Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana. Kā atrast lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo un īpašo risinājumu

Lineāro sistēmu risinājums algebriskie vienādojumi(SLAE) neapšaubāmi ir vissvarīgākā lineārās algebra kursa tēma. Lieliska summa problēmas no visām matemātikas nozarēm tiek samazinātas līdz sistēmu risināšanai lineārie vienādojumi... Šie faktori izskaidro šī raksta izveides iemeslu. Raksta materiāls ir izvēlēts un strukturēts tā, lai ar tā palīdzību jūs varētu

• izvēlēties optimālo metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanai,
• izpētīt izvēlētās metodes teoriju,
• atrisiniet savu lineāro vienādojumu sistēmu, detalizēti apsverot tipisko piemēru un problēmu analizētos risinājumus.

Īss raksta materiāla apraksts.

Pirmkārt, mēs sniedzam visas nepieciešamās definīcijas un jēdzienus un ieviešam apzīmējumu.

Tālāk mēs apsveram metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un kuriem ir unikāls risinājums. Pirmkārt, mēs pakavēsimies pie Kramera metodes, otrkārt, mēs parādīsim matricas metodi šādu vienādojumu sistēmu risināšanai, un, treškārt, mēs analizēsim Gausa metodi (nezināmu mainīgo secīgas novēršanas metode). Lai nostiprinātu teoriju, mēs noteikti atrisināsim vairākus SLAE dažādos veidos.

Pēc tam mēs pievēršamies vispārējas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir deģenerēta. Formulēsim Kronekera - Kapelli teorēmu, kas ļauj mums noteikt SLAE savietojamību. Analizēsim sistēmu risinājumu (to saderības gadījumā), izmantojot matricas pamata minoru. Mēs arī apsvērsim Gausa metodi un sīki aprakstīsim piemēru risinājumus.

Mēs noteikti pakavēsimies pie lineāro algebrisko vienādojumu viendabīgu un neviendabīgu sistēmu vispārējā risinājuma struktūras. Sniegsim risinājumu pamata sistēmas jēdzienu un parādīsim, kā SLAE vispārējais risinājums ir uzrakstīts, izmantojot risinājumu pamata sistēmas vektorus. Lai labāk izprastu, apskatīsim dažus piemērus.

Noslēgumā mēs uzskatām vienādojumu sistēmas, kas reducējas līdz lineārām, kā arī dažādi uzdevumi, kuru risinājumā rodas SLAE.

Lapas navigācija.

Definīcijas, jēdzieni, apzīmējumi.

Mēs apsvērsim p lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas ar formas nezināmiem mainīgajiem (p var būt vienāds ar n)

Nezināmi mainīgie, - koeficienti (daži reāli vai sarežģīti skaitļi), - brīvi termini (arī reāli vai sarežģīti skaitļi).

Šo SLAE apzīmējuma formu sauc koordinēt.

V matricas forma apzīmējums, šai vienādojumu sistēmai ir šāda forma,
kur - sistēmas galvenā matrica, - nezināmu mainīgo matricas kolonna, - brīvo dalībnieku matricas kolonna.

Ja matricai A kā (n + 1) kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, tad iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti izvērsto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo dalībnieku kolonnu no pārējām kolonnām atdala vertikāla līnija, tas ir,

Atrisinot lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu ir nezināmu mainīgo vērtību kopums, kas visus sistēmas vienādojumus pārvērš identitātēs. Matricas vienādojums nezināmo mainīgo dotajām vērtībām arī pārvēršas par identitāti.

Ja vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu.

Ja vienādojumu sistēmai nav risinājumu, tad to sauc nekonsekventi.

Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti; ja ir vairāki risinājumi, tad - nenoteikts.

Ja visu sistēmas vienādojumu brīvie nosacījumi ir vienādi ar nulli , tad sistēma tiek izsaukta viendabīgs, citādi - neviendabīgs.

Lineāro algebrisko vienādojumu elementāro sistēmu risinājums.

Ja sistēmas vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmu mainīgo skaitu un tās pamatmatricas noteicējs nav vienāds ar nulli, tad šādi SLAE tiks saukti elementāri... Šādām vienādojumu sistēmām ir unikāls risinājums, un viendabīgas sistēmas gadījumā visi nezināmie mainīgie ir vienādi ar nulli.

Gadā mēs sākām pētīt šādus SLAE vidusskola... Atrisinot tos, mēs paņēmām vienu vienādojumu, izteicām vienu nezināmu mainīgo citu izteiksmē un aizstājām to ar atlikušajiem vienādojumiem, pēc tam ņēmām nākamo vienādojumu, izteicām nākamo nezināmo mainīgo un aizstājām to ar citiem vienādojumiem utt. Vai arī viņi izmantoja pievienošanas metodi, tas ir, pievienoja divus vai vairākus vienādojumus, lai novērstu dažus nezināmus mainīgos. Pie šīm metodēm mēs sīkāk neiedziļināsimies, jo tās patiesībā ir Gausa metodes modifikācijas.

Galvenās metodes lineāro vienādojumu elementāru sistēmu risināšanai ir Krāmera metode, matricas metode un Gausa metode. Analizēsim tos.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana pēc Krāmera metodes.

Pieņemsim, ka mums jāatrisina lineāro algebrisko vienādojumu sistēma

kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas noteicējs ir nulle, tas ir ,.

Ļaut būt noteicējs galvenās matricas sistēmas, un - matricu noteicēji, kas iegūti no A, aizstājot 1., 2., ..., n slejā, attiecīgi, brīvo dalībnieku slejā:

Izmantojot šo apzīmējumu, nezināmie mainīgie tiek aprēķināti pēc Kramera metodes formulām kā ... Tādā veidā tiek atrasts lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājums pēc Krāmera metodes.

Piemērs.

Kramera metode .

Risinājums.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma ... Aprēķināsim tā noteicēju (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Tā kā sistēmas galvenās matricas noteicējs ir nulle, sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Kramera metodi.

Sastādīsim un aprēķināsim nepieciešamos noteicošos faktorus (determinantu iegūst, aizstājot matricas A pirmo kolonnu ar brīvo locekļu kolonnu, noteicošo - aizstājot otro kolonnu ar brīvo locekļu kolonnu, - aizstājot A matricas trešo kolonnu ar brīvo locekļu kolonnu ):

Atrodiet nezināmus mainīgos pēc formulām :

Atbilde:

Krāmera metodes galvenais trūkums (ja to var saukt par trūkumu) ir determinantu aprēķināšanas sarežģītība, ja vienādojumu skaits sistēmā ir lielāks par trim.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi (izmantojot apgriezto matricu).

Ļaujiet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu norādīt matricas formā, kur matricai A ir n dimensija n un tās noteicējs ir nulle.

Tā kā matrica A ir apgriežama, tas ir, ir apgriezta matrica. Ja reizinām abas vienādības puses ar kreiso pusi, tad iegūstam formulu nezināmu mainīgo kolonnu matricas atrašanai. Tātad mēs saņēmām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu matricas metode.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu matricas metode.

Risinājums.

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu matricas formā:

Jo

tad SLAE var atrisināt ar matricas metodi. Izmantojot apgriezto matricu, šīs sistēmas risinājumu var atrast kā .

Konstruēsim apgriezto matricu, izmantojot matricas A elementu algebrisko papildinājumu matricu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atliek aprēķināt - nezināmo mainīgo matricu, reizinot apgriezto matricu uz brīvo dalībnieku kolonnas matricu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atbilde:

vai citā apzīmējumā x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Galvenā problēma, meklējot risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām ar matricas metodi, ir apgrieztās matricas atrašanas sarežģītība, jo īpaši kvadrātveida matricām, kuru secība ir augstāka par trešo.

Lineāro vienādojumu sistēmu risinājums pēc Gausa metodes.

Pieņemsim, ka mums jāatrod risinājums n lineāro vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem
kuras galvenās matricas noteicējs ir nulle.

Gausa metodes būtība sastāv no nezināmu mainīgo secīgas likvidēšanas: pirmkārt, x 1 tiek izslēgts no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro, tad x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot ar trešo, un tā tālāk, līdz tikai nezināmais mainīgais xn paliek pēdējā vienādojumā. Tiek saukts šāds sistēmas vienādojumu pārveidošanas process, lai secīgi novērstu nezināmus mainīgos pēc Gausa metodes tiešā kursa... Pēc Gausa metodes uz priekšu izpildes pabeigšanas x n tiek atrasts no pēdējā vienādojuma, izmantojot šo vērtību, x n-1 tiek aprēķināts no priekšpēdējā vienādojuma un tā tālāk, x 1 tiek atrasts no pirmā vienādojuma. Tiek izsaukts nezināmu mainīgo aprēķināšanas process, pārejot no sistēmas pēdējā vienādojuma uz pirmo atpalikušā Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs to pieņemsim, jo ​​mēs to vienmēr varam sasniegt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Izslēdziet nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam mēs pievienojam pirmo, kas reizināts ar, trešajam vienādojumam mēs pievienojam pirmo, reizinātu ar utt., N-tajam vienādojumam pievienojam pirmo, reizinot ar. Vienādojumu sistēma pēc šādām pārvērtībām iegūst formu

kur, un .

Mēs nonāktu pie tāda paša rezultāta, ja sistēmas pirmajā vienādojumā izteiktu x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem un iegūto izteiksmi aizstātu visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot ar otro.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam mēs pievienojam otro, kas reizināts ar, ceturtajam vienādojumam mēs pievienojam otro, kas reizināts ar, un tā tālāk, n-tajam vienādojumam mēs pievienojam otro reizinot ar. Vienādojumu sistēma pēc šādām pārvērtībām iegūst formu

kur, un ... Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot ar trešo.

Tālāk mēs turpinām nezināmā x 3 likvidēšanu, kamēr mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām Gausa metodes tiešo kursu, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam Gausa metodes apgriezto kursu: mēs aprēķinām xn no pēdējā vienādojuma, jo, izmantojot iegūto xn vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmais vienādojums.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu pēc Gausa metodes.

Risinājums.

Izslēdziet nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, abām otrā un trešā vienādojuma daļām pievienojiet atbilstošās pirmā vienādojuma daļas, kas reizinātas ar un attiecīgi:

Tagad mēs izslēdzam x 2 no trešā vienādojuma, kreisajai un labajai pusei pievienojot otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar:

Šajā brīdī Gausa metodes virzība uz priekšu ir beigusies, mēs sākam apgriezto kustību.

No iegūtās vienādojumu sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3:

No otrā vienādojuma mēs iegūstam.

No pirmā vienādojuma mēs atrodam atlikušo nezināmo mainīgo, un tas pabeidz Gausa metodes apgriezto kursu.

Atbilde:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vispārējās formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risinājums.

Vispārīgā gadījumā vienādojumu skaits sistēmā p nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu n:

Šādiem SLAE var nebūt risinājumu, tiem var būt viens risinājums vai tiem ir bezgala daudz risinājumu. Šis apgalvojums attiecas arī uz vienādojumu sistēmām, kuru pamatmatrica ir kvadrātveida un deģenerēta.

Kronekera - Kapelli teorēma.

Pirms atrast risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai, ir jānoskaidro tās saderība. Atbildi uz jautājumu, kad SLAE ir saderīga un kad tā nav saderīga, sniedz Kronekera - Kapelli teorēma:
lai p vienādojumu sistēma ar n nezināmiem (p var būt vienāda ar n) būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekams, lai sistēmas galvenās matricas rangs būtu vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tas ir, Rank (A) = rangs (T).

Apskatīsim, piemēram, Kronekera - Kapelli teorēmas pielietojumu, lai noteiktu lineāro vienādojumu sistēmas saderību.

Piemērs.

Uzziniet, vai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumi.

Risinājums.

... Izmantosim robežojošo nepilngadīgo metodi. Neliela otrās kārtas bez nulles. Sakārtosim trešās kārtas nepilngadīgos, kas robežojas ar to:

Tā kā visi trešās kārtas blakus esošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, galvenās matricas rangs ir vienāds ar diviem.

Savukārt paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar trim, jo ​​trešās kārtas nepilngadīgais

bez nulles.

Tādējādi, Rang (A), tāpēc pēc Kronekera - Kapelli teorēmas mēs varam secināt, ka sākotnējā lineāro vienādojumu sistēma ir pretrunīga.

Atbilde:

Sistēmai nav risinājumu.

Tātad, mēs esam iemācījušies noteikt sistēmas neatbilstību, izmantojot Kronekera - Kapelli teorēmu.

Bet kā atrast SLAE risinājumu, ja ir konstatēta tā saderība?

Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams matricas pamat minorālisma jēdziens un teorēma par matricas pakāpi.

Tiek saukta matricas A augstākā pakāpes minor, izņemot nulli pamata.

No nepilngadīgā pamata definīcijas izriet, ka tā secība ir vienāda ar matricas rangu. Matricai A, kas nav nulle, var būt vairāki pamata nepilngadīgie; vienmēr ir viens pamata minors.

Piemēram, ņemiet vērā matricu .

Visi šīs matricas trešās kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, jo šīs matricas trešās rindas elementi ir pirmās un otrās rindas atbilstošo elementu summa.

Tālāk minētie otrās kārtas nepilngadīgie ir pamata, jo viņi nav nulle

Nepilngadīgie nav pamata, jo tie ir vienādi ar nulli.

Matricas ranga teorēma.

Ja secības p matricas rangs n ir vienāds ar r, tad visi matricas rindu (un kolonnu) elementi, kas neveido izvēlēto pamata minoru, tiek lineāri izteikti rindu atbilstošo elementu izteiksmē ( un kolonnas), kas veido pamata minoru.

Ko mums dod matricas ranga teorēma?

Ja pēc Kronekera - Kapelli teorēmas esam noskaidrojuši sistēmas saderību, tad mēs izvēlamies jebkuru sistēmas pamatmatricas pamata minoru (tā secība ir r) un izslēdzam no sistēmas visus vienādojumus, kas neveidojas izvēlētais pamata nepilngadīgais. Šādā veidā iegūtā SLAE būs līdzvērtīga sākotnējai, jo izmestie vienādojumi joprojām ir lieki (saskaņā ar matricas ranga teorēmu tie ir atlikušo vienādojumu lineāra kombinācija).

Rezultātā pēc nevajadzīgu sistēmas vienādojumu atmešanas ir iespējami divi gadījumi.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā sistēmā ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu, tad tas būs noteikts un vienīgo risinājumu var atrast ar Kramera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Piemērs.

.

Risinājums.

Sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar diviem, jo ​​otrās kārtas nepilngadīgais bez nulles. Paplašināts matricas rangs ir arī vienāds ar diviem, jo ​​trešās kārtas vienīgais mazais ir vienāds ar nulli

un iepriekš minētais otrās kārtas nepilngadīgais ir nulle. Pamatojoties uz Kronekera - Kapelli teorēmu, mēs varam apgalvot lineārās vienādojumu sākotnējās sistēmas saderību, jo rangs (A) = rangs (T) = 2.

Mēs uzskatām par pamata nepilngadīgo ... To veido pirmā un otrā vienādojuma koeficienti:


Trešais sistēmas vienādojums nepiedalās pamata minorā, tāpēc mēs to izslēdzam no sistēmas, pamatojoties uz teorēmu par matricas rangu:


Tā mēs ieguvām elementāru lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu. Atrisināsim to, izmantojot Kramera metodi:


Atbilde:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā SLAE ir mazāks par nezināmo mainīgo skaitu n, tad vienādojumu kreisajās malās mēs atstājam terminus, kas veido pamata minor, atlikušie termini tiek pārnesti uz labajām pusēm no sistēmas vienādojumiem ar pretēju zīmi.

Tiek saukti vienādojumu kreisajā pusē palikušie nezināmie mainīgie (to ir r) galvenais.

Tiek saukti nezināmie mainīgie (ir n - r gabali), kas parādās labajā pusē bezmaksas.

Tagad mēs pieņemam, ka bezmaksas nezināmie mainīgie var iegūt patvaļīgas vērtības, un r pamata nezināmie mainīgie tiks izteikti brīvu nezināmu mainīgo veidā unikālā veidā. To izpausmi var atrast, atrisinot iegūto SLAE ar Krāmera metodi, ar matricas metodi vai ar Gausa metodi.

Ņemsim piemēru.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu .

Risinājums.

Atrodiet sistēmas galvenās matricas rangu ar metodi, kas robežojas ar nepilngadīgajiem. Mēs pieņemam 1 1 = 1 kā nulles pirmās kārtas nepilngadīgo. Sāksim meklēt nulles otrās kārtas nepilngadīgo, kas ieskauj šo nepilngadīgo:


Šādi mēs atradām otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle. Sāksim meklēt trešās kārtas bez nulles robežojošo nepilngadīgo:


Tādējādi galvenās matricas rangs ir trīs. Paplašinātās matricas rangs ir arī trīs, tas ir, sistēma ir konsekventa.

Par pamatu ņemam atrasto trešās kārtas nepilngadīgo.

Skaidrības labad mēs parādām elementus, kas veido pamata minor:


Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam terminus, kas piedalās pamata minorā, pārējie ar pretējām zīmēm tiek pārnesti uz labajām pusēm:


Piešķirsim patvaļīgas vērtības brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem x 2 un x 5, tas ir, mēs ņemam , kur ir patvaļīgi skaitļi. Šajā gadījumā SLAE būs šāda forma


Iegūto lineāro algebrisko vienādojumu elementāro sistēmu atrisina ar Krāmera metodi:


Līdz ar to ,.

Neaizmirstiet atbildē norādīt bezmaksas nezināmus mainīgos.

Atbilde:

Kur ir patvaļīgi skaitļi.

Apkopojiet.

Lai atrisinātu vispārējas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, vispirms noskaidrojam tās saderību, izmantojot Kronekera - Kapelli teorēmu. Ja galvenās matricas rangs nav vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tad secinām, ka sistēma nav saderīga.

Ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tad mēs izvēlamies pamata minoru un izmetam sistēmas vienādojumus, kas nepiedalās izvēlētā pamata minorā.

Ja pamata nepilngadīgā secība ir vienāds ar skaitli nezināmus mainīgos, tad SLAE ir unikāls risinājums, ko mēs atrodam ar jebkuru mums zināmu metodi.

Ja pamata minorā secība ir mazāka par nezināmo mainīgo skaitu, tad sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam terminus ar nezināmiem pamata mainīgajiem, pārējos atlikušos pārnesam uz labajām pusēm un piešķir patvaļīgas vērtības brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem. No iegūtās lineāro vienādojumu sistēmas mēs atrodam galvenos nezināmos mainīgos, izmantojot Krāmera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Gausa metode vispārējas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Gausa metodi var izmantot, lai atrisinātu jebkura veida lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas, vispirms nepārbaudot to saderību. Secīgu nezināmu mainīgo likvidēšanas process ļauj secināt gan SLAE saderību, gan nesaderību, un, ja ir risinājums, tas ļauj to atrast.

No skaitļošanas darba viedokļa priekšroka dodama Gausa metodei.

Skaties Detalizēts apraksts un apsprieda rakstā Gausa metodes piemērus vispārējas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Homogēnu un neviendabīgu lineāru algebrisko sistēmu vispārīgā risinājuma rakstīšana, izmantojot risinājumu pamattīkla vektorus.

Šajā sadaļā mēs pievērsīsimies saderīgām viendabīgām un neviendabīgām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām ar bezgalīgu risinājumu kopumu.

Vispirms pievērsīsimies viendabīgām sistēmām.

Pamata lēmumu sistēma Homogēna p lineāro algebrisko vienādojumu sistēma ar n nezināmiem mainīgajiem ir šīs sistēmas lineāri neatkarīgo risinājumu kopums (n - r), kur r ir sistēmas pamatmatricas pamats minorā.

Ja homogēnas SLAE lineāri neatkarīgus risinājumus apzīmējam kā X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) ir n-by-1 kolonnu matricas), tad šīs viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums tiek attēlots kā lineāra risinājumu pamata sistēmas vektoru kombinācija ar patvaļīgiem konstantiem koeficientiem С 1, С 2, ..., С (nr), tas ir ,.

Ko nozīmē termins vispārējs lineāras algebrisko vienādojumu sistēmas (oroslau) risinājums?

Lieta ir vienkārša: formula nosaka visu iespējamie risinājumi sākotnējais SLAE, citiem vārdiem sakot, ņemot jebkuru patvaļīgu konstantu С 1, С 2, ..., С (n-r) vērtību kopu, pēc formulas mēs iegūstam vienu no sākotnējās viendabīgās SLAE risinājumiem.

Tādējādi, ja mēs atradīsim fundamentālu risinājumu sistēmu, tad mēs varēsim norādīt visus šīs viendabīgās SLAE risinājumus kā.

Parādīsim homogēnas SLAE pamata risinājumu sistēmas veidošanas procesu.

Mēs izvēlamies lineāro vienādojumu sākotnējās sistēmas pamata minoru, izslēdzam no sistēmas visus pārējos vienādojumus un pārnesam visus terminus, kuros ir brīvi nezināmi mainīgie, uz sistēmas vienādojumu labajām pusēm ar pretējām zīmēm. Sniegsim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem lielumus 1,0,0, ..., 0 un aprēķināsim galvenos nezināmos, jebkādā veidā atrisinot iegūto lineāro vienādojumu elementāro sistēmu, piemēram, ar Kramera metodi. Tas dos X (1) - pirmo risinājumu pamata sistēmai. Ja brīvajiem nezināmajiem piešķiram vērtības 0,1,0,0,…, 0 un aprēķinām galvenos nezināmos, iegūstam X (2). Utt. Ja brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem piešķiram vērtības 0.0, ..., 0.1 un aprēķinām pamata nezināmos, tad iegūstam X (n-r). Tādā veidā tiks veidota viendabīga SLAE risinājumu pamata sistēma un tās vispārējais risinājums var tikt uzrakstīts formā.

Nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām vispārējais risinājums ir attēlots tādā formā, kur ir attiecīgās viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums, un tas ir sākotnējās neviendabīgās SLAE īpašais risinājums, ko mēs iegūstam, sniedzot brīvajiem nezināmajiem vērtības 0,0, ..., 0 un aprēķinot galveno nezināmo vērtības.

Apskatīsim piemērus.

Piemērs.

Atrodiet risinājumu pamata sistēmu un viendabīgās lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas vispārējo risinājumu .

Risinājums.

Lineāro vienādojumu viendabīgu sistēmu galvenās matricas rangs vienmēr ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu. Atradīsim galvenās matricas rangu pēc nepilngadīgo robežas metodes. Kā nelielas pirmās kārtas nepilngadīgais mēs ņemam sistēmas galvenās matricas elementu a 1 1 = 9. Atrodiet blakus esošu otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle:

Ir atrasts otrās kārtas nepilngadīgais. Atkārtosim trešās kārtas nepilngadīgos, kas robežojas ar to, meklējot nenulles:

Visi trešās kārtas blakus esošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tāpēc galveno un pagarināto matricu rangs ir vienāds ar diviem. Pieņemt kā pamata nepilngadīgo. Skaidrības labad mēs atzīmējam sistēmas elementus, kas to veido:

Sākotnējā SLAE trešais vienādojums nepiedalās pamata minor veidošanā, tāpēc to var izslēgt:

Mēs atstājam vienādojumu labajā pusē terminus, kas satur galvenos nezināmos, un labajā pusē mēs pārnesam terminus ar brīvajiem nezināmajiem:

Konstruēsim pamata risinājumu sistēmu sākotnējai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai. Šīs SLAE risinājumu pamatu sistēma sastāv no diviem risinājumiem, jo ​​sākotnējā SLAE ir četri nezināmi mainīgie, un tās pamata minoritātes secība ir divi. Lai atrastu X (1), mēs piešķiram brīvajiem nezināmiem mainīgajiem lielumus x 2 = 1, x 4 = 0, pēc tam atrodam galvenos nezināmos no vienādojumu sistēmas
.

Skolā katrs no mums pētīja vienādojumus un, protams, vienādojumu sistēmas. Bet ne daudzi cilvēki zina, ka ir vairāki veidi, kā tos atrisināt. Šodien mēs detalizēti analizēsim visas metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanai, kas sastāv no vairāk nekā divām vienādībām.

Vēsture

Mūsdienās ir zināms, ka vienādojumu un to sistēmu risināšanas māksla radās Senajā Babilonijā un Ēģiptē. Tomēr vienādības to parastajā formā parādījās pēc vienādības zīmes "=" parādīšanās, ko 1556. gadā ieviesa angļu matemātiķis Record. Starp citu, šī zīme tika izvēlēta iemesla dēļ: tas nozīmē divus paralēlus vienādus segmentus. Patiešām, nav labāka vienlīdzības piemēra.

Mūsdienu nezināmo un grādu zīmju burtu apzīmējumu dibinātājs ir franču matemātiķis, tomēr viņa apzīmējumi būtiski atšķīrās no mūsdienīgajiem. Piemēram, nezināmā skaitļa kvadrātu viņš apzīmēja ar burtu Q (latīņu valodā "quadratus"), bet kubu - ar burtu C (latīņu "cubus"). Šis apzīmējums tagad šķiet neērts, bet tad tas bija saprotamākais veids, kā rakstīt lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas.

Tomēr toreizējo risinājumu metožu trūkums bija tāds, ka matemātiķi uzskatīja tikai pozitīvas saknes. Varbūt tas ir saistīts ar faktu, ka negatīvajām vērtībām nebija nekādu praktisks pielietojums... Tā vai citādi itāļu matemātiķi Nikolo Tartaglija, Gerolamo Kardano un Rafaels Bombelli bija pirmie, kas 16. gadsimtā apsvēra negatīvās saknes. A moderns izskats, galvenā risināšanas metode (caur diskriminantu) tika izveidota tikai 17. gadsimtā, pateicoties Dekarta un Ņūtona darbiem.

18. gadsimta vidū Šveices matemātiķis Gabriels Krāmers atrada jaunu veidu, kā atvieglot lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu. Šī metode vēlāk tika nosaukta viņa vārdā, un līdz šai dienai mēs to izmantojam. Bet par Kramera metodi mēs runāsim nedaudz vēlāk, bet pagaidām atsevišķi par sistēmu apspriedīsim lineāros vienādojumus un metodes to risināšanai.

Lineārie vienādojumi

Lineārie vienādojumi ir vienkāršākās vienādības ar mainīgo (-iem). Tos klasificē kā algebriskos. vispārīgā formā rakstīts šādi: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b. Mums būs nepieciešama viņu pārstāvība šādā formā, turpmāk apkopojot sistēmas un matricas.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas

Šī termina definīcija ir šāda: tas ir vienādojumu kopums, kam ir kopīgi nezināmi un kopīgs risinājums. Parasti skolā visu atrisināja sistēmas ar diviem vai pat trim vienādojumiem. Bet ir sistēmas ar četriem vai vairākiem komponentiem. Vispirms izdomāsim, kā tos pierakstīt, lai nākotnē būtu ērti atrisināt. Pirmkārt, lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas izskatīsies labāk, ja visi mainīgie tiks uzrakstīti kā x ar atbilstošu indeksu: 1,2,3 un tā tālāk. Otrkārt, visi vienādojumi jāsasniedz kanoniskā formā: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.

Pēc visām šīm darbībām mēs varam sākt stāstīt, kā rast risinājumu lineāro vienādojumu sistēmām. Tam ļoti noder matricas.

Matricas

Matrica ir tabula, kas sastāv no rindām un kolonnām, un tās elementi atrodas to krustojumā. Tās var būt vai nu īpašas vērtības, vai mainīgie. Visbiežāk, lai apzīmētu elementus, zem tiem ievieto apakšrakstus (piemēram, 11 vai 23). Pirmais indekss ir rindas numurs, bet otrais - kolonna. Dažādas darbības var veikt ar matricām, kā arī ar jebkuru citu matemātisko elementu. Tādējādi jūs varat:

2) Reiziniet matricu ar jebkuru skaitli vai vektoru.

3) Transponēt: pārveidojiet matricas rindas kolonnās un kolonnas rindās.

4) Reiziniet matricas, ja vienas no tām rindu skaits ir vienāds ar otras kolonnu skaitu.

Mēs visas šīs metodes apspriedīsim sīkāk, jo tās mums noderēs nākotnē. Matricu atņemšana un pievienošana ir ļoti vienkārša. Tā kā mēs ņemam vienāda lieluma matricas, katrs vienas tabulas elements atbilst katram otras daļas elementam. Tādējādi mēs pievienojam (atņemam) šos divus elementus (ir svarīgi, lai tie savās matricās atrastos vienās un tajās pašās vietās). Reizinot matricu ar skaitli vai vektoru, jums vienkārši jāreizina katrs matricas elements ar šo skaitli (vai vektoru). Transponēšana ir ļoti interesants process. Dažreiz ir ļoti interesanti viņu redzēt īsta dzīve piemēram, mainot planšetdatora vai tālruņa orientāciju. Darbvirsmas ikonas ir matrica, un, mainot pozīciju, tā tiek transponēta un kļūst platāka, bet samazinās augstumā.

Analizēsim arī šādu procesu, lai gan tas mums nav noderīgi, tomēr būs noderīgi to zināt. Jūs varat reizināt divas matricas tikai tad, ja kolonnu skaits vienā tabulā ir vienāds ar rindu skaitu otrā. Tagad ņemsim vienas matricas rindas elementus un citas atbilstošās kolonnas elementus. Reizināsim tos viens ar otru un pēc tam pievienosim (tas ir, piemēram, elementu a 11 un a 12 reizinājums ar b 12 un b 22 būs vienāds ar: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tādējādi tiek iegūts viens tabulas elements, un ar līdzīgu metodi tas tiek aizpildīts tālāk.

Tagad mēs varam sākt apsvērt, kā tiek atrisināta lineāro vienādojumu sistēma.

Gausa metode

Šo tēmu sāk apspriest skolā. Mēs labi apzināmies jēdzienu "divu lineāru vienādojumu sistēma" un spējam tos atrisināt. Bet ko tad, ja vienādojumu skaits ir lielāks par diviem? Tas mums palīdzēs

Protams, šo metodi ir ērti lietot, ja no sistēmas izveidojat matricu. Bet jūs nevarat to pārveidot un atrisināt tīrā veidā.

Tātad, kā ar šo metodi tiek atrisināta lineāro Gausa vienādojumu sistēma? Starp citu, lai gan šī metode ir nosaukta viņa vārdā, tā tika atklāta senatnē. Gauss ierosina sekojošo: veikt operācijas ar vienādojumiem, lai galu galā visu kopu samazinātu līdz pakāpeniskai formai. Tas ir, ir nepieciešams, lai no augšas uz leju (ja tas ir pareizi novietots) no pirmā vienādojuma līdz pēdējam samazinās vienā nezināmā. Citiem vārdiem sakot, mums jāpārliecinās, ka iegūstam, teiksim, trīs vienādojumus: pirmajā - trīs nezināmie, otrajā - divi, trešajā - viens. Tad no pēdējā vienādojuma mēs atrodam pirmo nezināmo, aizstājam tā vērtību otrajā vai pirmajā vienādojumā un pēc tam atrodam atlikušos divus mainīgos.

Kramera metode

Lai apgūtu šo metodi, ir ļoti svarīgi iegūt matricu saskaitīšanas, atņemšanas prasmes, kā arī jāspēj atrast noteicošos faktorus. Tāpēc, ja jūs to visu darāt slikti vai vispār nemākat, jums būs jāmācās un jātrenējas.

Kāda ir šīs metodes būtība un kā to izveidot tā, lai tiktu iegūta lineāro Krāmera vienādojumu sistēma? Viss ir ļoti vienkārši. Mums ir jāveido matrica no lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas skaitliskajiem (gandrīz vienmēr) koeficientiem. Lai to izdarītu, mēs vienkārši ņemam skaitļus priekšā nezināmajiem un ievietojam tos tabulā tādā secībā, kādā tie ir ierakstīti sistēmā. Ja skaitļa priekšā ir zīme "-", tad pierakstiet negatīvu koeficientu. Tātad, mēs esam apkopojuši pirmo nezināmo koeficientu matricu, neiekļaujot skaitļus aiz vienādības zīmēm (protams, vienādojums jāsamazina līdz kanoniskajai formai, kad labajā pusē ir tikai skaitlis, un visiem nezināmajiem ar koeficientiem) atrodas kreisajā pusē). Tad jums ir jāizveido vēl vairākas matricas - viena katram mainīgajam. Lai to izdarītu, pirmajā matricā savukārt nomainiet katru kolonnu ar koeficientiem ar skaitļu kolonnu aiz vienādības zīmes. Tādējādi mēs iegūstam vairākas matricas un pēc tam atrodam to noteicošos faktorus.

Pēc tam, kad esam atraduši kvalifikāciju, lieta ir maza. Mums ir sākotnējā matrica, un ir vairākas iegūtās matricas, kas atbilst dažādiem mainīgajiem. Lai iegūtu sistēmas risinājumus, mēs sadalām iegūtās tabulas noteicēju ar sākotnējās tabulas determinantu. Iegūtais skaitlis ir viena mainīgā vērtība. Līdzīgi mēs atrodam visus nezināmos.

Citas metodes

Ir vairākas citas metodes, lai iegūtu risinājumu lineāro vienādojumu sistēmām. Piemēram, tā saucamā Gausa-Džordana metode, ar kuras palīdzību tiek meklēti sistēmas risinājumi kvadrātvienādojumi un tas ir saistīts arī ar matricu izmantošanu. Pastāv arī Jacobi metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanai. Tas ir visvieglāk pielāgojams datoram, un to izmanto skaitļošanā.

Grūti gadījumi

Sarežģītība parasti rodas, ja vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu. Tad mēs varam droši apgalvot, ka vai nu sistēma ir pretrunīga (tas ir, tai nav sakņu), vai arī tās risinājumu skaitam ir tendence uz bezgalību. Ja mums ir otrais gadījums, tad mums jāpieraksta lineāro vienādojumu sistēmas vispārējais risinājums. Tajā būs vismaz viens mainīgais.

Secinājums

Šeit mēs nonākam līdz galam. Apkoposim: mēs esam analizējuši, kas ir sistēma un matrica, iemācījāmies atrast vispārēju risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai. Turklāt tika apsvērti citi varianti. Mēs sapratām, kā tiek atrisināta lineāro vienādojumu sistēma: Gausa metode un Mēs runājām par sarežģīti gadījumi un citi veidi, kā atrast risinājumus.

Patiesībā šī tēma ir daudz plašāka, un, ja vēlaties to labāk izprast, iesakām lasīt vairāk specializētas literatūras.

Lineāro vienādojumu sistēmas. 6. lekcija.

Lineāro vienādojumu sistēmas.

Pamatjēdzieni.

Skatīt sistēmu

sauca sistēma - lineāri vienādojumi ar nezināmiem.

Skaitļi ,, tiek saukti sistēmas koeficienti.

Tiek saukti numuri bezmaksas sistēmas dalībnieki, – sistēmas mainīgie... Matrica

sauca sistēmas galvenā matrica un matrica

– paplašināta matricas sistēma... Matricas - kolonnas

Un attiecīgi brīvo dalībnieku un sistēmas nezināmo matricas... Tad matricas formā vienādojumu sistēmu var ierakstīt formā. Sistēmas risinājums sauc par mainīgo lielumiem, aizstājot tos, visi sistēmas vienādojumi pārvēršas par patiesām skaitliskām vienādībām. Jebkuru sistēmas risinājumu var attēlot matricas - kolonnas veidā. Tad matricas vienlīdzība ir spēkā.

Vienādojumu sistēmu sauc locītavu ja tam ir vismaz viens risinājums un nekonsekventi ja tam nav risinājuma.

Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana nozīmē noskaidrot, vai tā ir saderīga, un saderības gadījumā atrast tās vispārējo risinājumu.

Sistēmu sauc viendabīgs ja visi tā brīvie dalībnieki ir vienādi ar nulli. Viendabīga sistēma vienmēr ir saderīga, jo tai ir risinājums

Kronekera - Kopelli teorēma.

Atbilde uz jautājumu par lineāro sistēmu risinājumu esamību un to unikalitāti ļauj mums iegūt šādu rezultātu, ko var formulēt šādu apgalvojumu veidā par lineāro vienādojumu sistēmu ar nezināmiem

(1)

2. teorēma... Lineāro vienādojumu sistēma (1) ir konsekventa tikai un vienīgi tad, ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātā (.

3. teorēma... Ja lineārās vienādojumu kopīgās sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar nezināmo skaitu, tad sistēmai ir unikāls risinājums.

4. teorēma... Ja saderīgas sistēmas galvenās matricas rangs ir mazāks par nezināmo skaitu, tad sistēmai ir bezgalīgs risinājumu kopums.

Sistēmas risinājuma noteikumi.

3. Atrodiet galveno mainīgo izteiksmi brīvo izteiksmē un iegūstiet sistēmas vispārējo risinājumu.

4. Piešķirot brīviem mainīgajiem patvaļīgas vērtības, tiek iegūtas visas galveno mainīgo vērtības.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes.

Apgrieztās matricas metode.

turklāt sistēmai ir unikāls risinājums. Uzrakstīsim sistēmu matricas formā

kur , , .

Mēs reizinām abas matricas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu

Kopš tā laika mēs iegūstam vienlīdzību nezināmo atrašanai

27. piemērs. Izmantojot apgrieztās matricas metodi, atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Risinājums. Apzīmēsim ar sistēmas galveno matricu

.

Ļaujiet, tad mēs atrodam risinājumu pēc formulas.

Aprēķināsim.

Kopš tā laika sistēmai ir unikāls risinājums. Atrodiet visus algebriskos papildinājumus

, ,

, ,

, ,

, ,

Tādējādi

.

Pārbaudīsim

.

Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi. No šejienes, izmantojot formulu, mēs atrodam mainīgo matricu.

.

Salīdzinot matricu vērtības, mēs iegūstam atbildi :.

Kramera metode.

Lai tiek dota lineāro vienādojumu sistēma ar nezināmiem

turklāt sistēmai ir unikāls risinājums. Pierakstīsim sistēmas risinājumu matricas formā vai

Mēs apzīmējam

. . . . . . . . . . . . . . ,

Tādējādi mēs iegūstam formulas nezināmo vērtību atrašanai, kuras sauc Kramera formulas.

28. piemērs. Ar Kramera metodi atrisiniet šādu lineāro vienādojumu sistēmu .

Risinājums. Atradīsim sistēmas galvenās matricas noteicēju

.

Kopš tā laika sistēmai ir viens risinājums.

Atradīsim atlikušos Krāmera formulu noteicošos faktorus

,

,

.

Izmantojot Kramera formulas, mēs atrodam mainīgo vērtības

Gausa metode.

Metode sastāv no mainīgo mainīšanas secīgi.

Lai tiek dota lineāro vienādojumu sistēma ar nezināmiem.

Gausa risinājuma process sastāv no diviem posmiem:

Pirmajā posmā sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta, izmantojot elementāras transformācijas pakāpeniskai formai

,

kur, kam sistēma atbilst

Pēc tam mainīgie tiek uzskatīti par brīviem un katrā vienādojumā tiek pārvietoti uz labo pusi.

Otrajā posmā mainīgo izsaka no pēdējā vienādojuma, iegūto vērtību aizstāj vienādojumā. No šī vienādojuma

mainīgais tiek izteikts. Šis process turpinās līdz pirmajam vienādojumam. Rezultāts ir galveno mainīgo izteiksme brīvo mainīgo izteiksmē .

29. piemērs. Atrisiniet šādu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

Risinājums. Izrakstīsim sistēmas paplašināto matricu un reducēsim to līdz pakāpeniskai formai

.

Jo vairāk nekā nezināmo, tad sistēma ir konsekventa un tai ir bezgalīgs risinājumu kopums. Uzrakstīsim pakāpeniskās matricas sistēmu

Šīs sistēmas paplašinātās matricas, kas sastāv no pirmajām trim kolonnām, noteicējs nav vienāds ar nulli, tāpēc to uzskata par pamata. Mainīgie

Tie būs pamata un mainīgais būs bezmaksas. Mēs to pārnesam visos vienādojumos uz kreiso pusi

No pēdējā vienādojuma, ko mēs izsakām

Aizstājot šo vērtību priekšpēdējā otrajā vienādojumā, mēs iegūstam

kur ... Aizstājot mainīgo vērtību vērtības pirmajā vienādojumā, mēs atrodam ... Mēs uzrakstām atbildi šādā formā

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ir viena no galvenajām lineārās algebra problēmām. Šai problēmai ir liela lietišķa nozīme zinātnisku un tehnisku problēmu risināšanā, turklāt tā ir palīgdarbība daudzu skaitļošanas matemātikas, matemātiskās fizikas algoritmu ieviešanā, eksperimentālo pētījumu rezultātu apstrādē.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma sauc par formulas vienādojumu sistēmu: (1)

kur – nezināmie; - bezmaksas biedri.

Atrisinot vienādojumu sistēmu(1) tiek saukta jebkura skaitļu kopa, kas tiek ievadīta sistēmā (1) nezināmo vietā pārvērš visus sistēmas vienādojumus par patiesām skaitliskām vienādībām.

Vienādojumu sistēmu sauc locītavu ja tam ir vismaz viens risinājums, un nekonsekventi ja tam nav risinājumu.

Kopīgo vienādojumu sistēmu sauc noteikti ja tam ir viens unikāls risinājums, un nenoteikts ja tam ir vismaz divi dažādi risinājumi.

Tiek sauktas divas vienādojumu sistēmas līdzvērtīgs vai līdzvērtīgs ja tiem ir vienāds risinājumu kopums.

Tiek izsaukta sistēma (1) viendabīgs ja bezmaksas nosacījumi ir vienādi ar nulli:

Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa - tai ir risinājums (iespējams, ne vienīgais).

Ja sistēmā (1), tad sistēma mums ir n lineārie vienādojumi ar n nezināma: kur – nezināmie; - koeficienti nezināmiem, - bezmaksas biedri.

Lineāra sistēma var būt viens risinājums, bezgalīgi daudz risinājumu vai nav.

Apsveriet divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem

Ja tad sistēmai ir unikāls risinājums;

ja tad sistēmai nav risinājumu;

ja tad sistēmai ir bezgalīgs risinājumu kopums.

Piemērs. Sistēmai ir unikāls risinājums ciparu pārim

Sistēmai ir bezgalīgs risinājums. Piemēram, šīs sistēmas risinājumi ir skaitļu pāri utt.

Sistēmai nav risinājumu, jo divu skaitļu starpība nevar iegūt divas dažādas vērtības.

Definīcija. Otrās kārtas noteicējs izsaukt formas izteiksmi:

Determinantu apzīmē ar simbolu D.

Cipari a 11, …, a 22 sauc par kvalifikācijas elementiem.

Diagonāli veido elementi a 11 ; a 22 zvans galvenais, elementu veidotā diagonāle a 12 ; a 21 − pusē.

Tādējādi otrās kārtas noteicējs ir vienāds ar galveno un sekundāro diagonāļu elementu reizinājumu atšķirību.

Ņemiet vērā, ka atbilde ir skaitlis.

Piemērs. Aprēķināsim noteicošos faktorus:

Apsveriet divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem: kur NS 1, NS 2 – nezināmie; a 11 , …, a 22 - nezināmo koeficienti, b 1 , b 2 - bezmaksas biedri.

Ja divu vienādojumu sistēmai ar diviem nezināmiem ir unikāls risinājums, tad to var atrast, izmantojot otrās kārtas determinantus.

Definīcija. Tiek saukts noteicējs, kas sastāv no nezināmo koeficientiem sistēmas noteicējs: D =.

Determinanta D kolonnās ir ietverti koeficienti NS 1 un plkst , NS 2. Ievadiet divus papildu noteicējs, kas iegūti no sistēmas noteicēja, vienu no kolonnām aizstājot ar brīvo terminu kolonnu: D 1 = D 2 =.

14. teorēma(Kramers, gadījumam n = 2). Ja sistēmas determinants D ir nulle (D¹0), tad sistēmai ir unikāls risinājums, kas atrodams pēc formulas:

Šīs formulas sauc pēc Krāmera formulām.

Piemērs. Atrisināsim sistēmu saskaņā ar Krāmera likumu:

Risinājums. Atrodiet ciparus

Atbilde.

Definīcija. Trešās kārtas noteicējs izsaukt formas izteiksmi:

Elementi a 11; a 22 ; a 33 - veido galveno diagonāli.

Cipari a 13; a 22 ; a 31 - veidojiet sānu diagonāli.

Ierakstā ar plusu ietilpst: elementu reizinājums uz galvenās diagonāles, pārējie divi termini ir elementu reizinājums, kas atrodas trijstūru virsotnēs, kuru pamatnes ir paralēlas galvenajai diagonālei. Mīnusnosaukumi tiek veidoti saskaņā ar to pašu shēmu attiecībā uz sānu diagonāli.

Piemērs. Aprēķināsim noteicošos faktorus:

Apsveriet trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmiem: kur – nezināmie; - koeficienti nezināmiem, - bezmaksas biedri.

Unikāla risinājuma gadījumā 3 lineāro vienādojumu sistēmu ar trim nezināmiem var atrisināt, izmantojot trešās kārtas determinantus.

Sistēmas D determinantam ir šāda forma:

Mēs ieviešam trīs papildu noteicošos faktorus:

15. teorēma(Kremers, gadījumam n = 3). Ja sistēmas determinants D ir nulle, tad sistēmai ir unikāls risinājums, kas atrodams pēc Krāmera formulām:

Piemērs. Atrisināsim sistēmu pēc Krāmera noteikuma.

Risinājums. Atrodiet ciparus

Izmantosim Kramera formulas un atradīsim sākotnējās sistēmas risinājumu:

Atbilde.

Ņemiet vērā, ka Krāmera teorēma ir piemērojama, ja vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu un ja sistēmas D noteicējs ir nulle.

Ja sistēmas noteicējs ir vienāds ar nulli, tad šajā gadījumā sistēmai var būt vai nu bez risinājumiem, vai arī tai ir bezgalīgs skaits risinājumu. Šie gadījumi tiek izmeklēti atsevišķi.

Mēs atzīmējam tikai vienu gadījumu. Ja sistēmas determinants ir vienāds ar nulli (D = 0) un vismaz viens no papildu determinantiem ir nulle, tad sistēmai nav risinājumu, tas ir, tā ir pretrunīga.

Krāmera teorēmu var vispārināt uz sistēmu n lineārie vienādojumi ar n nezināma: kur – nezināmie; - koeficienti nezināmiem, - bezmaksas biedri.

Ja lineāro vienādojumu sistēmas ar nezināmajiem noteicējs, tad sistēmas unikālo risinājumu var atrast pēc Krāmera formulām:

Papildu determinantu iegūst no determinanta D, ja tajā ir kolonna ar nezināmā koeficientiem x i aizstāt ar bezmaksas dalībnieku kolonnu.

Ņemiet vērā, ka noteicošie faktori D, D 1, ..., D n ir kārtība n.

Gausa metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai

Viena no visizplatītākajām metodēm lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai ir nezināmo secīgas likvidēšanas metode - Gausa metode. Šī metode ir aizstāšanas metodes vispārinājums un sastāv no nezināmo secīgas likvidēšanas, līdz ir viens vienādojums ar vienu nezināmo.

Metodes pamatā ir daži lineāro vienādojumu sistēmas pārveidojumi, kā rezultātā tiek iegūta sistēma, kas ir līdzvērtīga sākotnējai sistēmai. Metodes algoritms sastāv no diviem posmiem.

Pirmais posms tiek saukts tiešais kurss Gausa metode. Tas sastāv no nezināmo konsekventas izslēgšanas no vienādojumiem. Lai to izdarītu, pirmajā solī sistēmas pirmo vienādojumu dala ar (pretējā gadījumā sistēmas vienādojumi tiek pārkārtoti). Rezultātā iegūtā samazinātā vienādojuma koeficienti tiek apzīmēti, reizināti ar koeficientu un atņemti no sistēmas otrā vienādojuma, tādējādi izslēdzot no otrā vienādojuma (koeficienta nulli).

Viņi dara to pašu ar pārējiem vienādojumiem un iegūst jaunu sistēmu, kuras visos vienādojumos, sākot ar otro, koeficienti pie satur tikai nulles. Acīmredzot iegūtā jaunā sistēma būs līdzvērtīga sākotnējai sistēmai.

Ja jaunie koeficienti, piemēram, nav vienādi ar nulli, ir iespējams tādā pašā veidā izslēgt no trešā un turpmākajiem vienādojumiem. Turpinot šo darbību tālāk norādītajiem nezināmajiem, sistēma tiek pārnesta uz tā saukto trīsstūra formu:

Šeit simboli un apzīmē skaitliskos koeficientus un brīvos vienumus, kas ir mainījušies pārvērtību rezultātā.

Sistēmas tiek unikāli noteiktas no pēdējā vienādojuma, un pēc tam atlikušās nezināmās tiek noteiktas pēc kārtas.

Komentēt. Dažreiz pārveidojumu rezultātā jebkurā no vienādojumiem visi koeficienti un labā puse pazūd, tas ir, vienādojums pārvēršas par identitāti 0 = 0. Izslēdzot šādu vienādojumu no sistēmas, vienādojumu skaits tiek samazināts salīdzinājumā ar nezināmo skaitu. Šādai sistēmai nevar būt viens risinājums.

Ja Gausa metodes piemērošanas procesā jebkurš vienādojums pārvēršas par vienādību formā 0 = 1 (nezināmo koeficienti ir kļuvuši par 0, bet labajā pusē ir nulles vērtība), tad sākotnējai sistēmai nav risinājuma , jo šāda vienlīdzība nav pareiza visām nezināmajām vērtībām.

Apsveriet trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmiem:

kur – nezināmie; - koeficienti nezināmiem, - bezmaksas biedri. atrasts aizstājējs

Risinājums. Piemērojot šai sistēmai Gausa metodi, mēs iegūstam

No kurienes Pēdējā vienādība nav pareiza jebkurai nezināma vērtībai, tāpēc sistēmai nav risinājuma.

Atbilde. Sistēmai nav risinājumu.

Ņemiet vērā, ka iepriekš apskatīto Krāmera metodi var izmantot, lai atrisinātu tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu, un sistēmas noteicējam ir jāatšķiras no nulles. Gausa metode ir universālāka un piemērota sistēmām ar jebkuru vienādojumu skaitu.

2. tēma. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risinājums ar tiešajām metodēm.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas (saīsināti kā SLAE) ir formas vienādojumu sistēmas

vai matricas formā,

A × x = B , (2.2)

A - dimensiju sistēmas koeficientu matrica n ´ n

x - nezināmo vektors, kas sastāv no n komponents

B - sistēmas labās puses vektors, kas sastāv no n komponents.

A = x = B = (2.3)

SLAE risinājums ir šāds komplekts n skaitļi, kas aizstāj vērtības x 1 , x 2 , … , x n sistēmā (2.1.) nodrošina kreisās puses un labās puses vienādību visos vienādojumos.

Katra SLAE atkarībā no matricu vērtībām A un B var būt

Viens risinājums

Bezgala daudz risinājumu

Nav viens risinājums.

Šajā kursā mēs izskatīsim tikai tos SLAE, kuriem ir unikāls risinājums. Nepieciešams un pietiekams stāvoklis tā ir matricas determinanta nevienlīdzība līdz nullei A .

Lai meklētu risinājumus lineāro algebrisko vienādojumu sistēmās, var veikt dažas pārvērtības, kas nemaina tā risinājumus. Līdzvērtīgas pārvērtības lineāro vienādojumu sistēmas sauc par tādām pārvērtībām, kas nemaina tā risinājumu. Tie ietver:

Jebkuras divu sistēmas vienādojumu atļaušana (jāatzīmē, ka dažos gadījumos, kas aplūkoti turpmāk, šo transformāciju nevar izmantot);

Jebkura vienādojuma reizināšana (vai dalīšana) sistēmā ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli;

Sistēmas vienādojuma papildinājums citam vienādojumam, kas reizināts (vai dalīts) ar skaitli, kas nav nulle.

SLAE risināšanas metodes ir sadalītas divās lielās grupās, ko sauc - tiešās metodes un iteratīvās metodes... Pastāv arī veids, kā samazināt SLAE risināšanas problēmu līdz vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmuma atrašanas problēmai, kam seko tās risinājums, izmantojot ekstremuma atrašanas metodes (vairāk par to, apskatot attiecīgo tēmu). Tiešās metodes nodrošina precīzu sistēmas (ja tāda pastāv) risinājumu vienā solī. Iteratīvās metodes (ja vienlaikus tiek nodrošināta to konverģence) ļauj daudzas reizes uzlabot sākotnējo tuvinājumu vēlamajam SLAE risinājumam un, vispārīgi runājot, nekad nedos precīzu risinājumu. Tomēr, ņemot vērā faktu, ka tiešās risināšanas metodes neizbēgamu noapaļošanas kļūdu dēļ aprēķinu starpposmos arī nesniedz ideāli precīzus risinājumus, arī atkārtotas metodes var nodrošināt aptuveni tādu pašu rezultātu.

Tiešās metodes SLAE risināšanai. Visbiežāk izmantotās tiešās SLAE risināšanas metodes ir:

Kramera metode,

Gausa metode (un tās modifikācija - Gausa -Džordana metode)

Matricas metode (izmantojot matricas inversiju A ).

Kramera metode pamatojoties uz galvenās matricas determinanta aprēķināšanu A un matricu noteicēji A 1 , A 2 , …, A n , kas iegūti no matricas A aizstājot vienu ( i-ā) kolonnā ( i= 1, 2,…, n) uz kolonnu, kurā ir vektora elementi B . Pēc tam SLAE risinājumus nosaka kā šo noteicošo faktoru vērtību dalījuma koeficientu. Precīzāk, aprēķinu formulas ir šādas

(2.4)

1. piemērs... Atradīsim SLAE risinājumu, izmantojot Cramer metodi, kurai

A = , B = .

Mums ir

A 1 = , A 2 = , A 3 = , A 4 = .

Mēs aprēķinām visu piecu matricu noteicēju vērtības (izmantojot vides funkciju MOPEDED) Excel). Mēs saņemam

Tā kā matricas noteicējs A nav vienāds ar nulli - sistēmai ir unikāls risinājums. Tad mēs to definējam pēc formulas (2.4). Mēs saņemam

Gausa metode. SLAE risinājums ar šo metodi ietver sistēmas paplašinātas matricas apkopošanu A * ... Paplašinātā sistēmas matrica ir lieluma matrica n līnijas un n+1 kolonnas, ieskaitot sākotnējo matricu A labajā pusē tai ir pievienota kolonna, kurā ir vektors B .

A * = (2.4)

Šeit a + 1 = b i (es = 1, 2, …, n ).

Gausa metodes būtība ir samazināt (ar līdzvērtīgas pārvērtības) no sistēmas paplašinātās matricas līdz trīsstūrveida formai (tā, lai tikai nulles elementi atrastos zem tās galvenās diagonāles).

A * =

Pēc tam, sākot no pēdējās rindas un virzoties uz augšu, jūs varat secīgi noteikt visu šķīduma komponentu vērtības.

Sistēmas paplašinātās matricas pārveidošanas sākums vajadzīgajā formā ir aplūkot koeficientu vērtības x 1 un izvēloties rindu, kurā tai ir maksimālā absolūtā vērtība (tas ir nepieciešams, lai samazinātu skaitļošanas kļūdas lielumu turpmākajos aprēķinos). Šī paplašinātās matricas rinda ir jāmaina ar tās pirmo rindu (vai, kas ir labāk, pievienojiet (vai atņemiet) ar pirmo rindu un ievietojiet rezultātu pirmās rindas vietā). Pēc tam visi šīs jaunās pirmās rindas elementi (ieskaitot tos pēdējā slejā) ir jāsadala ar šo koeficientu. Pēc tam jauniegūtais koeficients a 11 kļūst vienāds ar vienu. Tālāk no katras atlikušās matricas rindas ir jāatņem tās pirmā rinda, kas reizināta ar koeficienta vērtību plkst. x 1 šajā rindā (t.i., par summu a i 1 , kur i =2, 3, … n ). Pēc tam visās līnijās, sākot ar otro, koeficienti plkst x 1 (t.i., visi koeficienti a i 1 (i =2, …, n ) būs vienāds ar nulli. Tā kā mēs veicām tikai līdzvērtīgas transformācijas, jauniegūtās SLAE risinājums neatšķirsies no sākotnējās sistēmas.

Turklāt, atstājot nemainītu matricas pirmo rindu, mēs veiksim visas iepriekš minētās darbības ar atlikušajām matricas rindām un rezultātā jauniegūto koeficientu a 22 kļūst vienāds ar vienu un visi koeficienti a i 2 (i =3, 4, …, n ) kļūst vienāds ar nulli. Turpinot līdzīgas darbības, mēs galu galā sasniegsim savu matricu tādā formā, kurā būs visi koeficienti a ii = 1 (i =1, 2, …, n), un visi koeficienti a ij = 0 (i =2, 3, …, n, j< i). Ja kādā posmā, meklējot koeficienta lielāko absolūto vērtību plkst x j mēs nevarēsim atrast nulles koeficientu - tas nozīmēs, ka sākotnējai sistēmai nav viena risinājuma. Šajā gadījumā lēmumu pieņemšanas process ir jāpārtrauc.

Ja līdzvērtīgu transformāciju process ir veiksmīgi beidzies, iegūtā "trīsstūra" paplašinātā matrica atbilst šādai lineāro vienādojumu sistēmai:

No šīs sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam vērtību x n ... Turklāt, aizstājot šo vērtību priekšpēdējā vienādojumā, mēs atrodam vērtību x n -1 ... Pēc tam, aizstājot abas šīs atrastās vērtības trešajā no sistēmas apakšējā vienādojuma, mēs atrodam vērtību x n -2 . Tā turpinot un virzoties pa šīs sistēmas vienādojumu no apakšas uz augšu, mēs secīgi atradīsim citu sakņu vērtības. Un visbeidzot, aizstājot atrastās vērtības x n , x n -1 , x n -2 , x 3 un x 2 pirmajā sistēmas vienādojumā mēs atrodam vērtību x 1. Šādu procedūru sakņu vērtību atrašanai pēc atrastās trīsstūra matricas sauc otrādi. Tiek saukts process, kurā sākotnējā paplašinātā matrica tiek samazināta ar līdzvērtīgām transformācijām līdz trīsstūrveida formai tiešais kurss Gausa metode.

Diezgan detalizēts algoritms SLAE risināšanai ar Gausa metodi ir parādīts attēlā. .2.1 un att. 2.1a.

2. piemērs... Atrodiet tās pašas SLAE risinājumu ar Gausa metodi, kuru mēs jau esam atrisinājuši ar Krāmera metodi. Vispirms sastādīsim tā paplašināto matricu. Mēs saņemam

A * = .

Pirmkārt, apmainīsim šīs matricas pirmo un trešo rindu (jo tās pirmajā kolonnā ir lielākais absolūtās vērtības elements), un pēc tam sadalām visus šīs jaunās pirmās rindas elementus ar vērtību 3. Mēs iegūstam

A * = .

A * =

Tālāk mēs pārkārtojam šīs matricas otro un trešo rindu, sadalām pārkārtotās matricas otro rindu ar 2.3333 un līdzīgi kā iepriekš, nulles koeficientus matricas trešās un ceturtās rindas otrajā slejā. Mēs saņemam

A * = .

Pēc līdzīgu darbību veikšanas matricas trešajā un ceturtajā rindā mēs iegūstam

A * = .

Tagad dalot ceturto rindu ar -5.3076, mēs pabeidzam sistēmas paplašinātās matricas zīmēšanu pa diagonālo formu. Mēs saņemam

Rīsi. 2.1. Algoritms lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai pēc Gausa metodes

Rīsi. 2.1a. Makrobloks“Risinājumu vērtību aprēķināšana”.

A * = .

No pēdējās rindas mēs uzreiz iegūstam x 4 = 0.7536. Tagad kāpjot augšup pa matricas rindām un veicot aprēķinus, mēs secīgi iegūstam x 3 = 0.7971, x 2 =- 0.1015 un x 1 = 0.3333. Salīdzinot ar šo metodi iegūto šķīdumu ar šķīdumu, kas iegūts ar Kramera metodi, ir viegli pārbaudīt, vai tie sakrīt.

Gausa-Džordana metode. Šī SLAE risināšanas metode daudzējādā ziņā ir līdzīga Gausa metodei. Galvenā atšķirība ir tāda, ka, izmantojot līdzvērtīgas transformācijas, vienādojumu sistēmas paplašinātā matrica tiek samazināta nevis līdz trīsstūra formai, bet gan pa diagonālu formu, kuras galvenajā diagonālē ir vienības, un ārpus tās (izņemot pēdējo n +1 kolonna) - nulles. Pēc šādas transformācijas pabeigšanas paplašinātās matricas pēdējā kolonnā būs sākotnējās SLAE risinājums (t.i. x i = a i n +1 (i = 1, 2, … , n ) iegūtajā matricā). Apgrieztā kustība (kā Gausa metodē) šķīduma komponentu vērtību galīgajiem aprēķiniem nav nepieciešama.

Matricas samazināšanu līdz diagonālei parasti veic tāpat kā Gausa metodē. Ja līnija i koeficients pie x i (i = 1, 2, … , n ) ir maza absolūtā vērtībā, virkne tiek meklēta j , kurā koeficients pie x i tas būs lielākais absolūtajā vērtībā ( j -th) rindu pievieno elementam pa elementam i - th rinda. Tad visi elementi i - rindas dala ar elementa vērtību x i Bet, atšķirībā no Gausa metodes, pēc tam no katras rindas ar skaitli ir atņemšana j rinda numurēta i reizināts ar a ji bet stāvoklis j > i aizstāts ar citu Gausa-Džordana metodē atņemšanu veic no katras rindas ar skaitli j , Turklāt j # i , rinda numurēta i reizināts ar a ji ... Tie. koeficienti tiek atiestatīti uz nulli gan zem, gan virs galvenās diagonāles.

Diezgan detalizēts algoritms SLAE risināšanai ar Gausa - Džordana metodi ir parādīts attēlā. 2.2.

3. piemērs... Atrodiet tās pašas SLAE risinājumu ar Gausa-Džordana metodi, kuru mēs jau esam atrisinājuši ar Krāmera un Gausa metodēm.

Pilnīgi analoģiski Gausa metodei, mēs sastādām sistēmas paplašināto matricu. Pēc tam mēs pārkārtojam šīs matricas pirmo un trešo rindu (tā kā tās pirmajā kolonnā ir lielākais absolūtās vērtības elements), un pēc tam visus šīs jaunās pirmās rindas elementus sadalām ar vērtību 3. Tālāk mēs atņemam no katras rindas matricu (izņemot pirmo) pirmo rindu elementus, kas reizināti ar koeficientu šīs rindas pirmajā kolonnā. Mēs iegūstam to pašu, ko Gausa metodē

A * = .

Tad mēs pārkārtojam šīs matricas otro un trešo rindu, dalām pārkārtotās matricas otro rindu ar 2,3333 un ( jau atšķirībā no Gausa metodes) mēs nulles koeficientus matricas pirmās, trešās un ceturtās rindas otrajā slejā. Mēs saņemam