Taisnstūra paralēlskaldnis — zināšanu hipermārkets. Paralēles tilpums: pamatformulas un piemēru uzdevumi Taisnstūra paralēlskaldnis un tā īpašības

Šajā nodarbībā ikviens varēs apgūt tēmu “Taisnstūra paralēlskaldnis”. Nodarbības sākumā atkārtosim, kas ir patvaļīgi un taisni paralēlskaldņi, atcerēsimies to pretējo skaldņu un paralēlskaldņu diagonāļu īpašības. Pēc tam apskatīsim, kas ir kuboīds, un apspriedīsim tā pamatīpašības.

Tēma: Līniju un plakņu perpendikularitāte

Nodarbība: Kuboīds

Virsmu, kas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 un četriem paralelogramiem ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sauc. paralēlskaldnis(1. att.).

Rīsi. 1 Parallelelepiped

Tas ir: mums ir divi vienādi paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 (bāzes), tie atrodas paralēlās plaknēs tā, lai sānu malas AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 būtu paralēlas. Tādējādi tiek saukta virsma, kas sastāv no paralelogramiem paralēlskaldnis.

Tādējādi paralēlskaldņa virsma ir visu paralelogramu summa, kas veido paralēlskaldni.

1. Paralēlskaldņa pretējās malas ir paralēlas un vienādas.

(formas ir vienādas, tas ir, tās var apvienot, pārklājoties)

Piemēram:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (pēc definīcijas vienādi paralelogrami),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (tā kā AA 1 B 1 B un DD 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās malas),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (tā kā AA 1 D 1 D un BB 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās virsmas).

2. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar šo punktu tās sadala uz pusēm.

Paralēlskaldņa diagonāles AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B krustojas vienā punktā O, un katra diagonāle ar šo punktu tiek dalīta uz pusēm (2. att.).

Rīsi. 2 Paralēlskaldņa diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu.

3. Ir trīs paralēlskaldņu vienādu un paralēlu malu četrkārši: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definīcija. Paralēlskaldni sauc par taisnu, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatiem.

Sānu malai AA 1 jābūt perpendikulārai pamatnei (3. att.). Tas nozīmē, ka taisne AA 1 ir perpendikulāra taisnēm AD un AB, kas atrodas pamatnes plaknē. Tas nozīmē, ka sānu virsmās ir taisnstūri. Un bāzēs ir patvaļīgi paralelogrami. Apzīmēsim ∠BAD = φ, leņķis φ var būt jebkurš.

Rīsi. 3 Labais paralēlskaldnis

Tātad, labais paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras paralēlskaldņa pamatiem.

Definīcija. Paralēlstūri sauc par taisnstūrveida, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Pamati ir taisnstūri.

Paralēlstūris ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir taisnstūrveida (4. att.), ja:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sānu mala perpendikulāra pamatnes plaknei, tas ir, taisns paralēlskaldnis).

2. ∠BAD = 90°, t.i., pamatne ir taisnstūris.

Rīsi. 4 Taisnstūra paralēlskaldnis

Taisnstūra paralēlskaldnim ir visas patvaļīga paralēlskaldņa īpašības. Bet ir arī papildu īpašības, kas izriet no kuboīda definīcijas.

Tātad, kuboīds ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Kuboīda pamatne ir taisnstūris.

1. Taisnstūrveida paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 pēc definīcijas ir taisnstūri.

2. Sānu ribas ir perpendikulāras pamatnei. Tas nozīmē, ka visas taisnstūra paralēlskaldņa sānu malas ir taisnstūri.

3. Visi taisnstūra paralēlskaldņa divviru leņķi ir taisni.

Apskatīsim, piemēram, taisnstūra paralēlskaldņa ar malu AB divstūrveida leņķi, t.i., divskaldņu leņķi starp plaknēm ABC 1 un ABC.

AB ir mala, punkts A 1 atrodas vienā plaknē - plaknē ABB 1, bet punkts D otrā - plaknē A 1 B 1 C 1 D 1. Tad aplūkojamo divskaldņu leņķi var apzīmēt arī šādi: ∠A 1 ABD.

Ņemsim punktu A uz malas AB. AA 1 ir perpendikulāra malai AB plaknē АВВ-1, AD ir perpendikulāra malai AB plaknē ABC. Tas nozīmē, ka ∠A 1 AD ir dotā divskaldņa leņķa lineārais leņķis. ∠A 1 AD = 90°, kas nozīmē, ka diedrālais leņķis pie malas AB ir 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Līdzīgi ir pierādīts, ka jebkurš taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūrveida leņķis.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu.

Piezīme. Trīs šķautņu garumi, kas izplūst no vienas kuboīda virsotnes, ir kuboīda izmēri. Tos dažreiz sauc par garumu, platumu, augstumu.

Dots: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taisnstūrveida paralēlskaldnis (5. att.).

Pierādīt:.

Rīsi. 5 Taisnstūra paralēlskaldnis

Pierādījums:

Taisne CC 1 ir perpendikulāra plaknei ABC un līdz ar to taisnei AC. Tas nozīmē, ka trīsstūris CC 1 A ir taisnleņķis. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Apsveriet taisnleņķa trīsstūri ABC. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Bet BC un AD ir taisnstūra pretējās malas. Tātad BC = AD. Pēc tam:

Jo , A , Tas. Tā kā CC 1 = AA 1, tas ir jāpierāda.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Apzīmēsim paralēlskaldņa ABC izmērus kā a, b, c (skat. 6. att.), tad AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Paralēlskaldnis ir prizma, kuras pamati ir paralelogrami. Šajā gadījumā visas malas būs paralelogrami.
Katru paralēlskaldni var uzskatīt par prizmu trīs dažādos veidos, jo katras divas pretējās skaldnes var uzskatīt par pamatnēm (5. attēlā skaldnes ABCD un A"B"C"D vai ABA"B" un CDC"D ", vai BCB "C" un ADA"D").
Attiecīgajam ķermenim ir divpadsmit malas, četras vienādas un paralēlas viena otrai.
3. teorēma . Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā, sakrītot ar katras no tām vidu.
Paralēlskaldnim ABCDA"B"C"D" (5. att.) ir četras diagonāles AC", BD", CA, DB". Mums jāpierāda, ka jebkuru divu no tiem viduspunkti, piemēram, AC un BD", sakrīt. Tas izriet no fakta, ka figūra ABC"D", kurai ir vienādas un paralēlas malas AB un C"D", ir paralelograms.
7. definīcija . Taisns paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis, kas ir arī taisna prizma, tas ir, paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei.
8. definīcija . Taisnstūrveida paralēlskaldnis ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamatne ir taisnstūris. Šajā gadījumā visas tā sejas būs taisnstūri.
Taisnstūrveida paralēlskaldnis ir taisnstūra prizma neatkarīgi no tā, kuru no tās skaldnēm mēs pieņemtu par pamatu, jo katra no tās malām ir perpendikulāra malām, kas iziet no vienas virsotnes, un tāpēc būs perpendikulāra definēto virsmu plaknēm. pa šīm malām. Turpretim taisnu, bet ne taisnstūrveida paralēlskaldni var uzskatīt par taisnu prizmu tikai vienā veidā.
9. definīcija . Taisnstūra paralēlskaldņa trīs malu garumus, no kuriem divas nav paralēlas viena otrai (piemēram, trīs malas, kas iziet no vienas virsotnes), sauc par tā izmēriem. Divi taisnstūra paralēlskaldņi ar attiecīgi vienādiem izmēriem acīmredzami ir vienādi viens ar otru.
10. definīcija .Kubs ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas trīs dimensijas ir vienādas viena ar otru tā, ka visas tā skaldnes ir kvadrātveida. Divi kubi, kuru malas ir vienādas, ir vienādi.
11. definīcija . Slīpu paralēlskaldni, kura visas malas ir vienādas viena ar otru un visu skaldņu leņķi ir vienādi vai komplementāri, sauc par romboedru.
Visas romboedra skaldnes ir vienādi rombi. (Dažiem ļoti nozīmīgiem kristāliem ir romboedra forma, piemēram, Islandes spara kristāliem.) Romboedrā var atrast tādu virsotni (un pat divas pretējās virsotnes), kurā visi tai blakus esošie leņķi ir vienādi.
4. teorēma . Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru. Diagonāles kvadrāts ir vienāds ar trīs dimensiju kvadrātu summu.
Taisnstūra paralēlskaldņu ABCDA"B"C"D" (6. att.) diagonāles AC" un BD" ir vienādas, jo četrstūris ABC"D" ir taisnstūris (taisne AB ir perpendikulāra plaknei ECB" C", kurā atrodas BC") .
Turklāt AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 balstoties uz teorēmu par hipotenūzas kvadrātu. Bet pamatojoties uz to pašu teorēmu AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; tātad mēs ir:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Tulkojumā no grieķu valodas paralelograms nozīmē plakne. Paralēlskaldnis ir prizma ar paralelogramu tās pamatnē. Ir pieci paralelogramu veidi: slīpi, taisni un kubveida. Arī kubs un romboedrs pieder paralēlskaldnim un ir tā šķirne.

Pirms pāriet pie pamatjēdzieniem, sniegsim dažas definīcijas:

Paralēles diagonāle ir segments, kas apvieno paralēlskaldņa virsotnes, kas atrodas viena otrai pretī.
Ja divām skaldnēm ir kopīga mala, tad tās var saukt par blakus esošajām malām. Ja nav kopīgas malas, tad sejas sauc par pretējām.
Divas virsotnes, kas neatrodas vienā sejā, sauc par pretējām.

Kādas īpašības piemīt paralēlskaldnis?

Pretējās pusēs guļoša paralēlskaldņa sejas ir paralēlas viena otrai un viena otrai vienādas.
Ja jūs velciet diagonāles no vienas virsotnes uz otru, tad šo diagonāļu krustošanās punkts sadalīs tās uz pusēm.
Paralēlskaldņa malas, kas atrodas vienā leņķī pret pamatni, būs vienādas. Citiem vārdiem sakot, kopīgi virzīto malu leņķi būs vienādi viens ar otru.

Kādi paralēlskaldņu veidi pastāv?

Tagad izdomāsim, kāda veida paralēlskaldņi pastāv. Kā minēts iepriekš, ir vairāki šīs figūras veidi: taisns, taisnstūrveida, slīps paralēlskaldnis, kā arī kubs un romboedrs. Kā tie atšķiras viens no otra? Tas viss ir par plaknēm, kas tos veido, un leņķiem, ko tie veido.

Apskatīsim sīkāk katru no uzskaitītajiem paralēlskaldņu veidiem.

Kā jau ir skaidrs no nosaukuma, slīpam paralēlskaldnim ir slīpas sejas, proti, tās, kas nav 90 grādu leņķī attiecībā pret pamatni.
Bet labajam paralēlskaldnim leņķis starp pamatni un malu ir tieši deviņdesmit grādi. Šī iemesla dēļ šāda veida paralēlskaldnim ir šāds nosaukums.
Ja visas paralēlskaldņa sejas ir identiski kvadrāti, tad šo figūru var uzskatīt par kubu.
Taisnstūra paralēlskaldnis saņēma šo nosaukumu plakņu dēļ, kas to veido. Ja tie visi ir taisnstūri (ieskaitot pamatni), tad tas ir kuboīds. Šāda veida paralēlskaldnis nav sastopams ļoti bieži. Tulkojumā no grieķu valodas romboedrs nozīmē seju vai pamatni. Tā sauc trīsdimensiju figūru, kuras sejas ir rombi.

Paralēlskaldņa pamatformulas

Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un tā augstuma perpendikulāri pamatnei reizinājumu.

Sānu virsmas laukums būs vienāds ar pamatnes perimetra un augstuma reizinājumu.
Zinot pamata definīcijas un formulas, varat aprēķināt bāzes laukumu un tilpumu. Bāzi var izvēlēties pēc saviem ieskatiem. Tomēr, kā likums, par pamatu tiek izmantots taisnstūris.

Prizmu sauc paralēlskaldnis, ja tā pamati ir paralelogrami. Cm. 1. att.

Paralēlskaldņa īpašības:

Paralēlstūra pretējās virsmas ir paralēlas (tas ir, tās atrodas paralēlās plaknēs) un vienādas.

Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar šo punktu tās sadala uz pusēm.

Blakus esošās paralēlskaldņa sejas– divas sejas, kurām ir kopīga mala.

Paralēlskaldņa pretējās sejas– sejas, kurām nav kopīgu malu.

Paralēlskaldņa pretējās virsotnes– divas virsotnes, kas nepieder vienai sejai.

Paralēlstūra diagonāle– segments, kas savieno pretējās virsotnes.

Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm, tad tiek saukts paralēlskaldnis tiešā veidā.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamati ir taisnstūri taisnstūrveida. Tiek saukta prizma, kuras visas sejas ir kvadrāti kubs.

Paralēles- prizma, kuras pamati ir paralelogrami.

Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei.

Taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamatnes ir taisnstūri.

Kubs– taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām.

paralēlskaldnis sauc par prizmu, kuras pamats ir paralelograms; Tādējādi paralēlskaldnim ir sešas skaldnes, un tās visas ir paralelogrami.

Pretējās sejas ir pa pāriem vienādas un paralēlas. Paralēlskaldnis ir četras diagonāles; tie visi krustojas vienā punktā un tajā ir sadalīti uz pusēm. Par pamatu var ņemt jebkuru seju; tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu: V = Sh.

Paralēlstūri, kura četras sānu malas ir taisnstūri, sauc par taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldnis, kura sešas skaldnes ir taisnstūri, sauc par taisnstūri. Cm. 2. att.

Taisnā paralēlskaldņa tilpums (V) ir vienāds ar pamatlaukuma (S) un augstuma (h) reizinājumu: V = Sh .

Taisnstūra paralēlskaldnim turklāt formula ir spēkā V=abc, kur a,b,c ir malas.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle (d) ir saistīta ar tā malām ar attiecību d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Taisnstūra paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, bet pamatnes ir taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldņa īpašības:

Taisnstūrveida paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

Visi taisnstūra paralēlskaldņa divviru leņķi ir taisni.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (trīs malu garumi, kurām ir kopīga virsotne).

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Taisnstūrveida paralēlskaldni, kura visas skaldnes ir kvadrāti, sauc par kubu. Visas kuba malas ir vienādas; kuba tilpumu (V) izsaka ar formulu V = a 3, kur a ir kuba mala.

Studenti bieži sašutuši jautā: "Kā tas man dzīvē noderēs?" Par jebkuru katra priekšmeta tēmu. Tēma par paralēlskaldņa tilpumu nav izņēmums. Un šeit jūs varat vienkārši pateikt: "Tas noderēs."

Kā, piemēram, var uzzināt, vai paka ietilps pasta kastītē? Protams, jūs varat izvēlēties pareizo, izmantojot izmēģinājumus un kļūdas. Ko darīt, ja tas nav iespējams? Tad aprēķini nāks palīgā. Zinot kastes ietilpību, varat aprēķināt pakas tilpumu (vismaz aptuveni) un atbildēt uz uzdoto jautājumu.

Paralēlsūknis un tā veidi

Ja tā nosaukumu burtiski tulkojam no sengrieķu valodas, izrādās, ka tā ir figūra, kas sastāv no paralēlām plaknēm. Ir šādas līdzvērtīgas paralēlskaldņa definīcijas:

prizma ar pamatni paralelograma formā;
daudzskaldnis, kura katra skaldne ir paralelograms.

Tās veidi tiek izšķirti atkarībā no tā, kāda figūra atrodas tās pamatnē un kā tiek virzītas sānu ribas. Kopumā mēs runājam par slīps paralēlskaldnis, kura pamatne un visas skaldnes ir paralelogrami. Ja iepriekšējā skata sānu malas kļūst par taisnstūriem, tas būs jāizsauc tiešā veidā. Un taisnstūrveida un pamatnei ir arī 90º leņķi.

Turklāt ģeometrijā pēdējo cenšas attēlot tā, lai būtu pamanāms, ka visas malas ir paralēlas. Šeit, starp citu, ir galvenā atšķirība starp matemātiķiem un māksliniekiem. Pēdējam ir svarīgi nodot ķermeni saskaņā ar perspektīvas likumu. Un šajā gadījumā ribu paralēlisms ir pilnīgi neredzams.

Par ieviestajiem apzīmējumiem

Zemāk esošajās formulās ir spēkā tabulā norādītie apzīmējumi.

Formulas slīpam paralēlskaldnim

Pirmā un otrā jomām:

Trešais ir paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšana:

Tā kā bāze ir paralelograms, lai aprēķinātu tā laukumu, jums būs jāizmanto atbilstošās izteiksmes.

Taisnstūra paralēlskaldņa formulas

Līdzīgi kā pirmajā punktā - divas apgabalu formulas:

Un vēl viens skaļumam:

Pirmais uzdevums

Stāvoklis. Dots taisnstūra paralēlskaldnis, kura tilpums ir jāatrod. Ir zināma diagonāle - 18 cm - un fakts, ka tā veido attiecīgi 30 un 45 grādu leņķi ar sānu malas plakni un sānu malu.

Risinājums. Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, jums būs jāzina visas trīs taisnleņķa trīsstūru malas. Viņi sniegs vajadzīgās malu vērtības, pēc kurām jums jāaprēķina tilpums.

Vispirms jums ir jāizdomā, kur atrodas 30º leņķis. Lai to izdarītu, no tās pašas virsotnes, no kuras tika novilkta paralelograma galvenā diagonāle, ir jānozīmē sānu skaldnes diagonāle. Leņķis starp tiem būs tāds, kāds nepieciešams.

Pirmais trīsstūris, kas sniegs vienu no pamatnes malu vērtībām, būs šāds. Tajā ir vajadzīgā mala un divas novilktas diagonāles. Tas ir taisnstūrveida. Tagad jums ir jāizmanto pretējās kājas (pamatnes pusē) un hipotenūzas (diagonāles) attiecība. Tas ir vienāds ar 30º sinusu. Tas nozīmē, ka pamatnes nezināmā puse tiks noteikta kā diagonāle, kas reizināta ar sinusu 30º vai ½. Lai to apzīmētu ar burtu “a”.

Otrais būs trīsstūris ar zināmu diagonāli un malu, ar kuru tas veido 45º. Tas ir arī taisnstūrveida, un jūs atkal varat izmantot kājas attiecību pret hipotenūzu. Citiem vārdiem sakot, sānu mala uz diagonāli. Tas ir vienāds ar 45º kosinusu. Tas nozīmē, ka “c” aprēķina kā diagonāles un 45º kosinusa reizinājumu.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Tajā pašā trīsstūrī jums jāatrod cita kāja. Tas ir nepieciešams, lai pēc tam aprēķinātu trešo nezināmo - “iekšā”. Ļaujiet to apzīmēt ar burtu “x”. To var viegli aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Tagad mums jāapsver vēl viens taisnleņķa trīsstūris. Tajā ir jau zināmās malas “c”, “x” un saskaitāmā “b”:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Visi trīs daudzumi ir zināmi. Varat izmantot tilpuma formulu un aprēķināt to:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Atbilde: paralēlskaldņa tilpums ir 729√2 cm 3.

Otrais uzdevums

Stāvoklis. Jums jāatrod paralēlskaldņa tilpums. Ir zināms, ka tajā paralelograma malas, kas atrodas pie pamatnes, ir 3 un 6 cm, kā arī tās asais leņķis - 45º. Sānu ribas slīpums pret pamatni ir 30º, un tā ir vienāda ar 4 cm.

Risinājums. Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, jāņem formula, kas tika uzrakstīta slīpā paralēlskaldņa tilpumam. Bet abi daudzumi tajā nav zināmi.

Pamatnes laukums, tas ir, paralelograma, tiks noteikts pēc formulas, kurā jums jāreizina zināmās malas un akūtā leņķa sinuss starp tām.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Otrs nezināmais lielums ir augstums. To var novilkt no jebkuras no četrām virsotnēm virs pamatnes. To var atrast no taisnleņķa trīsstūra, kurā augstums ir kāja un sānu mala ir hipotenūza. Šajā gadījumā 30º leņķis atrodas pretī nezināmajam augstumam. Tas nozīmē, ka mēs varam izmantot kājas attiecību pret hipotenūzu.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Tagad visas vērtības ir zināmas un apjomu var aprēķināt:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Atbilde: tilpums ir 18√2 cm3.

Trešais uzdevums

Stāvoklis. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu, ja ir zināms, ka tas ir taisns. Tās pamatnes malas veido paralelogramu un ir vienādas ar 2 un 3 cm. Akūtais leņķis starp tām ir 60º. Paralēlskaldņa mazākā diagonāle ir vienāda ar pamatnes lielāko diagonāli.

Risinājums. Lai noskaidrotu paralēlskaldņa tilpumu, mēs izmantojam formulu ar pamatnes laukumu un augstumu. Abi daudzumi nav zināmi, taču tos ir viegli aprēķināt. Pirmais ir augstums.

Tā kā paralēlskaldņa mazākā diagonāle pēc izmēra sakrīt ar lielāko pamatni, tos var apzīmēt ar vienu un to pašu burtu d. Lielākais paralelograma leņķis ir 120º, jo tas veido 180º ar akūtu. Pamatnes otro diagonāli apzīmē ar burtu “x”. Tagad divām bāzes diagonālēm varam uzrakstīt kosinusa teorēmas:

d 2 = a 2 + b 2 - 2 av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nav jēgas atrast vērtības bez kvadrātiem, jo vēlāk tās atkal tiks paaugstinātas otrajā pakāpē. Pēc datu aizstāšanas mēs iegūstam:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3, jo 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Tagad augstums, kas ir arī paralēlskaldņa sānu mala, izrādīsies kājiņa trīsstūrī. Hipotenūza būs zināmā ķermeņa diagonāle, un otrā daļa būs “x”. Mēs varam uzrakstīt Pitagora teorēmu:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Tātad: n = √12 = 2√3 (cm).

Tagad otrais nezināmais lielums ir pamatnes laukums. To var aprēķināt, izmantojot formulu, kas minēta otrajā uzdevumā.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Apvienojot visu tilpuma formulā, mēs iegūstam:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Atbilde: V = 18 cm 3.

Ceturtais uzdevums

Stāvoklis. Nepieciešams noskaidrot paralēlskaldņa tilpumu, kas atbilst šādiem nosacījumiem: pamatne ir kvadrāts ar 5 cm malu; sānu virsmas ir rombi; viena no virsotnēm, kas atrodas virs pamatnes, atrodas vienādā attālumā no visām virsotnēm, kas atrodas pie pamatnes.

Risinājums. Vispirms jums ir jāsaprot nosacījums. Ar pirmo punktu par laukumu jautājumu nav. Otrais, par rombiem, skaidri parāda, ka paralēlskaldnis ir slīps. Turklāt visas tā malas ir vienādas ar 5 cm, jo romba malas ir vienādas. Un no trešā kļūst skaidrs, ka trīs no tā novilktās diagonāles ir vienādas. Tās ir divas, kas atrodas sānu virsmās, un pēdējā atrodas paralēlskaldņa iekšpusē. Un šīs diagonāles ir vienādas ar malu, tas ir, to garums ir arī 5 cm.

Lai noteiktu skaļumu, jums būs nepieciešama formula, kas uzrakstīta slīpam paralēlskaldnim. Tajā atkal nav zināmi daudzumi. Tomēr pamatnes laukumu ir viegli aprēķināt, jo tas ir kvadrāts.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Situācija ar augumu ir nedaudz sarežģītāka. Tas būs šāds trīs skaitļos: paralēlskaldnis, četrstūra piramīda un vienādsānu trīsstūris. Šis pēdējais apstāklis ir jāizmanto.

Tā kā tas ir augstums, tā ir kāja taisnleņķa trīsstūrī. Hipotenūza tajā būs zināma mala, un otrā daļa ir vienāda ar pusi no kvadrāta diagonāles (augstums ir arī mediāna). Un pamatnes diagonāli ir viegli atrast:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Augstums būs jāaprēķina kā starpība starp malas otro pakāpi un pusi diagonāles kvadrātu, un pēc tam atcerieties ņemt kvadrātsakni:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Atbilde: 62,5 √2 (cm 3).