Matriz inversa usando matriz identidad. Encontrar la matriz inversa en línea

Para cualquier matriz A no singular existe una matriz única A -1 tal que

A*A -1 =A -1 *A = E,

donde E es la matriz identidad del mismo orden que A. La matriz A -1 se llama inversa de la matriz A.

Por si alguien lo olvidó, en la matriz identidad, excepto la diagonal llena de unos, todas las demás posiciones se llenan con ceros, un ejemplo de matriz identidad:

Encontrar la matriz inversa usando el método de matriz adjunta

La matriz inversa está definida por la fórmula:

dónde A ij - elementos a ij.

Aquellos. Para calcular la matriz inversa, es necesario calcular el determinante de esta matriz. Luego encuentra los complementos algebraicos para todos sus elementos y compone una nueva matriz a partir de ellos. A continuación necesitas transportar esta matriz. Y divide cada elemento de la nueva matriz por el determinante de la matriz original.

Veamos algunos ejemplos.

Encuentre A -1 para una matriz

Solución. Encontremos A -1 usando el método de matriz adjunta. Tenemos det A = 2. Encontremos los complementos algebraicos de los elementos de la matriz A. En en este caso Los complementos algebraicos de elementos matriciales serán los elementos correspondientes de la propia matriz, tomados con signo de acuerdo con la fórmula

Tenemos A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formamos la matriz adjunta

Transportamos la matriz A*:

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:

Obtenemos:

Utilizando el método de matriz adjunta, encuentre A -1 si

Solución. En primer lugar, calculamos la definición de esta matriz para verificar la existencia de la matriz inversa. Tenemos

Aquí sumamos a los elementos de la segunda fila los elementos de la tercera fila, previamente multiplicados por (-1), y luego ampliamos el determinante de la segunda fila. Dado que la definición de esta matriz es diferente de cero, entonces existe su matriz inversa. Para construir la matriz adjunta, encontramos los complementos algebraicos de los elementos de esta matriz. Tenemos

Según la fórmula

matriz de transporte A*:

Luego según la fórmula

Encontrar la matriz inversa usando el método de transformaciones elementales.

Además del método para encontrar la matriz inversa, que se deriva de la fórmula (método de la matriz adjunta), existe un método para encontrar la matriz inversa, llamado método de transformaciones elementales.

Transformaciones matriciales elementales

Las siguientes transformaciones se denominan transformaciones matriciales elementales:

1) reordenamiento de filas (columnas);

2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;

3) sumar a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.

Para encontrar la matriz A -1, construimos una matriz rectangular B = (A|E) de órdenes (n; 2n), asignando a la matriz A de la derecha la matriz identidad E mediante una línea divisoria:

Veamos un ejemplo.

Usando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 si

Solución. Formamos la matriz B:

Denotamos las filas de la matriz B por α 1, α 2, α 3. Realicemos las siguientes transformaciones en las filas de la matriz B.

Sea una matriz cuadrada de enésimo orden

La matriz A -1 se llama matriz inversa en relación con la matriz A, si A*A -1 = E, donde E es la matriz identidad de enésimo orden.

Matriz de identidad- una matriz cuadrada en la que todos los elementos a lo largo de la diagonal principal, que van desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, son unos y el resto son ceros, por ejemplo:

matriz inversa puede existir solo para matrices cuadradas aquellos. para aquellas matrices en las que coincide el número de filas y columnas.

Teorema de la condición de existencia de una matriz inversa

Para que una matriz tenga matriz inversa es necesario y suficiente que sea no singular.

La matriz A = (A1, A2,...A n) se llama no degenerado, si los vectores columna son linealmente independientes. El número de vectores columna linealmente independientes de una matriz se denomina rango de la matriz. Por tanto, podemos decir que para que exista una matriz inversa es necesario y suficiente que el rango de la matriz sea igual a su dimensión, es decir r = norte.

Algoritmo para encontrar la matriz inversa.

1. Escriba la matriz A en la tabla para resolver sistemas de ecuaciones usando el método gaussiano y asígnele la matriz E a la derecha (en lugar de los lados derechos de las ecuaciones).
2. Utilizando transformaciones de Jordan, reduzca la matriz A a una matriz que consta de columnas unitarias; en este caso, es necesario transformar simultáneamente la matriz E.
3. Si es necesario, reorganice las filas (ecuaciones) de la última tabla de modo que debajo de la matriz A de la tabla original obtenga la matriz identidad E.
4. Escriba la matriz inversa A -1, que se encuentra en la última tabla debajo de la matriz E de la tabla original.

Ejemplo 1

Para la matriz A, encuentre la matriz inversa A -1

Solución: Escribimos la matriz A y asignamos la matriz identidad E a la derecha. Usando transformaciones de Jordan, reducimos la matriz A a la matriz identidad E. Los cálculos se dan en la Tabla 31.1.

Comprobemos la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original A y la matriz inversa A -1.

Como resultado de la multiplicación de matrices se obtuvo la matriz identidad. Por tanto, los cálculos se realizaron correctamente.

Respuesta:

Resolver ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales pueden verse así:

AX = B, HA = B, AXB = C,

donde A, B, C son las matrices especificadas, X es la matriz deseada.

Las ecuaciones matriciales se resuelven multiplicando la ecuación por matrices inversas.

Por ejemplo, para encontrar la matriz de la ecuación, debes multiplicar esta ecuación por a la izquierda.

Por lo tanto, para encontrar una solución a la ecuación, debes encontrar la matriz inversa y multiplicarla por la matriz del lado derecho de la ecuación.

Otras ecuaciones se resuelven de manera similar.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación AX = B si

Solución: Dado que la matriz inversa es igual a (ver ejemplo 1)

Método matricial en análisis económico.

Junto a otros, también se utilizan métodos matriciales. Estos métodos se basan en álgebra lineal y de matrices vectoriales. Estos métodos se utilizan para analizar fenómenos económicos complejos y multidimensionales. Muy a menudo, estos métodos se utilizan cuando es necesario realizar una evaluación comparativa del funcionamiento de las organizaciones y sus divisiones estructurales.

En el proceso de aplicación de métodos de análisis matricial se pueden distinguir varias etapas.

En la primera etapa Se está formando un sistema de indicadores económicos y a partir de él se elabora una matriz de datos iniciales, que es una tabla en la que, según su lineas separadas Se muestran los números del sistema. (yo = 1,2,....,n), y en columnas verticales - números de indicadores (j = 1,2,....,m).

En la segunda etapa Para cada columna vertical, se identifica el mayor de los valores de indicador disponibles, que se toma como uno.

Después de esto, todos los montos reflejados en esta columna se dividen entre valor más alto y se forma una matriz de coeficientes estandarizados.

En la tercera etapa todos los componentes de la matriz están al cuadrado. Si tienen diferente significado, a cada indicador matricial se le asigna un determinado coeficiente de ponderación. k. El valor de este último lo determina la opinión de expertos.

En el último, cuarta etapa valores de calificación encontrados rj se agrupan en orden de aumento o disminución.

Los métodos matriciales descritos deben usarse, por ejemplo, cuando análisis comparativo diversos proyectos de inversión, así como al evaluar otros indicadores económicos de las organizaciones.

Encontrar la matriz inversa es un proceso que consta de pasos bastante sencillos. Pero estas acciones se repiten con tanta frecuencia que el proceso resulta bastante largo. Lo principal es no perder la atención a la hora de tomar una decisión.

Al resolver utilizando el método más común (sumas algebraicas), necesitará:

Al resolver ejemplos, analizaremos estas acciones con más detalle. Mientras tanto, averigüemos qué dice la teoría de la matriz inversa.

Para matriz inversa Existe una analogía relevante con el inverso de un número. Por cada número a, no igual a cero, existe tal número b que el trabajo a Y b es igual a uno: ab= 1 . Número b llamado el inverso de un número b. Por ejemplo, para el número 7 el recíproco es 1/7, ya que 7*1/7=1.

matriz inversa , que debe encontrarse para una matriz cuadrada dada A, dicha matriz se llama

cuyo producto son las matrices A a la derecha está la matriz identidad, es decir
. (1)

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales a uno.

Encontrar la matriz inversa- un problema que a menudo se resuelve mediante dos métodos:

• el método de las sumas algebraicas, en el que, como se señaló al inicio de la lección, se requiere encontrar determinantes, menores y sumas algebraicas y transponer matrices;
• el método gaussiano de eliminación de incógnitas, que requiere realizar transformaciones elementales de matrices (sumar filas, multiplicar filas por el mismo número, etc.).

Para aquellos que tengan especial curiosidad, existen otros métodos, por ejemplo, el método de transformaciones lineales. En esta lección analizaremos los tres métodos y algoritmos mencionados para encontrar la matriz inversa usando estos métodos.

Teorema.Para cada matriz cuadrada no singular (no degenerada, no singular), se puede encontrar una matriz inversa, y solo una. Para una matriz cuadrada especial (degenerada, singular), la matriz inversa no existe.

La matriz cuadrada se llama no especial(o no degenerado, no singular), si su determinante no es cero, y especial(o degenerar, singular) si su determinante es cero.

La inversa de una matriz sólo se puede encontrar para una matriz cuadrada. Naturalmente, la matriz inversa también será cuadrada y del mismo orden que la matriz dada. Una matriz para la cual se puede encontrar una matriz inversa se llama matriz invertible.

Encontrar la matriz inversa utilizando el método gaussiano de eliminación de incógnitas

El primer paso para encontrar la inversa de una matriz usando el método de eliminación gaussiano es asignar a la matriz A matriz identidad del mismo orden, separándolas con una barra vertical. Obtendremos una matriz dual. Multipliquemos ambos lados de esta matriz por y obtenemos

,

Algoritmo para encontrar la matriz inversa mediante el método gaussiano de eliminación de incógnitas

1. A la matriz A asignar una matriz identidad del mismo orden.

2. Transforme la matriz dual resultante de modo que en su lado izquierdo obtenga una matriz unitaria, luego en el lado derecho, en lugar de la matriz identidad, obtenga automáticamente una matriz inversa. Matriz A en el lado izquierdo se transforma en la matriz identidad mediante transformaciones matriciales elementales.

2. Si en el proceso de transformación matricial A en la matriz identidad solo habrá ceros en cualquier fila o en cualquier columna, entonces el determinante de la matriz es igual a cero y, en consecuencia, la matriz A será singular y no tiene matriz inversa. En este caso, se detiene la determinación adicional de la matriz inversa.

Ejemplo 2. Para matriz

encontrar la matriz inversa.

y lo transformaremos para que del lado izquierdo obtengamos una matriz identidad. Comenzamos la transformación.

Multiplica la primera fila de la matriz izquierda y derecha por (-3) y súmala a la segunda fila, y luego multiplica la primera fila por (-4) y súmala a la tercera fila, luego obtenemos

.

Para que si es posible no haya números fraccionarios durante transformaciones posteriores, primero crearemos una unidad en la segunda fila en el lado izquierdo de la matriz dual. Para hacer esto, multiplicamos la segunda línea por 2 y le restamos la tercera línea, luego obtenemos

.

Sumemos la primera línea con la segunda, y luego multipliquemos la segunda línea por (-9) y sumémosla con la tercera línea. Entonces obtenemos

.

Divide la tercera línea por 8, luego

.

Multiplica la tercera línea por 2 y súmala a la segunda línea. Resulta:

.

Intercambiemos la segunda y tercera línea y finalmente obtenemos:

.

Vemos que del lado izquierdo tenemos la matriz identidad, por lo tanto, del lado derecho tenemos la matriz inversa. De este modo:

.

Puede comprobar la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original por la matriz inversa encontrada:

El resultado debería ser una matriz inversa.

Puedes comprobar la solución usando calculadora en línea para encontrar la matriz inversa .

Ejemplo 3. Para matriz

encontrar la matriz inversa.

Solución. Compilando una matriz dual

y lo transformaremos.

Multiplicamos la primera línea por 3, y la segunda por 2, y restamos de la segunda, y luego multiplicamos la primera línea por 5, y la tercera por 2 y restamos de la tercera línea, luego obtenemos

La matriz inversa para una determinada es una matriz que, al multiplicar la original por la que da la matriz identidad: Obligatorio y condición suficiente la presencia de una matriz inversa significa que el determinante de la original no es igual a cero (lo que a su vez implica que la matriz debe ser cuadrada). Si el determinante de una matriz es igual a cero, entonces se llama singular y dicha matriz no tiene inversa. En matemáticas superiores, las matrices inversas son importantes y se utilizan para resolver una serie de problemas. Por ejemplo, en encontrar la matriz inversa Se construyó un método matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones. Nuestro sitio de servicio permite calcular matriz inversa en línea dos métodos: el método de Gauss-Jordan y el uso de la matriz de sumas algebraicas. El primero implica una gran cantidad de transformaciones elementales dentro de la matriz, el segundo implica el cálculo del determinante y sumas algebraicas de todos los elementos. Para calcular el determinante de una matriz en línea, puede utilizar nuestro otro servicio: Cálculo del determinante de una matriz en línea

.

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En este artículo hablaremos de método matricial soluciones a sistemas lineales ecuaciones algebraicas, encontraremos su definición y daremos ejemplos de soluciones.

Definición 1

Método de matriz inversa es un método utilizado para resolver SLAE si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

Ejemplo 1

Encuentre una solución al sistema n ecuaciones lineales con n incógnitas:

un 11 x 1 + un 12 x 2 + . . . + una 1 norte x norte = b 1 una norte 1 x 1 + una norte 2 x 2 + . . . + un norte norte x norte = segundo norte

Tipo de grabación matricial : A × X = B

donde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n es la matriz del sistema.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - columna de incógnitas,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - columna de coeficientes libres.

De la ecuación que recibimos, es necesario expresar X. Para hacer esto, debes multiplicar ambos lados de la ecuación matricial de la izquierda por A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Dado que A - 1 × A = E, entonces E × X = A - 1 × B o X = A - 1 × B.

Comentario

La matriz inversa a la matriz A tiene derecho a existir sólo si se cumple la condición d e t A no es igual a cero. Por lo tanto, al resolver SLAE utilizando el método de matriz inversa, en primer lugar, se encuentra d e t A.

En el caso de que d e t A no sea igual a cero, el sistema sólo tiene una opción de solución: utilizar el método de la matriz inversa. Si d e t A = 0, entonces el sistema no se puede resolver con este método.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando el método de matriz inversa

Ejemplo 2

Resolvemos el SLAE mediante el método de matriz inversa:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

¿Cómo solucionar?

• Escribimos el sistema en forma de ecuación matricial A X = B, donde

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

• Expresamos X a partir de esta ecuación:

• Encuentre el determinante de la matriz A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A no es igual a 0, por lo tanto el método de solución matricial inversa es adecuado para este sistema.

• Encontramos la matriz inversa A - 1 usando la matriz aliada. Calculamos los complementos algebraicos A i j a los elementos correspondientes de la matriz A:

Un 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

Un 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

Un 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

Un 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

Un 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• Anotamos la matriz aliada A*, que está compuesta por complementos algebraicos de la matriz A:

Un * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Escribimos la matriz inversa según la fórmula:

A - 1 = 1 d mi t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• Multiplicamos la matriz inversa A - 1 por la columna de términos libres B y obtenemos una solución al sistema:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Respuesta : x 1 = - 1 ; x2 = 0; x3 = 1

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