Kā saprast Einšteina slavenāko formulu. Fotoelektriskā efekta likumu skaidrojums
Ja atomi tiek apstaroti ar gaismu, atomi absorbēs gaismu. Ir dabiski to pieņemt noteiktiem nosacījumiem absorbcija būs tik liela, ka ārējā (valence) atdalīsies no atomiem. Šī parādība tiek novērota realitātē. Klasiskā elektrodinamika, parastā gaismas viļņu teorija, nespēj sniegt apmierinošu fotoelektriskā efekta skaidrojumu. Einšteins izvirza pieņēmumu, ka gaismai pašai ir korpuskulāra daba, ka ir jēga uz gaismu skatīties nevis kā uz viļņu straumi, bet gan kā uz daļiņu straumi. Gaisma tiek ne tikai izstarota, bet arī kvantu veidā izplatīta un absorbēta! Šos gaismas enerģijas kvantus vai daļiņas Einšteins sauca par fotoniem.
Fotoni, kas krīt uz metāla virsmas, ļoti nelielā attālumā iekļūst metālā un tiek pilnībā absorbēti tā atsevišķajos vadīšanas elektronos. Viņi nekavējoties palielina savu enerģiju līdz vērtībai, kas ir pietiekama, lai pārvarētu potenciālo barjeru metāla virsmas tuvumā, un izlido.
Einšteina vienādojums fotoelektriskajam efektam
Dažādiem metāliem fotoelektriskā efekta sarkanā robeža ir atšķirīga.
Problēmu risināšanas piemēri
1. PIEMĒRS
| Vingrinājums | Planka konstantes noteikšanai tika sastādīta ķēde (1. att.). Kad potenciometra slīdošais kontakts atrodas pašā kreisajā pozīcijā, jutīgais ampērmetrs reģistrē vāju fotostrāvu, kad fotoelements ir izgaismots. Pārvietojot bīdāmo kontaktu pa labi, bloķēšanas spriegums tiek pakāpeniski palielināts, līdz ķēdē apstājas fotostrāva. Kad fotoelements tiek apgaismots ar violetu gaismu ar frekvenci THz, bloķēšanas spriegums ir 2 V, un, apgaismojot ar sarkanu gaismu \u003d 390 THz, bloķēšanas spriegums ir 0,5 V. Kāda Planka konstantes vērtība tika iegūta? |
| Risinājums | Einšteina vienādojums kalpo par pamatu problēmas risināšanai:  Gadījumā, ja tiek sasniegts spriegums, pie kura apstājas fotostrāva, ārējā lauka negatīvais darbs uz elektroniem ir vienāds ar elektronu, tas ir: Tad Einšteina vienādojums iegūs šādu formu: Uzrakstīsim šo vienādojumu diviem stāvokļiem, kas aprakstīti problēmas nosacījumos: Atņemot pirmo vienādojumu no otrā, mēs iegūstam: Mēs papildinām šīs problēmas ar elektronu lādiņa vērtību tabulā Pārveidosim datus uz SI: 750 THz = Hz, 390 THz = Hz Veiksim aprēķinu |
| Atbilde | Planka konstante ir J s. |
kl2. PIEMĒRS
| Vingrinājums | Vakuuma fotoelementā, kas apstarots ar gaismu ar frekvenci , fotoelektrons nonāk aizkavējošā elektriskā laukā. Uz fotoelementa elektrodiem tiek pielikts spriegums U, attālums starp elektrodiem ir H, elektrons izlido leņķī pret katoda plakni. Kā mainās elektrona impulss un koordinātas salīdzinājumā ar sākotnējām brīdī, kad tas atgriežas katodā? A ir darba funkcija. |
| Risinājums | Atrisinot problēmu, mēs izmantojam Einšteina vienādojumu fotoelektriskajam efektam:
Tālāk jums jāiedomājas elektrona kustība. Pieņemsim, ka elektriskais lauks elektronu kustības zonā ir vienmērīgs. Šādu pieņēmumu var izdarīt, ja pieņemam, ka anods atrodas salīdzinoši tālu no elektronu trajektorijas augšdaļas. Ļaujiet mums atrast elektrona izmaiņas, kad tas atgriežas katodā. Veidosim att. 2. Impulsa izmaiņas ir trijstūra pamats ar leņķi virsotnē. Tad |
,Pašā savā LiveJournal pirmajā ierakstā apsolīju, ka ievietošu visādas blēņas un citas blēņas ar formulām. Nejēdzības ziņā plānu uzskatu par 100% pabeigtu, bet tagad ķeros pie (jau iesāku par gravitācijas viļņu detektoru tēmu) uz plāna otro daļu - ielikšu fufeli ar formulām, lai mājsaimnieces un pat JETF nospļauties.
Atceros, ka man prasīja kaut ko paskaidrot par Einšteina vienādojumiem. Jo īpaši, kas un kur. Kā daļu no komentāriem, protams, es paskaidroju līdz minimumam, taču diez vai tas ieviesīs īstu skaidrību. Tāpēc es nolēmu uzrakstīt sīkāku ziņojumu par šo tēmu. Nedaudz uzrakstīšu par tenzoriem, lai būtu skaidrs, par ko runāšu tālāk.
Bet vispirms daži līgumi. Manā ierakstā tiek izmantots Einšteina summēšanas noteikums (tas ir summēšana, izmantojot atkārtotus indeksus) - es to tagad paskaidrošu, un tad tas ir netiešs.
Tātad, pieņemsim rekordu
Saskaņā ar Einšteina likumu, ja ir zināma telpas dimensija (vai ja telpas dimensija nav zināma, ir skaidri jānorāda, uz kuru elementu notiek summēšana), summas zīme tiek izlaista un summēšana. tiek domāts par atkārtotiem indeksiem (indekss " i"y a un plkst b. Un tas ir rakstīts šādi
Tāpēc visur, kur turpmāk būs sastopami atkārtoti indeksi, tiek nozīmēta summēšana (un ne tikai vienreizēja, bet var būt arī dubulta).
Pieņemsim, ka mums ir divas koordinātu sistēmas
2. ranga kontravariants tenzors
tie. vecās koordinātas atšķiras ar jaunajām. Šeit tiek domāta atkārtotu indeksu summēšana.
2. ranga kovariants tenzors ir vērtība, kas tiek pārveidota, pārveidojot koordinātas saskaņā ar noteikumiem
Atsevišķi tenzoru veidi ir labi zināmi vektori (1. ranga tenzors) un skalāri (0. ranga tenzors).
AT inerciālā sistēma atsauce Dekarta koordinātu sistēmā, kā zināms, intervāls ds definēts kā
Neinerciālā CO intervāls kvadrātā - daži kvadrātiskā forma laipns
šeit atkal summēšana pār atkārtotiem indeksiem.
(to var pārbaudīt konkrētos piemēros — piemēram, mēģiniet pārveidot ISO par rotējošu).
Acīmredzot, kas
a) pēc dimensijas izrādās, ka vērtība koordinātu diferenciāļu reizinājuma priekšā ir skalārs.
b) koordinātu diferenciāles var pārkārtot, kas nozīmē, ka g vērtība nav atkarīga no indeksu secības.
Pa šo ceļu gik ir simetrisks 4 tensors. To sauc par metrisko tensoru.
Tiek izsaukta galveno vērtību kopa (1, -1, -1, -1). parakstu matricas (dažreiz viņi raksta vienkārši (+, -, -, -)). Noteicējs iekšā Šis gadījums negatīvs. Tas atkal ir acīmredzams.
Viss, kas tika teikts par neinerciālajiem FR, ir pilnībā 100% pārnests uz patvaļīgu līknes koordinātu sistēmu, izolēti no fizikas kopumā.
Diemžēl es neko daudz nevaru uzrakstīt izliekuma tenzors
Riklm jo šim jums ir jāuzraksta vesels traktāts - kā tas tiek iegūts, no kurienes tas nāk utt. Būs jāraksta par Kristofeļa simboliem, tas ir ļoti ilgs laiks. Varbūt nākamreiz, ja kādam interesē.Riči tenzors iegūts izliekuma tenzora savērpšanas rezultātā
tas ir simetrisks.
Es domāju, ka visi zina Hamiltona mazākās darbības principu. Šajā gadījumā tas ir rakstīts kā
šeit lambda var uzskatīt par Lagranža funkcijas "blīvumu". Tad no tā iegūst enerģijas impulsa tensoru
šeit - enerģijas impulsa tensors.
Einšteina vienādojumi atvasināts no mazākās darbības principa. To atvasināšana nav tik sarežģīta, ja jūs labi zināt visu, ko es teicu iepriekš. Bet, protams, šajā gadījumā es to nerakstīšu. Einšteina vienādojumiem ir forma
Šie vienādojumi ir nelineāri, un rezultātā superpozīcijas princips nav derīgs to risinājumiem.
Ņūtona likuma atvasināšana no Einšteina vienādojumiem. Pārejot uz nerelativistisku gadījumu, ir jāpieprasa, lai visi ātrumi būtu mazi un līdz ar to arī gravitācijas lauks būtu mazs. Tad no visiem tensoriem paliks tikai nulle komponenti
Šajā gadījumā Einšteina vienādojumi dod
(šeit m ir tilpuma vienības masa, t.i., blīvums, atšķirībā no turpmākās uzrādīšanas)
Šis ir labi zināms Puasona vienādojums gravitācijas potenciālam, no kura vienas daļiņas lauka potenciālam m un attiecīgi spēki, kas šajā laukā iedarbojas uz citu daļiņu M izteicienus var iegūt
Šis ir slavenais Ņūtona gravitācijas likums.
Gravitācijas viļņi. Tas būs par vājš gravitācijas viļņi, ko var noteikt tikai ar interferometru palīdzību. Es domāju, ka visi zina, ka, lai meklētu vājus traucējumus, ir nepieciešams attēlot vēlamo funkciju stacionāras daļas un perturbācijas veidā. Šajā gadījumā izliekuma tensoru var attēlot kā Galilejas metrikas un tenzora netraucētu tenzoru h aprakstot vāju metrikas traucējumu
Noteiktos papildu apstākļos Ricci tensors iegūst formu
(katram gadījumam es paskaidroju, kas ir D "Alembert operators, lai gan es domāju, ka tas ir labi zināms visiem).
To visu nedaudz mutējot, jūs varat iegūt
Parasto viļņu vienādojums. Tas nozīmē, ka gravitācijas viļņi izplatās ar gaismas ātrumu.
Šeit ir stāsta beigas. Es domāju, ka šī ir detalizētāka atbilde, ko es toreiz sniedzu komentāros, bet es neesmu pārliecināts, ka tā kļuva daudz skaidrāka. Bet gribētos cerēt. Kamēr mēs atkal tiksimies, kungi!
Grūtības fotoelektriskā efekta klasiskajā skaidrojumā
Kā fotoelektrisko efektu varētu izskaidrot klasiskās elektrodinamikas un gaismas viļņu koncepcijās?
Ir zināms, ka, lai izmestu elektronu no vielas, tai ir jāpiešķir enerģija. A sauc par elektrona darba funkciju. Ja metālā ir brīvs elektrons, tas ir darbs, lai pārvarētu pozitīvo jonu lauku kristāla režģis, turot elektronu pie metāla robežas. Ja elektrons atrodas atomā, darba funkcija ir darbs, kas tiek veikts, lai pārtrauktu saikni starp elektronu un kodolu.
Gaismas viļņa mainīgā elektriskajā laukā elektrons sāk svārstīties.
Un, ja vibrācijas enerģija pārsniegs darba funkciju, tad elektrons tiks izrauts no vielas.
Taču šādu ideju ietvaros nav iespējams saprast otro un trešo fotoelektriskā efekta likumu. Kāpēc izmesto elektronu kinētiskā enerģija nav atkarīga no starojuma intensitātes? Galu galā, jo lielāka intensitāte, jo lielāka ir spriedze elektriskais lauks elektromagnētiskajā vilnī, jo lielāks spēks iedarbojas uz elektronu, jo lielāka būs tā svārstību enerģija, un jo lielāka elektrona kinētiskā enerģija izlidos no katoda. Bet eksperiments rāda ko citu.
No kurienes nāk fotoelektriskā efekta sarkanā robeža? Kas vainas zemajām frekvencēm? Šķiet, ka, palielinoties gaismas intensitātei, palielinās spēks, kas iedarbojas uz elektroniem; tāpēc pat pie zemas gaismas frekvences elektrons agrāk vai vēlāk tiks izvilkts no vielas, kad intensitāte sasniegs pietiekami daudz liela nozīme. Tomēr sarkanā robeža stingri aizliedz elektronu izplūšanu zemās krītošā starojuma frekvencēs.
Turklāt, kad katods tiek apgaismots ar patvaļīgi vājas intensitātes starojumu (ar frekvenci virs sarkanās robežas), fotoelektriskais efekts sākas uzreiz brīdī, kad tiek ieslēgts apgaismojums. Tikmēr elektroniem ir nepieciešams zināms laiks, lai “atslābinātu” saites, kas tos satur vielā, un šim “veidošanās” laikam vajadzētu būt ilgākam, jo vājāka ir krītošā gaisma. Analogija ir šāda: jo vājāk jūs nospiežat šūpoles, jo ilgāks laiks būs nepieciešams, lai to pagrieztu līdz noteiktai amplitūdai. Atkal izskatās loģiski, bet pieredze ir vienīgais patiesības kritērijs fizikā! ir pretrunā šiem argumentiem.
Tātad XIX un XX gadu mijā gadsimtiem fizikā radās strupceļš: elektrodinamika, kas paredzēja eksistenci elektromagnētiskie viļņi un lieliski strādājot radioviļņu diapazonā, atteicās izskaidrot fotoelektriskā efekta fenomenu.
Izeju no šī strupceļa atrada Alberts Einšteins 1905. gadā. Viņš atrada vienkāršu vienādojumu, kas apraksta fotoelektrisko efektu. Visi trīs fotoelektriskā efekta likumi izrādījās Einšteina vienādojuma sekas.
Einšteina galvenais nopelns bija atteikšanās no mēģinājumiem interpretēt fotoelektrisko efektu no klasiskās elektrodinamikas viedokļa. Einšteins balstījās uz Maksa Planka drosmīgo kvantu hipotēzi pirms pieciem gadiem.
Einšteina vienādojums fotoelektriskajam efektam
Planka hipotēze runāja par elektromagnētisko viļņu emisijas un absorbcijas diskrēto raksturu, tas ir, gaismas un matērijas mijiedarbības intermitējošu raksturu. Tajā pašā laikā Planks uzskatīja, ka gaismas izplatīšanās ir nepārtraukts process, kas notiek pilnīgā saskaņā ar klasiskās elektrodinamikas likumiem.
Einšteins gāja vēl tālāk: viņš ierosināja, ka gaismai principā ir pārtraukta struktūra: ne tikai emisija un absorbcija, bet arī gaismas izplatīšanās notiek atsevišķās kvantu daļās, kurām ir enerģija. E=h ν .
Planks savu hipotēzi uzskatīja tikai par matemātisko triku un neuzdrošinājās atspēkot elektrodinamiku saistībā ar mikrokosmosu. Pateicoties Einšteinam, kvanti kļuva par fizisku realitāti.
Quanta elektromagnētiskā radiācija(jo īpaši gaismas kvanti) vēlāk kļuva pazīstami kā fotoni. Tādējādi gaisma sastāv no īpašām fotonu daļiņām, kas pārvietojas vakuumā ar ātrumu c . Katrs monohromatiskās gaismas fotons ar frekvenci nes enerģiju h ν .
Fotoni var apmainīties ar enerģiju un impulsu ar matērijas daļiņām; šajā gadījumā mēs runājam par fotona un daļiņas sadursmi. Jo īpaši notiek fotonu sadursme ar katoda metāla elektroniem.
Gaismas absorbcija ir fotonu absorbcija, tas ir, fotonu neelastīga sadursme ar daļiņām (atomiem, elektroniem). Absorbēts pēc sadursmes ar elektronu, fotons nodod tam savu enerģiju. Rezultātā elektrons kinētisko enerģiju saņem uzreiz, nevis pakāpeniski, un tieši tas izskaidro fotoelektriskā efekta inerci.
Einšteina fotoelektriskā efekta vienādojums ir nekas cits kā enerģijas nezūdamības likums. Kāda ir fotona enerģija h ν tās neelastīgajā sadursmē ar elektronu? To izmanto, lai veiktu izvades darbu. A lai izdalītu no vielas elektronu un iedotu elektronu kinētiskā enerģija mv2/2:h ν = A + mv 2/2 (4)
Termiņš mv 2 /2 izrādās fotoelektronu maksimālā kinētiskā enerģija. Kāpēc maksimums? Šis jautājums prasa nelielu skaidrojumu.
Elektroni metālā var būt brīvi vai saistīti. Brīvie elektroni "staigā" pa metālu, saistītie elektroni "sēž" savos atomos. Turklāt elektrons var atrasties gan netālu no metāla virsmas, gan tā dziļumā.
Ir skaidrs, ka fotoelektrona maksimālā kinētiskā enerģija tiks iegūta, kad fotons ietriecas brīvā elektronā metāla virsmas slānī, tad pietiek tikai ar darba funkciju, lai izsist elektronu.
Visos citos gadījumos papildu enerģija būs jātērē, lai izrautu no atoma saistīto elektronu vai “velktu” dziļu elektronu uz virsmu. Šīs papildu izmaksas novedīs pie tā, ka emitētā elektrona kinētiskā enerģija būs mazāka.
Ievērojams ar savu vienkāršību un fizisko skaidrību, vienādojums (4) satur visu fotoelektriskā efekta teoriju:
1. izmesto elektronu skaits ir proporcionāls absorbēto fotonu skaitam. Palielinoties gaismas intensitātei, palielinās uz katoda krītošo fotonu skaits sekundē. Tāpēc absorbēto fotonu skaits un attiecīgi sekundē izsisto elektronu skaits proporcionāli palielinās.
2. Izteiksim no formulas (4) kinētisko enerģiju: mv 2 /2 = h ν - A
Patiešām, izmesto elektronu kinētiskā enerģija palielinās lineāri ar frekvenci un nav atkarīga no gaismas intensitātes.
Kinētiskās enerģijas frekvences atkarība ir taisnas līnijas vienādojuma forma, kas iet caur punktu ( A/h ; 0). Tas pilnībā izskaidro diagrammas gaitu attēlā. 3.
3. Lai sāktos fotoelektriskais efekts, fotonu enerģijai jābūt vismaz pietiekamai, lai veiktu darba funkciju: h ν > A . Zemākā frekvence ν 0 , ko nosaka vienādība
h ν o \u003d A;
Tā būs tikai fotoelektriskā efekta sarkanā robeža. Kā redzat, fotoelektriskā efekta sarkanā robeža ν 0 = A/h nosaka tikai darba funkcija, t.i., ir atkarīga tikai no apstarotās katoda virsmas materiāla.
Ja ν < ν 0 , tad fotoelektriskā efekta nebūs, lai cik fotonu sekundē kristu uz katoda. Tāpēc gaismas intensitātei nav nozīmes; galvenais ir vai vienam fotonam pietiek enerģijas, lai izsist elektronu.
Einšteina vienādojums (4) ļauj eksperimentāli atrast Planka konstanti. Lai to izdarītu, vispirms ir jānosaka starojuma frekvence un katoda materiāla darba funkcija, kā arī jāmēra fotoelektronu kinētiskā enerģija.
Šādu eksperimentu gaitā vērtība h , kas precīzi sakrīt ar (2). Šāda divu neatkarīgu eksperimentu rezultātu sakritība, kas balstīti uz termiskā starojuma spektriem un Einšteina vienādojumu fotoelektriskajam efektam, nozīmēja to, ka tika atklāti pilnīgi jauni "spēles noteikumi", saskaņā ar kuriem notiek gaismas un matērijas mijiedarbība. Šajā jomā klasiskā fizika, ko pārstāv Ņūtona mehānika un Maksvela elektrodinamika, dod vietu mikrokosmosa teorijas kvantu fizikai, kuras būvniecība turpinās arī mūsdienās.
Telpa - laiks, ņemot vērā stresa enerģijas atrašanās vietu telpā - laikā. Attiecības starp metrisko tensoru un Einšteina tensoru ļauj EPE uzrakstīt kā nelineāru daļēju diferenciālvienādojumu kopu, ja to izmanto šādā veidā. EFE risinājumi ir metriskā tenzora sastāvdaļas. Pēc tam, izmantojot ģeodēzisko vienādojumu, aprēķina daļiņu inerciālās trajektorijas un starojumu (ģeodēziju) iegūtajā ģeometrijā.
Papildus vietējā enerģijas impulsa saglabāšanai EFE tiek reducēta līdz Ņūtona gravitācijas likumam, kur gravitācijas lauks ir vājš un ātrums ir daudz mazāks par gaismas ātrumu.
Precīzus risinājumus EFE var atrast tikai ar vienkāršotiem pieņēmumiem, piemēram, simetriju. Visbiežāk tiek pētītas īpašas precīzu risinājumu klases, jo tās modelē daudzas gravitācijas parādības, piemēram, rotējošus melnos caurumus un Visuma izplešanos. Papildu vienkāršošana tiek panākta, tuvinot faktisko telpas laiku kā plakanu telpas laiku ar nelielu novirzi, kā rezultātā tiek iegūts linearizēts EPE. Šos vienādojumus izmanto, lai pētītu tādas parādības kā gravitācijas viļņi.
matemātiskā forma
Einšteina lauka vienādojumus (FSE) var uzrakstīt šādi:
|
R μ ν − 1 2 R G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν (\displaystyle R_(\mu \nu)-(\tfrac (1)(2)) R\, G_(\ mu\nu)+\lambda G_(\mu\nu)=(\frac(8\p G)(c^(4)))_(t\mu\nu)) |
kur R μν ir Riči izliekuma tensors, R ir skalārais izliekums, r μν ir metriskais tensors, Λ ir kosmoloģiskā konstante, G ir Ņūtona gravitācijas konstante, c ir gaismas ātrums vakuumā un T μν ir enerģijas stresa tensors.
EFE ir tenzoru vienādojums, kas attiecas uz simetrisku 4 × 4 tenzoru kopu. Katram tensoram ir 10 neatkarīgi komponenti. Četras Bianchi identitātes samazina neatkarīgo vienādojumu skaitu no 10 līdz 6, kā rezultātā tiek iegūts eksponents ar četrām fiksējošām brīvības pakāpēm, kas atbilst brīvībai izvēlēties koordinātu sistēmu.
Lai gan Einšteina lauka vienādojumi sākotnēji tika formulēti četrdimensiju teorijas kontekstā, daži teorētiķi ir izpētījuši to ietekmi n dimensijās. Vienādojumus kontekstos ārpus vispārējās relativitātes teorijas joprojām sauc par Einšteina lauka vienādojumiem. Vakuuma lauka vienādojumi (iegūti, kad T ir vienādi nulle) definē Einšteina kolektorus.
Neskatoties uz vienkāršo vienādojumu izskatu, tie patiesībā ir diezgan sarežģīti. Ņemot vērā norādīto vielas un enerģijas sadalījumu enerģijas tensora veidā, EPE saprot metriskā tenzora vienādojumus g μν, jo gan Ricci tensors, gan skalārais izliekums ir sarežģītā nelineārā veidā atkarīgi no metrikas. Patiešām, pilnībā izrakstot, EFE ir desmit savienotu nelineāru hiperboliski eliptisku diferenciālvienādojumu sistēma.
EFE var uzrakstīt kompaktākā formā, definējot Einšteina tensoru
G μ ν = R μ ν − 1 2 R G μ ν , (\displaystyle G_(\mu\nu)=R_(\mu\nu)-(\tfrac(1)(2))_(Rg \mu\nu ))kas ir otrās pakāpes simetrisks tenzors, kas ir metrikas funkcija. EFE, tad to var rakstīt formā
G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , (\Displaystyle G _(\mu \nu)+\Lambda G_(\mu \nu)=(\frac (8\r G ) ( c^(4))) T_(\mu\nu).)Standarta vienībās katram terminam kreisajā pusē ir mērvienības 1 / garums 2 . Ja Einšteina konstante ir izvēlēta kā 8πG/s 4 , tad vienādojuma labajā pusē esošais enerģijas impulsa tensors ir jāraksta ar katru komponentu enerģijas blīvuma vienībās (t.i., enerģija uz tilpuma vienību = spiediens).
Konventa ieeja
Iepriekš minētā EFE forma ir Misnera, Torna un Vīlera noteiktais standarts. Autori analizēja visas pastāvošās konvencijas un klasificēja pēc šādām trim zīmēm (S1, S2, S3):
g μ ν = [ S 1 ] × diag (- 1 , + 1 , + 1 , + 1) R μ α β γ = [ S 2 ] × ( Γ α γ , β μ − Γ α β , γ μ Γ σ β μ Γ γ α σ − Γ σ γ μ Γ β α σ) g μ ν = [ S 3 ] × 8 π g s 4 T μ ν (\displaystyle (\mu\_(sākt līdzināt) )&=\times\operatora nosaukums(diag)(-1,+1,+1,+1)\\(R^(\mu))_(\alpha\beta\gamma)&=\times \left(\ gamma _(\alpha\gamma,\beta)^(\mu)-\gamma _(\alpha\beta,\gamma)^(\mu)+\gamma _(\sigma\beta)^( \mu)\ gamma_(\gamma\alpha)^(\sigma)-\gamma_(\sigma\gamma)^(\mu)\gamma_(\beta\alpha)^(\sigma)\right)\ \g_(\mu\nu )&=\times(\frac(8\pi g)(c^(4))) t_(\mu\nu)\(beigas līdzināts)))Trešā zīme iepriekš attiecas uz Riči tenzora konvencijas izvēli:
R μ ν = [ S 2 ] × [ S 3 ] × R α μ α ν (\displaystyle R_(\mu \nu)=\[reizes S3]\(reizes R^(\alpha))_(\ mu\ alfa\nu)) R μ ν − 1 2 R G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , (\displaystyle R_(\mu \nu)-(\tfrac (1) (2)) R\ , G _ (\ mu \ nu) + \ Lambda G _ (\ mu \ nu) = (\frac (8 \ p G ) (c ^ (4))) T _ (\ mu \ nu) \ ,.)Tā kā Λ ir nemainīgs, enerģijas nezūdamības likums nemainās.
Kosmoloģisko terminu sākotnēji ieviesa Einšteins, lai nozīmētu, ka Visums neizplešas vai nesaraujas. Šie centieni ir bijuši veiksmīgi, jo:
- Šīs teorijas aprakstītais Visums bija nestabils un
- Edvīna Habla novērojumi apstiprināja, ka mūsu Visums paplašinās.
Tādējādi Einšteins pameta L, nosaucot to par "lielāko kļūdu, ko viņš jebkad pieļāvis".
Neskatoties uz Einšteina motivāciju ieviest kosmoloģisko konstanti, nav nekā pretrunā ar šāda termina klātbūtni vienādojumos. Daudzus gadus kosmoloģiskā konstante gandrīz vispār tika pieņemta kā 0. Tomēr jaunākie uzlabotie astronomiskie paņēmieni ir atklājuši, ka ir nepieciešama pozitīva A vērtība, lai izskaidrotu paātrināto Visumu. Tomēr kosmoloģiskais ir niecīgs galaktikas mērogā vai mazāk.
Einšteins kosmoloģisko konstanti uzskatīja par neatkarīgu parametru, bet tās terminu lauka vienādojumā var arī algebriski pārvietot uz otru pusi, kas ierakstīts kā enerģijas tensora daļa:
T μ ν (v a c) = − Λ c 4 8 π g g μ ν , (\displaystyle T_(\mu \nu)^(\mathrm ((vc)))=-(\frac (\lambda c ^(4)) ) (8\pi G)) G_(\mu\nu)\, .) p α β [ γ δ ; ε ] = 0 (\displaystyle R_(\alpha \beta [\gamma \delta;\varepsilon]) = 0)ar g αβ dod, izmantojot faktu, ka metriskais tenzors ir kovarianti konstants, t.i. gαβ; γ = 0 ,
p γ β γ δ ; ε + p γ β ε γ ; δ + p γ β δ ε ; γ = 0 (\displeja stils (R^(\gamma)) _(\beta \gamma \delta;\varepsilon) + (R^(\gamma))_(\beta \varepsilon \gamma;\delta) + ( R ^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)=\,0)Rīmaņa tenzora antisimetrija ļauj pārrakstīt otro terminu iepriekš minētajā izteiksmē:
p γ β γ δ ; ε - p γ β γ ε ; δ + p γ β δ ε ; γ = 0 (\displeja stils (R^(\gamma)) _(\beta \gamma \delta;\varepsilon) - (R^(\gamma))_(\beta \gamma \varepsilon;\delta) + ( R ^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)=0)kas ir līdzvērtīgs
p β δ ; ε - p β ε ; δ + p γ β δ ε ; γ = 0 (\displaystyle R_(\beta \delta;\varepsilon) _(-R\beta \varepsilon;\delta) + (R^(\gamma))_(\beta \delta \varepsilon;\gamma ) = 0)Pēc tam atkal saslēdzieties ar metriku
R β δ (R β δ ; ε − R β ε ; δ + R γ β δ ε ; γ) = 0 (\displaystyle r^(\beta \delta)\left(R_(\beta \delta ;\ varepsilon) -R_(\beta\varepsilon;\delta) + (R^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)\right) = 0)gūt
p δ δ ; ε - p δ ε ; δ + p γ δ δ ε ; γ = 0 (\displeja stils (R^(\delta)) _(\Delta;\varepsilon)-(R^(\delta))_(\varepsilon;\delta)+(R^(\gamma \delta) ) _(\delta\varepsilon;\gamma) = 0)To parāda Ricci izliekuma tenzora un skalārā izliekuma definīcijas
R; ε - 2 p γ ε ; γ = 0 (\displaystyle R_(;\varepsilon)-2(R^(\gamma))_(\varepsilon;\gamma)=0)ko var pārrakstīt kā
(p γ ε - 1 2 g γ ε p); γ = 0 (\displaystyle \left((R^(\gamma))_(\varepsilon)-(\tfrac(1)(2))(r^(\gamma))_(\varepsilon)R\right ) _(;\gamma)=0)Galīgā saspiešana ar g eDom dod
(p γ δ - 1 2 g γ δ p); γ = 0 (\displaystyle \left(R^(\gamma \delta)-(\tfrac(1)(2))g^(\gamma \delta)R\right)_(;\gamma)=0)kas, pateicoties iekavās ievietotā termina simetrijai un Einšteina tenzora definīcijai, dod pēc indeksu pārmarķēšanas,
g α β ; β = 0 (\displaystyle (G^(\alpha \beta)) _(;\beta)=0)Izmantojot EFE, tas nekavējoties dod
∇ β T α β = T α β ; β = 0 (\displaystyle \nabla _(\beta) T^(\alpha \beta)=(T^(\alpha \beta))_(;\beta)=0)kas izsaka lokālu stresa enerģijas saglabāšanos. Šis saglabāšanas likums ir fiziska prasība. No saviem lauka vienādojumiem Einšteins nodrošināja, ka vispārējā relativitāte atbilst šim saglabāšanas nosacījumam.
nelinearitāte
EFE nelinearitāte atšķir vispārējo relativitāti no daudzām citām fundamentālām fizikālajām teorijām. Piemēram, Maksvela elektromagnētisma vienādojums ir lineārs elektriskajos un magnētiskajos laukos, kā arī lādiņa un strāvas sadalījumā (t.i., abu risinājumu summa ir arī risinājums); Vēl viens piemērs ir Šrēdingera kvantu mehānikas vienādojums, kas ir lineārs viļņu funkcijā.
Atbilstības princips
d 2 x α d τ 2 = − Γ β γ α d x β d τ d x γ d τ , (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(\alpha)) (d\tau ^(2)) ) = -\gamma_(\beta\gamma)^(\alpha)(\frac(dx^(\beta))(d\tau))(\frac(dx^(\gamma))(d \ tau)) \ ,.)Lai redzētu, kā pēdējais samazinās līdz pirmajam, mēs pieņemam, ka daļiņas testera ātrums ir tuvu nullei
d x β d τ ≈ (d T d τ , 0 , 0 , 0) (\displaystyle (\frac (dx^(\beta)) (d\tau))\ok \left((\frac (dt)( d) \ tau)) 0,0,0 \ labi))un tāpēc
d d T (d T d τ) ≈ 0 (\displeja stils (\frac (d) (dt)) \ kreisi ((\ frac (dt) (d \ tau)) \ labi) \ aptuveni 0)un ka metrika un tās atvasinājumi ir aptuveni statiski un novirzes kvadrātā no Minkovska metrikas ir niecīgas. Piemērojot šos vienkāršojošos telpisko komponentu pieņēmumus, ģeodēziskais vienādojums iegūst
d 2 x i d t 2 ≈ − Γ 00 i (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(i)) (dt^(2)))\oc -\gamma _(00)^(i ))kur divi faktori DT/ diferenciālis dr tika atdalīti no. Tas samazinās tā Ņūtona ekvivalentu, ja
A (i)=(\tfrac(1)(2))g^(i\alpha)\left(G_(\alpha-0,0)+g_(0\alpha-,0)-g_(00 \ alfa) \ pa labi) \ ,.)Mūsu pieņēmumi alfa = es un laika (0) atvasinājumi, kas vienādi ar nulli. Tādējādi tas atvieglo
2 Φ , i ≈ g i j (- g 00 , j) ≈ - g 00 , i (\displaystyle 2\phi _(,i)\ok g^(ij)\left(-g_(00,j)\ right) \ labi -g_ (00, i) \)kas tiek darīts, ļaujot
g 00 ≈ - c 2 - 2 Φ , (\displaystyle g_(00)\oc -c^(2)-2\Phi \,.)Atsaucoties uz Einšteina vienādojumiem, mums ir nepieciešama tikai laika laika sastāvdaļa
R 00 = K (T 00 - 1 2 T g 00) (\displaystyle R_(00)=K\left(T_(00)-(\tfrac(1)(2))Tg_(00)\right))ātrumā un statiskā lauka pieņēmumā zems nozīmē, ka
T μ ν ≈ d i a g (T 00 , 0 , 0 , 0) ≈ d i a g (ρ c 4 , 0 , 0 , 0) , (\displaystyle T_(\mu\nu)\ok\mathrm (diag)\left(t_ (00),0,0,0\right)\ok\mathrm(diag)\left(\rho c^(4) 0,0,0\right)\,.) T = g α β T α β ≈ g 00 T 00 ≈ − 1 c 2 ρ c 4 = − ρ c 2(\displaystyle T=g^(\alpha \beta)T_(\alpha \beta)\ aptuveni r^ (00)t_(00)\ok -(\frac(1)(c^(2)))\rho c^(4)=-\rho c^(2)\,)un tāpēc
K (T 00 - 1 2 T g 00) ≈ K (ρ c 4 - 1 2 (- ρ c 2) (- c 2)) = 1 2 K ρ c 4, (\displaystyle K \left(T_( 00) )-(\tfrac(1)(2))Tg_(00)\right)\ok K\left(\ro c^(4)-(\tfrac(1)(2))\left(-\rho c ^(2)\right)\left(-c^(2)\right)\right)=(\tfrac(1)(2))K\Rho c^(4)\,.)No Ricci tenzora definīcijas
R 00 = Γ 00 , ρ ρ − Γ ρ 0 , 0 ρ + Γ ρ λ ρ Γ 00 λ − Γ 0 λ ρ Γ ρ 0 λ , (\displaystyle R_(00) \ R_ (00 ) = \ Gam ^(\)-ro\Gamma _(\Rho 0,0)^(\Rho)+\Gamma _(\Rho\Lambda)^(\Rho)\Gamma _(00)^(\Lambda)-\ Gamma_ (0\Lambda)^(\Rho)\Gamma_(\Rho 0)^(\Lambda)).Mūsu vienkāršotie pieņēmumi liek kvadrātiem Γ pazūd kopā ar laika atvasinājumiem
R 00 ≈ Γ 00, i i, (\displaystyle R_(00)\oc\gamma _(00,i)^(i)\,.)Iepriekš minēto vienādojumu apvienošana kopā
Φ , i i ≈ Γ 00, i i ≈ r 00 = K (T 00 − 1 2 T g 00) ≈ 1 2 K ρ s 4 (\displeja stils \Phi _(,II)\approx \Gamma _(0) ^(i)\about R_(00)=K\left(T_(00)-(\tfrac(1)(2)) Tg_(00)\right)\about(\tfrac(1)(2)) K \Rho c^(4))kas reducējas līdz Ņūtona lauka vienādojumam saskaņā ar nosacījumu
1 2 k ρ c 4 = 4 π g ρ (\displaystyle (\tfrac (1) (2)) k\rho c^(4)=4\r c\rho \,)kas notiks, ja
K = 8 π g c 4 , (\displaystyle k=(\frac (8\r g)(c^(4)))\,.)Vakuuma lauka vienādojumi
1979. gada Šveices monēta, kurā redzami vakuuma lauka vienādojumi ar nulles kosmoloģisko konstanti (augšā).
Ja enerģijas impulsa tensors T μν aplūkojamajā apgabalā ir nulle, tad lauka vienādojumus sauc arī par vakuuma lauka vienādojumiem. Ar iestatījumu T= 0 in , vakuuma vienādojumus var uzrakstīt kā
R μ ν = 0 , (\displaystyle R_(\mu \nu)=0\,.)Ja kosmoloģiskā konstante nav nulle, vienādojumi ar izzušanu
tiek izmantots, tad tiek saukti Einšteina lauka vienādojumi Einšteina-Maksvela vienādojumi(ar kosmoloģisko konstanti L, kas ir vienāda ar nulli parastajā relativitātes teorijā):
R α β − 1 2 R G α β + Λ G α β = 8 π G c 4 μ 0 (F α ψ F ψ β + 1 4 G α β F ψ τ F ψ τ) , (\displeja stils R^ alfa \beta) - (\tfrac (1) (2)) rg^(\alpha \beta) + \lambda g^(\alpha \beta) = (\frac (8\p g ) (c^( 4)\ mu_(0)))\left((F^(\alpha))^(\Psi)(F_(\Psi))^(\beta)+(\tfrac(1)(4)) g^(\alpha \beta)F_(\Psi\tau)F^(\Psi\tau)\right).)Einšteina vienādojumu precīzu atrisinājumu izpēte ir viena no kosmoloģijas aktivitātēm. Tas ļauj prognozēt melnos caurumus un dažādus Visuma evolūcijas modeļus.
Var arī atklāt jaunus risinājumus Einšteina lauka vienādojumiem, izmantojot ortonormālo kadru metodi, kā pionieris Eliss un Makkalums. Izmantojot šo pieeju, Einšteina lauka vienādojumi tiek reducēti līdz saistītu, nelineāru, parastu diferenciālvienādojumu kopai. Kā apsprieda Hsu un Veinraits, Einšteina lauka vienādojumiem līdzīgi risinājumi ir fiksēti punkti iegūtajā dinamiskajā sistēmā. Izmantojot šīs metodes, Leblanc un Coley un Haslam atklāja jaunus risinājumus. .
polinoma forma
Varētu domāt, ka EFE nav polinoms, jo tie satur metriskā tensora apgriezto vērtību. Tomēr vienādojumus var sakārtot tā, lai tie satur tikai metrisko tensoru, nevis tā apgriezto vērtību. Pirmkārt, var uzrakstīt metrikas noteicēju četrās kategorijās:
det(g) = 1 24 ε α β γ δ ε κ λ μ ν g α κ g β λ g γ μ g δ ν (\displaystyle \det(g)=(\tfrac(1)\varepsilon) ^(\alpha\beta\gamma\delta)\varepsilon^(\kappa\lambda\mu\nu)g_(\alpha\kappa)_(g\beta\lambda)_(g\gamma\mu) _(r \delta\nu)\,)izmantojot Levi-Civita simbolu; un apgriezto metriku 4 dimensijās var uzrakstīt šādi:
g α κ = 1 6 ε α β γ δ ε κ λ μ ν g β λ g γ μ g δ ν ye (g) , (\displaystyle g^(\alpha \kappa)=(\frac ((\tfrac) 1) (6)) \varepsilon^(\alpha\beta\gamma\delta)\varepsilon^(\kappa\lambda\mu\nu)_(r\beta\lambda)_(r\gamma\mu) _( r\delta\nu)) (\det(r)))\,.)Aizvietojot šo apgrieztās metrikas definīciju vienādojumā, pēc tam reizinot abas th ( G) līdz rezultātos paliek saucējs metriskā tenzora polinoma vienādojumos un tā pirmais un otrais atvasinājums. Darbību, no kuras iegūti vienādojumi, var arī uzrakstīt kā polinomu, izmantojot atbilstošu lauka pārdefinēšanu.
ārējā atsauce
| Vikigrāmatās ir grāmatas |
DEFINĪCIJA
Einšteina vienādojums- ļoti slavenā relativistiskās mehānikas formula - nosaka saikni starp ķermeņa masu miera stāvoklī un tā kopējo enerģiju:
Šeit ir ķermeņa kopējā enerģija (tā sauktā miera enerģija), ir tā , un tā ir viegla vakuumā, kas ir aptuveni vienāda ar m/s.
Einšteina vienādojums
Einšteina formula nosaka, ka masa un enerģija ir līdzvērtīgas viena otrai. Tas nozīmē, ka jebkuram ķermenim ir - atpūtas enerģija - proporcionāla tā masai. Savulaik daba tērēja enerģiju, lai saliktu šo ķermeni no elementārajām matērijas daļiņām, un atpūtas enerģija kalpo kā mērs šim darbam.
Patiešām, kad mainās ķermeņa iekšējā enerģija, tā masa mainās proporcionāli enerģijas izmaiņām:
Piemēram, kad ķermenis tiek uzkarsēts, palielinās tā iekšējā enerģija un palielinās ķermeņa masa. Tiesa, šīs izmaiņas ir tik mazas, ka ikdienā tās nepamanām: uzsildot 1 kg ūdens, tas kļūs smagāks par 4,7 10 -12 kg.
Turklāt masu var pārvērst enerģijā un otrādi. Masas pārvēršanās enerģijā notiek kodolreakcijas laikā: reakcijas rezultātā radušos kodolu un daļiņu masa ir mazāka par sadursmes kodolu un daļiņu masu, un iegūtais masas defekts tiek pārvērsts enerģijā. Un fotonu ražošanas laikā vairāki fotoni (enerģija) pārvēršas par elektronu, kas ir diezgan materiāls un kam ir miera masa.
Einšteina vienādojums kustīgam ķermenim
Kustīgam ķermenim Einšteina vienādojumi izskatās šādi:
Šajā formulā v ir ķermeņa kustības ātrums.
No pēdējās formulas var izdarīt vairākus svarīgus secinājumus:
1) Katram ķermenim ir noteikta enerģija, kas ir lielāka par nulli. Tāpēc title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="34" width="102" style="vertical-align: -11px;"> !}, kas nozīmē v
2) Dažām daļiņām - piemēram, fotoniem - nav masas, bet tām ir enerģija. Aizvietojot pēdējā formulā, mēs iegūtu kaut ko tādu, kas neatbilst realitātei, ja ne viens "bet": šīs daļiņas pārvietojas ar gaismas ātrumu c=3 10 8 m/s. Šajā gadījumā Einšteina formulas saucējs pazūd: tā nav piemērota bezmasas daļiņu enerģijas aprēķināšanai.
Einšteina formula parādīja, ka matērija satur kolosālu enerģijas krājumu - un tādējādi spēlēja nenovērtējamu lomu kodolenerģijas attīstībā, kā arī deva militārajai rūpniecībai atombumbu.
Problēmu risināšanas piemēri
1. PIEMĒRS
| Vingrinājums | -mezonam ir miera masa kg un tas pārvietojas ar ātrumu 0,8 s. Kas tas ir? |
| Risinājums | Atrodiet mezona ātrumu SI vienībās: Aprēķiniet mezona miera enerģiju, izmantojot Einšteina formulu: Kopējā mezona enerģija: Kopējā mezona enerģija sastāv no atpūtas enerģijas un kinētiskās enerģijas. Tātad kinētiskā enerģija ir: |
| Atbilde | Dž |