všechny ostatní koeficienty se rovnají nule, to znamená, že matice je převedena do jediného tvaru. Nezapomeňte provést výpočty s čísly na obou stranách rovnice.
Tento způsob záznamu je méně těžkopádný a umožňuje nenechat se rozptylovat výčtem četných neznámých.
Bezplatná aplikace jakéhokoli řešení bude vyžadovat péči a určitou zkušenost. Ne všechny metody jsou aplikované povahy. Některé způsoby hledání řešení jsou výhodnější v konkrétní oblasti lidské činnosti, zatímco jiné existují pro vzdělávací účely.
Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci konkrétní osoby nebo k jejímu kontaktování.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když na stránce zanecháte požadavek, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a hlásit jedinečné nabídky, propagační akce a další události a nadcházející události.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a zpráv.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním příkazem, v soudním řízení a/nebo na základě žádostí veřejnosti nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace - sdělit své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo z jiných společensky důležitých důvodů.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat vhodné třetí straně – právnímu nástupci.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom se ujistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, přinášíme našim zaměstnancům pravidla mlčenlivosti a bezpečnosti a přísně sledujeme zavádění opatření na zachování důvěrnosti.