Aprēķiniet leņķus starp taisnēm tiešsaistē. Leņķis starp taisnām līnijām

1. problēma

Atrodiet kosinusu leņķim starp līnijām $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ un $\left\( \begin(masīvs )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(masīvs)\right $.

Telpā tiks dotas divas rindas: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ un $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Izvēlēsimies patvaļīgu telpas punktu un novelsim caur to divas palīglīnijas paralēli datiem. Leņķis starp šīm līnijām ir jebkurš no diviem blakus esošajiem leņķiem, ko veido palīglīnijas. Viena no leņķiem starp taisnēm kosinusu var atrast, izmantojot labi zināmo formulu $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Ja vērtība $\cos \phi >0$, tad tiek iegūts akūts leņķis starp līnijām, ja $\cos \phi

Pirmās rindas kanoniskie vienādojumi: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Otrās rindas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem:

\ \ \

Tādējādi šīs līnijas kanoniskie vienādojumi ir: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Mēs aprēķinām:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ pa kreisi(-3\labais)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) \aptuveni 0,9449.\]

2. problēma

Pirmā rinda iet cauri dotos punktus$A\left(2,-4,-1\right)$ un $B\left(-3,5,6\right)$, otrā taisne caur dotajiem punktiem $C\left(1,-2 , 8\right)$ un $D\left(6,7,-2\right)$. Atrodiet attālumu starp šīm līnijām.

Ļaujiet noteiktai taisnei būt perpendikulārai taisnēm $AB$ un $CD$ un krustot tās attiecīgi punktos $M$ un $N$. Šādos apstākļos segmenta $MN$ garums ir vienāds ar attālumu starp līnijām $AB$ un $CD$.

Mēs izveidojam vektoru $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Ļaujiet segmentam, kas attēlo attālumu starp taisnēm, iet caur punktu $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ uz līnijas $AB$.

Mēs izveidojam vektoru $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ josla(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(AB)$ un $\overline(AM)$ ir vienādi, tāpēc tie ir kolineāri.

Ir zināms, ka, ja vektori $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ un $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ ir kolineāras, tad to koordinātas ir proporcionālas, tad ir $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, kur $m $ ir dalīšanas rezultāts.

No šejienes mēs iegūstam: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Visbeidzot iegūstam izteiksmes punkta $M$ koordinātām:

Mēs izveidojam vektoru $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ pa kreisi(-2-8\labais)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Ļaujiet segmentam, kas attēlo attālumu starp taisnēm, iet caur punktu $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ uz līnijas $CD$.

Mēs izveidojam vektoru $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ josla(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(CD)$ un $\overline(CN)$ sakrīt, tāpēc tie ir kolineāri. Mēs izmantojam vektoru kolinearitātes nosacījumu:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, kur $n $ ir dalīšanas rezultāts.

No šejienes mēs iegūstam: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Visbeidzot iegūstam izteiksmes punkta $N$ koordinātām:

Mēs izveidojam vektoru $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

Mēs aizstājam punktu $M$ un $N$ koordinātas ar izteiksmēm:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\right)\right)\cdot \bar(k).\]

Pabeidzot darbības, mēs iegūstam:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Tā kā līnijas $AB$ un $MN$ ir perpendikulāras, atbilstošo vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli, tas ir, $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ pa kreisi(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

Pabeidzot darbības, mēs iegūstam pirmo vienādojumu $m$ un $n$ noteikšanai: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Tā kā līnijas $CD$ un $MN$ ir perpendikulāras, atbilstošo vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli, tas ir, $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ [-5+25\cpunkts n+25\cpunkts m+18+81\cpunkts n-81\cpunkts m-90+100\cpunkts n+70\cpunkts m=0.\]

Pabeidzot darbības, iegūstam otro vienādojumu $m$ un $n$ noteikšanai: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Mēs atrodam $m$ un $n$, atrisinot vienādojumu sistēmu $\left\(\begin(masīvs)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206 \cdot n =77)\end(masīvs)\right$.

Mēs izmantojam Cramer metodi:

Atrodiet punktu $M$ un $N$ koordinātas:

\ \

Visbeidzot:

Visbeidzot, mēs ierakstām vektoru $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ vai $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar(j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .

Attālums starp līnijām $AB$ un $CD$ ir vektora $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^(2) ) garums. aptuveni 3,8565 USD lin. vienības

Divas taisnes l un m uz plaknes Dekarta koordinātu sistēmā ir dotas ar vispārīgiem vienādojumiem: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Normālie vektori uz šīm rindām: = (A 1 , B 1) – uz līniju l,

= (A 2 , B 2) – uz m līniju.

Pieņemsim, ka j ir leņķis starp taisnēm l un m.

Tā kā leņķi ar savstarpēji perpendikulārām malām ir vai nu vienādi, vai summējas līdz p, tad , tas ir, cos j = .

Tātad, mēs esam pierādījuši šādu teorēmu.

Teorēma.Ļaujiet j būt leņķim starp divām plaknes taisnēm, un šīs taisnes ir norādītas Dekarta koordinātu sistēmā ar vispārīgajiem vienādojumiem A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 un A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tad cos j = .

Vingrinājumi.

1) Atvasiniet formulu leņķa aprēķināšanai starp taisnēm, ja:

(1) abas līnijas ir norādītas parametriski; (2) abas rindas ir dotas ar kanoniskiem vienādojumiem; (3) viena rinda ir norādīta parametriski, otra rinda ir noteikta ar vispārīgu vienādojumu; (4) abas taisnes ir dotas ar vienādojumu ar leņķa koeficientu.

2) Lai j ir leņķis starp divām taisnēm plaknē, un šīs taisnes ir definētas Dekarta koordinātu sistēmā ar vienādojumiem y = k 1 x + b 1 un y =k 2 x + b 2 .

Tad iedegums j = .

3) Izpētiet divu taisnu līniju relatīvo pozīciju, kas noteikta ar vispārīgiem vienādojumiem Dekarta koordinātu sistēmā, un aizpildiet tabulu:

Attālums no punkta līdz taisnei plaknē.

Ļaujiet taisnei l uz plaknes Dekarta koordinātu sistēmā dot vispārīgo vienādojumu Ax + By + C = 0. Noskaidrosim attālumu no punkta M(x 0 , y 0) līdz taisnei l.

Attālums no punkta M līdz taisnei l ir perpendikulāra HM garums (H О l, HM ^ l).

Vektors un normālvektors taisnei l ir kolineāri, tātad | | = | | | | un | | = .

Lai punkta H koordinātas ir (x,y).

Tā kā punkts H pieder taisnei l, tad Ax + By + C = 0 (*).

Vektoru koordinātas un: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax — pēc, skatiet (*))

Teorēma.Ļaujiet taisnei l norādīt Dekarta koordinātu sistēmā ar vispārīgo vienādojumu Ax + By + C = 0. Tad attālumu no punkta M(x 0 , y 0) līdz šai taisnei aprēķina pēc formulas: r ( M; l) = .

Vingrinājumi.

1) Atvasināt formulu attāluma no punkta līdz taisnei aprēķināšanai, ja: (1) taisne ir dota parametriski; (2) ir dota taisne kanoniskie vienādojumi; (3) taisne tiek dota ar vienādojumu ar leņķa koeficientu.

2) Uzrakstiet taisnes 3x – y = 0 pieskares riņķa vienādojumu, kura centrs atrodas punktā Q(-2,4).

3) Uzrakstiet vienādojumus taisnēm, kas sadala uz pusēm leņķus, ko veido taisnes 2x + y - 1 = 0 un x + y + 1 = 0.

§ 27. Plaknes analītiskā definīcija telpā

Definīcija. Plaknes normāls vektors mēs nosauksim vektoru, kas atšķiras no nulles, kura jebkurš pārstāvis ir perpendikulārs noteiktai plaknei.

komentēt. Ir skaidrs, ka, ja vismaz viens vektora pārstāvis ir perpendikulārs plaknei, tad visi pārējie vektora pārstāvji ir perpendikulāri šai plaknei.

Dota Dekarta koordinātu sistēma telpā.

Dota plakne = (A, B, C) – šīs plaknes normālvektors, punkts M (x 0 , y 0 , z 0) pieder plaknei a.

Jebkuram plaknes a punktam N(x, y, z) vektori un ir ortogonāli, tas ir, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: = 0. Uzrakstīsim pēdējo vienādību koordinātēs: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Ļaujiet -Ax 0 - Ar 0 - Cz 0 = D, tad Ax + By + Cz + D = 0.

Ņemsim tādu punktu K (x, y), lai Ax + By + Cz + D = 0. Tā kā D = -Ax 0 - Ar 0 - Cz 0, tad A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Tā kā virzītā segmenta koordinātas = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), pēdējā vienādība nozīmē, ka ^, un līdz ar to K О a.

Tātad, mēs esam pierādījuši šādu teorēmu:

Teorēma. Jebkuru plakni telpā Dekarta koordinātu sistēmā var norādīt ar vienādojumu formā Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), kur (A, B, C) ir šīs plaknes normālā vektora koordinātas.

Ir arī otrādi.

Teorēma. Jebkurš vienādojums formā Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) Dekarta koordinātu sistēmā norāda noteiktu plakni, un (A, B, C) ir normas koordinātas. vektoru uz šo plakni.

Pierādījums.

Ņemiet punktu M (x 0 , y 0 , z 0), lai Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 un vektors = (A, B, C) (≠ q).

Plakne (un tikai viena) iet caur punktu M, kas ir perpendikulāra vektoram. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu šo plakni nosaka vienādojums Ax + By + Cz + D = 0.

Definīcija. Tiek saukts vienādojums ar formu Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0). vispārējā plaknes vienādojums.

Piemērs.

Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem M (0,2,4), N (1,-1,0) un K (-1,0,5).

1. Atrodiet plaknes normālvektora koordinātas (MNK). Jo vektora produkts´ ir ortogonāls nekolineāriem vektoriem un , tad vektors ir kolineārs ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Tātad kā parasto vektoru mēs ņemam vektoru = (-11, 3, -5).

2. Tagad izmantosim pirmās teorēmas rezultātus:

šīs plaknes vienādojums A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, kur (A, B, C) ir normālā vektora koordinātas, (x 0 , y 0 , z 0) – plaknē esošā punkta koordinātas (piemēram, punkts M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Atbilde: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Vingrinājumi.

1) Uzrakstiet plaknes vienādojumu, ja

(1) plakne iet caur punktu M (-2,3,0) paralēli plaknei 3x + y + z = 0;

(2) plakne satur (Ox) asi un ir perpendikulāra x + 2y – 5z + 7 = 0 plaknei.

2) Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur trim dotajiem punktiem.

28. §. Pustelpas analītiskā definīcija*

komentēt*. Lai kādu plakni salabo. Zem pustelpa mēs sapratīsim punktu kopu, kas atrodas vienā pusē noteiktai plaknei, tas ir, divi punkti atrodas vienā pustelpā, ja tos savienojošais posms nešķērso doto plakni. Šo lidmašīnu sauc šīs pustelpas robeža. Sauks šīs plaknes un pustelpas savienība slēgta pustelpa.

Lai telpā ir fiksēta Dekarta koordinātu sistēma.

Teorēma.Ļaujiet plakni a dot ar vispārīgo vienādojumu Ax + By + Cz + D = 0. Tad viena no divām pustelpām, kurās plakne a sadala telpu, ir norādīta ar nevienādību Ax + Ar + Cz + D > 0 , un otro pustelpu dod nevienādība Ax + By + Cz + D< 0.

Pierādījums.

Atzīmēsim normālvektoru = (A, B, C) uz plakni a no punkta M (x 0 , y 0 , z 0), kas atrodas uz šīs plaknes: = , M О a, MN ^ a. Plakne sadala telpu divās pustelpās: b 1 un b 2. Ir skaidrs, ka punkts N pieder vienai no šīm pustelpām. Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka N О b 1 .

Pierādīsim, ka pustelpa b 1 ir definēta ar nevienādību Ax + By + Cz + D > 0.

1) Ņem punktu K(x,y,z) pustelpā b 1 . Leņķis Ð NMK ir leņķis starp vektoriem un - akūtu, tāpēc šo vektoru skalārais reizinājums ir pozitīvs: > 0. Ierakstīsim šo nevienādību koordinātēs: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, tas ir, Ax + By + Cy - Ax 0 - Ar 0 - C z 0 > 0.

Tā kā M О b 1, tad Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, tātad -Ax 0 - Ar 0 - C z 0 = D. Tāpēc pēdējo nevienādību var uzrakstīt šādi: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ņemiet punktu L(x,y), lai Ax + By + Cz + D > 0.

Pārrakstīsim nevienādību, aizstājot D ar (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (kopš M О b 1, tad Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vektors ar koordinātām (x - x 0,y - y 0, z - z 0) ir vektors, tāpēc izteiksme A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) var saprast kā vektoru skalāro reizinājumu un . Tā kā vektoru un skalārais reizinājums ir pozitīvs, leņķis starp tiem ir akūts un punktu L О b 1 .

Līdzīgi mēs varam pierādīt, ka pustelpa b 2 ir dota ar nevienādību Ax + By + Cz + D< 0.

Piezīmes.

1) Ir skaidrs, ka iepriekš sniegtais pierādījums nav atkarīgs no punkta M izvēles plaknē a.

2) Ir skaidrs, ka vienu un to pašu pustelpu var definēt ar dažādām nevienādībām.

Ir arī otrādi.

Teorēma. Jebkura lineāra nevienādība formā Ax + By + Cz + D > 0 (vai Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Pierādījums.

Vienādojums Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) telpā definē noteiktu plakni a (sk. § ...). Kā tika pierādīts iepriekšējā teorēmā, viena no divām pustelpām, kurās plakne sadala telpu, ir dota ar nevienādību Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Piezīmes.

1) Ir skaidrs, ka slēgtu pustelpu var definēt ar nestingru lineāru nevienādību, un jebkura nestingra lineāra nevienādība Dekarta koordinātu sistēmā definē slēgtu pustelpu.

2) Jebkuru izliektu daudzskaldni var definēt kā slēgtu pustelpu (kuru robežas ir plaknes, kas satur daudzskaldņa skaldnes) krustpunktu, tas ir, analītiski - ar lineāru nevienādību sistēmu.

Vingrinājumi.

1) Pierādiet divas teorēmas, kas uzrādītas patvaļīgai afīnai koordinātu sistēmai.

2) Vai ir otrādi, ka jebkura lineāro nevienādību sistēma definē izliektu daudzstūri?

Vingrinājums.

1) Izpētiet divu plakņu relatīvās pozīcijas, kas noteiktas ar vispārīgiem vienādojumiem Dekarta koordinātu sistēmā un aizpildiet tabulu.

Ikvienam skolēnam, kurš gatavojas vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, noderēs atkārtot tēmu “Leņķa atrašana starp taisnēm”. Kā liecina statistika, nokārtojot sertifikācijas testu, uzdevumi šajā stereometrijas sadaļā sagādā grūtības lielai daļai skolēnu. Tajā pašā laikā uzdevumi, kuriem nepieciešams atrast leņķi starp taisnēm, ir atrodami vienotajā valsts eksāmenā gan pamata, gan specializētajā līmenī. Tas nozīmē, ka ikvienam ir jāspēj tās atrisināt.

Pamata momenti

Ir 4 veidu līniju relatīvās pozīcijas telpā. Tie var sakrist, krustoties, būt paralēli vai krustoties. Leņķis starp tiem var būt akūts vai taisns.

Lai atrastu leņķi starp līnijām vienotajā valsts eksāmenā vai, piemēram, risināšanā, skolēni Maskavā un citās pilsētās var izmantot vairākus veidus, kā atrisināt problēmas šajā stereometrijas sadaļā. Jūs varat izpildīt uzdevumu, izmantojot klasiskās konstrukcijas. Lai to izdarītu, ir vērts apgūt stereometrijas pamata aksiomas un teorēmas. Studentam jāprot loģiski spriest un veidot rasējumus, lai uzdevumu novestu līdz planimetriskai problēmai.

Varat arī izmantot vektora koordinātu metodi, izmantojot vienkāršas formulas, noteikumi un algoritmi. Galvenais šajā gadījumā ir pareizi veikt visus aprēķinus. Pilnveidojiet savas prasmes problēmu risināšanā stereometrijā un citās jomās skolas kurss tev palīdzēs izglītojošs projekts"Školkova".

LEŅĶIS STARP PLAKNĒM

Apsveriet divas plaknes α 1 un α 2, kas attiecīgi definētas ar vienādojumiem:

Zem leņķis starp divām plaknēm mēs sapratīsim vienu no diedrālajiem leņķiem, ko veido šīs plaknes. Ir skaidrs, ka leņķis starp normālvektoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vienu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai . Tāpēc . Jo Un , Tas

Piemērs. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+4=0 un 2 x+3y+z+8=0.

Nosacījums divu plakņu paralēlismam.

Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir paralēli, un tāpēc .

Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja atbilstošo koordinātu koeficienti ir proporcionāli:

vai

Plakņu perpendikulitātes nosacījums.

Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir perpendikulāri, un tāpēc vai .

Tādējādi,.

Piemēri.

TAISNI KOSMOSĀ.

VEKTORU VIENĀDOJUMS LĪNIJAI.

PARAMETRISKI TIEŠIE VIENĀDĀJUMI

Līnijas novietojums telpā tiek pilnībā noteikts, norādot jebkuru tās fiksēto punktu M 1 un šai taisnei paralēlu vektoru.

Tiek izsaukts vektors, kas ir paralēls taisnei ceļvežišīs līnijas vektors.

Tātad ļaujiet taisnai līnijai l iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1), kas atrodas uz taisnes, kas ir paralēla vektoram .

Apsveriet patvaļīgu punktu M(x,y,z) uz taisnas līnijas. No attēla ir skaidrs, ka .

Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas , kur ir reizinātājs t atkarībā no punkta atrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Faktors t sauc par parametru. Pēc punktu rādiusa vektoru noteikšanas M 1 un M attiecīgi caur un , mēs iegūstam . Šo vienādojumu sauc vektors taisnas līnijas vienādojums. Tas parāda, ka katrai parametra vērtībai t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M, guļ uz taisnas līnijas.

Uzrakstīsim šo vienādojumu koordinātu formā. Ievērojiet, ka, un no šejienes

Iegūtos vienādojumus sauc parametrisks taisnas līnijas vienādojumi.

Mainot parametru t mainās koordinātas x, y Un z un periods M pārvietojas taisnā līnijā.

TIEŠĀS KANONISKIE VIENĀDĀJUMI

Ļaujiet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – punkts, kas atrodas uz taisnes l, Un ir tā virziena vektors. Atkal paņemsim patvaļīgu punktu uz līnijas M(x,y,z) un apsveriet vektoru .

Ir skaidrs, ka arī vektori ir kolineāri, tāpēc to atbilstošajām koordinātām jābūt proporcionālām, tāpēc

– kanonisks taisnas līnijas vienādojumi.

1. piezīme.Ņemiet vērā, ka līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem, izslēdzot parametru t. Patiešām, no parametru vienādojumiem mēs iegūstam vai .

Piemērs. Pierakstiet līnijas vienādojumu parametriskā formā.

Apzīmēsim , no šejienes x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. piezīme. Lai taisne būtu perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, piemēram, asij Vērsis. Tad taisnes virziena vektors ir perpendikulārs Vērsis, tātad, m=0. Līdz ar to līnijas parametriskie vienādojumi iegūs formu

Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnes vienādojumus formā

Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli ierakstīt līnijas kanoniskos vienādojumus formā . Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka taisne ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.

Līdzīgi kā kanoniskajiem vienādojumiem atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Vērsis Un Oy vai paralēli asij Oz.

Piemēri.

TAISNES LĪNIJAS VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI KĀ DIVU LAKMEŅU KRUSTOJUMA LĪNIJAS

Caur katru taisni kosmosā ir neskaitāmas plaknes. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Līdz ar to jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, attēlo šīs līnijas vienādojumus.

Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi

nosaka to krustpunkta taisni. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni.

Piemēri.

Izveidojiet taisni, kas dota ar vienādojumu

Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek atrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids ir izvēlēties līnijas krustošanās punktus ar koordinātu plaknes. Piemēram, krustošanās punkts ar plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, pieņemot z= 0:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).

Tāpat, pieņemot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:

No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem var pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz taisnes un taisnes virziena vektoru.

Punkta koordinātas M 1 mēs iegūstam no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vektoru, ņemiet vērā, ka šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem Un . Tāpēc aiz taisnes virziena vektora l jūs varat ņemt parasto vektoru vektorreizinājumu:

Piemērs. Svins vispārīgie vienādojumi taisni uz kanonisko formu.

Atradīsim punktu, kas atrodas uz līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, piemēram, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas Tāpēc virziena vektors būs taisns

. Tāpēc l: .

LEŅĶIS STARP TAISNĒM

Leņķis starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus esošajiem leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā tiks dotas divas rindas:

Acīmredzot leņķi φ starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad, izmantojot formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam