Método diferencial total. Ecuaciones en diferenciales totales

Se considera el método de solución. ecuaciones diferenciales con variables separables. Se da un ejemplo de una solución detallada de una ecuación diferencial con variables separables.

Contenido

Definición

Vamos a (X), q (X)- funciones de la variable x;
pag (y), r. (y)- funciones de la variable y.

Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma

Método para resolver una ecuación diferencial con variables separables

Considere la ecuación:
(i) .
Expresemos la derivada y′ en términos de diferenciales.
;
.
Multipliquemos por dx.
(ii)
Divide la ecuación por s (x)r(y). Esto se puede hacer si s (x) r(y) ≠ 0. Cuando es (x) r(y) ≠ 0 tenemos
.
Integrando obtenemos la integral general en cuadraturas.
(iii).

Ya que dividimos por s (x)r(y), entonces obtuvimos la integral de la ecuación para s (x) ≠ 0 yr (y) ≠ 0. Lo siguiente que necesitas para resolver la ecuación.
r (y) = 0.
Si esta ecuación tiene raíces, entonces también son soluciones de la ecuación (i). Sea la ecuación r (y) = 0. tiene n raíces a i, r (a i ) = 0, yo = 1, 2, ... , norte. Entonces las constantes y = a i son soluciones de la ecuación (i). Es posible que algunas de estas soluciones ya estén contenidas en la integral general (iii).

Tenga en cuenta que si la ecuación original se da en la forma (ii), entonces también debemos resolver la ecuación
s (x) = 0.
Sus raíces b j, s (bj) = 0, j = 1, 2, ... , metro. dar soluciones x = b j .

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial con variables separables.

Resuelve la ecuación

Expresemos la derivada mediante diferenciales:


Multiplica por dx y divide por . Para y ≠ 0 tenemos:

Integrémonos.

Calculamos las integrales usando la fórmula.



Sustituyendo obtenemos la integral general de la ecuación.
.

Consideremos ahora el caso, y = 0 .
Obviamente y = 0 es una solución a la ecuación original. No está incluido en la integral general.
Por tanto, lo sumaremos al resultado final.

; y= 0 .

Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunter, R.O. Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, “Lan”, 2003.

Ecuaciones diferenciales ordinarias.

La solución de diversos problemas geométricos, físicos y de ingeniería a menudo conduce a ecuaciones que relacionan las variables independientes que caracterizan un problema particular con alguna función de estas variables y derivadas de esta función de varios órdenes.

Como ejemplo, podemos considerar el caso más simple de movimiento uniformemente acelerado. punto material.

Se sabe que el desplazamiento de un punto material durante un movimiento uniformemente acelerado es función del tiempo y se expresa mediante la fórmula:

A su vez, la aceleración a es derivada con respecto al tiempo t de la velocidad V, que también es derivada del tiempo t de moverse S. Aquellos.

Entonces obtenemos:
- la ecuación conecta la función f(t) con la variable independiente t y la derivada de segundo orden de la función f(t).

Definición. Ecuación diferencial es una ecuación que relaciona variables independientes, sus funciones y derivadas (o diferenciales) de esta función.

Definición. Si una ecuación diferencial tiene una variable independiente, entonces se llama ecuación diferencial ordinaria, si hay dos o más variables independientes, entonces dicha ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial.

Definición. El orden más alto de derivadas que aparecen en una ecuación se llama orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo.

- ecuación diferencial ordinaria de 1er orden. EN vista general esta grabado
.

- ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. En general esta escrito

- ecuación diferencial parcial de primer orden.

Definición. solución general La ecuación diferencial es una función diferenciable y = (x, C), que, cuando se sustituye en la ecuación original en lugar de una función desconocida, convierte la ecuación en una identidad.

Propiedades de la solución general.

1) porque la constante C es un valor arbitrario, entonces, en términos generales, la ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

2) Bajo cualquier condición inicial x = x 0, y(x 0) = y 0, existe un valor C = C 0 en el cual la solución de la ecuación diferencial es la función y = (x, C 0).

Definición. Una solución de la forma y = (x, C 0) se llama solución privada ecuación diferencial.

Definición. problema de cauchy(Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matemático francés) es el hallazgo de cualquier solución particular a una ecuación diferencial de la forma y = (x, C 0), que satisface las condiciones iniciales y(x 0) = y 0.

El teorema de Cauchy. (teorema sobre la existencia y unicidad de una solución a una ecuación diferencial de primer orden)

Si la funciónF(X, y) es continua en alguna regiónDen el aviónXOYy tiene una derivada parcial continua en esta región
, entonces cualquiera que sea el punto (x 0 , y 0 ) en la zonaD, Sólo hay una solución
ecuaciones
, definido en algún intervalo que contiene el punto x 0 , tomando en x = x 0 significado (X 0 ) = y 0 , es decir. existe una única solución a la ecuación diferencial.

Definición. Integral Una ecuación diferencial es cualquier ecuación que no contiene derivadas y de la cual la ecuación diferencial dada es una consecuencia.

Ejemplo. Encontrar decisión común ecuación diferencial
.

La solución general de la ecuación diferencial se busca integrando los lados izquierdo y derecho de la ecuación, la cual previamente se transforma de la siguiente manera:

Ahora integremos:

es la solución general de la ecuación diferencial original.

Supongamos que nos dan algunos condiciones iniciales: x 0 = 1; y 0 = 2, entonces tenemos

Al sustituir el valor resultante de la constante en la solución general, obtenemos una solución particular para las condiciones iniciales dadas (solución al problema de Cauchy).

Definición. curva integral se llama gráfica y = (x) de la solución de una ecuación diferencial en el plano XOY.

Definición. Por decisión especial de una ecuación diferencial es tal solución en todos los puntos de los cuales se llama la condición de unicidad de Cauchy (ver. El teorema de Cauchy.) no se cumple, es decir en las proximidades de algún punto (x, y) hay al menos dos curvas integrales.

Las soluciones especiales no dependen de la constante C.

No se pueden obtener soluciones especiales a partir de la solución general para ningún valor de la constante C. Si construimos una familia de curvas integrales de una ecuación diferencial, entonces la solución especial estará representada por una línea que toca al menos una curva integral en cada punto. .

Tenga en cuenta que no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones especiales.

Ejemplo.
Encuentre una solución especial si existe.

Esta ecuación diferencial también tiene una solución especial. en= 0. Esta solución no se puede obtener de la general, pero al sustituir en la ecuación original obtenemos una identidad. La opinión de que la solución y = 0 se puede obtener de la solución general con CON 1 = 0 mal, porque C 1 = mi C  0.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Definición. Ecuación diferencial de primer orden se llama relación que conecta una función, su primera derivada y una variable independiente, es decir relación de la forma:

Si transformamos esta relación a la forma
entonces esta ecuación diferencial de primer orden se llamará ecuación, resuelto respecto del derivado.

Representemos la función f(x,y) como:
entonces, al sustituir en la ecuación anterior, tenemos:

este es el llamado forma diferencial ecuaciones de primer orden.

Ecuaciones de la formay ’ = F ( X ).

Sea la función f(x) definida y continua en algún intervalo

a< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
. Si se dan las condiciones iniciales x 0 e y 0, entonces se puede determinar la constante C.

Ecuaciones separables

Definición. Ecuación diferencial
llamado ecuación separable, si se puede escribir en la forma

.

Esta ecuación también se puede representar como:

Pasemos a nuevas notaciones.

Obtenemos:

Luego de encontrar las integrales correspondientes, se obtiene una solución general de la ecuación diferencial con variables separables.

Si se dan las condiciones iniciales, cuando se sustituyen en la solución general, se encuentra un valor constante C y, en consecuencia, se encuentra una solución particular.

Ejemplo. Encuentre la solución general a la ecuación diferencial:

La integral del lado izquierdo se toma por partes (ver. Integración por partes.):

esta es la integral general de la ecuación diferencial original, ya que la función deseada y no se expresa a través de una variable independiente. Esto es de lo que se trata diferencia general (privado) integral de general (privado) soluciones.

Para comprobar la exactitud de la respuesta recibida, la diferenciamos con respecto a la variable x.

- bien

Ejemplo. Encuentra la solución a la ecuación diferencial.
siempre que y(2) = 1.

para y(2) = 1 obtenemos

Total:
o
- solución privada;

Examen:
, total

- bien.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

- integral general

- decisión común

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Ejemplo. Resuelve la ecuación
siempre que y(1) = 0.

Tomaremos la integral del lado izquierdo por partes (ver. Integración por partes.).

Si y(1) = 0, entonces

Total, integral parcial:
.

Ejemplo. Resuelve la ecuación.

Para encontrar la integral en el lado izquierdo de la ecuación, vea Tabla de integrales básicas. cláusula 16. Obtenemos la integral general:

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Transformemos la ecuación dada:

Obtuvimos la integral general de esta ecuación diferencial. Si expresamos la función deseada y a partir de esta relación, obtenemos una solución general.

Ejemplo. Resuelve la ecuación
.

;
;

Digamos que se dan algunas condiciones iniciales x 0 e y 0. Entonces:

Obtenemos una solución privada

Ecuaciones homogéneas.

Definición. La función f(x, y) se llama homogéneonorte– ésima medición con respecto a sus argumentos x e y, si para cualquier valor del parámetro t (excepto cero) la identidad se cumple:

Ejemplo.¿Es la función homogénea?

Por tanto, la función f(x, y) es homogénea de tercer orden.

Definición. Ecuación diferencial de la forma
llamado homogéneo, si su lado derecho f(x, y) es una función homogénea de dimensión cero con respecto a sus argumentos.

Cualquier ecuación de la forma es homogénea si las funciones PAG(X, y) Y q(X, y) – funciones homogéneas de la misma dimensión.

Alguna solución ecuación homogénea se basa en reducir esta ecuación a una ecuación con variables separables.

Considere la ecuación homogénea.

Porque la función f(x, y) es homogénea de dimensión cero, entonces podemos escribir:

Porque el parámetro t es generalmente arbitrario, supongamos que . Obtenemos:

El lado derecho de la igualdad resultante en realidad depende de un solo argumento.
, es decir.

Por tanto, la ecuación diferencial original se puede escribir como:

Así, obtuvimos una ecuación con variables separables para la función desconocida u.

Ejemplo. Resuelve la ecuación
.

Introduzcamos una función auxiliar. tu.

.

Tenga en cuenta que la función que introdujimos tu siempre es positivo, porque de lo contrario, la ecuación diferencial original que contiene
.

Sustituye en la ecuación original:

Separamos las variables:

Integrando obtenemos:

Pasando de la función auxiliar a la función y, obtenemos la solución general:

Ecuaciones reducidas a homogéneas.

Además de las ecuaciones descritas anteriormente, existe una clase de ecuaciones que, utilizando ciertas sustituciones, se pueden reducir a homogéneas.

Estas son ecuaciones de la forma
.

Si el determinante
entonces las variables se pueden separar por sustitución

donde  y  son soluciones del sistema de ecuaciones

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Obtenemos

Encontrar el valor del determinante.
.

Resolver un sistema de ecuaciones

Aplicamos sustitución en la ecuación original:

Reemplazar la variable
al sustituir en la expresión escrita arriba, tenemos:

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