Línea recta. Ecuación de una recta
Ecuaciones hay muchas curvas Al leer literatura económica, indiquemos algunas de estas curvas.
Curva de indiferencia - una curva que muestra diferentes combinaciones de dos productos que tienen el mismo valor o utilidad para el consumidor.
Curva de presupuesto del consumidor - una curva que muestra las diferentes combinaciones de cantidades de dos bienes que un consumidor puede comprar en un nivel determinado de su renta monetaria.
Curva de posibilidades de producción - una curva que muestra las diferentes combinaciones de dos bienes o servicios que pueden producirse en condiciones de pleno empleo y plena producción en una economía con oferta constante de recursos y tecnología constante.
Curva de demanda de inversión - una curva que muestra la dinámica del tipo de interés y el volumen de inversiones a diferentes tipos de interés.
curva de Phillips- una curva que muestra la existencia de una relación estable entre la tasa de desempleo y la tasa de inflación.
curva de Laffer- una curva que muestra la relación entre los tipos impositivos y los ingresos fiscales, identificando el tipo impositivo al que los ingresos fiscales alcanzan un máximo.
Una simple lista de términos muestra lo importante que es para los economistas poder construir gráficos y analizar ecuaciones de curvas, como líneas rectas y curvas de segundo orden: círculo, elipse, hipérbola, parábola. Además, al resolver una gran clase de problemas, es necesario seleccionar un área en el plano delimitada por algunas curvas cuyas ecuaciones se dan. La mayoría de las veces, estos problemas se formulan de la siguiente manera: encuentre el mejor plan de producción para los recursos dados. La asignación de recursos suele adoptar la forma de desigualdades, cuyas ecuaciones se dan. Por lo tanto, tenemos que buscar el mayor o valor más pequeño, tomado por alguna función en el área especificada por las ecuaciones del sistema de desigualdades.
En geometría analítica línea en un avión se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F(x,y)=0. En este caso, se deben imponer restricciones a la función F para que, por un lado, esta ecuación tenga un conjunto infinito de soluciones y, por otro lado, para que ese conjunto de soluciones no llene un “trozo del plano .” Una clase importante de rectas son aquellas para las cuales la función F(x,y) es un polinomio en dos variables, en cuyo caso la recta definida por la ecuación F(x,y)=0 se llama algebraico. Las rectas algebraicas definidas por una ecuación de primer grado son rectas. Una ecuación de segundo grado, que tiene un número infinito de soluciones, define una elipse, hipérbola, parábola o línea que se divide en dos rectas.
Sea especificado un sistema de coordenadas cartesiano rectangular en el plano. Una línea recta en un plano se puede especificar mediante una de las ecuaciones:
10 . Ecuación general de una recta.
Hacha + Por + C = 0. (2.1)
Vector norte(A,B) es ortogonal a la recta, los números A y B no son iguales a cero al mismo tiempo.
20 . Ecuación de una recta con pendiente
y - y o = k (x - x o), (2.2)
donde k es la pendiente de la recta, es decir, k = tg un , donde un - la magnitud del ángulo que forma la recta con el eje Ox, M (x o, y o) - algún punto perteneciente a la recta.
La ecuación (2.2) toma la forma y = kx + b si M (0, b) es el punto de intersección de la recta con el eje Oy.
treinta . Ecuación de una recta en segmentos
x/a + y/b = 1, (2.3)
donde a y b son los valores de los segmentos cortados por la recta en los ejes de coordenadas.
4 0 . La ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es A(x 1, y 1) y B(x 2, y 2):
. (2.4)
50 . Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(x 1, y 1) paralela a un vector dado a(metro, norte)
. (2.5)
6 0 . Ecuación normal de una recta
rn o-p = 0, (2.6)
Dónde r- radio de un punto arbitrario M(x, y) de esta línea, norte o es un vector unitario ortogonal a esta recta y dirigido desde el origen a la recta; p es la distancia desde el origen a la línea recta.
La normal en forma de coordenadas tiene la forma:
x porque a + y sen a - p = 0,
donde un - la magnitud del ángulo formado por la recta con el eje Ox.
La ecuación de un lápiz de rectas con centro en el punto A(x 1, y 1) tiene la forma:
y-y 1 = l (x-x 1),
donde yo - parámetro del haz. Si la viga está definida por dos líneas rectas que se cruzan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, entonces su ecuación tiene la forma:
l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,
donde l y m - parámetros del haz que no pasan a 0 al mismo tiempo.
El ángulo entre las líneas y = kx + b e y = k 1 x + b 1 viene dado por la fórmula:
tg j = .
La igualdad 1 + k 1 k = 0 es necesaria y condición suficiente perpendicularidad de las rectas.
Para que las dos ecuaciones
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)
dada una misma recta, es necesario y suficiente que sus coeficientes sean proporcionales:
A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.
Las ecuaciones (2.7), (2.8) definen dos rectas paralelas diferentes si A 1 /A 2 = B 1 /B 2 y B 1 /B 2¹ C1/C2; las rectas se cortan si A 1 /A 2¹B 1 /B 2 .
La distancia d desde el punto M o (x o, y o) a la línea recta es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto M o a la línea recta. Si una línea recta está dada por una ecuación normal, entonces d =ê r oh norte mineral , Dónde r o - vector de radio del punto M o o, en forma de coordenadas, d =ê x o cos a + y o sin a - р ê .
La ecuación general de una curva de segundo orden tiene la forma
a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.
Se supone que entre los coeficientes de la ecuación a 11, a 12, a 22 hay unos distintos de cero.
Ecuación de una circunferencia con centro en el punto C(a, b) y radio igual a R:
(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)
Elipsees el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias desde dos puntos dados F 1 y F 2 (focos) es un valor constante igual a 2a.
Ecuación canónica (más simple) de una elipse
x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)
La elipse dada por la ecuación (2.10) es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas. Opciones a Y b son llamados semiejes elipse.
Sea a>b, entonces los focos F 1 y F 2 están en el eje Ox a una distancia
c= desde el origen. Relación c/a = mi < 1 называется excentricidad elipse. Las distancias desde el punto M(x, y) de la elipse a sus focos (vectores de radio focal) están determinadas por las fórmulas:
r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.
si un< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= ,
mi = c/b,
r 1 = segundo + mi x, r 2 = segundo - mi x.
Si a = b, entonces la elipse es un círculo centrado en el origen del radio. a.
Hipérbolees el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia desde dos puntos dados F 1 y F 2 (focos) es igual en valor absoluto numero dado 2a.
Ecuación de hipérbola canónica
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)
La hipérbola dada por la ecuación (2.11) es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas. Interseca el eje Ox en los puntos A (a,0) y A (-a,0), los vértices de la hipérbola y no cruza el eje Oy. Parámetro a llamado semieje real, b -semieje imaginario. El parámetro c= es la distancia desde el foco al origen. Relación c/a = mi >1 se llama excentricidad hipérbole. Rectas cuyas ecuaciones son y =± b/a x se llaman asíntotas hipérbole. Las distancias desde el punto M(x,y) de la hipérbola a sus focos (vectores de radio focal) están determinadas por las fórmulas:
r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .
Una hipérbola para la cual a = b se llama equilátero, su ecuación x 2 - y 2 = a 2, y la ecuación de asíntotas y =±
X. Hipérbolas x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 y
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 se llaman conjugado.
Parábolaes el lugar geométrico de puntos igualmente distantes de un punto dado (foco) y de una línea dada (directriz).
La ecuación canónica de una parábola tiene dos formas:
1) y 2 = 2рx - la parábola es simétrica con respecto al eje Ox.
2) x 2 = 2рy - la parábola es simétrica con respecto al eje Oy.
En ambos casos, p>0 y el vértice de la parábola, es decir, el punto que se encuentra sobre el eje de simetría, se encuentra en el origen.
Una parábola cuya ecuación y 2 = 2рx tiene un foco F(р/2,0) y una directriz x = - р/2, el vector de radio focal del punto M(x,y) sobre ella es r = x+ р/ 2.
Una parábola cuya ecuación x 2 =2рy tiene foco F(0, р/2) y directriz y = - р/2; el vector de radio focal del punto M(x,y) de la parábola es igual a r = y + p/2.
La ecuación F(x, y) = 0 define una recta que divide el plano en dos o más partes. En algunas de estas partes se cumple la desigualdad F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. En otras palabras, la línea
F(x, y)=0 separa la parte del avión, donde F(x, y)>0, de la parte del avión, donde F(x, y)<0.
Una recta cuya ecuación es Ax+By+C = 0 divide el plano en dos semiplanos. En la práctica, para saber en qué semiplano tenemos Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, se utiliza el método del punto de control. Para ello, toma un punto de control (por supuesto, que no se encuentre en una línea recta cuya ecuación sea Ax+By+C = 0) y comprueba qué signo tiene la expresión Ax+By+C en este punto. El mismo signo tiene la expresión indicada en todo el semiplano donde se encuentra el punto de control. En el segundo semiplano, Ax+By+C tiene el signo opuesto.
Las desigualdades no lineales con dos incógnitas se resuelven de la misma forma.
Por ejemplo, resolvamos la desigualdad x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Se puede reescribir como (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.
La ecuación (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 define un círculo con centro en el punto C(2,-3) y un radio de 5. El círculo divide el plano en dos partes: interna y externo. Para saber cuál de ellos se cumple esta desigualdad, tomemos un punto de control en la región interior, por ejemplo, el centro C(2,-3) de nuestro círculo. Sustituyendo las coordenadas del punto C en el lado izquierdo de la desigualdad, obtenemos un número negativo -25. Esto significa que en todos los puntos que se encuentran dentro del círculo la desigualdad
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.
Ejemplo 1.5.Escribe las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A(3,1) y están inclinadas hacia la recta 2x+3y-1 = 0 en un ángulo de 45 o.
Solución.Buscaremos en la forma y=kx+b. Como la recta pasa por el punto A, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta, es decir 1=3k+b,Þ
b=1-3k. El tamaño del ángulo entre líneas rectas.
y= k 1 x+b 1 y y= kx+b está determinado por la fórmula tg j = . Dado que el coeficiente angular k 1 de la recta original 2x+3y-1=0 es igual a - 2/3, y el ángulo j = 45 o, entonces tenemos una ecuación para determinar k:
(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 o (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.
Tenemos dos valores de k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Hallando los valores correspondientes de b mediante la fórmula b=1-3k, obtenemos las dos rectas deseadas, cuyas ecuaciones son: x - 5y + 2 = 0 y
5x + y - 16 = 0.
Ejemplo 1.6. ¿A qué valor del parámetro? t¿Son paralelas las rectas cuyas ecuaciones 3tx-8y+1 = 0 y (1+t)x-2ty = 0?
Solución.Las rectas definidas por ecuaciones generales son paralelas si los coeficientes de X Y y son proporcionales, es decir 3t/(1+t) = -8/(-2t). Resolviendo la ecuación resultante, encontramos t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.
Ejemplo 1.7. Encuentra la ecuación de la cuerda común de dos círculos:
x 2 +y 2 =10 y x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.
Solución.Encontremos los puntos de intersección de los círculos; para ello, resuelva el sistema de ecuaciones:
.
Resolviendo la primera ecuación, encontramos los valores x 1 = 3, x 2 = 1. De la segunda ecuación, los valores correspondientes y: y 1 = 1, y 2 = 3. Ahora obtenemos la ecuación de la cuerda general, conociendo dos puntos A(3,1) y B(1,3) pertenecientes a esta recta: (y-1)/(3 -1) = (x-3)/(1-3), o y+ x - 4 = 0.
Ejemplo 1.8. ¿Cómo se ubican los puntos en el plano cuyas coordenadas satisfacen las condiciones (x-3) 2 + (y-3) 2?< 8, x >¿y?
Solución.La primera desigualdad del sistema determina el interior del círculo, sin incluir el borde, es decir circunferencia con centro en el punto (3,3) y radio . La segunda desigualdad define un semiplano definido por una recta cuya ecuación es x = y, y, dado que la desigualdad es estricta, los puntos de la recta en sí no pertenecen al semiplano, y todos los puntos debajo de esta recta pertenecen a el semiplano. Como buscamos puntos que satisfagan ambas desigualdades, el área que buscamos es el interior del semicírculo.
Ejemplo 1.9.Calcula la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una elipse cuya ecuación es x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.
Solución.Dejar M(s, s)- el vértice del cuadrado que se encuentra en el primer cuarto. Entonces el lado del cuadrado será igual a 2 Con. Porque punto METRO pertenece a la elipse, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, de donde
c = ab/ ; Esto significa que el lado del cuadrado es 2ab/.
Ejemplo 1.10.Conociendo la ecuación de asíntotas de la hipérbola y =± 0,5 x y uno de sus puntos M(12, 3), componen la ecuación de la hipérbola.
Solución.Escribamos la ecuación canónica de la hipérbola: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Las asíntotas de la hipérbola vienen dadas por las ecuaciones y =± 0,5 x, lo que significa b/a = 1/2, de donde a=2b. Porque el METRO es un punto de hipérbola, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de hipérbola, es decir 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Considerando que a = 2b, encontramos b: b 2 =9Þ b=3 y a=6. Entonces la ecuación de la hipérbola es x 2/36 - y 2/9 = 1.
Ejemplo 1.11.Calcula la longitud del lado del correcto. triangulo abc, inscrito en una parábola con el parámetro R, suponiendo que el punto A coincide con el vértice de la parábola.
Solución.Ecuación canónica de una parábola con parámetro. R tiene la forma y 2 = 2рx, su vértice coincide con el origen y la parábola es simétrica con respecto al eje de abscisas. Dado que la recta AB forma un ángulo de 30 o con el eje Ox, la ecuación de la recta tiene la forma: y = x. una gran cantidad de gráficos
Por tanto, podemos encontrar las coordenadas del punto B resolviendo el sistema de ecuaciones y 2 = 2рx, y = x, de donde x = 6р, y = 2р. Esto significa que la distancia entre los puntos A(0,0) y B(6р,2р) es igual a 4р.
Ecuación de una recta que pasa por este punto V en esta dirección. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. El ángulo entre dos líneas rectas. La condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos líneas.
Ejemplos de problemas con soluciones.
Encuentra la ecuación de una recta que pasa por dos puntos: (-1, 2) y (2, 1).
Solución.
Según la ecuación.
creyendo en ello X 1 = -1, y 1 = 2, X 2 = 2, y 2 = 1 (no importa qué punto se considera primero y cuál se considera segundo), obtenemos
después de simplificaciones obtenemos la ecuación final requerida en la forma
X + 3y - 5 = 0.
Los lados del triángulo están dados por las ecuaciones: (AB ) 2 X + 4 y + 1 = 0, (C.A. ) X - y + 2 = 0, (ANTES DE CRISTO. ) 3 X + 4 y -12 = 0. Encuentra las coordenadas de los vértices del triángulo.
Solución.
Coordenadas de vértice A encontramos resolviendo un sistema compuesto de ecuaciones de los lados AB Y C.A.:
sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas lo resolvemos usando métodos conocidos del álgebra elemental y obtenemos
Vértice A tiene coordenadas
Coordenadas de vértice B lo encontraremos resolviendo el sistema de ecuaciones de los lados AB Y ANTES DE CRISTO.:
Nosotros recibimos .
Coordenadas de vértice C obtenemos resolviendo el sistema de ecuaciones de los lados ANTES DE CRISTO. Y C.A.:
Vértice C tiene coordenadas.
A (2, 5) paralela a la línea 3X - 4 y + 15 = 0.
Solución.
Demostremos que si dos rectas son paralelas, entonces sus ecuaciones siempre se pueden representar de tal manera que solo difieran en sus términos libres. De hecho, de la condición de paralelismo de dos rectas se deduce eso.
Denotemos por t el valor global de estas relaciones. Entonces
y de esto se deduce que
A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)
Si dos lineas
A 1 X + B 1 y + C 1 = 0 y
A 2 X + B 2 y + C 2 = 0
son paralelas, se satisfacen las condiciones (1) y, reemplazando en la primera de estas ecuaciones A 1 y B 1 según las fórmulas (1), tendremos
A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,
o dividiendo ambos lados de la ecuación por , obtenemos
Comparando la ecuación resultante con la ecuación de la segunda recta A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, observamos que estas ecuaciones difieren sólo en el término libre; Así hemos demostrado lo que se requiere. Ahora comencemos a resolver el problema. Escribiremos la ecuación de la recta deseada de tal manera que difiera de la ecuación de la recta dada solo en el término libre: tomaremos los dos primeros términos de la ecuación deseada de esta ecuación y denotaremos su término libre por C. Entonces la ecuación requerida se escribirá en la forma
3X - 4y + C = 0, (3)
y por determinar C.
Dando en la ecuación (3) el valor C todos los valores reales posibles, obtenemos un conjunto de rectas paralelas al dado. Por tanto, la ecuación (3) no es una ecuación de una recta, sino de toda una familia de rectas paralelas a una recta 3 dada. X - 4y+ 15 = 0. De esta familia de rectas debemos seleccionar la que pasa por el punto A(2, 5).
Si una recta pasa por un punto, entonces las coordenadas de ese punto deben satisfacer la ecuación de la recta. Y por lo tanto determinaremos C, si en (3) sustituimos en lugar de las coordenadas actuales X Y y coordenadas de puntos A, es decir. X = 2, y= 5. Obtenemos y C = 14.
Valor encontrado C sustituya en (3) y la ecuación requerida se escribirá de la siguiente manera:
3X - 4y + 14 = 0.
El mismo problema se puede solucionar de otra forma. Dado que los coeficientes angulares de las rectas paralelas son iguales entre sí, y para una recta dada 3 X - 4y+ 15 = 0 pendiente, entonces la pendiente de la recta deseada también es igual.
Ahora usamos la ecuación. y - y 1 = k(X - X 1) un montón de líneas rectas. Punto A(2, 5) por donde pasa la recta lo conocemos, y por tanto, sustituyendo en la ecuación del lápiz de rectas y - y 1 = k(X - X 1) valores, obtenemos
o después de simplificaciones 3 X - 4y+ 14 = 0, es decir lo mismo que antes.
Encuentra ecuaciones de rectas que pasan por un punto.A (3, 4) en un ángulo de 60 grados con respecto a la recta 2X + 3 y + 6 = 0.
Solución.
Para resolver el problema, necesitamos determinar los coeficientes angulares de las líneas I y II (ver figura). Denotemos estos coeficientes respectivamente por k 1 y k 2, y el coeficiente angular de esta línea es a través de k. Es obvio que .
Basado en la definición del ángulo entre dos líneas rectas, al determinar el ángulo entre una línea dada y una línea recta, sigo en el numerador de la fracción en la fórmula
resta la pendiente de esta línea, ya que es necesario girarla en sentido antihorario alrededor del punto C hasta coincidir con la recta I.
Considerando eso, obtenemos
Al determinar el ángulo entre la línea II y una línea dada, se debe restar el coeficiente angular de la línea II en el numerador de la misma fracción, es decir k 2, ya que la línea II debe girarse en sentido antihorario alrededor del punto B hasta que coincida con esta línea:
Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto.A (5, -1) perpendicular a la línea 3X - 7 y + 14 = 0.
Solución.
Si dos lineas
A 1 X + B 1 y + C 1 = 0, A 2 X + B 2 y + C 2 = 0
son perpendiculares, entonces la igualdad
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,
o, lo que es lo mismo,
A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,
y de esto se deduce que
Denotamos el significado general de estas expresiones por t.
Entonces se deduce que
A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.
Sustituyendo estos valores A 2 y B 2 y la ecuación de la segunda línea, obtenemos
B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.
o, dividiendo por t ambos lados de la igualdad, tendremos
Comparando la ecuación resultante con la ecuación de la primera recta.
A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,
notamos que sus coeficientes en X Y y han intercambiado lugares y el signo entre el primer y segundo término ha cambiado al opuesto, pero los términos libres son diferentes.
Empecemos ahora a resolver el problema. Querer escribir la ecuación de una recta perpendicular a la recta 3 X - 7y+ 14 = 0, en base a la conclusión anterior, procederemos de la siguiente manera: intercambiaremos los coeficientes por X Y y, y reemplace el signo menos entre ellos con un signo más, y denote el término libre con la letra C. obtenemos 7 X + 3y + C= 0. Esta ecuación es la ecuación de una familia de rectas perpendiculares a la recta 3 X - 7y+ 14 = 0. Definir C de la condición de que la línea deseada pase por el punto A(5, -1). Se sabe que si una recta pasa por un punto, entonces las coordenadas de ese punto deben satisfacer la ecuación de la recta. Sustituyendo 5 en la última ecuación en lugar de X y -1 en su lugar y, obtenemos
Este es el significado C Sustituimos en la última ecuación y obtenemos
7X + 3y - 32 = 0.
Resolvamos el mismo problema de otra forma, usando para ello la ecuación de un lápiz de rectas.
y - y 1 = k(X - X 1).
La pendiente de esta recta es 3. X - 7y + 14 = 0
luego el coeficiente angular de la línea perpendicular a ella,
Sustituyendo en la ecuación de un lápiz de rectas, y en su lugar X 1 y y 1 coordenadas de este punto A(5, -1), encontrar o 3 y + 3 = -7X+ 35, y finalmente 7 X + 3y- 32 = 0, es decir, igual que antes.
La recta que pasa por el punto K(x 0 ; y 0) y es paralela a la recta y = kx + a se encuentra mediante la fórmula:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Donde k es la pendiente de la recta.
Fórmula alternativa:
Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1 ; y 1) y es paralela a la recta Ax+By+C=0 está representada por la ecuación
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Ejemplo No. 1. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto M 0 (-2,1) y al mismo tiempo:a) paralela a la recta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular a la recta 2x+3y -7 = 0.
Solución . Representemos la ecuación con la pendiente en la forma y = kx + a. Para hacer esto, mueva todos los valores excepto y al lado derecho: 3y = -2x + 7. Luego divide el lado derecho por un factor de 3. Obtenemos: y = -2/3x + 7/3
Encontremos la ecuación NK que pasa por el punto K(-2;1), paralelo a la recta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Sustituyendo x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obtenemos:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0
Ejemplo No. 2. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta 2x + 5y = 0 y formando, junto con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es 5.
Solución
. Como las rectas son paralelas, la ecuación de la recta deseada es 2x + 5y + C = 0. Área triángulo rectángulo, donde a y b son sus catetos. Encontremos los puntos de intersección de la línea deseada con los ejes de coordenadas: 
;
.
Entonces, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sustituyémoslo en la fórmula del área: 
. Obtenemos dos soluciones: 2x + 5y + 10 = 0 y 2x + 5y – 10 = 0.
Ejemplo No. 3. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto (-2; 5) y es paralela a la recta 5x-7y-4=0.
Solución. Esta línea recta se puede representar mediante la ecuación y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aquí a = 5 / 7). La ecuación de la recta deseada es y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), es decir 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .
Ejemplo No. 4. Habiendo resuelto el ejemplo 3 (A=5, B=-7) usando la fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.
Ejemplo No. 5. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto (-2;5) y es paralela a la recta 7x+10=0.
Solución. Aquí A=7, B=0. La fórmula (2) da 7(x+2)=0, es decir x+2=0. La fórmula (1) no es aplicable, ya que esta ecuación no se puede resolver con respecto a y (esta recta es paralela al eje de ordenadas).
Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.
Por cualquier punto se puede trazar un número infinito de rectas.
A través de dos puntos cualesquiera que no coincidan se puede trazar una sola línea recta.
Dos rectas divergentes en un plano se cortan en un solo punto o están
paralelo (sigue del anterior).
En el espacio tridimensional hay tres opciones. posición relativa dos rectas:
- las líneas se cruzan;
- las líneas son paralelas;
- las líneas rectas se cruzan.
Derecho línea— curva algebraica de primer orden: una línea recta en el sistema de coordenadas cartesiano
está dada en el plano por una ecuación de primer grado ( ecuación lineal).
Ecuación general de una recta.
Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.
Hacha + Wu + C = 0,
y constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general
ecuación de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes. A, B Y CON Son posibles los siguientes casos especiales:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- una recta pasa por el origen
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje UNED
. B = C = 0, A ≠0- la recta coincide con el eje UNED
. A = C = 0, B≠0- la recta coincide con el eje Oh
La ecuación de una línea recta se puede representar en en varias formas dependiendo de cualquier dado
condiciones iniciales.
Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.
Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano vector con componentes (A, B)
perpendicular a la recta dada por la ecuación
Hacha + Wu + C = 0.
Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. A(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).
Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C
Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto.
C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Sean dos puntos en el espacio. M1 (x1, y1, z1) Y M2 (x 2, y 2, z 2), Entonces ecuación de una recta,
pasando por estos puntos:
Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En
plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:
Si x 1 ≠ x 2 Y x = x 1, Si x1 = x2 .
Fracción =k llamado pendiente derecho.
Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).
Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:
Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.
Si ecuación general derecho Hacha + Wu + C = 0 Conducir a:
y designar 
, entonces la ecuación resultante se llama
ecuación de una recta con pendiente k.
Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.
Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, puedes ingresar a la tarea
una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.
Definición. Cada vector distinto de cero (α1,α2), cuyos componentes satisfacen la condición
Aα 1 + Bα 2 = 0 llamado vector director de una línea recta.
Hacha + Wu + C = 0.
Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).
Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,
Los coeficientes deben cumplir las siguientes condiciones:
1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.
Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.
en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir. ecuación requerida:
x + y - 3 = 0
Ecuación de una recta en segmentos.
Si en la ecuación general de la línea recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por -С, obtenemos:
o donde
Significado geométrico coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección
recto con eje Oh, A b- coordenada del punto de intersección de la línea con el eje UNED.
Ejemplo. La ecuación general de una línea recta está dada. x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ecuación normal de una recta.
Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número 
Lo que es llamado
factor de normalización, entonces obtenemos
xcosφ + ysenφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.
El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que µ*C< 0.
R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea recta,
A φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.
Ejemplo. La ecuación general de la recta está dada. 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir Varios tipos ecuaciones
esta línea recta.
La ecuación de esta recta en segmentos.:
La ecuación de esta recta con la pendiente.: (dividir por 5)
Ecuación de una recta:
porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.
Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,
paralelo a los ejes o pasando por el origen.
El ángulo entre líneas rectas en un plano.
Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + segundo 1 , y = k 2 x + segundo 2, entonces el ángulo agudo entre estas líneas
se definirá como
Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos las rectas son perpendiculares,
Si k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Directo Hacha + Wu + C = 0 Y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo cuando los coeficientes son proporcionales
A 1 = λA, B 1 = λB. si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.
se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.
La ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada.
Definición. Línea que pasa por un punto. M1 (x1, y1) y perpendicular a la recta y = kx + b
representado por la ecuación:
Distancia de un punto a una recta.
Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:
Prueba. deja el punto M1 (x1, y1)- la base de una perpendicular caída desde un punto METRO para una dada
directo. Entonces la distancia entre puntos METRO Y m 1:
(1)
Coordenadas x1 Y a la 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:
La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente
línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
luego resolviendo obtenemos:
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:
El teorema ha sido demostrado.