Nejauši mainīgie. Diskrēts gadījuma mainīgais Matemātiskā cerība
Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija
Čerepovecas Valsts universitāte
Inženieru un ekonomikas institūts
Nejauša procesa jēdziens matemātikā
Studenta izpildījumā
5. grupa GMU-21
Ivanova Jūlija
Čerepoveca
Ievads
Galvenā daļa
· Nejauša procesa definīcija un tā raksturojums
· Markova gadījuma procesi ar diskrētiem stāvokļiem
Stacionāri nejauši procesi
Stacionāru nejaušu procesu ergodiskā īpašība
Literatūra
Ievads
Nejauša procesa jēdziens tika ieviests 20. gadsimtā un ir saistīts ar A.N vārdiem. Kolmogorovs (1903-1987), A.Ya. Khinčins (1894-1959), E.E. Slutskis (1880-1948), N. Vīners (1894-1965).
Šis jēdziens mūsdienās ir viens no centrālajiem ne tikai varbūtību teorijā, bet arī dabaszinātnēs, inženierzinātnēs, ekonomikā, ražošanas organizēšanā un komunikācijas teorijā. Nejaušo procesu teorija pieder pie visstraujāk augošo matemātikas disciplīnu kategorijas. Nav šaubu, ka šo apstākli lielā mērā nosaka tā dziļā saikne ar praksi. 20. gadsimts nevarēja būt apmierināts ar ideoloģisko mantojumu, kas tika saņemts no pagātnes. Patiešām, kamēr fiziķi, biologu un inženieri interesēja process, t.i. pētāmās parādības izmaiņas laikā, varbūtības teorija tos piedāvāja kā matemātisku aparātu nozīmē tikai to, ka pētīti stacionāri stāvokļi.
Lai pētītu izmaiņas laika gaitā, 19. gadsimta beigu - 20. gadsimta sākuma varbūtības teorijā nebija izstrādātas īpašas shēmas, vēl jo mazāk vispārīgas metodes. Un nepieciešamība tos radīt burtiski pieklauvēja pie matemātikas zinātnes logiem un durvīm. Brauna kustības izpēte fizikā noveda matemātiku līdz nejaušu procesu teorijas izveides slieksnim.
Uzskatu par nepieciešamu minēt vēl divas svarīgākās studiju grupas, kas uzsāktas dažādos laikos un dažādu iemeslu dēļ.
Pirmkārt, šis darbs A.A. Markovs (1856-1922) par ķēdes atkarību izpēti. Otrkārt, E.E. Slutskis (1880-1948) par nejaušo funkciju teoriju.
Abiem šiem virzieniem bija ļoti nozīmīga loma vispārējās nejaušo procesu teorijas veidošanā.
Šim nolūkam jau bija uzkrāts nozīmīgs sākotnējais materiāls, un šķita, ka gaisā virmoja nepieciešamība veidot teoriju.
Atlika veikt padziļinātu esošo darbu, tajos pausto ideju un rezultātu analīzi un uz tās pamata veikt nepieciešamo sintēzi.
Izlases procesa definīcija un tā īpašības
Definīcija: Pēc nejaušības principa X(t) ir process, kura vērtība jebkurai argumenta t vērtībai ir nejaušs mainīgais.
Citiem vārdiem sakot, nejaušs process ir funkcija, kas testēšanas rezultātā var iegūt tādu vai citu noteiktu, iepriekš nezināmu formu. Fiksētam t=t 0 X(t 0) ir parasts gadījuma lielums, t.i. sadaļā nejaušs process laikā t 0.
Nejaušo procesu piemēri:
1. reģiona iedzīvotāju skaits laika gaitā;
2. uzņēmuma remonta servisa saņemto pieprasījumu skaits laika gaitā.
Nejaušs process var tikt uzrakstīts kā divu mainīgo X(t,ω) funkcija, kur ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ un ω ir elementārs notikums, Ω ir elementāru notikumu telpa. , T ir argumentu vērtību kopa t, ≡ ir nejaušā procesa X(t, ω) iespējamo vērtību kopa.
Īstenošana nejaušs process X(t, ω) ir negadījuma funkcija x(t), par kuru pārbaudes rezultātā pārvēršas nejaušais process X(t) (fiksētam ω), t.i. gadījuma procesa X(t) noteiktā konkrētā forma, tā trajektorija.
Tādējādi nejaušs process X(t, ω) apvieno nejauša lieluma un funkcijas pazīmes. Ja fiksējam argumenta t vērtību, nejaušais process pārvēršas par parastu gadījuma lielumu, ja fiksējam ω, tad katra testa rezultātā tas pārvēršas par parastu negadījuma funkciju. Turpmākajā diskusijā mēs izlaidīsim argumentu ω, taču tas tiks pieņemts pēc noklusējuma.
1. attēlā parādītas vairākas nejauša procesa realizācijas. Lai šī procesa šķērsgriezums noteiktam t ir nepārtraukts gadījuma lielums. Tad nejaušo procesu X(t) konkrētajam t pilnībā nosaka varbūtība φ(x‚ t). Ir skaidrs, ka blīvums φ(x, t) nav izsmeļošs nejaušā procesa X(t) apraksts, jo tas neizsaka atkarību starp tā sekcijām dažādos laikos.
Nejaušais process X(t) ir visu sadaļu kopums visām iespējamām t vērtībām, tāpēc, lai to aprakstītu, jāņem vērā daudzdimensiju gadījuma lielums (X(t 1), X(t 2), . .., X(t n)), kas sastāv no visām šī procesa kombinācijām. Principā šādu kombināciju ir bezgalīgi daudz, taču, lai aprakstītu nejaušu procesu, var iztikt ar salīdzinoši nelielu kombināciju skaitu.
Viņi saka, ka ir nejaušs process pasūtījumsn, ja to pilnībā nosaka patvaļīgo procesa posmu kopīgā sadalījuma blīvums φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) n, t.i. n-dimensiju gadījuma lieluma blīvums (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), kur X(t i) ir nejaušības procesa X(t) kombinācija laikā t i , i=1, 2 , …, n.
Tāpat kā gadījuma lielumu, nejaušu procesu var aprakstīt ar skaitliskiem raksturlielumiem. Ja nejaušam mainīgajam šie raksturlielumi ir nemainīgi skaitļi, tad nejaušam procesam - negadījuma funkcijas.
Matemātiskās cerības nejaušs process X(t) ir negadījuma funkcija a x (t), kas jebkurai mainīgā t vērtībai ir vienāda ar gadījuma procesa X(t) atbilstošās sadaļas matemātisko cerību, t.i. a x (t) = M .
dispersija nejaušs process X(t) ir negadījuma funkcija D x (t), jebkurai mainīgā t vērtībai, kas vienāda ar gadījuma procesa X(t) atbilstošās kombinācijas izkliedi, t.i. D x (t) = D.
Standarta novirze Gadījuma procesa σ x (t) X(t) ir tā dispersijas kvadrātsaknes aritmētiskā vērtība, t.i. σ x (t) = D x (t).
Nejauša procesa matemātiskā cerība raksturo vidēji visu tās iespējamo realizāciju trajektorija un tās izkliede vai standarta novirze - izplatība ieviešanas attiecībā pret vidējo trajektoriju.
Iepriekš aprakstītās nejaušības procesa īpašības izrādās nepietiekamas, jo tās nosaka tikai viendimensijas sadalījuma likums. Ja izlases procesam X 1 (t) ir raksturīgas lēnas realizācijas vērtību izmaiņas ar t izmaiņām, tad nejaušajam procesam X 2 (t) šīs izmaiņas notiek daudz ātrāk. Citiem vārdiem sakot, nejaušo procesu X 1 (t) raksturo cieša varbūtības atkarība starp tā divām kombinācijām X 1 (t 1) un X 1 (t 2), savukārt nejaušajam procesam X 2 (t) šī atkarība starp kombinācijas X 2 (t 1) un X 2 (t 2) praktiski nav. Norādīto atkarību starp kombinācijām raksturo korelācijas funkcija.
Definīcija: Korelācijas funkcija gadījuma procesu X(t) sauc par negadījuma funkciju
K x (t 1 , t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1)) (X(t 2) – a x (t 2))] (1.)
divi mainīgie t 1 un t 2, kas katram mainīgo t 1 un t 2 pārim ir vienādi ar nejaušā procesa atbilstošo kombināciju X(t 1) un X(t 2) kovariāciju.
Acīmredzot nejaušam procesam X(t 1) korelācijas funkcija K x 1 (t 1, t 2) samazinās, jo starpība t 2 - t 1 palielinās daudz lēnāk nekā K x 2 (t 1, t 2) nejaušs process X (t 2).
Korelācijas funkcija K x (t 1 , t 2) raksturo ne tikai divu kombināciju lineārās attiecības tuvuma pakāpi, bet arī šo kombināciju izplatību attiecībā pret matemātisko gaidu a x (t). Tāpēc tiek ņemta vērā arī nejaušā procesa normalizētā korelācijas funkcija.
Normalizēta korelācijas funkcija izlases procesu X(t) sauc par funkciju:
P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1) σ x (t 2) (2)
1. piemērs
Nejaušs process tiek definēts ar formulu X(t) = X cosωt, kur X ir nejaušs mainīgais. Atrodiet šī procesa galvenos raksturlielumus, ja M(X) = a, D(X) = σ 2.
RISINĀJUMS:
Pamatojoties uz matemātiskās cerības un dispersijas īpašībām, mums ir:
a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,
D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.
Mēs atrodam korelācijas funkciju, izmantojot formulu (1.)
K x (t 1 , t 2) = M[(X cosωt 1 – a cosωt 1) (X cos ωt 2 – a cosωt 2)] =
Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .
Normalizēto korelācijas funkciju atrodam, izmantojot formulu (2.):
P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1) (σ cosωt 2) ≡ 1.
Nejaušus procesus var klasificēt atkarībā no tā, vai sistēmas stāvokļi, kuros tie notiek, mainās vienmērīgi vai pēkšņi, vai šo stāvokļu kopa ir ierobežota (skaitāma) vai bezgalīga utt. Starp nejaušiem procesiem īpaša vieta ir Markova nejaušības procesam.
Teorēma. Nejaušs process X(t) ir Hilberts tad un tikai tad, ja pastāv R(t, t^) visiem (t, t^)€ T*T.
Hilberta nejaušo procesu teoriju sauc par korelācijas teoriju.
Ņemiet vērā, ka kopa T var būt diskrēta un nepārtraukta. Pirmajā gadījumā nejaušo procesu X t sauc par procesu ar diskrētu laiku, otrajā - ar nepārtrauktu laiku.
Attiecīgi X t kombinācijas var būt diskrēti un nepārtraukti nejauši mainīgie.
Nejaušo procesu sauc par X(t) selektīvi neregulāra, diferencējama un integrējama punktā ω€Ω, ja tā realizācija x(t) = x(t, ω) ir attiecīgi nepārtraukta, diferencējama un integrējama.
Nejaušo procesu X(t) sauc par nepārtrauktu: gandrīz, droši vien Ja
P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))
IN vidējais kvadrāts, Ja
Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0
Pēc varbūtības, Ja
Aδ ≥ 0: lim P[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0
Vidējo kvadrātu konverģenci apzīmē arī ar:
X(t) = lim X(t n)
Izrādās, ka no izlases nepārtrauktības gandrīz noteikti seko nepārtrauktība, no nepārtrauktības gandrīz noteikti un vidējā kvadrātā seko nepārtrauktība pēc varbūtības.
Teorēma. Ja X(t) ir Hilberta nejaušs process, nepārtraukts vidējā kvadrātā, tad m x (t) ir nepārtraukta funkcija un sakarība ir spēkā.
Lim M = M = M .
Teorēma. Hilberta gadījuma process X(t) ir nepārtraukts vidējais kvadrāts tad un tikai tad, ja tā kovariācijas funkcija R(t, t^) punktā (t, t) ir nepārtraukta.
Hilberta gadījuma procesu X(t) sauc par vidējo kvadrātā diferencējamu, ja pastāv tāda nejauša funkcija X(t) = dX(t)/dt,
X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t
(t € T, t +∆t € T),
tie. Kad
Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0
Mēs izsauksim nejaušo funkciju X(t) vidējā kvadrāta atvasinājums nejaušs process X(t) attiecīgi punktā t vai T.
Teorēma. Hilberta gadījuma process X(t) ir diferencējams vidējā kvadrātā punktā t tad un tikai tad, ja tāds pastāv
δ 2 R(t, t^) / δtδt^ punktā (t, t^). Kurā:
R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.
Ja Hilberta gadījuma process ir diferencējams uz T, tad tā vidējais kvadrātveida atvasinājums arī ir Hilberta nejaušības process; ja procesa izlases trajektorijas ir diferencējamas uz T ar varbūtību 1, tad ar varbūtību 1 to atvasinājumi sakrīt ar vidējiem kvadrāta atvasinājumiem uz T.
Teorēma. Ja X(t) ir Hilberta nejaušs process, tad
M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.
Pieņemsim, ka (0, t) ir ierobežots intervāls, 0
X(t) ir Hilberta nejaušs process.
Y n = ∑ X(t i)(t i – t i-1) (n = 1,2, …).
Tad nejaušais mainīgais
max (t i – t i -1)→0
Zvanīja integrālis vidējā kvadrātā process X(t) uz (0, t) un tiek apzīmēts ar:
Y(t) = ∫ X(τ)dτ.
Teorēma . Vidējais kvadrātveida integrālis Y(t) pastāv tad un tikai tad, ja Hilberta procesa X(t) kovariācijas funkcija R(t, t^) ir nepārtraukta uz T×T un integrālis pastāv.
R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^
Ja pastāv funkcijas X(t) vidējais kvadrātveida integrālis, tad
M = ∫ Mdτ,
R Y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^
K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^
Šeit R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M ir gadījuma procesa Y(t) kovariācijas un korelācijas funkcijas.
Teorēma. Lai X(t) ir Hilberta gadījuma process ar kovariācijas funkciju R(t, t^), φ(t) ir reāla funkcija un lai pastāv integrālis
∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^
Tad ir vidējais kvadrātveida integrālis
∫ φ(t)X(t)dt.
Nejauši procesi:
X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)
Kur φ i (t) ir dotas reālas funkcijas
Vi - gadījuma lielumi ar raksturlielumiem
Tos sauc par elementāriem.
Kanoniskā paplašināšana gadījuma procesu X(t) sauc par tā attēlojumu formā
Kur V i ir koeficienti un φ i (t) ir procesa X(t) kanoniskās izplešanās koordinātu funkcijas.
No attiecībām:
M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)
K(t, t^) = ∑ D i φ i (t) φ i (t^)
Šo formulu sauc kanoniskā paplašināšanās nejauša procesa korelācijas funkcija.
Vienādojuma gadījumā
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)
Piemēro šādas formulas:
X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)
∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.
Tādējādi, ja process X(t) tiek attēlots ar tā kanonisko izvērsumu, tad tā atvasinājumu un integrāli var attēlot arī kā kanoniskus izvērsumus.
Markova nejaušie procesi ar diskrētiem stāvokļiem
Tiek saukts nejaušs process, kas notiek noteiktā sistēmā S ar iespējamiem stāvokļiem S 1, S 2, S 3, ... Markovskis, vai nejaušs process bez sekām, ja uz kādu brīdi t 0 procesa iespējamie raksturlielumi nākotnē (pie t>t 0) ir atkarīgi tikai no tā stāvokļa dotajā brīdī t 0 un nav atkarīgi no tā, kad un kā sistēma nonāca šajā stāvoklī; tie. nav atkarīgi no tā uzvedības pagātnē (pie t
Markova procesa piemērs: sistēma S ir taksometra skaitītājs. Sistēmas stāvokli brīdī t raksturo automašīnas līdz šim brīdim nobraukto kilometru (kilometru desmitdaļas) skaits. Lai momentā t 0 skaitītājs rāda S 0 / Varbūtība, ka brīdī t>t 0 skaitītājs uzrādīs to vai citu kilometru skaitu (precīzāk, atbilstošo rubļu skaitu) S 1 ir atkarīga no S 0, bet nav atkarīgs no tā, kādos brīžos laiks, skaitītāja rādījumi mainījās līdz brīdim t 0.
Daudzus procesus aptuveni var uzskatīt par Markova laiku. Piemēram, šaha spēles process; sistēma S ir šaha figūru grupa. Sistēmas stāvokli raksturo ienaidnieka figūru skaits, kas palikušas uz galda laikā t 0 . Varbūtība, ka momentā t>t 0 materiālais pārsvars būs kāda no pretiniekiem, pirmām kārtām ir atkarīga no sistēmas stāvokļa uz brīdi t 0, nevis no tā, kad un kādā secībā bumbiņas ar dēļiem līdz plkst. laiks t 0 .
Dažos gadījumos aplūkojamo procesu aizvēsturi var vienkārši atstāt novārtā un to pētīšanai izmantot Markova modeļus.
Markova izlases process ar diskrētiem stāvokļiem un diskrētu laiku (vai Markova ķēde ) tiek saukts par Markova procesu, kurā tā iespējamos stāvokļus S 1, S 2, S 3, ... var uzskaitīt iepriekš, un pāreja no stāvokļa uz stāvokli notiek acumirklī (lēciens), bet tikai noteiktos laikos t 0, t 1, t 2, ..., zvanīja soļi process.
Apzīmēsim p ij – pārejas varbūtība nejaušs process (sistēma S) no stāvokļa I uz stāvokli j. Ja šīs varbūtības nav atkarīgas no procesa soļa skaita, tad šādu Markova ķēdi sauc par viendabīgu.
Lai sistēmas stāvokļu skaits ir galīgs un vienāds ar m. Tad to var raksturot pārejas matrica P 1 , kas satur visas pārejas varbūtības:
p 11 p 12 … p 1m
p 21 p 22 … p 2m
P m1 p m2 … p mm
Protams, katrai rindai ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.
Apzīmēsim p ij (n) kā varbūtību, ka n soļu rezultātā sistēma pāries no stāvokļa I uz stāvokli j. Šajā gadījumā I = 1 mums ir pārejas varbūtības, kas veido matricu P 1, t.i. p ij (1) = p ij
Ir nepieciešams, zinot pārejas varbūtības p ij , atrast p ij (n) – sistēmas pārejas varbūtības no stāvokļa I uz stāvokli j n soļos. Šim nolūkam mēs apsvērsim starpstāvokli (starp I un j) r, t.i. Pieņemsim, ka no sākuma stāvokļa I ar k soļiem sistēma pāries uz starpstāvokli r ar varbūtību p ir (k), pēc kura atlikušajos n-k soļos no starpstāvokļa r tā pāries gala stāvoklī j ar. varbūtība p rj (n-k). Tad pēc kopējās varbūtības formulas
P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – Markova vienādība.
Pārliecināsimies, ka, zinot visas pārejas varbūtības p ij = p ij (1), t.i. matrica P 1 pārejai no stāvokļa uz stāvokli vienā solī, var atrast varbūtību p ij (2), t.i. matrica P 2 pārejai no stāvokļa uz stāvokli divos posmos. Un, zinot matricu P 2, atrodiet matricu P 3 pārejai no stāvokļa uz stāvokli trīs soļos utt.
Patiešām, liekot n = 2 formulā P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), t.i. k=1 (starpstāvoklis starp soļiem), iegūstam
P ij (2) = ∑ p ir (1) p rj (2-1) = ∑ p ir p rj
Iegūtā vienādība nozīmē, ka P 2 = P 1 P 1 = P 2 1
Pieņemot, ka n = 3, k = 2, mēs līdzīgi iegūstam P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 un vispārīgā gadījumā P n = P 1 n
Piemērs
Ģimeņu kopumu noteiktā reģionā var iedalīt trīs grupās:
1. ģimenes, kurām nav automašīnas un negrasās to iegādāties;
2. ģimenes, kurām nav automašīnas, bet kuras plāno to iegādāties;
3. ģimenes ar auto.
Veiktais statistiskais apsekojums parādīja, ka viena gada pārejas matricai ir šāda forma:
(Matricā P 1 elements p 31 = 1 nozīmē varbūtību, ka ģimenei, kurai ir automašīna, arī tāda būs, un, piemēram, elements p 23 = 0,3 ir varbūtība, ka ģimenei, kurai nav automašīnu, bet nolemj iegādāties, nākamgad izpildīs savu ieceri utt.)
Atrodiet varbūtību, ka:
1. ģimene, kurai nebija automašīnas un neplānoja to iegādāties, pēc diviem gadiem būs tādā pašā situācijā;
2. ģimenei, kurai nebija mašīnas, bet grasās to iegādāties, pēc diviem gadiem būs auto.
RISINĀJUMS: Atradīsim pārejas matricu P 2 pēc diviem gadiem:
0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21
0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Tas nozīmē, ka 1) un 2) piemērā meklētās varbūtības ir attiecīgi vienādas
p 11 = 0,64, p 23 = 0,51
Tālāk mēs apsvērsim Markova nejaušs process ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku, kurā atšķirībā no iepriekš aplūkotās Markova ķēdes sistēmas iespējamo pāreju momenti no stāvokļa nav iepriekš fiksēti, bet gan ir nejauši.
Analizējot nejaušus procesus ar diskrētiem stāvokļiem, ir ērti izmantot ģeometrisko shēmu - t.s. pasākumu grafiks. Parasti sistēmas stāvokļus attēlo taisnstūri (apļi), un iespējamās pārejas no stāvokļa uz stāvokli attēlo ar bultiņām (orientētām lokiem), kas savieno stāvokļus.
Piemērs. Izveidojiet šāda nejauša procesa stāvokļa grafiku: ierīce S sastāv no diviem mezgliem, no kuriem katrs var sabojāties nejaušā laika momentā, pēc kura nekavējoties sākas mezgla remonts, turpinot iepriekš nezināmu nejaušu laiku.
RISINĀJUMS. Iespējamie sistēmas stāvokļi: S 0 – abi mezgli darbojas; S 1 – pirmais bloks tiek remontēts, otrais darbojas; S 2 – tiek remontēts otrais bloks, pirmais darbojas; S 3 – abi agregāti tiek remontēti.
Bultiņa virzienā, piemēram, no S 0 uz S 1, nozīmē sistēmas pāreju pirmā mezgla atteices brīdī, no S 1 uz S 0 - pāreju šī remonta pabeigšanas brīdī. mezgls.
Grafikā nav bultiņu no S 0 līdz S 3 un no S 1 līdz S 2. Tas izskaidrojams ar to, ka tiek pieņemts, ka mezglu atteices ir neatkarīgas viena no otras, un, piemēram, divu mezglu vienlaicīgas atteices (pāreja no S 0 uz S 3) vai divu mezglu vienlaicīgas remonta pabeigšanas ( pāreju no S 3 uz S 0) var neņemt vērā.
Stacionāri nejauši procesi
stacionārs šaurā nozīmē, Ja
F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +∆, …, t n + ∆)
Par patvaļīgu
n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.
Šeit F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) ir gadījuma procesa X(t) n-dimensiju sadalījuma funkcija.
Tiek izsaukts nejaušais process X(t). stacionārs plašā nozīmē, Ja
Ir acīmredzams, ka stacionaritāte šaurā nozīmē nozīmē stacionaritāti plašākā nozīmē.
No formulām:
m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)
(t € T, t^ € T, t + ∆ € T), t^ + ∆ € T)
No tā izriet, ka par procesu, kas ir stacionārs plašā nozīmē, mēs varam rakstīt
m (t) = m x (0) = const;
D (t) = K(t, t) = K(0,0) = konst.
K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ – t)
Tādējādi procesam, kas ir stacionārs plašā nozīmē, matemātiskās cerības un dispersija nav atkarīgas no laika, un K(t, t^) ir formas funkcija:
Var redzēt, ka k(τ) ir pāra funkcija, un
Šeit D ir stacionārā procesa dispersija
Х(t), α i (I = 1, n) – patvaļīgi skaitļi.
Pirmā sistēmas vienlīdzība
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
izriet no vienādojuma K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Pirmā vienlīdzība
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 ir vienkāršas Švarca nevienādības sekas stacionārā nejaušā procesa X(t) sekcijām X(t), X(t^). Pēdējā nevienlīdzība:
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
Iegūts šādi:
∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j) α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M [( i X ) i) 2 ] ≥0
Ņemot vērā gadījuma procesa atvasinājuma dX(t)/dt korelācijas funkcijas formulu, stacionārai gadījuma funkcijai X(t) iegūstam
K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^
Tāpēc ka
δk(t^ -t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,
δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)
tad K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.
Šeit K 1 (t, t^) un k 1 (τ) ir stacionārā gadījuma procesa X(t) pirmā atvasinājuma korelācijas funkcija.
Stacionāra nejauša procesa n-tajam atvasinājumam korelācijas funkcijas formulai ir šāda forma:
K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n * k(τ) / δτ 2 n)
Teorēma. Stacionārs gadījuma process X(t) ar korelācijas funkciju k(τ) ir nepārtraukts vidējais kvadrāts punktā t € T tad un tikai tad
Lim k(τ) = k(0)
Lai to pierādītu, pierakstīsim acīmredzamu vienādību ķēdi:
M [|X(t+τ)-X(T)| 2 ] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =
2D-2k(τ) = 2.
Līdz ar to ir skaidrs, ka nepārtrauktības nosacījums vidējā kvadrāta procesā X(t) punktā t € T
Lim M[|X(t+τ) – X(t)| 2] = 0
Notiek tad un tikai tad, ja Lim k(τ) = k(0)
Teorēma. Ja stacionāra gadījuma procesa X(t) korelācijas funkcija k(τ) ir nepārtraukta vidējā kvadrātā punktā τ=0, tad tā ir nepārtraukta vidējā kvadrātā jebkurā punktā τ € R 1 .
Lai to pierādītu, pierakstīsim acīmredzamās vienādības:
k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =
M(X(t))
Pēc tam piemērojot Švarca nevienādību faktoriem krokainajā iekavās un ņemot vērā attiecības:
K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.
K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0
0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2 ] =
Pārejot uz robežu pie ∆τ→0 un ņemot vērā teorēmas nosacījumu par k(τ) nepārtrauktību punktā τ=0, kā arī sistēmas pirmo vienādību
K(0) = B = σ 2, mēs atrodam
Lim k(τ+∆τ) = k(τ)
Tā kā šeit τ ir patvaļīgs skaitlis, teorēma jāuzskata par pierādītu.
Stacionāru nejaušu procesu ergodiskā īpašība
Lai X(t) ir stacionārs nejaušs process laika intervālā ar raksturlielumiem
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.
Stacionāra nejauša procesa ergodiskā īpašība ir tāda, ka, pamatojoties uz pietiekami ilgu procesa realizāciju, var spriest par tā matemātisko gaidu, dispersijas un korelācijas funkciju.
Mēs sauksim stingrāk stacionāru nejaušu procesu X(t) ergodisks matemātiskajās gaidās, Ja
Lim M (|(1/T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
Teorēma
Stacionārs nejaušs process X(t) ar raksturlielumiem:
M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),
τ = t^ – t, (t, t^) € T×T
ir ergodisks matemātiskajās gaidās tad un tikai tad
Lim (2/T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.
Lai to pierādītu, acīmredzot pietiek pārbaudīt, vai vienlīdzība ir patiesa
Pierakstīsim acīmredzamās attiecības
C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.
Pieņemot, ka šeit τ = t^ – t, dτ = dt^ un ņemot vērā nosacījumus (t^ = T) → (τ = T - t),
(t^ = 0)→(τ = -t), mēs iegūstam
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =
= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ
Ievietojot šīs vienādības labās puses pirmo un otro vārdu attiecīgi τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, mēs atrodam
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ) dτ
Lietojot Dirihlē formulu dubultintegrāļiem, mēs rakstām
С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ) dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ
Otrajā vietā labajā pusē varam ievietot τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, pēc kura mums būs
No tā un no konstantu definīcijas ir skaidrs, ka vienlīdzība
M((1/T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2/T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
Godīgi.
Teorēma
Ja stacionāra gadījuma procesa X(t) korelācijas funkcija k(τ) apmierina nosacījumu
Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0
Tad X(t) ir ergodisks matemātiskajā gaidā.
Patiešām, ņemot vērā attiecību
M((1/T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2/T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ
Jūs varat pierakstīt
0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ
No tā ir skaidrs, ka, ja nosacījums ir izpildīts, tad
Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0
Tagad, ņemot vērā vienlīdzību
C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ
Un nosacījums Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0
Ergodicitāte pēc stacionāra nejaušības procesa X(t) matemātiskās cerības, mēs atklājam, ka nepieciešamais ir pierādīts.
Teorēma.
Ja stacionāra gadījuma procesa korelācijas funkcija k(τ).
X(t) ir integrējams un bez ierobežojumiem samazinās kā τ → ∞, t.i. nosacījums ir izpildīts
Ja patvaļīgs ε > 0, tad X(t) ir stacionārs nejaušības process, kas ir ergodisks matemātiskajā gaidā.
Patiešām, ņemot vērā izteiksmi
T≥T 0 mums ir
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).
Pārejot uz robežu kā Т → ∞, mēs atrodam
0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.
Tā kā šeit ε > 0 ir patvaļīga, patvaļīgi maza vērtība, tad ergoditātes nosacījums matemātiskās cerības izteiksmē ir izpildīts. Tā kā tas izriet no nosacījuma
Uz neierobežotu k(τ) samazinājumu, tad teorēma jāuzskata par pierādītu.
Pierādītās teorēmas nosaka konstruktīvus stacionāru nejaušības procesu ergoditātes kritērijus.
X(t) = m + X(t), m = konst.
Tad M = m, un, ja X(t) ir ergodisks stacionārs gadījuma process, tad ergodicitātes nosacījumu Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 pēc vienkāršām transformācijām var attēlot kā
Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0
No tā izriet, ka, ja X(t) ir stacionārs gadījuma process, kas ir ergodisks matemātiskajā gaidā, tad procesa X(t) = m + X(t) matemātisko cerību var aptuveni aprēķināt, izmantojot formulu.
M = (1/T) ∫ x(t)dt
Šeit T ir diezgan ilgs laika periods;
x(t) – procesa X(t) realizācija laika intervālā.
Var apsvērt stacionāra nejauša procesa X(t) ergoditāti attiecībā pret korelācijas funkciju.
Tiek izsaukts stacionārs nejaušības process X(t). ergodiska korelācijas funkcijā, Ja
Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ) dt – k(τ)] 2 ]) = 0
No tā izriet, ka stacionāram nejaušam procesam X(t), kas ir ergodisks korelācijas funkcijā, mēs varam iestatīt
k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ) dt
pie pietiekami liela T.
Izrādās, ka nosacījums
k(τ) robeža ir pietiekama, lai stacionārais normāli sadalītais process X(t) būtu ergodisks korelācijas funkcijā.
Ņemiet vērā, ka tiek izsaukts nejaušais process parasti izplatīts, ja kāda no tās ierobežoto dimensiju sadalījuma funkcijām ir normāla.
Nepieciešams un pietiekams nosacījums stacionāra normāli sadalīta gadījuma procesa ergoditātei ir attiecība
τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0
Literatūra
1. N.Sh. Krēmers “Varbūtību teorija un matemātiskā statistika” / VIENOTĪBA / Maskava 2007.
2. Yu.V. Koževņikovs “Varbūtību teorija un matemātiskā statistika” / Mašīnbūve / Maskava 2002.
3. B.V. Gņedenko “Varbūtību teorijas kurss” / Fizikālās un matemātiskās literatūras galvenā redakcija / Maskava 1988.
Sakaru sistēmu traucējumus apraksta ar nejaušo procesu teorijas metodēm.
Funkciju sauc par nejaušu, ja eksperimenta rezultātā tā iegūst vienu vai otru formu, un iepriekš nav zināms, kura. Nejaušs process ir nejauša laika funkcija. Specifisko formu, ko nejaušs process iegūst eksperimenta rezultātā, sauc par nejauša procesa ieviešanu.
Attēlā 1.19. attēlā parādīta vairāku (trīs) nejaušā procesa , , , realizāciju kopa. Šādu kolekciju sauc par realizāciju ansambli. Ar fiksētu laika momenta vērtību pirmajā eksperimentā iegūstam konkrētu vērtību, otrajā - , trešajā - .
Nejaušajam procesam ir duāls raksturs. No vienas puses, katrā konkrētajā eksperimentā to attēlo tā realizācija - negadījuma laika funkcija. No otras puses, nejaušu procesu apraksta nejaušu mainīgo kopa.
Patiešām, aplūkosim nejaušu procesu noteiktā laika brīdī. Tad katrā eksperimentā tiek ņemta viena vērtība, un iepriekš nav zināms, kura. Tādējādi nejaušs process, kas aplūkots noteiktā laika brīdī, ir nejaušs mainīgais. Ja tiek reģistrēti divi laika momenti un, tad katrā eksperimentā mēs iegūsim divas un vērtības. Šajā gadījumā šo vērtību kopīga izskatīšana noved pie divu nejaušu lielumu sistēmas. Analizējot nejaušus procesus N laika punktos, mēs nonākam pie N nejaušo mainīgo kopas vai sistēmas 
.
Nejaušības procesa matemātiskās gaidas, dispersijas un korelācijas funkcija Tā kā gadījuma process, kas aplūkots noteiktā laika momentā, ir nejaušs mainīgais, mēs varam runāt par nejauša procesa matemātisko cerību un izkliedi.
, .
Tāpat kā nejaušam mainīgajam, dispersija raksturo nejauša procesa vērtību izplatību attiecībā pret vidējo vērtību. Jo lielāks, jo lielāka ir ļoti lielu pozitīvo un negatīvo procesa vērtību iespējamība. Ērtāks raksturlielums ir standarta novirze (MSD), kurai ir tāda pati dimensija kā pašam nejaušajam procesam.
Ja nejaušs process apraksta, piemēram, attāluma izmaiņas līdz objektam, tad matemātiskā gaida ir vidējais diapazons metros; dispersiju mēra kvadrātmetros, un Sco mēra metros un raksturo iespējamo diapazona vērtību izplatību attiecībā pret vidējo.
Vidējā vērtība un dispersija ir ļoti svarīgas īpašības, kas ļauj spriest par nejauša procesa uzvedību noteiktā laika brīdī. Taču, ja ir nepieciešams novērtēt izmaiņu “tempu” procesā, tad ar novērojumiem vienā brīdī nepietiek. Šim nolūkam tiek izmantoti divi nejauši mainīgie, kas aplūkoti kopā. Tāpat kā nejaušiem mainīgajiem, tiek ieviests savienojuma vai atkarības raksturlielums starp un. Nejaušam procesam šis raksturlielums ir atkarīgs no diviem laika momentiem, un to sauc par korelācijas funkciju: .
Stacionāri nejauši procesi. Daudzi procesi vadības sistēmās laika gaitā notiek vienmērīgi. To pamatīpašības nemainās. Šādus procesus sauc par stacionāriem. Precīzu definīciju var sniegt šādi. Nejaušs process tiek saukts par stacionāru, ja kāds no tā varbūtības raksturlielumiem nav atkarīgs no laika sākuma nobīdes. Stacionāram gadījuma procesam matemātiskā cerība, dispersija un standarta novirze ir nemainīgas: , .
Stacionāra procesa korelācijas funkcija nav atkarīga no izcelsmes t, t.i. atkarīgs tikai no laika starpības:
Stacionāra nejauša procesa korelācijas funkcijai ir šādas īpašības:
1) 
; 2) ; 3) .
Bieži vien procesu korelācijas funkcijām sakaru sistēmās ir tāda forma, kas parādīta attēlā. 1.20.
Rīsi. 1.20. Procesu korelācijas funkcijas
Laika intervāls, kurā darbojas korelācijas funkcija, t.i. sakarības lielums starp nejauša procesa vērtībām samazinās par M reizi, ko sauc par nejaušā procesa intervālu vai korelācijas laiku. Parasti vai. Var teikt, ka nejauša procesa vērtības, kas atšķiras laikā pēc korelācijas intervāla, ir vāji saistītas viena ar otru.
Tādējādi zināšanas par korelācijas funkciju ļauj spriest par nejauša procesa izmaiņu ātrumu.
Vēl viena svarīga īpašība ir nejauša procesa enerģijas spektrs. To definē kā korelācijas funkcijas Furjē transformāciju:
.
Acīmredzot ir patiesa arī apgrieztā transformācija:
.
Enerģijas spektrs parāda nejauša procesa, piemēram, traucējumu, jaudas sadalījumu uz frekvences ass.
Analizējot ACS, ir ļoti svarīgi noteikt nejauša procesa raksturlielumus lineāras sistēmas izejā ar zināmiem procesa raksturlielumiem ACS ieejā. Pieņemsim, ka lineāro sistēmu nosaka impulsa pārejoša reakcija. Tad izejas signālu laika brīdī nosaka Duhamela integrālis:
,
kur ir process sistēmas ievadē. Lai atrastu korelācijas funkciju, mēs rakstām 
un pēc reizināšanas atrodam matemātisko cerību
– zēnu skaits starp 10 jaundzimušajiem.
Ir pilnīgi skaidrs, ka šis skaitlis nav iepriekš zināms, un nākamie desmit bērni var būt:
Vai zēni - viens un vienīgais no uzskaitītajām opcijām.
Un, lai uzturētu formu, neliela fiziskā audzināšana:
– tāllēkšanas distance (dažās vienībās).
Pat sporta meistars to nevar paredzēt :)
Tomēr jūsu hipotēzes?
2) Nepārtraukts gadījuma mainīgais – pieņem Visi skaitliskās vērtības no kāda ierobežota vai bezgalīga intervāla.
Piezīme : saīsinājumi DSV un NSV ir populāri mācību literatūrā
Vispirms analizēsim diskrēto gadījuma mainīgo, tad - nepārtraukts.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums
-Šo sarakste starp iespējamām šī daudzuma vērtībām un to varbūtībām. Visbiežāk likums ir rakstīts tabulā: 
Termins parādās diezgan bieži rinda
izplatīšana, bet dažās situācijās tas izklausās neviennozīmīgi, un tāpēc palikšu pie "likuma".
Un tagad ļoti svarīgs punkts: kopš nejaušā mainīgā lieluma Obligāti pieņems viena no vērtībām, tad veidojas atbilstošie notikumi pilna grupa un to rašanās varbūtību summa ir vienāda ar vienu:
vai, ja rakstīts saīsināti:
Tā, piemēram, uz kauliņa izmesto punktu varbūtības sadalījuma likumam ir šāda forma: 
Bez komentāriem.
Jums var rasties iespaids, ka diskrēts gadījuma mainīgais var iegūt tikai “labas” veselas vērtības. Kliedēsim ilūziju – tās var būt jebkas:
1. piemērs
Dažām spēlēm ir šāds uzvarētāju izplatīšanas likums: 
...par šādiem uzdevumiem tu laikam jau sen sapņoji :) Atklāšu noslēpumu - es arī. It īpaši pēc tam, kad beidzu strādāt lauka teorija.
Risinājums: tā kā nejaušam mainīgajam var būt tikai viena no trim vērtībām, veidojas attiecīgie notikumi pilna grupa, kas nozīmē, ka to varbūtību summa ir vienāda ar vienu: 
“Partizāna” atmaskošana: 
– tātad varbūtība laimēt nosacītās vienības ir 0,4.
Kontrole: par to mums bija jāpārliecinās.
Atbilde:
Nereti gadās, ka sadales likums jāsastāda pašam. Šim nolūkam viņi izmanto klasiskā varbūtības definīcija, reizināšanas/saskaitīšanas teorēmas notikumu varbūtībām un citas mikroshēmas tervera:
2. piemērs
Kastītē ir 50 loterijas biļetes, no kurām 12 laimē, un 2 no tām laimē 1000 rubļus, bet pārējās - 100 rubļus. Sastādiet likumu par nejaušā lieluma sadali - laimesta lielumu, ja no kastes nejauši tiek izvilkta viena biļete.
Risinājums: kā jūs pamanījāt, gadījuma lieluma vērtības parasti tiek ievietotas augošā secībā. Tāpēc mēs sākam ar mazākajiem laimestiem, proti, rubļiem.
Kopumā ir 50 šādas biļetes - 12 = 38, un saskaņā ar klasiskā definīcija:
– varbūtība, ka nejauši izlozēta biļete būs zaudētājs.
Citos gadījumos viss ir vienkārši. Rubļu laimēšanas varbūtība ir:
Pārbaudiet: – un šis ir īpaši patīkams šādu uzdevumu brīdis!
Atbilde: vēlamais laimestu sadales likums: 
Šis uzdevums ir jāatrisina pašam:
3. piemērs
Varbūtība, ka šāvējs trāpīs mērķī, ir . Sastādiet sadalījuma likumu nejaušam mainīgajam - sitienu skaitam pēc 2 kadriem.
...es zināju, ka tev viņa pietrūkst :) Atcerēsimies reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.
Sadales likums pilnībā apraksta nejaušu mainīgo lielumu, taču praksē var būt noderīgi (un dažreiz lietderīgāk) zināt tikai daļu no tā skaitliskās īpašības .
Diskrēta gadījuma lieluma gaidīšana
Vienkārši izsakoties, tas ir vidējā paredzamā vērtība kad testēšana tiek atkārtota vairākas reizes. Ļaujiet nejaušajam mainīgajam ņemt vērtības ar varbūtībām 
attiecīgi. Tad šī nejaušā mainīgā matemātiskā cerība ir vienāda ar produktu summa visas tā vērtības atbilst atbilstošajām varbūtībām:
vai sabruka: 
Aprēķināsim, piemēram, nejaušā mainīgā lieluma matemātisko cerību - uz kauliņa izmesto punktu skaitu:
Tagad atcerēsimies mūsu hipotētisko spēli: 
Rodas jautājums: vai vispār ir izdevīgi spēlēt šo spēli? ...kam ir iespaidi? Tātad jūs to nevarat teikt "no rokas"! Bet uz šo jautājumu var viegli atbildēt, aprēķinot matemātisko cerību, būtībā - vidējais svērtais pēc laimesta varbūtības:
Tādējādi šīs spēles matemātiskās cerības zaudēšana.
Neticiet saviem iespaidiem - uzticieties skaitļiem!
Jā, šeit var uzvarēt 10 un pat 20-30 reizes pēc kārtas, bet ilgtermiņā mūs gaida neizbēgama sagrāve. Un tādas spēles es tev neieteiktu spēlēt :) Nu varbūt tikai prieka pēc.
No visa iepriekš minētā izriet, ka matemātiskā cerība vairs nav NEJAUŠA vērtība.
Radošs uzdevums patstāvīgam pētījumam:
4. piemērs
X kungs spēlē Eiropas ruleti, izmantojot šādu sistēmu: viņš pastāvīgi liek 100 rubļus uz “sarkano”. Sastādiet nejauša lieluma sadalījuma likumu - tā laimestu. Aprēķiniet laimesta matemātisko cerību un noapaļojiet to līdz tuvākajai kapeikai. Cik daudz vidēji Vai spēlētājs zaudē par katriem uzliktajiem simtiem?
Atsauce : Eiropas rulete satur 18 sarkanus, 18 melnus un 1 zaļu sektoru (“nulle”). Ja parādās “sarkans”, spēlētājam tiek izmaksāta dubultā likme, pretējā gadījumā tā tiek novirzīta kazino ienākumiem
Ir daudzas citas ruletes sistēmas, kurām varat izveidot savas varbūtības tabulas. Bet tas ir gadījums, kad mums nav vajadzīgi nekādi sadales likumi vai tabulas, jo ir noteikti noteikts, ka spēlētāja matemātiskās cerības būs tieši tādas pašas. Vienīgais, kas mainās no sistēmas uz sistēmu, ir
Šeit īsumā apskatīsim galvenos nejaušo procesu sistematizācijas (klasificēšanas) jautājumus.
Nejaušs process, kas notiek (pāriet) jebkurā fiziskā sistēmā, atspoguļo nejaušas sistēmas pārejas no viena stāvokļa uz otru. Atkarībā no šo apstākļu daudzveidības 
no daudziem 
argumentu vērtības 
visi nejaušie procesi ir sadalīti klasēs (grupās):
1. Diskrēts process ( diskrētais stāvoklis) ar diskrētu laiku.
2. Diskrēts process ar nepārtrauktu laiku.
3. Nepārtraukts process (nepārtraukts stāvoklis) ar diskrētu laiku.
4. Nepārtraukts process ar nepārtrauktu laiku.
1
3 gadījumi daudz 
diskrēti, t.i. arguments 
ņem diskrētas vērtības 
parasti 
1. gadījumā
izlases funkciju vērtību kopa 
tiek definēti ar vienādībām:, ir diskrēta kopa 
(daudz 
ierobežots vai saskaitāms).
Trešajā gadījumā komplekts 
nesaskaitāms, t.i. nejauša procesa šķērsgriezums jebkurā laikā 
ir nepārtraukts gadījuma lielums.
2. un 4. gadījumā ir daudz 
nepārtraukts, otrajā gadījumā sistēmas stāvokļu kopa 
galīgs vai saskaitāms, un ceturtajā gadījumā kopa 
nesaskaitāms.
Sniegsim dažus 1.-4. klases nejaušu procesu piemērus attiecīgi:
1. Hokejists var vai nevar iemest vienu vai vairākus vārtus pretinieka vārtos noteiktā laika posmā (saskaņā ar spēļu grafiku) aizvadītajās spēlēs. 
Nejaušs process 
ir gūto vārtu skaits līdz 
.
2. Izlases process 
- kinoteātrī Zvezda noskatīto filmu skaits
no kino sākuma līdz brīdim laikā 
.
3. Noteiktos laika punktos 
tiek mērīta temperatūra 
pacients kādā ārstniecības centrā. 
- ir nejaušs nepārtraukta tipa process ar diskrētu laiku.
4. Gaisa mitruma līmeņa rādītājs dienas laikā pilsētā A.
Var apsvērt arī citas sarežģītākas nejaušu procesu klases. Katrai nejaušo procesu klasei tiek izstrādātas atbilstošas metodes to pētīšanai.
Mācību grāmatās var atrast vairākus daudzveidīgus un interesantus nejaušu plūsmu piemērus [V. Feller, 1.2. daļa] un monogrāfijā. Šeit mēs aprobežosimies ar to.
Nejaušiem procesiem atkarībā no parametra tiek ieviesti arī vienkārši funkcionālie raksturlielumi 
, līdzīgi nejaušo lielumu skaitliskajām pamatīpašībām.
Šo raksturlielumu zināšanas ir pietiekamas, lai atrisinātu daudzas problēmas (atgādinām, ka pilnīgu nejauša procesa raksturlielumu dod tā daudzdimensiju (galīgo dimensiju) sadalījuma likums.
Atšķirībā no gadījuma lielumu skaitliskajām īpašībām, vispārīgā gadījumā funkcionālie raksturlielumi ir specifiskas funkcijas.
4. Nejauša procesa matemātiskā gaida un dispersija
Nejauša procesa matemātiskā cerība 
definēts jebkurai fiksētai argumenta vērtībai 
ir vienāds ar nejaušā procesa atbilstošās sadaļas matemātisko cerību:
(12)
.
Lai īsi apzīmētu matemātisko cerību s.p. tiek lietots arī apzīmējums 
.
Funkcija 
vidēji raksturo nejauša procesa uzvedību. Matemātiskās gaidas ģeometriskā nozīme 
interpretējama kā “vidējā līkne”, ap kuru atrodas realizācijas līknes (sk. 60. att.).
(sk. 60. att. Burti).
Pamatojoties uz nejauša lieluma matemātiskās cerības īpašību un ņemot vērā to 
izlases process, un 
mēs iegūstam negadījuma funkciju īpašības matemātiskās cerības nejaušs process:
1. Nejaušas funkcijas matemātiskā sagaidāmā funkcija ir vienāda ar pašu funkciju: 
.
2. Nejaušs reizinātājs (neizlases funkcija) var tikt pieņemts kā nejauša procesa matemātiskās cerības zīme, t.i.
3. Divu nejaušu procesu summas (starpības) matemātiskā cerība ir vienāda ar summu
(atšķirības) terminu matemātiskajās cerībās, t.i.
Ņemiet vērā: ja mēs labojam argumentu (parametru) 
, tad mēs pārejam no nejauša procesa uz nejaušu mainīgo (t.i., mēs pārejam uz nejauša procesa šķērsgriezumu), mēs varam atrast m.o. no šī procesa šajā fiksētajā 
Tā kā, ja sadaļa s.p. 
par doto 
ir nepārtraukts r.v. ar blīvumu 
tad tā matemātisko cerību var aprēķināt, izmantojot formulu
(13)
.
2. piemērs.Ļaujiet s.p. tiek noteikts pēc formulas, t.i. 
s.v.,
Atrodiet nejauša procesa matemātisko cerību 
Risinājums.Īpašums 2. mums ir
jo 
un tāpēc 
.
Vingrinājums. Es izmantošu vienādības, lai aprēķinātu matemātisko cerību
,
,
un pēc tam, pamatojoties uz formulu (13), aprēķiniet integrāli un pārliecinieties, ka rezultāts ir vienāds.
Piezīme. Izmantojiet vienlīdzības priekšrocības
.
Nejauša procesa dispersija.
Nejauša procesa dispersija 
sauc par negadījuma funkciju
Izkliede 
s.p. tiek ņemts vērā, raksturo arī iespējamo R.p vērtību izplatību (dispersiju). attiecībā pret tā matemātiskajām cerībām.
Kopā ar dispersiju sp. tiek ņemta vērā arī standarta novirze 
(saīsināti s.c.o.), ko nosaka vienlīdzība
(15)
Funkcijas dimensija 
vienāds ar s.p. izmēru. 
.
S.p. realizācijas vērtības. katrā 
novirzās no matemātiskās cerības 
pēc pasūtījuma summas 
(skat. 60. attēlu).
Atzīmēsim vienkāršākās nejaušo procesu izkliedes īpašības.
1. Nejaušas funkcijas dispersija 
ir vienāds ar nulli, t.i.
2. Nejauša procesa dispersija 
nenegatīvs t.i.
3. Nejaušas funkcijas reizinājuma dispersija 
uz nejaušu funkciju 
ir vienāds ar negadījuma funkcijas kvadrāta un nejaušās funkcijas dispersijas reizinājumu, t.i.
4. S.p summas izkliede. 
un negadījuma funkcija 
vienāds ar sp. izkliedi, t.i.
3. piemērs. Lets.p. tiek noteikts pēc formulas, t.i. 
s.v.
izplata saskaņā ar parasto likumu ar 
Atrodiet s.p. dispersiju un standartnovirzi. 
.
Risinājums. Aprēķināsim dispersiju, pamatojoties uz formulu no īpašības 3. Mums ir
Bet 
, tāpēc pēc r.v. dispersijas definīcijas. 
Tāpēc 
tie. 
Un 
Ja gadījuma procesu uzskata par jau trīs vai četru gadījuma lielumu sistēmu, rodas grūtības nejauša procesa sadalījuma likumu analītiskā izteiksmē. Tāpēc vairākos gadījumos tās aprobežojas ar nejauša procesa pazīmēm, kas ir līdzīgas nejaušo mainīgo skaitliskajām īpašībām.
Nejauša procesa raksturlielumi, atšķirībā no nejaušo mainīgo skaitliskām īpašībām, ir negadījuma funkcijas. Tostarp nejauša procesa matemātiskās gaidīšanas un izkliedes funkcijas, kā arī nejauša procesa korelācijas funkcija tiek plaši izmantotas nejauša procesa novērtēšanai.
Nejaušības procesa matemātiskā gaida X(t)ir negadījuma funkcija, kas katrai argumenta t vērtībai ir vienāda ar nejaušā procesa atbilstošās sadaļas matemātisko cerību
.
No nejauša procesa matemātiskās cerības definīcijas izriet, ka, ja ir zināms viendimensijas varbūtības blīvums, tad
.
(6.3)
Nejaušs process X(t) vienmēr var attēlot kā elementāru gadījuma funkciju summu
, kur ir elementāra gadījuma funkcija.
. (6.4)
Ja ir dotas daudzas nejauša procesa realizācijas X(t), tad matemātiskās cerības grafiskam attēlojumam tiek veikta sekciju sērija un katrā no tām tiek atrasta atbilstošā matemātiskā gaida (vidējā vērtība), un tad caur šiem punktiem tiek novilkta līkne (6.3. att.).
6.3. attēls – matemātiskās gaidu funkcijas grafiks
Jo vairāk sekciju tiks izgatavotas, jo precīzāk tiks izveidota līkne.
Paredzamā vērtība nejaušam procesam ir kāda negadījuma funkcija, ap kuru tiek grupētas nejauša procesa realizācijas.
Ja nejauša procesa realizācijas ir strāva vai spriegums, tad matemātiskā cerība tiek interpretēta kā strāvas vai sprieguma vidējā vērtība.
Nejaušības procesa dispersija X(t)ir negadījuma funkcija, kas katrai argumenta t vērtībai ir vienāda ar gadījuma procesa atbilstošās sadaļas izkliedi.
.
No nejauša procesa dispersijas definīcijas izriet, ka, ja ir zināms viendimensijas varbūtības blīvums, tad
vai (6.5)
Ja formā ir attēlots nejaušs process , Tas
Nejauša procesa izkliede raksturo implementāciju izplatību vai izkliedi attiecībā pret matemātisko gaidu funkciju.
Ja nejauša procesa realizācija ir strāva vai spriegums, tad dispersija interpretē kā starpību starp visa procesa jaudu un strāvas vai sprieguma vidējā komponenta jaudu noteiktā sadaļā, t.i.
. (6.7)
Dažos gadījumos nejauša procesa dispersijas vietā tiek izmantota nejaušā procesa standartnovirze
.
Nejauša procesa matemātiskā cerība un izkliede ļauj identificēt vidējās funkcijas veidu, ap kuru tiek grupētas nejauša procesa realizācijas, un novērtēt to izplatību attiecībā pret šo funkciju. Taču nejaušā procesa iekšējā struktūra, t.i. dažādu procesa posmu savstarpējās atkarības (savienojuma) raksturs un pakāpe paliek nezināma (6.4. att.).
6.4. attēls. Nejaušo procesu realizācijas X(t) Un Y(t)
Lai raksturotu saikni starp nejauša procesa šķērsgriezumiem, tiek ieviests otrās kārtas jaukta momenta funkcijas jēdziens - korelācijas funkcija.
Korelācijas funkcija nejaušs process X(t) tiek saukta par negadījuma funkciju, kas katram vērtību pārim ir vienāda ar nejaušā procesa atbilstošo sadaļu korelācijas momentu:
Kur 
, .
Attiecības (sk. 6.4. att.) starp nejauša procesa sekcijām X(t) lielāks nekā starp nejauša procesa šķērsgriezumiem Y(t), t.i.
.
No definīcijas izriet, ka, ja ir norādīts divdimensiju varbūtības blīvums 
nejaušs process X(t), Tas
Korelācijas funkcija ir divu nejaušu mainīgo korelācijas momentu kopa momentos , un abi momenti tiek ņemti vērā jebkurā visu pašreizējo iespējamo argumenta vērtību kombinācijā. t nejaušs process. Tādējādi korelācijas funkcija raksturo statistisko sakarību starp momentānām vērtībām dažādos laika punktos.
Korelācijas funkcijas īpašības.
1) Ja , tad . Līdz ar to nejauša procesa dispersija ir īpašs korelācijas funkcijas gadījums.