Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Cómo encontrar soluciones generales y particulares a un sistema de ecuaciones lineales.

Solución de sistemas lineales. ecuaciones algebraicas(SLAE) es sin duda el tema más importante del curso de álgebra lineal. Gran cantidad Los problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a la resolución de sistemas. ecuaciones lineales. Estos factores explican el motivo de este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda puedas

elija el método óptimo para resolver su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
estudiar la teoría del método elegido,
resuelva su sistema de ecuaciones lineales considerando soluciones detalladas a ejemplos y problemas típicos.

Breve descripción del material del artículo.

Primero, damos todas las definiciones y conceptos necesarios e introducimos notaciones.

A continuación, consideraremos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen una solución única. En primer lugar, nos centraremos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver dichos sistemas de ecuaciones y, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (el método de eliminación secuencial de variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de diferentes formas.

Posteriormente pasaremos a la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general, en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema es singular. Formulemos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de los SLAE. Analicemos la solución de sistemas (si son compatibles) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.

Definitivamente nos detendremos en la estructura de la solución general de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de un sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo escribir decisión común SLAE utilizando vectores del sistema de solución fundamental. Para una mejor comprensión, veamos algunos ejemplos.

En conclusión, consideraremos sistemas de ecuaciones que se pueden reducir a lineales, así como varias tareas, a la hora de resolver qué SLAE surgen.

Navegación de páginas.

Definiciones, conceptos, designaciones.

Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n) de la forma

Variables desconocidas - coeficientes (algunos reales o números complejos), - términos libres (también números reales o complejos).

Esta forma de grabación SLAE se llama coordinar.

EN forma matricial escribir este sistema de ecuaciones tiene la forma,
Dónde - la matriz principal del sistema, - una matriz de columnas de variables desconocidas, - una matriz de columnas de términos libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir,

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se llama conjunto de valores de variables desconocidas que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. La ecuación matricial para valores dados de las variables desconocidas también se convierte en una identidad.

Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.

Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; Si hay más de una solución, entonces... incierto.

Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero , entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Si el número de ecuaciones de un sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no es igual a cero, entonces dichos SLAE se denominarán elemental. Estos sistemas de ecuaciones tienen una solución única y, en el caso de un sistema homogéneo, todas las variables desconocidas son iguales a cero.

Comenzamos a estudiar tales SLAE en escuela secundaria. Al resolverlas, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresamos la siguiente variable desconocida y la sustituimos en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O utilizaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.

Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a solucionarlos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, es decir, .

Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y - determinantes de matrices que se obtienen de A por sustitución 1º, 2º,…, enésimo columna respectivamente a la columna de miembros gratuitos:

Con esta notación, las variables desconocidas se calculan utilizando las fórmulas del método de Cramer como . Así se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Ejemplo.

método de cramer .

Solución.

La matriz principal del sistema tiene la forma . Calculemos su determinante (si es necesario, consulte el artículo):

Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer.

Compongamos y calculemos los determinantes necesarios. (obtenemos el determinante reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de términos libres, el determinante reemplazando la segunda columna con una columna de términos libres y reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de términos libres) :

Encontrar variables desconocidas usando fórmulas :

Respuesta:

La principal desventaja del método de Cramer (si se le puede llamar desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones en el sistema es más de tres.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.

Dado que , entonces la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar una matriz-columna de variables desconocidas. Así obtuvimos una solución al sistema de ecuaciones algebraicas lineales. método matricial.

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. método matricial.

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque

entonces el SLAE se puede resolver utilizando el método matricial. Mediante el uso matriz inversa La solución a este sistema se puede encontrar como .

Construyamos una matriz inversa usando una matriz a partir de sumas algebraicas de elementos de la matriz A (si es necesario, consulte el artículo):

Queda por calcular la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa. a una columna de matriz de miembros gratuitos (si es necesario, consulte el artículo):

Respuesta:

o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

El principal problema a la hora de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas de orden superior a tercero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas.
cuyo determinante de la matriz principal es diferente de cero.

La esencia del método Gauss. Consiste en eliminar secuencialmente las variables desconocidas: primero se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo quede la variable desconocida x n en la última ecuación. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama método gaussiano directo. Después de completar el trazo hacia adelante del método gaussiano, se encuentra x n a partir de la última ecuación, usando este valor de la penúltima ecuación, se calcula x n-1, y así sucesivamente, se encuentra x 1 a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos al revés del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos x 2 de la tercera ecuación sumando a sus lados izquierdo y derecho los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por:

Esto completa el movimiento hacia adelante del método de Gauss; comenzamos el movimiento hacia atrás.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante encontramos x 3:

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y así completamos el método inverso de Gauss.

Respuesta:

X1 = 4, X2 = 0, X3 = -1.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

En general, el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:

Estos SLAE pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y singular.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta de cuándo SLAE es compatible y cuándo es inconsistente viene dada por Teorema de Kronecker-Capelli:
Para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir , Rango(A)=Rango(T).

Consideremos, como ejemplo, la aplicación del teorema de Kronecker-Capelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Descubra si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones.

Solución.

. Utilicemos el método de bordear a menores. Menor de segundo orden diferente de cero. Veamos los menores de tercer orden que lo bordean:

Dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, el rango de la matriz principal es igual a dos.

A su vez, el rango de la matriz extendida es igual a tres, ya que el menor es de tercer orden

diferente de cero.

De este modo, Rang(A), por tanto, utilizando el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.

Respuesta:

El sistema no tiene soluciones.

Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia de un sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.

Pero ¿cómo encontrar solución a un SLAE si se establece su compatibilidad?

Para hacer esto, necesitamos el concepto de base menor de una matriz y un teorema sobre el rango de una matriz.

El menor de mayor orden de la matriz A, distinto de cero, se llama básico.

De la definición de base menor se deduce que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero puede haber varias bases menores;

Por ejemplo, considere la matriz .

Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda fila.

Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero

Menores no son básicos, ya que son iguales a cero.

Teorema de rango matricial.

Si el rango de una matriz de orden p por n es igual a r, entonces todos los elementos de fila (y columna) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos de fila (y columna) correspondientes que forman la base menor.

¿Qué nos dice el teorema del rango matricial?

Si, de acuerdo con el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier base menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r) y excluimos del sistema todas las ecuaciones que lo hacen. no forma la base menor seleccionada. El SLAE obtenido de esta forma será equivalente al original, ya que las ecuaciones descartadas aún son redundantes (según el teorema de rango matricial, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).

Como resultado, después de descartar ecuaciones innecesarias del sistema, son posibles dos casos.

Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definido y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Ejemplo.

Solución.

Rango de la matriz principal del sistema. es igual a dos, ya que el menor es de segundo orden diferente de cero. Rango de matriz extendido también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es cero

y el menor de segundo orden considerado anteriormente es diferente de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, podemos afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rango(A)=Rango(T)=2.

Como base menor tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones:

La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema basándonos en el teorema del rango de la matriz:

Así obtuvimos un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Resolvámoslo usando el método de Cramer:

Respuesta:

x1 = 1, x2 = 2.

Si el número de ecuaciones r en el SLAE resultante es menor que el número de variables desconocidas n, entonces en los lados izquierdos de las ecuaciones dejamos los términos que forman la base menor y transferimos los términos restantes a los lados derechos de la ecuaciones del sistema con signo opuesto.

Las variables desconocidas (r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.

Las variables desconocidas (hay n - r piezas) que están en el lado derecho se llaman gratis.

Ahora creemos que las variables desconocidas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r principales variables desconocidas se expresarán mediante variables desconocidas libres de una manera única. Su expresión se puede encontrar resolviendo el SLAE resultante mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo.

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

Encontremos el rango de la matriz principal del sistema. por el método de frontera con menores. Tomemos un 1 1 = 1 como menor distinto de cero de primer orden. Comencemos a buscar un menor distinto de cero de segundo orden que bordee este menor:

Así es como encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Comencemos a buscar un menor de tercer orden distinto de cero:

Por tanto, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz extendida también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.

Tomamos como base el menor de tercer orden distinto de cero encontrado.

Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor:

Dejamos los términos involucrados en la base menor en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema y trasladamos el resto con signos opuestos a los lados derechos:

Demos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, aceptamos , donde están los números arbitrarios. En este caso, la SLAE tomará la forma

Resolvamos el sistema elemental resultante de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer:

Por eso, .

En tu respuesta, no olvides indicar variables desconocidas libres.

Respuesta:

¿Dónde están los números arbitrarios?

Resumir.

Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales generales, primero determinamos su compatibilidad utilizando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, concluimos que el sistema es incompatible.

Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces seleccionamos una base menor y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la base menor seleccionada.

Si el orden de la base menor igual al numero variables desconocidas, entonces el SLAE tiene una solución única, que encontramos mediante cualquier método que conozcamos.

Si el orden de la base menor es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, transferimos los términos restantes a los lados derechos y damos valores arbitrarios a las variables desconocidas libres. Del sistema de ecuaciones lineales resultante encontramos las principales variables desconocidas mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

El método de Gauss se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin probar primero su coherencia. El proceso de eliminación secuencial de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la incompatibilidad del SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.

Desde un punto de vista computacional, es preferible el método gaussiano.

Míralo Descripción detallada y analizó ejemplos en el artículo del método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

En esta sección hablaremos de sistemas simultáneos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen un número infinito de soluciones.

Tratemos primero con sistemas homogéneos.

Sistema fundamental de soluciones. Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es una colección de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.

Si denotamos soluciones linealmente independientes de un SLAE homogéneo como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) son matrices columnares de dimensión n por 1) , entonces la solución general de este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con arbitrario coeficientes constantes C 1, C 2, ..., C (n-r), es decir, .

¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?

El significado es simple: la fórmula lo establece todo. soluciones posibles el SLAE original, es decir, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias C 1, C 2, ..., C (n-r), usando la fórmula obtendremos una de las soluciones del SLAE homogéneo original.

Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos definir todas las soluciones de este SLAE homogéneo como.

Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.

Seleccionamos la base menor del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos todos los términos que contienen variables desconocidas libres a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signos opuestos. Démosle a las variables desconocidas libres los valores 1,0,0,...,0 y calculemos las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier forma, por ejemplo, usando el método de Cramer. Esto dará como resultado X (1), la primera solución del sistema fundamental. Si a las incógnitas libres les damos los valores 0,1,0,0,…,0 y calculamos las incógnitas principales, obtenemos X (2). Etcétera. Si asignamos los valores 0.0,...,0.1 a las variables desconocidas libres y calculamos las principales incógnitas obtenemos X(n-r). De esta forma se construirá un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo y su solución general podrá escribirse en la forma .

Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa en la forma , donde es la solución general del sistema homogéneo correspondiente, y es la solución particular del SLAE no homogéneo original, que obtenemos dando los valores a las incógnitas libres. 0,0,...,0 y calculando los valores de las principales incógnitas.

Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

El rango de la matriz principal de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales es siempre igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal utilizando el método de menores limítrofes. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encontremos el menor limítrofe distinto de cero de segundo orden:

Se ha encontrado un menor de segundo orden, distinto de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero:

Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es igual a dos. Echemos . Para mayor claridad, observemos los elementos del sistema que lo forman:

La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación de la base menor, por tanto, se puede excluir:

Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en los lados derechos de las ecuaciones y transferimos los términos con incógnitas libres a los lados derechos:

Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. El sistema fundamental de soluciones de este SLAE consta de dos soluciones, ya que el SLAE original contiene cuatro variables desconocidas y el orden de su base menor es igual a dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 = 1, x 4 = 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones.
.

En la escuela, cada uno de nosotros estudiaba ecuaciones y, muy probablemente, sistemas de ecuaciones. Pero no mucha gente sabe que existen varias formas de solucionarlos. Hoy analizaremos en detalle todos los métodos para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que consta de más de dos igualdades.

Historia

Hoy se sabe que el arte de resolver ecuaciones y sus sistemas se originó en la Antigua Babilonia y Egipto. Sin embargo, las igualdades en su forma familiar aparecieron después de la aparición del signo igual "=", que fue introducido en 1556 por el matemático inglés Record. Por cierto, este signo fue elegido por una razón: significa dos segmentos iguales paralelos. De hecho, no hay mejor ejemplo de igualdad.

El fundador de las designaciones de letras modernas para incógnitas y signos de grados es un matemático francés. Sin embargo, sus designaciones eran significativamente diferentes de las actuales. Por ejemplo, designó el cuadrado de un número desconocido con la letra Q (lat. "quadratus") y el cubo con la letra C (lat. "cubus"). Esta notación parece incómoda ahora, pero en ese momento era la forma más comprensible de escribir sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Sin embargo, un inconveniente de los métodos de solución de aquella época era que los matemáticos sólo consideraban raíces positivas. Esto puede deberse a que los valores negativos no tuvieron ninguna aplicación práctica. De una forma u otra, fueron los matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano y Raphael Bombelli quienes fueron los primeros en contar raíces negativas en el siglo XVI. A aspecto moderno, el método de solución principal (a través del discriminante) no se creó hasta el siglo XVII gracias al trabajo de Descartes y Newton.

A mediados del siglo XVIII, el matemático suizo Gabriel Cramer encontró una nueva forma de facilitar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Más tarde, este método recibió su nombre y todavía lo utilizamos hasta el día de hoy. Pero hablaremos sobre el método de Cramer un poco más adelante, pero por ahora analicemos las ecuaciones lineales y los métodos para resolverlas por separado del sistema.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales son las ecuaciones más simples con una variable (variables). Se clasifican en algebraicos. escribir a vista general entonces: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Necesitaremos representarlos de esta forma cuando compilemos sistemas y matrices más adelante.

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

La definición de este término es: es un conjunto de ecuaciones que tienen cantidades desconocidas comunes y una solución común. Como regla general, en la escuela todos resolvían sistemas con dos o incluso tres ecuaciones. Pero hay sistemas con cuatro o más componentes. Primero, descubramos cómo anotarlos para que sea conveniente resolverlos en el futuro. Primero, los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales se verán mejor si todas las variables se escriben como x con el subíndice apropiado: 1,2,3, etc. En segundo lugar, todas las ecuaciones deben reducirse a forma canónica: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Después de todos estos pasos, podemos empezar a hablar de cómo encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices serán de gran utilidad para esto.

matrices

Una matriz es una tabla que consta de filas y columnas, y en su intersección se encuentran sus elementos. Estos pueden ser valores o variables específicos. La mayoría de las veces, para indicar elementos, se colocan subíndices debajo de ellos (por ejemplo, un 11 o un 23). El primer índice significa el número de fila y el segundo, el número de columna. Se pueden realizar diversas operaciones sobre matrices, como sobre cualquier otro elemento matemático. Así, podrás:

2) Multiplicar una matriz por cualquier número o vector.

3) Transponer: convierte las filas de la matriz en columnas y las columnas en filas.

4) Multiplicar matrices si el número de filas de una de ellas es igual al número de columnas de la otra.

Analicemos todas estas técnicas con más detalle, ya que nos serán útiles en el futuro. Restar y sumar matrices es muy sencillo. Como tomamos matrices del mismo tamaño, cada elemento de una tabla se correlaciona con cada elemento de la otra. Por lo tanto, sumamos (restamos) estos dos elementos (es importante que estén en el mismo lugar en sus matrices). Al multiplicar una matriz por un número o vector, simplemente multiplica cada elemento de la matriz por ese número (o vector). La transposición es un proceso muy interesante. Es muy interesante verlo a veces. vida real, por ejemplo, al cambiar la orientación de una tableta o teléfono. Los iconos en el escritorio representan una matriz, y cuando la posición cambia, se transpone y se vuelve más ancha, pero disminuye en altura.

Veamos otro proceso como: Aunque no lo necesitaremos, será útil conocerlo. Puede multiplicar dos matrices solo si el número de columnas de una tabla es igual al número de filas de la otra. Ahora tomemos los elementos de una fila de una matriz y los elementos de la columna correspondiente de otra. Multiplíquelos entre sí y luego sumémoslos (es decir, por ejemplo, el producto de los elementos a 11 y a 12 por b 12 y b 22 será igual a: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . De esta manera, se obtiene un elemento de la tabla y se completa adicionalmente utilizando un método similar.

Ahora podemos empezar a considerar cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales.

método de gauss

Este tema comienza a tratarse en la escuela. Conocemos bien el concepto de “sistema de dos ecuaciones lineales” y sabemos cómo resolverlas. ¿Pero qué pasa si el número de ecuaciones es más de dos? Esto nos ayudará

Por supuesto, este método es conveniente de utilizar si crea una matriz a partir del sistema. Pero no es necesario transformarlo y resolverlo en su forma pura.

Entonces, ¿cómo resuelve este método el sistema de ecuaciones lineales gaussianas? Por cierto, aunque este método lleva su nombre, fue descubierto en la antigüedad. Gauss propone lo siguiente: realizar operaciones con ecuaciones para finalmente reducir todo el conjunto a una forma escalonada. Es decir, es necesario que de arriba a abajo (si se dispone correctamente) desde la primera ecuación hasta la última incógnita disminuya. En otras palabras, debemos asegurarnos de obtener, digamos, tres ecuaciones: en la primera hay tres incógnitas, en la segunda dos y en la tercera una. Luego, de la última ecuación encontramos la primera incógnita, sustituimos su valor en la segunda o primera ecuación y luego encontramos las dos variables restantes.

método cramer

Para dominar este método, es vital tener habilidades para sumar y restar matrices, y también es necesario poder encontrar determinantes. Por lo tanto, si haces todo esto mal o no sabes nada, tendrás que aprender y practicar.

¿Cuál es la esencia de este método y cómo lograr que se obtenga un sistema de ecuaciones lineales de Cramer? Todo es muy sencillo. Debemos construir una matriz de coeficientes numéricos (casi siempre) de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Para ello, simplemente tomamos los números delante de las incógnitas y los ordenamos en una tabla en el orden en que están escritos en el sistema. Si hay un signo "-" delante del número, entonces escribimos un coeficiente negativo. Entonces, hemos compilado la primera matriz de coeficientes para incógnitas, sin incluir los números después de los signos iguales (naturalmente, la ecuación debe reducirse a la forma canónica, cuando solo el número está a la derecha y todas las incógnitas con coeficientes están a la derecha). la izquierda). Luego necesitas crear varias matrices más, una para cada variable. Para hacer esto, reemplazamos cada columna con coeficientes en la primera matriz por una columna de números después del signo igual. Así, obtenemos varias matrices y luego encontramos sus determinantes.

Una vez que hayamos encontrado los determinantes, es un asunto menor. Tenemos una matriz inicial y hay varias matrices resultantes que corresponden a diferentes variables. Para obtener soluciones del sistema, dividimos el determinante de la tabla resultante por el determinante de la tabla inicial. El número resultante es el valor de una de las variables. De manera similar, encontramos todas las incógnitas.

Otros metodos

Existen varios otros métodos para obtener soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, el llamado método Gauss-Jordan, que se utiliza para encontrar soluciones al sistema. ecuaciones cuadráticas y también está asociado con el uso de matrices. También existe el método de Jacobi para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Es el más fácil de adaptar a una computadora y se utiliza en informática.

Casos complejos

La complejidad suele surgir cuando el número de ecuaciones es menor que el número de variables. Entonces podemos decir con seguridad que el sistema es inconsistente (es decir, no tiene raíces) o que el número de sus soluciones tiende a infinito. Si tenemos el segundo caso, entonces necesitamos escribir la solución general del sistema de ecuaciones lineales. Contendrá al menos una variable.

Conclusión

Aquí llegamos al final. Resumamos: descubrimos qué son un sistema y una matriz y aprendimos cómo encontrar una solución general a un sistema de ecuaciones lineales. Además, consideramos otras opciones. Descubrimos cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales: el método de Gauss y hablamos sobre casos difíciles y otras formas de encontrar soluciones.

De hecho, este tema es mucho más extenso, y si quieres entenderlo mejor te recomendamos leer literatura más especializada.

Sistemas de ecuaciones lineales. Conferencia 6.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos básicos.

Ver sistema

llamado sistema - ecuaciones lineales con incógnitas.

Los números , , se llaman coeficientes del sistema.

los numeros se llaman miembros libres del sistema, – variables del sistema. Matriz

llamado matriz principal del sistema, y la matriz

– sistema de matriz extendida. Matrices - columnas

Y en consecuencia matrices de términos libres e incógnitas del sistema. Luego, en forma matricial, el sistema de ecuaciones se puede escribir como . Solución del sistema Se denominan valores de variables, tras su sustitución, todas las ecuaciones del sistema se convierten en igualdades numéricas correctas. Cualquier solución del sistema se puede representar como una matriz-columna. Entonces la igualdad matricial es verdadera.

El sistema de ecuaciones se llama articulación si tiene al menos una solución y no conjunto si no hay solución.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa averiguar si es consistente y, de ser así, encontrar su solución general.

El sistema se llama homogéneo si todos sus términos libres son iguales a cero. Un sistema homogéneo siempre es consistente, ya que tiene solución.

Teorema de Kronecker-Copelli.

La respuesta a la pregunta sobre la existencia de soluciones a sistemas lineales y su unicidad nos permite obtener el siguiente resultado, que se puede formular en forma de las siguientes afirmaciones sobre un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas.

(1)

Teorema 2. El sistema de ecuaciones lineales (1) es consistente si y solo si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida (.

Teorema 3. Si el rango de la matriz principal de un sistema simultáneo de ecuaciones lineales es igual al número de incógnitas, entonces el sistema tiene una solución única.

Teorema 4. Si el rango de la matriz principal de un sistema conjunto es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Reglas para la resolución de sistemas.

3. Encuentre la expresión de las variables principales en términos de libres y obtenga la solución general del sistema.

4. Al dar valores arbitrarios a las variables libres se obtienen todos los valores de las variables principales.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Método de matriz inversa.

y , es decir, el sistema tiene una solución única. Escribamos el sistema en forma matricial.

Dónde , , .

Multipliquemos ambos lados de la ecuación matricial de la izquierda por la matriz.

Dado que obtenemos, de donde obtenemos la igualdad para encontrar las incógnitas

Ejemplo 27. Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de matriz inversa.

Solución. Denotemos por la matriz principal del sistema.

Vamos, luego encontramos la solución usando la fórmula.

Calculemos.

Desde entonces el sistema tiene una solución única. Encontremos todos los complementos algebraicos.

, ,

De este modo

Vamos a revisar

La matriz inversa se encontró correctamente. A partir de aquí, usando la fórmula, encontramos la matriz de variables.

Comparando los valores de las matrices, obtenemos la respuesta: .

El método de Cramer.

Sea dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas.

y , es decir, el sistema tiene una solución única. Escribamos la solución del sistema en forma matricial o

denotemos

. . . . . . . . . . . . . . ,

Así, obtenemos fórmulas para encontrar los valores de incógnitas, que se denominan Fórmulas de Cramer.

Ejemplo 28. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer. .

Solución. Encontremos el determinante de la matriz principal del sistema.

Desde entonces el sistema tiene una solución única.

Encontremos los determinantes restantes de las fórmulas de Cramer.

Usando las fórmulas de Cramer encontramos los valores de las variables.

Método de Gauss.

El método consiste en la eliminación secuencial de variables.

Sea dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas.

El proceso de solución gaussiana consta de dos etapas:

En la primera etapa, la matriz extendida del sistema se reduce, mediante transformaciones elementales, a una forma escalonada.

donde , al que corresponde el sistema

Después de esto las variables se consideran libres y se transfieren al lado derecho de cada ecuación.

En la segunda etapa, la variable se expresa a partir de la última ecuación y el valor resultante se sustituye en la ecuación. De esta ecuación

se expresa la variable. Este proceso continúa hasta la primera ecuación. El resultado es una expresión de las variables principales a través de variables libres. .

Ejemplo 29. Resuelva el siguiente sistema usando el método de Gauss

Solución. Escribamos la matriz extendida del sistema y la llevemos a su forma escalonada.

Porque mayor que el número de incógnitas, entonces el sistema es consistente y tiene un número infinito de soluciones. Escribamos el sistema para la matriz de pasos.

El determinante de la matriz extendida de este sistema, compuesta por las tres primeras columnas, no es igual a cero, por lo que la consideramos básica. variables

Serán básicos y la variable será libre. Movámoslo en todas las ecuaciones hacia el lado izquierdo.

De la última ecuación expresamos

Sustituyendo este valor en la penúltima segunda ecuación, obtenemos

dónde . Sustituyendo los valores de las variables y en la primera ecuación, encontramos . Escribamos la respuesta en el siguiente formulario.

La resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales es uno de los principales problemas del álgebra lineal. Este problema tiene una importante importancia aplicada en la resolución de problemas científicos y técnicos; además, es auxiliar en la implementación de muchos algoritmos en matemáticas computacionales, física matemática y procesamiento de resultados de investigaciones experimentales.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. se llama un sistema de ecuaciones de la forma: (1)

Dónde – desconocido; - miembros gratuitos.

Resolver un sistema de ecuaciones(1) llamar a cualquier conjunto de números que, cuando se colocan en el sistema (1), en lugar de las incógnitas convierte todas las ecuaciones del sistema en igualdades numéricas correctas.

El sistema de ecuaciones se llama articulación, si tiene al menos una solución, y no conjunto, si no tiene soluciones.

El sistema simultáneo de ecuaciones se llama cierto, si tiene una solución única, y incierto, si tiene al menos dos soluciones diferentes.

Los dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalente o equivalente, si tienen el mismo conjunto de soluciones.

El sistema (1) se llama homogéneo, si los términos libres son cero:

Un sistema homogéneo siempre es consistente: tiene una solución (quizás no la única).

Si en el sistema (1), entonces tenemos el sistema norte ecuaciones lineales con norte desconocido: donde – desconocido; – coeficientes para incógnitas, - miembros gratuitos.

sistema lineal puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución.

Considere un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Si entonces el sistema tiene una solución única;

si entonces el sistema no tiene soluciones;

si entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo. El sistema tiene una solución única para un par de números.

El sistema tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, las soluciones de un sistema dado son pares de números, etc.

El sistema no tiene soluciones, ya que la diferencia de dos números no puede tomar dos valores diferentes.

Definición. Determinante de segundo orden se llama expresión de la forma:

El determinante se designa con el símbolo D.

Números A 11, …, A 22 se llaman elementos del determinante.

Diagonal formada por elementos A 11 ; A 22 son llamados principal diagonal formada por elementos A 12 ; A 21 − lado

Por tanto, el determinante de segundo orden es igual a la diferencia entre los productos de los elementos de las diagonales principal y secundaria.

Tenga en cuenta que la respuesta es un número.

Ejemplo. Calculemos los determinantes:

Considere un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: donde X 1, X 2 – desconocido; A 11 , …, A 22 – coeficientes para incógnitas, b 1 , b 2 – miembros gratuitos.

Si un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene una solución única, entonces se puede encontrar utilizando determinantes de segundo orden.

Definición. Un determinante formado por coeficientes de incógnitas se llama determinante del sistema: D= .

Las columnas del determinante D contienen los coeficientes, respectivamente, para X 1 y en , X 2. Introduzcamos dos calificador adicional, que se obtienen del determinante del sistema reemplazando una de las columnas por una columna de términos libres: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Kramer, para el caso n=2). Si el determinante D del sistema es distinto de cero (D¹0), entonces el sistema tiene una solución única, que se encuentra mediante las fórmulas:

Estas fórmulas se llaman Las fórmulas de Cramer.

Ejemplo. Resolvamos el sistema usando la regla de Cramer:

Solución. Encontremos los números

Respuesta.

Definición. Determinante de tercer orden se llama expresión de la forma:

Elementos A 11; A 22 ; A 33 – forma la diagonal principal.

Números A 13; A 22 ; A 31 – forma una diagonal lateral.

La entrada con plus incluye: el producto de elementos de la diagonal principal, los dos términos restantes son el producto de elementos ubicados en los vértices de triángulos con bases paralelas a la diagonal principal. Los términos negativos se forman según el mismo esquema con respecto a la diagonal secundaria.

Ejemplo. Calculemos los determinantes:

Considere un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: donde – desconocido; – coeficientes para incógnitas, - miembros gratuitos.

En el caso de una solución única, un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas se puede resolver utilizando determinantes de tercer orden.

El determinante del sistema D tiene la forma:

Introduzcamos tres determinantes adicionales:

Teorema 15(Kramer, para el caso n=3). Si el determinante D del sistema es distinto de cero, entonces el sistema tiene una solución única, que se encuentra utilizando las fórmulas de Cramer:

Ejemplo. Resolvamos el sistema usando la regla de Cramer.

Solución. Encontremos los números

Usemos las fórmulas de Cramer y encontremos la solución al sistema original:

Respuesta.

Tenga en cuenta que el teorema de Cramer es aplicable cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y cuando el determinante del sistema D es distinto de cero.

Si el determinante del sistema es igual a cero, entonces en este caso el sistema puede no tener soluciones o tener un número infinito de soluciones. Estos casos se estudian por separado.

Señalemos sólo un caso. Si el determinante del sistema es igual a cero (D=0), y al menos uno de los determinantes adicionales es diferente de cero, entonces el sistema no tiene soluciones, es decir, es inconsistente.

El teorema de Cramer se puede generalizar al sistema. norte ecuaciones lineales con norte desconocido: donde – desconocido; – coeficientes para incógnitas, - miembros gratuitos.

Si el determinante de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, entonces la única solución del sistema se encuentra utilizando las fórmulas de Cramer:

Se obtiene un determinante adicional del determinante D si contiene una columna de coeficientes para la incógnita. xyo reemplácelo con una columna de miembros gratuitos.

Tenga en cuenta que los determinantes D, D 1 ,… , D norte tener orden norte.

Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Uno de los métodos más comunes para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales es el método de eliminación secuencial de incógnitas. −Método de Gauss. Este método es una generalización del método de sustitución y consiste en eliminar secuencialmente incógnitas hasta que quede una ecuación con una incógnita.

El método se basa en algunas transformaciones de un sistema de ecuaciones lineales, que dan como resultado un sistema equivalente al sistema original. El algoritmo del método consta de dos etapas.

La primera etapa se llama todo derecho Método de Gauss. Consiste en eliminar secuencialmente incógnitas de las ecuaciones. Para hacer esto, en el primer paso, divida la primera ecuación del sistema por (de lo contrario, reorganice las ecuaciones del sistema). Denotan los coeficientes de la ecuación reducida resultante, lo multiplican por el coeficiente y lo restan de la segunda ecuación del sistema, eliminándolo así de la segunda ecuación (poniendo a cero el coeficiente).

Haga lo mismo con las ecuaciones restantes y obtenga un nuevo sistema, en todas las ecuaciones, a partir de la segunda, los coeficientes para , contienen solo ceros. Obviamente, el nuevo sistema resultante será equivalente al sistema original.

Si los nuevos coeficientes, para , no son todos iguales a cero, pueden excluirse de la misma manera de la tercera ecuación y de las siguientes. Continuando con esta operación para las siguientes incógnitas, el sistema se lleva a la llamada forma triangular:

Aquí los símbolos indican los coeficientes numéricos y términos libres que han cambiado como resultado de transformaciones.

A partir de la última ecuación del sistema, las incógnitas restantes se determinan de forma única y luego mediante sustitución secuencial.

Comentario. A veces, como resultado de transformaciones, en cualquiera de las ecuaciones todos los coeficientes y el lado derecho se vuelven cero, es decir, la ecuación se convierte en la identidad 0=0. Al eliminar dicha ecuación del sistema, el número de ecuaciones se reduce en comparación con el número de incógnitas. Un sistema así no puede tener una solución única.

Si, en el proceso de aplicar el método de Gauss, cualquier ecuación se convierte en una igualdad de la forma 0 = 1 (los coeficientes de las incógnitas se vuelven 0 y el lado derecho toma un valor distinto de cero), entonces el El sistema original no tiene solución, ya que dicha igualdad es falsa para cualquier valor desconocido.

Considere un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Dónde – desconocido; – coeficientes para incógnitas, - miembros gratuitos. , sustituyendo lo encontrado

Solución. Aplicando el método gaussiano a este sistema, obtenemos

¿Dónde falla la última igualdad para cualquier valor de las incógnitas? Por lo tanto, el sistema no tiene solución.

Respuesta. El sistema no tiene soluciones.

Tenga en cuenta que el método de Cramer discutido anteriormente se puede utilizar para resolver solo aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y el determinante del sistema debe ser distinto de cero. El método de Gauss es más universal y adecuado para sistemas con cualquier número de ecuaciones.

Tema 2. Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales por métodos directos.

Los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (abreviados como SLAE) son sistemas de ecuaciones de la forma

o, en forma matricial,

A × X = B , (2.2)

A - matriz de coeficientes del sistema dimensional norte ´ norte

X - vector de incógnitas que consta de norte componente

B - vector de los lados derechos del sistema, que consta de norte componente.

A = X = B = (2.3)

La solución del SLAE es el siguiente conjunto de norte números, que cuando se sustituyen por valores X 1 , X 2 , … , xn en el sistema (2.1) garantiza que los lados izquierdos sean iguales a los lados derechos en todas las ecuaciones.

Cada SLAE dependiendo de los valores de la matriz. A Y B puede tener

Una solución

Infinitas soluciones

Ni una sola solución.

En este curso consideraremos sólo aquellos SLAE que tengan una solución única. Necesario y condición suficiente Esto significa que el determinante de la matriz no es igual a cero. A .

Para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales se pueden realizar algunas transformaciones que no cambian sus soluciones. Transformaciones equivalentes de un sistema de ecuaciones lineales, se llaman sus transformaciones aquellas que no cambian su solución. Éstas incluyen:

Reorganizar dos ecuaciones cualesquiera del sistema (cabe señalar que en algunos casos que se analizan a continuación, esta transformación no se puede utilizar);

Multiplicar (o dividir) cualquier ecuación del sistema por un número distinto de cero;

Sumar a una ecuación de un sistema otra de sus ecuaciones, multiplicada (o dividida) por algún número distinto de cero.

Los métodos para resolver SLAE se dividen en dos grandes grupos, llamado - métodos directos Y métodos iterativos. También hay una manera de reducir el problema de resolver SLAE al problema de encontrar el extremo de una función de varias variables con su posterior solución mediante métodos de búsqueda del extremo (más sobre esto en el tema correspondiente). Los métodos directos proporcionan una solución exacta al sistema (si existe) en un solo paso. Los métodos iterativos (si se garantiza su convergencia) permiten mejorar repetidamente alguna aproximación inicial a la solución deseada del SLAE y, en general, nunca darán una solución exacta. Sin embargo, dado que los métodos de solución directa tampoco proporcionan soluciones perfectamente precisas debido a errores de redondeo inevitables en las etapas intermedias de los cálculos, los métodos iterativos también pueden proporcionar aproximadamente el mismo resultado.

Métodos directos para la resolución de SLAE. Los métodos directos más utilizados para resolver SLAE son:

método de cramer

Método de Gauss (y su modificación - método de Gauss-Jordan)

Método matricial (usando inversión de matrices A ).

método cramer basado en el cálculo del determinante de la matriz principal A y determinantes de matrices A 1 , A 2 , …, Un , que se obtienen de la matriz A reemplazando uno ( i th) columna ( i= 1, 2,…, norte) a una columna que contiene elementos vectoriales B . Luego de esto, las soluciones del SLAE se determinan como el cociente de dividir los valores de estos determinantes. Más precisamente, las fórmulas de cálculo se ven así

(2.4)

Ejemplo 1. Encontremos la solución del SLAE utilizando el método de Cramer, para lo cual

A = , B = .

Tenemos

un 1 = , un 2 = , un 3 = , un 4 = .

Calculemos los valores de los determinantes de las cinco matrices (usando la función MOPRED del entorno Sobresalir). Obtenemos

Dado que el determinante de la matriz A no es igual a cero: el sistema tiene una solución única. Luego lo definimos usando la fórmula (2.4). Obtenemos

Método de Gauss. Resolver SLAE utilizando este método implica compilar una matriz extendida del sistema. A * . La matriz extendida del sistema es una matriz de tamaño. norte líneas y norte+1 columnas, incluida la matriz original A con una columna adjunta a la derecha que contiene el vector B .

A* = (2.4)

Aquí a en+1 =b yo (yo = 1, 2, …, norte ).

La esencia del método de Gauss es reducir (a través de transformaciones equivalentes) de la matriz extendida del sistema a forma triangular (de modo que debajo de su diagonal principal solo haya cero elementos).

A * =

Luego, comenzando desde la última línea y subiendo, puede determinar secuencialmente los valores de todos los componentes de la solución.

El comienzo de transformar la matriz extendida del sistema a la forma requerida es ver los valores de los coeficientes para X 1 y seleccionar la línea en la que tiene el valor absoluto máximo (esto es necesario para reducir la magnitud del error computacional en cálculos posteriores). Esta fila de la matriz extendida debe intercambiarse con su primera fila (o, lo que es mejor, sumar (o restar) con la primera fila y colocar el resultado en el lugar de la primera fila). Después de esto, todos los elementos de esta nueva primera fila (incluidos los de su última columna) deben dividirse por este coeficiente. Después de esto, el coeficiente recién obtenido a 11 será igual a uno. A continuación, de cada una de las filas restantes de la matriz es necesario restar su primera fila, multiplicada por el valor del coeficiente en X 1 en esta línea (es decir, por la cantidad un yo 1 , Dónde i =2, 3, … norte ). Después de esto, en todas las filas, a partir de la segunda, los coeficientes para X 1 (es decir, todos los coeficientes un yo 1 (i =2, …, norte ) será igual a cero. Dado que solo realizamos transformaciones equivalentes, la solución del SLAE recién obtenido no diferirá del sistema original.

A continuación, dejando la primera fila de la matriz sin cambios, realizaremos todas las acciones anteriores con las filas restantes de la matriz y, como resultado, el coeficiente recién obtenido. a 22 será igual a uno, y todos los coeficientes un yo 2 (i =3, 4, …, norte ) será igual a cero. Continuando con acciones similares, finalmente llevaremos nuestra matriz a una forma en la que todos los coeficientes un ii = 1 (i =1, 2, …, norte), y todos los coeficientes un ij = 0 (i =2, 3, …, norte, j< i). Si, en algún paso, al buscar el valor absoluto más grande del coeficiente en xj no podremos encontrar un coeficiente distinto de cero; esto significará que el sistema original no tiene una solución única. En este caso, se debe detener el proceso de decisión.

Si el proceso de transformaciones equivalentes se completa con éxito, entonces la matriz expandida "triangular" resultante corresponderá al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

De la última ecuación de este sistema encontramos el valor. xn . A continuación, sustituyendo este valor en la penúltima ecuación, encontramos el valor xn -1 . Después de esto, sustituyendo ambos valores encontrados en la tercera ecuación del sistema desde abajo, encontramos el valor xn -2 . Siguiendo así y avanzando por la ecuación de este sistema de abajo hacia arriba, encontraremos sucesivamente los valores de otras raíces. Y finalmente, sustituyendo los valores encontrados. xn , xn -1 , xn -2 , X 3 Y X 2 en la primera ecuación del sistema encontramos el valor x1. Este procedimiento para buscar valores raíz utilizando la matriz triangular encontrada se llama en reversa. El proceso de reducir la matriz extendida original a forma triangular mediante transformaciones equivalentes se llama todo derecho método gauss..

En la figura 1 se muestra un algoritmo bastante detallado para resolver SLAE utilizando el método gaussiano. .2.1 y fig. 2.1a.

Ejemplo 2. Encuentre la solución del mismo SLAE usando el método de Gauss, que ya hemos resuelto usando el método de Cramer. Primero compongamos su matriz extendida. Obtenemos

A * = .

Primero, intercambiemos la primera y tercera filas de esta matriz (ya que su primera columna contiene el elemento más grande en valor absoluto) y luego dividamos todos los elementos de esta nueva primera fila por el valor 3. Obtenemos

A * = .

A * =

A continuación, intercambiemos la segunda y tercera filas de esta matriz, dividamos la segunda fila de la matriz reorganizada por 2,3333 y, de manera similar a lo descrito anteriormente, pongamos a cero los coeficientes en la segunda columna de la tercera y cuarta filas de la matriz. Obtenemos

A * = .

Después de realizar acciones similares en la tercera y cuarta filas de la matriz, obtenemos

A * = .

Ahora, dividiendo la cuarta fila por -5,3076, terminamos de dibujar la matriz extendida del sistema en forma diagonal. Obtenemos

Arroz. 2.1. Algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Gauss.

Arroz. 2.1a. Macrobloque"Cálculo de valores de solución".

A * = .

De la última línea obtenemos inmediatamente X 4 = 0.7536. Ahora, subiendo las filas de la matriz y realizando cálculos, obtenemos consistentemente X 3 = 0.7971, X 2 =- 0.1015 Y X 1 = 0.3333. Comparando la solución obtenida por este método con la solución obtenida por el método de Cramer, es fácil comprobar que coinciden.

Método de Gauss-Jordan. Este método de resolución de SLAE es en muchos aspectos similar al método de Gauss. La principal diferencia es que mediante transformaciones equivalentes, la matriz extendida del sistema de ecuaciones se reduce no a una forma triangular, sino a una forma diagonal, en cuya diagonal principal hay unidades, y fuera de ella (excepto la última norte +1 columna) - ceros. Una vez completada esta transformación, la última columna de la matriz extendida contendrá la solución del SLAE original (es decir, xyo = a i norte +1 (i = 1, 2, … , norte ) en la matriz resultante). No se necesita el movimiento inverso (como en el método gaussiano) para los cálculos finales de los valores de los componentes de la solución.

La reducción de la matriz a forma diagonal se realiza, básicamente, de la misma forma que en el método de Gauss. si en linea i coeficiente en xyo (i = 1, 2, … , norte ) es pequeño en valor absoluto, entonces se busca la cadena j , en el que el coeficiente en xyo será el mayor en valor absoluto este ( j -i) la cadena se agrega elemento por elemento a i - ª línea. Entonces todos los elementos i - Las filas se dividen por el valor del elemento. xyo Pero, a diferencia del método gaussiano, después de esto hay una resta de cada línea con el número j lineas con numero i , multiplicado por un ji , pero la condición j > i reemplazado por otro En el método de Gauss-Jordan, la resta se realiza de cada línea con un número j , y j # i , lineas con numero i , multiplicado por un ji . Aquellos. Los coeficientes se ponen a cero tanto por debajo como por encima de la diagonal principal.

En la figura 1 se muestra un algoritmo bastante detallado para resolver SLAE utilizando el método de Gauss-Jordan. 2.2.

Ejemplo 3. Encuentre la solución del mismo SLAE usando el método de Gauss-Jordan, que ya hemos resuelto usando los métodos de Cramer y Gauss.

Completamente análogo al método gaussiano, componeremos una matriz extendida del sistema. Luego reorganizaremos la primera y tercera filas de esta matriz (ya que su primera columna contiene el elemento más grande en valor absoluto), y luego dividiremos todos los elementos de esta nueva primera fila por el valor 3. A continuación, restaremos de cada fila. de la matriz (excepto el primero) los elementos de las primeras filas multiplicados por el coeficiente de la primera columna de esa fila. Obtenemos lo mismo que en el método de Gauss.

A * = .

A continuación, intercambiemos la segunda y tercera filas de esta matriz, dividamos la segunda fila de la matriz reorganizada por 2,3333 y ( ya en contraste con el método gaussiano) restablezcamos los coeficientes en la segunda columna de la primera, tercera y cuarta filas de la matriz. Obtenemos