Колебания. Гармонические колебания

Введем еще одну величину, характеризующую гармонические колебания, - фазу колебаний .

При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса: φ = ω 0 t.

Величину φ, стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний , описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах - радианах.

Фаза определяет не только значение координаты, но и значение других физических величин, например скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени . В этом состоит значение понятия фазы.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.

Так как , то

Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t, выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы φ, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени (четверти периода) по прошествии половины периода φ = π, по прошествии целого периода φ = 2π и т. д.

Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. На рисунке 3.7 показана та же косинусоида, что и на рисунке 3.6, но на горизонтальной оси отложены вместо времени различные значения фазы φ.

Представление гармонических колебаний с помощью косинуса и синуса. Вы уже знаете, что при гармонических колебаниях координата тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса. После введения понятия фазы остановимся на этом подробнее.

Синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на , что соответствует, как видно из уравнения (3.21), промежутку времени, равному четверти периода:

Поэтому вместо формулы х = х m cos ω 0 t можно для описания гармонических колебаний использовать формулу

Но при этом начальная фаза , т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .

Обычно колебания тела, прикрепленного к пружине, или колебания маятника мы возбуждаем, выводя тело маятника из положения равновесия и затем отпуская его. Смещение от положения равновесия максимально в начальной момент. Поэтому для описания колебаний удобнее пользоваться формулой (3.14) с применением косинуса, чем формулой (3.23) с применением синуса.

Но если бы мы возбудили колебания покоящегося тела кратковременным толчком, то координата тела в начальный момент была бы равна нулю, и изменения координаты со временем было бы удобнее описывать с помощью синуса, т. е. формулой

х = х m sin ω 0 t, (3.24)

так как при этом начальная фаза равна нулю.

Если в начальный момент времени (при t - 0) фаза колебаний равна φ, то уравнение колебаний можно записать в виде

х = х m sin (ω 0 t + φ).

Колебания, описываемые формулами (3.23) и (3.24), отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фазу этих колебаний составляет . На рисунке 3.8 показаны графики зависимости координат от времени для двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону: х = х m sin ω 0 t, а график 2 - колебаниям, совершающимся по закону косинуса:

Для определения разности фаз двух колебаний надо в обоих случаях колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию - косинус или синус.

Вопросы к параграфу

1. Какие колебания называют гармоническими?

2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях?

3. Как связаны циклическая частота колебаний и период колебаний?

4. Почему частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит?

5. Каковы амплитуды и периоды трех различных гармонических колебаний, графики которых представлены на рисунках 3.8, 3.9?

Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Иллюстрация разности фаз двух колебаний одинаковой частоты

Фа́за колеба́ний - физическая величина, используемая по преимуществу для описания гармонических или близких к гармоническим колебаний, меняющаяся со временем (чаще всего равномерно растущая со временем), при заданной амплитуде (для затухающих колебаний - при заданной начальной амплитуде и коэффициенте затухания) определяющая состояние колебательной системы в (любой) данный момент времени. Равно применяется для описания волн , главным образом - монохроматических или близких к монохроматичности.

Фаза колебания (в электросвязи для периодического сигнала f(t) с периодом T) - это дробная часть t/T периода T, на которую t сдвинуто относительно произвольного начала координат. Началом координат обычно считается момент предыдущего перехода функции через нуль в направлении от отрицательных значений к положительным.

В большинстве случаев о фазе говорят применительно к гармоническим (синусоидальным или описывающимся мнимой экспонентой) колебаниям (или монохроматическим волнам, также синусоидальным или описывающимся мнимой экспонентой).

Для таких колебаний:

, , ,

или волн,

Например волн, распространяющихся в одномерном пространстве: , , , или волн, распространяющихся в трехмерном пространстве (или пространстве любой размерности): , , ,

фаза колебаний определяется как аргумент этой функции (одной из перечисленных, в каждом случае из контекста ясно, какой именно), описывающей гармонический колебательный процесс или монохроматическую волну.

То есть, для колебания фаза

для волны в одномерном пространстве

для волны в трехмерном пространстве или пространстве любой другой размерности:

где - угловая частота (чем величина выше, тем быстрее растет фаза с течением времени), t - время , - фаза при t =0 - начальная фаза; k - волновое число , x - координата, k - волновой вектор , x - набор (декартовых) координат , характеризующих точку пространства (радиус-вектор).

Фаза выражается в угловых единицах (радианах , градусах) или в циклах (долях периода):

1 цикл = 2 радиан = 360 градусов.

В физике, особенно при написании формул, преимущественно (и по умолчанию) используется радианное представление фазы, измерение ее в циклах или периодах (за исключением словесных формулировок) в целом довольно редко, однако измерение в градусах встречается достаточно часто (по-видимому, как предельно явное и не приводящее к путанице, поскольку знак градуса принято никогда не опускать ни в устной речи, ни на письме), особенно часто в инженерных приложениях (как, например, электротехника).

Иногда (в квазиклассическом приближении , где используются волны, близкие к монохроматическим, но не строго монохроматические, а также в формализме интеграла по траекториям, где волны могут быть и далекими от монохроматизма, хотя всё же подобны монохроматическим) фаза рассматривается как зависящая от времени и пространственных координат не как линейная функция, а как в принципе произвольная функция координат и времени:

Связанные термины

Если две волны (два колебания) полностью совпадают друг с другом, говорят, что волны находятся в фазе . В случае, если моменты максимума одного колебания совпадают с моментами минимума другого колебания (или максимумы одной волны совпадают с минимумами другой), говорят, что колебания (волны) находятся в противофазе. При этом, если волны одинаковы (по амплитуде), в результате сложения происходит их взаимное уничтожение (точно, полностью - лишь при условии монохроматичности или хотя бы симметричности волн, в предположении линейности среды распространения итд).

Действие

Одна из наиболее фундаментальных физических величин, на которой построено современное описание практически любой достаточно фундаментальной физической системы - действие - по своему смыслу является фазой.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Фаза колебаний" в других словарях:

Периодически изменяющийся аргумент ф ции, описывающей колебат. или волн. процесс. В гармонич. колебании u(х,t)=Acos(wt+j0), где wt+j0=j Ф. к., А амплитуда, w круговая частота, t время, j0 начальная (фиксированная) Ф. к. (в момент времени t=0,… … Физическая энциклопедия

- (φ) Аргумент функции, описывающей величину, изменяющуюся по закону гармонического колебания. [ГОСТ 7601 78] Тематики оптика, оптические приборы и измерения Обобщающие термины колебания и волны EN phase of oscillation DE Schwingungsphase FR… … Справочник технического переводчика Фаза - Фаза. Колебания маятников в одинаковой фазе (а) и противофазе (б); f угол отклонения маятника от положения равновесия. ФАЗА (от греческого phasis появление), 1) определенный момент в ходе развития какого либо процесса (общественного,… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

- (от греческого phasis появление), 1) определенный момент в ходе развития какого либо процесса (общественного, геологического, физического и т.д.). В физике и технике особенно важна фаза колебаний состояние колебательного процесса в определенный… … Современная энциклопедия

- (от греч. phasis появление) ..1) определенный момент в ходе развития какого либо процесса (общественного, геологического, физического и т. д.). В физике и технике особенно важна фаза колебаний состояние колебательного процесса в определенный… … Большой Энциклопедический словарь

Фаза (от греч. phasis √ появление), период, ступень в развитии какого либо явления; см. также Фаза, Фаза колебаний … Большая советская энциклопедия

Ы; ж. [от греч. phasis появление] 1. Отдельная стадия, период, этап развития какого л. явления, процесса и т.п. Основные фазы развития общества. Фазы процесса взаимодействия животного и растительного мира. Вступить в свою новую, решающую,… … Энциклопедический словарь

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

>> Фаза колебаний

§ 23 ФАЗА КОЛЕБАНИЙ

Введем еще одну величину, характеризующую гармонические колебания , - фазу колебаний.

При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса :

Величину , стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах радианах.

Фаза определяет не только значение координаты, но и значение других физических величин, например скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. В этом состоит значение понятия фазы.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.

Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t, выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы , выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t = (четверти периода) , по прошествии половины периода = , по прошествии целого периода = 2 и т. д.

Представление гармонических колебаний с помощью косинуса и синуса. Вы уже знаете, что при гармонических колебаниях координата тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса. После введения понятия фазы остановимся на этом подробнее.

Но при этом начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .

Обычно колебания тела, прикрепленного к пружине, или колебания маятника мы возбуждаем, выводя тело маятника из положения равновесия и затем отпуская его. Смещение от гихпожения равновесия максимально в начальной момент. Поэтому для описания колебаний удобнее пользоваться формулой (3.14) с применением косинуса, чем формулой (3.23) с применением синуса.

x = x m sin t (3.24)

так как при этом начальная фаза равна нулю.

Если в начальный момент времени (при t = 0) фаза колебаний равна , то уравнение колебаний можно записать в виде

x = x m sin(t + )

Сдвиг фаз. Колебания, описываемые формулами (3.23) и (3.24), отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз, этих колебаний составляет . На рисунке 3.8 показаны графики зависимости координат от времени колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону: x = x m sin t а график 2 - колебаниям, совершающимся по закону косинуса:

1. Какие колебания называют гармоническими!
2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях!

3. Как связаны циклическая частота колебаний и период колебаний!
4. Почему частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит!
5. Каковы амплитуды и периоды трех различных гармонических колебаний, графики которых представлены на рисунках 3.8, 3.9!

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Определение

Начальная фаза колебаний - это параметр, который совместно с амплитудой колебаний определяет начальное состояние колебательной системы. Величину начальной фазы задают в начальных условиях, то есть при $t=0$ c.

Рассмотрим гармонические колебания некоторого параметра $\xi $. Гармонические колебания описываются уравнением:

\[\xi =A{\cos ({\omega }_0t+\varphi)\ }\ \left(1\right),\]

где $A={\xi }_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний. Параметр $\xi $ лежит в пределах $-A\le \xi \le $+A.

Определение фазы колебаний

Весь аргумент периодической функции (в данном случае косинуса:$\ ({\omega }_0t+\varphi)$), описывающей колебательный процесс, называют фазой колебаний. Величина фазы колебаний в начальный момент времени, то есть при $t=0$, ($\varphi $)- носит название начальной фазы. Устоявшегося обозначения фазы нет, у нас начальная фаза обозначена $\varphi $. Иногда, чтобы подчеркнуть, что начальная фаза относится к моменту времени $t=0$ к букве, обозначающей начальную фазу, добавляют индекс 0, пишут, например, ${\varphi }_0.$

Единицей измерения начальной фазы является единица измерения угла - радиан (рад) или градус.

Начальная фаза колебаний и способ возбуждения колебаний

Допустим, что при $t=0$ смещение системы от положения равновесия равно ${\xi }_0$, а начальная скорость ${\dot{\xi }}_0$. Тогда уравнение (1) принимает вид:

\[\xi \left(0\right)=A{\cos \varphi =\ }{\xi }_0\left(2\right);;\] \[\ \frac{d\xi }{dt}=-A{\omega }_0{\sin \varphi =\ }{\dot{\xi }}_0\to -A{\sin \varphi =\frac{{\dot{\xi }}_0}{{\omega }_0}\ }\ \left(3\right).\]

Возведем в квадрат оба уравнения (2) и сложим их:

\[{\xi }^2_0+{\left(\frac{{\dot{\xi }}_0}{{\omega }_0}\right)}^2=A^2\left(4\right).\]

Из выражения (4) имеем:

Разделим уравнение (3) на (2), получим:

Выражения (5) и (6) показывают, что начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий колебаний. Это значит, что амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний. Например, если груз пруженного маятника отклоняют от положения равновесия и на расстояние $x_0$ и отпускают без толчка, тогда уравнением движения маятника является уравнение:

с начальными условиями:

При таком возбуждении колебания пружинного маятника можно описывать выражением:

Сложение колебаний и начальная фаза

Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.

Допустим, что два колебания с равными частотами происходят по одной прямой. Уравнением результирующих колебаний будет выражение:

\[\xi ={\xi }_1+{\xi }_2=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right),\ }\]

тогда амплитуда суммарного колебания равна:

где $A_1$; $A_2$ - амплитуды складывающихся колебаний; ${\varphi }_2;;{\varphi }_1$ - начальные фазы суммирующихся колебаний. При этом начальную фазу полученного колебания ($\varphi $) вычисляют, применяя формулу:

Уравнение траектории точки, которая принимает участие в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами $A_1$и $A_2$ и начальными фазами ${\varphi }_2и{\varphi }_1$:

\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}-\frac{2xy}{A_1A_2}{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }={sin}^2\left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\left(12\right).\]

В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории имеет вид:

что говорит о движении точки по прямой линии.

Если разность начальных фаз складываемых колебаний составляет $\Delta \varphi ={\varphi }_2-{\varphi }_1=\frac{\pi }{2},$ уравнением траектории становится формула:

\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}=1\left(14\right),\]

что означает, траектория движения эллипс.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Колебания пружинного осциллятора возбуждены толчком из положения равновесия, при этом грузу сообщают мгновенную скорость, равную $v_0$. Запишите начальные условия для такого колебания и функцию $x(t)$, описывающую данные колебания.

Решение. Сообщение грузу пружинного маятника мгновенной скорости равной $v_0$ означает, что при описании его колебаний с помощью уравнения:

начальными условиями будут:

Подставим в выражение (1.1) $t=0$, имеем:

Так как $A\ne 0$, то ${\cos \left(\varphi \right)\ }=0\to \varphi =\pm \frac{\pi }{2}.$

Возьмем первую производную $\frac{dx}{dt}$ подставим момент времени $t=0$:

\[\dot{x}\left(0\right)=-A{\omega }_{0\ }{\sin \left(\varphi \right)\ }=v_0\to A=\frac{v_0}{{\omega }_{0\ }}\ \left(1.4\right).\]

Из (1.4) следует, что начальная фаза получается $\varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Подставим, полученную начальную фазу и амплитуду в уравнение (1.1):

Ответ. $x(t)=\frac{v_0}{{\omega }_{0\ }}{\sin (\ }{\omega }_0t)$

Пример 2

Задание. Два колебания одного направления складываются. Уравнения этих колебаний имеют вид: $x_1={\cos \pi (t+\frac{1}{6})\ };;\ x_2=2{\cos \pi (t+\frac{1}{2})\ }$. Какова начальная фаза полученного колебания?

Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний по оси X:

Преобразуем заданные в условии задачи уравнения к этому же виду:

\;;\ x_2=2{\cos \left[\pi t+\frac{\pi }{2}\right](2.2).\ }\]

Сравнивая уравнения (2.2) с (2.1) получим, что начальные фазы колебаний равны:

\[{\varphi }_1=\frac{\pi }{6};;\ {\varphi }_2=\frac{\pi }{2}.\]

Изобразим на рис.1 векторную диаграмму колебаний.

$tg\ \varphi $ суммарных колебаний можно найти из рис.1:

\ \[\varphi =arctg\ \left(2,87\right)\approx 70,9{}^\circ \]

Ответ. $\varphi =70,9{}^\circ $