Resolver ecuaciones lineales simples. Paréntesis de apertura: reglas y ejemplos (grado 7) Ejemplos de resolución de ecuaciones

La función principal de los paréntesis es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. Por ejemplo, en la expresión numérica \(5·3+7\) se calculará primero la multiplicación, y luego la suma: \(5·3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\) se calculará primero la suma entre paréntesis, y sólo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Ejemplo. Expanda el corchete: \(-(4m+3)\).
Solución : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Ejemplo. Abra el soporte y traiga términos similares\(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solución : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ejemplo. Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Solución : En el paréntesis tenemos \(3\) y \(-x\), y antes del paréntesis hay un cinco. Esto significa que cada miembro del paréntesis se multiplica por \(5\) - les recuerdo que El signo de multiplicación entre un número y un paréntesis no está escrito en matemáticas para reducir el tamaño de las entradas..

Ejemplo. Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Solución : Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).

Ejemplo. Simplifica la expresión: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solución : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Queda por considerar la última situación.

Al multiplicar un paréntesis por un paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Ejemplo. Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solución : Tenemos un producto de paréntesis y se puede expandir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Retire el primer paréntesis; multiplique cada miembro por el segundo paréntesis:

Paso 2. Expande los productos de los paréntesis y el factor como se describe arriba:
- Lo primero es lo primero...

Luego el segundo.

Paso 3. Ahora multiplicamos y presentamos términos similares:

No es necesario describir todas las transformaciones con tanto detalle; puedes multiplicarlas de inmediato. Pero si recién está aprendiendo a abrir paréntesis y escribir en detalle, habrá menos posibilidades de cometer errores.

Nota para toda la sección. De hecho, no es necesario recordar las cuatro reglas, solo es necesario recordar una, ésta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituyes uno en lugar de c, obtienes la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes c por otro corchete, puedes obtener la última regla.

Paréntesis dentro de un paréntesis

A veces, en la práctica, surgen problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. Aquí hay un ejemplo de tal tarea: simplifique la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).

Para resolver con éxito tales tareas, necesita:
- comprender cuidadosamente el anidamiento de corchetes: cuál está en cuál;
- abra los corchetes secuencialmente, comenzando, por ejemplo, por el más interno.

Es importante al abrir uno de los corchetes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Veamos la tarea escrita arriba como ejemplo.

Ejemplo. Abra los corchetes y proporcione términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solución:

Ejemplo. Abra los corchetes y proporcione términos similares \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solución :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Aquí hay un triple anidamiento de paréntesis. Comencemos con el más interno (resaltado en verde). Hay un plus delante del soporte, por lo que simplemente se desprende.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Ahora necesitas abrir el segundo soporte, el intermedio. Pero antes de eso, simplificaremos la expresión de los términos fantasmales en este segundo paréntesis.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Ahora abrimos el segundo corchete (resaltado en azul). Antes del paréntesis hay un factor, por lo que cada término del paréntesis se multiplica por él.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Y abre el último corchete. Hay un signo menos delante del corchete, por lo que todos los signos están invertidos.

Ampliar paréntesis es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible obtener una calificación superior a C en los grados 8 y 9. Por eso, te recomiendo que comprendas bien este tema.

No todas las ecuaciones que contienen paréntesis se resuelven de la misma manera. Por supuesto, la mayoría de las veces requieren abrir los corchetes y traer términos similares (sin embargo, los métodos para abrir los corchetes varían). Pero a veces no es necesario abrir los paréntesis. Veamos todos estos casos usando ejemplos específicos:

5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2x - 3(x + 5) = -12.
(x + 1)(7x - 21) = 0.

Resolver ecuaciones abriendo paréntesis

Este método de resolución de ecuaciones es el más común, pero incluso con toda su aparente universalidad, se divide en subtipos según el método de apertura de paréntesis.

1) Resolver la ecuación 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

EN ecuación dada Los paréntesis van precedidos de los signos menos y más. Para abrir los corchetes en el primer caso, donde están precedidos por un signo menos, todos los signos dentro de los corchetes deben cambiarse al opuesto. El segundo par de corchetes está precedido por un signo más, que no afectará a los signos entre corchetes, lo que significa que simplemente se pueden omitir. Obtenemos:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Movamos los términos con x al lado izquierdo de la ecuación y el resto a la derecha (los signos de los términos transferidos cambiarán al contrario):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Veamos términos similares:

Para encontrar el factor desconocido x, divide el producto 18 por el factor conocido 6:

x = 18/6 = 3.

2) Resolver la ecuación 2x - 3(x + 5) = -12.

En esta ecuación, también primero debes abrir los paréntesis, pero usando la propiedad distributiva: para multiplicar -3 por la suma (x + 5), debes multiplicar -3 por cada término entre paréntesis y sumar los productos resultantes:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Resolver ecuaciones sin abrir paréntesis

La tercera ecuación (x + 1)(7x - 21) = 0 también se puede resolver abriendo los paréntesis, pero en tales casos es mucho más fácil utilizar la propiedad de la multiplicación: el producto es igual a cero cuando uno de los factores es igual a cero. Medio:

x + 1 = 0 o 7x - 21 = 0.

Una ecuación con una incógnita, que, después de abrir los paréntesis y traer términos similares, toma la forma

hacha + b = 0, donde a y b son números arbitrarios, se llama ecuación lineal con una desconocida. Hoy descubriremos cómo resolver estas ecuaciones lineales.

Por ejemplo, todas las ecuaciones:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineal.

El valor de la incógnita que convierte la ecuación en una igualdad verdadera se llama decisión o raíz de la ecuación .

Por ejemplo, si en la ecuación 3x + 7 = 13 en lugar de la incógnita x sustituimos el número 2, obtenemos la igualdad correcta 3 2 +7 = 13. Esto significa que el valor x = 2 es la solución o raíz de la ecuación.

Y el valor x = 3 no convierte la ecuación 3x + 7 = 13 en una verdadera igualdad, ya que 3 2 +7 ≠ 13. Esto significa que el valor x = 3 no es una solución ni una raíz de la ecuación.

solución de cualquier ecuaciones lineales se reduce a resolver ecuaciones de la forma

hacha + b = 0.

Movamos el término libre del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha, cambiando el signo delante de b al opuesto, obtenemos

Si a ≠ 0, entonces x = ‒ b/a .

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 3x + 2 =11.

Movamos 2 del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha, cambiando el signo delante de 2 al opuesto, obtenemos
3x = 11 – 2.

Hagamos la resta, entonces.
3x = 9.

Para encontrar x, necesitas dividir el producto por un factor conocido, es decir
x = 9:3.

Esto significa que el valor x = 3 es la solución o raíz de la ecuación.

Respuesta: x = 3.

Si a = 0 y b = 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = 0. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que cuando multiplicamos cualquier número por 0 obtenemos 0, pero b también es igual a 0. La solución de esta ecuación es cualquier número.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Ampliemos los corchetes:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Aquí hay algunos términos similares:
0x = 0.

Respuesta: x - cualquier número.

Si a = 0 y b ≠ 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = - b. Esta ecuación no tiene soluciones, ya que cuando multiplicamos cualquier número por 0 obtenemos 0, pero b ≠ 0.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación x + 8 = x + 5.

Agrupemos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo y los términos libres en el lado derecho:
x – x = 5 – 8.

Aquí hay algunos términos similares:
0х = ‒ 3.

Respuesta: no hay soluciones.

En Figura 1 muestra un diagrama para resolver una ecuación lineal

vamos a componer esquema general Resolver ecuaciones con una variable. Consideremos la solución al ejemplo 4.

Ejemplo 4. Supongamos que necesitamos resolver la ecuación.

1) Multiplica todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, igual a 12.

2) Después de la reducción obtenemos
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Para separar términos que contienen términos desconocidos y libres, abra los corchetes:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Agrupemos en una parte los términos que contienen incógnitas y en la otra, términos libres:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Presentemos términos similares:
- 22х = - 154.

6) Dividimos por – 22, obtenemos
x = 7.

Como puedes ver, la raíz de la ecuación es siete.

Generalmente tal Las ecuaciones se pueden resolver usando el siguiente esquema.:

a) llevar la ecuación a su forma entera;

b) abrir los corchetes;

c) agrupar los términos que contienen la incógnita en una parte de la ecuación y los términos libres en la otra;

d) traer miembros similares;

e) resolver una ecuación de la forma aх = b, que se obtuvo después de traer términos similares.

Sin embargo, este esquema no es necesario para todas las ecuaciones. Al resolver muchos más ecuaciones simples tienes que empezar no desde el primero, sino desde el segundo ( Ejemplo. 2), tercero ( Ejemplo. 13) e incluso desde la quinta etapa, como en el ejemplo 5.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación 2x = 1/4.

Encuentra la incógnita x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Veamos cómo resolver algunas ecuaciones lineales que se encuentran en el examen estatal principal.

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Respuesta: - 0,125

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Respuesta: 2.3

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Ejemplo 9. Encuentre f(6) si f (x + 2) = 3 7

Solución

Como necesitamos encontrar f(6) y sabemos f (x + 2),
entonces x + 2 = 6.

Resolvemos la ecuación lineal x + 2 = 6,
obtenemos x = 6 – 2, x = 4.

Si x = 4 entonces
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Respuesta: 27.

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Una de las habilidades más importantes cuando admisión a 5to grado es la capacidad de resolver ecuaciones simples. Dado que el quinto grado aún no está tan lejos de escuela primaria, entonces no hay tantos tipos de ecuaciones que un estudiante pueda resolver. Le presentaremos todos los tipos básicos de ecuaciones que necesita para poder resolver si lo desea. ingresar a una escuela de física y matemáticas.

Tipo 1: "bulboso"
Estas son ecuaciones que probablemente encontrarás cuando admisión a cualquier escuela o un club de quinto grado como tarea separada. Son fáciles de distinguir de otros: en ellos la variable está presente sólo una vez. Por ejemplo, o.
Se resuelven de forma muy sencilla: basta con "llegar" a lo desconocido, "eliminando" poco a poco todo lo innecesario que lo rodea, como si se pelara una cebolla, de ahí el nombre. Para solucionarlo, basta con recordar algunas reglas de la segunda clase. Enumerémoslos todos:

Suma

término1 + término2 = suma
término1 = suma - término2
término2 = suma - término1

Sustracción

minuendo - sustraendo = diferencia
minuendo = sustraendo + diferencia
sustraendo = minuendo - diferencia

Multiplicación

factor1 * factor2 = producto
factor1 = producto: factor2
factor2 = producto: factor1

División

dividendo: divisor = cociente
dividendo = divisor * cociente
divisor = dividendo: cociente

Veamos un ejemplo de cómo aplicar estas reglas.

Tenga en cuenta que estamos dividiendo encendido y recibimos. En esta situación conocemos el divisor y el cociente. Para encontrar el dividendo, debes multiplicar el divisor por el cociente:

Nos hemos acercado un poco más a nosotros mismos. Ahora vemos que se agrega y resulta . Esto significa que para encontrar uno de los términos, debes restar el término conocido de la suma:

¡Y se ha eliminado otra “capa” de lo desconocido! Ahora vemos la situación con valor conocido producto () y un factor conocido ().

Ahora la situación es “minuendo - sustraendo = diferencia”

Y el último paso es el producto conocido () y uno de los factores ()

Tipo 2: ecuaciones entre paréntesis
Ecuaciones de este tipo se encuentra con mayor frecuencia en tareas: es para ellos que el 90% de todas las tareas para admisión a 5to grado. A diferencia de "ecuaciones de cebolla" la variable aquí puede aparecer varias veces, por lo que es imposible resolverla utilizando los métodos del párrafo anterior. Ecuaciones típicas: o
La principal dificultad es abrir correctamente los corchetes. Una vez que haya logrado hacer esto correctamente, debe reducir los términos similares (números a números, variables a variables), y luego obtenemos el más simple. "ecuación de cebolla" que podemos solucionar. Pero primero lo primero.

Ampliar paréntesis. Daremos algunas reglas que deben usarse en en este caso. Pero, como muestra la práctica, el estudiante comienza a abrir los corchetes correctamente solo después de completar 70-80 problemas. La regla básica es la siguiente: cualquier factor fuera de los corchetes debe multiplicarse por cada término dentro de los corchetes. Y el signo menos delante del paréntesis cambia el signo de todas las expresiones del interior. Entonces, las reglas básicas de divulgación:

Trayendo similares. Aquí todo es mucho más fácil: al transferir los términos a través del signo igual, debe asegurarse de que de un lado solo haya términos con lo desconocido y del otro, solo números. La regla básica es la siguiente: cada término transferido cambia de signo: si era con, pasará a ser con y viceversa. Después de una transferencia exitosa, es necesario contar el número total de incógnitas, el número total en el otro lado de la igualdad que las variables, y resolver una simple "ecuación de cebolla".

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