Calculadora para encontrar el módulo de un número complejo. Tutorial: Números complejos

Números complejos

Imaginario Y números complejos. Abscisa y ordenada

Número complejo. Conjugar números complejos.

Operaciones con números complejos. Geométrico

representación de números complejos. Plano complejo.

Módulo y argumento de un número complejo. Trigonométrico

forma de número complejo. Operaciones con complejos

números en forma trigonométrica. La fórmula de Moivre.

Información básica sobre imaginario Y números complejos se dan en la sección “Números imaginarios y complejos”. La necesidad de estos números de un nuevo tipo surgió al resolver ecuaciones cuadráticas para el casoD< 0 (здесь D– discriminante de una ecuación cuadrática). Durante mucho tiempo, estos números no encontraron aplicación física, por eso se les llamó números "imaginarios". Sin embargo, ahora se utilizan mucho en diversos campos de la física.

y tecnología: ingeniería eléctrica, hidro y aerodinámica, teoría de la elasticidad, etc.

Números complejos se escriben en la forma:a+bi. Aquí a Y b – numeros reales , A i – unidad imaginaria, es decir mi. i 2 = –1. Número a llamado abscisa, a b - ordenadaNúmero complejoa + bi.Dos números complejosa+bi Y a–bi son llamados conjugado números complejos.

Principales acuerdos:

1. número realATambién se puede escribir en la formaNúmero complejo:un + 0 i o a - 0 i. Por ejemplo, registros 5 + 0i y 5 – 0 isignifica el mismo número 5 .

2. Número complejo 0 + billamado puramente imaginario número. Registrobisignifica lo mismo que 0 + bi.

3. Dos números complejosa+bi Yc + dise consideran iguales sia = c Y segundo = re. De lo contrario Los números complejos no son iguales.

Suma. Suma de números complejosa+bi Y c + dise llama número complejo (aire+c ) + (b+d ) i.De este modo, al agregar números complejos, sus abscisas y ordenadas se suman por separado.

Esta definición corresponde a las reglas para operaciones con polinomios ordinarios.

Sustracción. La diferencia de dos números complejos.a+bi(disminuido) y c + di(sustraendo) se llama número complejo (C.A ) + (b-d ) i.

De este modo, Al restar dos números complejos, sus abscisas y ordenadas se restan por separado.

Multiplicación. Producto de números complejosa+bi Y c + di se llama número complejo:

(ac-bd ) + (anuncio+bc ) i.Esta definición se deriva de dos requisitos:

1) números a+bi Y c + didebe multiplicarse como algebraico binomios,

2) número itiene la propiedad principal:i 2 = – 1.

EJEMPLO ( a+bi )(a–bi) = un 2 +b 2 . Por eso, trabajar

dos números complejos conjugados son iguales al real

un número positivo.

División. dividir un número complejoa+bi (divisible) por otroc + di(divisor) - significa encontrar el tercer númeromi + f yo(chat), que al multiplicarse por un divisorc + di, da como resultado el dividendoa + bi.

Si el divisor no es cero, siempre es posible la división.

EJEMPLO Encuentra (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Solución. Reescribamos esta proporción como una fracción:

Multiplicando su numerador y denominador por 2 + 3i

Y Habiendo realizado todas las transformaciones, obtenemos:

Representación geométrica de números complejos. Los números reales están representados por puntos en la recta numérica:

Aquí está el punto Asignifica el número –3, puntoB– número 2, y oh- cero. Por el contrario, los números complejos se representan mediante puntos en el plano coordenado. Para ello, elegimos coordenadas rectangulares (cartesianas) con las mismas escalas en ambos ejes. Entonces el número complejoa+bi estará representado por un punto P con abscisa a y ordenada b (ver imagen). Este sistema de coordenadas se llama plano complejo .

Módulo El número complejo es la longitud del vector.OP, que representa un número complejo en la coordenada ( integral) avión. Módulo de un número complejoa+bi denotado | a+bi| o carta r

Recordemos la información necesaria sobre números complejos.

Número complejo es una expresión de la forma a + bi, Dónde a, b son números reales y i- llamado unidad imaginaria, un símbolo cuyo cuadrado es igual a –1, es decir i 2 = –1. Número a llamado parte real, y el número b - parte imaginaria Número complejo z = a + bi. Si b= 0, entonces en su lugar a + 0i ellos escriben simplemente a. Se puede observar que los números reales son un caso especial de números complejos.

Las operaciones aritméticas con números complejos son las mismas que con números reales: se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre sí. La suma y la resta ocurren según la regla ( a + bi) ± ( C + di) = (a ± C) + (b ± d)i, y la multiplicación sigue la regla ( a + bi) · ( C + di) = (C.A – bd) + (anuncio + antes de Cristo)i(aquí se usa eso i 2 = –1). Número = a – bi llamado complejo conjugado A z = a + bi. Igualdad z · = a 2 + b 2 le permite comprender cómo dividir un número complejo por otro número complejo (distinto de cero):

(Por ejemplo, .)

Los números complejos tienen una representación geométrica cómoda y visual: número z = a + bi se puede representar mediante un vector con coordenadas ( a; b) en el plano cartesiano (o, lo que es casi lo mismo, un punto, el final de un vector con estas coordenadas). En este caso, la suma de dos números complejos se representa como la suma de los vectores correspondientes (que se pueden encontrar usando la regla del paralelogramo). Según el teorema de Pitágoras, la longitud del vector con coordenadas ( a; b) es igual a . Esta cantidad se llama módulo Número complejo z = a + bi y se denota por | z|. El ángulo que forma este vector con la dirección positiva del eje x (contado en sentido antihorario) se llama argumento Número complejo z y se denota por Arg z. El argumento no está definido de forma única, sino sólo hasta la suma de un múltiplo de 2. π radianes (o 360°, si se cuentan en grados); después de todo, está claro que una rotación de tal ángulo alrededor del origen no cambiará el vector. Pero si el vector de longitud r forma un ángulo φ con la dirección positiva del eje x, entonces sus coordenadas son iguales a ( r porque φ ; r pecado φ ). De aquí resulta notación trigonométrica Número complejo: z = |z| · (cos(Arg z) + i pecado(Arg z)). A menudo resulta conveniente escribir números complejos de esta forma, porque simplifica enormemente los cálculos. Multiplicar números complejos en forma trigonométrica es muy sencillo: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + argumento z 2) + i pecado(Arg z 1 + argumento z 2)) (al multiplicar dos números complejos, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos). Desde aquí sigue Las fórmulas de Moivre: zn = |z|norte· (porque( norte· (Arg. z)) + i pecado( norte· (Arg. z))). Con estas fórmulas, es fácil aprender a extraer raíces de cualquier grado de números complejos. raíz enésima de z- este es un número complejo w, Qué wn = z. Está claro que , Y donde k puede tomar cualquier valor del conjunto (0, 1, ..., norte- 1). Esto significa que siempre hay exactamente norte raíces norteésimo grado de un número complejo (en el plano están ubicados en los vértices del regular norte-gón).

§ 1. Números complejos: definiciones, interpretación geométrica, acciones en formas algebraicas, trigonométricas y exponenciales.

Definición de un número complejo

Igualdades complejas

Representación geométrica de números complejos.

Módulo y argumento de un número complejo.

Formas algebraicas y trigonométricas de un número complejo.

Forma exponencial de un número complejo

las fórmulas de euler

§ 2. Funciones enteras (polinomios) y sus propiedades básicas. Resolver ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos.

Definición de una ecuación algebraica de grado

Propiedades básicas de los polinomios.

Ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos.

Preguntas de autoevaluación

Glosario

§ 1. Números complejos: definiciones, interpretación geométrica, acciones en formas algebraicas, trigonométricas y exponenciales.

Definición de un número complejo ( Indique la definición de un número complejo.)

Un número complejo z es una expresión de la siguiente forma:

Número complejo en forma algebraica,(1)

donde x, y Î;

- número conjugado complejo número z ;

- numero opuesto número z ;

- cero complejo ;

– así se denota el conjunto de los números complejos.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, soy z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= –1, soy z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, soy z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ si soy z= 0, entonces z = X- Número Real;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, soy z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ si Re z= 0, entonces z = yo - número puramente imaginario.

Igualdades complejas (Formular el significado de igualdad compleja.)

1) ;

2) .

Una igualdad compleja equivale a un sistema de dos igualdades reales. Estas igualdades reales se obtienen a partir de la igualdad compleja separando las partes real e imaginaria.

1) ;

2) .

Representación geométrica de números complejos ( ¿Cuál es la representación geométrica de los números complejos?)

Número complejo z representado por un punto ( X , y) en el plano complejo o el vector de radio de este punto.

Firmar z en el segundo trimestre significa que se utilizará el sistema de coordenadas cartesiano como plano complejo.

Módulo y argumento de un número complejo ( ¿Cuál es el módulo y argumento de un número complejo?)

El módulo de un número complejo es un número real no negativo.

.(2)

Geométricamente, el módulo de un número complejo es la longitud del vector que representa el número z, o radio polar de un punto ( X , y).

Dibuja los siguientes números en el plano complejo y escríbelos en forma trigonométrica.

1)z = 1 + i Þ

Þ ;

5),

es decir, para z = 0 será

, j indefinido.

Operaciones aritméticas con números complejos. (Dar definiciones y enumerar las propiedades básicas de las operaciones aritméticas con números complejos.)

Suma (resta) de números complejos

z 1 ± z 2 = (X 1 + yo 1) ± ( X 2 + yo 2) = (X 1 ± X 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

es decir, al sumar (restar) números complejos, se suman (restan) sus partes reales e imaginarias.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Propiedades básicas de la suma.

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Multiplicar números complejos en forma algebraica

z 1∙z 2 = (X 1 + yo 1)∙(X 2 + yo 2) = X 1X 2 + X 1yo 2 + yo 1X 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (X 1X 2 – y 1y 2) + i (X 1y 2 + y 1X 2),

es decir, la multiplicación de números complejos en forma algebraica se realiza según la regla de multiplicación algebraica de un binomio por un binomio, seguida de la sustitución y reducción de otros similares en términos reales e imaginarios.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Multiplicar números complejos en forma trigonométrica

z 1∙z 2 = r 1(porque j 1 + i pecado j 1) × r 2(porque j 2 + i pecado j 2) =

= r 1r 2(porque j 1cos j 2 + i porque j 1pecado j 2 + i pecado j 1cos j 2 + i 2 pecado j 1pecado j 2) =

= r 1r 2((porque j 1cos j 2 – pecado j 1pecado j 2) + i(porque j 1pecado j 2 + pecado j 1cos j 2))

El producto de números complejos en forma trigonométrica, es decir, al multiplicar números complejos en forma trigonométrica se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos.

Propiedades básicas de la multiplicación.

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - conmutatividad;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2) × z 3 = z 1×( z 2× z 3) - asociatividad;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - distributividad con respecto a la suma;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

División de números complejos

La división es la operación inversa de la multiplicación, por lo que

Si z × z 2 = z 1 y z 2 ¹ 0, entonces .

Al realizar la división en forma algebraica, el numerador y el denominador de la fracción se multiplican por el conjugado complejo del denominador:

División de números complejos en forma algebraica.(7)

Al realizar la división en forma trigonométrica, se dividen los módulos y se restan los argumentos:

División de números complejos en forma trigonométrica.(8)

2)
.

Elevar un número complejo a una potencia natural.

Es más conveniente realizar la exponenciación en forma trigonométrica:

Fórmula de Moivre, (9)

es decir, cuando un número complejo se eleva a una potencia natural, su módulo se eleva a esta potencia y el argumento se multiplica por el exponente.

Calcular (1 + i)10.

Notas

1. Al realizar las operaciones de multiplicación y elevación a una potencia natural en forma trigonométrica, se pueden obtener valores de ángulos superiores a una revolución completa. Pero siempre se pueden reducir a ángulos o eliminando un número entero de revoluciones completas usando las propiedades de periodicidad de las funciones y.

2. Significado llamado valor principal del argumento de un número complejo;

en este caso, los valores de todos los ángulos posibles se denotan por ;

es obvio que , .

Extraer la raíz de un grado natural de un número complejo

Fórmulas de Euler(16)

para el cual funciones trigonométricas y una variable real se expresan mediante una función exponencial (exponente) con exponente puramente imaginario.

§ 2. Funciones enteras (polinomios) y sus propiedades básicas. Resolver ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos.

Dos polinomios del mismo grado norte son idénticamente iguales entre sí si y sólo si sus coeficientes coinciden para las mismas potencias de la variable X, eso es

Prueba

w La identidad (3) es válida para "xО (o "xО)

Þ es válido para ; sustituyendo obtenemos un = mn .

Cancelemos mutuamente los términos en (3) un Y mn y dividir ambas partes por X :

Esta identidad también es cierta para " X, incluso cuando X = 0

Þ asumiendo X= 0, obtenemos un – 1 = mn – 1.

Cancelemos mutuamente los términos en (3") un– 1 y a norte– 1 y dividir ambos lados por X, como resultado obtenemos

Siguiendo el argumento de manera similar, obtenemos que un – 2 = mn –2, …, A 0 = b 0.

Así, se ha demostrado que la igualdad idéntica de polinomios 2-x implica la coincidencia de sus coeficientes en los mismos grados. X .

La afirmación inversa es bastante obvia, es decir. Si dos polinomios tienen los mismos coeficientes, entonces son funciones idénticas, por lo tanto, sus valores coinciden para todos los valores del argumento, lo que significa que son idénticamente iguales. La propiedad 1 ha sido completamente probada. v

Al dividir un polinomio pn (X) por la diferencia ( X – X 0) el resto es igual a pn (X 0), es decir

Teorema de Bezout,(4)

Dónde qn – 1(X) - la parte entera de la división, es un polinomio de grado ( norte – 1).

Prueba

w Escribamos la fórmula de división con resto:

pn (X) = (X – X 0)∙qn – 1(X) + A ,

Dónde qn – 1(X) - polinomio de grado ( norte – 1),

A- el resto, que es un número debido al conocido algoritmo de división de un polinomio por un binomio “en una columna”.

Esta igualdad es cierta para " X, incluso cuando X = X 0 Þ

pn (X 0) = (X 0 – X 0)× qn – 1(X 0) + A Þ

A = pn (X 0), etc v

Corolario del teorema de Bezout. Al dividir un polinomio por un binomio sin resto

si el numero X 0 es el cero del polinomio, entonces este polinomio se divide por la diferencia ( X – X 0) sin resto, es decir

Þ .(5)

1), ya que PAG 3(1)º 0

2) porque PAG 4(–2)º 0

3) porque PAG 2(–1/2)º 0

Dividir polinomios en binomios “en una columna”:

Todo polinomio de grado n ³ 1 tiene al menos un cero, real o complejo.

La demostración de este teorema está más allá del alcance de nuestro curso. Por tanto, aceptamos el teorema sin demostración.

Trabajemos este teorema y el teorema de Bezout con el polinomio. pn (X).

Después norte-Aplicación múltiple de estos teoremas obtenemos que

Dónde a 0 es el coeficiente en X norte V pn (X).

Corolario del teorema fundamental del álgebra. Sobre la descomposición de un polinomio en factores lineales

Cualquier polinomio de grado del conjunto de números complejos se puede descomponer en norte factores lineales, es decir

Expansión de un polinomio en factores lineales, (6)

donde x1, x2, ... xn son los ceros del polinomio.

Es más, si k números del conjunto X 1, X 2, … xn coinciden entre sí y con el número a, luego en el producto (6) el multiplicador ( X- a) k. Entonces el numero X= a se llama k veces cero del polinomio pn ( X) . Si k= 1, entonces se llama cero cero simple del polinomio pn ( X) .

1)PAG 4(X) = (X – 2)(X– 4)3 Þ X 1 = 2 - cero simple, X 2 = 4 - triple cero;

2)PAG 4(X) = (X – i)4 Þ X = i- multiplicidad cero 4.

Propiedad 4 (sobre el número de raíces de una ecuación algebraica)

Cualquier ecuación algebraica Pn(x) = 0 de grado n tiene exactamente n raíces en el conjunto de los números complejos, si contamos cada raíz tantas veces como su multiplicidad.

1)X 2 – 4X+ 5 = 0 - ecuación algebraica de segundo grado

Þ X 1,2 = 2 ± = 2 ± i- dos raíces;

2)X 3 + 1 = 0 - ecuación algebraica de tercer grado

Þ X 1,2,3 = - tres raíces;

3)PAG 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0 Þ X 1 = 1, porque PAG 3(1) = 0.

dividir el polinomio PAG 3(X) en ( X – 1):

X 3	+	X 2	–	X	–	1	X – 1
X 3	–	X 2	X 2 + 2X +1
2X 2	–	X
2X 2	–	2X
X	–	1
X	–	1
0

ecuación original

PAG 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0 Û( X – 1)(X 2 + 2X+ 1) = 0 Û( X – 1)(X + 1)2 = 0

Þ X 1 = 1 - raíz simple, X 2 = –1 - raíz doble.

1) – raíces conjugadas complejas pareadas;

Cualquier polinomio con coeficientes reales se descompone en el producto de funciones lineales y cuadráticas con coeficientes reales.

Prueba

w dejar X 0 = a + bi- cero de un polinomio pn (X). Si todos los coeficientes de este polinomio son números reales, entonces también es cero (según la propiedad 5).

Calculemos el producto de binomios. :

ecuación polinómica de números complejos

Consiguió ( X – a)2 + b 2 - trinomio cuadrado con coeficientes reales.

Por tanto, cualquier par de binomios con raíces conjugadas complejas en la fórmula (6) conduce a un trinomio cuadrático con coeficientes reales. v

1)PAG 3(X) = X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X + 1);

2)PAG 4(X) = X 4 – X 3 + 4X 2 – 4X = X (X –1)(X 2 + 4).

Ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos ( Dar ejemplos de resolución de ecuaciones algebraicas en el conjunto de números complejos.)

1. Ecuaciones algebraicas de primer grado:

, es la única raíz simple.

2. Ecuaciones cuadráticas:

, – siempre tiene dos raíces (diferentes o iguales).

1) .

3. Ecuaciones binomiales de grado:

, – siempre tiene raíces diferentes.

Respuesta: , .

4. Resuelve la ecuación cúbica.

Una ecuación de tercer grado tiene tres raíces (reales o complejas) y es necesario contar cada raíz tantas veces como su multiplicidad. Dado que todos los coeficientes de esta ecuación son números reales, las raíces complejas de la ecuación, si las hay, serán pares conjugados complejos.

Por selección encontramos la primera raíz de la ecuación, ya que .

Por corolario del teorema de Bezout. Calculamos esta división “en una columna”:

_

_

_

Ahora, representando el polinomio como producto de un factor lineal y uno cuadrado, obtenemos:

Encontramos otras raíces como raíces de una ecuación cuadrática:

Respuesta: , .

5. Construya una ecuación algebraica de menor grado con coeficientes reales, si se sabe que los números X 1 = 3 y X 2 = 1 + i son sus raíces, y X 1 es una raíz doble, y X 2 - sencillo.

El número también es la raíz de la ecuación, porque los coeficientes de la ecuación deben ser reales.

En total, la ecuación requerida tiene 4 raíces: X 1, X 1,X 2, . Por tanto, su grado es 4. Componemos un polinomio de 4º grado con ceros. X

11. ¿Qué es un cero complejo?

13. Formule el significado de igualdad compleja.

15. ¿Cuál es el módulo y argumento de un número complejo?

17. ¿Cuál es el argumento de un número complejo?

18. ¿Cuál es el nombre o significado de la fórmula?

19. Explique el significado de la notación en esta fórmula:

27. Dar definiciones y enumerar las principales propiedades de las operaciones aritméticas con números complejos.

28. ¿Cuál es el nombre o significado de la fórmula?

29. Explique el significado de la notación en esta fórmula:

31. ¿Cuál es el nombre o significado de la fórmula?

32. Explique el significado de la notación en esta fórmula:

34. ¿Cuál es el nombre o significado de la fórmula?

35. Explique el significado de la notación en esta fórmula:

61. Enumere las principales propiedades de los polinomios.

63. Establece la propiedad de dividir un polinomio por la diferencia (x – x0).

65. ¿Cuál es el nombre o significado de la fórmula?

66. Explique el significado de la notación en esta fórmula:

67. ⌂ .

69. Enunciar el teorema: el teorema básico del álgebra.

70. ¿Cuál es el nombre o significado de la fórmula?

71. Explique el significado de la notación en esta fórmula:

75. Enuncie la propiedad sobre el número de raíces de una ecuación algebraica.

78. Enuncie la propiedad sobre la descomposición de un polinomio con coeficientes reales en factores lineales y cuadráticos.

Glosario

El k veces cero de un polinomio es... (p. 18)

un polinomio algebraico se llama... (p. 14)

una ecuación algebraica de enésimo grado se llama... (p. 14)

la forma algebraica de un número complejo se llama... (p. 5)

el argumento de un número complejo es... (página 4)

la parte real de un número complejo z es... (página 2)

un número conjugado complejo es... (página 2)

El cero complejo es... (página 2)

un número complejo se llama... (página 2)

una raíz de grado n de un número complejo se llama... (p. 10)

la raíz de la ecuación es... (p. 14)

los coeficientes del polinomio son... (p. 14)

la unidad imaginaria es... (página 2)

la parte imaginaria de un número complejo z es... (página 2)

el módulo de un número complejo se llama... (p. 4)

el cero de una función se llama... (p. 14)

la forma exponencial de un número complejo se llama... (p. 11)

un polinomio se llama... (p. 14)

un cero simple de un polinomio se llama... (p. 18)

el número opuesto es... (página 2)

el grado de un polinomio es... (p. 14)

la forma trigonométrica de un número complejo se llama... (pág. 5)

La fórmula de Moivre es... (p. 9)

Las fórmulas de Euler son... (página 13)

se llama una función completa... (p. 14)

un número puramente imaginario es... (p. 2)

usando la calculadora

Para evaluar una expresión, debe ingresar una cadena para ser evaluada. Al ingresar números, el separador entre las partes enteras y fraccionarias es un punto. Puedes usar paréntesis. Las operaciones con números complejos son multiplicación (*), división (/), suma (+), resta (-), exponenciación (^) y otras. Puedes usar formas exponenciales y algebraicas para escribir números complejos. Introduzca la unidad imaginaria i es posible sin el signo de multiplicación; en otros casos, se requiere el signo de multiplicación, por ejemplo, entre paréntesis o entre un número y una constante. También se pueden utilizar constantes: el número π se introduce como pi, exponente mi, cualquier expresión del indicador debe estar entre paréntesis.

Línea de ejemplo para el cálculo: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), que corresponde a la expresión \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

La calculadora puede utilizar constantes, funciones matemáticas, operaciones adicionales y expresiones más complejas; puede familiarizarse con estas funciones en la página de reglas generales para el uso de calculadoras en este sitio;

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Noticias

07.07.2016
Se agregó una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales: .

30.06.2016
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Clase 12 . Números complejos.

12.1. Definición de números complejos en forma algebraica. Comparación y representación de números complejos en el plano complejo. Emparejamiento complejo. Suma, multiplicación, división de números complejos.

12.2. Módulo, argumento de un número complejo.

12.3. Formas trigonométricas y exponenciales de escribir un número complejo.

12.4. Elevando a una potencia entera y extrayendo la raíz de un número complejo.

Definición de números complejos en forma algebraica. Comparación y representación de números complejos en el plano complejo. Emparejamiento complejo. Suma, multiplicación, división de números complejos.

Un número complejo en forma algebraica es el número

Dónde
llamado unidad imaginaria Y
- numeros reales:
llamado parte real (real);
- parte imaginaria Número complejo . Números complejos de la forma
son llamados números puramente imaginarios. El conjunto de todos los números complejos se denota con la letra. .

Priorato,

El conjunto de todos los números reales. es parte del conjunto
: . Por otro lado, existen números complejos que no pertenecen al conjunto . Por ejemplo,
Y
, porque
.

Los números complejos en forma algebraica surgen naturalmente al resolver ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación
.

Solución. ,

Por lo tanto, la ecuación cuadrática dada tiene raíces complejas.

,
.

Ejemplo 2. Encuentra las partes real e imaginaria de números complejos.

,

,
.

En consecuencia, las partes real e imaginaria del número. ,

cualquier numero complejo
representado por un vector en el plano complejo , que representa un plano con un sistema de coordenadas cartesiano
. El comienzo del vector se encuentra en el punto , y el final está en el punto con coordenadas
(Figura 1.) Eje
se llama eje real y el eje
- eje imaginario del plano complejo .

Los números complejos se comparan entre sí sólo mediante signos.
. . Si al menos una de las igualdades:
es violado, entonces
. Registros de tipo
no tiene sentido.

Por definición, complejo número
llamado conjugado complejo de un número
. En este caso escriben
. Es obvio que
. En todas partes debajo, una barra superior sobre un número complejo significará una conjugación compleja.

Por ejemplo, .

Puede realizar operaciones con números complejos como suma (resta), multiplicación y división.

1. Suma de números complejos hecho así:

Propiedades de la operación de suma:

- propiedad de conmutatividad;

- propiedad de la asociatividad.

Es fácil ver que geométricamente la suma de números complejos
significa la suma de los que les corresponden en el plano vectores según la regla del paralelogramo.

Operación de resta de números del numero hecho así:

2. Multiplicación de números complejos hecho así:

Propiedades de la operación de multiplicación:

- propiedad de conmutatividad;

- propiedad de asociatividad;

- la ley de la distributividad.

3. División de números complejos factible sólo con
y se hace así:

Ejemplo 3. Encontrar
, Si .

Ejemplo 4. Calcular
, Si .

z, porque
.

.(¡Ay!)

No es difícil comprobar (se sugiere que lo haga usted mismo) la validez de las siguientes afirmaciones:

Módulo, argumento de un número complejo.

Módulo de un número complejo
(módulo denotado por ) es un número no negativo
, es decir.
.

Significado geométrico - longitud del vector que representa el número en el plano complejo . La ecuacion
define el conjunto de todos los números (vectores por ), cuyos extremos se encuentran en el círculo unitario
.

Argumento de números complejos
(argumento denotado por
) este es un ángulo en radianes entre el eje real
y numero en el plano complejo , y positivo si se cuenta desde
antes en sentido antihorario y negativo si medido desde el eje
antes agujas del reloj.

Entonces el argumento numérico se determina de forma ambigua, hasta un plazo
, Dónde
. Definitivamente un argumento numérico. determinado dentro de una vuelta del círculo unitario
en la superficie . Generalmente necesitas encontrar
dentro del intervalo
,este valor se llama valor principal del argumento numérico y es designado
.

Y
números se puede encontrar a partir de la ecuación
, donde Necesariamente hay que tener en cuenta, en qué cuarto del avión se encuentra el final del vector - punto
:

Si
(1er cuarto del avión ), Eso ;

Si
(segundo cuarto del avión ), Eso;

Si
(3er cuarto del avión ), Eso ;

Si
(plano del cuarto cuarto ), Eso .

De hecho, el módulo y argumento del número.
, estas son coordenadas polares
puntos
- final del vector en la superficie .

Ejemplo 5. Encuentre el módulo y el valor principal del argumento de los números:

Argumentos de números apoyados en ejes.
, separando los cuartos 1,2,3,4 del plano complejo , se puede encontrar inmediatamente en las representaciones gráficas de estos números en el plano. .

Formas trigonométricas y exponenciales de escribir un número complejo. Multiplicación y división de números complejos en notación trigonométrica y exponencial.

Notación trigonométrica Número complejo
tiene la forma:

, (2)

Dónde - módulo, - argumento de número complejo . Esta representación de números complejos se deriva de las igualdades.

Demostrativo(exponencial) forma de escribir un número complejo
tiene la forma:

, (3)

Dónde - módulo, - argumento numérico . La posibilidad de representar números complejos en forma exponencial (3) se deriva de la forma trigonométrica (2) y la fórmula de Euler:

. (4)

Esta fórmula se demuestra en el curso de TFKP (Teoría de funciones de una variable compleja).

Ejemplo 6. Encuentra formas trigonométricas y exponenciales para números complejos: del ejemplo 5.

Solución. Usemos los resultados del Ejemplo 5, en el que se encuentran los módulos y argumentos de todos los números indicados.

- forma trigonométrica de escribir un número ,

- forma exponencial de escribir un número .

- forma trigonométrica de escribir un número ,

- forma exponencial de escribir un número .

Forma trigonométrica de escribir un número. ,

- forma exponencial de escribir un número .

- forma trigonométrica de escribir un número ,

- forma exponencial de escribir un número .

Forma trigonométrica de un número. ,

- forma trigonométrica de escribir un número ,

- forma exponencial de un número .

- forma trigonométrica de escribir un número ,

- forma exponencial de escribir un número .

La forma exponencial de escribir números complejos conduce a la siguiente interpretación geométrica de las operaciones de multiplicación y división de números complejos. Dejar
- formas exponenciales de números
.

1. Al multiplicar números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos.

2. Al dividir un número complejo por numero resulta ser un numero complejo , módulo que es igual a la relación de módulos , y el argumento - diferencias
argumentos numéricos
.

Elevando a una potencia entera y extrayendo la raíz de un número complejo.

Priorato,

Cuando se eleva a todo un poder Número complejo
, deberías proceder así: primero busca el módulo y argumento este número; introducir en forma demostrativa
; encontrar
realizando la siguiente secuencia de acciones

Dónde . (5)

Comentario. Argumento
números
puede no pertenecer al intervalo
. En este caso, según el valor obtenido encontrar el significado principal argumento