Neuvěřitelné množství profesora Stewarta. Moderní high-tech pythagoras 3
Pythagoras tři čísla
Kreativní práce
student 8. "A" třída
Maou "gymnasium №1"
Oktyabrský okres Saratov
Panfilova Vladimir.
Hlava - učitel matematiky nejvyšší kategorie
Grishin Irina Vladimirovna
Obsah
Úvod ................................................. ............................................... 3.
Teoretická část práce
Nalezení hlavního pythagorského trojúhelníku
(Vzorce starověkých hinduistů) ............................................ ............................ 4.
Praktická část práce
Vypracování pepagorových trins různými způsoby ........................ ........ 6
Důležité vlastnosti trojúhelníků Pythagora .......................................... .. . 8.
Závěr ................................................. ......................................... .... 9.
Literatura ... .............................................. ......................................... ... 10.
Úvod
V tomto školním roce jsme v hodinách matematiky studovali jeden z nejoblíbenějších geometrických věty - Pythagoreova teoréma. Pythagora teorém se používá v geometrii v každém kroku, to bylo široce používáno v praxi a každodenním životě. Ale kromě věty samotného jsme také studovali větu zpět do Pythagora teorém. V souvislosti se studiem této věty jsme měli známost s Pythagorovy threems čísel, tj. se sadami 3 přírodních čísela. , b. ac. Pro které je poměr pravdivý: = + . Tyto sady zahrnují například následující tři tři:
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37
Okamžitě mám nějaké otázky: Kolik pythagora trok může přijít? A jak je udělat?
V naší učebnici geometrie po prezentaci věty, reverzní věta, Pythagora, byla důležitá poznámka: můžete prokázat, že kartetyale ab. a hypotenusez Obdélníkové trojúhelníky, jejichž délky jsou vyjádřeny přirozenými čísly, lze nalézt podle vzorců:
ale \u003d 2kmn b \u003d k ( - ) C \u003d k ( + , (1)
kdek. , m. , n. - jakákoli přirozená čísla am. > n. .
Otázka se samozřejmě vyvstává - jak dokázat tyto vzorce? A je možné udělat trojika pythagoras na těchto vzorcích?
V mé práci jsem se pokusil odpovědět na mé otázky.
Teoretická část práce
Nalezení hlavního pythagorského trojúhelníku (vzorce starověkých hinduistů)
Nejprve dokazujeme vzorec (1):
Označují délku katetyh. aw. a délka hypotenůz. . Pythagore je teorém, máme rovnost:+ = .(2)
Tato rovnice se nazývá Pythagorská rovnice. Studium trojúhelníků Pythagory se sníží na řešení v přirozeném počtu rovnice (2).
Pokud každá strana pepagorovského trojúhelníku se zvyšuje do stejného počtu časů, pak získáme nový obdélníkový trojúhelník, podobný tomu s párty, vyjádřený přirozenými čísly, tj. Znovu pythagora trojúhelník.
Mezi všemi těmito trojúhelníky je nejmenší, je snadné hádat, že bude trojúhelník, jehož Asigesh. aw. vyjádřena vzájemně jednoduchá čísla
(Uzel (uzel (uzel)x, W. )=1).
Takový trojúhelník Pythagora pojďmezákladní .
Představujeme hlavní trojúhelníky Pythagora.
Nechte trojúhelník (x. , y. , z. ) - Hlavní trojúhelník Pythagora. Číslah. aw. - vzájemně jednoduché, a proto nemůže být ani ani. Dokážeme, že nemohou být oba lichý. K tomu jsme si všimliČtverec lichého čísla při dělení na 8 dává v zbytku 1. Ve skutečnosti může být veškeré zvláštní přirozené číslo reprezentováno jako2 k. -1 kdek. patříN. .
Odtud: = -4 k. +1 = 4 k. ( k. -1)+1.
Čísla( k. -1) ak. - konzistentní, jeden z nich je nutně dokonce. Pak výrazk. ( k. -1) děleno2 , 4 k. ( k. -1) děleno 8, a tedy číslo při dělení na 8 dává zbytek 1.
Součet čtverců dvou lichých čísel dává, když je rozdělena 8 v zbytku 2, proto součet čtverců dvou lichých čísel je číslo i, ale ne vícenásobný 4, a proto je to číslonemůže být čtverec přirozeného čísla.
Takže rovnost (2) nemůže mít prostor, pokudx. aw. Oba jsou liché.
Tedy, pokud pythagora trojúhelník (x, y, z. ) - Hlavní mezi číslyh. aw. Člověk musí být dokonce a druhý je zvláštní. Nechte číslo y dokonce. Číslah. az. lichý (oddivnostz. vyplývá z rovnosti (2)).
Z rovnice+ = Dostaneme to= ( z. + x. )( z. - x. ) (3).
Číslaz. + x. az. - x. Jako součet a rozdíl dvou lichých čísel - čísla jsou dokonce, a proto (4):
z. + x. = 2 a. , z. - x. = 2 b. kdeale ab. vlastnictvíN. .
z. + x. =2 a. , z. - x. = 2 b. ,
z. = a + B. , x. = a. - b. (5)
Z těchto rovnic vyplývá, žea. ab. - Vzájemně jednoduchá čísla.
Dokážeme to, dohadujeme se od opaku.
Nechat kývnout (a. , b. )= d. kded. >1 .
Pakd. z. ax. a proto číslaz. + x. az. - x. . Pak na základě rovnosti (3) Byl by to dělič čísla . V tomto případěd. by byl společný dělič číselw. ah. , ale číslaw. ah. Musí být vzájemně jednoduché.
Číslow. , jak víte, i tedyy \u003d 2s. kdez - přirozené číslo. Rovnost (3) na základě rovnosti (4) provádí následující formulář: \\ t \u003d 2A * 2 b. Or. \u003d Ab.
Z aritmetiky je to známopokud je produkt dvou vzájemně jednoduchých čísel čtverec přirozeného čísla, každá z těchto čísel je také čtvercem přirozeného čísla.
To znamenáa \u003d. ab. = kdem. an. - vzájemně jednoduchá čísla, protože Jsou to děliteli vzájemně jednoduchých číselale ab. .
Na základě rovnosti (5) máme:
z. = + , x. = - , = b. = * = ; C \u003d. mn.
Paky \u003d 2. mn. .
Číslam. an. protože Jsou vzájemně jednoduché, nemohou být zároveň. Ale lichý současně nemůže být, protože v tomto případěx \u003d - Bylo by to ani možné. Takže jeden z číselm. nebon. Dokonce i další je zvláštní. Očividněy \u003d 2. mn. Je rozdělena do 4. V důsledku toho, v každém hlavním trojúhelníku Pythagora je alespoň jeden z katalií děleno 4. Odtud z toho vyplývá, že neexistují žádné trojúhelníky Pythagory, všechny strany by byly jednoduché čísla.
Získané výsledky lze vyjádřit ve formě následujícího větu:
Všechny hlavní trojúhelníky, ve kterýchw. Je to dokonce číslo, získané od vzorce
x \u003d - , y. =2 mn. , z. = + ( m. > n. ), Kdem. an. - Všechny páry vzájemně jednoduchých čísel, z nichž jeden je dokonce, a další lichý (lhostejný, co). Každá hlavní pythorla trojka (x, y, z. ), kde.w. - Dokonce i - je tímto způsobem definován jedinečně.
Číslam. an. Může být jak ani ani zvláštní, protože V těchto případech
x \u003d by bylo ani nemožné. Tak jeden z číselm. nebon. i další je lichý (y. = 2 mn. děleno 4).
Praktická část práce
Sestavování pythagora triples různými způsoby
Ve vzorcích hinduistům. an. - Vzájemně jednoduché, ale může být počty libovolné parity a vypracovat trojka pythagoras je dost tvrdý. Proto se snažíme najít další přístup k přípravě Pythagora Trok.
= - = ( z. - y. )( z. + y. ), Kdeh. - zvláštní,y. - dokoncez. - zvláštní
pROTI. = z. - y. , u. = z. + y.
= uV. kdeu. - zvláštní,pROTI. - lichý (vzájemně jednoduchý)
Protože Práce dvou lichých vzájemně jednoduchých čísel je čtverec přirozeného čísla, paku. = , pROTI. = , Kdek. al. - Vzájemně jednoduché, lichá čísla.
z. - y. = z. + y. = k. 2 , odkud, skládání rovnosti a odečtení od jednoho druhého, dostaneme:
2 z. = + 2 y. = - tj
z \u003d. y \u003d. X \u003d Kl.
k.
l.
x.
y.
z.
37
9
1
9
40
41 (S.zerule.)*(100…0 (S.zerule.) +1)+1 =200…0 (S-1zerule.) 200…0 (S-1zerule.) 1
Důležité vlastnosti Pythagora trojúhelníků
Teorém
V hlavním trojúhelníku Pythagora je jeden z katalů nutně rozdělen do 4, jeden z katet je nutně rozdělen do 3 a oblast pythazhovského trojúhelníku je rozhodně více 6.
Důkaz
Jak víme, v každém trojúhelníku Pythagora, alespoň jeden z katalií je rozdělen 4.
Prokazujeme, že jeden z katet je rozdělen do 3.
Prokázat, předpokládat, že v trojúhelníku Pythagora (x. , y. , z. x. neboy. Stolly 3.
Nyní dokazujeme, že trojúhelník Pytagorova Square je rozdělen 6.
Každý trojúhelník Pythagora má oblast vyjádřenou přirozeným číslem, vícenásobný 6. To vyplývá z toho, že alespoň jeden z katalií je rozdělen do 3 a alespoň jeden z katalií je rozdělen 4. Oblast trojúhelníku určuje Shromáždění katety by měly být vyjádřeny číslem 6.
Závěr
V práci
- osvědčený vzorec starověkých průmyslových odvětví
- studie o počtu pythagora triples (jejich nekonečně mnoho)
- metody pro nalezení Pythagorovy trok
-Teracted některé vlastnosti trojúhelníků Pythagora
Pro mě to bylo velmi zajímavé téma a najít odpovědi na mé otázky se staly velmi zajímavým povoláním. V budoucnu plánuji zvážit spojení pythagorových troků s fibonacci sekvencí a farmy teorém a naučit se mnohem více vlastností trojúhelníků pythagory.
Literatura
L.S. Atanasyan "geometrie.7-9 třídy" m.: Enlightenment, 2012.
V. Serpinsky "Pythagora trojúhelníky" M.: StockDomGiz, 1959.
Saratov.
2014
Belotela v.A. Pythagora Troika a jejich počet // encyklopedie nester
Tento článek je reakcí na jeden profesor - plipchuch. Podívej, profesore, jak děláme v naší vesnici.
Nizhny Novgorod region, Zavolzhier.
Vyžadují se znalosti algoritmu pro řešení diofantantických rovnic (ARDU) a znalostí polynomiálních postupů.
Pokud je jednoduché číslo.
SCH je kompozitní číslo.
Nechť je číslo N. Pro jakékoli liché číslo, s výjimkou jednotky, můžete provést rovnici.
p 2 + n \u003d Q 2,
kde p + q \u003d n, q - p \u003d 1.
Například pro čísla 21 a 23 budou rovnice, -
10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .
Pokud je číslo n jednoduché, je tato rovnice jediná. Pokud číslo n je kompozitní, pak můžete vytvořit podobné rovnice v počtu dvojic faktorů, které představují toto číslo, včetně 1 x N.
Vezměte číslo n \u003d 45, -
1 x 45 \u003d 45, 3 x 15 \u003d 45, 5 x 9 \u003d 45.
Snil se, ale kdyby nebylo možné držet se k tomuto rozlišení mezi IF a SCH najít způsob jejich identifikace.
Zavedeme notaci;
Změnit nižší rovnici -
N \u003d v 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).
Injektáže hodnoty n na základě b - a, tj. Udělat stůl.
N čísla byla snížena na matrici -
Bylo to pod tímto úkolem, že jsem se musel vypořádat s pokroky polynomů a jejich matric. Všechno se ukázalo být marné, - Obrana je mocně udržována. Pojďme zavést sloupec v tabulce 1, kde B - A \u003d 1 (Q - P \u003d 1).
Ještě jednou. Tabulka 2 se podařilo v důsledku pokusu o vyřešení problému identifikace IF a SC. Ze stolu vyplývá, že pro jakékoli číslo n, existuje tolik rovnic druhu a 2 + n \u003d 2, protože mnoho párů faktorů může být rozděleno do čísla N, včetně faktoru 1 x n. Kromě toho čísla n \u003d ℓ 2, kde
ℓ - jestliže. Pro n \u003d ℓ 2, kde ℓ - střídač je jediná rovnice p 2 + n \u003d q 2. Jaký další důkaz můžeme mluvit o tom, zda existují menší násobitelé z dvojic faktorů, které tvoří n, od jednoho do ∞ v tabulce. Tabulka 2 má v hrudi a trup s upřímným v trenérech.
Vraťme se k tématu deklarovanému v názvu článku.
Tento článek je reakcí na jeden profesor - plipchuch.
Žádal o pomoc, "bylo požadováno množství čísel, které nebylo možné nalézt na internetu. Spuštěn na otázky jako, - "a za co?", "A zobrazit metodu." Zejména úkoly jsou otázkou, zda řada pythagora troků je nekonečná, "a jak dokázat?". Nepomohl mi. Podívej, profesore, jak děláme v naší vesnici.
Vezměte vzorec Pythagora Trok, -
x 2 \u003d v 2 + z 2. (jeden)
Přeskočme přes Ardu.
Tři situace jsou možné:
I. X - lichý,
y - One.
zóna.
A je zde stav x\u003e y\u003e z.
II. X - Odd.
y - One.
z - lichý.
x\u003e z\u003e y.
Iii.x - jasné číslo
y - lichý
z - lichý.
x\u003e y\u003e z.
Začněme v pořádku s I.
Zavedeme nové proměnné
Náhrada rovnice (1).
Zřetelnější na menší proměnnou 2γ.
(2a - 2γ + 2k + 1) 2 \u003d (2p - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2.
Snížení na menší proměnnou 2p - 2γ se současným zavedením nového parametru ƒ, -
(2α - 2p + 2ƒ + 2K + 1) 2 \u003d (2ƒ + 2K) 2 + (2K + 1) 2 (2) \\ t
Potom 2α - 2p \u003d X - Y - 1.
Rovnice (2) bude mít podobu -
(X - Y + 2K + 2K) 2 \u003d (2ƒ + 2K) 2 + (2K + 1) 2
Postavené na čtverce -
(X - Y) 2 + 2 (2ƒ + 2K) (X - Y) + (2ƒ + 2K) 2 \u003d (2ƒ + 2K) 2 + (2K + 1) 2,
(X - Y) 2 + 2 (2ƒ + 2K) (X - Y) - (2K + 1) 2 \u003d 0. (3)
ARDU dává poměr mezi staršími členy rovnice prostřednictvím parametrů, takže jsme získali rovnici (3).
Není solidicky zapojen do výběru řešení. Ale především není tam nikde jít, a ve druhé, tato řešení potřebují trochu, a můžeme obnovit nekonečné řešení.
Při ƒ \u003d 1, k \u003d 1 máme X - Y \u003d 1.
Při ƒ \u003d 12, K \u003d 16, máme X - Y \u003d 9.
Při ƒ \u003d 4, k \u003d 32 máme X - Y \u003d 25.
Můžete si vybrat po dlouhou dobu, ale nakonec bude mít číslo formulář -
x - Y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....
Zvážit možnost II.
Představujeme do rovnice (1) nové proměnné
(2a + 2k + 1) 2 \u003d (2p + 2K) 2 + (2γ + 2k + 1) 2.
Snižte menší proměnnou 2 β -
(2α - 2p + 2k + 1) 2 \u003d (2a - 2 p + 2k + 1) 2 + (2K) 2.
Snižte menší proměnnou 2α - 2 p, -
(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 \u003d (2ƒ + 2K + 1) 2 + (2K) 2. (čtyři)
2α - 2γ \u003d X - Z a náhrada rovnice (4).
(X - Z + 2ƒ + 2K + 1) 2 \u003d (2ƒ + 2K + 1) 2 + (2K) 2
(X - Z) 2 + 2 (2ƒ + 2K + 1) (X - Z) + (2ƒ + 2K + 1) 2 \u003d (2ƒ + 2K + 1) 2 + (2K) 2 (X - Z) 2 + 2 (2k + 2k + 1) (X - Z) - (2K) 2 \u003d 0
Při ƒ \u003d 3, k \u003d 4, máme X - Z \u003d 2.
Při ƒ \u003d 8, k \u003d 14, máme X - Z \u003d 8.
Při ƒ \u003d 3, k \u003d 24 máme X - Z \u003d 18.
x - Z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....
Nakreslit hraze, -
Píšeme vzorec.
kde n \u003d 1, 2, ... ∞.
Případ III nebude malovat, - tam nejsou žádná řešení.
Pro podmínky II bude sada triples takto:
Rovnice (1) je reprezentována ve formě X 2 \u003d Z 2 + v 2 pro jasnost.
Pro podmínky I, soubor triples bude takto:
Celkem 9 sloupců trojnek jsou malovány, pět trojkolek v každém. A každý z předložených sloupců lze zapsat na ∞.
Jako příklad zvažte nejlepší tři z posledního sloupce, kde X - Y \u003d 81.
Pro hodnoty kolapsu hraze, -
Píšeme vzorec -
Pro hodnoty z rozděleného trapeze, -
Píšeme vzorec -
Pro z-přiblížení s lichoběžníkem, -
Píšeme vzorec -
Kde n \u003d 1 ÷ ∞.
Jak slíbil, řada výletů na X - Y \u003d 81 letí v ∞.
Došlo k pokusu o případy I a II konstruovat matice pro X, Y, Z.
Vypijte z posledních pěti sloupců hodnoty X z nejvyšších linií a postavte trapézu.
To nefungovalo a vzor by měl být kvadratický. Tak, že všechno bylo v aplikaci Outlook, ukázalo se, že je nutné kombinovat sloupce I a II.
V případě II hodnot Y, Z opět změna míst.
Bylo možné kombinovat z jednoho důvodu, - karty šly v tomto úkolu dobře, mělo to štěstí.
Nyní můžete malovat matrice pro X, Y, Z.
Vezměte od posledních pěti sloupců hodnoty X z nejvyšších linek a vybudujte lichoběžník.
Všechno je v pořádku, můžete stavět matice a začít s matricí pro Z.
Běh do Chelyer za hrudníkem.
Celkem: Kromě jednotky je každý lichý počet numerických osy zapojeno do tvorby pythagora troků, aby se rovnalo v továrních párech generátorů tohoto čísla n, včetně faktoru 1 x N.
Číslo n \u003d ℓ 2, kde ℓ - střídač, tvoří jeden pythagorov trojka, pokud ℓ - sc, pak neexistuje trojnásobek faktorů.
Stavíme matrici pro hodnoty x, y.
Začněme pracovat s maticí pro x. Chcete-li to udělat, natahujeme do něj souřadnicová mřížka z úkolu identifikovat PC a SC.
Číslování vertikálních řádků je normalizováno výrazem
První sloupec odstraní, protože
Matrix bude zaujmout -
Popisujeme vertikální řádky, -
Popisujeme koeficienty na "A", -
Popisujeme volné členy -
Vytvořit obecný vzorec pro "x", -
Pokud máte takovou práci pro "y", dostaneme, -
Můžete se k tomuto výsledku přistupovat a na druhé straně.
Vezměte rovnici -
a 2 + n \u003d ve 2.
Mírně konvertibilní -
N \u003d v 2 - a 2.
Postavené na čtverce -
N 2 \u003d v 4 - 2V 2 A 2 + A 4.
Vlevo a vpravo od rovnice přidejte 4V 2 a 2, -
N2 + 4b 2 A 2 \u003d v 4 + 2V 2 A 2 + A 4.
A nakonec, -
(v 2 + a 2) 2 \u003d (2V) 2 + n 2.
Troika Pythagoras jsou vypracovány takto:
Zvažte příklad s číslem n \u003d 117.
1 x 117 \u003d 117, 3 x 39 \u003d 117, 9 x 13 \u003d 117.
Svislé sloupy tabulky 2 jsou číslovány hodnotami B - A, zatímco svislé sloupy tabulky 3 jsou číslovány X - Y.
x - Y \u003d (C - A) 2,
x \u003d Y + (C - A) 2.
Udělejme tři rovnice.
(v + 1 2) 2 \u003d v 2 + 117 2,
(Y + 3 2) 2 \u003d v 2 + 117 2,
(Y + 9 2) 2 \u003d v 2 + 117 2.
x 1 \u003d 6845, v 1 \u003d 6844, Z 1 \u003d 117.
x 2 \u003d 765, v 2 \u003d 756, Z 2 \u003d 117 (x 2 \u003d 85, v 2 \u003d 84, Z 2 \u003d 13).
x3 \u003d 125, v 3 \u003d 44, Z 3 \u003d 117.
Popybovači 3 a 39 nejsou vzájemně jednoduchá čísla, takže jeden triper se ukázal být koeficientem 9.
Budu zobrazen výše napsaný v obecných symbolech -
V této práci vše, včetně příkladu o výpočtu pythagora trojnásobek s číslem
N \u003d 117, vázaný na menší továrnu v - a. Explicitní diskriminace s ohledem na továrnu B + A. Opravíme tuto nespravedlnost, být tři rovnice s faktorem v + a.
Vraťme se k problematice identifikace PC a SC.
Hodně toho, co bylo provedeno v tomto směru a dnes se následující myšlenka dosáhla svých rukou, - identifikačních rovnic, a proto tak, aby faktory určily neexistují.
Předpokládejme, že se nachází poměr f \u003d a, b (n).
Tam je vzorec
Můžete se zbavit vzorce F z B a homogenní rovnici N - v podstatě vzhledem k A, tj. F \u003d a (n).
Pro jakýkoliv stupeň n této rovnice je číslo n m, které mají paging páry, v m\u003e n.
A v důsledku toho by měla mít homogenní N-stupeň rovnice M kořeny.
Ano, to nemůže.
V této práci byl počet n považován za rovnici X 2 \u003d v 2 + Z 2, když jsou v rovnici v místě z. Když n na místě je to další úkol.
S úctou, Belotela v.A.
Blossomy i.m. jeden
1 oao "angstrome"
Cílem práce je vyvinout metody a algoritmy pro výpočet pythagora troků formy A2 + B2 \u003d C2. Proces analýzy byl proveden v souladu se zásadami systematického přístupu. Spolu s matematickými modely se používají grafické modely, které odráží každý člen Pythagorenoy tři ve formě kompozitních čtverců, z nichž každý se skládá ze sady jednoduchých čtverců. Bylo zjištěno, že nekonečná sada Pythagora Trok obsahuje nekonečný počet podmnožin, které se liší ve znamení hodnoty rozdílu B-C. Navrhuje se algoritmus pro tvorbu pythagorových troků s jakýmkoliv vstřikováním specifikované hodnoty tohoto rozdílu. Je ukázáno, že Pythagoras Troika existuje pro libovolnou hodnotu 3 \u003ca
Pythagora trojka
systémová analýza
matematický model
grafický model
1. anosov d.n. Podívejte se na matematiku a něco z toho. - M.: MCNMO, 2003. - 24 P.: IL.: IL.
2. Ayereland K., RoseGen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel. - M.: Mir, 1987.
3. Bloomless I.m. Systémová analýza a informační technologie v organizacích: tutoriál. - M.: Rudn, 2012. - 392 p.
4. Simon Singh. Velká farma farmy.
5. Farm P. Studie o teorii čísel a diophanty analýzy. - M.: Věda, 1992.
6. YAPTRO. UCOZ, k dispozici na adrese: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.
Pythagora Troika je kohorta tří celých čísel splňujících poměr Pytagora X2 + Y2 \u003d Z2. Obecně řečeno, toto je zvláštní případ diofantantických rovnic, konkrétně systém rovnic, ve kterém počet neznámých více než počet rovnic. Dlouho jsou známy, protože doba Babylonu, to je dlouho před Pythagora. A oni získali jméno poté, co Pythagoras založili na nich, prokázali jeho slavnou teorém. Nicméně z analýzy mnoha zdrojů, ve kterých otázka Pythagorovy trojka je do určité míry ovlivňující problematiku stávajících tříd těchto triples a možné způsoby formování jsou plně zveřejněny.
Takže v knize Simona Singha říká: - "Žáci a následovníci Pythagora ... Řekli jsme světu tajemství zjištění tzv. Pythagorovy tři K.". Nicméně, v příštího jsem si přečetl: - "Pythagoreans snil o nalezení dalších pythagorských trojků, dalších čtverců, ze kterého by se mohl složit třetí čtverec velkých velikostí. ... Jak nárůst čísel, trojka pythagoras je stále méně často a najít je těžší a těžší. Pythagoreans vynalezli metodu zjištění takových triples a používat je, dokázal, že existují nekonečně mnoho pythagorových troků. "
V dané nabídce jsou zvýrazněna slova způsobující zmatenost. Proč "Pythagoreans snil o nalezení ...", pokud "vynalezli metodu hledání takových triples ...", a proč pro velké množství "najdete je těžší a těžší ..."
V práci slavné matematiky D.V. Zdá se, že anosov požadovaná odpověď. - "Existují taková témata přirozené (tj. Celé pozitivní) čísla X, Y, Z, to
x2 + Y2 \u003d Z2. (jeden)
... Je možné najít všechna řešení rovnice X2 + Y2 \u003d Z2 v přírodních číslech? …Ano. Odpověď zní: Každý takový roztok může být reprezentován jako
x \u003d L (M2-N2), Y \u003d 2LMN, Z \u003d L (M2 + N2), (2),
kde l, m, n je přirozená čísla, s m\u003e n, nebo v podobné formě, ve kterém x a y se mění v místech. Můžete mírně krátkou, že x, y, z z (2) se všemi druhy přírodního l a m\u003e n jsou podstatou všech možných roztoků (1) s přesností přestavby x a y. Například trojka (3, 4, 5) se získá při l \u003d 1, m \u003d 2, n \u003d 1. ... zřejmě, Babylonians věděli tuto odpověď, ale jak přišli k němu - neznámý. "
Obvykle jsou matematici známí svým náročným k přísnosti jejich znění. Ale v této nabídce není pozorována taková přísnost. Tak přesně: najít nebo přítomen? Je zřejmé, že jsou to zcela jiné věci. Toto je zvedání "čerstvě upečených" výletů (získaných způsobem popsaným způsobem):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
Není pochyb o tom, že každý z těchto triples může být reprezentován jako vztah (2) a vypočítat po této hodnotě L, M, N. Ale to je již po nalezení všech výletů. A jak být dříve?
Není možné vyloučit skutečnost, že odpovědi na tyto otázky jsou již známy. Ale z nějakého důvodu je není možné najít. Účelem této práce je tedy systémová analýza souboru známých příkladů Pythagora Trok, hledání vztahů s tvořícím systémem v různých skupinách trojnásobných tříd a identifikaci systémových značek charakteristických pro tyto skupiny a pak se rozvíjí jednoduché účinné algoritmy pro výpočet triples s předdefinovanou konfigurací. Pod konfigurací pochopíme vztah mezi veličinami, které jsou součástí trojitého.
Jako toolkit bude matematický přístroj používán na úrovni, která nenechává rozsah matematiky, vyučuje na střední škole a systémová analýza založená na metodách stanovených v.
Stavební model
Z hlediska systémové analýzy je každá pytagorova trojka systém tvořený objekty, které jsou tři čísla a jejich vlastnosti. Jejich sada, ve kterých jsou objekty dodávány do určitých vztahů a tvoří systém, který má nové vlastnosti, které nejsou inherentní v jednotlivých objektech nebo jakémkoli jiném spalování, kde jsou objekty vloženy do jiných vztahů.
V rovnici (1) jsou předměty systému přirozená čísla spojená s jednoduchými algebraickými poměry: nalevo od známky rovnosti stojí za to součet dvou čísel postavených do stupně 2, na pravé straně - třetí číslo, Rovněž postodil 2. odděleně přijatá čísla vlevo od rovnosti, které jsou postaveny do stupně 2, neuvádí žádná omezení na provozu jejich součtu - výsledná částka může být jakákoliv. Znaménko rovnosti, dodaného po operaci součtu, ukládá omezení systému na hodnotu této částky: částka by měla být taková číslo tak, aby výsledkem činnosti extrakce odmocnin byla přirozeným číslem. A tato podmínka se provádí ne pro všechna čísla substituovaná do levé části rovnosti. Tak znamení rovnosti, doručené mezi oběma členy rovnice a třetí, otočí tři členy. Nový majetek tohoto systému je zavést omezení hodnot počátečních čísel.
Na základě formuláře záznamu může být pytagorova trojka považována za matematický model geometrického systému, který se skládá ze tří čtverců, které se týkají vztahu součtu a rovnosti, jak je znázorněno na Obr. 1. Obr. 1 je grafický model zvažovaného systému a jeho verbální model je prohlášení:
Čtvercová plocha s délkou C může být rozdělena bez zbytku o dva čtverce s délkami stran A a B, takže součet jejich oblastí je rovna plochy zdrojového čtverce, tj. Všechny tři Hodnoty A, B a C jsou spojeny s vztahem
Grafický model Rozklad náměstí
Jako součást kanónů systémové analýzy je známo, že pokud matematický model adekvátně zobrazí vlastnosti určitého geometrického systému, pak analýza vlastností tohoto systému umožňuje objasnit vlastnosti svého matematického modelu, to je Hlubší znát je, objasnit, a v případě potřeby se zlepšit. Budeme dodržovat tímto způsobem.
Vyjasneme, že podle principů systémové analýzy mohou být přidávání a odečtení operací prováděny pouze přes kompozitní objekty, tj. Objekty složené ze sady elementárních objektů. Proto budeme vnímat libovolné čtvercové jako postava složená z totality elementárních nebo jednoduchých čtverců. Potom je podmínka pro získání roztoku v přírodních číslech ekvivalentní stavu, který je jediné čtverec nedělitelné.
Jedno čtverec se nazývá čtverec, ve kterém je délka každé strany rovna. To znamená, že s jednou čtvercovou oblastí definuje následující výraz.
Kvantitativní parametr čtverce je jeho oblast, určená počtem jednotlivých čtverců, které mohou být umístěny na této oblasti. Pro čtverec s libovolnou hodnotou X, exprese X2 určuje velikost čtverce čtverce, vytvořeného segmenty v délce v jednotkových segmentech. X2 Jednorázové čtverce mohou být umístěny na náměstí tohoto náměstí.
Tyto definice mohou být vnímány jako triviální a zřejmé, ale to není. D.n. ANOSOV určuje koncept oblasti odlišně: - "... Oblast obrázku se rovná součtu oblasti jeho částí. Proč jsme si jisti, že to je? ... Představujeme si postava vyrobená z nějakého homogenního materiálu, pak jeho oblast je úměrná množství látek obsažených v něm - jeho hmotnost. Následující je to znamená, že když tělo rozdělíme do několika částí, součet jejich hmot se rovná hmotnosti zdrojového těla. To je pochopitelné, protože vše se skládá z atomů a molekul, protože jejich počet se nezměnilo, pak se jejich celková hmotnost nezměnila ... Koneckonců, hmotnost kusu homogenního materiálu je úměrná svému objemu; Takže je nutné vědět, že objem "listu" má formu tohoto obrázku je úměrný své oblasti. Ve slově, ... že číslo obrázku se rovná součtu čtverce jeho částí, v geometrii, je nutné jej dokázat. ... v učebnici Kiselev, existence oblasti, která má stejný majetek, který jsme v současné době diskutovali, je upřímně postulován jako jaksi druh předpokladu, a to bylo řečeno, že je to vlastně pravda, ale my to neprokážeme. Takže Pythagoreo teorém, pokud je prokázán s čtverečky, zůstává zcela v jazyce v čistě logicky. "
Zdá se nám, že výše uvedená definice jednoho čtverce odstraňuje specifikovaný d.n. Nejistota Anosovo. Koneckonců, jestliže velikost čtverce čtverce a obdélník je určena součtem plnění jejich jediných čtverců, pak při rozdělení obdélníku na libovolné, přilehlé k sobě navzájem částí oblasti obdélníku přirozeně rovnou součtu všech jeho částí.
Zavedené definice navíc odstraňují nejistotu použití pojmů "rozdělených" a "složek" ve vztahu k abstraktním geometrickým kusům. Opravdu, co to znamená rozdělit obdélník nebo jakoukoliv jinou plochu na straně? Pokud se jedná o list papíru, pak jej lze snížit nůžky. Pokud je pozemek dát plot. Místnost je umístit oddíl. A pokud je nakreslený čtverec? Proveďte dělicí linku a deklarujte, že náměstí je rozděleno? Ale protože jsem řekl D.I. MENDELEEV: "... Můžete říct všechno, a vy - vypadám, demonstrovat!"
A při použití navrhovaných definic, "rozdělit obrázek" znamená rozdělit počet jediných čtverců vyplnit toto číslo pro dva (nebo více) dílů. Počet jednoduchých čtverců v každé z těchto částí určuje jeho oblast. Konfigurace těchto částí může být podávána libovolná, ale zároveň bude součet jejich oblastí vždy rovnající se oblasti zdrojové hodnoty. Možná, že odborníci matematiky budou tyto argumenty nesprávné, pak je vezmeme na předpoklad. Pokud jsou tyto předpoklady přijatelné v učebnici Kiselev, pak nebudeme používat podobnou recepci.
První etapa systémové analýzy je identifikovat problému situace. Na začátku této fáze bylo vidět několik set pythagora triples nalezených v různých zdrojích. Zároveň přitahovala pozornost skutečnost, že celá sada pythagora troků uvedených v publikacích lze rozdělit do několika skupin, které se liší v konfiguraci. Znaménko specifické konfigurace bude považováno za rozdílu délek stran původních a oddílujících čtverců, tj. Hodnota C-B. Například v publikacích, třikrát jsou ukázány jako příklad, uspokojující stav C-B \u003d 1. Předpokládáme, že celá kombinace takových pythagora triples tvoří hodně být nazýván "třídou C-1", a analyzovat vlastnosti této třídy.
Zvažte tři čtverce prezentované na obrázku, kde C je délka strany sníženého čtverce, B je délka stran čtverce a A - délka části části vytvořené ze svého rozdílu. Na Obr. 1 Je vidět, že při odečtení z oblasti sníženého čtverce čtverce oddílujícího čtverce v zbytku zůstává dva proužky jednoduchých čtverců:
Aby byl zbytek schopen vytvořit čtverec, je nutné splnit podmínku
Tyto vztahy vám umožní určit hodnoty všech členů trojice jedním zadaným číslem C. Nejmenší číslo C, které splňuje vztah (6), je číslo C \u003d 5. Takže byly definovány délky všech tří stran čtverců splňujících vztah (1). Připomeňme, že hodnota střední části čtverce
bylo vybráno, když jsme se rozhodli vytvořit průměrný čtverec snížením strany počátečního čtverce na jednotku. Pak od vztahů (5), (6). (7) Získáme následující poměr:
z kterého vyplývá, že zvolená hodnota C \u003d 5 jednoznačně nastaví hodnoty B \u003d 4, A \u003d 3.
V důsledku toho byly získány vztahy k reprezentaci jakékoli Pythagorov tři třídy "C - 1" v tomto formuláři, kde hodnoty všech tří členů jsou určeny jedním zadaným parametrem - hodnota C:
Dodáváme, že číslo 5 ve výše uvedeném příkladu se zdá být minimálně všech možných hodnot C, ve kterých má rovnici (6) řešení v přirozených číslech. Následující číslo se stejnou vlastností je 13, pak 25, pak 41, 61, 85 atd. Jak je lze vidět, v tomto počtu čísel se intervaly mezi sousedními čísly intenzivně zvyšují. Takže například po přípustné hodnotě, následující přípustnou hodnotu a po následující přípustné hodnotě, tj. Přípustná hodnota je od předchozího na více než padesát milionů!
Nyní je jasné, kde se tato fráze objevila v knize: - "Jak se čísla zvýší, trojka pythagoras je stále méně často a zjištění je těžší a těžší ...". Toto prohlášení však není pravdivé. Stojí za to jen podívat se pouze na publikaři vrcholu, což odpovídá výše uvedeným dvojicím sousedních hodnot C, protože jedna funkce je okamžitě stávkující - v obou dvojicích, ve kterých jsou hodnoty C odděleny pro takové velké intervaly, hodnoty A jsou sousední lichá čísla. Opravdu, pro první pár máme
a pro druhý pár
Takže "vše je méně časté," ne vojáky samotné a intervaly mezi přilehlými hodnotami C se zvyšují. Troika Pythagoras, jak bude uvedeno níže, existují pro jakékoli přirozené číslo.
Nyní zvažte tři tři - třídy C-2 ". Jak je vidět z Obr. 1, když odečte od čtverce se stranou s čtvercem se stranou (C - 2), zbytek se vytvoří ve formě součtu dvou jednotkových pásem. Hodnota této částky je určena rovnicí:
Z rovnice (10) získáváme vztah, který určuje některý z nekonečného souboru třídy Trok "C-2":
Podmínkou existence řešení rovnice (11) v přirozených číslech je jakákoliv taková hodnota C, ve které A je přirozeným číslem. Minimální hodnota C, ve které je řešení existuje, je C \u003d 5. Potom se "start" trojnásobný pro tuto třídu triples stanoví sadou A \u003d 4, B \u003d 3, C \u003d 5. To je opět klasický Tři jsou tvořeny 3, 4, 5, teprve nyní oblast odečteného čtverce je menší než oblast reziduí.
Konečně analyzuje trojitou třídu C-8. Pro tuto třídu triples, při odečtení náměstí náměstí z S2 čtverce původního náměstí, získáme:
Následuje z rovnice (12):
Minimální hodnota C, ve které je řešení existuje: tento C \u003d 13. Pytagorova trojka. Současně bude hodnota mít formu 12, 5, 13. V tomto případě je opět oblast oddivitelného čtverce menší než oblast reziduí. A zastavení označení podle míst získáme tři 5, 12, 13, což v jeho konfiguraci se týká třídy "C - 1". Zdá se, že další analýza dalších možných konfigurací nefunguje zásadně.
Odvození vztahů vypořádání
V předchozí části se logika analýzy vyvinula v souladu s požadavky systémové analýzy ve čtyřech z pěti hlavních fází: analýza problému situace, tvorba cílů, tváření funkcí a tvorby struktury. Nyní je čas přestěhovat se do finále, páté fáze - kontrola realizovatelnosti, to znamená ověření rozsahu, do kterého se cíle dosahují. .
Níže je tabulka. 1, ve kterých hodnot Pythagora troků patří do třídy C - 1. Většina triples se nachází v různých publikacích, ale vojáky pro hodnoty A, rovné 999, 1001 v dobře známých publikacích se nesetkaly.
stůl 1
Třída pytagory Troika "C-1"
Lze jej ověřit, že všechny tři splňují vztah (3). Takže jeden z cílů je dosaženo. Vztahy získané v předchozí části vztahu (9), (11), (11) vám umožní vytvořit nekonečnou sadu triples, stanovení jediného parametru C - strana zmenšeného čtverce. To je samozřejmě konstruktivnější možností než poměr (2), pro použití, které tři čísla l, m, n, majícího jakýkoliv význam, pak hledat řešení, s vědomím jen to, že na konci bude Jistě se získá Pytagorova trojka a jaký druh předem není známo. V našem případě je předem známa konfigurace trojitého tvarovatelného a musí být zadán pouze jeden parametr. Ale, bohužel, ne pro každou hodnotu tohoto parametru, řešení existuje. A je nutné znát své platné hodnoty předem. Takže přijatý výsledek je dobrý, ale daleko od ideálu. Doporučuje se získat takové řešení tak, aby Pythagora Troika lze vypočítat pro libovolně specifikované přirozené číslo. Za tímto účelem se vrátíme do čtvrté etapy - tvorba struktury výsledných matematických vztahů.
Vzhledem k tomu, že volba hodnoty C jako základní parametr určení ostatních členů trojice se ukázaly být nepříjemné, další volba by měla být spuštěna. Jak je vidět ze stolu. 1, volba parametru A jako základní se objeví, protože hodnoty tohoto parametru jsou v řadě v řadě zvláštních přírodních čísel. Po jednoduchých transformací dáváme vztah (9) na konstruktivnější formu:
Vztahy (14) vám umožní najít top-jako Topagorov pro všechny inhibice specifikované liché hodnoty A. S touto jednoduchostí výrazu pro B umožňuje spočítat i bez kalkulačky. Volba, například číslo 13, dostaneme:
A pro číslo 99, respektive:
Vztahy (15) vám umožní získat hodnoty všech tří členů pythagorelovoy pro jakékoliv uvedené n, počínaje n \u003d 1.
Zvažte třídu Pythagora Troika "C - 2". V záložce. 2 jsou uvedeny například deset takových výletů. Kromě toho byly nalezeny pouze tři páry triples v dobře známých publikacích - 8, 15, 23; 12, 35, 36; a 16, 63, 65. To se ukázalo být dost pro stanovení vzorů, pro které jsou vytvořeny. Zbývající sedm bylo zjištěno z dříve odvozených poměrů (11). Pro pohodlí byl výpočet těchto vztahů převeden tak, aby všechny parametry vyjádřené v hodnotě A. Od (11) se zřejmostí vyplývá, že všechny tři pro třídu C - 2 splňují následující vztahy:
Tabulka 2.
Třída pythagora trojka "c-2"
Jak je vidět ze stolu. 2, všechny nekonečné sady třídy "C - 2" lze rozdělit na dvě podtřída. Pro trojité, ve kterých je hodnota A rozdělena do 4 bez zbytku, hodnoty B a C jsou liché. Takové tři, ve kterých se uzel \u003d 1 nazývá primitivní. Pro trojité, ve kterých se hodnoty A není rozdělena do 4 v celých číslech, všechny tři členy trojitého A, B, C - i.
Pojďme se obrátit na zvážení výsledků analýzy třetiny vybraných tříd - třída "C - 8". Poměry výpočtu pro tuto třídu, získané z (13), mají formulář:
Vztahy (20), (21) jsou v podstatě identické. Rozdíl je pouze při výběru posloupnosti akcí. Buď v souladu s (20) je zvolena požadovaná hodnota A (v tomto případě je tato hodnota rozdělena 4), pak jsou stanoveny hodnoty B a C. Buď je vybrán libovolný počet, a pak od vztahů (21) jsou určeny všechny tři členy pythygore pøe. V záložce. 3 znázorňuje řadu pythagora triples vypočtené zadanou metodou. Je však dokonce jednodušší vypočítat hodnoty Pythagora Trok. Pokud je známa alespoň jedna hodnota, pak jsou všechny následující hodnoty určeny velmi jednoduše následujícími poměry:
Tabulka 3.
Vztah spravedlnosti (22) pro každého může být zkontrolován podle tří nejlepších. 2 a další zdroje. Jako příklad v tabulce. 4 kurzívou, tři z rozsáhlého stolu pythagora troks (10000 triples), vypočtené na základě počítačového programu v poměru (2) a tučně - tři, vypočtené vztahem (20). Tyto hodnoty v zadané tabulce byly nepřítomné.
Tabulka 4.
Třída pythagora trojka "c-8"
Proto mohou být poměry použity pro triples druhu:
A pro trojitý typ<
Je třeba zdůraznit, že třídy Trok "C - 1", "C - 2", "C - 8", což je více než 90% mezi prvními tisíci triply, od níže uvedené tabulky. To dává důvody vnímat specifikované třídy jako základní. Přidáváme, že když odvozené vztahy (22), (23), (23), (24), žádné speciální vlastnosti čísel studovaných v teorii čísel nebyla použita v teorii čísel (jednoduché, vzájemně jednoduché atd.). Identifikované vzory tvorby pythagory triples jsou způsobeny pouze vlastnostem systému popsaných těmito třemi geometrickými obrazy - čtverce sestávající ze sady jednotlivých čtverců.
Závěr
Jako Andrew Wales řekl v roce 1993: "Myslím, že bych se měl zastavit." Cíl je plně dosažen. Je ukázáno, že analýza vlastností matematických modelů, jejichž struktura je spojena s geometrickými tvary, je významně zjednodušena, pokud v procesu analýzy spolu s čistě matematickými výpočty jsou zohledněny geometrické vlastnosti studovaných modelů . Zjednodušení je dosaženo zejména v důsledku skutečnosti, že výzkumník "vidí" požadované výsledky bez provádění matematických transformací.
Například rovnost
je zřejmé, že bez transformací vlevo od ní stojí za to, aby se podíval na Obr. 1, kde je uveden grafický model této rovnosti.
Výsledkem je, že na základě provedené analýzy bylo prokázáno, že pro jakýkoliv čtverec boku lze nalézt čtverce se stranami B a C, takže se provádí rovnost a poměry se získá, aby zajistily výsledky výsledků Minimální objem výpočtů:
pro liché hodnoty A,
a - pro hodnoty zásluhy.
Bibliografický odkaz
Blossomy i.m. Systémová analýza vlastností pythagorových trok // moderních high-tech technologií. - 2013. - № 11. - P. 135-142;URL: http: // Site / ru / článek / pohled? ID \u003d 33537 (datum manipulace: 03/20/2020). Přinášíme vaši pozornost časopisy publikování v nakladatelství "Akademie přírodních věd"
Studie vlastností přirozených čísel vedla pythagoreans na další "věčný" problém teoretické aritmetiky (teorie čísel) - problém, jejichž výhonky, které dělaly cestu do Pythagora ve starověkém Egyptě a starověkého Babylonu, a obecné řešení nebylo našel a pochopil. Začněme se úkolem, že v moderních termínech může být formulován takto: řešit v přirozených číslech neurčitou rovnici
Dnes je tento úkol označován Úloha Pythagoraa jeho řešení - tři přírodní čísla uspokojující rovnici (1.2.1) se nazývají pythagora trojka. Na základě zjevné vazby teorém Pythagore s úkolem Pythagora může být posledněno podat geometrické znění: najít všechny obdélníkové trojúhelníky s celými celními orgány x., y. a celé číslo hypotenů z..
Soukromá řešení úkolu Pythagora byla známa ve starověku. V Papyrusu, časy faraonského amberho i (cca 2000 př.nl), uložené v egyptském muzeu v Berlíně, najdeme obdélníkový trojúhelník s postojem stran (). Podle největšího německého historika matematiky M. Kantora (1829 - 1920) došlo ke zvláštní profesi ve starověkém Egyptě harphedonaptov. - "lanové tenzory", které během slavnostního obřadu pokládání chrámů a pyramidů položených přímých úhlů pomocí lana s 12 (\u003d 3 + 4 + 5) ekvivalentní uzly. Způsob stavby přímého úhlu harphedonapů je zřejmý z obrázku 36.
Je třeba říci, že jiný znalec starověké matematiky kategoricky nesouhlasí s Cantor - van der Warden, i když se poměry samotných starověkých egyptských architektury svědčí ve prospěch Cantora. Buďte to, jak to může, dnes se nazývá obdélníkový trojúhelník s postojem stran egyptský.
Jak bylo uvedeno na. 76, hliněná deska je zachována, vztahující se k starověkému éře non-televize a obsahující 15 řádků pythagora triples. Kromě triviálních tří, získaných z egyptského (3, 4, 5) násobení o 15 (45, 60, 75), existují také velmi složité pythagoras tři, jako například (3367, 3456, 4825) a dokonce (12709, 13,500, 18541)! Není pochyb o tom, že tato čísla nebyla nalezena jednoduchá prosperita, ale na některých jednotných pravidlech.
Nicméně otázka celkového řešení rovnice (1.2.1) v přirozených číslech byla také zvýšena Pythagoreans. Celková formulace jakéhokoliv matematického úkolu byla cizinec jak starověkých Egypťanů a starověkých Babylonanů. Pouze z Pythagora začíná tvorbu matematiky jako deduktivní vědy a jeden z prvních kroků na této cestě bylo řešením úkolu Pythagora Troika. První řešení rovnice (1.2.1) Antique tradice sdružuje se jmény Pythagora a Plato. Pokusme se rekonstruovat tato řešení.
Je jasné, že rovnice (1.2.1) Pythagoras nemyslely v analytické formě, ale ve formě čtvercového čísla, uvnitř kterého bylo nutné najít čtvercová čísla a. Samozřejmě bylo představit si představit ve formě čtverce y. jedna strana z. Source Square, tj .. Pak je snadné vidět z obr. 37 (jen vidět!), Rovnost by měla být provedena pro zbývající čtvercové číslo. Dorazíme tedy do systému lineárních rovnic
Skládání a utlumené tyto rovnice nalezneme řešení rovnice (1.2.1):
Je snadné se ujistit, že získaný roztok poskytuje přirozená čísla pouze s lichým. Konečně jsme tedy mít
Oba. Toto rozhodnutí tradice odkazuje se jménem Pythagora.
Všimněte si, že systém (1.2.2) lze získat a formálně z rovnice (1.2.1). Vskutku,
od, věřící, příchodu (1.2.2).
Je zřejmé, že roztok Pythagora bylo nalezeno s poměrně tvrdým omezením () a obsahuje daleko od všech pythagorovských troika. Dalším krokem může být uveden, protože pouze v tomto případě bude čtvercové číslo. Systém se tak stane také pythagorenoy troika. Nyní lze prokázat hlavní
Teorém. Pokud p. a q. Vzájemně jednoduché počty různých parity, pak všechny primitivní pythagora troika jsou na vzorcích
Důležitým příkladem diofantické rovnice dává Pythagora teorém, která váže délku X a Y katals obdélníkového trojúhelníku s délkou Z své hypotenusy:
Samozřejmě jste se setkali s jedním z nádherných řešení této rovnice v přírodních číslech, jmenovitě Pythagorov Troika Čísla x \u003d 3, Y \u003d 4, Z \u003d 5. Jsou nějaké tři nejlepší tři?
Ukazuje se, že bude Pythagorovy trenérové \u200b\u200bnekonečně hodně a všechny z nich už dávno našel. Mohou být získány slavnými vzorce, které se naučíte z tohoto odstavce.
Pokud již byly vyřešeny diofanty rovnice prvního a druhého stupně, otázka řešení rovnic vyšších stupňů stále zůstává otevřená, navzdory úsilí největších matematiků. V současné době, například ještě není prokázáno a nevyvráceno slavnou farmovou hypotézou, která v jakékoli celé hodnotě n2. rovnice
v integrálních číslech nemá žádná řešení.
Vyřešit některé typy diofantantických rovnic, tzv. Bude hrát užitečnou roli. komplexní čísla. Co to je? Nechte dopis, který je označen určitým předmětem uspokojivým podmínkou i 2 \u003d -1 (Je zřejmé, že tento stav nesplňuje žádné skutečné číslo). Zvažte výrazy pohledu α + iβ, kde α a β jsou platná čísla. Takové výrazy se nazývají komplexní čísla stanovením provozu přidávacích a násobení operací, jako přes odraz, ale s jediným rozdílem, který výraz i 2. Všude jsme nahradíme.
7.1. Od jednoho trojnásobku hodně
Prokázat, že pokud. x 0, y 0, z 0 - Pytagorova trojka, trojka y 0, X 0, Z 0 a x 0 k, y 0 k, z 0 k S libovolnou hodnotou přirozeného parametru K, jsou také Pythagorov.
7.2. Soukromé vzorce
Zkontrolujte, zda s přirozenými hodnotami m\u003e n. Troika View.
je to Pythagorova. Li Pythagorov Troika x, Y, Z Lze reprezentovat v tomto formuláři, pokud vám umožní změnit překlad číslo X a Y v nejlepším třech?
7.3. Non-interpretovatelná trojka
Pythagorov Troika čísla, která nemají společný dělič, více než 1, se nazývá nestabilní. Prokázat, že Pytagorova Troika je netlačitelná pouze v případě, že jakékoli dva nejlepší tři jsou se vzájemně jednoduché.
7.4. Nemovitost ne-interpretovatelné trojice
Prokázat, že v jakékoliv netlačitelné pythahorové trojice x, y, z číslo z a přesně jeden z čísel x nebo y jsou liché.
7.5. Všechna netlačitelná trojka
Prokázat, že horní část X, Y, Z je nestabilní pythagorova trojka, pokud a pouze tehdy, když je to přesné pořadí prvních dvou čísel, se shoduje s nejlepšími třemi 2MN, M 2 - N2, M 2 + N 2, Kde m\u003e n. - Vzájemně jednoduché přirozené množství různých parity.
7.6. Obecné vzorce
Prokázat, že všechna řešení rovnice
v přirozených číslech, nastavte na pořadí neznámých vzorců X a Y
kde m\u003e n a k jsou přirozené parametry (k odstranění duplikace jakýchkoli triples, postačuje zvolit počet typu vzájemně jednoduché a navíc odlišné parity).
7.7. Prvních 10 trsků
Najít všechna Pythagora Troika x, Y, Z, uspokojivý stav X.
7.8. Vlastnosti Pytagorovy trok
Prokázat, že pro každý pythahigorn tři x, Y, Z Správné výkazy:
a) alespoň jeden z čísel x nebo y více 3;
b) alespoň jeden z čísel x nebo y více 4;
c) alespoň jeden z čísel x, y nebo z je více 5.
7.9. Aplikace komplexních čísel
Modul komplexu α + iβ. nazvaný nezáporný počet
Zkontrolujte, zda pro všechna integrovaná čísla α + iβ. a γ + IΔ. Vlastnost je provedena
Pomocí vlastností komplexních čísel a jejich modulů dokazují, že všechna dvě celá čísla m a n splňují rovnost
i.e. Určete řešení rovnice
celá čísla (porovnat s úkolem 7.5).
7.10. Neupagorov Troika
Použití vlastností komplexních čísel a jejich modulů (viz úkol 7.9), najít vzorce pro všechna celočíselná řešení rovnice:
a) x 2 + y 2 \u003d Z 3; b) x 2 + y 2 \u003d Z 4.
Řešení
7.1. Pokud x 0 2 + y 0 2 \u003d z 0 2, že y 0 2 + x 0 2 \u003d Z 0 2, a s jakoukoliv přirozenou hodnotou k máme
q.e.d.
7.2. Z rovnosti
došli jsme k závěru, že trojka uvedená v úkolu splňuje rovnici x 2 + y 2 \u003d z 2 V přirozených číslech. Nicméně, ne všechny Pythagorov Troika x, Y, Z lze reprezentovat v této formě; Například, trojika 9, 12, 15 je Pythahigan, ale číslo 15 není představen jako součet čtverců všech přirozených čísel m a N.
7.3. Pokud některá dvě čísla z pythaghorough troika x, Y, Z mají společný dělič D, pak to bude dělič a třetí číslo (v případě x \u003d x 1 d, y \u003d y 1 d mít z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, Odkud Z2 je rozdělen do D 2 a Z je rozdělen do D). Proto je nezbytné pro nekonkurnost pythagorova trojka tak, aby se jakýkoli dva nejlepší tři z nich vzájemně jednoduchí,
7.4. Všimněte si, že jeden z čísel X nebo Y, řekněme X, ne-interpretovatelná pythigorny trojka x, Y, Z Je to zvláštní, protože jinak by číslo x a y nebylo vzájemně jednoduché (viz úkol 7.3). Pokud s jiným číslem y, je také lichá, pak obě čísla
při dělení 4, a číslo z 2 \u003d x 2 + y 2 To dává rozdělení 4 zbytky 2, to znamená, že je rozdělena na 2, ale není rozdělena na 4, což nemůže být. Číslo Y by tedy mělo být dokonce a číslo Z, to se stalo lichým.
7.5. Nechte Pytagorovou trojku x, Y, Z Non-interpretace a pro jistotu, číslo x je dokonce a číslo y, z je lichý (viz úkol 7.4). Pak
kde čísla 
jsou celé číslo. Dokážeme, že čísla A a B jsou vzájemně jednoduché. Ve skutečnosti, pokud měli společný dělič, více než 1, pak stejný dělič by měl čísla z \u003d a + b, y \u003d a - b, I.e. Troika by nebyla nestabilní (viz úkol 7.3). Nyní, kterým se stanoví čísla A a B v dílech jednoduchých faktorů, všimneme, že by měl zadat jakýkoli jednoduchý multiplikátor 4Ab \u003d x 2 Pouze v rovném stupni, a pokud vstoupí do rozkladu čísla A, není zahrnuta do rozkladu počtu B a naopak. Jakýkoliv jednoduchý multiplikátor vstoupí do rozkladu čísla A nebo B odděleně pouze v rovném stupni, a to znamená, že tato čísla jsou čtverce celých čísel. Dát 
Pak se dostaneme
navíc přirozené parametry m\u003e n jsou vzájemně jednoduché (vzhledem ke vzájemné jednoduchosti čísel A a B) a mají různou paritu (v důsledku podivnosti čísla z \u003d m 2 + n 2).
Nyní nechte přirozené množství m\u003e n různé parity se vzájemně jednoduché. Pak trojka x \u003d 2MN, Y \u003d m 2 - n2, z \u003d m 2 + n 2Podle schválení problému 7.2 je to Pythagorenova. Dokážeme, že je hanlivá. Chcete-li to provést, stačí zkontrolovat, že čísla y a z nemají společné dělitele (viz úkol 7.3). Ve skutečnosti jsou obě tyto čísla liché, protože typ typu má různou paritu. Pokud mají čísla Y a Z libovolný jednoduchý společný dělič (pak je to nutné liché), pak stejný dělič má každý z čísel a s nimi každý z čísel m a n, které odporují jejich vzájemné jednoduchosti.
7.6. Na základě prohlášení formulovaných v problémech 7.1, 7.2 stanovené vzorce stanoví pouze trojka pythagoras. Na druhou stranu, jakákoliv pytagorová trojka x, Y, Z Poté, co se sníží na největší společný dělitel k, páry čísel X a Y se stanou nepletitelnou (viz problém 7.3), a proto může být reprezentován přesností pořadí čísel X a Y ve formuláři popsané v úloze 7.5. Proto je každá pepagorova trojka definována specifikovaným vzorcem v některých hodnotách parametrů.
7.7. Z nerovnosti z a úkol vzorce 7.6 Získáme hodnocení m 2 tj. m≤5.. Věřil m \u003d 2, n \u003d 1 a k \u003d 1, 2, 3, 4, 5, Dostáváme triples. 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Věřil m \u003d 3, n \u003d 2 a k \u003d 1, 2, Dostáváme triples. 5, 12, 13; 10, 24, 26. Věřil m \u003d 4, n \u003d 1, 3 a k \u003d 1, Dostáváme triples. 8, 15, 17; 7, 24, 25. Konečně, věřil m \u003d 5, n \u003d 2 a k \u003d 1, Dostaneme trojku 20, 21, 29.