Mācību literatūra 

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība. Funkcijas lielākā un mazākā vērtība Funkcijas f x mazākā vērtība

Dažreiz uzdevumos B15 ir "sliktas" funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas bija tikai zondēs, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties šim eksāmenam, tos vairs nevar ignorēt.

Šajā gadījumā darbojas citi triki, no kuriem viens ir - monotoni.

Funkciju f (x) sauc par monotoni pieaugošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkciju f (x) sauc par monotoni samazinošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Citiem vārdiem sakot, pieaugošai funkcijai, jo lielāks ir x, jo lielāks ir f(x). Samazinošai funkcijai ir otrādi: jo vairāk x , jo mazāk f(x).

Piemēram, logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1 un monotoni samazinās, ja 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmētiskā kvadrātsakne (un ne tikai kvadrātsakne) monotoni palielinās visā definīcijas jomā:

Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā palielinās, ja a > 1 un samazinās, ja 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Visbeidzot, grādi ar negatīvu eksponentu. Varat tos rakstīt kā daļskaitli. Viņiem ir pārtraukuma punkts, kurā tiek pārtraukta monotonija.

Visas šīs funkcijas nekad nav atrodamas tīrā veidā. Tiem tiek pievienoti polinomi, daļskaitļi un citas muļķības, kuru dēļ ir grūti aprēķināt atvasinājumu. Kas notiek šajā gadījumā - tagad mēs analizēsim.

Parabolas virsotņu koordinātas

Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar kvadrātveida trinomāls formas y = ax 2 + bx + c . Tās grafiks ir standarta parabola, kas mūs interesē:

  1. Parabolas zari — var virzīties uz augšu (> 0) vai uz leju (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
  2. Parabolas virsotne ir kvadrātfunkcijas galējais punkts, kurā šī funkcija iegūst mazāko (ja > 0) vai lielāko (a< 0) значение.

Vislielākā interese ir parabolas augšdaļa, kuras abscisu aprēķina pēc formulas:

Tātad, mēs esam atraduši kvadrātiskās funkcijas galējo punktu. Bet, ja sākotnējā funkcija ir monotona, tai punkts x 0 būs arī galējais punkts. Tādējādi mēs formulējam galveno noteikumu:

Kvadrātveida trinoma ekstremālie punkti un sarežģīta funkcija, kurā tas nonāk, ir vienādi. Tāpēc kvadrātveida trinomālam varat meklēt x 0 un aizmirst par funkciju.

No iepriekš minētā sprieduma paliek neskaidrs, kādu punktu mēs iegūstam: maksimumu vai minimumu. Taču uzdevumi ir īpaši izstrādāti, lai tam nebūtu nozīmes. Spriediet paši:

  1. Problēmas stāvoklī nav segmenta. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus;
  2. Bet tāds punkts ir tikai viens - tā ir parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas tiek aprēķinātas burtiski mutiski un bez jebkādiem atvasinājumiem.

Tādējādi problēmas risinājums ir ievērojami vienkāršots un samazināts līdz diviem posmiem:

  1. Uzrakstiet parabolas vienādojumu y = ax 2 + bx + c un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: x 0 = −b /2a;
  2. Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja nav papildu nosacījumu, šī būs atbilde.

No pirmā acu uzmetiena šis algoritms un tā pamatojums var šķist sarežģīts. Es apzināti nepublicēju "pliku" risinājuma shēmu, jo šādu noteikumu nepārdomāta piemērošana ir pilna ar kļūdām.

Apsveriet patiesās problēmas no matemātikas izmēģinājuma eksāmena - tas ir tur šī tehnika notiek visbiežāk. Tajā pašā laikā mēs parūpēsimies, lai šādā veidā daudzas B15 problēmas kļūtu gandrīz verbālas.

Zem saknes ir kvadrātfunkcija y \u003d x 2 + 6x + 13. Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a \u003d 1\u003e 0.

Parabolas augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Tā kā parabolas zari ir vērsti uz augšu, punktā x 0 \u003d −3, funkcija y \u003d x 2 + 6x + 13 iegūst mazāko vērtību.

Sakne monotoni pieaug, tāpēc x 0 ir visas funkcijas minimālais punkts. Mums ir:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo a = 1 > 0.

Parabolas augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Tātad punktā x 0 = −1 kvadrātiskā funkcija iegūst mazāko vērtību. Bet funkcija y = log 2 x ir monotona, tāpēc:

y min = y (-1) = log 2 ((-1) 2 + 2 (-1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponents ir kvadrātfunkcija y = 1 − 4x − x 2 . Pārrakstīsim to normālā formā: y = −x 2 − 4x + 1.

Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola, kas sazarojas uz leju (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Sākotnējā funkcija ir eksponenciāla, tā ir monotoniska, tātad augstākā vērtība atradīsies atrastajā punktā x 0 = -2:

Uzmanīgs lasītājs noteikti pamanīs, ka mēs neesam izrakstījuši saknes un logaritma pieļaujamo vērtību apgabalu. Bet tas nebija vajadzīgs: iekšpusē ir funkcijas, kuru vērtības vienmēr ir pozitīvas.

Sekas no funkcijas darbības jomas

Dažreiz, lai atrisinātu uzdevumu B15, nepietiek tikai ar parabolas virsotnes atrašanu. Vēlamā vērtība var būt segmenta beigās, bet ne galējā punktā. Ja uzdevumā segments vispār nav norādīts, skatiet pielaides diapazons oriģinālā funkcija. Proti:

Vēlreiz pievērsiet uzmanību: nulle var būt zem saknes, bet nekad nav logaritmā vai daļskaitļa saucējā. Apskatīsim, kā tas darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību:

Zem saknes atkal ir kvadrātiskā funkcija: y \u003d 3 - 2x - x 2. Tās grafiks ir parabola, bet sazarojas uz leju, jo a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadrātsakne no negatīva skaitļa neeksistē.

Mēs izrakstām pieļaujamo vērtību apgabalu (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; viens]

Tagad atrodiet parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Punkts x 0 = −1 pieder ODZ segmentam - un tas ir labi. Tagad mēs ņemam vērā funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos:

y(−3) = y(1) = 0

Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums tiek lūgts atrast lielāko - tas ir skaitlis 2.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritma iekšpusē ir kvadrātfunkcija y \u003d 6x - x 2 - 5. Šī ir parabola ar zariem uz leju, bet logaritmā nevar būt negatīvi skaitļi, tāpēc mēs izrakstām ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tādā veidā logaritms atšķiras no saknes, kur segmenta gali mums piestāv diezgan labi.

Meklē parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolas augšdaļa iederas gar ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet, tā kā segmenta gali mūs neinteresē, mēs ņemam vērā funkcijas vērtību tikai punktā x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Ļaujiet funkcijai y=f(X) nepārtraukts segmentā [ a, b]. Kā zināms, šāda funkcija šajā segmentā sasniedz maksimālo un minimālo vērtību. Funkcija var ņemt šīs vērtības vai nu segmenta iekšējā punktā [ a, b] vai uz segmenta robežas.

Lai atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības segmentā [ a, b] nepieciešams:

1) atrodiet funkcijas kritiskos punktus intervālā ( a, b);

2) aprēķina funkcijas vērtības atrastajos kritiskajos punktos;

3) aprēķina funkcijas vērtības segmenta galos, tas ir, par x=bet un x = b;

4) no visām aprēķinātajām funkcijas vērtībām izvēlieties lielāko un mazāko.

Piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

segmentā.

Kritisko punktu atrašana:

Šie punkti atrodas segmenta iekšpusē; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

punktā x= 3 un punktā x= 0.

Funkcijas izliekuma un lēciena punkta izpēte.

Funkcija y = f (x) sauca izliekta starp (a, b) , ja tā grafiks atrodas zem pieskares, kas novilkta jebkurā šī intervāla punktā, un tiek izsaukta izliekta uz leju (ieliekta) ja tā grafiks atrodas virs pieskares.

Tiek saukts pārejas punkts, caur kuru izliekums tiek aizstāts ar ieliekumu vai otrādi lēciena punkts.

Algoritms izliekuma un lēciena punkta izpētei:

1. Atrodiet otrā veida kritiskos punktus, tas ir, punktus, kuros otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

2. Novietojiet kritiskos punktus uz skaitļu līnijas, sadalot to intervālos. Atrodi katrā intervālā otrā atvasinājuma zīmi; ja , tad funkcija ir izliekta uz augšu, ja, tad funkcija ir izliekta uz leju.

3. Ja, ejot cauri otra veida kritiskajam punktam, tas maina zīmi un šajā punktā otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli, tad šis punkts ir lēciena punkta abscisa. Atrodi tās ordinātas.

Funkcijas grafika asimptotes. Funkcijas izpēte asimptotos.

Definīcija. Funkcijas grafika asimptoti sauc taisni, kam ir īpašība, ka attālumam no jebkura grafika punkta līdz šai līnijai ir tendence uz nulli, neierobežotu grafiku noņemot no sākuma punkta.

Ir trīs veidu asimptoti: vertikāli, horizontāli un slīpi.

Definīcija. Tiešais zvans vertikālā asimptote funkciju grafiks y = f(x), ja vismaz viena no funkcijas vienpusējām robežām šajā punktā ir vienāda ar bezgalību, tas ir

kur ir funkcijas pārtraukuma punkts, tas ir, tā neietilpst definīcijas jomā.

Piemērs.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - lūzuma punkts.

Definīcija. Taisni y=A sauca horizontālā asimptote funkciju grafiks y = f(x) pie , ja

Piemērs.

x

y

Definīcija. Taisni y=kx +b (k≠ 0) tiek izsaukts slīps asimptote funkciju grafiks y = f(x) kur

Vispārīga shēma funkciju izpētei un uzzīmēšanai.

Funkciju izpētes algoritmsy = f(x) :

1. Atrodiet funkcijas domēnu D (y).

2. Atrodiet (ja iespējams) grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm (ar x= 0 un plkst y = 0).

3. Izpētiet pāra un nepāra funkcijas ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritāte; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nepāra).

4. Atrodiet funkcijas grafa asimptotus.

5. Atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6. Atrodiet funkcijas galējību.

7. Atrodiet funkcijas grafika izliekuma (ieliekuma) un lēciena punktu intervālus.

8. Pamatojoties uz veikto pētījumu, sastādiet funkcijas grafiku.

Piemērs. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

1) D (y) =

x= 4 - lūzuma punkts.

2) Kad x = 0,

(0; – 5) – krustošanās punkts ar oi.

Plkst y = 0,

3) y(‒ x)= vispārējā funkcija (ne pāra, ne nepāra).

4) Mēs izmeklējam asimptotus.

a) vertikāli

b) horizontāli

c) atrast slīpi asimptotus kur

‒slīpu asimptotu vienādojums

5) Šajā vienādojumā nav nepieciešams atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6)

Šie kritiskie punkti sadala visu funkcijas domēnu intervālā (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) un (10; +∞). Iegūtos rezultātus ir ērti attēlot šādas tabulas veidā:

bez papildus.

No tabulas var redzēt, ka punkts X= ‒2‒maksimālais punkts, punktā X= 4‒ bez galējībām, X= 10 – minimālais punkts.

Aizvietojiet vērtību (‒ 3) vienādojumā:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Šīs funkcijas maksimums ir

(– 2; – 4) – maksimālais ekstrēms.

Šīs funkcijas minimums ir

(10; 20) ir minimālā galējība.

7) pārbauda funkcijas grafika izliekuma un lēciena punktu


Praksē ir diezgan bieži izmantot atvasinājumu, lai aprēķinātu funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Šo darbību veicam, kad izdomājam, kā minimizēt izmaksas, palielināt peļņu, aprēķināt optimālo ražošanas slodzi utt., tas ir, gadījumos, kad nepieciešams noteikt parametra optimālo vērtību. Lai pareizi atrisinātu šādas problēmas, ir labi jāsaprot, kāda ir funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Parasti šīs vērtības mēs definējam kādā intervālā x, kas savukārt var atbilst visai funkcijas vai tās daļai. Tas var būt vai nu segments [ a ; b ] , un atvērts intervāls (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) , bezgalīgs intervāls (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) vai bezgalīgs intervāls - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šajā rakstā mēs aprakstīsim, kā tiek aprēķināta nepārprotami dotas funkcijas lielākā un mazākā vērtība ar vienu mainīgo y=f(x) y = f (x).

Pamatdefinīcijas

Mēs sākam, kā vienmēr, ar galveno definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Funkcijas y = f (x) lielākā vērtība kādā intervālā x ir vērtība maxy = f (x 0) x ∈ X , kas jebkurai vērtībai xx ∈ X , x ≠ x 0 veido nevienādību f (x ) ≤ f (x 0) .

2. definīcija

Funkcijas y = f (x) mazākā vērtība kādā intervālā x ir vērtība minx ∈ X y = f (x 0) , kas jebkurai vērtībai x ∈ X , x ≠ x 0 veido nevienādību f(X f (x) ≥ f(x0) .

Šīs definīcijas ir diezgan acīmredzamas. Vēl vienkāršāk varat teikt: funkcijas lielākā vērtība ir tās lielākā vērtība liela nozīme zināmā intervālā pie abscises x 0, un mazākā ir mazākā pieņemtā vērtība tajā pašā intervālā pie x 0.

3. definīcija

Stacionārie punkti ir tādas funkcijas argumenta vērtības, pie kurām tā atvasinājums kļūst par 0.

Kāpēc mums jāzina, kas ir stacionārie punkti? Lai atbildētu uz šo jautājumu, jāatceras Fermā teorēma. No tā izriet, ka stacionārs punkts ir punkts, kurā atrodas diferencējamas funkcijas gals (t.i., tās lokālais minimums vai maksimums). Līdz ar to funkcija noteiktā intervālā ieņems mazāko vai lielāko vērtību tieši vienā no stacionārajiem punktiem.

Cita funkcija var iegūt lielāko vai mazāko vērtību tajos punktos, kuros pati funkcija ir noteikta un tās pirmais atvasinājums neeksistē.

Pirmais jautājums, kas rodas, pētot šo tēmu, ir: vai visos gadījumos mēs varam noteikt funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību noteiktā intervālā? Nē, mēs to nevaram izdarīt, ja dotā intervāla robežas sakritīs ar definīcijas apgabala robežām vai ja mums ir darīšana ar bezgalīgu intervālu. Gadās arī, ka funkcija noteiktā intervālā vai bezgalībā pieņems bezgalīgi mazas vai bezgala lielas vērtības. Šajos gadījumos nav iespējams noteikt lielāko un/vai mazāko vērtību.

Šie mirkļi kļūs saprotamāki pēc attēla grafikos:

Pirmajā attēlā parādīta funkcija, kas iegūst lielākās un mazākās vērtības (m a x y un m i n y) stacionārajos punktos, kas atrodas intervālā [ - 6 ; 6].

Sīkāk apskatīsim otrajā grafikā norādīto gadījumu. Mainīsim segmenta vērtību uz [ 1 ; 6] un iegūstam, ka lielākā funkcijas vērtība tiks sasniegta punktā ar abscisu intervāla labajā malā, bet mazākā - stacionārajā punktā.

Trešajā attēlā punktu abscises attēlo nogriežņa robežpunktus [ - 3 ; 2]. Tie atbilst dotās funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Tagad apskatīsim ceturto attēlu. Tajā funkcija ņem m a x y (lielākā vērtība) un m i n y (mazākā vērtība) stacionārajos punktos atvērtajā intervālā (- 6 ; 6) .

Ja ņemam intervālu [ 1 ; 6) , tad varam teikt, ka tajā esošās funkcijas mazākā vērtība tiks sasniegta stacionārā punktā. Mēs neuzzināsim maksimālo vērtību. Funkcija varētu iegūt lielāko vērtību pie x, kas vienāda ar 6, ja x = 6 piederētu intervālam. Tieši šis gadījums ir parādīts 5. attēlā.

6. grafikā šī funkcija iegūst mazāko vērtību intervāla labajā malā (- 3 ; 2 ] ), un mēs nevaram izdarīt konkrētus secinājumus par lielāko vērtību.

7. attēlā redzams, ka funkcijai būs m a x y stacionārajā punktā, kuras abscisa ir vienāda ar 1 . Funkcija sasniedz savu minimālo vērtību pie intervāla robežas labajā pusē. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3 .

Ja ņemam intervālu x ∈ 2 ; + ∞ , tad redzēsim, ka dotā funkcija neuzņems tai ne mazāko, ne lielāko vērtību. Ja x tiecas uz 2, tad funkcijas vērtībām ir tendence mīnus bezgalība, jo taisne x = 2 ir vertikāla asimptote. Ja abscisai ir tendence uz plus bezgalību, tad funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3. Šis ir gadījums, kas parādīts 8. attēlā.

Šajā rindkopā mēs sniegsim darbību secību, kas jāveic, lai noteiktā intervālā atrastu funkcijas lielāko vai mazāko vērtību.

  1. Vispirms atradīsim funkcijas domēnu. Pārbaudīsim, vai nosacījumā norādītais segments tajā ir iekļauts.
  2. Tagad aprēķināsim šajā segmentā ietvertos punktus, kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Visbiežāk tos var atrast funkcijās, kuru arguments ir rakstīts zem moduļa zīmes, vai pakāpju funkcijās, kuru eksponents ir daļēji racionāls skaitlis.
  3. Tālāk mēs noskaidrojam, kuri stacionārie punkti ietilpst noteiktā segmentā. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina funkcijas atvasinājums, pēc tam jāpielīdzina 0 un jāatrisina iegūtais vienādojums un pēc tam jāizvēlas atbilstošās saknes. Ja mēs neiegūstam nevienu stacionāru punktu vai tie neietilpst noteiktā segmentā, mēs pārejam pie nākamās darbības.
  4. Noskaidrosim, kādas vērtības funkcija iegūs dotajos stacionārajos punktos (ja tādi ir), vai tajos punktos, kur pirmā atvasinājuma nav (ja tāds ir), vai arī aprēķināsim vērtības x = a un x = b .
  5. 5. Mums ir virkne funkciju vērtību, no kurām tagad jāizvēlas lielākā un mazākā. Šīs būs lielākās un mazākās funkcijas vērtības, kas mums jāatrod.

Apskatīsim, kā pareizi pielietot šo algoritmu, risinot problēmas.

1. piemērs

Stāvoklis: ir dota funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nosakiet tā lielāko un mazāko vērtību segmentos [1; 4 ] un [ - 4 ; - viens].

Risinājums:

Sāksim ar šīs funkcijas domēna atrašanu. Šajā gadījumā tā būs visu reālo skaitļu kopa, izņemot 0 . Citiem vārdiem sakot, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Abi nosacījumā norādītie segmenti atradīsies definīcijas apgabalā.

Tagad mēs aprēķinām funkcijas atvasinājumu saskaņā ar daļskaitļa diferenciācijas likumu:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Mēs uzzinājām, ka funkcijas atvasinājums pastāvēs visos segmentu punktos [1; 4 ] un [ - 4 ; - viens].

Tagad mums ir jānosaka funkcijas stacionārie punkti. Darīsim to ar vienādojumu x 3 - 8 x 3 = 0. Tam ir tikai viena reāla sakne, kas ir 2. Tas būs stacionārs funkcijas punkts un iekritīs pirmajā segmentā [1; 4 ] .

Aprēķināsim funkcijas vērtības pirmā segmenta galos un dotajā punktā, t.i. ja x = 1 , x = 2 un x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Esam ieguvuši, ka funkcijas m a x y x ∈ lielākā vērtība [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 tiks sasniegts pie x = 1, un mazākais m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pie x = 2 .

Otrajā segmentā nav iekļauti stacionāri punkti, tāpēc mums ir jāaprēķina funkciju vērtības tikai konkrētā segmenta galos:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tādējādi m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atbilde: Segmentam [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 segmentam [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Skatīt attēlu:


Pirms studijām šādā veidā, iesakām atkārtot, kā pareizi aprēķināt vienpusējo robežu un robežu bezgalībā, kā arī apgūt pamatmetodes to atrašanai. Lai atklātā vai bezgalīgā intervālā atrastu funkcijas lielāko un/vai mazāko vērtību, mēs secīgi veicam šādas darbības.

  1. Vispirms ir jāpārbauda, ​​vai dotais intervāls būs dotās funkcijas domēna apakškopa.
  2. Noteiksim visus punktus, kas ietverti vajadzīgajā intervālā un kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Parasti tie rodas funkcijās, kur arguments ir ietverts moduļa zīmē, un jaudas funkcijās ar daļēji racionālu eksponentu. Ja šo punktu trūkst, varat pāriet uz nākamo darbību.
  3. Tagad mēs nosakām, kuri stacionārie punkti ietilpst noteiktā intervālā. Pirmkārt, mēs pielīdzinām atvasinājumu 0, atrisinām vienādojumu un atrodam piemērotas saknes. Ja mums nav neviena stacionāra punkta vai tie neietilpst norādītajā intervālā, mēs nekavējoties pārejam pie turpmākajām darbībām. Tos nosaka intervāla veids.
  • Ja intervāls izskatās kā [ a ; b) , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = a un vienpusējā robeža lim x → b - 0 f (x) .
  • Ja intervālam ir forma (a ; b ] , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = b un vienpusējā robeža lim x → a + 0 f (x) .
  • Ja intervālam ir forma (a ; b) , tad jāaprēķina vienpusējās robežas lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
  • Ja intervāls izskatās kā [ a ; + ∞) , tad jāaprēķina vērtība punktā x = a un plus bezgalības robeža lim x → + ∞ f (x) .
  • Ja intervāls izskatās kā (- ∞ ; b ] , mēs aprēķinām vērtību punktā x = b un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x) .
  • Ja - ∞ ; b , tad mēs uzskatām vienpusējo robežu lim x → b - 0 f (x) un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x)
  • Ja - ∞ ; + ∞ , tad ņemam vērā mīnus un plus bezgalības robežas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
  1. Beigās ir jāizdara secinājums, pamatojoties uz iegūtajām funkcijas un robežvērtībām. Šeit ir daudz iespēju. Tātad, ja vienpusējā robeža ir vienāda ar mīnus bezgalību vai plus bezgalību, tad uzreiz ir skaidrs, ka par funkcijas mazāko un lielāko vērtību neko nevar teikt. Tālāk mēs aplūkosim vienu tipisku piemēru. Detalizēti apraksti palīdzēt saprast, kas ir kas. Ja nepieciešams, varat atgriezties pie 4. - 8. attēla materiāla pirmajā daļā.
2. piemērs

Nosacījums: dota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Aprēķināt tā lielāko un mazāko vērtību intervālos - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; +∞) .

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam funkcijas domēnu. Daļas saucējs ir kvadrātveida trijstūris, kuram nevajadzētu būt 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Esam ieguvuši funkcijas apjomu, kuram pieder visi nosacījumā norādītie intervāli.

Tagad atšķirsim funkciju un iegūsim:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Līdz ar to funkcijas atvasinājumi pastāv visā tās definīcijas jomā.

Pāriesim pie stacionāro punktu atrašanas. Funkcijas atvasinājums kļūst par 0 pie x = - 1 2 . Šis ir stacionārs punkts, kas atrodas intervālos (- 3 ; 1 ] un (- 3 ; 2).

Aprēķināsim funkcijas vērtību pie x = - 4 intervālam (- ∞ ; - 4 ] , kā arī robežu pie mīnus bezgalības:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tā kā 3 e 1 6 - 4 > - 1, tad maxyx ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tas neļauj viennozīmīgi noteikt funkcijas mazāko vērtību. Mēs varam tikai secināt, ka ir robeža zem -1, jo tieši šai vērtībai funkcija tuvojas asimptotiski pie mīnus bezgalības.

Otrā intervāla iezīme ir tāda, ka tam nav neviena stacionāra punkta un nevienas stingras robežas. Tāpēc mēs nevaram aprēķināt ne lielāko, ne mazāko funkcijas vērtību. Definējot robežu pie mīnus bezgalības un kā argumentam ir tendence uz -3 kreisajā pusē, mēs iegūstam tikai vērtību diapazonu:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tas nozīmē, ka funkciju vērtības atradīsies intervālā -1; +∞

Lai atrastu funkcijas maksimālo vērtību trešajā intervālā, nosakām tās vērtību stacionārajā punktā x = - 1 2, ja x = 1 . Mums ir jāzina arī vienpusēja robeža gadījumam, kad arguments tiecas uz - 3 labajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 g (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Izrādījās, ka funkcijai būs vislielākā vērtība stacionārajā punktā maxyx ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kas attiecas uz mazāko vērtību, tad to nevaram noteikt. Viss, ko mēs zināt , ir zemākās robežas klātbūtne līdz - 4 .

Intervālam (- 3 ; 2) ņemsim iepriekšējā aprēķina rezultātus un vēlreiz aprēķināsim, ar ko vienāda vienpusējā robeža, tiecoties uz 2 no kreisās puses:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Tādējādi m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , un mazāko vērtību nevar noteikt, un funkcijas vērtības no apakšas ierobežo skaitlis - 4 .

Pamatojoties uz to, ko darījām divos iepriekšējos aprēķinos, mēs varam apgalvot, ka intervālā [1; 2) funkcijai būs vislielākā vērtība pie x = 1, un nav iespējams atrast mazāko.

Intervālā (2 ; + ∞) funkcija nesasniegs ne lielāko, ne mazāko vērtību, t.i. tas ņems vērtības no intervāla - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aprēķinot, ar ko būs vienāda funkcijas vērtība pie x = 4, mēs uzzinām, ka m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , un dotā funkcija plus bezgalībā asimptotiski tuvosies taisnei y = - 1 .

Salīdzināsim katrā aprēķinā iegūto ar dotās funkcijas grafiku. Attēlā asimptoti ir parādīti ar punktētām līnijām.

Tas ir viss, ko mēs gribējām runāt par funkcijas lielākās un mazākās vērtības atrašanu. Mūsu sniegtās darbību secības palīdzēs jums veikt nepieciešamos aprēķinus pēc iespējas ātrāk un vienkāršāk. Taču atcerieties, ka bieži vien ir lietderīgi vispirms noskaidrot, kādos intervālos funkcija samazināsies un kādos palielināsies, pēc tam var izdarīt turpmākus secinājumus. Tātad jūs varat precīzāk noteikt funkcijas lielāko un mazāko vērtību un pamatot rezultātus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

2020. gada jūlijā NASA uzsāk ekspedīciju uz Marsu. kosmosa kuģis nogādās uz Marsu elektronisku nesēju ar visu reģistrēto ekspedīcijas dalībnieku vārdiem.


Ja šī ziņa atrisināja jūsu problēmu vai jums tas vienkārši patika, kopīgojiet saiti uz to ar draugiem sociālajos tīklos.

Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem Un vai tieši aiz atzīmes . Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski izseko un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ielīmēsit otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.

Vienkāršākais veids, kā izveidot savienojumu ar MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro ielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas ir viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs iegult matemātikas formulas savās tīmekļa lapās.

Kārtējais Jaungada vakars... sals un sniegpārslas uz loga stikla... Tas viss pamudināja vēlreiz rakstīt par... fraktāļiem, un ko par to zina Volframs Alfa. Šajā gadījumā ir interesants raksts, kurā ir divdimensiju fraktāļu struktūru piemēri. Šeit mēs apskatīsim vairāk sarežģīti piemēri trīsdimensiju fraktāļi.

Fraktāli var vizuāli attēlot (aprakstīt) kā ģeometrisku figūru vai ķermeni (kas nozīmē, ka abi ir kopa, Šis gadījums, punktu kopa), kuras detaļām ir tāda pati forma kā pašai oriģinālajai figūrai. Tas ir, tā ir sev līdzīga struktūra, kuras detaļas, ņemot vērā tās palielinājumu, mēs redzēsim tādu pašu formu kā bez palielinājuma. Savukārt parastā gadījumā ģeometriskā figūra(nevis fraktālis), pietuvinot, mēs redzēsim detaļas, kurām ir vairāk vienkārša forma nekā pati sākotnējā forma. Piemēram, ar pietiekami lielu palielinājumu daļa elipses izskatās kā taisnas līnijas segments. Ar fraktāļiem tas nenotiek: ar to pieaugumu mēs atkal redzēsim to pašu sarežģīto formu, kas ar katru pieaugumu atkārtosies atkal un atkal.

Fraktāļu zinātnes pamatlicējs Benuā Mandelbrots savā rakstā Fractals and Art for Science rakstīja: "Fraktāļi ir ģeometriskas formas, kas vienādi sarežģīti gan to detaļās, gan vispārējā formā. Tas ir, ja fraktāļa daļa tiek palielināta līdz veseluma izmēram, tā izskatīsies kā veselums vai nu precīzi, vai varbūt ar nelielu deformāciju.


No praktiskā viedokļa visinteresantākā ir atvasinājuma izmantošana, lai atrastu funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Ar ko tas saistīts? Peļņas maksimizēšana, izmaksu minimizēšana, iekārtu optimālās slodzes noteikšana... Proti, daudzās dzīves jomās ir jāatrisina dažu parametru optimizācijas problēma. Un šī ir problēma, kā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Jāņem vērā, ka lielākā un mazākā funkcijas vērtība parasti tiek meklēta kādā intervālā X , kas ir vai nu viss funkcijas domēns, vai tā daļa. Pats intervāls X var būt līnijas segments, atvērts intervāls , bezgalīgs intervāls.

Šajā rakstā mēs runāsim par viena mainīgā y=f(x) skaidri norādītas funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu.

Lapas navigācija.

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība - definīcijas, ilustrācijas.

Īsi pakavēsimies pie galvenajām definīcijām.

Funkcijas lielākā vērtība , kas jebkurai nevienlīdzība ir patiesa.

Funkcijas mazākā vērtība y=f(x) intervālā X sauc par šādu vērtību , kas jebkurai nevienlīdzība ir patiesa.

Šīs definīcijas ir intuitīvas: lielākā (mazākā) funkcijas vērtība ir lielākā (mazākā) vērtība, kas pieņemta aplūkotajā intervālā ar abscisu.

Stacionāri punkti ir argumenta vērtības, pie kurām funkcijas atvasinājums pazūd.

Kāpēc mums ir nepieciešami stacionāri punkti, atrodot lielākās un mazākās vērtības? Atbildi uz šo jautājumu sniedz Fermā teorēma. No šīs teorēmas izriet, ka, ja diferencējamai funkcijai kādā brīdī ir ekstrēmums (lokālais minimums vai lokālais maksimums), tad šis punkts ir stacionārs. Tādējādi funkcija bieži vien ņem maksimālo (mazāko) vērtību intervālā X vienā no šī intervāla stacionārajiem punktiem.

Arī funkcija bieži var iegūt lielākās un mazākās vērtības punktos, kur šīs funkcijas pirmais atvasinājums nepastāv, un pati funkcija ir definēta.

Uzreiz atbildēsim uz vienu no visbiežāk uzdotajiem jautājumiem par šo tēmu: "Vai vienmēr ir iespējams noteikt funkcijas lielāko (mazāko) vērtību"? Nē ne vienmēr. Dažkārt intervāla X robežas sakrīt ar funkcijas apgabala robežām, vai arī intervāls X ir bezgalīgs. Un dažas funkcijas bezgalībā un uz definīcijas apgabala robežām var iegūt gan bezgalīgi lielas, gan bezgalīgi mazas vērtības. Šajos gadījumos neko nevar teikt par funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

Skaidrības labad mēs sniedzam grafisku ilustrāciju. Apskatiet attēlus - un daudz kas kļūs skaidrs.

Uz segmentu


Pirmajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos segmenta iekšpusē [-6;6].

Apsveriet gadījumu, kas parādīts otrajā attēlā. Mainiet segmentu uz . Šajā piemērā mazākā funkcijas vērtība tiek sasniegta stacionārā punktā, bet lielākā - punktā ar abscisu, kas atbilst intervāla labajai robežai.

Attēlā Nr.3 segmenta [-3; 2] robežpunkti ir to punktu abscises, kas atbilst funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Atklātā diapazonā


Ceturtajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos atvērtajā intervālā (-6;6).

Intervālā nevar izdarīt secinājumus par lielāko vērtību.

Bezgalībā


Septītajā attēlā redzamajā piemērā funkcija iegūst lielāko vērtību (max y ) stacionārā punktā ar abscisu x=1, un mazākā vērtība (min y ) tiek sasniegta pie intervāla labās robežas. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y=3.

Intervālā funkcija nesasniedz ne mazāko, ne lielāko vērtību. Tā kā x=2 tiecas uz labo pusi, funkciju vērtībām ir tendence mīnus bezgalība (taisne x=2 ir vertikāla asimptote), un, tā kā abscisai ir tendence plus bezgalība, funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y=3. . Šī piemēra grafisks attēls ir parādīts 8. attēlā.

Algoritms nepārtrauktas funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanai segmentā.

Mēs uzrakstām algoritmu, kas ļauj mums atrast segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

  1. Mēs atrodam funkcijas domēnu un pārbaudām, vai tajā ir viss segments.
  2. Mēs atrodam visus punktus, kuros pirmais atvasinājums neeksistē un kuri ir ietverti segmentā (parasti šādi punkti rodas funkcijās ar argumentu zem moduļa zīmes un pakāpju funkcijās ar daļskaitļu-racionālu eksponentu). Ja šādu punktu nav, tad pārejiet uz nākamo punktu.
  3. Mēs nosakām visus stacionāros punktus, kas ietilpst segmentā. Lai to izdarītu, mēs to pielīdzinām nullei, atrisinām iegūto vienādojumu un izvēlamies atbilstošās saknes. Ja nav stacionāru punktu vai neviens no tiem neietilpst segmentā, pārejiet uz nākamo soli.
  4. Mēs aprēķinām funkcijas vērtības izvēlētajos stacionārajos punktos (ja tādi ir), punktos, kur pirmā atvasinājuma nav (ja tāds ir), kā arī pie x=a un x=b .
  5. No iegūtajām funkcijas vērtībām mēs izvēlamies lielāko un mazāko - tās būs attiecīgi vēlamās funkcijas maksimālās un mazākās vērtības.

Analizēsim algoritmu, risinot piemēru, lai segmentā atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

  • uz segmenta;
  • uz intervālu [-4;-1] .

Risinājums.

Funkcijas domēns ir visa reālo skaitļu kopa, izņemot nulli, tas ir, . Abi segmenti ietilpst definīcijas jomā.

Mēs atrodam funkcijas atvasinājumu attiecībā uz:

Acīmredzot funkcijas atvasinājums pastāv visos segmentu punktos un [-4;-1] .

Stacionāros punktus nosaka pēc vienādojuma . Vienīgā reālā sakne ir x=2 . Šis stacionārais punkts ietilpst pirmajā segmentā.

Pirmajā gadījumā mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un stacionārā punktā, tas ir, x=1 , x=2 un x=4 :

Tāpēc lielākā funkcijas vērtība tiek sasniegts pie x=1 un mazākās vērtības – pie x=2 .

Otrajā gadījumā funkcijas vērtības aprēķinām tikai segmenta [-4;-1] galos (jo tajā nav neviena stacionāra punkta):

Risinājums.

Sāksim ar funkcijas darbības jomu. Kvadrātveida trinomāls daļskaitļa saucējā nedrīkst pazust:

Ir viegli pārbaudīt, vai visi intervāli no problēmas stāvokļa pieder funkcijas domēnam.

Atšķirsim funkciju:

Acīmredzot atvasinājums pastāv visā funkcijas domēnā.

Atradīsim stacionārus punktus. Atvasinājums pazūd pie . Šis stacionārais punkts ietilpst intervālos (-3;1] un (-3;2) .

Un tagad jūs varat salīdzināt katrā punktā iegūtos rezultātus ar funkcijas grafiku. Zilas punktētas līnijas norāda uz asimptotiem.

Tas var beigties ar funkcijas lielākās un mazākās vērtības atrašanu. Šajā rakstā aplūkotie algoritmi ļauj iegūt rezultātus ar minimālu darbību skaitu. Taču var būt lietderīgi vispirms noteikt funkcijas pieauguma un samazinājuma intervālus un tikai pēc tam izdarīt secinājumus par funkcijas lielāko un mazāko vērtību jebkurā intervālā. Tas sniedz skaidrāku priekšstatu un stingru rezultātu pamatojumu.