Apgrieztā matrica, izmantojot identitātes matricu. Apgrieztās matricas atrašana tiešsaistē

Jebkurai nevienskaitļa matricai A ir unikāla matrica A -1 tāda, ka

A*A-1 =A-1 *A = E,

kur E ir tādas pašas kārtas identitātes matrica kā A. Matricu A -1 sauc par matricas A inverso.

Ja kāds ir aizmirsis, identitātes matricā, izņemot diagonāli, kas aizpildīta ar vieniniekiem, visas pārējās pozīcijas ir aizpildītas ar nullēm, identitātes matricas piemērs:

Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot adjoint matricas metodi

Apgriezto matricu definē pēc formulas:

kur A ij - elementi a ij.

Tie. Lai aprēķinātu apgriezto matricu, jāaprēķina šīs matricas determinants. Pēc tam atrodiet algebriskos papildinājumus visiem tā elementiem un izveidojiet no tiem jaunu matricu. Tālāk jums ir jātransportē šī matrica. Un sadaliet katru jaunās matricas elementu ar sākotnējās matricas determinantu.

Apskatīsim dažus piemērus.

Atrodiet A -1 matricai

Risinājums Atradīsim A -1, izmantojot adjoint matricas metodi. Mums ir det A = 2. Atradīsim matricas A elementu algebriskos papildinājumus. šajā gadījumā matricas elementu algebriskie papildinājumi būs pašas matricas atbilstošie elementi, kas ņemti ar zīmi saskaņā ar formulu

Mums ir A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Mēs veidojam adjoint matricu

Mēs transportējam matricu A*:

Mēs atrodam apgriezto matricu, izmantojot formulu:

Mēs iegūstam:

Izmantojot adjoint matricas metodi, atrodiet A -1 ja

Risinājums Vispirms mēs aprēķinām šīs matricas definīciju, lai pārbaudītu apgrieztās matricas esamību. Mums ir

Šeit mēs pievienojām otrās rindas elementiem trešās rindas elementus, kas iepriekš reizināti ar (-1), un pēc tam paplašinājām otrās rindas determinantu. Tā kā šīs matricas definīcija nav nulle, pastāv tās apgrieztā matrica. Lai izveidotu adjungēto matricu, mēs atrodam šīs matricas elementu algebriskos papildinājumus. Mums ir

Pēc formulas

transporta matrica A*:

Tad pēc formulas

Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot elementāro pārveidojumu metodi

Papildus apgrieztās matricas atrašanas metodei, kas izriet no formulas (adjoint matricas metode), ir arī metode apgrieztās matricas atrašanai, ko sauc par elementāro pārveidojumu metodi.

Elementārās matricas transformācijas

Šādas transformācijas sauc par elementārās matricas transformācijām:

1) rindu (kolonnu) pārkārtošana;

2) rindu (kolonnu) reizinot ar skaitli, kas nav nulle;

3) rindas (kolonnas) elementiem pievienojot citas rindas (kolonnas) atbilstošos elementus, kas iepriekš reizināti ar noteiktu skaitli.

Lai atrastu matricu A -1, mēs izveidojam taisnstūra matricu B = (A|E) ar secībām (n; 2n), piešķirot matricai A labajā pusē identitātes matricu E caur dalīšanas līniju:

Apskatīsim piemēru.

Izmantojot elementāro pārveidojumu metodi, atrodiet A -1, ja

Risinājums Veidojam matricu B:

Apzīmēsim matricas B rindas ar α 1, α 2, α 3. Matricas B rindās veiksim šādas transformācijas.

Lai ir n-tās kārtas kvadrātveida matrica

Tiek izsaukta matrica A -1 apgrieztā matrica attiecībā pret matricu A, ja A*A -1 = E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica.

Identitātes matrica- tāda kvadrātveida matrica, kurā visi elementi gar galveno diagonāli, kas iet no augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri, ir vieni, bet pārējie ir nulles, piemēram:

apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām tie. tām matricām, kurās rindu un kolonnu skaits sakrīt.

Teorēma apgrieztas matricas pastāvēšanas nosacījumam

Lai matricai būtu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā nebūtu vienskaitlī.

Tiek izsaukta matrica A = (A1, A2,...A n). nav deģenerēts, ja kolonnu vektori ir lineāri neatkarīgi. Matricas lineāri neatkarīgo kolonnu vektoru skaitu sauc par matricas rangu. Tāpēc mēs varam teikt, ka, lai pastāvētu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai matricas rangs būtu vienāds ar tās dimensiju, t.i. r = n.

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai

Tabulā ierakstiet matricu A vienādojumu sistēmu atrisināšanai pēc Gausa metodes un piešķiriet tai matricu E labajā pusē (vienādojumu labās puses vietā).
Izmantojot Jordan transformācijas, reducēt matricu A līdz matricai, kas sastāv no vienību kolonnām; šajā gadījumā ir nepieciešams vienlaicīgi pārveidot matricu E.
Ja nepieciešams, pārkārtojiet pēdējās tabulas rindas (vienādojumus), lai zem sākotnējās tabulas matricas A iegūtu identitātes matricu E.
Pierakstiet apgriezto matricu A -1, kas atrodas pēdējā tabulā zem sākotnējās tabulas matricas E.

1. piemērs

Matricai A atrodiet apgriezto matricu A -1

Risinājums: Mēs rakstām matricu A un piešķiram identitātes matricu E, izmantojot Jordan transformācijas, reducējam matricu A līdz identitātes matricai E. Aprēķini ir doti 31.1. tabulā.

Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu A un apgriezto matricu A -1.

Matricas reizināšanas rezultātā tika iegūta identitātes matrica. Tāpēc aprēķini tika veikti pareizi.

Atbilde:

Matricu vienādojumu risināšana

Matricas vienādojumi var izskatīties šādi:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kur A, B, C ir norādītās matricas, X ir vēlamā matrica.

Matricu vienādojumus atrisina, reizinot vienādojumu ar apgrieztām matricām.

Piemēram, lai no vienādojuma atrastu matricu, šis vienādojums jāreizina ar kreisajā pusē.

Tāpēc, lai atrastu vienādojuma risinājumu, jāatrod apgrieztā matrica un jāreizina ar matricu vienādojuma labajā pusē.

Citi vienādojumi tiek atrisināti līdzīgi.

2. piemērs

Atrisiniet vienādojumu AX = B, ja

Risinājums: Tā kā apgrieztā matrica ir vienāda ar (skatiet 1. piemēru)

Matricas metode ekonomiskajā analīzē

Kopā ar citiem tiek izmantoti arī tie matricas metodes. Šīs metodes ir balstītas uz lineāro un vektormatricas algebru. Šādas metodes tiek izmantotas, lai analizētu sarežģītas un daudzdimensionālas ekonomikas parādības. Visbiežāk šīs metodes tiek izmantotas, ja nepieciešams veikt organizāciju un to struktūrvienību darbības salīdzinošo novērtējumu.

Matricas analīzes metožu pielietošanas procesā var izdalīt vairākus posmus.

Pirmajā posmā tiek veidota ekonomisko rādītāju sistēma un uz tās pamata sastādīta sākotnējo datu matrica, kas ir tabula, kurā atbilstoši tās atsevišķas rindas tiek parādīti sistēmas numuri (i = 1,2,....,n), un vertikālajās kolonnās - rādītāju numuri (j = 1,2,....,m).

Otrajā posmā Katrai vertikālajai kolonnai tiek identificēta lielākā no pieejamajām indikatora vērtībām, kas tiek uzskatīta par vienu.

Pēc tam visas šajā slejā atspoguļotās summas tiek dalītas ar augstākā vērtība un veidojas standartizēto koeficientu matrica.

Trešajā posmā visas matricas sastāvdaļas ir kvadrātā. Ja tiem ir atšķirīga nozīme, tad katram matricas indikatoram tiek piešķirts noteikts svara koeficients k. Pēdējās vērtību nosaka ekspertu atzinums.

Pēdējā, ceturtais posms atrastas vērtējuma vērtības R j ir sagrupēti to pieauguma vai samazinājuma secībā.

Izklāstītās matricas metodes būtu jāizmanto, piemēram, kad salīdzinošā analīze dažādos investīciju projektos, kā arī vērtējot citus organizāciju ekonomiskos rādītājus.

Apgrieztās matricas atrašana ir process, kas sastāv no diezgan vienkāršiem soļiem. Bet šīs darbības tiek atkārtotas tik bieži, ka process izrādās diezgan ilgs. Galvenais ir nezaudēt uzmanību, pieņemot lēmumu.

Risinot, izmantojot visizplatītāko metodi - algebriskos papildinājumus, jums būs nepieciešams:

Risinot piemērus, šīs darbības analizēsim sīkāk. Tikmēr noskaidrosim, ko saka teorija par apgriezto matricu.

Priekš apgrieztā matrica Pastāv atbilstoša analoģija ar skaitļa apgriezto vērtību. Par katru numuru a, kas nav vienāds ar nulli, ir šāds skaitlis b ka darbs a Un b vienāds ar vienu: ab= 1. Numurs b sauc par skaitļa apgriezto vērtību b. Piemēram, skaitlim 7 apgrieztā vērtība ir 1/7, jo 7*1/7=1.

Apgrieztā matrica , kas jāatrod noteiktai kvadrātmatricai A, šādu matricu sauc

reizinājums, kura matricas A labajā pusē ir identitātes matrica, t.i.
. (1)

Identitātes matrica ir diagonāla matrica, kurā visi diagonālie elementi ir vienādi ar vienu.

Apgrieztās matricas atrašana- problēma, kas bieži tiek atrisināta ar divām metodēm:

algebrisko saskaitījumu metodi, kurā, kā norādīts nodarbības sākumā, nepieciešams atrast determinantus, minorus un algebriskos saskaitījumus un transponēt matricas;
Gausa metode nezināmo izslēgšanai, kas prasa veikt elementāras matricu transformācijas (saskaitīt rindas, reizināt rindas ar tādu pašu skaitli utt.).

Tiem, kas ir īpaši zinātkāri, ir arī citas metodes, piemēram, lineāro transformāciju metode. Šajā nodarbībā mēs analizēsim trīs minētās metodes un algoritmus apgrieztās matricas atrašanai, izmantojot šīs metodes.

Teorēma.Katrai nevienskaitlīgai (nedeģenerētai, nevienskaitlīgai) kvadrātveida matricai var atrast apgrieztu matricu un tikai vienu. Īpašai (deģenerētai, vienskaitļa) kvadrātveida matricai apgrieztā matrica nepastāv.

Tiek saukta kvadrātveida matrica nav īpašs(vai nav deģenerēts, nevienskaitlis), ja tā determinants nav nulle, un īpašs(vai deģenerēts, vienskaitlis), ja tā determinants ir nulle.

Matricas apgriezto vērtību var atrast tikai kvadrātveida matricai. Protams, arī apgrieztā matrica būs kvadrātveida un tādā pašā secībā kā dotā matrica. Matricu, kurai var atrast apgriezto matricu, sauc par invertējamo matricu.

Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot Gausa nezināmo eliminācijas metodi

Pirmais solis, lai atrastu matricas apgriezto vērtību, izmantojot Gausa eliminācijas metodi, ir piešķirt matricai A tādas pašas kārtas identitātes matricu, atdalot tās ar vertikālu joslu. Mēs iegūsim duālo matricu. Reizināsim abas šīs matricas malas ar , tad iegūsim

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai, izmantojot Gausa nezināmo eliminācijas metodi

1. Uz matricu A piešķirt identitātes matricu tādā pašā secībā.

2. Pārveidojiet iegūto duālo matricu tā, lai kreisajā pusē iegūtu vienību matricu, tad labajā pusē identitātes matricas vietā automātiski iegūtu apgriezto matricu. Matrica A kreisajā pusē tiek pārveidots par identitātes matricu ar elementārām matricas transformācijām.

2. Ja matricas transformācijas procesā A identitātes matricā jebkurā rindā vai kolonnā būs tikai nulles, tad matricas determinants ir vienāds ar nulli, un līdz ar to matrica A būs vienskaitlī, un tai nav apgrieztas matricas. Šajā gadījumā turpmāka apgrieztās matricas noteikšana apstājas.

2. piemērs. Matricai

atrast apgriezto matricu.

un mēs to pārveidosim tā, lai kreisajā pusē iegūtu identitātes matricu. Mēs sākam transformāciju.

Reiziniet pirmo kreisās un labās matricas rindu ar (-3) un pievienojiet to otrajai rindai, un pēc tam reiziiniet pirmo rindu ar (-4) un pievienojiet to trešajai rindai, tad iegūstam

Lai pēc iespējas nebūtu daļskaitļi turpmāko transformāciju laikā mēs vispirms izveidosim vienību otrajā rindā duālās matricas kreisajā pusē. Lai to izdarītu, reiziniet otro rindu ar 2 un atņemiet no tās trešo rindu, tad mēs iegūstam

Saskaitīsim pirmo rindiņu ar otro, pēc tam reiziināsim otro rindu ar (-9) un pievienosim ar trešo rindiņu. Tad saņemam

Pēc tam sadaliet trešo rindu ar 8

Trešo rindu reiziniet ar 2 un pievienojiet to otrajai rindai. Izrādās:

Apmainīsim otro un trešo rindu, tad beidzot iegūstam:

Mēs redzam, ka kreisajā pusē mums ir identitātes matrica, tāpēc labajā pusē ir apgrieztā matrica. Tādējādi:

Jūs varat pārbaudīt aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu ar atrasto apgriezto matricu:

Rezultātā jābūt apgrieztai matricai.

Jūs varat pārbaudīt risinājumu, izmantojot tiešsaistes kalkulators apgrieztās matricas atrašanai .

3. piemērs. Matricai

atrast apgriezto matricu.

Risinājums. Duālās matricas sastādīšana

un mēs to pārveidosim.

Mēs reizinām pirmo rindu ar 3 un otro ar 2 un atņemam no otrās, un tad pirmo rindu reizinām ar 5 un trešo ar 2 un atņemam no trešās rindas, tad mēs iegūstam

Apgrieztā matrica dotai matricai ir tāda matrica, kas reizinot sākotnējo matricu, iegūst identitātes matricu: Obligāti un pietiekamā stāvoklī apgrieztās matricas klātbūtne nozīmē, ka sākotnējās matricas determinants nav vienāds ar nulli (kas savukārt nozīmē, ka matricai jābūt kvadrātveida). Ja matricas determinants ir vienāds ar nulli, tad to sauc par vienskaitli un šādai matricai nav inversa. Augstākajā matemātikā apgrieztās matricas ir svarīgas, un tās izmanto, lai atrisinātu vairākas problēmas. Piemēram, uz apgrieztās matricas atrašana tika konstruēta matricu metode vienādojumu sistēmu risināšanai. Mūsu pakalpojumu vietne ļauj Aprēķiniet apgriezto matricu tiešsaistē divas metodes: Gausa-Jordana metode un algebrisko saskaitījumu matricas izmantošana. Pirmais ietver lielu skaitu elementāru pārveidojumu matricas iekšienē, otrais ietver determinanta aprēķināšanu un algebriskos papildinājumus visiem elementiem. Lai tiešsaistē aprēķinātu matricas determinantu, varat izmantot mūsu citu pakalpojumu - Matricas determinanta aprēķināšana tiešsaistē

Atrodiet vietnes apgriezto matricu

tīmekļa vietneļauj atrast apgrieztā matrica tiešsaistēātri un bez maksas. Vietnē tiek veikti aprēķini, izmantojot mūsu pakalpojumu, un rezultāts tiek sniegts ar detalizētu risinājumu atrašanai apgrieztā matrica. Serveris vienmēr sniedz tikai precīzu un pareizu atbildi. Uzdevumos pēc definīcijas apgrieztā matrica tiešsaistē, ir nepieciešams, lai determinants matricas nebija nulle, pretējā gadījumā tīmekļa vietne ziņos par neiespējamību atrast apgriezto matricu, jo sākotnējās matricas determinants ir vienāds ar nulli. Uzdevums atrast apgrieztā matrica atrodams daudzās matemātikas nozarēs, kas ir viens no algebras pamatjēdzieniem un matemātisks instruments lietišķo problēmu risināšanā. Neatkarīga apgrieztās matricas definīcija prasa ievērojamas pūles, daudz laika, aprēķinus un lielu rūpību, lai izvairītos no drukas kļūdām vai nelielām kļūdām aprēķinos. Tāpēc mūsu pakalpojums apgrieztās matricas atrašana tiešsaistē ievērojami atvieglos jūsu uzdevumu un kļūs par neaizstājamu rīku matemātisko uzdevumu risināšanā. Pat ja jūs atrast apgriezto matricu pats, iesakām pārbaudīt savu risinājumu mūsu serverī. Ievadiet savu sākotnējo matricu mūsu vietnē Aprēķiniet apgriezto matricu tiešsaistē un pārbaudiet savu atbildi. Mūsu sistēma nekad nepieļauj kļūdas un neatrod apgrieztā matrica dotā dimensija režīmā tiešsaistē uzreiz! Vietnē tīmekļa vietne rakstzīmju ieraksti ir atļauti elementos matricas, šajā gadījumā apgrieztā matrica tiešsaistē tiks pasniegta vispārīgā simboliskā formā.

Šajā rakstā mēs runāsim par matricas metode Risinājumi lineārām sistēmām algebriskie vienādojumi, mēs atradīsim tā definīciju un sniegsim risinājumu piemērus.

1. definīcija

Apgrieztās matricas metode ir metode, ko izmanto, lai atrisinātu SLAE, ja nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu.

1. piemērs

Atrodiet risinājumu sistēmai n lineārie vienādojumi ar n nezināmajiem:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Matricas ierakstīšanas veids : A × X = B

kur A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ir sistēmas matrica.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - nezināmo kolonna,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - brīvo koeficientu kolonna.

No saņemtā vienādojuma ir jāizsaka X. Lai to izdarītu, abas matricas vienādojuma puses kreisajā pusē jāreizina ar A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Tā kā A - 1 × A = E, tad E × X = A - 1 × B vai X = A - 1 × B.

komentēt

Apgrieztajai matricai A matricai ir tiesības pastāvēt tikai tad, ja ir izpildīts nosacījums d e t A nav vienāds ar nulli. Tāpēc, risinot SLAE ar apgrieztās matricas metodi, vispirms tiek atrasts d e t A.

Gadījumā, ja d e t A nav vienāds ar nulli, sistēmai ir tikai viena risinājuma iespēja: izmantojot apgrieztās matricas metodi. Ja d e t A = 0, tad sistēmu nevar atrisināt ar šo metodi.

Lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas piemērs, izmantojot apgrieztās matricas metodi

2. piemērs

Mēs atrisinām SLAE, izmantojot apgrieztās matricas metodi:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Kā atrisināt?

Mēs rakstām sistēmu matricas vienādojuma formā A X = B, kur

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

Mēs izsakām X no šī vienādojuma:

Atrodiet matricas A determinantu:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A nav vienāds ar 0, tāpēc šai sistēmai ir piemērota apgrieztās matricas risināšanas metode.

Mēs atrodam apgriezto matricu A - 1, izmantojot sabiedroto matricu. Mēs aprēķinām matricas A atbilstošajiem elementiem algebriskos papildinājumus A i j:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

Mēs pierakstām sabiedroto matricu A *, kas sastāv no matricas A algebriskajiem papildinājumiem:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

Mēs rakstām apgriezto matricu pēc formulas:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

Reizinām apgriezto matricu A - 1 ar brīvo terminu kolonnu B un iegūstam sistēmas risinājumu:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Atbilde : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; x 3 = 1

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter