La periodicidad de la paridad activa sus funciones. Funciones trigonométricas
Conceptos básicos
Recordemos primero la definición. Funciones pares, impares y periódicas.
Definición 2
Una función par es una función que no cambia su valor cuando cambia el signo de la variable independiente:
Definición 3
Una función que repite sus valores en algún intervalo regular:
T - período de la función.
Funciones trigonométricas pares e impares
Considere la siguiente figura (Fig.1):
Foto 1.
Aquí $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ son vectores de longitud unitaria, simétricos con respecto al eje $Ox$.
Es obvio que las coordenadas de estos vectores están relacionadas por las siguientes relaciones:
Dado que las funciones trigonométricas del seno y el coseno se pueden determinar usando la unidad círculo trigonométrico, entonces encontramos que la función seno será impar y la función coseno será par, es decir:
Periodicidad de funciones trigonométricas.
Considere la siguiente figura (Fig. 2).
Figura 2.
Aquí $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ es un vector de longitud unitaria.
Hagamos una revolución completa con el vector $\overrightarrow(OA)$. Es decir, volteemos vector dado por $2\pi $ radianes. Después de esto, el vector volverá completamente a su posición original.
Dado que las funciones trigonométricas del seno y el coseno se pueden determinar usando el círculo trigonométrico unitario, obtenemos que
Es decir, las funciones seno y coseno son funciones periódicas con el período más pequeño $T=2\pi $.
Consideremos ahora las funciones de tangente y cotangente. Dado que $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, entonces
Dado que $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, entonces
Ejemplos de problemas que utilizan paridad, imparidad y periodicidad de funciones trigonométricas.
Ejemplo 1
Demuestre las siguientes afirmaciones:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $pecado((-721)^0)=-pecado1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Como la tangente es una función periódica con un período mínimo $(360)^0$, obtenemos
b) $(cos \izquierda(-13\pi \derecha)\ )=-1$
Como el coseno es una función par y periódica con un período mínimo de $2\pi $, obtenemos
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $pecado((-721)^0)=-pecado1^0$
Dado que el seno es una función impar y periódica con un período mínimo de $(360)^0$, obtenemos
Trigonométrico funciones periódico, es decir, se repiten después de un período determinado. Como resultado, basta con estudiar la función en este intervalo y extender las propiedades descubiertas a todos los demás períodos.
Instrucciones
1. Si le dan una expresión primitiva en la que solo hay una función trigonométrica (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), y el ángulo dentro de la función no se multiplica por ningún número y él mismo no se eleva a ningún número poder - use la definición. Para expresiones que contienen sin, cos, sec, cosec, establezca audazmente el período en 2P, y si la ecuación contiene tg, ctg, entonces P. Digamos, para la función y=2 sinx+5, el período será igual a 2P .
2. Si el ángulo x bajo el signo de una función trigonométrica se multiplica por algún número, entonces para encontrar el período de esta función, divida el período típico por este número. Digamos que te dan una función y = sen 5x. El período típico de un seno es 2P; al dividirlo por 5, se obtiene 2P/5: este es el período deseado de esta expresión.
3. Para encontrar el período de una función trigonométrica elevada a una potencia, evalúa la paridad de la potencia. Para un nivel uniforme, reduzca el período promedio a la mitad. Digamos que si se le da la función y = 3 cos^2x, entonces el período típico 2P disminuirá 2 veces, por lo que el período será igual a P. Tenga en cuenta que las funciones tg, ctg son periódicas de P a cada grado.
4. Si te dan una ecuación que contiene el producto o cociente de 2 funciones trigonométricas, primero descubra el período de todos ellos por separado. Después de esto, encuentre el número mínimo que contendría el número entero de ambos períodos. Digamos que se da la función y=tgx*cos5x. Para tangente el período es P, para coseno 5x el período es 2P/5. El número mínimo en el que se pueden acomodar ambos períodos es 2P, por lo que el período deseado es 2P.
5. Si te resulta difícil hacerlo de la forma sugerida o dudas del resultado, intenta hacerlo por definición. Tome T como el período de la función; es mayor que cero. Sustituye la expresión (x + T) en lugar de x en la ecuación y resuelve la igualdad resultante como si T fuera un parámetro o un número. Como resultado, descubrirás el valor de la función trigonométrica y podrás encontrar el período más pequeño. Digamos que, como resultado del alivio, se obtiene la identidad sin (T/2) = 0. El valor mínimo de T al que se realiza es 2P, este será el resultado de la tarea.
Una función periódica es una función que repite sus valores después de un período distinto de cero. El período de una función es un número que, cuando se suma al argumento de una función, no cambia el valor de la función.
Necesitará
- Conocimientos de matemáticas elementales y repaso básico.
Instrucciones
1. Denotamos el período de la función f(x) con el número K. Nuestra tarea es descubrir este valor de K. Para hacer esto, imaginemos que la función f(x), usando la definición de función periódica, igualamos f(x+K)=f(x).
2. Resolvemos la ecuación resultante respecto de la incógnita K, como si x fuera una constante. Dependiendo del valor de K, habrá varias opciones.
3. Si K>0 – entonces este es el período de su función. Si K=0 – entonces la función f(x) no es periódica Si la solución de la ecuación f(x+K)=f(x) no existe. para cualquier K distinto de cero, dicha función se llama aperiódica y tampoco tiene período.
Vídeo sobre el tema.
¡Nota!
Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las funciones polinómicas con un grado mayor que 2 son aperiódicas.
Consejo útil
El período de una función que consta de 2 funciones periódicas es el mínimo universal múltiplo de los períodos de estas funciones.
Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas de argumento desconocido (por ejemplo: 5sinx-3cosx =7). Para aprender a resolverlos, es necesario conocer algunas formas de hacerlo.
Instrucciones
1. Resolver tales ecuaciones consta de 2 etapas. La primera es reformar la ecuación para adquirir su forma más simple. Las ecuaciones trigonométricas más simples son: Sinx=a; cosx=a, etc.
2. La segunda es la solución de la ecuación trigonométrica más simple obtenida. Existen formas básicas de resolver ecuaciones de este tipo: Resolver algebraicamente. Este método famoso de la escuela, del curso de álgebra. También llamado método de reemplazo y sustitución de variables. Usando fórmulas de reducción, transformamos, hacemos una sustitución y luego encontramos las raíces.
3. Factorizar una ecuación. Primero, movemos todos los términos hacia la izquierda y los factorizamos.
4. Reduciendo la ecuación a una homogénea. Las ecuaciones se llaman ecuaciones homogéneas si todos los términos son del mismo grado y el seno y el coseno del mismo ángulo. Para resolverla debes: primero transferir todos sus términos del lado derecho al lado izquierdo; sacar todos los factores universales de paréntesis; establecer factores y paréntesis iguales a cero; paréntesis equivalentes dan ecuación homogénea el menor grado, que deberá dividirse por cos (o sin) al mayor grado; resolver el resultado ecuación algebraica respecto al bronceado.
5. La siguiente forma es moverse a medio ángulo. Digamos, resuelve la ecuación: 3 sen x – 5 cos x = 7. Pasemos al medio ángulo: 6 sen (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 pecado ? (x/2) = 7 pecado? (x / 2) + 7 porque ? (x/ 2), después de lo cual reducimos todos los términos a una parte (preferiblemente el lado derecho) y resolvemos la ecuación.
6. Entrada de ángulo auxiliar. Cuando reemplazamos el valor entero cos(a) o sin(a). El signo "a" es un ángulo auxiliar.
7. Un método para transformar un producto en una suma. Aquí debe aplicar las fórmulas adecuadas. Digamos dado: 2 sen x · sen 3x = cos 4x Resolverlo transformando el lado izquierdo en una suma, es decir: cos 4x – cos 8x = cos 4x,cos 8x = 0,8x = p/2 + pk, x = p/16 + pk/8.
8. El método final se llama sustitución multifunción. Transformamos la expresión y hacemos un cambio, digamos Cos(x/2)=u, y luego resolvemos la ecuación con el parámetro u. Al comprar el total, convertimos el valor al contrario.
Vídeo sobre el tema.
Si consideramos puntos en un círculo, entonces puntos x, x + 2π, x + 4π, etc. coinciden entre sí. Así, trigonométrico funciones en linea recta periódicamente repetir su significado. Si el periodo es famoso funciones, es posible construir una función en este período y repetirla en otros.
Instrucciones
1. El período es un número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar el período, resuelve la ecuación correspondiente, sustituyendo x y x+T como argumento. En este caso se utilizan para las funciones los ya conocidos puntos. Para las funciones seno y coseno el periodo es 2π, y para las funciones tangente y cotangente es π.
2. Sea la función f(x) = sin^2(10x). Considere la expresión sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Utilice la fórmula para reducir el grado: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Entonces obtienes 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) o cos 20x = cos (20x+20T). Sabiendo que el periodo del coseno es 2π, 20T = 2π. Esto significa T = π/10. T es el período mínimo correcto, y la función se repetirá después de 2T, y después de 3T, y en la otra dirección a lo largo del eje: -T, -2T, etc.
Consejo útil
Utilice fórmulas para reducir el grado de una función. Si ya conoce los períodos de algunas funciones, intente reducir la función existente a las conocidas.
Examinar una función en busca de uniformidad e imparidad ayuda a construir una gráfica de la función y comprender la naturaleza de su comportamiento. Para esta investigación, es necesario comparar esta función escrita para el argumento "x" y para el argumento "-x".
Instrucciones
1. Escribe la función que deseas investigar en la forma y=y(x).
2. Reemplace el argumento de la función con "-x". Sustituye este argumento en una expresión funcional.
3. Simplifica la expresión.
4. Por lo tanto, tiene la misma función escrita para los argumentos "x" y "-x". Mire estas dos entradas. Si y(-x)=y(x), entonces es una función par. Si y(-x)=-y(x), entonces es una función impar. digamos de una función que y (-x) = y (x) o y (-x) = -y (x), entonces, por la propiedad de paridad, esta es una función de forma universal. Es decir, no es ni par ni impar.
5. Escriba sus hallazgos. Ahora puedes usarlos para construir una gráfica de una función o en un futuro estudio analítico de las propiedades de una función.
6. También es posible hablar de uniformidad e imparidad de una función en el caso de que ya se haya dado la gráfica de la función. Digamos que la gráfica sirvió como resultado de un experimento físico. Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al eje de ordenadas, entonces y(x) es una función par. Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al eje de abscisas, entonces. x(y) es una función par. x(y) es una función inversa a la función y(x). Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al origen (0,0), entonces y(x) es una función impar. La función inversa x(y) también será impar.
7. Es importante recordar que la idea de uniformidad e imparidad de una función tiene una conexión directa con el dominio de definición de la función. Si, digamos, una función par o impar no existe en x=5, entonces no existe en x=-5, lo que no se puede decir de una función de forma universal. Al establecer la paridad par e impar, preste atención al dominio de la función.
8. Encontrar una función para la igualdad y la imparidad se correlaciona con encontrar un conjunto de valores de función. Para encontrar un conjunto de valores. incluso función basta con ver la mitad de la función, a la derecha o a la izquierda del cero. Si en x>0 la función par y(x) toma valores de A a B, entonces tomará los mismos valores en x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 función impar y(x) toma un rango de valores de A a B, luego en x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
"Trigonométricas" una vez comenzaron a llamarse funciones que están determinadas por la dependencia Esquinas filosas en un triángulo rectángulo a partir de las longitudes de sus lados. Tales funciones incluyen, en primer lugar, el seno y el coseno, en segundo lugar, la inversa de estas funciones, secante y cosecante, sus derivadas tangente y cotangente, así como las funciones inversas arcoseno, arcocoseno, etc. Es más positivo no hablar de No se trata de la “solución” de tales funciones, sino de su “cálculo”, es decir, de encontrar un valor numérico.
Instrucciones
1. Si se desconoce el argumento de una función trigonométrica, entonces su valor se puede calcular mediante un método indirecto basado en las definiciones de estas funciones. Para hacer esto, necesita conocer las longitudes de los lados del triángulo, cuya función trigonométrica para uno de cuyos ángulos debe calcularse. Digamos, por definición, el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto a este ángulo y la longitud de la hipotenusa. De esto se deduce que para encontrar el seno de un ángulo basta con conocer las longitudes de estos 2 lados. Una definición similar establece que el seno de un ángulo agudo es la relación entre la longitud del cateto adyacente a este ángulo y la longitud de la hipotenusa. La tangente de un ángulo agudo se puede calcular dividiendo la longitud del cateto opuesto por la longitud del adyacente, y la cotangente requiere dividir la longitud del cateto adyacente por la longitud del opuesto. Para calcular la secante de un ángulo agudo, es necesario encontrar la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente al ángulo requerido, y la cosecante está determinada por la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud. de la pierna opuesta.
2. Si el argumento de la función trigonométrica es correcto, entonces no necesita saber las longitudes de los lados del triángulo; puede usar tablas de valores o calculadoras de funciones trigonométricas. Esta calculadora está incluida en los programas estándar del sistema operativo Windows. Para iniciarlo, puede presionar la combinación de teclas Win + R, ingresar el comando calc y hacer clic en el botón "Aceptar". En la interfaz del programa, debe expandir la sección "Ver" y seleccionar el elemento "Ingeniero" o "Científico". Después de esto, es posible introducir el argumento de la función trigonométrica. Para calcular las funciones seno, coseno y tangente, en lugar de ingresar el valor, haga clic en el botón de la interfaz correspondiente (sin, cos, tg), y para encontrar sus arcoseno, arcocoseno y arcotangente inversos, debe marcar la casilla de verificación Inv con anticipación.
3. También existen métodos alternativos. Una de ellas es ir al sitio web del motor de búsqueda Nigma o Google e ingresar la función deseada y su argumento como consulta de búsqueda (digamos, sin 0,47). Estos motores de búsqueda tienen calculadoras integradas, por lo que después de enviar dicha solicitud recibirá el valor de la función trigonométrica que ingresó.
Vídeo sobre el tema.
Consejo 7: Cómo descubrir el valor de funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez como herramientas para cálculos matemáticos abstractos de las dependencias de los valores de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Ahora se utilizan ampliamente en los campos científico y técnico de la actividad humana. Para cálculos utilitarios de funciones trigonométricas a partir de argumentos dados, puede utilizar varias herramientas; a continuación se describen varias de ellas que son especialmente accesibles.
Instrucciones
1. Utilice, por ejemplo, el programa de calculadora instalado de forma predeterminada con el sistema operativo. Se abre seleccionando el elemento "Calculadora" en la carpeta "Servicio" de la subsección "Típico", ubicada en la sección "Todos los programas". Esta sección se puede encontrar abriendo el menú principal del sistema operativo haciendo clic en el botón “Inicio”. Si está utilizando la versión de Windows 7, es probable que simplemente ingrese la palabra "Calculadora" en el campo "Descubrir programas y archivos" del menú principal y luego haga clic en el enlace correspondiente en los resultados de la búsqueda.
2. Ingrese el valor del ángulo para el cual desea calcular la función trigonométrica y luego haga clic en el botón correspondiente a esta función: sin, cos o tan. Si le preocupan las funciones trigonométricas inversas (arco seno, arco coseno o arco tangente), primero haga clic en el botón denominado Inv; invierte las funciones asignadas a los botones guía de la calculadora.
3. En versiones anteriores del sistema operativo (por ejemplo, Windows XP), para acceder a las funciones trigonométricas, debe abrir la sección "Ver" en el menú de la calculadora y seleccionar la línea "Ingeniería". Además, en lugar del botón Inv, la interfaz de versiones anteriores del programa tiene una casilla de verificación con la misma inscripción.
4. Puede prescindir de una calculadora si tiene acceso a Internet. Hay muchos servicios en Internet que ofrecen calculadoras de funciones trigonométricas organizadas de diferentes formas. Una de las opciones especialmente cómodas está integrada en el motor de búsqueda Nigma. Al ir a su página principal, simplemente ingrese el valor que le preocupa en el campo de consulta de búsqueda, por ejemplo, "arco tangente de 30 grados". Después de hacer clic en el botón "¡Detectar!" El motor de búsqueda calculará y mostrará el resultado del cálculo: 0,482347907101025.
Vídeo sobre el tema.
La trigonometría es una rama de las matemáticas para comprender funciones que expresan diferentes dependencias de los lados. triángulo rectángulo sobre los valores de los ángulos agudos en la hipotenusa. Estas funciones se denominaron trigonométricas y, para facilitar el trabajo con ellas, se derivaron funciones trigonométricas. identidades .
Actuación identidades en matemáticas denota una igualdad que se satisface para todos los valores de los argumentos de las funciones incluidas en ella. Trigonométrico identidades son igualdades de funciones trigonométricas, confirmadas y aceptadas para simplificar el trabajo con fórmulas trigonométricas. Una función trigonométrica es una función elemental de la dependencia de uno de los catetos de un triángulo rectángulo del valor del ángulo agudo en la hipotenusa. Las seis funciones trigonométricas básicas que se utilizan con mayor frecuencia son sin (seno), cos (coseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) y cosec (cosecante). Estas funciones se llaman funciones directas, también hay funciones inversas, digamos, seno - arcoseno, coseno - arcocoseno, etc. Inicialmente, las funciones trigonométricas se reflejaron en la geometría, después de lo cual se extendieron a otras áreas de la ciencia: física, química, geografía, óptica, teoría de la probabilidad, así como acústica, teoría musical, fonética, infografía y muchos otros. Hoy en día es difícil imaginar cálculos matemáticos sin estas funciones, aunque en el pasado lejano solo se usaban en astronomía y arquitectura. identidades se utilizan para simplificar el trabajo con fórmulas trigonométricas largas y reducirlas a una forma digerible. Hay seis identidades trigonométricas principales; están relacionadas con funciones trigonométricas directas: tg ? = pecado?/cos?; pecado^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/pecado^2?; pecado (?/2 – ?) = porque ?; cos (?/2 – ?) = pecado ?. identidades fácil de confirmar a partir de las propiedades de la proporción de lados y ángulos en un triángulo rectángulo: sin ? = BC/AC = b/c; porque? = AB/AC = a/c; ¿tg? = b/a. La primera identidad tg ? = pecado ?/cos ? se deduce de la proporción de los lados del triángulo y de la exclusión del lado c (hipotenusa) al dividir sin por cos. La identidad ctg ? se define de la misma manera. = cos ?/sin ?, porque ctg ? = 1/tg ?.Por el teorema de Pitágoras a^2 + b^2 = c^2. Dividamos esta igualdad por c^2, obtenemos la segunda identidad: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + porque^2 ? = 1.Tercero y cuarto identidades se obtienen dividiendo, respectivamente, por b^2 y a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/pecado^ ? o 1 + ctg^2? = 1/sen^2 ?. Quinto y sexto básico identidades se prueban determinando la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que es igual a 90° o?/2. Trigonometría más difícil identidades: fórmulas para sumar argumentos, ángulos dobles y triples, reducir grados, reformar la suma o producto de funciones, así como fórmulas de sustitución trigonométrica, es decir, expresiones de funciones trigonométricas básicas mediante tg de un medio ángulo: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg?/2)/(1 – tg^2?/2).
La necesidad de encontrar el mínimo. significado matemático funciones es de interés real para resolver problemas aplicados, digamos, en economía. Enorme significado Minimizar las pérdidas es esencial para las actividades empresariales.
Instrucciones
1. Para descubrir el mínimo significado funciones, ¿es necesario determinar con qué valor del argumento x0 se satisfará la desigualdad y(x0)? y(x), donde x? x0. Como es habitual, este problema se resuelve en un intervalo determinado o en cada rango de valores. funciones, si no se especifica ninguno. Un aspecto de la solución es encontrar puntos fijos.
2. Un punto estacionario se llama significado argumento en el que la derivada funciones va a cero. Según el teorema de Fermat, si una función derivable toma un extremo significado en algún momento (en en este caso– mínimo local), entonces este punto es estacionario.
3. Mínimo significado la función a menudo asume exactamente este punto, pero no puede determinarse invariablemente. Además, no siempre es posible decir con precisión cuál es el mínimo funciones o acepta lo infinitamente pequeño significado. Luego, como de costumbre, encuentran el límite al que tiende a medida que disminuye.
4. Para determinar el mínimo significado funciones, es necesario realizar una secuencia de acciones que consta de cuatro etapas: encontrar el dominio de definición funciones, adquisición de puntos fijos, resumen de valores funciones en estos puntos y en los extremos del hueco, detectando el mínimo.
5. Resulta que alguna función y(x) está dada en un intervalo con límites en los puntos A y B. Encuentre el dominio de su definición y averigüe si el intervalo es su subconjunto.
6. Calcular derivada funciones. Iguala la expresión resultante a cero y encuentra las raíces de la ecuación. Compruebe si estos puntos estacionarios se encuentran dentro del espacio. En caso contrario, no se tendrán en cuenta en la siguiente etapa.
7. Examine la brecha para determinar el tipo de límites: abiertos, cerrados, compuestos o inconmensurables. Esto determina cómo buscar el mínimo. significado. Digamos que el segmento [A, B] es un intervalo cerrado. Conéctelos a la función y calcule los valores. Haz lo mismo con un punto estacionario. Seleccione el total más bajo.
8. Con intervalos abiertos e inconmensurables la situación es algo más difícil. Aquí habrá que buscar límites unilaterales que no siempre den un resultado inequívoco. Digamos, para un intervalo con un límite cerrado y otro perforado [A, B), ¿se debe encontrar una función en x = A y un límite unilateral lim y en x? B-0.
Si construimos un círculo unitario con su centro en el origen y establecemos un valor arbitrario para el argumento x0 y contar desde el eje Buey esquina X 0, entonces este ángulo en el círculo unitario corresponde a un cierto punto A(Figura 1) y su proyección sobre el eje Oh habrá un punto METRO. Longitud de la sección om igual al valor absoluto de la abscisa del punto A. Valor del argumento dado x0 valor de función mapeado y= porque X 0 como puntos de abscisas A. En consecuencia, punto EN(X 0 ;en 0) pertenece a la gráfica de la función en= porque X(Figura 2). si el punto A está a la derecha del eje UNED, El seno actual será positivo, pero si está hacia la izquierda será negativo. Pero de todos modos, punto A no puede salir del círculo. Por tanto, el coseno se encuentra en el rango de –1 a 1:
–1 = porque X = 1.
Rotación adicional en cualquier ángulo, múltiplo de 2 pag, punto de retorno A al mismo lugar. Por lo tanto la función y = porque Xpag:
porque( X+ 2pag) = porque X.
Si tomamos dos valores del argumento, iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto, X Y - X, encontrar los puntos correspondientes en el círculo una x Y A-x. Como se puede observar en la Fig. 3 su proyección sobre el eje Oh es el mismo punto METRO. Es por eso
porque(– X) = porque ( X),
aquellos. el coseno es una función par, F(–X) = F(X).
Esto significa que podemos explorar las propiedades de la función. y= porque X en el segmento , y luego tener en cuenta su paridad y periodicidad.
En X= 0 punto A se encuentra en el eje Oh, su abscisa es 1 y, por lo tanto, cos 0 = 1. Al aumentar X punto A se mueve alrededor del círculo hacia arriba y hacia la izquierda, su proyección, naturalmente, es solo hacia la izquierda, y en x = pag/2 coseno se vuelve igual a 0. Punto A en este momento se eleva a su altura máxima, y luego continúa moviéndose hacia la izquierda, pero ya descendiendo. Su abscisa va disminuyendo hasta llegar a valor más bajo, igual a –1 en X= pag. Así, en el intervalo la función en= porque X disminuye monótonamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).
De la paridad del coseno se deduce que en el intervalo [– pag, 0] la función aumenta monótonamente de –1 a 1, tomando un valor cero en x =–pag/2. Si toma varios períodos, obtendrá una curva ondulada (Fig. 6).
Entonces la función y= porque X toma valores cero en los puntos X= pag/2 + kp, Dónde k – cualquier número entero. Se alcanzan máximos iguales a 1 en los puntos X= 2kp, es decir. en pasos de 2 pag, y mínimos iguales a –1 en los puntos X= pag + 2kp.
Función y = sen x.
En la esquina del círculo unitario X 0 corresponde a un punto A(Figura 7), y su proyección sobre el eje UNED habrá un punto norte.z valor de la función y 0 = pecado x0 definida como la ordenada de un punto A. Punto EN(esquina X 0 ,en 0) pertenece a la gráfica de la función y= pecado X(Figura 8). Está claro que la función y = pecado X periódico, su período es 2 pag:
pecado( X+ 2pag) = pecado ( X).
Para dos valores de argumento, X Y - , proyecciones de sus puntos correspondientes una x Y A-x por eje UNED ubicado simétricamente con respecto al punto ACERCA DE. Es por eso
pecado(- X) = –pecado ( X),
aquellos. el seno es una función impar, f(– X) = –f( X) (Figura 9).
si el punto A rotar respecto a un punto ACERCA DE en un angulo pag/2 en sentido antihorario (en otras palabras, si el ángulo X aumentado por pag/2), entonces su ordenada en la nueva posición será igual a la abscisa en la antigua. Lo que significa
pecado( X+ pag/2) = porque X.
De lo contrario, el seno es un coseno “tarde” por pag/2, ya que cualquier valor del coseno se “repetirá” en el seno cuando el argumento aumente en pag/2. Y para construir una gráfica de seno, basta con desplazar la gráfica de coseno en pag/2 hacia la derecha (Fig. 10). Una propiedad extremadamente importante del seno se expresa mediante la igualdad.
El significado geométrico de igualdad se puede ver en la Fig. 11. Aquí X - esto es medio arco AB, como en X - la mitad del acorde correspondiente. Es obvio que a medida que los puntos se acercan A Y EN la longitud de la cuerda se acerca cada vez más a la longitud del arco. De la misma figura es fácil derivar la desigualdad.
|pecado X| x|, verdadero para cualquier X.
Los matemáticos llaman a la fórmula (*) un límite notable. De ello, en particular, se sigue que el pecado X» X en pequeño X.
Funciones en= tg x,y=ctg X. Las otras dos funciones trigonométricas, tangente y cotangente, se definen más fácilmente como las razones del seno y el coseno que ya conocemos:
Al igual que el seno y el coseno, la tangente y la cotangente son funciones periódicas, pero sus períodos son iguales. pag, es decir. son la mitad del tamaño del seno y el coseno. La razón de esto es clara: si el seno y el coseno cambian de signo, entonces su relación no cambiará.
Dado que el denominador de la tangente contiene un coseno, la tangente no está definida en aquellos puntos donde el coseno es 0, cuando X= pag/2 +kp. En todos los demás puntos aumenta monótonamente. Directo X= pag/2 + kp para tangente son asíntotas verticales. En puntos kp la tangente y la pendiente son 0 y 1, respectivamente (Fig. 12).
La cotangente no está definida donde el seno es 0 (cuando x = kp). En otros puntos disminuye monótonamente y las líneas rectas x = kp – sus asíntotas verticales. En puntos x = pag/2 +kp la cotangente se vuelve 0 y la pendiente en estos puntos es igual a –1 (Fig. 13).
Paridad y periodicidad.
Se llama a una función incluso si F(–X) = F(X). Las funciones coseno y secante son pares, y las funciones seno, tangente, cotangente y cosecante son impares:
| pecado (–α) = – pecado α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| segundo (–α) = segundo α | cosec (–α) = – cosec α |
Las propiedades de paridad se derivan de la simetría de puntos. PAG un y R- a (Fig. 14) respecto al eje X. Con tal simetría, la ordenada del punto cambia de signo (( X;en) va a ( X; –у)). Todas las funciones: periódica, seno, coseno, secante y cosecante tienen un período de 2 pag, y tangente y cotangente - pag:
| pecado (α + 2 kπ) = senα | porque(α+2 kπ) = porque α |
| tg(α+ kπ) = tan α | cuna(α+ kπ) = cotg α |
| segundo (α + 2 kπ) = segundo α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
La periodicidad del seno y el coseno se deriva del hecho de que todos los puntos PAG un+2 kp, Dónde k= 0, ±1, ±2,…, coinciden, y la periodicidad de la tangente y cotangente se debe a que los puntos PAG un + kp caen alternativamente en dos puntos diametralmente opuestos del círculo, dando el mismo punto en el eje tangente.
Las principales propiedades de las funciones trigonométricas se pueden resumir en una tabla:
| Función | Dominio | Múltiples significados | Paridad | Áreas de monotonía ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| pecado X | –´x ´ | [–1, +1] | extraño | aumenta con X O((4 k – 1) pag /2, (4k + 1) pag/2), disminuye en X O((4 k + 1) pag /2, (4k + 3) pag/2) |
| porque X | –´x ´ | [–1, +1] | incluso | Aumenta con X O((2 k – 1) pag, 2kp), disminuye en X o(2 kp, (2k + 1) pag) |
| tg X | X № pag/2 + paquete | (–Ґ , +Ґ ) | extraño | aumenta con X O((2 k – 1) pag /2, (2k + 1) pag /2) |
| ctg X | X № paquete | (–Ґ , +Ґ ) | extraño | disminuye en X ACERCA DE ( kp, (k + 1) pag) |
| segundo X | X № pag/2 + paquete | (–Ґ , –1] Y [+1, +Ґ ) | incluso | Aumenta con X o(2 kp, (2k + 1) pag), disminuye en X O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec X | X № paquete | (–Ґ , –1] Y [+1, +Ґ ) | extraño | aumenta con X O((4 k + 1) pag /2, (4k + 3) pag/2), disminuye en X O((4 k – 1) pag /2, (4k + 1) pag /2) |
Fórmulas de reducción.
Según estas fórmulas, el valor de la función trigonométrica del argumento a, donde pag/2 a p , se puede reducir al valor de la función argumento a , donde 0 a p /2, ya sea igual o complementario.
| Argumento b |  -a |
+ un | pag-a | pag+ un | + un | + un | 2pag-a |
| pecado b | porque un | porque un | pecado un | –pecado un | –porque un | –porque un | –pecado un |
| porque b | pecado un | –pecado un | –porque un | –porque un | –pecado un | pecado un | porque un |
Por lo tanto, en las tablas de funciones trigonométricas, los valores se dan solo para ángulos agudos, y basta con limitarnos, por ejemplo, al seno y la tangente. La tabla muestra solo las fórmulas más utilizadas para seno y coseno. A partir de estos es fácil obtener fórmulas para tangente y cotangente. Al convertir una función a partir de un argumento de la forma kp/2 ± a, donde k– un número entero, a una función del argumento a:
1) el nombre de la función se guarda si k incluso, y cambia a "complementario" si k extraño;
2) el signo del lado derecho coincide con el signo de la función reducible en el punto kp/2 ± a si el ángulo a es agudo.
Por ejemplo, al emitir ctg (a – pag/2) nos aseguramos de que a – pag/2 en 0 a p /2 está en el cuarto cuadrante, donde la cotangente es negativa y, según la regla 1, cambiamos el nombre de la función: ctg (a – pag/2) = –tg a .
Fórmulas de suma.
Fórmulas para múltiples ángulos.
Estas fórmulas se derivan directamente de las fórmulas de suma:
sen 2a = 2 sen a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sen 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sen 2 a ;
pecado 3a = 3 pecado a – 4 pecado 3 a ;
porque 3a = 4 porque 3 a – 3 porque a ;
François Viète utilizó la fórmula del cos 3a para resolver la ecuación cúbica. Fue el primero en encontrar expresiones para cos. norte un y pecado norte a, que luego se obtuvieron de forma más sencilla a partir de la fórmula de Moivre.
Si reemplaza a con /2 en fórmulas de doble argumento, se pueden convertir en fórmulas de medio ángulo:
Fórmulas de sustitución universales.
Usando estas fórmulas, una expresión que involucra diferentes funciones trigonométricas del mismo argumento se puede reescribir como una expresión racional de una sola función tg (a /2), esto puede ser útil al resolver algunas ecuaciones:
 |
|
 |
 |
Fórmulas para convertir sumas en productos y productos en sumas.
Antes de la llegada de las computadoras, estas fórmulas se utilizaban para simplificar los cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando tablas logarítmicas y, posteriormente, una regla de cálculo, porque los logaritmos son los más adecuados para multiplicar números, por lo que todas las expresiones originales se llevaron a una forma conveniente para la logaritmización, es decir a obras, por ejemplo:
2 pecado a pecado b = porque ( a–b) – porque ( a+b);
2cos a porque b=cos( a–b) + porque ( a+b);
2 pecado a porque b= pecado ( a–b) + pecado ( a+b).
Las fórmulas para las funciones tangente y cotangente se pueden obtener a partir de lo anterior.
Fórmulas de reducción de grados.
De las fórmulas de argumentos múltiples se derivan las siguientes fórmulas:
| pecado 2 a = (1 – cos 2a)/2; | porque2a = (1 + porque2a)/2; |
| pecado 3 a = (3 pecado a – pecado 3a)/4; | porque 3 a = (3 porque a + porque 3 a )/4. |
Usando estas fórmulas, las ecuaciones trigonométricas se pueden reducir a ecuaciones de grados inferiores. De la misma manera, podemos derivar fórmulas de reducción para más altos grados seno y coseno.
| Derivadas e integrales de funciones trigonométricas. | |
| (pecado X)` = porque X; | (porque X)` = –pecado X; |
| (tg X)` = ; | (ctg X)` = – ; |
| no peco xdx= –cos X + C; | t porque xdx= pecado X + C; |
| tg xdx= –ln|cos X| + C; | t ctg x dx = en|pecado X| + C; |
Cada función trigonométrica en cada punto de su dominio de definición es continua e infinitamente diferenciable. Además, las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas y, cuando se integran, también se obtienen funciones trigonométricas o sus logaritmos. Las integrales de combinaciones racionales de funciones trigonométricas son siempre funciones elementales.
Representación de funciones trigonométricas en forma de series de potencias y productos infinitos.
Todas las funciones trigonométricas se pueden desarrollar en series de potencias. En este caso, las funciones sen X bcos X se presentan en filas. convergente para todos los valores X:
Estas series se pueden utilizar para obtener expresiones aproximadas del pecado. X y porque X en valores pequeños X:
en | x| p/2;
en 0x| pag
(B norte – números de Bernoulli).
funciones de pecado X y porque X se puede representar en forma de infinitos productos:
Sistema trigonométrico 1, cos X,pecado X, porque 2 X, pecado 2 X,¼,cos nx,pecado nx, ¼, se forma en el segmento [– pag, pag] un sistema ortogonal de funciones, que permite representar funciones en forma de series trigonométricas.
se definen como continuaciones analíticas de las funciones trigonométricas correspondientes del argumento real en el plano complejo. si, pecado z y porque z se puede definir usando series para el pecado X y porque X, si en cambio X poner z:
Estas series convergen en todo el plano, por lo que sen z y porque z- funciones completas.
La tangente y la cotangente están determinadas por las fórmulas:
funciones tg z y ctg z– funciones meromórficas. postes tg z y segundo z– simple (1er orden) y ubicado en puntos z = pag/2 + pn, Polos CTG z y cosec z– también simple y ubicado en puntos z = pn, norte = 0, ±1, ±2,…
Todas las fórmulas que son válidas para funciones trigonométricas de un argumento real también lo son para una compleja. En particular,
pecado(- z) = –pecado z,
porque(– z) = porque z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
aquellos. Se conservan las paridades pares e impares. Las fórmulas también se guardan.
pecado( z + 2pag) = pecado z, (z + 2pag) = porque z, (z + pag) = tg z, (z + pag) = ctg z,
aquellos. también se conserva la periodicidad y los períodos son los mismos que para las funciones de un argumento real.
Las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de una función exponencial de un argumento puramente imaginario:
Atrás, e iz expresado en términos de cos z y el pecado z según la fórmula:
e iz= porque z + i pecado z
Estas fórmulas se llaman fórmulas de Euler. Leonhard Euler los desarrolló en 1743.
Las funciones trigonométricas también se pueden expresar en términos de funciones hiperbólicas:
z = –i sh es, cos z = ch iz, z = –i th iz.
donde sh, ch y th son seno, coseno y tangente hiperbólicos.
Funciones trigonométricas de argumento complejo. z = x + iy, Dónde X Y y– los números reales, se pueden expresar mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reales, por ejemplo:
pecado( x + iy) = pecado X ch y + i porque X sh y;
porque( x + iy) = porque X ch y + i pecado X sh y.
El seno y el coseno de un argumento complejo pueden tomar valores reales, superior a 1 en valor absoluto. Por ejemplo:
Si un ángulo desconocido entra en una ecuación como argumento de funciones trigonométricas, entonces la ecuación se llama trigonométrica. Estas ecuaciones son tan comunes que sus métodos Las soluciones son muy detalladas y están cuidadosamente diseñadas. CON Utilizando diversas técnicas y fórmulas, las ecuaciones trigonométricas se reducen a ecuaciones de la forma F(X)=un, Dónde F– cualquiera de las funciones trigonométricas más simples: seno, coseno, tangente o cotangente. Luego expresa el argumento. X esta función a través de su valor conocido A.
Como las funciones trigonométricas son periódicas, lo mismo A del rango de valores hay infinitos valores del argumento, y las soluciones de la ecuación no se pueden escribir como una única función de A. Por tanto, en el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas principales, se selecciona un apartado en el que toma todos sus valores, cada uno una sola vez, y en este apartado se encuentra la función inversa a la misma. Estas funciones se denotan agregando el prefijo arco (arco) al nombre de la función original y se denominan trigonométrica inversa. funciones o simplemente funciones de arco.
Funciones trigonométricas inversas.
Por el pecado X, porque X, tg X y ctg X Se pueden definir funciones inversas. En consecuencia, se denotan por arcoseno. X(léase "arcoseno" X"), arcos X, arctán X y arcctg X. Por definición, arcosen X hay tal numero y, Qué
pecado en = X.
Lo mismo ocurre con otras funciones trigonométricas inversas. Pero esta definición adolece de cierta inexactitud.
Si reflejas el pecado X, porque X, tg X y ctg X relativo a la bisectriz del primer y tercer cuadrante Plano coordinado, entonces las funciones, por su periodicidad, se vuelven ambiguas: a un mismo seno corresponde un número infinito de ángulos (coseno, tangente, cotangente).
Para eliminar la ambigüedad, una sección de la curva con un ancho de pag, en este caso es necesario que se mantenga una correspondencia uno a uno entre el argumento y el valor de la función. Se seleccionan áreas cercanas al origen de las coordenadas. Para seno en Como “intervalo uno a uno” tomamos el segmento [– pag/2, pag/2], en el que el seno aumenta monótonamente de –1 a 1, para el coseno – el segmento, para la tangente y cotangente, respectivamente, los intervalos (– pag/2, pag/2) y (0, pag). Cada curva en el intervalo se refleja con respecto a la bisectriz y ahora se pueden determinar funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, supongamos que se dé el valor del argumento. x0, tal que 0 Ј X 0 Ј 1. Entonces el valor de la función. y 0 = arcosen X 0 solo habrá un significado en 0 , tal que - pag/2 Ј en 0 Ј pag/2 y X 0 = pecado y 0 .
Por tanto, el arcoseno es función del arcosen. A, definido en el intervalo [–1, 1] e igual para cada A a tal valor, – pag/2 a p /2 que sen a = A. Es muy conveniente representarlo mediante un círculo unitario (Fig. 15). Cuando | un| 1 en una circunferencia hay dos puntos con ordenada a, simétrico respecto al eje Ud. Uno de ellos corresponde al ángulo a= arcosen A, y el otro es la esquina pag - a. CON teniendo en cuenta la periodicidad del seno, resolviendo la ecuación sen X= A está escrito de la siguiente manera:
x =(–1)norte arcosin a + 2pn,
Dónde norte= 0, ±1, ±2,...
Otras ecuaciones trigonométricas simples se pueden resolver de la misma forma:
porque X = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2pn,
Dónde PAG= 0, ±1, ±2,... (Fig.16);
tg X = a;
X= arctán a + pag norte,
Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.17);
ctg X= A;
X= arcctg a + pag norte,
Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.18).
Propiedades básicas de funciones trigonométricas inversas:
arcosin X(Fig. 19): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - [- pag/2, pag/2], función monótonamente creciente;
arccos X(Fig. 20): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango de valores – ; función monótonamente decreciente;
arctg X(Fig. 21): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (– pag/2, pag/2); función monótonamente creciente; derecho en= –pag/2 y y = pag /2 – asíntotas horizontales;
arcctg X(Fig. 22): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (0, pag); función monótonamente decreciente; derecho y= 0 y y = pag– asíntotas horizontales.
Porque funciones trigonométricas de argumento complejo sin z y porque z(a diferencia de las funciones del argumento real) toman todos los valores complejos, entonces las ecuaciones pecan z = a y porque z = a tenemos soluciones para cualquier complejo una x Y y son números reales, se aplican desigualdades
½| e\e y–e-y| ≤|pecado z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
de los cuales en y® Ґ siguen fórmulas asintóticas (uniformemente con respecto a X)
|pecado z| » 1/2 mi |y| ,
|porque z| » 1/2 mi |y| .
Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez en relación con la investigación en astronomía y geometría. Las razones de los segmentos de un triángulo y un círculo, que son esencialmente funciones trigonométricas, se encuentran ya en el siglo III. antes de Cristo mi. en las obras de los matemáticos de la antigua Grecia. – Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga y otros, sin embargo, estas relaciones no eran un objeto de estudio independiente, por lo que no estudiaron las funciones trigonométricas como tales. Inicialmente fueron considerados como segmentos y en esta forma fueron utilizados por Aristarco (finales del siglo IV - segunda mitad del siglo III a. C.), Hiparco (siglo II a. C.), Menelao (siglo I d. C.) y Ptolomeo (siglo II d. C.) cuando. Resolver triángulos esféricos. Ptolomeo compiló la primera tabla de cuerdas para ángulos agudos cada 30" con una precisión de 10 –6. Esta fue la primera tabla de senos. Como proporción, la función sin a ya se encuentra en Aryabhata (finales del siglo V). Las funciones tg a y ctg a se encuentran en al-Battani (segunda mitad del siglo IX - principios del X) y Abul-Vefa (siglo X), quien también usa sec a y cosec a. Aryabhata ya conocía la fórmula (sin 2 a + cos 2 a) = 1, así como fórmulas para el seno y el cos de un medio ángulo, con la ayuda de las cuales construí tablas de senos para ángulos de hasta 3°45"; basado valores conocidos funciones trigonométricas para los argumentos más simples. Bhaskara (siglo XII) dio un método para construir tablas en términos de 1 usando fórmulas de suma. Regiomontanus (siglo XV) y J. Napier derivaron fórmulas para convertir la suma y la diferencia de funciones trigonométricas de varios argumentos en un producto en relación con la invención de los logaritmos (1614) de este último. Regiomontan dio una tabla de valores de senos en 1". La expansión de funciones trigonométricas en series de potencias fue obtenida por I. Newton (1669). En forma moderna La teoría de las funciones trigonométricas fue introducida por L. Euler (siglo XVIII). Es dueño de su definición de argumentos reales y complejos, del simbolismo actualmente aceptado, del establecimiento de conexiones con funcion exponencial y ortogonalidad del sistema de senos y cosenos.
La dependencia de una variable y de una variable x, en la que cada valor de x corresponde a un único valor de y, se llama función. Para la designación utilice la notación y=f(x). Cada función tiene una serie de propiedades básicas, como monotonicidad, paridad, periodicidad y otras.
Propiedades de paridad y periodicidad.
Consideremos con más detalle las propiedades de la paridad y la periodicidad, usando el ejemplo de funciones trigonométricas básicas: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Se llama a una función y=f(x) incluso si satisface las dos condiciones siguientes:
2. El valor de la función en el punto x, perteneciente al dominio de definición de la función, debe ser igual al valor de la función en el punto -x. Es decir, para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = f(-x).
Si trazas la gráfica de una función par, será simétrica con respecto al eje Oy.
Por ejemplo, la función trigonométrica y=cos(x) es par.
Propiedades de rareza y periodicidad.
Una función y=f(x) se llama impar si satisface las dos condiciones siguientes:
1. El dominio de definición de una función dada debe ser simétrico con respecto al punto O. Es decir, si algún punto a pertenece al dominio de definición de la función, entonces el punto correspondiente -a también debe pertenecer al dominio de definición. de la función dada.
2. Para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = -f(x).
Cronograma Función impar es simétrico con respecto al punto O, el origen de coordenadas.
Por ejemplo, las funciones trigonométricas y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) son impares.
Periodicidad de funciones trigonométricas.
La función y=f (x) se llama periódica si existe un cierto número T!=0 (llamado período de la función y=f (x)), tal que para cualquier valor de x perteneciente al dominio de definición de la función, los números x + T y x-T también pertenecen al dominio de definición de la función y se cumple la igualdad f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Debe entenderse que si T es el período de la función, entonces el número k*T, donde k es cualquier número entero distinto de cero, también será el período de la función. Con base en lo anterior, encontramos que cualquier función periódica tiene infinitos períodos. La mayoría de las veces, la conversación gira en torno al período más pequeño de una función.
Las funciones trigonométricas sin(x) y cos(x) son periódicas, con el período más pequeño igual a 2*π.
|BD| - longitud del arco de una circunferencia con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.
tangente ( bronceado α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la proporción longitud del lado opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
Cotangente ( ctg α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .
Tangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
;
;
.
Gráfica de la función tangente, y = tan x
Cotangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se aceptan las siguientes notaciones:
;
;
.
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x
Propiedades de tangente y cotangente.
Periodicidad
Funciones y = tgx y y = ctg x son periódicos con período π.
Paridad
Las funciones tangente y cotangente son impares.
Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes.
Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).
| y = tgx | y = ctg x | |
| Alcance y continuidad | ||
| Rango de valores | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Creciente | - | |
| Descendente | - | |
| Extremos | - | - |
| Ceros, y = 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0 | y = 0 | - |
Fórmulas
Expresiones usando seno y coseno
;
;
;
;
;
Fórmulas para tangente y cotangente a partir de suma y diferencia
Las fórmulas restantes son fáciles de obtener, por ejemplo
Producto de tangentes
Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.
Esta tabla presenta los valores de tangentes y cotangentes para ciertos valores del argumento. 
Expresiones usando números complejos
Expresiones mediante funciones hiperbólicas.
;
;
Derivados
; .
.
Derivada de enésimo orden con respecto a la variable x de la función:
.
Deducir fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >
Integrales
Expansiones de serie
Para obtener el desarrollo de la tangente en potencias de x, es necesario tomar varios términos del desarrollo en una serie de potencias para las funciones pecado x Y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto produce las siguientes fórmulas.
En .
en .
Dónde mil millones- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
Dónde .
O según la fórmula de Laplace: 
Funciones inversas
Funciones inversas a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arctangente, arctg
, Dónde norte- entero.
Arccotangente, arcctg
, Dónde norte- entero.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.