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Perpendicularidad en el espacio de presentación. Presentación sobre el tema "perpendicularidad en el espacio"

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Leyendas de diapositivas:

Perpendicularidad de líneas y planos.

Líneas perpendiculares en el espacio Dos líneas se llaman perpendiculares si el ángulo entre ellas es de 90 о a b а  b c  b α

Lema Si una de las dos líneas paralelas es perpendicular a la tercera línea, entonces la otra línea también es perpendicular a esta línea. A C a α M b c Dado: а || b, a  c Demuestre: b  c Demostración:

Una línea recta se llama perpendicular al plano si es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en este plano α а а  α

Teorema 1 Si una de las dos líneas paralelas es perpendicular al plano, entonces la otra línea es perpendicular a este plano. α x Dado: a || a 1; a  α Demuestre: a 1  α Demostración: a a 1

Teorema 2 α Demuestre: a || b Demostración: a Si dos líneas son perpendiculares al plano, entonces son paralelas. β b 1 Dado: a  α; b  α b M c

El signo de perpendicularidad de una línea recta y un plano Si una línea recta es perpendicular a dos líneas rectas que se cruzan en un plano, entonces es perpendicular a este plano. α q Demuestre: a  α Demostración: a p m O Dado: a  p; a  q p  α; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Prueba: L a) caso especial A

α q a p m O Prueba: a) el caso general a 1

Teorema 4 Una línea recta perpendicular a un plano dado pasa por cualquier punto del espacio y, además, solo por uno. α a β М b с Demuestre: 1) ∃ с, с  α, М  с; 2) con -! Prueba: Dado: α; M  α

Búsqueda de tareas: MD А В D M Solución: Dado:  ABC; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a Demuestre: М B  BD C a a

Tarea 128 Demuestre: O М  (ABC) Dado: ABCD - paralelogramo; AC ∩ BD = O; M  (ABC); MA = MC, MB = MD A B D C O M Prueba:

Tarea 12 2 Buscar: AD; BD; ALASKA; BK. A B D C O K Solución: Dado:  ABC - p / s; О - centro  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16  3, OK = 12; CD = 16 12 16

Perpendicular y oblicuo М А В Н α МН  α А  α В  α MA y MB - inclinado Н  α АН y ВН - proyecciones de inclinado МН - perpendicular М  α

Teorema de las tres perpendiculares Una línea recta trazada en un plano a través de la base de un plano inclinado perpendicular a su proyección sobre este plano es perpendicular al más inclinado. А Н М α β а Dado: а  α, АН  α, АМ - oblicuo, а  НМ, М  а Demuestre: а  AM Prueba:

El teorema inverso al teorema de las tres perpendiculares Una línea recta trazada en un plano que pasa por la base de una perpendicular inclinada a ella también es perpendicular a su proyección. А Н М α β а Dado: а  α, АН  α, АМ - oblicuo, а  АМ, М  а Demuestra: а  НМ Prueba:

El ángulo entre la línea recta y el plano А Н α β а О φ (а; α) =  АОН = φ


Sobre el tema: desarrollos metodológicos, presentaciones y notas

La presentación sobre el tema "Perpendicularidad de una línea y un plano" corresponde al material teórico estudiado en este apartado de estereometría ....

Se presenta el desarrollo de una lección en el grado 10, sobre geometría para el EMC: Geometría para los grados 10-11, autores L.S. Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B. Kadomtsev et al .. Esta es una lección sobre el estudio de material nuevo utilizando ...

La presentación "Líneas perpendiculares en el espacio" es una ayuda visual para demostrar material de enseñanza al estudiar el tema del mismo nombre en la escuela. Representar formas en el espacio es difícil con una pizarra u otras herramientas estándar del maestro. La presentación es una de las formas más preferidas de demostración de material visual, donde se requiere representar cuerpos en el espacio. Al crear una presentación, se puede utilizar animación, representación en color de figuras. Además, una presentación animada contribuye a una comprensión más profunda de los procesos y transformaciones demostrados, centra la atención de los estudiantes en el tema que se está estudiando.

Durante la presentación, los estudiantes se hacen una idea de las líneas rectas que son perpendiculares en el espacio, se formula y demuestra un lema importante sobre la perpendicularidad de una línea recta a ambas líneas rectas paralelas cuando una de ellas es perpendicular, y la solución de la El problema se describe utilizando el material estudiado. Con la ayuda de la presentación, es más fácil para el profesor formar la capacidad de los estudiantes para resolver problemas geométricos, dar una idea de las propiedades de los que están en el espacio. El material mostrado durante la presentación es más fácil de entender y recordar.

La presentación comienza con un recordatorio de qué ángulo se puede formar entre dos líneas rectas ubicadas en un plano y que se cruzan entre sí. La figura representa un cierto plano en el que se construyen las líneas ayb. Cuando estas líneas rectas se cruzan, se forma un ángulo α. El ángulo puede ser de 0 ° a 90 °. Los ángulos verticales formados por la intersección de líneas rectas son iguales y el ángulo adyacente está determinado por la fórmula 180 ° -α. eso conocimientos teóricos, que debe ser recordado por el alumno antes de estudiar las propiedades de las líneas rectas, ubicadas perpendicularmente en el espacio. En la siguiente diapositiva, para demostrar mejor la posición relativa de las líneas rectas en el espacio, se representa un paralelepípedo rectangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, en el que se resaltan los bordes AA 1 y AB, ubicados perpendicularmente. Se formula la definición de líneas rectas perpendiculares, que se denominan así si el ángulo entre ellas es de 90 °. También se observa que en un paralelepípedo rectangular, las líneas rectas D 1 C 1 y DD 1 también serán perpendiculares entre sí. También se recuerda la notación de la perpendicularidad de las líneas rectas D 1 C 1 ┴ DD 1. A continuación, se marcan pares de líneas rectas en un paralelepípedo, que serán paralelas y perpendiculares entre sí. Se observa que AA 1 ┴ AD, DD 1 ┴ AD serán perpendiculares y AA 1 y DD 1 son paralelas.


Además, se presenta un lema, que establece que si una de las líneas paralelas es perpendicular a una tercera línea, entonces la segunda línea paralela también será perpendicular a ella. La redacción del lema se resalta para su memorización en un marco y con la ayuda del color. Se demuestra la prueba del lema. La figura muestra dos líneas paralelas ayb, así como una línea c, que se sabe que es perpendicular a a. es necesario demostrar que byc también son perpendiculares. Para probar esta afirmación, se construye un punto adicional M que no pertenece ni a a ni a b. Se traza una línea recta MA a través de este punto, paralela a a. También se lleva a cabo una EM paralela a c. La perpendicularidad de a a c significa que ∠АМС = 90 °. Del paralelismo de ayb, así como del paralelismo de a con MA, se sigue el paralelismo de b con MA. Dado que b es paralelo a MA, yc es paralelo a MS, y el ángulo ∠AMC = 90 °, entonces b es perpendicular a c. La afirmación está probada.


La última diapositiva describe la solución al problema en el que se requiere probar la perpendicularidad del borde del tetraedro AM y la línea recta PQ. En el problema, se da un tetraedro MABS, en el que AM es perpendicular a BC. El punto P está marcado en el borde AB Se sabe que AP / AB = 2/3. Un punto Q está marcado en el borde Ac, que divide el borde en la relación AQ / QC = 2/1. De la relación AQ / QC = 2/1 sigue la relación Δ / AC = 2/3. A partir del AQ / AC encontrado, la relación AP / AB conocida y el hecho de que el ángulo ∠A es común, se deduce que los triángulos Δ APQ y ΔABS son similares. En este caso, de la igualdad de los ángulos ∠APQ = ∠ABS, ∠AQР = ∠ACB, se sigue el paralelismo de las líneas PQ y BC. Sabiendo que los lados Am y BC son perpendiculares y PQ paralelos a BC, utilizando el lema conocido, podemos afirmar que AM es perpendicular a PQ. El problema ha sido resuelto.

La presentación "Líneas perpendiculares en el espacio" ayudará al profesor a realizar una lección de geometría en la escuela. Además, el material visual será de utilidad para un docente que realiza la capacitación de forma remota. La presentación se puede recomendar para un estudiante que esté estudiando un tema de forma independiente o que requiera material adicional para una comprensión más profunda.

Secciones: Matemáticas

Objetivos de la lección:

  • Identificar el nivel de dominio de un complejo de conocimientos y habilidades para resolver problemas en este tema,
  • desarrollar imaginación espacial, pensamiento lógico, atención y memoria,
  • traer a colación la actividad, la capacidad de escuchar.

Equipo de lección:

  • libro de texto de L.S. Atanasyan y col., "Geometry 10-11";
  • libro de trabajo;
  • Computadora personal;
  • proyector multimedia;
  • tablero interactivo;
  • presentación del autor preparada con Microsoft Power Point ( Anexo 1 )

Estructura de la lección:

  1. Organizando el tiempo.
  2. Actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema.
  3. Consolidación de conocimientos previamente adquiridos y desarrollo de habilidades y destrezas para aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas.
  4. Resumiendo la lección.
  5. Tarea.

DURANTE LAS CLASES

1. Momento organizativo de la lección: saludo, comprobación de la preparación para la lección.

2. Actualización de conocimientos recibido por los estudiantes en la lección anterior:

- el concepto de líneas perpendiculares en el espacio;
- perpendicularidad de una línea recta y un plano;
- propiedades de las líneas paralelas perpendiculares al plano.

Para actualizar conocimientos un estudiante va al pizarrón y escribe la solución al problema núm. 119a), el segundo estudiante: la demostración del teorema en líneas paralelas perpendiculares al plano.

Mientras se preparan, una encuesta frontal en clase:

- ¿Cuál es la posición relativa de las dos rectas en el espacio?
- ¿Dentro de qué límites se mide el ángulo entre líneas rectas en el espacio?
- ¿Qué rectas en el espacio se llaman perpendiculares?
- Formular un lema sobre dos rectas paralelas perpendiculares a la tercera.
- Establecer la secuencia correcta de acciones en la prueba del lema.

Después de completar la verificación operativa de corrección.

Maestro: Dé una definición de la perpendicularidad de una línea y un plano.

Maestro: Formule el teorema inverso.

Comprobación de la corrección de la resolución del problema de casa núm. 119a (utilizando la igualdad de triángulos).

3.Desarrollo de habilidades y destrezas para aplicar los conocimientos teóricos a la resolución de problemas.

1) Ejercicios orales.

№1 La recta AB es perpendicular al plano, los puntos M y K pertenecen a este plano. Demuestre que la línea AB es perpendicular a la línea MK.

2) Ejercicios de escritura .

№2 En el cuadrado ABCD T.O es el punto de intersección de sus diagonales. La línea MO es perpendicular al plano del cuadrado. Demuestre que MA = MB = MC = MD.

№3 El lado AB del paralelogramo ABCD es perpendicular al plano. Encuentre BD si AC = 10 cm.

4. Comprobación de la asimilación de los conocimientos adquiridos durante la prueba

5. Resumiendo la lección

Registre la tarea en casa: p.15-16, No. 118, No. 120

Diapositiva 2

Líneas perpendiculares en el espacio Dos líneas en el espacio se llaman perpendiculares (mutuamente perpendiculares) si el ángulo entre ellas es de 90 °. La perpendicularidad de las rectas ayb se denota de la siguiente manera: ab. Las líneas perpendiculares pueden cruzarse y cruzarse En la Figura 1, las líneas perpendiculares ayb se cruzan y las líneas perpendiculares ayc se cruzan. a b c 90 ° Fig. 1

Diapositiva 3

Si una de las dos líneas paralelas es perpendicular a la tercera línea, entonces la otra línea es perpendicular a esta línea. Probemos el lema en la perpendicularidad de dos rectas paralelas a la tercera recta Lema: Demostración: Sea a || by ab. Demostremos que b  c. A través de un m. M arbitrario del espacio que no se encuentra en las líneas dadas, dibuje las líneas MA y MS, paralelas a las líneas ayc, respectivamente. Dado que a  c, entonces AMC = 90 °. Por condición b || ay por construcción a || MA, por lo tanto b || MA. Entonces, las rectas byc son paralelas, respectivamente, a las rectas MA y MC, cuyo ángulo es de 90 °. Esto significa que el ángulo entre las líneas rectas byc también es de 90 °, es decir, b  c. Arroz. 2 b a C A M c

Diapositiva 4

Líneas rectas paralelas perpendiculares al plano Una línea recta se llama perpendicular al plano si es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en este plano. La perpendicularidad de la recta a y el plano α se denota de la siguiente manera: a  α. Si la línea recta a es perpendicular al plano α, entonces interseca este plano. De hecho, si la línea recta no intersectara el plano α, entonces estaría en este plano o sería paralela a él. Pero entonces en el plano α habría rectas que no son perpendiculares a la recta a, por ejemplo, rectas paralelas a ella, lo que contradice la definición de perpendicularidad de una recta y un plano. Por tanto, la línea recta a interseca el plano α.

Diapositiva 5

La figura 3 muestra una línea recta a, perpendicular al plano α. El entorno que nos rodea ofrece muchos ejemplos que ilustran la perpendicularidad de una línea recta y un plano. Un poste de telégrafo estacionario está recto, es decir, perpendicular al plano de la tierra. Las columnas del edificio también se ubican en relación con el plano de cimentación, la línea de intersección de muros en relación con el plano del piso, etc. α a Fig. 3

Diapositiva 6

Probemos dos teoremas en los que se establece una conexión entre el paralelismo de las líneas y su perpendicularidad al plano: si una de las dos líneas paralelas es perpendicular al plano, entonces la otra línea es perpendicular a este plano. Considere dos rectas paralelas ayb y un plano α tal que aα. Demostremos también que b  α. Dibujemos una línea recta x en el plano α (Figura 4). Desde a α, entonces a x. Por el lema de la perpendicularidad de dos rectas paralelas a la tercera, b  x. Por lo tanto, la línea b es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en el plano α, es decir, b  α. Prueba: Fig. 4 α a b x

Diapositiva 7

Si dos líneas son perpendiculares al plano, entonces son paralelas. Considere las líneas rectas ayb, perpendiculares al plano α (Figura 5, a). Demostremos que un || B. A través de algún punto M de la recta b trazamos una recta q paralela a la recta a. Según el teorema anterior, q  α. Demostremos que la recta q coincide con la recta b. Esto demostrará que un || B. Supongamos que las rectas byq no coinciden. Entonces, en el plano β que contiene las líneas byq, a través de m. M hay dos líneas perpendiculares a la línea c, a lo largo de las cuales los planos α y β se cruzan (Figura 5, b). Pero esto es imposible, por lo tanto un || B. Prueba: Fig. 5, a α a q Fig. 5, segundo α a M c segundo segundo

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