El sexto número de la serie de fibonacci. La proporción áurea, ¿qué es? Los números de Fibonacci son? ¿Qué tienen en común la hélice del ADN, la concha, la galaxia y las pirámides egipcias? El cuerpo humano y la proporción áurea
Todavía hay muchos misterios sin resolver en el universo, algunos de los cuales los científicos ya han podido identificar y describir. Los números de Fibonacci y la proporción áurea forman la base para desentrañar el mundo que nos rodea, construyendo su forma y percepción visual óptima por parte de una persona, con la ayuda de la cual puede sentir belleza y armonía.
proporción áurea
El principio de determinar el tamaño de la sección dorada subyace a la perfección del mundo entero y sus partes en su estructura y funciones, su manifestación se puede ver en la naturaleza, el arte y la tecnología. La doctrina de la proporción áurea se fundó como resultado de la investigación de científicos antiguos sobre la naturaleza de los números.
Se basa en la teoría de las proporciones y proporciones de las divisiones de segmentos, que fue formulada por el antiguo filósofo y matemático Pitágoras. Demostró que al dividir un segmento en dos partes: X (menor) e Y (mayor), la razón de la mayor a la menor será igual a la razón de su suma (de todo el segmento):
El resultado es una ecuación: x2 - x - 1=0, que se resuelve como x=(1±√5)/2.
Si consideramos la relación 1/x, entonces es igual a 1,618…
La evidencia del uso de la proporción áurea por parte de los pensadores antiguos se encuentra en el libro "Comienzos" de Euclides, escrito en el siglo III. BC, quien usó esta regla para construir 5-ágonos regulares. Entre los pitagóricos, esta figura se considera sagrada, ya que es tanto simétrica como asimétrica. El pentagrama simbolizaba la vida y la salud.
números de Fibonacci
El famoso libro Liber abaci del matemático italiano Leonardo de Pisa, más tarde conocido como Fibonacci, se publicó en 1202. En él, el científico da por primera vez un patrón de números, en una serie de la cual cada número es la suma de los 2 dígitos anteriores. La secuencia de los números de Fibonacci es la siguiente:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.
El científico también citó una serie de patrones:
- Cualquier número de la serie, dividido por el siguiente, será igual a un valor que tiende a 0,618. Además, los primeros números de Fibonacci no dan ese número, pero a medida que avanza desde el comienzo de la secuencia, esta proporción será cada vez más precisa.
- Si divides el número de la serie por el anterior, el resultado tenderá a 1,618.
- Un número dividido por el siguiente mostrará un valor que tiende a 0,382.
La aplicación de la conexión y los patrones de la sección áurea, el número de Fibonacci (0,618) se puede encontrar no solo en las matemáticas, sino también en la naturaleza, en la historia, en la arquitectura y la construcción, y en muchas otras ciencias.
Espiral de Arquímedes y rectángulo áureo
Las espirales, muy comunes en la naturaleza, fueron exploradas por Arquímedes, quien incluso derivó su ecuación. La forma de la espiral se basa en las leyes de la proporción áurea. Cuando se desenrosca, se obtiene una longitud a la que se le pueden aplicar proporciones y números de Fibonacci, el incremento del paso se produce de manera uniforme.
El paralelo entre los números de Fibonacci y la proporción áurea también se puede ver construyendo un "rectángulo áureo" cuyos lados son proporcionales a 1.618:1. Se construye pasando de un rectángulo más grande a uno más pequeño para que las longitudes de los lados sean iguales a los números de la fila. Su construcción se puede realizar en orden inverso, comenzando por el cuadrado "1". Al conectar las esquinas de este rectángulo con líneas en el centro de su intersección, se obtiene una espiral de Fibonacci o logarítmica.
La historia del uso de las proporciones áureas
Muchos monumentos arquitectónicos antiguos de Egipto se construyeron utilizando proporciones áureas: las famosas pirámides de Keops y otras. Antigua Grecia fueron ampliamente utilizados en la construcción de objetos arquitectónicos, como templos, anfiteatros, estadios. Por ejemplo, tales proporciones se utilizaron en la construcción del antiguo templo del Partenón (Atenas) y otros objetos que se convirtieron en obras maestras de la arquitectura antigua, demostrando armonía basada en la regularidad matemática.
En siglos posteriores, el interés por la proporción áurea disminuyó y los patrones se olvidaron, pero se reanudaron en el Renacimiento, junto con el libro del monje franciscano L. Pacioli di Borgo "Divina Proporción" (1509). Incluía ilustraciones de Leonardo da Vinci, quien fijó el nuevo nombre "sección dorada". Además, se probaron científicamente 12 propiedades de la proporción áurea, y el autor habló sobre cómo se manifiesta en la naturaleza, en el arte y lo llamó "el principio de construcción del mundo y la naturaleza".
Hombre de Vitruvio Leonardo
El dibujo con el que Leonardo da Vinci ilustró el libro de Vitruvio en 1492 representa la figura de un hombre en 2 posiciones con los brazos extendidos a los lados. La figura está inscrita en un círculo y un cuadrado. Este dibujo se considera que son las proporciones canónicas del cuerpo humano (masculino), descrito por Leonardo basado en su estudio en los tratados del arquitecto romano Vitruvio.
El centro del cuerpo como punto equidistante del extremo de los brazos y piernas es el ombligo, el largo de los brazos es igual a la altura de una persona, el ancho máximo de los hombros = 1/8 de la altura, el distancia desde la parte superior del pecho hasta el cabello = 1/7, desde la parte superior del pecho hasta la parte superior de la cabeza = 1/6 etc.
Desde entonces, el dibujo se ha utilizado como símbolo que muestra la simetría interna del cuerpo humano.
Leonardo utilizó el término "proporción áurea" para denotar relaciones proporcionales en la figura humana. Por ejemplo, la distancia de la cintura a los pies se relaciona con la misma distancia del ombligo a la parte superior de la cabeza de la misma forma que la altura al primer largo (de cintura para abajo). Este cálculo se hace de manera similar a la relación de los segmentos al calcular la proporción áurea y tiende a 1.618.
Los artistas suelen utilizar todas estas proporciones armoniosas para crear obras hermosas e impresionantes.
Estudios de la proporción áurea en los siglos XVI-XIX
Usando la proporción áurea y los números de Fibonacci, el trabajo de investigación sobre el tema de las proporciones se lleva a cabo desde hace más de un siglo. Paralelamente a Leonardo da Vinci, el artista alemán Albrecht Dürer también estaba desarrollando la teoría de las proporciones correctas del cuerpo humano. Para esto, incluso creó una brújula especial.
En el siglo 16 la cuestión de la conexión entre el número de Fibonacci y la sección áurea se dedicó al trabajo del astrónomo I. Kepler, quien aplicó por primera vez estas reglas a la botánica.
Un nuevo "descubrimiento" esperaba la proporción áurea en el siglo XIX. con la publicación de "Investigaciones Estéticas" del científico alemán Profesor Zeisig. Elevó estas proporciones al absoluto y anunció que son universales para todos. fenomenos naturales. Realizó estudios de una gran cantidad de personas, o más bien de sus proporciones corporales (alrededor de 2 mil), como resultado de lo cual se extrajeron conclusiones sobre patrones estadísticamente confirmados en las proporciones. varias partes cuerpo: longitudes de hombros, antebrazos, manos, dedos, etc.
También se estudiaron objetos de arte (jarrones, estructuras arquitectónicas), tonos musicales, tamaños al escribir poemas: Zeisig mostró todo esto a través de la longitud de segmentos y números, también introdujo el término "estética matemática". Después de recibir los resultados, resultó que se obtiene la serie de Fibonacci.
Número de Fibonacci y proporción áurea en la naturaleza
En el mundo vegetal y animal, existe una tendencia a formarse en forma de simetría, que se observa en la dirección del crecimiento y del movimiento. La división en partes simétricas en las que se observan proporciones áureas es un patrón inherente a muchas plantas y animales.
La naturaleza que nos rodea se puede describir usando números de Fibonacci, por ejemplo:
- la disposición de las hojas o ramas de cualquier planta, así como las distancias, están relacionadas con la serie de números dados 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y así sucesivamente;
- semillas de girasol (escamas en conos, células de piña), dispuestas en dos filas en espirales retorcidas en diferentes direcciones;
- la relación entre la longitud de la cola y todo el cuerpo del lagarto;
- la forma del huevo, si dibuja una línea condicionalmente a través de su parte ancha;
- la proporción del tamaño de los dedos en la mano humana.
Y, por supuesto, las formas más interesantes son las conchas de caracol en espiral, los patrones en la telaraña, el movimiento del viento dentro de un huracán, la doble hélice en el ADN y la estructura de las galaxias, todas las cuales incluyen la secuencia numérica de Fibonacci. .
El uso de la proporción áurea en el arte.
Los investigadores que buscan ejemplos del uso de la proporción áurea en el arte examinan en detalle varios objetos arquitectónicos y pinturas. Se conocen obras escultóricas famosas, cuyos creadores se adhirieron a proporciones doradas: las estatuas de Zeus olímpico, Apolo Belvedere y
Una de las creaciones de Leonardo da Vinci, "Retrato de Mona Lisa", ha sido objeto de investigación por parte de científicos durante muchos años. Descubrieron que la composición de la obra consiste enteramente en "triángulos dorados", unidos en un pentágono-estrella regular. Todas las obras de da Vinci son evidencia de cuán profundo era su conocimiento de la estructura y las proporciones del cuerpo humano, gracias al cual pudo captar la sonrisa increíblemente misteriosa de la Mona Lisa.
La proporción áurea en arquitectura
Como ejemplo, los científicos estudiaron obras maestras arquitectónicas creadas de acuerdo con las reglas de la "sección dorada": las pirámides egipcias, el Panteón, el Partenón, la Catedral de Notre Dame de París, la Catedral de San Basilio, etc.
El Partenón, uno de los edificios más hermosos de la Antigua Grecia (siglo V a. C.), tiene 8 columnas y 17 en diferentes lados, la relación de su altura con la longitud de los lados es de 0,618. Las protuberancias en sus fachadas están hechas de acuerdo con la "sección dorada" (foto de abajo).
Uno de los científicos que inventó y aplicó con éxito la mejora del sistema modular de proporciones para objetos arquitectónicos (el llamado "modulor") fue el arquitecto francés Le Corbusier. El modulor se basa en un sistema de medición asociado a una división condicional en partes del cuerpo humano.
El arquitecto ruso M. Kazakov, que construyó varios edificios residenciales en Moscú, así como los edificios del Senado en el Kremlin y el Hospital Golitsyn (ahora la 1ª Clínica que lleva el nombre de N.I. Pirogov), fue uno de los arquitectos que utilizó leyes en el diseño y la construcción sobre la proporción áurea.
Aplicación de proporciones en el diseño.
En el diseño de moda, todos los diseñadores de moda crean nuevas imágenes y modelos, teniendo en cuenta las proporciones del cuerpo humano y las reglas de la proporción áurea, aunque por naturaleza no todas las personas tienen proporciones ideales.
Al planificar el diseño del paisaje y crear voluminosas composiciones de parques con la ayuda de plantas (árboles y arbustos), fuentes y pequeños objetos arquitectónicos, también se pueden aplicar los patrones de "proporciones divinas". Después de todo, la composición del parque debe centrarse en crear una impresión en el visitante, quien podrá navegar libremente en él y encontrar el centro de la composición.
Todos los elementos del parque están en tales proporciones que, con la ayuda de la estructura geométrica, el arreglo mutuo, la iluminación y la luz, dan la impresión de armonía y perfección a una persona.
Aplicación de la sección áurea en cibernética y tecnología
Las leyes de la sección áurea y los números de Fibonacci también se manifiestan en transiciones de energía, en procesos que ocurren con partículas elementales que forman compuestos químicos, en sistemas espaciales, en la estructura genética del ADN.
Procesos similares ocurren en el cuerpo humano, manifestándose en los biorritmos de su vida, en la acción de los órganos, por ejemplo, el cerebro o la visión.
Los algoritmos y patrones de proporciones áureas se utilizan ampliamente en la informática y la cibernética modernas. Una de las tareas simples que los programadores principiantes deben resolver es escribir una fórmula y determinar la suma de los números de Fibonacci hasta un número determinado utilizando lenguajes de programación.
Investigación moderna sobre la teoría de la proporción áurea
Desde mediados del siglo XX, el interés por los problemas y la influencia de las leyes de las proporciones áureas en la vida humana ha aumentado de manera espectacular, y de parte de muchos científicos de diversas profesiones: matemáticos, etnólogos, biólogos, filósofos, trabajadores médicos, economistas, músicos, etc
Desde la década de 1970, The Fibonacci Quarterly se publica en los Estados Unidos, donde se publican trabajos sobre este tema. Aparecen en prensa trabajos en los que se utilizan las reglas generalizadas de la sección áurea y la serie de Fibonacci en diversas ramas del conocimiento. Por ejemplo, para codificar información, investigación química, biológica, etc.
Todo esto confirma las conclusiones de los científicos antiguos y modernos de que la proporción áurea está conectada multilateralmente con los problemas fundamentales de la ciencia y se manifiesta en la simetría de muchas creaciones y fenómenos del mundo que nos rodea.
Leonardo Fibonacci es uno de los matemáticos más famosos de la Edad Media. Uno de sus logros más importantes es la serie numérica, que determina la proporción áurea y se puede rastrear a lo largo de la naturaleza de nuestro planeta.
La asombrosa propiedad de estos números es que la suma de todos los números anteriores es igual al siguiente número (compruébalo tú mismo):
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… - Serie de Fibonacci
Resulta que esta secuencia tiene muchas propiedades matemáticamente interesantes. He aquí un ejemplo: puede dividir una línea en dos. La razón de la parte más pequeña de la línea a la más grande será igual a la razón de la parte más grande a la línea entera. Este factor de proporcionalidad, aproximadamente igual a 1,618, se conoce como proporción áurea.
La serie de Fibonacci podría haber quedado solo como un incidente matemático si no fuera por el hecho de que todos los investigadores de la sección áurea encuentran esta secuencia en todo el mundo vegetal y animal. Aquí hay algunos ejemplos sorprendentes:
La disposición de las hojas en una rama, semillas de girasol, piñas se manifiesta como una proporción áurea. Si miras las hojas de una planta de este tipo desde arriba, puedes ver que florecen en espiral. Los ángulos entre hojas adyacentes forman una serie matemática regular, conocida como secuencia de Fibonacci. Gracias a esto, cada hoja individual que crece en un árbol recibe la máxima cantidad disponible de calor y luz.
En un lagarto, a primera vista, se capturan proporciones que son agradables a nuestros ojos: la longitud de su cola se relaciona con la longitud del resto del cuerpo como 62 a 38.
El científico Zeising hizo un gran trabajo para descubrir la proporción áurea en el cuerpo humano. Midió unos dos mil cuerpos humanos. La división del cuerpo por el punto del ombligo es el indicador más importante de la proporción áurea. Las proporciones del cuerpo masculino fluctúan dentro de la relación media de 13:8 = 1,625 y se acercan algo más a la proporción áurea que las proporciones del cuerpo femenino, en relación con las cuales el valor medio de la proporción se expresa en la relación 8:5 = 1,6. Las proporciones de la sección áurea también se manifiestan en relación con otras partes del cuerpo: la longitud del hombro, el antebrazo y la mano, la mano y los dedos, etc.
En el Renacimiento se creía que era esta proporción de la serie de Fibonacci, observada en estructuras arquitectónicas y otras formas de arte, más agradables a la vista. Estos son algunos ejemplos del uso de la proporción áurea en el arte:
Retrato de Mona Lisa
Retrato de la Mona Lisa largos años Atrajo la atención de los investigadores que descubrieron que la composición de la imagen se basa en triángulos dorados, que son partes de un pentágono regular en forma de estrella, que se basa en los principios de la proporción áurea.
Parferón
Las proporciones áureas están presentes en las dimensiones de la fachada del antiguo templo griego del Partenón. Este antiguo edificio con sus armoniosas proporciones nos brinda el mismo placer estético que nuestros antepasados. Muchos historiadores del arte, que buscaban descubrir el secreto del poderoso impacto emocional que este edificio tiene en el espectador, buscaron y encontraron la proporción áurea en las proporciones de sus partes.
Rafael - Masacre de los inocentes
El cuadro está construido sobre una espiral que respeta las proporciones de la sección áurea. No sabemos si Rafael realmente pintó la espiral dorada al crear la composición "Masacre de los inocentes" o si solo la "sintió".
Nuestro mundo es maravilloso y está lleno de grandes sorpresas. Un asombroso hilo de interconexión conecta muchas cosas que son ordinarias para nosotros. La proporción áurea es legendaria porque unió aparentemente dos ramas del conocimiento completamente diferentes: las matemáticas, la reina de la precisión y el orden, y la estética humanitaria.
Kanalieva Dana
En este trabajo hemos estudiado y analizado la manifestación de los números de la sucesión de Fibonacci en la realidad que nos rodea. Hemos descubierto una sorprendente relación matemática entre el número de espirales en las plantas, el número de ramas en cualquier plano horizontal y los números en la secuencia de Fibonacci. También vimos matemáticas estrictas en la estructura del hombre. La molécula de ADN humano, en la que está encriptado todo el programa del desarrollo de un ser humano, el sistema respiratorio, la estructura del oído, todo obedece a ciertas proporciones numéricas.
Hemos visto que la Naturaleza tiene sus propias leyes, expresadas con la ayuda de las matemáticas.
Y las matemáticas son muy importante herramienta de aprendizaje secretos de la naturaleza.
Descargar:
Avance:
MBOU "Escuela secundaria Pervomaiskaya"
Distrito de Orenburgsky de la región de Orenburg
INVESTIGAR
"El enigma de los números
Fibonacci"
Completado por: Kanalieva Dana
estudiante de sexto grado
Supervisor:
Gazizova Valeria Valerievna
Profesor de Matemáticas de la máxima categoría.
S. Experimental
2012
Nota explicativa………………………………………………………………………………………………………… 3.
Introducción. Historia de los números de Fibonacci.……………………………………………………..... 4.
Capítulo 1. Números de Fibonacci en la vida silvestre .......……. ……………………………………... 5.
Capítulo 2. Espiral de Fibonacci ............................................... .. ..........………………..... nueve.
Capítulo 3. Números de Fibonacci en las invenciones humanas .........……………………………….
Capítulo 4. Nuestra Investigación…………………………………………………………………………………………………….
Capítulo 5. Conclusión, conclusiones……………………………………………………………….....
Lista de publicaciones y sitios de Internet utilizados………………………………………………………………………………………………………………………………………………21.
Objeto de estudio:
El hombre, las abstracciones matemáticas creadas por el hombre, las invenciones del hombre, la flora y la fauna circundantes.
Tema de estudio:
la forma y estructura de los objetos y fenómenos estudiados.
Propósito del estudio:
estudiar la manifestación de los números de Fibonacci y la ley de la sección áurea asociada a ella en la estructura de los objetos vivos e inanimados,
encontrar ejemplos del uso de números de Fibonacci.
Tareas de trabajo:
Describir cómo construir una serie de Fibonacci y una espiral de Fibonacci.
Ver patrones matemáticos en la estructura del hombre, flora y la naturaleza inanimada desde el punto de vista del fenómeno de la Sección Dorada.
Investigación novedad:
El descubrimiento de los números de Fibonacci en la realidad que nos rodea.
Significado práctico:
Uso de los conocimientos y habilidades adquiridos. trabajo de investigación al estudiar otras materias escolares.
Destrezas y habilidades:
Organización y realización del experimento.
Uso de literatura especializada.
Adquirir la capacidad de revisar material recogido(informe, presentación)
Registro de obra con dibujos, esquemas, fotografías.
Participación activa en la discusión de su trabajo.
Métodos de búsqueda:
empírico (observación, experimento, medición).
teórico (etapa lógica del conocimiento).
Nota explicativa.
“¡Los números gobiernan el mundo! ¡El número es el poder que reina sobre los dioses y los mortales!” - Así decían los antiguos pitagóricos. ¿Es relevante hoy en día esta base de la enseñanza pitagórica? ¡Al estudiar la ciencia de los números en la escuela, queremos asegurarnos de que, de hecho, los fenómenos de todo el Universo están sujetos a ciertas proporciones numéricas, para encontrar esta conexión invisible entre las matemáticas y la vida!
¿Está realmente en cada flor,
Tanto en la molécula como en la galaxia,
Patrones numéricos
¿Esta estricta matemática "seca"?
Recurrimos a una fuente de información moderna: Internet y leímos sobre los números de Fibonacci, sobre números mágicos que están llenos de un gran misterio. Resulta que estos números se pueden encontrar en girasoles y piñas, en alas de libélula y estrellas de mar, en los ritmos del corazón humano y en ritmos musicales...
¿Por qué esta secuencia de números es tan común en nuestro mundo?
Queríamos aprender sobre los secretos de los números de Fibonacci. Este trabajo de investigación es el resultado de nuestro trabajo.
Hipótesis:
en la realidad que nos rodea, todo está construido según leyes sorprendentemente armoniosas con precisión matemática.
Todo en el mundo está pensado y calculado por nuestro diseñador más importante: ¡la naturaleza!
Introducción. La historia de la serie de Fibonacci.
Números asombrosos fueron descubiertos por el matemático italiano de la Edad Media, Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Viajando por Oriente, se familiarizó con los logros de las matemáticas árabes y contribuyó a su transferencia a Occidente. En una de sus obras titulada "El Libro de los Cálculos" presentó a Europa uno de mayores descubrimientos de todos los tiempos y pueblos - el sistema numérico decimal.
Una vez, se quedó perplejo ante la solución de un problema matemático. Estaba tratando de crear una fórmula que describiera la secuencia de reproducción de los conejos.
La respuesta fue una serie de números, cada número subsiguiente de los cuales es la suma de los dos anteriores:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Los números que forman esta secuencia se denominan "números de Fibonacci", y la secuencia en sí se denomina secuencia de Fibonacci.
"¿Así que lo que?" - dirás, - "¿Podemos nosotros mismos encontrar series numéricas similares, que crezcan de acuerdo con una progresión dada?" De hecho, cuando apareció la serie de Fibonacci, nadie, incluido él mismo, sospechó lo cerca que se las arregló para acercarse a desentrañar uno de los mayores secretos¡universo!
Fibonacci llevó una vida de ermitaño, pasó mucho tiempo en la naturaleza y, caminando por el bosque, notó que estos números literalmente comenzaban a atormentarlo. En todas partes de la naturaleza, se encontró con estos números una y otra vez. Por ejemplo, los pétalos y las hojas de las plantas encajan estrictamente en una serie de números dada.
En los números de Fibonacci hay característica interesante: cociente de dividir el siguiente número de Fibonacci por el anterior, a medida que los propios números crecen, tienden a 1.618. Fue este número de división constante lo que se llamó la Proporción Divina en la Edad Media, y ahora se lo conoce como la Sección Dorada o Proporción Dorada.
En álgebra, este número se denota con la letra griega phi (Ф)
Entonces φ = 1.618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
No importa cuántas veces dividamos uno por el otro, el número que está al lado, siempre obtendremos 1,618, y si hacemos lo contrario, es decir, dividimos el número menor por el mayor, obtendremos 0,618, esto es el número inverso a 1.618, también llamado proporción áurea.
La serie de Fibonacci podría haber quedado solo como un incidente matemático si no fuera por el hecho de que todos los investigadores de la división áurea en el mundo vegetal y animal, sin mencionar el arte, llegaron invariablemente a esta serie como una expresión aritmética de la ley de la división áurea. .
Los científicos, al analizar la aplicación adicional de esta serie de números a los fenómenos y procesos naturales, encontraron que estos números están contenidos literalmente en todos los objetos de la vida silvestre, en plantas, animales y humanos.
Un increíble juguete matemático resultó ser un código único incrustado en todos los objetos naturales por el mismo Creador del Universo.
Considere ejemplos donde los números de Fibonacci se encuentran en la naturaleza animada e inanimada.
Números de Fibonacci en la vida silvestre.
Si miras las plantas y los árboles que nos rodean, puedes ver cuántas hojas tiene cada uno de ellos. Desde lejos, parece que las ramas y las hojas de las plantas están dispuestas al azar, en un orden arbitrario. Sin embargo, todas las plantas milagrosamente, se planifica matemáticamente con precisión qué rama crecerá de dónde, cómo se ubicarán las ramas y las hojas cerca del tallo o tronco. Desde el primer día de su aparición, la planta sigue exactamente estas leyes en su desarrollo, es decir, no aparece ni una sola hoja, ni una sola flor por casualidad. Incluso antes de que la aparición de la planta ya esté programada con precisión. Cuántas ramas habrá en el futuro árbol, dónde crecerán las ramas, cuántas hojas habrá en cada rama y cómo, en qué orden se colocarán las hojas. Colaboración botánicos y matemáticos arrojan luz sobre estos asombrosos fenómenos naturales. Resultó que en la disposición de las hojas en una rama (filotaxia), en la cantidad de revoluciones en el tallo, en la cantidad de hojas en el ciclo, se manifiesta la serie de Fibonacci y, por lo tanto, la ley de la sección áurea también. se manifiesta.
Si se propone encontrar patrones numéricos en la vida silvestre, notará que estos números a menudo se encuentran en varias formas espirales, en las que el mundo vegetal es tan rico. Por ejemplo, los esquejes de hojas se unen al tallo en una espiral que corre entredos hojas adyacentes:vuelta completa - en la avellana,- en el roble - en el álamo y la pera,- en el sauce.
Las semillas de girasol, Echinacea purpurea y muchas otras plantas están dispuestas en espirales, y el número de espirales en cada dirección es el número de Fibonacci.
Girasol, 21 y 34 espirales. Equinácea, 34 y 55 espirales.
Una forma clara y simétrica de flores también está sujeta a una ley estricta..
Muchas flores tienen el número de pétalos, exactamente los números de la serie de Fibonacci. Por ejemplo:
iris, 3 lep. botón de oro, 5 lep. flor dorada, 8 lep. espuela de caballero,
13 lep.
achicoria, 21 lep. aster, 34 lep. margaritas, 55 lep.
La serie de Fibonacci caracteriza organización estructural muchos sistemas vivos.
Ya hemos dicho que la razón de números vecinos en la serie de Fibonacci es el número φ = 1.618. Resulta que el hombre mismo es solo un almacén del número phi.
Las proporciones de las diversas partes de nuestro cuerpo forman un número muy cercano a la proporción áurea. Si estas proporciones coinciden con la fórmula de la proporción áurea, entonces se considera que la apariencia o el cuerpo de una persona tiene una constitución ideal. El principio de calcular la medida de oro en el cuerpo humano se puede representar en forma de diagrama.
M/m=1.618
El primer ejemplo de la sección áurea en la estructura del cuerpo humano:
Si tomamos el punto del ombligo como el centro del cuerpo humano, y la distancia entre el pie humano y el punto del ombligo como unidad de medida, entonces la altura de una persona equivale al número 1.618.
mano humana
Basta con acercar la palma de la mano a usted ahora y mirar cuidadosamente su dedo índice, e inmediatamente encontrará la fórmula de la sección dorada en él. Cada dedo de nuestra mano consta de tres falanges.
La suma de las dos primeras falanges del dedo en relación con la longitud total del dedo da la proporción áurea (a excepción del pulgar).
Además, la proporción entre el dedo medio y el meñique también es igual a la proporción áurea.
Una persona tiene 2 manos, los dedos de cada mano constan de 3 falanges (a excepción del pulgar). Cada mano tiene 5 dedos, es decir, 10 en total, pero con la excepción de dos pulgares bifalángicos, solo se crean 8 dedos según el principio de la proporción áurea. Considerando que todos estos números 2, 3, 5 y 8 son los números de la secuencia de Fibonacci.
proporción áurea en la estructura de los pulmones humanos
El físico estadounidense B.D. West y el Dr. A.L. Goldberger durante estudios físicos y anatómicos encontró que la sección dorada también existe en la estructura de los pulmones humanos.
La peculiaridad de los bronquios que componen los pulmones de una persona radica en su asimetría. Los bronquios están formados por dos vías respiratorias principales, una (izquierda) es más larga y la otra (derecha) es más corta.
Se encontró que esta asimetría continúa en las ramas de los bronquios, en todas las vías aéreas menores. Además, la proporción de la longitud de los bronquios cortos y largos también es la proporción áurea y es igual a 1:1.618.
Artistas, científicos, diseñadores de moda, diseñadores realizan sus cálculos, dibujos o bocetos basados en la proporción de la proporción áurea. Utilizan medidas del cuerpo humano, también creadas según el principio de la proporción áurea. Leonardo Da Vinci y Le Corbusier, antes de crear sus obras maestras, tomaron los parámetros del cuerpo humano, creado de acuerdo con la ley de la Proporción Áurea.
Hay otra aplicación más prosaica de las proporciones del cuerpo humano. Por ejemplo, utilizando estas proporciones, los analistas criminales y los arqueólogos restauran la apariencia del todo a partir de fragmentos de partes del cuerpo humano.
Proporciones áureas en la estructura de la molécula de ADN.
Toda la información sobre las características fisiológicas de los seres vivos, ya sea una planta, un animal o una persona, se almacena en una molécula microscópica de ADN, cuya estructura también contiene la ley de la proporción áurea. La molécula de ADN consta de dos hélices entrelazadas verticalmente. Cada una de estas espirales tiene 34 angstroms de largo y 21 angstroms de ancho. (1 angstrom es la cienmillonésima parte de un centímetro).
Entonces, 21 y 34 son números que se suceden uno tras otro en la secuencia de los números de Fibonacci, es decir, la relación entre el largo y el ancho de la hélice logarítmica de la molécula de ADN lleva la fórmula de la sección áurea 1: 1.618.
No solo los caminantes erguidos, sino también todos aquellos que nadan, gatean, vuelan y saltan, no escaparon al destino de obedecer el número phi. El músculo cardíaco humano se contrae a 0,618 de su volumen. La estructura de la concha de caracol corresponde a las proporciones de Fibonacci. Y hay muchos ejemplos de este tipo: habría un deseo de explorar objetos y procesos naturales. El mundo está tan impregnado de números de Fibonacci que a veces parece que el Universo sólo puede ser explicado por ellos.
Espiral de Fibonacci.
No hay otra forma en matemáticas que tenga las mismas propiedades únicas que una espiral, porque
¡La estructura de la espiral se basa en la regla de la Sección Dorada!
Para entender la construcción matemática de la espiral, repitamos qué es la Proporción Áurea.
La proporción áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la parte mayor misma se relaciona con la menor, o, en otras palabras, la parte menor. segmento está relacionado con el más grande como el más grande lo está con todo.
Es decir, (a + b) / a = a / b
Un rectángulo con exactamente esta proporción de lados se llamaba rectángulo áureo. Sus lados largos están relacionados con los lados cortos en una proporción de 1.168:1.
El rectángulo dorado tiene muchos propiedades inusuales. Cortando del rectángulo áureo un cuadrado cuyo lado sea igual al lado menor del rectángulo,
nuevamente obtenemos un rectángulo dorado más pequeño.
Este proceso puede continuar hasta el infinito. A medida que sigamos cortando los cuadrados, obtendremos rectángulos dorados cada vez más pequeños. Además, estarán ubicados en una espiral logarítmica, lo cual es importante en los modelos matemáticos. objetos naturales.
Por ejemplo, también se puede ver una forma de espiral en la disposición de las semillas de girasol, en las piñas, los cactus, la estructura de los pétalos de rosa, etc.
Estamos sorprendidos y encantados con la estructura espiral de las conchas.
En la mayoría de los caracoles que tienen caparazón, el caparazón crece en forma de espiral. Sin embargo, no hay duda de que estos seres irrazonables no solo no tienen idea sobre la espiral, sino que ni siquiera tienen el conocimiento matemático más simple para crear una concha espiral por sí mismos.
Pero entonces, ¿cómo podrían estos seres sin inteligencia determinar y elegir por sí mismos la forma ideal de crecimiento y existencia en forma de caparazón espiral? ¿Podrían estos seres vivos, que el mundo científico llama formas de vida primitivas, haber calculado que la forma espiral del caparazón sería ideal para su existencia?
Tratar de explicar el origen de incluso la forma de vida más primitiva por una coincidencia aleatoria de algunas circunstancias naturales es cuando menos absurdo. Está claro que este proyecto es una creación consciente.
Las espirales también están en el hombre. Con la ayuda de espirales escuchamos:
Además, en el oído interno humano hay un órgano Cóclea ("Caracol"), que realiza la función de transmitir la vibración del sonido. Esta estructura parecida a un hueso está llena de líquido y creada en forma de caracol con proporciones doradas.
Las espirales están en nuestras palmas y dedos:
En el reino animal también podemos encontrar muchos ejemplos de espirales.
Los cuernos y colmillos de los animales se desarrollan en forma de espiral, las garras de los leones y los picos de los loros son formas logarítmicas y se asemejan a la forma de un eje que tiende a convertirse en espiral.
Es interesante que un huracán, las nubes de un ciclón estén en espiral, y esto es claramente visible desde el espacio:
En las olas del océano y del mar, la espiral se puede trazar matemáticamente con los puntos 1,1,2,3,5,8,13,21,34 y 55.
Todos también reconocerán una espiral tan "cotidiana" y "prosaica".
Después de todo, el agua se escapa del baño en espiral:
¡Sí, y vivimos en espiral, porque la galaxia es una espiral que corresponde a la fórmula de la Sección Dorada!
Entonces, descubrimos que si tomamos el Rectángulo Dorado y lo dividimos en rectángulos más pequeñosen la secuencia exacta de Fibonacci, y luego dividir cada uno de ellos en tales proporciones una y otra vez, obtienes un sistema llamado espiral de Fibonacci.
Encontramos esta espiral en los objetos y fenómenos más inesperados. Ahora está claro por qué la espiral también se llama la "curva de la vida".
La espiral se ha convertido en un símbolo de evolución, porque todo se desarrolla en espiral.
Números de Fibonacci en las invenciones humanas.
Habiendo atisbado de la naturaleza la ley expresada por la secuencia de los números de Fibonacci, los científicos y los hombres de arte tratan de imitarla, de incorporar esta ley en sus creaciones.
La proporción de phi le permite crear obras maestras de la pintura, encajar de manera competente las estructuras arquitectónicas en el espacio.
No solo los científicos, sino también los arquitectos, diseñadores y artistas están asombrados con esta impecable espiral en la concha de nautilus.
ocupando el menor espacio y proporcionando la menor pérdida de calor. Arquitectos estadounidenses y tailandeses, inspirados en el ejemplo de la “cámara nautilus” de poner el máximo en el mínimo espacio, están ocupados desarrollando sus diseños.
Desde tiempos inmemoriales, la proporción de la Proporción Áurea se ha considerado la proporción más alta de perfección, armonía e incluso divinidad. La proporción áurea se puede encontrar en esculturas e incluso en la música. Un ejemplo son las obras musicales de Mozart. Incluso los precios de las acciones y el alfabeto hebreo contienen una proporción áurea.
Pero queremos detenernos en un ejemplo único de creación de una instalación solar eficiente. Aidan Dwyer, un estudiante de secundaria estadounidense de la ciudad de Nueva York, reunió su conocimiento sobre los árboles y descubrió que la eficiencia de las plantas de energía solar se puede aumentar mediante el uso de las matemáticas. Durante una caminata de invierno, Dwyer se preguntó por qué los árboles necesitaban tal “patrón” de ramas y hojas. Sabía que las ramas de los árboles están dispuestas según la secuencia de Fibonacci y las hojas realizan la fotosíntesis.
En algún momento, un niño ingenioso decidió comprobar si esta posición de las ramas ayuda a recolectar más luz del sol. Aidan construyó una planta piloto en su patio trasero con pequeños paneles solares en lugar de hojas y lo probó en acción. Resultó que, en comparación con un panel solar plano convencional, su "árbol" recolecta un 20 % más de energía y funciona de manera efectiva durante 2,5 horas más.
Modelo de árbol solar de Dwyer y parcelas de estudiantes.
"También ocupa menos espacio que un panel plano, recoge un 50 % más de sol en invierno incluso cuando no está orientado al sur, y no acumula tanta nieve. Además, el diseño en forma de árbol es mucho más adecuado para el paisaje urbano", señala el joven inventor.
Aidan reconoció uno de los mejores jóvenes científicos naturales de 2011. El concurso de jóvenes naturalistas de 2011 fue organizado por el Museo de Historia Natural de Nueva York. Aidan presentó una solicitud de patente provisional para su invención.
Los científicos continúan desarrollando activamente la teoría de los números de Fibonacci y la sección áurea.
Yu. Matiyasevich resuelve el décimo problema de Hilbert usando números de Fibonacci.
Existen métodos elegantes para resolver una serie de problemas cibernéticos (teoría de búsqueda, juegos, programación) utilizando números de Fibonacci y la sección áurea.
En los EE. UU., incluso se está creando la Asociación Matemática Fibonacci, que publica una revista especial desde 1963.
Entonces, vemos que el alcance de la secuencia de Fibonacci es muy multifacético:
Al observar los fenómenos que ocurren en la naturaleza, los científicos han llegado a conclusiones sorprendentes de que toda la secuencia de eventos que ocurren en la vida, revoluciones, colapsos, quiebras, períodos de prosperidad, leyes y olas de desarrollo en los mercados de valores y divisas, ciclos vida familiar, etc., se organizan en la línea de tiempo en forma de ciclos, ondas. ¡Estos ciclos y ondas también se distribuyen de acuerdo con la serie de números de Fibonacci!
Con base en este conocimiento, una persona aprenderá a predecir varios eventos en el futuro y manejarlos.
4. Nuestra investigación.
Continuamos nuestras observaciones y estudiamos la estructura.
cono de pino
milenrama
mosquito
humano
Y nos aseguramos de que en estos objetos, tan diferentes a primera vista, los mismos números de la secuencia de Fibonacci estén presentes de manera invisible.
Así que paso 1.
Tomemos una piña:
Echémosle un vistazo más de cerca:
Notamos dos series de espirales de Fibonacci: una, en el sentido de las agujas del reloj, la otra, en contra, su número 8 y 13.
Paso 2
Tomemos una milenrama:
Echemos un vistazo más de cerca a la estructura de los tallos y las flores:
Tenga en cuenta que cada nueva rama de la milenrama crece desde el seno, y nuevas ramas crecen a partir de la nueva rama. Sumando ramas viejas y nuevas, encontramos el número de Fibonacci en cada plano horizontal.
Paso 3
¿Los números de Fibonacci aparecen en la morfología? varios organismos? Considere el conocido mosquito:
Vemos: 3 par de piernas, cabeza 5 antenas - antenas, el abdomen se divide en 8 segmentos.
Conclusión:
En nuestra investigación, vimos que en las plantas que nos rodean, los organismos vivos e incluso en la estructura humana, se manifiestan números de la secuencia de Fibonacci, lo que refleja la armonía de su estructura.
Cono de pino, milenrama, mosquito, hombre están dispuestos con precisión matemática.
Buscábamos una respuesta a la pregunta: ¿cómo se manifiesta la serie de Fibonacci en la realidad que nos rodea? Pero, respondiéndola, recibió nuevas y nuevas preguntas.
¿De dónde salieron estos números? ¿Quién es este arquitecto del universo que trató de hacerlo perfecto? ¿La bobina se tuerce o se desenrosca?
¡Cuán asombrosamente el hombre conoce este mundo!
Habiendo encontrado la respuesta a una pregunta, recibe la siguiente. Resuélvelo, consigue dos nuevos. Lidia con ellos, aparecerán tres más. Habiéndolos resuelto, adquirirá cinco no resueltos. Luego ocho, luego trece, 21, 34, 55...
¿Reconoces?
Conclusión.
Por el creador mismo en todos los objetos.
Se ha asignado un código único
Y el que es amigo de las matemáticas,
¡Él sabrá y comprenderá!
Hemos estudiado y analizado la manifestación de los números de la sucesión de Fibonacci en la realidad que nos rodea. También aprendimos que los patrones de esta serie de números, incluidos los patrones de la simetría "Dorada", se manifiestan en las transiciones de energía de las partículas elementales, en los sistemas planetarios y cósmicos, en las estructuras genéticas de los organismos vivos.
Hemos descubierto una sorprendente relación matemática entre el número de espirales en las plantas, el número de ramas en cualquier plano horizontal y los números en la secuencia de Fibonacci. Hemos visto cómo la morfología de varios organismos también obedece a esta misteriosa ley. También vimos matemáticas estrictas en la estructura del hombre. La molécula de ADN humano, en la que está encriptado todo el programa del desarrollo de un ser humano, el sistema respiratorio, la estructura del oído, todo obedece a ciertas proporciones numéricas.
Hemos aprendido que las piñas, las conchas de caracol, las olas del mar, los cuernos de animales, las nubes ciclónicas y las galaxias forman espirales logarítmicas. Incluso el dedo humano, que se compone de tres falanges relacionadas entre sí en la proporción áurea, adquiere una forma espiral cuando se comprime.
la eternidad del tiempo y años luz cosmos comparte un cono de pino y galaxia espiral, pero la estructura sigue siendo la misma: el coeficiente 1,618 ! Quizás esta sea la ley suprema que rige los fenómenos naturales.
Así, se confirma nuestra hipótesis sobre la existencia de patrones numéricos especiales que son responsables de la armonía.
De hecho, todo en el mundo está pensado y calculado por nuestro diseñador más importante: ¡la naturaleza!
Estamos convencidos de que la Naturaleza tiene sus propias leyes, expresadas con la ayuda de matemáticas. Y las matemáticas son una herramienta muy importante.
para descubrir los misterios de la naturaleza.
Lista de literatura y sitios de Internet:
1.
Vorobyov N. N. Números de Fibonacci. - M., Nauka, 1984.
2. Gika M. Estética de las proporciones en la naturaleza y el arte. - M., 1936.
3. Dmitriev A. Caos, fractales e información. // Ciencia y Vida, No. 5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Armonía tejida a partir de paradojas // Cultura y
Una vida. - 1982.- Nº 10.
5. Malay G. Harmony: la identidad de las paradojas // MN. - 1982.- Nº 19.
6. Sokolov A. Secretos de la sección dorada // Técnica de la juventud. - 1978.- Nº 5.
7. Stakhov A. P. Códigos de la proporción áurea. -M., 1984.
8. Urmantsev Yu. A. Simetría de la naturaleza y la naturaleza de la simetría. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. A. Sección dorada // Priroda. - 1968.- Nº 11.
10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Proporción áurea/Tres
Una mirada a la naturaleza de la armonía.-M., 1990.
11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Simetría en ciencia y arte. -METRO.:
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Seguro que estás familiarizado con la idea de que las matemáticas son las más importantes de todas las ciencias. Pero muchos pueden no estar de acuerdo con esto, porque. a veces parece que las matemáticas son solo problemas, ejemplos y cosas aburridas similares. Sin embargo, las matemáticas pueden mostrarnos fácilmente cosas familiares desde un lado completamente desconocido. Además, incluso puede revelar los secretos del universo. ¿Cómo? Veamos los números de Fibonacci.
¿Qué son los números de Fibonacci?
Los números de Fibonacci son elementos de una secuencia numérica, donde cada subsiguiente es sumando los dos anteriores, por ejemplo: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Como regla, tal secuencia se escribe mediante la fórmula: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2.
Los números de Fibonacci también pueden comenzar con valores negativos de "n", pero en este caso la secuencia será bidireccional: cubrirá números positivos y negativos, tendiendo al infinito en dos direcciones. Un ejemplo de tal secuencia sería: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, y la fórmula será: F n \u003d F n + 1 - F n + 2 o F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.
El creador de los números de Fibonacci es uno de los primeros matemáticos en Europa de la Edad Media llamado Leonardo de Pisa, quien, de hecho, es conocido como Fibonacci, recibió este apodo muchos años después de su muerte.
En vida, Leonardo de Pisa fue muy aficionado a los torneos matemáticos, por lo que en sus obras (“Liber abaci” / “Libro del ábaco”, 1202; “Practica geometriae” / “Práctica de la geometría”, 1220, “Flos ” / “Flor”, 1225 - estudio sobre ecuaciones cúbicas y "Liber quadratorum" / "Libro de los cuadrados", 1225 - problemas de indefinidos ecuaciones cuadráticas) muy a menudo solucionaba todo tipo de problemas matemáticos.
Se sabe muy poco sobre el camino de la vida del propio Fibonacci. Pero lo que sí se sabe con certeza es que sus problemas fueron extremadamente populares en los círculos matemáticos de los siglos posteriores. Consideraremos uno de estos a continuación.
problema de fibonacci con conejos
Para llevar a cabo la tarea, el autor estableció siguientes condiciones: hay una pareja de conejos recién nacidos (hembra y macho), que se distinguen por una característica interesante: a partir del segundo mes de vida producen una nueva pareja de conejos, también una hembra y un macho. Los conejos están en un espacio confinado y se reproducen constantemente. Y no muere un solo conejo.
Tarea: determinar el número de conejos en un año.
Decisión:
Tenemos:
- Una pareja de conejos al principio del primer mes, que se aparea al final del mes
- Dos parejas de conejos en el segundo mes (primera pareja y descendencia)
- Tres parejas de conejos en el tercer mes (primera pareja, crías de la primera pareja del mes pasado y nuevas crías)
- Cinco parejas de conejos en el cuarto mes (primera pareja, primera y segunda cría de la primera pareja, tercera cría de la primera pareja y primera cría de la segunda pareja)
El número de conejos por mes "n" = el número de conejos del mes anterior + el número de nuevas parejas de conejos, es decir, la fórmula anterior: F n = F n-1 + F n-2. De esto obtenemos la recursiva secuencia numérica(hablaremos de la recursividad más adelante), donde cada nuevo número corresponde a la suma de los dos números anteriores:
1 mes: 1 + 1 = 2
Mes 2: 2 + 1 = 3
Mes 3: 3 + 2 = 5
4to mes: 5 + 3 = 8
Mes 5: 8 + 5 = 13
6to mes: 13 + 8 = 21
7mo mes: 21 + 13 = 34
8 meses: 34 + 21 = 55
Mes 9: 55 + 34 = 89
Mes 10: 89 + 55 = 144
Mes 11: 144 + 89 = 233
Mes 12: 233+ 144 = 377
Y esta secuencia puede continuar indefinidamente, pero dado que la tarea es averiguar la cantidad de conejos después de un año, resultan 377 parejas.
También es importante señalar aquí que una de las propiedades de los números de Fibonacci es que si compara dos pares consecutivos y luego divide el mayor entre el menor, el resultado se moverá hacia la proporción áurea, que también discutiremos. abajo.
Mientras tanto, le ofrecemos dos problemas más sobre los números de Fibonacci:
- Determine un número cuadrado, que solo se sabe que si le resta 5 o le agrega 5, nuevamente saldrá un número cuadrado.
- Determina el número que es divisible por 7, pero con la condición de que al dividirlo por 2, 3, 4, 5 o 6, el resto sea 1.
Tales tareas no solo serán una excelente manera de desarrollar la mente, sino también un pasatiempo entretenido. También puede averiguar cómo se resuelven estos problemas buscando información en Internet. No nos centraremos en ellos, sino que continuaremos nuestra historia.
¿Qué es la recursividad y la proporción áurea?
recursión
La recursividad es una descripción, definición o imagen de un objeto o proceso que contiene el objeto o proceso dado en sí. En otras palabras, un objeto o proceso puede llamarse parte de sí mismo.
La recursividad es ampliamente utilizada no sólo en ciencia matemática, sino también en informática, cultura popular y arte. Aplicable a los números de Fibonacci, podemos decir que si el número es "n>2", entonces "n" = (n-1)+(n-2).
proporción áurea
La proporción áurea es la división del todo en partes, correlacionadas según el principio: el mayor se relaciona con el menor de la misma manera que el valor total se relaciona con la parte mayor.
Por primera vez, Euclides menciona la sección áurea (el tratado "Comienzos" aprox. 300 aC), hablando y construyendo un rectángulo regular. Sin embargo, el matemático alemán Martin Ohm introdujo un concepto más familiar.
Aproximadamente, la proporción áurea se puede representar como una división proporcional en dos partes diferentes, por ejemplo, 38% y 68%. La expresión numérica de la proporción áurea es aproximadamente 1,6180339887.
En la práctica, la proporción áurea se utiliza en arquitectura, bellas artes (ver obras), cine y otros ámbitos. Sin embargo, durante mucho tiempo, como ahora, la proporción áurea se consideró una proporción estética, aunque la mayoría de la gente la percibe como desproporcionada, alargada.
Puedes intentar estimar la proporción áurea tú mismo, guiándote por las siguientes proporciones:
- Longitud del segmento a = 0,618
- Longitud del segmento b= 0.382
- Longitud del segmento c = 1
- Relación de c y a = 1.618
- Relación c y b = 2.618
Ahora aplicamos la proporción áurea a los números de Fibonacci: tomamos dos miembros vecinos de su secuencia y dividimos el mayor por el menor. Obtenemos aproximadamente 1.618. Si tomamos lo mismo más y lo dividimos por el siguiente más grande después de él, obtenemos aproximadamente 0.618. Pruébelo usted mismo: "juegue" con los números 21 y 34 u otros. Si llevamos a cabo este experimento con los primeros números de la sucesión de Fibonacci, entonces no habrá tal resultado, porque la proporción áurea "no funciona" al comienzo de la secuencia. Por cierto, para determinar todos los números de Fibonacci, solo necesita conocer los primeros tres números consecutivos.
Y finalmente, un poco más de alimento para el pensamiento.
Rectángulo dorado y espiral de Fibonacci
El "rectángulo áureo" es otra relación entre la proporción áurea y los números de Fibonacci, como su relación de aspecto es de 1,618 a 1 (¡recuerda el número 1,618!).
He aquí un ejemplo: tomamos dos números de la sucesión de Fibonacci, por ejemplo 8 y 13, y dibujamos un rectángulo de 8 cm de ancho y 13 cm de largo, que sea igual a dos caras del más pequeño.
Después de eso, conectamos las esquinas de todos los rectángulos que tenemos con una línea suave y obtenemos un caso especial de espiral logarítmica: la espiral de Fibonacci. Sus principales propiedades son la ausencia de límites y el cambio de formas. Tal espiral se puede encontrar a menudo en la naturaleza: los ejemplos más llamativos son las conchas de los moluscos, los ciclones en las imágenes de satélite e incluso una serie de galaxias. Pero más interesante es que el ADN de los organismos vivos obedece a la misma regla, ¿recuerdas que tiene forma de espiral?
Estas y muchas otras coincidencias "accidentales" aún hoy excitan las mentes de los científicos y sugieren que todo en el Universo está sujeto a un solo algoritmo, además, matemático. Y esta ciencia se esconde en sí misma gran cantidad secretos y misterios bastante aburridos.
Averigüemos qué tienen en común las antiguas pirámides egipcias, la pintura de Leonardo da Vinci "Mona Lisa", un girasol, un caracol, una piña y los dedos humanos.
La respuesta a esta pregunta está oculta en los asombrosos números que se han descubierto. El matemático medieval italiano Leonardo de Pisa, más conocido con el nombre de Fibonacci (nacido c. 1170 - muerto después de 1228), matemático italiano . Viajando por Oriente, se familiarizó con los logros de las matemáticas árabes; contribuyeron a su traslado a Occidente.
Después de su descubrimiento, estos números comenzaron a llamarse el nombre del famoso matemático. La asombrosa esencia de la sucesión de Fibonacci es que que cada número de esta secuencia se obtiene de la suma de los dos números anteriores.
Entonces, los números que forman la secuencia:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …
se llaman "números de Fibonacci", y la secuencia en sí se llama la secuencia de Fibonacci.
Hay una característica muy interesante en los números de Fibonacci. Al dividir cualquier número de la secuencia por el número que le precede en la serie, el resultado siempre será un valor que fluctúa alrededor del valor irracional 1,61803398875... ya veces lo supera, a veces no lo alcanza. (Nótese un número irracional, es decir, un número cuya representación decimal es infinita y no periódica)
Además, después del número 13 en la secuencia, el resultado de esta división se vuelve constante hasta el infinito de la serie... Fue este número constante de división en la Edad Media lo que se llamó la Divina Proporción, y ahora hoy se le conoce como la sección áurea, la media áurea o la proporción áurea. . En álgebra, este número se denota con la letra griega phi (Ф)
Entonces, proporción áurea = 1:1.618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
El cuerpo humano y la proporción áurea
Artistas, científicos, diseñadores de moda, diseñadores realizan sus cálculos, dibujos o bocetos basados en la proporción de la proporción áurea. Utilizan medidas del cuerpo humano, también creadas según el principio de la proporción áurea. Leonardo Da Vinci y Le Corbusier, antes de crear sus obras maestras, tomaron los parámetros del cuerpo humano, creado de acuerdo con la ley de la Proporción Áurea.
El libro más importante de todos los arquitectos modernos, el libro de referencia de E. Neufert "Diseño de edificios" contiene los cálculos básicos de los parámetros del cuerpo humano, que incluyen la proporción áurea.
Las proporciones de las diversas partes de nuestro cuerpo forman un número muy cercano a la proporción áurea. Si estas proporciones coinciden con la fórmula de la proporción áurea, entonces se considera que la apariencia o el cuerpo de una persona tiene una constitución ideal. El principio de calcular la medida de oro en el cuerpo humano se puede representar como un diagrama:
M/m=1.618
El primer ejemplo de la sección áurea en la estructura del cuerpo humano:
Si tomamos el punto del ombligo como el centro del cuerpo humano, y la distancia entre el pie humano y el punto del ombligo como unidad de medida, entonces la altura de una persona equivale al número 1.618.
Además, hay varias proporciones doradas más básicas de nuestro cuerpo:
* la distancia desde la punta de los dedos hasta la muñeca hasta el codo es 1:1.618;
* la distancia desde el nivel del hombro hasta la coronilla y el tamaño de la cabeza es 1:1.618;
* la distancia desde la punta del ombligo hasta la coronilla y desde el nivel del hombro hasta la coronilla es 1:1.618;
* la distancia del punto del ombligo a las rodillas y de las rodillas a los pies es 1:1.618;
* la distancia desde la punta del mentón hasta la punta del labio superior y desde la punta del labio superior hasta las fosas nasales es 1:1.618;
* la distancia desde la punta del mentón hasta la línea superior de las cejas y desde la línea superior de las cejas hasta la coronilla es 1:1.618;
* la distancia desde la punta del mentón hasta la línea superior de las cejas y desde la línea superior de las cejas hasta la coronilla es 1:1.618:
La proporción áurea en los rasgos faciales humanos como criterio de belleza perfecta.
En la estructura de los rasgos faciales humanos, también hay muchos ejemplos que tienen un valor cercano a la fórmula de la sección áurea. Sin embargo, no se apresure inmediatamente tras la regla para medir los rostros de todas las personas. Porque las correspondencias exactas con la sección áurea, según los científicos y la gente del arte, artistas y escultores, existen solo en personas con una belleza perfecta. En realidad, la presencia exacta de la proporción áurea en el rostro de una persona es el ideal de belleza para el ojo humano.
Por ejemplo, si sumamos el ancho de los dos dientes frontales superiores y dividimos esta suma por la altura de los dientes, entonces, habiendo obtenido la proporción áurea, podemos decir que la estructura de estos dientes es ideal.
En el rostro humano, existen otras encarnaciones de la regla de la sección áurea. Estas son algunas de estas relaciones:
* Altura de la cara / ancho de la cara;
* Punto central de conexión de los labios a la base de la nariz/longitud de la nariz;
* Altura de la cara / distancia desde la punta del mentón hasta el punto central de la unión de los labios;
* Ancho de la boca/ancho de la nariz;
* Ancho de la nariz / distancia entre las fosas nasales;
* Distancia entre pupilas / distancia entre cejas.
mano humana
Basta con acercar la palma de la mano a usted ahora y mirar cuidadosamente su dedo índice, e inmediatamente encontrará la fórmula de la sección dorada en él. Cada dedo de nuestra mano consta de tres falanges.
* La suma de las dos primeras falanges del dedo en relación a la longitud total del dedo y da el número de la sección áurea (a excepción del pulgar);
* Además, la proporción entre el dedo medio y el meñique también es igual a la proporción áurea;
* Una persona tiene 2 manos, los dedos de cada mano constan de 3 falanges (a excepción del pulgar). Cada mano tiene 5 dedos, es decir, 10 en total, pero con la excepción de dos pulgares bifalángicos, solo se crean 8 dedos según el principio de la proporción áurea. Considerando que todos estos números 2, 3, 5 y 8 son los números de la secuencia de Fibonacci:
La proporción áurea en la estructura de los pulmones humanos.
El físico estadounidense B.D. West y el Dr. A.L. Goldberger durante estudios físicos y anatómicos encontró que la sección dorada también existe en la estructura de los pulmones humanos.
La peculiaridad de los bronquios que componen los pulmones de una persona radica en su asimetría. Los bronquios están formados por dos vías respiratorias principales, una (izquierda) es más larga y la otra (derecha) es más corta.
* Se encontró que esta asimetría continúa en las ramas de los bronquios, en todas las vías respiratorias menores. Además, la proporción de la longitud de los bronquios cortos y largos también es la proporción áurea y es igual a 1:1.618.
La estructura del cuadrilátero ortogonal dorado y la espiral.
La sección áurea es una división proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor de la misma manera que la parte mayor misma se relaciona con la menor; o en otras palabras, la sección más pequeña está relacionada con la más grande como la más grande lo está con todo.
En geometría, un rectángulo con esta proporción de lados pasó a llamarse rectángulo áureo. Sus lados largos están relacionados con los lados cortos en una proporción de 1.168:1.
El rectángulo dorado también tiene muchas propiedades sorprendentes. El rectángulo dorado tiene muchas propiedades inusuales. Al cortar un cuadrado del rectángulo áureo, cuyo lado es igual al lado más pequeño del rectángulo, obtenemos nuevamente un rectángulo áureo más pequeño. Este proceso puede continuar hasta el infinito. A medida que sigamos cortando los cuadrados, obtendremos rectángulos dorados cada vez más pequeños. Además, se ubicarán en una espiral logarítmica, lo cual es importante en modelos matemáticos de objetos naturales (por ejemplo, conchas de caracol).
El polo de la espiral se encuentra en la intersección de las diagonales del rectángulo inicial y la primera vertical recortada. Además, las diagonales de todos los rectángulos áureos decrecientes subsiguientes se encuentran en estas diagonales. Por supuesto, también hay un triángulo dorado.
El diseñador y esteticista inglés William Charlton afirmó que las personas encuentran agradables a la vista las formas en espiral y las han estado usando durante milenios, y lo explica de la siguiente manera:
“Nos gusta el aspecto de una espiral porque visualmente podemos verla fácilmente”.
En naturaleza
* La regla de la proporción áurea que subyace en la estructura de la espiral se encuentra en la naturaleza muy a menudo en creaciones de una belleza sin igual. Los ejemplos más obvios: se puede ver una forma de espiral en la disposición de las semillas de girasol y en las piñas, en las piñas, los cactus, la estructura de los pétalos de rosa, etc.;
* Los botánicos han establecido que en la disposición de las hojas en una rama, semillas de girasol o piñas, se manifiesta claramente la serie de Fibonacci, y por tanto, se manifiesta la ley de la sección áurea;
El Señor Todopoderoso ha establecido una medida especial para cada una de Sus creaciones y le ha dado una proporcionalidad, lo cual se confirma con ejemplos que se encuentran en la naturaleza. Se pueden citar muchos ejemplos cuando el proceso de crecimiento de los organismos vivos ocurre estrictamente de acuerdo con la forma de una espiral logarítmica.
Todos los resortes en una bobina tienen la misma forma. Los matemáticos han descubierto que incluso con el aumento del tamaño de los resortes, la forma de la espiral permanece sin cambios. No hay otra forma en matemáticas que tenga las mismas propiedades únicas que una espiral.
La estructura de las conchas marinas.
Los científicos que estudiaron la estructura interna y externa de las conchas de los moluscos de cuerpo blando que viven en el fondo de los mares afirmaron:
“La superficie interior de las conchas es impecablemente lisa, mientras que la superficie exterior está cubierta de asperezas e irregularidades. La almeja estaba en la concha y por eso superficie interna los fregaderos tenían que ser impecablemente lisos. Las esquinas externas: las curvas de la carcasa aumentan su resistencia, dureza y, por lo tanto, aumentan su resistencia. La perfección y la asombrosa racionalidad de la estructura de la concha (caracol) deleitan. La idea espiral de las conchas es una forma geométrica perfecta y asombrosa en su pulida belleza”.
En la mayoría de los caracoles que tienen caparazón, el caparazón crece en una espiral logarítmica. Sin embargo, no hay duda de que estas criaturas irrazonables no solo no tienen idea sobre la espiral logarítmica, sino que ni siquiera tienen el conocimiento matemático más simple para crear una capa espiral por sí mismos.
Pero entonces, ¿cómo podrían estos seres sin inteligencia determinar y elegir por sí mismos la forma ideal de crecimiento y existencia en forma de caparazón espiral? ¿Podrían estos seres vivos, que el mundo científico llama formas de vida primitivas, calcular que la forma logarítmica de la concha sería ideal para su existencia?
Por supuesto que no, porque tal plan no puede realizarse sin la presencia de la razón y el conocimiento. Pero ni los moluscos primitivos ni la naturaleza inconsciente, que, sin embargo, algunos científicos llaman el creador de la vida en la tierra (?!)
Tratar de explicar el origen de incluso la forma de vida más primitiva por una coincidencia aleatoria de algunas circunstancias naturales es cuando menos absurdo. Está claro que este proyecto es una creación consciente.
El biólogo Sir D'Arkey Thompson llama a este tipo de crecimiento de conchas marinas "Forma de crecimiento de gnomo".
Sir Thompson hace este comentario:
“No hay sistema más sencillo que el crecimiento de conchas marinas, que crecen y se expanden proporcionalmente manteniendo la misma forma. La concha, lo que es más asombroso, crece, pero nunca cambia de forma.
El nautilus, que mide unos pocos centímetros de diámetro, es el ejemplo más llamativo del crecimiento parecido a un gnomo. S. Morrison describe este proceso de crecimiento del nautilus, que incluso la mente humana parece bastante difícil de planificar:
“Dentro del caparazón del nautilus hay muchos departamentos-habitaciones con tabiques de nácar, y el caparazón mismo en el interior es una espiral que se expande desde el centro. A medida que crece el nautilus, crece otra habitación frente a la concha, pero ya más grande que la anterior, y las particiones de la habitación que quedan se cubren con una capa de nácar. Por lo tanto, la espiral se expande proporcionalmente todo el tiempo”.
Estos son solo algunos tipos de conchas en espiral que tienen una forma de crecimiento logarítmico de acuerdo con sus nombres científicos:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.
Todos los restos fósiles descubiertos de conchas también tenían una forma espiral desarrollada.
Sin embargo, la forma logarítmica de crecimiento se encuentra en el mundo animal no solo en los moluscos. Los cuernos de antílopes, cabras salvajes, carneros y otros animales similares también se desarrollan en forma de espiral según las leyes de la proporción áurea.
La proporción áurea en el oído humano
En el oído interno humano hay un órgano Cóclea ("Caracol"), que realiza la función de transmitir la vibración del sonido..
Esta estructura parecida a un hueso está llena de líquido y también creada en forma de caracol, que contiene una forma espiral logarítmica estable = 73º 43'.
Cuernos y colmillos de animales que se desarrollan en forma de espiral
Los colmillos de los elefantes y mamuts extinguidos, las garras de los leones y los picos de los loros son formas logarítmicas y se asemejan a la forma de un eje que tiende a convertirse en espiral. Las arañas siempre tejen sus telas en una espiral logarítmica. La estructura de microorganismos como el plancton (especies globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae y trochida) también tienen forma de espiral.
La sección áurea en la estructura de los micromundos
Las formas geométricas no se limitan a un triángulo, cuadrado, cinco o hexágono. Si conectamos estas figuras de varias maneras entre sí, obtendremos nuevas figuras tridimensionales. figuras geometricas. Ejemplos de esto son figuras como un cubo o una pirámide. Sin embargo, además de ellos, también hay otras figuras tridimensionales que no tuvimos que encontrarnos en La vida cotidiana, y cuyos nombres escuchamos, quizás por primera vez. Entre tales figuras tridimensionales se pueden nombrar un tetraedro (una figura regular de cuatro lados), un octaedro, un dodecaedro, un icosaedro, etc. El dodecaedro consta de 13 pentágonos, el icosaedro de 20 triángulos. Los matemáticos notan que estas figuras son matemáticamente muy fáciles de transformar, y su transformación ocurre de acuerdo con la fórmula de la espiral logarítmica de la sección áurea.
En el microcosmos, las formas logarítmicas tridimensionales construidas según proporciones áureas son omnipresentes.
. Por ejemplo, muchos virus tienen una forma geométrica tridimensional de un icosaedro. Quizás el más famoso de estos virus es el virus Adeno. La cubierta proteica del virus Adeno se forma a partir de 252 unidades de células proteicas dispuestas en una determinada secuencia. En cada esquina del icosaedro hay 12 unidades de células proteicas en forma de prisma pentagonal, y estructuras en forma de púas se extienden desde estas esquinas.
La proporción áurea en la estructura de los virus se descubrió por primera vez en la década de 1950. científicos del Birkbeck College de Londres A.Klug y D.Kaspar. 13 El virus Polyo fue el primero en mostrar una forma logarítmica. Se encontró que la forma de este virus era similar a la del virus Rhino 14.
Surge la pregunta, ¿cómo los virus forman formas tridimensionales tan complejas, cuya estructura contiene la sección dorada, que es bastante difícil de construir incluso con nuestra mente humana? El descubridor de estas formas de virus, el virólogo A. Klug hace el siguiente comentario:
“El Dr. Kaspar y yo hemos demostrado que para un caparazón esférico de un virus, la forma más óptima es la simetría como la forma de un icosaedro. Este orden minimiza el número de elementos de conexión... La mayoría de los cubos hemisféricos geodésicos de Buckminster Fuller están construidos sobre un principio geométrico similar. 14 La instalación de tales cubos requiere un esquema de explicación extremadamente preciso y detallado. Mientras que los propios virus inconscientes construyen una capa tan compleja de unidades celulares de proteínas elásticas y flexibles.