Funkciju diferenciālis. Diferenciāļa formas nemainība Sarežģītas funkcijas diferenciāļa nemainība

Diferenciālās funkcijas formulai ir forma

kur ir neatkarīgā mainīgā diferenciālis.

Tagad dota kompleksa (diferencējama) funkcija , kur,. Pēc tam, izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu, mēs atrodam

jo .

Tātad, , t.i. Diferenciālajai formulai ir tāda pati forma neatkarīgajam mainīgajam un starpposma argumentam, kas ir diferencējama funkcija.

Šo īpašumu parasti sauc par īpašumu formulas nemainība vai diferenciāļa forma. Ņemiet vērā, ka atvasinājumam nav šīs īpašības.

Saikne starp nepārtrauktību un diferenciāciju.

Teorēma (nepieciešams nosacījums funkcijas diferencējamībai). Ja funkcija ir diferencējama punktā, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā.

Pierādījums.Ļaujiet funkcijai y=f(x) punktā X 0 . Šajā brīdī mēs piešķiram argumentam pieaugumu  X. Funkcija tiks palielināta  plkst. Atradīsim.

Tāpēc y=f(x) nepārtraukti kādā punktā X 0 .

Sekas. Ja X 0 ir funkcijas pārtraukuma punkts, tad funkcija tajā nav diferencējama.

Teorēmas otrādi nav taisnība. Nepārtrauktība nenozīmē atšķirību.

Diferenciāls. Ģeometriskā nozīme. Diferenciāļa pielietošana aptuveniem aprēķiniem.

Definīcija

Funkciju diferenciālis sauc par funkcijas pieauguma lineāro relatīvo daļu. Tas ir apzīmēts ar kakili. Tādējādi:

komentēt

Funkcijas diferenciālis veido lielāko tās pieauguma daļu.

komentēt

Līdzās funkcijas diferenciāļa jēdzienam tiek ieviests argumentu diferenciāļa jēdziens. A-prioritāte argumentu atšķirība ir argumenta pieaugums:

komentēt

Funkcijas diferenciāļa formulu var uzrakstīt šādi:

No šejienes mēs to iegūstam

Tātad tas nozīmē, ka atvasinājumu var attēlot kā parastu daļskaitli - funkcijas un argumenta diferenciāļu attiecību.

Diferenciāļa ģeometriskā nozīme

Funkcijas diferenciālis punktā ir vienāds ar pieskares ordinātu pieaugumu, kas šajā punktā ir uzzīmēts funkcijas grafikam, kas atbilst argumenta pieaugumam.

Diferencēšanas pamatnoteikumi. Konstantes atvasinājums, summas atvasinājums.

Ļaujiet funkcijām kādā punktā būt atvasinājumi. Tad

1. Pastāvīgi var izņemt no atvasinājuma zīmes.

5. Diferenciālā konstante vienāds ar nulli.

2. Summas/starpības atvasinājums.

Divu funkciju summas/starpības atvasinājums ir vienāds ar katras funkcijas atvasinājumu summu/starpību.

Diferencēšanas pamatnoteikumi. Produkta atvasinājums.

3. Produkta atvasinājums.

Diferencēšanas pamatnoteikumi. Atvasinājums no kompleksa un apgrieztā funkcija.

5. Atvasinājums sarežģīta funkcija .

Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu attiecībā uz starpposma argumentu, kas reizināts ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz galveno argumentu.

Un tiem ir attiecīgi atvasinājumi punktos. Tad

Teorēma

(Par apgrieztās funkcijas atvasinājumu)

Ja funkcija ir nepārtraukta un stingri monotona kādā punkta apkārtnē un šajā punktā diferencējama, tad apgrieztajai funkcijai punktā ir atvasinājums, un .

Diferenciācijas formulas. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums.

Mēs esam redzējuši, ka funkcijas diferenciāli var uzrakstīt šādi:
(1),

Ja ir neatkarīgs mainīgais. Ļaujiet tai tagad ir sarežģīta funkcija no , t.i.
,
un tāpēc
. Ja funkciju atvasinājumi
Un
tad pastāv
, kā sarežģītas funkcijas atvasinājums. Diferenciāls
vai. Bet
un tāpēc mēs varam rakstīt
, t.i. atkal saņēmu izteicienu
kā (1).

Secinājums: formula (1) ir pareiza kā gadījumā, kad ir neatkarīgs mainīgais, tāpēc tas ir gadījumā, kad pastāv neatkarīgā mainīgā funkcija . Pirmajā gadījumā zem
tiek saprasts kā neatkarīgā mainīgā diferenciālis
, otrajā – funkcijas diferenciālis (šajā gadījumā
, vispārīgi runājot). Šo formas saglabāšanas īpašību (1) sauc diferenciālās formas nemainība.

Diferenciālās formas nemainība sniedz lielas priekšrocības, aprēķinot sarežģītu funkciju diferenciāļus.

Piemēram: jāaprēķina
. Neatkarīgi no tā, vai mainīgais ir atkarīgs vai neatkarīgs , mēs varam to pierakstīt. Ja - piemēram, funkcija
, tad atradīsim
un, izmantojot diferenciāļa formas nemainīgumu, mums ir tiesības rakstīt.

§18. Augstāku pasūtījumu atvasinājumi.

Lai funkcija y =  (x) ir diferencējama noteiktā intervālā X (tas ir, tai ir ierobežots atvasinājums y 1 =  1 (x) katrā šī intervāla punktā). Tad  1 (x) pati par sevi ir x funkcija X. Var izrādīties, ka dažos punktos vai vispār x 1 (x) pašam ir atvasinājums, t.i. ir atvasinājums no atvasinājuma (y 1) 1 =( 1 (x) 1. Šajā gadījumā to sauc par otrās kārtas atvasinājumu jeb otrās kārtas atvasinājumu. Apzīmē ar simboliem y 11, 11 (x), d 2 y/ dx 2. Ja nepieciešams, uzsveriet, ka atvasinājums ir tx 0, tad ierakstiet

y 11 /x=x 0 vai  11 (x 0) vai d 2 y/ dx 2 /x=x 0

atvasinājumu no 1 sauc par pirmās kārtas atvasinājumu vai pirmās kārtas atvasinājumu.

Tātad otrās kārtas atvasinājums ir funkcijas pirmās kārtas atvasinājums.

Gluži līdzīgi otrās kārtas atvasinājuma atvasinājumu (ja tāds pastāv) sauc par trešās kārtas atvasinājumu vai trešās kārtas atvasinājumu.

Apzīmējiet (y 11) 1 = y 111 = 111 (x) = d 3 y/ dx 3 = d 3  (x) / dx 3

Parasti funkcijas y = (x) n-tās kārtas atvasinājumu sauc par šīs funkcijas (n-1) kārtas atvasinājumu. (ja tādi pastāv, protams).

Norīkot

Lasīt: n-tais atvasinājums no y, no (x); d n y ar d x n-tajā.

Ceturtais, piektais utt. Ir neērti norādīt secību ar triepieniem, tāpēc ierakstiet skaitli iekavās, nevis  v (x) rakstiet  (5) (x).

Iekavās, lai nesajauktu atvasinājuma n-to kārtu un funkcijas n-to pakāpi.

Atvasinājumus, kas ir augstāki par pirmo, sauc par augstākas kārtas atvasinājumiem.

No pašas definīcijas izriet, ka, lai atrastu n-to atvasinājumu, jums secīgi jāatrod visi iepriekšējie no 1. līdz (n-1)-ajam.

Piemēri: 1) y=x 5; y 1 = 5x4; y 11 = 20 x 3;

y 111 = 60 x 2; y (4) = 120x; y (5) = 120; y (6) = 0,…

2) y=e x; y 1 = e x; y 11 =e x;…;

3) y=sinх; y 1 = cosх; y 11 = -sinх; y 111 = -cosх; y (4) = sinх;…

Ņemiet vērā, ka otrajam atvasinājumam ir noteikta mehāniska nozīme.

Ja pirmais ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir taisnvirziena nevienmērīgas kustības ātrums

V=ds/dt, kur S=f(t) ir kustības vienādojums, tad V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 ir ātruma maiņas ātrums, t.i. kustības paātrinājums:

a = f 11 (t) = dV/dt = d 2 S/dt 2 .

Tātad otrais ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir punkta kustības paātrinājums - tā ir otrā atvasinājuma mehāniskā nozīme.

Dažos gadījumos ir iespējams uzrakstīt izteiksmi jebkuras kārtas atvasinājumam, apejot starpposma.

Piemēri:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y=a x; y 1 =a x lna; y 11 =a x (lna) 2; y (n) =a x (lna) n;

y=x α; y 1 = αx α-1; y 11 =
; y (n) = α(α-1)… (α-n+1) x α-n, ar =n mums ir

y (n) = (x n) (n) = n! Augstākas kārtas atvasinājumi visi ir vienādi ar nulli.

y=sinx; y 1 = cosх; y 11 = -sinх; y 111 = -cosх; y (4) = sinx;... utt.. Jo

y 1 = sin(x+ /2); y 11 = sin(x+2 /2); y 111 = sin(x+3 /2); utt., tad y (n) = (sinx) (n) = sin (x + n /2).

To ir viegli noteikt, izmantojot secīgu diferenciāciju un vispārīgas formulas:

1) (СU) (n) = С(U) (n) ; 2) (U±V) (n) = U (n) ± V (n)

Divu funkciju (U·V) (n) reizinājuma n-tā atvasinājuma formula izrādās sarežģītāka. To sauc par Leibnica formulu.

Saņemsim to

y=U·V; y 1 = U 1 V+ UV 1; y 11 = U 11 V+ U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 = U 11 V+2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Līdzīgi mēs iegūstam

y (4) = U (4) V+4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) utt.

Ir viegli pamanīt, ka visu šo formulu labās puses atgādina binoma U + V, (U + V) 2, (U + V) 3 utt. pakāpju paplašināšanos. Tikai pakāpju U un V vietā ir atbilstošo kārtu atvasinājumi. Īpaši pilnīga līdzība būs, ja iegūtajās formulās U un V vietā rakstīsim U (0) un V (0), t.i. 0. funkciju U un V atvasinājumi (pašas funkcijas).

Paplašinot šo likumu jebkura n gadījumam, mēs iegūstam vispārīgo formulu

y (n) = (UV) (n) = U (n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n (n-1)/2! U (n-2) V (2) + n (n-1) (n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-к+1)/К! U (k) V (n-k) +…+ UV (n) - Leibnica formula.

Piemērs: atrast (e x x) (n)

(e x) (n) =e x, x 1 =1, x 11 =0 un x (n) =0, tāpēc (e x x) (n) = (e x) (n) x+ n/1 ! (e x) (n-1) x 1 = e x x+ ne x = e x (x+ n).

Ja neatkarīgu mainīgo diferencējamā funkcija un tās pilns diferenciālis dz ir vienāds Pieņemsim, ka punktā ((,?/) funkcijām »?) un r)) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi attiecībā pret (un rf, un attiecīgajā punktā (x, y) ir nepārtrauktas parciālās atvasinājumi un rezultātā funkcija g = f(x, y) šajā punktā ir diferencējama Pie šiem nosacījumiem funkcijai ir atvasinājumi punktā 17) Sarežģītas funkcijas diferenciālis Diferenciāļa formas nemainība Implicētās funkcijas Pieskares plakne. un virsmas normāls Virsmas pieskares plakne Kopējā diferenciāļa ģeometriskā nozīme Normāls pret virsmu Kā redzams no (2) formulām, u un u ir nepārtraukti punktā ((,*?). Tāpēc funkcija pie punkts ir diferencējams, mēs pieņemam pēc kopējās diferenciālās formulas neatkarīgu mainīgo £ un m funkcijai], mums ir Aizstājot vienādības (3) u labajā pusē un izmantojot to izteiksmes no formulām (2), iegūstam vai tā kā pēc nosacījuma funkcijām punktā ((,17) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad tās šajā punktā ir diferencējamas un no (4) un (5) relācijām iegūstam, ka (1) un (6) formulu salīdzinājums parāda, ka funkcijas z = /(z, y) kopējo diferenciāli izsaka ar tādas pašas formas formulu gan gadījumā, ja funkcijas /(z,y) argumenti x un y ir neatkarīgi mainīgie, gan gadījumā kad šie argumenti savukārt ir dažu mainīgo funkcijas. Tādējādi vairāku mainīgo funkcijas kopējam diferenciālam ir formas nemainīguma īpašība. komentēt. No kopējās diferenciāļa formas nemainības izriet: ja xnx un y ir jebkura ierobežota skaita mainīgo lielumu diferencējamas funkcijas, tad formula paliek spēkā. Iegūsim vienādojumu kur ir divu mainīgo funkcija, kas definēta kādā jomā G xOy plaknē. Ja katrai vērtībai x no noteikta intervāla (xo - 0, xo + ^o) ir tieši viena vērtība y, kas kopā ar x apmierina (1) vienādojumu, tad tas nosaka funkciju y = y(x), kurai vienādība ir ierakstīta identiski gar x norādītajā intervālā. Šajā gadījumā vienādojums (1) definē y kā x implicītu funkciju. Citiem vārdiem sakot, funkcija, kas norādīta ar vienādojumu, kas nav atrisināta attiecībā pret y, tiek saukta par implicītu funkciju,” tā kļūst skaidra, ja ir norādīta tieši y atkarība no x. Piemēri: 1. Vienādojums definē vērtību y viss OcW рх kā x vienvērtības funkcija: 2. Ar vienādojumu lielums y tiek definēts kā x vienvērtības funkcija. Ilustrēsim šo apgalvojumu ar vērtību pāri = 0, y = 0. Apskatīsim * parametru un aplūkosim funkcijas. Jautājums par to, vai izvēlētajam xo ir atbilstoša unikālā O vērtība, ir tāds, ka pāris (apmierina (2) vienādojumu) šķērso x ay līknes un vienu punktu. Izveidosim to grafikus uz xOy. plakne (11. att.) . Līkne » = x + c sin y, kur x tiek uzskatīts par parametru, izrādās paralēla pārsūtīšana pa Ox asi un r = g sin y. Ģeometriski ir skaidrs, ka jebkuram x līknēm x = y un z = t+c $1у ir unikāls krustošanās punkts, kura secība ir x funkcija, ko netieši nosaka vienādojums (2). Šī atkarība netiek izteikta ar elementārām funkcijām. 3. Jebkuram reālam x vienādojums nenosaka argumenta x reālo funkciju. Tādā pašā nozīmē mēs varam runāt par vairāku mainīgo implicītām funkcijām. Nākamā teorēma dod pietiekami apstākļi vienādojuma unikālā atrisināmība = 0 (1) attiecībā pret y noteiktā punkta apkārtnē (®o>Yo). 8. teorēma (netiešas funkcijas esamība). Lai izpildītos šādi nosacījumi: 1) funkcija ir definēta un nepārtraukta noteiktā taisnstūrī ar centru punktā punktā funkcija y) pārvēršas par n\l, 3) pastāv un ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi taisnstūrī D 4 ) Y) Ja kāds pietiekami ma/yeo pozitīvs skaitlis e ir šīs apkaimes apkaime, ir unikāls ^ nepārtraukta funkcija y = f(x) (12. att.), kas ņem vērtību), apmierina vienādojumu \y - yol un pārvērš vienādojumu (1) par identitāti: Šī funkcija ir nepārtraukti diferencējama punkta Xq tuvumā, un We atvasiniet formulu (3) implicītā atvasinājuma funkcijām, uzskatot, ka šī atvasinājuma esamība ir pierādīta. Lai y = f(x) ir netiešā diferencējamā funkcija, kas definēta ar vienādojumu (1). Tad intervālā) ir identitāte Sarežģītas funkcijas diferenciālis Diferenciāļa formas nemainība Netiešās funkcijas Virsmas pieskares plakne un normālplakne Virsmas pieskares plakne Pilnīga diferenciāļa ģeometriskā nozīme Normāls virsmai, kas tai rodas intervāls Saskaņā ar kompleksās funkcijas diferenciācijas likumu mums ir Unikāls tādā nozīmē, ka jebkuram punktam (x , y), kas atrodas uz līknes, kas pieder punkta (xo, yo)” apkārtnei, ir koordinātes, kas saistītas ar vienādojumu. Tādējādi ar y = f(x) mēs iegūstam to un līdz ar to piemēru. Atrodiet j* no funkcijas y = y(x), kas definēta ar vienādojumu Šajā gadījumā No šejienes, izmantojot formulu (3) Piezīme. Teorēma nodrošinās nosacījumus vienas implicītās funkcijas pastāvēšanai, kuras grafiks iet cauri dotais punkts(ho, wo). pietiek, bet nav nepieciešams. Faktiski apsveriet vienādojumu Šeit ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, kas vienādi ar nulli punktā 0(0,0). Tomēr šim vienādojumam ir unikāls risinājums, kas vienāds ar nulli uzdevumā. Dots vienādojums - vienvērtības funkcija, kas apmierina vienādojumu (D). 1) Cik vienvērtības funkciju (2") izpilda vienādojumu (!")? 2) Cik vienvērtīgu nepārtrauktu funkciju apmierina vienādojums (!)? 3) Cik vienvērtības diferencējamu funkciju apmierina vienādojums (!)? 4) Cik vienvērtīgu nepārtrauktu funkciju apmierina “vienādojumu (1”), pat ja tās ir pietiekami mazas? Eksistences teorēma, kas ir līdzīga 8. teorēmai, ir spēkā arī divu mainīgo, kas definēti ar vienādojumu 9. teorēma, implicītās funkcijas z - z(x, y) gadījumā. Jāizpilda šādi nosacījumi d) funkcija & ir definēta un nepārtraukta domēns D jomā D pastāv un nepārtraukti parciālie atvasinājumi Tad jebkuram pietiekami mazam e > 0 ir punkta (®o»Yo)/ apkārtne Γ2, kurā ir unikāla nepārtraukta funkcija z - /(x, y), pieņemot vērtību pie x = x0, y = y0, izpildot nosacījumu un apgriežot vienādojumu (4) identitātē: Šajā gadījumā funkcijai domēnā Q ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi un GG Atradīsim izteiksmes šiem atvasinājumi. Ļaujiet vienādojumam definēt z kā neatkarīgu mainīgo xnu vienvērtīgu un diferencējamu funkciju z = /(x, y). Ja šajā vienādojumā z vietā aizvietojam funkciju f(x, y), iegūstam identitāti. Līdz ar to funkcijas y, z kopējie parciālie atvasinājumi attiecībā pret x un y, kur z = /(z, y ), arī jābūt vienādam ar nulli. Diferencējot mēs atrodam, kur Šīs formulas dod izteiksmes divu neatkarīgu mainīgo implicītās funkcijas daļējiem atvasinājumiem. Piemērs. Atrodiet ar 4. vienādojumu dotās funkcijas x(r,y) daļējos atvasinājumus. No tā iegūstam §11. Pieskares plakne un taisne pret virsmu 11.1. Iepriekšēja informācija Ļaujiet mums iegūt virsmu S, ko dod vienādojums Definēts*. Virsmas (1) punktu M(x, y, z) sauc par šīs virsmas parasto punktu, ja punktā M eksistē un ir nepārtraukti visi trīs atvasinājumi un vismaz viens no tiem nav nulle. Ja virsmas (1) punktā My, z) visi trīs atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai vismaz viens no šiem atvasinājumiem nepastāv, tad punktu M sauc par virsmas singulāro punktu. Piemērs. Apsveriet apļveida konusu (13. att.). Šeit vienīgais īpašais smalkais punkts ir koordinātu 0(0,0,0) izcelsme: šajā brīdī daļējie atvasinājumi vienlaikus pazūd. Rīsi. 13 Aplūkosim ar parametru vienādojumu definētu telpisko līkni. Pieņemsim, ka funkcijām šajā intervālā ir nepārtraukti atvasinājumi. Izslēgsim no izskatīšanas līknes singulāros punktus, kuros Let ir parasts līknes L punkts, ko nosaka parametra to vērtība. Tad ir pieskares vektors līknei punktā. Virsmas pieskares plakne Ņem uz virsmas S parastu punktu P un novelk tam cauri kādu līkni L, kas atrodas ar parametru vienādojumu. Pieņemsim, ka funkcijas £(*). "/(0" C(0) ir nepārtraukti atvasinājumi , nekur (a)p), kas vienlaikus izzūd Pēc definīcijas, līknes L pieskari punktā P šajā punktā sauc par pieskares virsmai 5. 2) tiek aizvietoti vienādojumā (1), tad, tā kā līkne L atrodas uz virsmas S, vienādojums (1) pārvēršas par identitāti attiecībā pret t: Diferencējot šo identitāti attiecībā pret t, izmantojot kompleksa diferencēšanas noteikumu. funkciju, iegūstam Izteiksme (3) kreisajā pusē ir divu vektoru skalārā reizinājums: Punktā P vektors z ir vērsts pieskares līknei L šajā punktā (14. att.). , tas ir atkarīgs tikai no šī punkta koordinātām un funkcijas ^"(x, y, z) veida un nav atkarīgs no līknes veida, kas iet caur punktu P. Tā kā P - parasts virsmas punkts 5, tad vektora n garums atšķiras no nulles Fakts, ka skalārais reizinājums nozīmē, ka vektors r, kas pieskaras līknei L punktā P, ir perpendikulārs vektoram n šajā punktā (att. 14). Šie argumenti paliek spēkā jebkurai līknei, kas iet caur punktu P un atrodas uz virsmas S. Līdz ar to jebkura pieskares līnija virsmai 5 punktā P ir perpendikulāra vektoram n, un tāpēc visas šīs līnijas atrodas vienā plaknē. arī perpendikulāri vektoram n Definīcija. Plakni, kurā atrodas visas virsmas 5 pieskares līnijas, kas iet caur noteiktu parasto punktu P G 5, sauc par virsmas pieskares plakni punktā P (att. 15).

Sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikums novedīs pie viena ievērojama un svarīga diferenciāļa īpašība.

Lai funkcijas ir tādas, lai no tām varētu izveidot sarežģītu funkciju: . Ja atvasinājumi eksistē, tad – pēc V likuma – ir arī atvasinājums

Tomēr, aizstājot tā atvasinājumu ar izteiksmi (7) un atzīmējot, ka x ir diferenciālis kā funkcija no t, mēs beidzot iegūstam:

i., atgriezīsimies pie iepriekšējās diferenciāļa formas!

Tādējādi mēs redzam, ka diferenciāļa formu var saglabāt pat tad, ja vecais neatkarīgais mainīgais tiek aizstāts ar jaunu. Mēs vienmēr varam brīvi rakstīt diferenciāli y formā (5), neatkarīgi no tā, vai x ir neatkarīgs mainīgais vai nav; vienīgā atšķirība ir tā, ka, ja t ir izvēlēts kā neatkarīgais mainīgais, tas nozīmē nevis patvaļīgu pieaugumu, bet gan x diferenciāli kā funkciju no Šo īpašību sauc par diferenciāļa formas invarianci.

Tā kā formula (5) tieši iegūst formulu (6), kas izsaka atvasinājumu caur diferenciāļiem, pēdējā formula paliek spēkā neatkarīgi no tā, kāds neatkarīgais mainīgais (protams, abos gadījumos tas pats) tiek aprēķināts.

Ļaujiet, piemēram, tā

Ļaujiet mums tagad likt Tad mums būs arī: Ir viegli pārbaudīt, ka formula

dod tikai citu izteiksmi iepriekš aprēķinātajam atvasinājumam.

Šis apstāklis ​​ir īpaši ērti lietojams gadījumos, kad nav tieši norādīta y atkarība no x, bet tā vietā tiek norādīta abu mainīgo x un y atkarība no kādas trešās, palīgmainīgā (saukta par parametru):

Pieņemot, ka abām šīm funkcijām ir atvasinājumi un ka pirmajai no tām ir apgriezta funkcija, kurai ir atvasinājums, ir viegli redzēt, ka tad y arī izrādās x funkcija:

kuram ir arī atvasinājums. Šī atvasinājuma aprēķinu var veikt saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu:

neatjaunojot y tiešo atkarību no x.

Piemēram, ja atvasinājumu var noteikt, kā tas izdarīts iepriekš, neizmantojot atkarību vispār.

Ja x un y uzskatām par plaknes punkta taisnstūra koordinātām, tad vienādojumi (8) katru parametra t vērtību piešķir noteiktam punktam, kas, mainoties t, apraksta plaknes līkni. Vienādojumus (8) sauc par šīs līknes parametriskajiem vienādojumiem.

Parametriskās līknes definīcijas gadījumā formula (10) ļauj tieši iestatīt pieskares leņķisko koeficientu, izmantojot vienādojumus (8), neturpinot precizēt līkni, izmantojot vienādojumu (9); tieši tā,

komentēt. Iespēja izteikt atvasinājumu, izmantojot diferenciāļus, kas ņemti attiecībā uz jebkuru mainīgo, jo īpaši, noved pie tā, ka formulas

Izsakot Leibnica apzīmējumā noteikumus apgrieztās funkcijas un sarežģītas funkcijas diferencēšanai, kļūst par vienkāršām algebriskām identitātēm (jo visas atšķirības šeit var ņemt attiecībā uz vienu un to pašu mainīgo). Tomēr nevajadzētu domāt, ka tas dod jaunu secinājumu par minētajām formulām: pirmkārt, šeit netika pierādīta kreiso atvasinājumu esamība, galvenais, ka mēs būtībā izmantojām diferenciāļa formas invarianci. , kas pati par sevi ir V noteikuma sekas.

Funkciju diferenciālis

Funkcija tiek izsaukta punktā, ierobežojums komplektam E, ja tā pieaugums ir Δ f(x 0), kas atbilst argumenta pieaugumam x, var attēlot formā

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

Kur ω (x - x 0) = O(x - x 0) plkst x → x 0 .

Displejs tiek saukts diferenciālis funkcijas f punktā x 0 un vērtību A(x 0)h - diferenciālā vērtībašajā brīdī.

Funkcijas diferenciālajai vērtībai f pieņemts apzīmējums df vai df(x 0), ja jums jāzina, kurā brīdī tas tika aprēķināts. Tādējādi

df(x 0) = A(x 0)h.

Dalot (1) ar x - x 0 un mērķēšana x Uz x 0, mēs saņemam A(x 0) = f"(x 0). Tāpēc mums ir

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Salīdzinot (1) un (2), mēs redzam, ka diferenciāļa vērtība df(x 0) (plkst f"(x 0) ≠ 0) ir funkcijas pieauguma galvenā daļa f punktā x 0, lineārs un viendabīgs vienlaikus attiecībā pret pieaugumu h = x - x 0 .

Funkcijas diferenciācijas kritērijs

Lai funkcija f bija diferencējams noteiktā punktā x 0, ir nepieciešams un pietiekami, ka tai šajā punktā ir ierobežots atvasinājums.

Pirmā diferenciāļa formas nemainīgums

Ja x tad ir neatkarīgais mainīgais dx = x - x 0 (fiksēts pieaugums). Šajā gadījumā mums ir

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Ja x = φ (t) ir diferencējama funkcija dx = φ" (t 0)dt. Tāpēc