Encuentra la mayor altura del triángulo. Altura del triángulo

Para resolver muchos problemas geométricos, necesitas encontrar la altura de una figura determinada. Estas tareas tienen importancia práctica. Al realizar trabajos de construcción, determinar la altura ayuda a calcular la cantidad requerida de materiales, así como a determinar con qué precisión se realizan las pendientes y aberturas. A menudo, para crear patrones, es necesario tener una idea de las propiedades.

Muchas personas, a pesar de las buenas notas en la escuela, al construir figuras geométricas ordinarias, tienen dudas sobre cómo encontrar la altura de un triángulo o un paralelogramo. Y es el más difícil. Esto se debe a que un triángulo puede ser agudo, obtuso, isósceles o rectángulo. Cada uno de ellos tiene sus propias reglas de construcción y cálculo.

Cómo encontrar la altura de un triángulo en el que todos los ángulos son agudos, gráficamente

Si todos los ángulos de un triángulo son agudos (cada ángulo del triángulo mide menos de 90 grados), entonces para encontrar la altura debes hacer lo siguiente.

Usando los parámetros dados, construimos un triángulo.
Introduzcamos algo de notación. A, B y C serán los vértices de la figura. Los ángulos correspondientes a cada vértice son α, β, γ. Los lados opuestos a estos ángulos son a, b, c.
La altitud es la perpendicular trazada desde el vértice del ángulo hasta el lado opuesto del triángulo. Para encontrar las alturas de un triángulo, construimos perpendiculares: desde el vértice del ángulo α al lado a, desde el vértice del ángulo β al lado b, y así sucesivamente.
Designemos el punto de intersección de la altura y el lado a como H1, y la altura misma como h1. El punto de intersección de la altura y el lado b será H2, la altura, respectivamente, h2. Para el lado c, la altura será h3 y el punto de intersección será H3.

Altura en un triángulo con ángulo obtuso.

Ahora veamos cómo encontrar la altura de un triángulo, si lo hay (más de 90 grados). En este caso, la altitud extraída del ángulo obtuso estará dentro del triángulo. Las dos alturas restantes quedarán fuera del triángulo.

Sean agudos los ángulos α y β de nuestro triángulo y obtuso el ángulo γ. Luego, para construir las alturas provenientes de los ángulos α y β, es necesario continuar los lados del triángulo opuesto a ellos para trazar perpendiculares.

Cómo encontrar la altura de un triángulo isósceles

Una figura así tiene dos lados iguales y una base, mientras que los ángulos en la base también son iguales entre sí. Esta igualdad de lados y ángulos facilita construir alturas y calcularlas.

Primero, dibujemos el triángulo en sí. Sean iguales los lados b y c, así como los ángulos β, γ, respectivamente.

Ahora dibujamos la altura desde el vértice del ángulo α, denotándolo como h1. Para esta altura será tanto una bisectriz como una mediana.

Solo se puede realizar una construcción para los cimientos. Por ejemplo, dibuja una mediana, un segmento que conecta el vértice de un triángulo isósceles y el lado opuesto, la base, para encontrar la altura y la bisectriz. Y para calcular la longitud de la altura de los otros dos lados, puedes construir solo una altura. Así, para determinar gráficamente cómo calcular la altura de un triángulo isósceles, basta con encontrar dos de las tres alturas.

Cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo

Para un triángulo rectángulo, determinar las alturas es mucho más fácil que para otros. Esto sucede porque las propias piernas forman un ángulo recto y, por lo tanto, son alturas.

Para construir la tercera altura, como es habitual, se traza una perpendicular que conecta el vértice del ángulo recto y el lado opuesto. Como resultado, para crear un triángulo en este caso, solo se requiere una construcción.

Casi nunca es posible determinar todos los parámetros de un triángulo sin construcciones adicionales. Estas construcciones son características gráficas únicas de un triángulo, que ayudan a determinar el tamaño de los lados y ángulos.

Definición

Una de estas características es la altura del triángulo. La altitud es una perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo hasta su lado opuesto. Un vértice es uno de los tres puntos que, junto con los tres lados, forman un triángulo.

La definición de la altura de un triángulo puede ser la siguiente: la altura es la perpendicular trazada desde el vértice del triángulo hasta la línea recta que contiene el lado opuesto.

Esta definición parece más complicada, pero refleja con mayor precisión la situación. El caso es que en un triángulo obtuso no es posible dibujar la altura dentro del triángulo. Como se puede observar en la Figura 1, la altura en este caso es exterior. Además, no es una situación estándar construir la altura en un triángulo rectángulo. En este caso, dos de las tres alturas del triángulo pasarán por los catetos, y la tercera desde el vértice hasta la hipotenusa.

Arroz. 1. Altura de un triángulo obtuso.

Normalmente, la altura de un triángulo se designa con la letra h. La altura también se indica en otras figuras.

¿Cómo encontrar la altura de un triángulo?

Hay tres formas estándar de encontrar la altura de un triángulo:

A través del teorema de Pitágoras

Este método se utiliza para triángulos equiláteros e isósceles. Analicemos la solución de un triángulo isósceles y luego digamos por qué la misma solución es válida para un triángulo equilátero.

Dado: triángulo isósceles ABC con base AC. AB=5, CA=8. Encuentra la altura del triángulo.

Arroz. 2. Dibujo del problema.

Para un triángulo isósceles, es importante saber qué lado es la base. Éste determina los lados que deben ser iguales, así como la altura a la que actúan determinadas propiedades.

Propiedades de la altitud de un triángulo isósceles trazado hasta la base:

La altura coincide con la mediana y la bisectriz.
Divide la base en dos partes iguales.

Denotamos la altura como ВD. Hallamos que DC es la mitad de la base, ya que la altura del punto D divide la base por la mitad. CC=4

La altura es perpendicular, lo que significa que BDC es un triángulo rectángulo y la altura BH es un cateto de este triángulo.

Encontremos la altura usando el teorema de Pitágoras: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Cualquier triángulo equilátero es isósceles, sólo su base es igual a sus lados. Es decir, puedes utilizar el mismo procedimiento.

Por el área de un triángulo

Este método se puede utilizar para cualquier triángulo. Para usarlo, necesitas saber el área del triángulo y el lado al que se dibuja la altura.

Las alturas en un triángulo no son iguales, por lo que para el lado correspondiente será posible calcular la altura correspondiente.

La fórmula para el área de un triángulo es: $$S=(1\over2)*bh$$, donde b es el lado del triángulo y h es la altura dibujada hacia este lado. Expresemos la altura a partir de la fórmula:

$$h=2*(S\sobre b)$$

Si el área es 15, el lado es 5, entonces la altura es $$h=2*(15\over5)=6$$

A través de la función trigonométrica

El tercer método es adecuado si se conocen el lado y el ángulo en la base. Para ello tendrás que utilizar la función trigonométrica.

Arroz. 3. Dibujo del problema.

Ángulo ВСН=300 y lado BC=8. Seguimos teniendo el mismo triángulo rectángulo BCH. Usemos el seno. El seno es la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa, lo que significa: BH/BC=cos BCH.

El ángulo se conoce, al igual que el lado. Expresemos la altura del triángulo:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

El valor del coseno generalmente se toma de las tablas de Bradis, pero los valores de las funciones trigonométricas para 30,45 y 60 grados son números tabulares.

¿Qué hemos aprendido?

Aprendimos cuál es la altura de un triángulo, qué alturas hay y cómo se designan. Resolvimos problemas típicos y escribimos tres fórmulas para la altura de un triángulo.

Prueba sobre el tema.

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En primer lugar, un triángulo es una figura geométrica que está formada por tres puntos que no se encuentran en la misma recta y están conectados por tres segmentos. Para encontrar la altura de un triángulo, primero debes determinar su tipo. Los triángulos se diferencian por el tamaño de sus ángulos y el número de ángulos iguales. Según el tamaño de los ángulos, un triángulo puede ser agudo, obtuso y rectangular. Según el número de lados iguales, los triángulos se distinguen en isósceles, equiláteros y escalenos. La altitud es la perpendicular que desciende al lado opuesto del triángulo desde su vértice. ¿Cómo encontrar la altura de un triángulo?

Cómo encontrar la altura de un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles se caracteriza por la igualdad de lados y ángulos en su base, por lo que las alturas de un triángulo isósceles dibujado en los lados laterales son siempre iguales entre sí. Además, la altura de este triángulo es a la vez mediana y bisectriz. En consecuencia, la altura divide la base por la mitad. Consideramos el triángulo rectángulo resultante y encontramos el lado, es decir, la altura del triángulo isósceles, usando el teorema de Pitágoras. Usando la siguiente fórmula, calculamos la altura: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, donde: a es el lado de este triángulo isósceles, b es la base de este triángulo isósceles.

Cómo encontrar la altura de un triángulo equilátero

Un triángulo de lados iguales se llama equilátero. La altura de dicho triángulo se deriva de la fórmula para la altura de un triángulo isósceles. Resulta: H = √3/2*a, donde a es el lado de este triángulo equilátero.

Cómo encontrar la altura de un triángulo escaleno

Un escaleno es un triángulo en el que dos lados cualesquiera no son iguales entre sí. En tal triángulo, las tres alturas serán diferentes. Puedes calcular las longitudes de las alturas usando la fórmula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, donde a es el lado del triángulo o primero calcula el área de un triángulo particular usando la fórmula de Heron, que se ve así: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, donde a, b, c son los lados de un triángulo escaleno y p es su semiperímetro. Cada altura = 2*área/lado

Cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. La altura que llega a una de las patas es a la vez la segunda pata. Por lo tanto, para encontrar las alturas que se encuentran en los catetos, es necesario utilizar la fórmula pitagórica modificada: a = √(c 2 − b 2), donde a, b son los catetos (a es el cateto que se debe encontrar), c es la longitud de la hipotenusa. Para encontrar la segunda altura, debes poner el valor resultante a en lugar de b. Para encontrar la tercera altura que se encuentra dentro del triángulo, se utiliza la siguiente fórmula: h = 2s/a, donde h es la altura del triángulo rectángulo, s es su área, a es la longitud del lado al que estará la altura perpendicular.

Un triángulo se llama agudo si todos sus ángulos son agudos. En este caso, las tres alturas se encuentran dentro de un triángulo agudo. Un triángulo se llama obtuso si tiene un ángulo obtuso. Dos alturas de un triángulo obtuso están fuera del triángulo y caen sobre la continuación de los lados. El tercer lado está dentro del triángulo. La altura se determina utilizando el mismo teorema de Pitágoras.

Fórmulas generales para calcular la altura de un triángulo.

Fórmula para encontrar la altura de un triángulo a través de los lados: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), donde h es la altura a encontrar, a, b y c son los lados de un triángulo dado, p es su semiperímetro, .
Fórmula para encontrar la altura de un triángulo usando un ángulo y un lado: H=b sen y = c sen ß
La fórmula para encontrar la altura de un triángulo a través del área y el lado: h = 2S/a, donde a es el lado del triángulo y h es la altura construida hasta el lado a.
La fórmula para encontrar la altura de un triángulo usando el radio y los lados: H= bc/2R.

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¿Cómo encontrar la altura mayor o menor de un triángulo? Cuanto menor sea la altura del triángulo, mayor será la altura dibujada hacia él. Es decir, la mayor de las altitudes de un triángulo es la trazada hacia su lado más corto. - el que está dibujado en el lado más grande del triángulo.

Para encontrar la mayor altura de un triángulo. , podemos dividir el área del triángulo por la longitud del lado al que se dibuja esta altura (es decir, por la longitud del lado más pequeño del triángulo).

En consecuencia, d Para encontrar la altura más pequeña de un triángulo. Puedes dividir el área de un triángulo por la longitud de su lado más largo.

Tarea 1.

Encuentra la altura más pequeña de un triángulo cuyos lados miden 7 cm, 8 cm y 9 cm.

Dado:

AC=7cm, AB=8cm, BC=9cm.

Encuentra: la altura más pequeña del triángulo.

Solución:

La altura más pequeña de un triángulo es la trazada hacia su lado más largo. Esto significa que necesitamos encontrar la altura AF dibujada hacia el lado BC.

Para facilitar la notación, introducimos la notación

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

La altura de un triángulo es igual al cociente del doble del área del triángulo dividida por el lado al que se dibuja esta altura. se puede encontrar usando la fórmula de Heron. Es por eso

Calculamos:

Respuesta:

Tarea 2.

Encuentra el lado más largo de un triángulo con lados de 1 cm, 25 cm y 30 cm.

Dado:

AC=25cm, AB=11cm, BC=30cm.

Encontrar:

mayor altitud del triángulo ABC.

Solución:

La mayor altura de un triángulo se traza hacia su lado más corto.

Esto significa que necesitas encontrar la altura CD dibujada hacia el lado AB.

Por conveniencia, denotemos