A medida que se presenta la diferencia en los cubos. Cubo de cubo y Diferencias Cubos: Reglas para la aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada.
Las fórmulas o las reglas de multiplicación abreviadas se utilizan en aritmética, o en lugar, en álgebra, para un proceso más rápido de cálculo de expresiones algebraicas grandes. Las propias fórmulas se obtienen de las reglas existentes en el álgebra para multiplicar varios polinomios.
El uso de estas fórmulas proporciona una solución bastante operativa de varias tareas matemáticas, y también ayuda a simplificar las expresiones. Las reglas de las transformaciones algebraicas le permiten realizar algunas manipulaciones con expresiones, lo que es posible obtener una expresión en el lado derecho en la parte izquierda de la igualdad, o para convertir la parte derecha de la igualdad (para obtener un Expresión que se encuentra en el lado izquierdo después del signo de igualdad).
Es conveniente conocer las fórmulas utilizadas para la multiplicación abreviada, así como a menudo se utilizan para resolver problemas y ecuaciones. A continuación se muestran las fórmulas básicas incluidas en esta lista, y su nombre.
Cantidad cuadrada
Para calcular el cuadrado de la cantidad, es necesario encontrar la cantidad que consiste en el cuadrado del primer término, duplicó el producto del primer término en el segundo y cuadrado del segundo. En forma de expresión, esta regla está escrita de la siguiente manera: (A + C) ² \u003d A² + 2AS + C².
Diferencia cuadrada
Para calcular el cuadrado de la diferencia, es necesario calcular la cantidad que consiste en el cuadrado del primer número dos veces el primer número en el segundo (tomado con el signo opuesto) y el cuadrado del segundo número. En forma de expresión, esta regla es la siguiente: (A - C) ² \u003d A² - 2AS + C².
Diferencias Cuadradas
La fórmula para la diferencia de los dos números erigidos en el cuadrado es igual a la cantidad de la suma de estos números en su diferencia. En forma de expresión, esta regla es la siguiente: A² - C² \u003d (A + C) · (A - C).
Cantidad de cubo
Para calcular el cubo de las sumas de los dos componentes, es necesario calcular la cantidad que consiste en el cubo del primer término, el trabajo triplicado del cuadrado del primer término y el segundo producto triplicado del primer término y El segundo en la plaza, así como el cubo del segundo mandato. En forma de expresión, esta regla es la siguiente: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3AS² + C³.
La cantidad de cubos
Según la fórmula, es igual a la cantidad de la cantidad de los términos de los componentes en su cuadrado incompleto de la diferencia. En forma de expresión, esta regla es la siguiente: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Ejemplo. Es necesario calcular el volumen de la forma, que está formado por la adición de dos cubos. También conocidos solo los valores de sus partes.
Si los valores de las partes son pequeños, entonces realiza cálculos simplemente.
Si la longitud de las partes se expresa en números voluminosos, en este caso, es más fácil aplicar la fórmula "Cantidad de cubos", que simplificará significativamente los cálculos.
DIFERENCIA DE CUBO
La expresión de diferencia cúbica suena así: como la suma del tercer grado del primer término, el trabajo negativo triplicado del cuadrado del primer miembro en el segundo, triplicó el trabajo del primer miembro al cuadrado de la segunda y negativa. Cubo del segundo mandato. En forma de expresión matemática, una diferencia de cubo se ve así: (a - c) ³ \u003d A³ - 3A² + 3AS² - C³.
Diferencias cúbicas
La fórmula de la diferencia de cubo difiere de la cantidad de cubos solo un signo. Por lo tanto, la diferencia de cubos es una fórmula igual al producto de la diferencia de datos entre su suma cuadrada incompleta. La diferencia de cubos es la siguiente: a 3 - de 3 \u003d (a - c) (y 2 + C + C 2).
Ejemplo. Es necesario calcular el volumen de la figura que permanecerá después de restar del volumen del cubo azul de una figura de esquema amarilla de amarillo, que también es un cubo. Solo se conoce la magnitud del lado de un cubo pequeño y grande.
Si los valores de las partes son pequeños, entonces los cálculos son bastante simples. Y si las longitudes de las partes se expresan en números significativos, es necesario aplicar la fórmula titulada "Diferencias de cubos" (o "cubo de la diferencia"), lo que simplificará significativamente los cálculos.
Diferencias Cuadradas
Derivamos la fórmula para la diferencia en los cuadrados de $ A ^ 2-B ^ 2 $.
Para hacer esto, recuerde la siguiente regla:
Si se suman a la expresión de cualquier unilateral y reste lo mismo, obtendremos una identidad fiel.
Añadimos a nuestra expresión y restamos $ Ab $ de ella:
Total obtenemos:
Es decir, la diferencia en los cuadrados de dos homorales es igual al producto de su diferencia por su suma.
Ejemplo 1.
Presente en forma de producto $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]
\\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d \\ izquierda (2x-y \\ derecha) (2x + y) \\]
La cantidad de cubos
Derivamos la fórmula de la cantidad de cubos $ a ^ 3 + b ^ $ 3.
Llevaré a cabo factores generales para llaves:
Traeré $ \\ izquierda para soportes (A + B \\ Derecha) $:
Total obtenemos:
Es decir, la suma de los cubos de dos homorales es igual al trabajo de su suma en el cuadrado incompleto de su diferencia.
Ejemplo 2.
Enviar en forma de producto $ (8x) ^ 3 + y ^ $ 3
Esta expresión se puede reescribir en el siguiente formulario:
\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]
Usando la fórmula de la diferencia cuadrada, obtenemos:
\\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d \\ izquierda (2x + y \\ derecha) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]
Diferencias cúbicas
Pongamos la fórmula la diferencia de cubos $ a ^ 3-B ^ $ 3.
Para esto usaremos la misma regla que la anterior.
Añadimos a nuestra expresión y restamos fuera de él. $ A ^ 2B \\ y \\ (AB) ^ $ 2:
Llevaré a cabo factores generales para llaves:
Transferiré $ \\ izquierda para soportes (A-B \\ Derecha) $:
Total obtenemos:
Es decir, la diferencia de cubos de dos homorales es igual al producto de su diferencia en el cuadrado incompleto de su suma.
Ejemplo 3.
Presente en forma de producto $ (8x) ^ 3-y ^ $ 3
Esta expresión se puede reescribir en el siguiente formulario:
\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]
Usando la fórmula de la diferencia cuadrada, obtenemos:
\\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d \\ izquierda (2x-y \\ derecha) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]
Un ejemplo de tareas para usar las fórmulas de la diferencia de cuadrados y la cantidad y la diferencia de cubos.
Ejemplo 4.
Desintegrarse.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $
Decisión:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\\ [(((A + 5)) ^ 2-9 \u003d (A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]
Usando la fórmula de la diferencia en cuadrados, obtenemos:
\\ [((A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d \\ a la izquierda (A + 5-3 \\ Derecha) \\ izquierda (A + 5 + 3 \\ derecha) \u003d \\ \\ \\ a la izquierda (A + 2 \\ derecha) (A +8) \\]
Escribimos esta expresión en el formulario:
Aplicar la fórmula de los cubos del cubo:
c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $
Escribimos esta expresión en el formulario:
\\ [- x ^ 3 + \\ frac (1) (27) \u003d (\\ \\ \\ \\ frac (1) (3) \\ derecha)) ^ 3-x ^ 3 \\]
Aplicar la fórmula de los cubos del cubo:
\\ [(\\ izquierda (\\ frac (1) (3) \\ derecha)) ^ 3-x ^ 3 \u003d \\ \\ \\ frac (1) (3) -x \\ derecha) \\ izquierda (\\ frac (1) ( 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ derecha) \\]
En lecciones anteriores, revisamos dos métodos de descomposición de un polinomio a multiplicadores: el factor general para los corchetes y el método de agrupación.
En esta lección, consideraremos otra forma de descomposición de polinomios a multiplicadores. Usando las fórmulas de la multiplicación abreviada..
Recomendamos cada fórmula para registrarse al menos 12 veces. Para una mejor memorización, escriba todas las fórmulas de la multiplicación abreviada de usted mismo en una pequeña cuna.
Recordemos cómo se ve la fórmula de la diferencia de cubos.
a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)La fórmula de la diferencia cúbica no es muy fácil de memorizar, por lo que recomendamos usar una forma especial de memorizarla.
Es importante entender que cualquier fórmula de multiplicación abreviada es válida en reverso .
(A - b) (un 2 + Ab + b 2) \u003d A 3 - B 3Considere un ejemplo. Es necesario descomponer la diferencia en los cubos en los multiplicadores.
Notamos que "27a 3" es "(3a) 3", significa para la fórmula de diferencia cúbica en lugar de "A" que usamos "3A".
Utilizando la fórmula de la diferencia de cubo. En su lugar, "A 3", tenemos "27A 3", y en el sitio "B 3", como en la fórmula, es "B 3".
Aplicación de la diferencia de cubos en la dirección opuesta.
Considera otro ejemplo. Se requiere transformar el producto de polinomios en la diferencia de cubos utilizando la fórmula de la multiplicación abreviada.
Tenga en cuenta que el producto de polinomios "(x - 1) (x 2 + x + 1)" se asemeja al lado derecho de la fórmula de la diferencia de cubo "", solo en lugar de "A" significa "X", y en el sitio "B "Costos" 1 ".
Utilizamos para "(x - 1) (x 2 + x + 1)" La fórmula de la diferencia de cubos en la dirección opuesta.
Considera un ejemplo más difícil. Se requiere simplificar el producto de polinomios.
Si se compara "(Y 2 - 1) (Y 4 + Y 2 + 1)" Con la parte derecha de la fórmula de la diferencia de cubo
« a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)"Se puede entender que en el sitio" A "del primer soporte es" Y 2, y en el sitio "B" es "1".
Fórmulas de multiplicación abreviada.
Estudio de las fórmulas de la multiplicación abreviada: el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones; Diferencias cuadradas de dos expresiones; Sumas de Cuba y la diferencia de cubo de dos expresiones; Importes y diferencias de cubos de dos expresiones.
El uso de fórmulas de la multiplicación abreviada al resolver ejemplos.
Para simplificar las expresiones, la descomposición de los polinomios en los multiplicadores, trayendo polinomios a estándar Se utilizan las fórmulas de la multiplicación abreviada. Las fórmulas de multiplicación abreviadas deben ser conocidas..
Deja que A, B r. Entonces:
1. El cuadrado de la suma de dos expresiones es igual. El cuadrado de la primera expresión más un producto retorcido de la primera expresión en la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
2. El cuadrado de la diferencia de dos expresiones es igual. El cuadrado de la primera expresión menos menos un producto de la primera expresión en la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B 2
3. Diferencias Cuadradasdos expresiones son iguales al producto de estas expresiones y su suma.
a 2 - B 2 \u003d (A -B) (A + B)
4. Cantidad de cubodos expresiones son iguales a Cuba de la primera expresión más el producto triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo más el producto triplicado de la primera expresión en el cuadrado del segundo cubo más de la segunda expresión.
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
5. DIFERENCIA DE CUBOdos expresiones son iguales a Cuba de la primera expresión menos el trabajo triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo más el trabajo triplicado de la primera expresión en el cuadrado del segundo cubo menos de la segunda expresión.
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
6. La cantidad de cubosdos expresiones son iguales a la cantidad de la suma de la primera y la segunda expresión en el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.
a 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
7. Diferencias cúbicas Dos expresiones son iguales al producto de la primera y la segunda expresión en un cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.
a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)
El uso de fórmulas de la multiplicación abreviada al resolver ejemplos.
Ejemplo 1.
Calcular
a) Usando la suma de la suma de dos expresiones, tenemos
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
b) Usando la fórmula del cuadrado de la diferencia de dos expresiones, obtenemos
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604
Ejemplo 2.
Calcular
Usando la fórmula del tamaño de los cuadrados de dos expresiones, obtenemos
Ejemplo 3.
Simplificar la expresión
(x - y) 2 + (x + y) 2
Utilizamos las fórmulas cuadradas de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones.
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2h + en 2 + x 2 + 2h + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Fórmulas de multiplicación abreviada en una tabla:
(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B 2
A 2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
A 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
A 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)
Las fórmulas de la multiplicación abreviada (FSU) se utilizan para erigir números y expresiones en el grado y la multiplicación de números. A menudo, estas fórmulas permiten cálculos más compactos y rápidamente.
En este artículo, enumeramos las fórmulas básicas de la multiplicación abreviada, las agrupamos en una tabla, consideramos ejemplos de uso de estas fórmulas, y también se centran en los principios de evidencia de las fórmulas de la multiplicación abreviada.
Por primera vez, el tema de FSU se considera dentro del marco del curso "Álgebra" para el grado 7. Damos menos de 7 de las fórmulas principales.
Fórmulas de multiplicación abreviada.
- fórmula cuadrada CANTIDAD: A + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2
- fórmula del cuadrado de la diferencia: A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2
- cuba Formula Suma: A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3
- fórmula Cuba Diferencia: A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3
- fórmula de diferencia cuadrada: A 2 - B 2 \u003d A - B A + B
- fórmula de los cubos: A 3 + B 3 \u003d A + B A 2 - A B + B 2
- fórmula de diferencia cúbica: A 3 - B 3 \u003d A - B A 2 + A B + B 2
Las letras A, B, C en estas expresiones pueden ser cualquier número, variables o expresiones. Para facilitar el uso, es mejor aprender siete fórmulas básicas por corazón. Los minimizamos en la mesa y nos entregamos a continuación el circuito.
Las primeras cuatro fórmulas permiten calcular el monto cuadrado o del cubo o la diferencia de dos expresiones, respectivamente.
La quinta fórmula calcula la diferencia de cuadrados de expresiones por producto de su suma y diferencia.
Las fórmulas sexto y séptima son, respectivamente, multiplicando la cantidad y la diferencia de expresiones en un cuadrado incompleto de la diferencia y la suma cuadrada incompleta.
La fórmula de la multiplicación abreviada se conoce a veces como las identidades de la multiplicación abreviada. Esto no es sorprendente, ya que cada igualdad es una identidad.
Al resolver ejemplos prácticos, a menudo se utilizan fórmulas de multiplicación abreviada con lugares reorganizados a menudo. Esto es especialmente conveniente cuando hay una descomposición de un polinomio a los multiplicadores.
Fórmulas adicionales de multiplicación abreviada.
No se limitaremos a un curso de grado 7 por álgebra y agregaremos varias fórmulas a nuestra mesa a nuestra mesa.
Primero, considere la fórmula de Binoma Newton.
a + B N \u003d C N 0 · A N + C N 1 · A N - 1 · B + C N 2 · A N - 2 · B 2 +. . + C n n - 1 · A · B N - 1 + C N N · B N
Aquí, los coeficientes binomiales son los coeficientes binomiales que se encuentran en una fila en el número N en el triángulo Pascal. Los coeficientes binomiales se calculan por la fórmula:
C n k \u003d n! ¡Ay! · (N - k)! \u003d n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k!
Como vemos, el FSU para la plaza y el cubo de la diferencia y la suma es un caso especial de la fórmula de Newton Binoma en N \u003d 2 y N \u003d 3ctent.
Pero, ¿qué pasa si los componentes en la cantidad que necesita para ser realizados en un grado, más de dos? La fórmula de la suma de tres, cuatro y más componentes será útil.
un 1 + A 2 +. . + A n 2 \u003d A 1 2 + A 2 2 +. . + A n 2 + 2 A 1 A 2 + 2 A 1 A 3 +. . + 2 A 1 A N + 2 A 2 A 3 + 2 A 2 A 4 +. . + 2 A 2 A N + 2 A N - 1 A N
Otra fórmula que puede ser útil: la fórmula para la fórmula para la diferencia de n-th grados de los dos términos.
a N - B N \u003d A - B A N - 1 + A N - 2 B + A N - 3 B 2 +. . + A 2 B N - 2 + B N - 1
Esta fórmula generalmente se separa en dos fórmulas, respectivamente, para grados pares y impares.
Para incluso los indicadores 2M:
a 2 m - b 2 m \u003d A 2 - B 2 A 2 M - 2 + A 2 M - 4 B 2 + A 2 M - 6 B 4 +. . + B 2 m - 2
Para indicadores impares 2m + 1:
a 2 M + 1 - B 2 M + 1 \u003d A 2 - B 2 A 2 M + A 2 M - 1 B + A 2 M - 2 B 2 +. . + b 2 m
La diferencia de fórmulas de cuadrados y la diferencia de cubos, como adivinó, son casos especiales de esta fórmula para n \u003d 2 y n \u003d 3, respectivamente. Porque la diferencia de cubos B también es reemplazada por - b.
¿Cómo leer fórmulas de multiplicación abreviada?
Damos la redacción adecuada para cada fórmula, pero primero entenderemos el principio de las fórmulas de lectura. Es más conveniente hacer esto, por ejemplo. Tome la primera fórmula del cuadrado de la suma de dos números.
a + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2.
Dicen: la plaza de la suma de dos expresiones A y B igual a la suma El cuadrado de la primera expresión, el doble del trabajo de las expresiones y el cuadrado de la segunda expresión.
Todas las otras fórmulas se leen de manera similar. Para el cuadrado de la diferencia A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2 escribimos:
el cuadrado de la diferencia de dos expresiones A y B es igual a la suma de los cuadrados de estas expresiones menos un producto dos veces de la primera y la segunda expresión.
Leamos la fórmula A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3. El cubo de la suma de dos expresiones A y B es igual a la suma de los cubos de estas expresiones, el trabajo triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo y triple producto del cuadrado de la segunda expresión en la primera expresión. .
Vaya a la lectura de la fórmula para la diferencia de cubos A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3. El cubo de diferencia de dos expresiones A y B es igual a Cuba de la primera expresión menos el trabajo triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo, más el producto triplicado del cuadrado de la segunda expresión en la primera expresión, menos la Cubo de la segunda expresión.
La quinta fórmula A 2 - B 2 \u003d A - B A + B (la diferencia de cuadrados) se lee como esta: la diferencia en los cuadrados de dos expresiones es igual al producto de la diferencia y la suma de dos expresiones.
Las expresiones de tipo A 2 + A B + B 2 y A 2 - A B + B 2 para mayor comodidad se denominan un cuadrado incompleto de la suma y un cuadrado incompleto de la diferencia.
Con esto en mente, la fórmula de la cantidad y la diferencia de cubos se leerán así:
La suma de los cubos de dos expresiones es igual a la cantidad de la suma de estas expresiones en el cuadrado incompleto de su diferencia.
La diferencia de cubos de dos expresiones es igual al producto de estas expresiones en un cuadrado incompleto de su suma.
Prueba de FSU
Probar el FSU es bastante simple. Basado en las propiedades de la multiplicación, multiplicaremos las partes de las fórmulas entre paréntesis.
Por ejemplo, considere la fórmula del cuadrado de la diferencia.
a - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2.
Para construir una expresión en segundo grado, debe multiplicarse por sí mismo.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Soportes de recuerdo:
a - B A - B \u003d A 2 - A B - B A + B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2.
La fórmula está probada. El FSU restante se prueba de manera similar.
Ejemplos de aplicando FSU
El propósito de usar las fórmulas de la multiplicación abreviada es una multiplicación rápida y corta y la erección de expresiones en un grado. Sin embargo, este no es el alcance completo de la aplicación de FSU. Se usan ampliamente en la reducción de expresiones, reducción de fracciones, descomposición de polinomios en multiplicadores. Damos ejemplos.
Ejemplo 1. FSU
Simplificamos la expresión 9 y - (1 + 3 y) 2.
Aplique la fórmula de la suma de los cuadrados y obtenga:
9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2
Ejemplo 2. FSU
Fracción de reducción 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Notamos que la expresión en el numerador es la diferencia de cubos, y en el denominador, la diferencia de cuadrados.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Reducir y obtener:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Además, la FSA ayuda a calcular los valores de las expresiones. Lo principal es poder notar dónde aplicar la fórmula. Muéstralo en el ejemplo.
Erigió un número 79 en cuadrado. En lugar de computación voluminosa, escriba:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Parecería que el cálculo complejo se llevó a cabo rápidamente solo utilizando las fórmulas de la multiplicación abreviada y la tabla de multiplicación.
Otro punto importante es la liberación del cuadrado del contenedor. La expresión 4 x 2 + 4 x - 3 se puede convertir en el formulario 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. Tales transformaciones son ampliamente utilizadas en la integración.
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