Vai paralelograma malas ir vienādas? Kas ir paralelograms
Lai noteiktu, vai dotais skaitlis ir paralelograms, ir vairākas zīmes. Apsveriet trīs galvenās paralelograma pazīmes.
1 paralelograma iezīme
Ja četrstūra divas malas ir vienādas un paralēlas, tad četrstūris ir paralelograms.
Pierādījums:
Apsveriet četrstūri ABCD. Lai tajā malas AB un CD būtu paralēlas. Un lai AB=CD. Iezīmēsim tajā diagonāli BD. Tas sadalīs doto četrstūri divās daļās vienāds trīsstūris: ABD un CBD.
Šie trīsstūri ir vienādi divās malās un leņķis starp tiem (BD - kopējā puse, AB = CD pēc nosacījuma, leņķis1 = leņķis2 kā šķērsvirziena leņķi paralēlu līniju AB un CD nogrieznī BD.), un tātad leņķis3 = leņķis4.
Un šie leņķi būs šķērsām līniju BC un AD krustpunktā ar sekantu BD. No tā izriet, ka BC un AD ir paralēli viens otram. Mums ir, ka četrstūrī ABCD pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, un līdz ar to četrstūris ABCD ir paralelograms.
2 paralelograma iezīme
Ja četrstūra pretējās malas ir vienādas pa pāriem, tad četrstūris ir paralelograms.
Pierādījums:
Apsveriet četrstūri ABCD. Iezīmēsim tajā diagonāli BD. Tas sadalīs doto četrstūri divos vienādos trīsstūros: ABD un CBD.
Šie divi trīsstūri būs vienādi viens ar otru no trim malām (BD ir kopējā puse, AB = CD un BC = AD pēc nosacījuma). No tā varam secināt, ka leņķis1 = leņķis2. No tā izriet, ka AB ir paralēla CD. Un tā kā AB \u003d CD un AB ir paralēli CD, tad ar pirmo paralelograma zīmi četrstūris ABCD būs paralelograms.
3 paralelograma zīme
Ja četrstūrī diagonāles krustojas un krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm, tad šis četrstūris būs paralelograms.
Apsveriet četrstūri ABCD. Iezīmēsim tajā divas diagonāles AC un BD, kas krustosies punktā O un sadalīs šo punktu uz pusēm.
Trijstūri AOB un COD būs vienādi viens ar otru, saskaņā ar pirmo trīsstūru vienādības zīmi. (AO = OC, BO = OD pēc vienošanās, leņķis AOB = leņķis COD kā vertikālie leņķi.) Tāpēc AB = CD un leņķis1 = leņķis 2. No leņķu 1 un 2 vienādības iegūstam, ka AB ir paralēla CD. Tad iegūstam, ka četrstūrī ABCD malas AB ir vienādas ar CD un paralēlas, un pēc pirmā paralelograma kritērija četrstūris ABCD būs paralelograms.
Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas pa pāriem. Šī definīcija jau ir pietiekama, jo no tās izriet atlikušās paralelograma īpašības un tiek pierādītas teorēmu veidā.
Paralelograma galvenās īpašības ir:
- paralelograms ir izliekts četrstūris;
- paralelograma pretējās malas ir vienādas pa pāriem;
- paralelogramam ir pretēji leņķi, kas ir vienādi pa pāriem;
- paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.
Paralēlogramma - izliekts četrstūris
Vispirms pierādīsim teorēmu, ka paralelograms ir izliekts četrstūris. Daudzstūris ir izliekts, ja jebkura tā mala ir pagarināta līdz taisnai līnijai, visas pārējās daudzstūra malas atradīsies vienā šīs taisnes pusē.
Dots paralelograms ABCD, kurā AB ir pretēja mala CD, bet BC ir pretējā mala AD. Tad no paralelograma definīcijas izriet, ka AB || CD, BC || AD.
Plkst paralēli segmenti Nē kopīgi punkti, tie nekrustojas. Tas nozīmē, ka CD atrodas vienā AB pusē. Tā kā segments BC savieno segmenta AB punktu B ar segmenta CD punktu C un segments AD savieno citus punktus AB un CD, segmenti BC un AD arī atrodas vienā un tajā pašā līnijas AB pusē, kur atrodas CD. Tādējādi visas trīs malas - CD, BC, AD - atrodas vienā AB pusē.
Līdzīgi ir pierādīts, ka attiecībā pret paralelograma pārējām malām pārējās trīs malas atrodas tajā pašā pusē.
Pretējās malas un leņķi ir vienādi
Viena no paralelograma īpašībām ir tā paralelogramā pretējās malas un pretējie leņķi ir vienādi. Piemēram, ja ir dots paralelograms ABCD, tad tam ir AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Šī teorēma ir pierādīta šādi.
Paralelograms ir četrstūris. Tātad tam ir divas diagonāles. Tā kā paralelograms ir izliekts četrstūris, jebkurš no tiem sadala to divos trīsstūros. Apsveriet paralelogramu ABCD trijstūri ABC un ADC, kas iegūts, zīmējot diagonāli AC.
Šiem trijstūriem ir viena kopīga mala – maiņstrāva. BCA leņķis vienāds ar leņķi CAD kā vertikāla ar BC un AD paralēli. Leņķi BAC un ACD arī ir vienādi, tāpat kā vertikālie leņķi, kad AB un CD ir paralēli. Tāpēc ∆ABC = ∆ADC pa diviem leņķiem un sānu starp tiem.
Šajos trīsstūros mala AB atbilst malai CD, un mala BC atbilst AD. Tāpēc AB = CD un BC = AD.
Leņķis B atbilst leņķim D, t.i., ∠B = ∠D. Paralelograma leņķis A ir divu leņķu summa - ∠BAC un ∠CAD. Leņķis C ir vienāds ar ∠BCA un ∠ACD. Tā kā leņķu pāri ir vienādi viens ar otru, tad ∠A = ∠C.
Tādējādi ir pierādīts, ka paralelogramā pretējās malas un leņķi ir vienādi.
Diagonāles pārgrieztas uz pusēm
Tā kā paralelograms ir izliekts četrstūris, tam ir divas divas diagonāles, un tās krustojas. Dots paralelograms ABCD, kura diagonāles AC un BD krustojas punktā E. Aplūkosim to veidotos trijstūrus ABE un CDE.
Šiem trijstūriem malas AB un CD ir vienādas ar paralelograma pretējām malām. Leņķis ABE ir vienāds ar leņķi CDE, jo tie atrodas pāri paralēlām līnijām AB un CD. Tā paša iemesla dēļ ∠BAE = ∠DCE. Tādējādi ∆ABE = ∆CDE pār diviem leņķiem un malu starp tiem.
Varat arī pamanīt, ka leņķi AEB un CED ir vertikāli un tāpēc arī ir vienādi viens ar otru.
Tā kā trijstūri ABE un CDE ir vienādi, tad arī visi tiem atbilstošie elementi ir vienādi. Pirmā trīsstūra mala AE atbilst otrā trijstūra malai CE, tātad AE = CE. Līdzīgi, BE = DE. Katrs vienādu segmentu pāris veido paralelograma diagonāli. Tādējādi tiek pierādīts, ka paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.
Risinot problēmas par šo tēmu, papildus pamata īpašības paralelograms un atbilstošās formulas, varat atcerēties un lietot sekojošo:
- Paralelograma iekšējā leņķa bisektrise nogriež no tā vienādsānu trīsstūri
- Iekšējo leņķu bisektrise, kas atrodas blakus vienai no paralelograma malām, ir savstarpēji perpendikulāras
- Bisektrise nāk no pretējiem paralelograma iekšējiem leņķiem, paralēli viena otrai vai atrodas uz vienas taisnes
- Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu
- Paralelograma laukums ir puse no diagonāļu reizinājuma, kas reizināts ar leņķa sinusu starp tām.
Apskatīsim uzdevumus, kuru risināšanā šīs īpašības tiek izmantotas.
1. uzdevums.
Paralelograma ABCD leņķa C bisektrise krusto malu AD punktā M un malas AB turpinājumu aiz punkta A punktā E. Atrodiet paralelograma perimetru, ja AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Risinājums.
1. Trīsstūris CMD vienādsānu. (Īpašums 1). Tāpēc CD = MD = 3 cm.
2. Trijstūris EAM ir vienādsānu.
Tāpēc AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetrs ABCD = 20 cm.
Atbilde. 20 cm
2. uzdevums.
Izliektā četrstūrī ABCD ir ievilktas diagonāles. Ir zināms, ka trīsstūru ABD, ACD, BCD laukumi ir vienādi. Pierādīt, ka dotais četrstūris ir paralelograms.
Risinājums.
1. Trijstūra ABD augstums BE, trijstūra ACD augstums CF. Tā kā atbilstoši uzdevuma nosacījumam trīsstūru laukumi ir vienādi un tiem ir kopīga bāze AD, tad šo trijstūri ir vienādi. BE = CF.
2. BE, CF ir perpendikulāri AD. Punkti B un C atrodas vienā un tajā pašā AD līnijas pusē. BE = CF. Tāpēc līnija BC || AD. (*)
3. Apzīmēsim AL trijstūra ACD augstumu, BK — trijstūra BCD augstumu. Tā kā atbilstoši uzdevuma nosacījumam trijstūri laukumi ir vienādi un tiem ir kopīgs pamats CD, tad šo trīsstūru augstumi ir vienādi. AL = BK.
4. AL un BK ir perpendikulāri CD. Punkti B un A atrodas vienā un tajā pašā taisnes CD pusē. AL = BK. Tāpēc līnija AB || CD (**)
5. Nosacījumi (*), (**) nozīmē, ka ABCD ir paralelograms.
Atbilde. Pierādīts. ABCD ir paralelograms.
3. uzdevums.
Paralelograma ABCD malās BC un CD attiecīgi atzīmēti punkti M un H, lai nogriežņi BM un HD krustotos punktā O;<ВМD = 95 о,
Risinājums.
1. Trīsstūrī DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Taisnstūra trīsstūrī DHC Tad<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Bet CD = AB. Tad AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Atbilde: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. uzdevums. Viena no 4√6 garuma paralelograma diagonālēm veido 60° leņķi ar pamatni, bet otrā diagonāle ar to pašu pamatni veido 45° leņķi. Atrodiet otro diagonāli. Risinājums.
1. AO = 2√6. 2. Pielietot sinusa teorēmu trijstūrim AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Atbilde: 12.
5. uzdevums. Paralelogramam ar malām 5√2 un 7√2 mazākais leņķis starp diagonālēm ir vienāds ar paralelograma mazāko leņķi. Atrodiet diagonāļu garumu summu. Risinājums.
Pieņemsim, ka paralelograma diagonāles ir d 1, d 2, un leņķis starp diagonālēm un paralelograma mazāko leņķi ir φ. 1. Saskaitīsim divus dažādus S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Iegūstam vienādību 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f vai 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Izmantojot attiecību starp paralelograma malām un diagonālēm, rakstām vienādību (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Izveidosim sistēmu: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Reiziniet sistēmas otro vienādojumu ar 2 un pievienojiet pirmajam. Mēs iegūstam (d 1 + d 2) 2 = 576. Tādējādi Id 1 + d 2 I = 24. Tā kā d 1, d 2 ir paralelograma diagonāļu garumi, tad d 1 + d 2 = 24. Atbilde: 24.
6. uzdevums. Paralelograma malas ir 4 un 6. Akūtais leņķis starp diagonālēm ir 45 o. Atrodiet paralelograma laukumu. Risinājums.
1. No trijstūra AOB, izmantojot kosinusa teorēmu, rakstām sakarību starp paralelograma malu un diagonālēm. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Līdzīgi mēs rakstām relāciju trijstūrim AOD. Mēs to ņemam vērā<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Iegūstam vienādojumu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Mums ir sistēma Atņemot pirmo no otrā vienādojuma, iegūstam 2d 1 d 2 √2 = 80 vai d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Piezīme:Šajā un iepriekšējā uzdevumā sistēma nav jāatrisina pilnībā, paredzot, ka šajā uzdevumā ir nepieciešams diagonāļu reizinājums, lai aprēķinātu laukumu. Atbilde: 10. 7. uzdevums. Paralelograma laukums ir 96, un tā malas ir 8 un 15. Atrodiet mazākās diagonāles kvadrātu. Risinājums.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Veiksim aizstāšanu formulā. Mēs iegūstam 96 = 8 15 sin VAD. Līdz ar to grēks VAD = 4/5. 2. Atrast cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. Atbilstoši uzdevuma stāvoklim mēs atrodam mazākās diagonāles garumu. Diagonāle BD būs mazāka, ja leņķis BAD ir akūts. Tad cos BAD = 3/5. 3. No trijstūra ABD, izmantojot kosinusa teorēmu, atrodam diagonāles BD kvadrātu. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145. Atbilde: 145.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt ģeometrijas problēmu? vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu. Paralelograma jēdziens 1. definīcija Paralēlogramma ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas viena otrai (1. att.). 1. attēls. Paralelogramam ir divas galvenās īpašības. Apskatīsim tos bez pierādījumiem. 1. īpašums:
Paralelograma pretējās malas un leņķi ir attiecīgi vienādi viens ar otru. 2. īpašums:
Paralelogramā novilktās diagonāles sadala uz pusēm pēc to krustpunkta. Apsveriet trīs paralelograma pazīmes un izklāstiet tās teorēmu veidā. 1. teorēma Ja četrstūra divas malas ir vienādas viena ar otru un arī paralēlas, tad šis četrstūris būs paralelograms. Pierādījums. Dosim mums četrstūri $ABCD$. Kurā $AB||CD$ un $AB=CD$ zīmēsim tajā diagonāli $AC$ (2. att.). 2. attēls. Apsveriet paralēlās līnijas $AB$ un $CD$ un to sekantu $AC$. Tad \[\angle CAB=\angle DCA\] kā šķērsām stūri. Saskaņā ar $I$ kritēriju trīsstūru vienādībai, jo $AC$ ir to kopējā puse un $AB=CD$ pēc pieņēmuma. Līdzekļi \[\angle DAC=\angle ACB\] Apsveriet taisnes $AD$ un $CB$ un to sekantu $AC$; ar pēdējo šķērsleņķu vienādību iegūstam, ka $AD||CB$.) Tāpēc pēc $1$ definīcijas šis četrstūris ir paralelograms. Teorēma ir pierādīta. 2. teorēma Ja četrstūra pretējās malas ir vienādas, tad tas ir paralelograms. Pierādījums. Dosim mums četrstūri $ABCD$. Kurā $AD=BC$ un $AB=CD$. Uzzīmēsim tajā diagonāli $AC$ (3. att.). 3. attēls Tā kā $AD=BC$, $AB=CD$ un $AC$ ir kopīga puse, tad ar $III$ trīsstūra vienādības testu, \[\trijstūris DAC=\trijstūris ACB\] \[\angle DAC=\angle ACB\] Apsveriet līnijas $AD$ un $CB$ un to sekantu $AC$, pēc pēdējās šķērsenisko leņķu vienādības iegūstam $AD||CB$. Tāpēc pēc definīcijas $1$ šis četrstūris ir paralelograms. \[\angle DCA=\angle CAB\] Apsveriet līnijas $AB$ un $CD$ un to sekantu $AC$, pēc pēdējās šķērsvirziena leņķu vienādības iegūstam $AB||CD$. Tāpēc saskaņā ar 1. definīciju šis četrstūris ir paralelograms. Teorēma ir pierādīta. 3. teorēma Ja četrstūrī ievilktās diagonāles pēc to krustpunkta sadala divās vienādās daļās, tad šis četrstūris ir paralelograms. Pierādījums. Dosim mums četrstūri $ABCD$. Uzzīmēsim tajā diagonāles $AC$ un $BD$. Ļaujiet tiem krustoties punktā $O$ (4. att.). 4. attēls Tā kā saskaņā ar nosacījumu $BO=OD,\AO=OC$ un leņķi $\angle COB=\angle DOA$ ir vertikāli, tad, izmantojot $I$ trīsstūra vienādības testu, \[\trijstūris BOC=\trijstūris AOD\] \[\angle DBC=\angle BDA\] Apsveriet līnijas $BC$ un $AD$ un to sekantu $BD$, pēc pēdējās šķērsvirziena leņķu vienādības iegūstam $BC||AD$. Arī $BC=AD$. Tāpēc saskaņā ar teorēmu $1$ šis četrstūris ir paralelograms. Pierādījums Vispirms uzzīmēsim diagonāli AC. Tiek iegūti divi trīsstūri: ABC un ADC. Tā kā ABCD ir paralelograms, ir taisnība: AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 kā guļot pāri. AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 kā guļot pāri. Tāpēc \trijstūris ABC = \trijstūris ADC (pēc otrās pazīmes: un maiņstrāva ir izplatīta). Un tāpēc \trijstūris ABC = \trijstūris ADC , tad AB = CD un AD = BC . Pierādīts! 2. Pretējie leņķi ir identiski. Pierādījums Saskaņā ar pierādījumu īpašības 1 Mēs to zinām \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Tātad pretējo leņķu summa ir: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Ņemot vērā, ka \trijstūris ABC = \trijstūris ADC, iegūstam \angle A = \angle C , \angle B = \angle D . Pierādīts! 3. Diagonāles sadala uz pusēm ar krustošanās punktu. Pierādījums Uzzīmēsim vēl vienu diagonāli. Autors īpašums 1 mēs zinām, ka pretējās malas ir identiskas: AB = CD . Vēlreiz atzīmējam vienādus leņķus, kas atrodas šķērsām. Tādējādi var redzēt, ka \trijstūris AOB = \trijstūris COD pēc trijstūra otrās vienādības zīmes (divi leņķi un mala starp tiem). Tas ir, BO = OD (pretējs \angle 2 un \angle 1 ) un AO = OC (pretējs \angle 3 un \angle 4 attiecīgi). Pierādīts! Ja jūsu uzdevumā ir tikai viena zīme, tad figūra ir paralelograms un jūs varat izmantot visas šī attēla īpašības. Lai labāk iegaumētu, ņemiet vērā, ka paralelograma zīme atbildēs uz šādu jautājumu − "kā uzzināt?". Tas ir, kā uzzināt, ka dotais skaitlis ir paralelograms. 1. Paralelograms ir četrstūris, kura divas malas ir vienādas un paralēlas. AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD ir paralelograms. Pierādījums Apsvērsim sīkāk. Kāpēc AD || BC? \trijstūris ABC = \trijstūris ADC pēc īpašums 1: AB = CD, AC ir kopīgs un \angle 1 = \angle 2 kā šķērsām ar AB un CD paralēli un secant AC. Bet, ja \trijstūris ABC = \trijstūris ADC , tad \angle 3 = \angle 4 (tie atrodas attiecīgi pretī AB un CD). Un tāpēc AD || BC (\angle 3 un \angle 4 — guļus šķērsām arī ir vienādi). Pirmā zīme ir pareiza. 2. Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir vienādas. AB = CD , AD = BC \Labā bultiņa ABCD ir paralelograms. Pierādījums Apskatīsim šo funkciju. Atkal uzzīmēsim diagonāli AC. Autors īpašums 1\trijstūris ABC = \trijstūris ACD . No tā izriet, ka: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC Un \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, tas ir, ABCD ir paralelograms. Otrā zīme ir pareiza. 3. Paralelograms ir četrstūris, kura pretējie leņķi ir vienādi. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D \labā bultiņa ABCD- paralelograms. Pierādījums 2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(jo ABCD ir četrstūris, un pēc vienošanās \angle A = \angle C , \angle B = \angle D). Tātad \alpha + \beta = 180^(\circ) . Bet \alpha un \beta ir iekšēji vienpusēji pie secant AB . Un tas, ka \alpha + \beta = 180^(\circ) nozīmē arī to, ka AD || BC. Tajā pašā laikā \alpha un \beta ir iekšēji vienpusēji ar sekantu AD . Un tas nozīmē AB || CD. Trešā zīme ir pareiza. 4. Paralelograms ir četrstūris, kura diagonāles sadala uz pusēm ar krustojuma punktu. AO=OC; BO = OD \labās bultiņas paralelograms. Pierādījums BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 kā vertikāla \Labā bultiņa \trijstūris AOB = \trijstūris COD, \Labā bultiņa \angle 3 = \angle 4, un \Rightarrow AB || CD. Līdzīgi BO = OD; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \RightArrow \trijstūris AOD = \trijstūris BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, un \Rightarrow AD || BC. Ceturtā zīme ir pareiza.
(
(Tā kā taisnleņķa trijstūrī kāja, kas atrodas pretī 30 o leņķim, ir vienāda ar pusi hipotenūzas).
veidus.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
Paralelogrammas iezīmes
Paralelogrammas iezīmes
