Матричный анализ. Матричные методы стратегического анализа

Матричный анализ или матричный метод нашел широкое распространение при сравнительной оценке различных хозяйственных систем (предприятий, отдельных подразделений предприятий и т.п.). Матричный метод позволяет определить интегральную оценку каждого предприятия по нескольким показателям. Эта оценка называется рейтингом предприятия. Рассмотрим применение матричного метода поэтапно на конкретном примере.

1. Выбор оценочных показателей и формирование матрицы исходных данных a ij , то есть таблицы, где по строкам отражаются номера систем (предприятий), а по столбцам номера показателей (i=1,2….n) - системы; (j=1,2…..n) - показатели. Выбранные показатели должны иметь одинаковую направленность (чем больше, тем лучше).

2. Составление матрицы стандартизованных коэффициентов. В каждом столбце определяется максимальный элемент, а затем все элементы этого столбца делятся на максимальный элемент. По результатам расчета создается матрица стандартизованных коэффициентов.

Выделяем в каждом столбце максимальный элемент.

УДК 681.51.011

МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ

ООО «Самара - АвиаГаз»

Самарский государственный аэрокосмический университет

В работе анализируются различные способы применения матриц в управлении предприятием. Отношение (связь) между элементами двух и более множеств может быть представлена в матричной форме. Композиция отношений позволяет упростить анализ связей между элементами множеств. Приведен пример использования матриц приоритетов в системе управления предприятием.

Матрицы, как инструмент анализа, уже давно применяются в системе управления предприятия. Достаточно назвать такие инструменты качества как матричные диаграммы, матрицы приоритетов, матричный анализ в Развертывании Функции Качества .

1. Применение матриц в управлении обусловлено тем, что практически любое предприятие характеризуется большим набором объектов (различное оборудование, подразделения, поставщики, потребители), и связи между ними трудно описать зависимостями типа у = f (х) . Реальные связи многомерны и неявны. Матрицы же позволяют в достаточно наглядной форме идентифицировать такие связи и проводить их анализ. В задаче формирования производственной структуры предприятия может быть использована матрица взаимосвязей групп деталей В = ], где ^ - численность об-

щего оборудования, применяемого при обработке 1 - ой и ] - ой деталей, в маркетинговых исследованиях используется матрица технического уровня и = \и^], где

и у - технический уровень 1 - ого предприятия на ] - ом рынке и матрица цен .

С позиций математики задание матрицы может интерпретироваться как задание отношения (связи) между объектами двух множеств. Элемент матрицы в этом случае может означать как связь объектов (типа «да» или «нет»), так и силу связи, выраженную числом. В случае трех и более множеств можно строить многомерные отношения и, соответственно, многомерные матрицы. Однако при таком подходе теряется наглядность и простота интерпретации. Сложность анализа многомерных отноше-

ний можно преодолеть с помощью композиции отношений .

2. Допустим, что предприятие имеет поставщиков Пь П2,...П5, которые поставляют материалы (детали, узлы, комплектующие) Мі, М2, М3. Из этих материалов предприятие изготавливает изделия Иь И2,...И, для заказчиков (потребителей) Зі, З2,...З5. Для указанных множеств можно составить матрицы связей. Пусть, например, установлены связи между поставщиками и материалами, которые они поставляют (таблица 1), изделиями и необходимыми материалами (таблица 2), заказчиками и изделиями (таблица 3). Знаком « х » обозначена связь объектов двух множеств.

Таблица 1. Матрица связей между поставщиками

и поставляемыми материалами (П М)

ПМ Пі П2 Пз П4 П5

Таблица 2. Матрица связей между изделиями и материалами (ИМ)

ИМ Мі М2 Мз

Таблица 3. Матрица связей между заказчиками и изделиями (ЗИ)

ЗИ Иі И2 Из Из

Используя композицию отношений, заданных матрицами ПМ, ИМ и ЗИ, нетрудно составить матрицу отношения ПЗ. Матрица ПЗ (таблица 4) показывает связи, устанавливаемые предприятием, между поставщиками П и заказчиками З^ Так, например, взаимодействие заказчика З3 с предприятием происходит по изделию И3, для которого необходимы материалы М! и М3, поставляемые Пь П3 и П5.

Таблица 4. Матрица связей между поставщика-

Подробное расписывание технологических процессов (продуктовых линий) с помощью матриц связей упрощает определение добавленной ценности для заказчика, прибыли предприятия и его потерь.

3. Построение системы менеджмента качества предприятия связано с выделением сети процессов. Распределение процессов по подразделениям предприятия, выполнение требований стандарта, например, ИСО 9001 -2000 может проводиться с помощью матриц. Допустим, выделены процессы: заключение контрактов, управление документацией СМК, внутренний аудит, закупки, изготовление, мониторинг удовлетворенности потребителя, а предприятие имеет подразделения: отдел маркетинга, отдел закупок, отдел главного конструктора, отдел главного технолога, производство, отдел гарантийного сопровождения. По результатам обсуждения с представителями подразделений можно составить матрицу ПП (таблица 5). С другой стороны, выделенные процессы должны покрывать требования стандарта, например, ИСО 9001-2000. Связь процессов с ИСО 9001-2000 приводит к матрице ТП (таблица 6).

Используя композицию отношений, получим матрицу ИСО (таблица 7).

ми и заказчиками (ПЗ)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Таблица 5. Матрица связей процессов и подразделений (ПП)

Матрица ПП Отдел марке- тинга Отдел закупок Отдел главного конструктора Отдел главно -го технолога Произ- водство Отдел гар ан-тийного сопровождения

Заключение контрактов X X

Внутренний аудит X

Закупки X

Изготовление X

Таблица 6. Связь процессов с ИСО 9001-2000

Матрица ТП Системы менедж- мента качества Ответствен- ность руководства Менедж- мент ресурсов Процессы жизненного цикла продукции Измерение, анализ и улучшение

Заключение контрактов X

Управление документацией СМК X X

Внутренний аудит X X

Закупки X

Изготовление X X X

Мониторинг удовлетворенности потребителя X

Матрица ИСО отдел мар ке-тинга отдел закупок отдел гл. конструктора отдел гл. технолога Произ- водство отдел гарантийного сопровождения

Системы менеждмента качества X X

Ответственность ру ководства X X X

М енеджмент р есур сов X

Процессы жизненного цикла пр одукции X X X

Измерение, анализ и улучшение X X

Очевидно, что при таком распределении требований ИСО можно ожидать несоответствия по разделу 5 «Ответственность руководства», так как политика в области качества относится к компетенции высшего ру ководства.

4. Разворачивание каждого элемента матрицы связи, например, «Ответственность руководства - отдел маркетинга» может быть с помощью матрицы приоритетов, лежащей в основе метода анализа иерархий . Требования стандартов ИСО серии 9000-2000 устанавливают область и глубину нормативно - технической документации, необходимой для функционирования СМК предприятия. Одним из обязательных доку -ментов СМК предприятия является политика и цели в области качества. Цели предприятия формулируются в различных областях: финансы, рынок, конкуренция

(бенчмаркинг), удовлетворенность Потребителя, улучшение показателей продукции и процессов. Цели всей организации должны быть спроецированы (развернуты, разложены) на её подразделения, для того, чтобы персонал осознавал свою причастность и ответственность за достижение той или иной цели всей организации.

Планирование, выбор целей, оптимизация поведения в конкурентной среде всегда на определенном этапе требуют принятия решения. Практически очевидным стал тот факт, что социальные процессы, в частности, процессы управления плохо формализуются в рамках классической ма-

тематики. Достаточно эффективным в этом случае может оказаться метод анализа ие-р ар хий.

В основе метода анализа иерархий лежит так называемая матрица приоритетов. Допустим, что поставлена задача сравнения факторов, влияющих на выбранный объект. Как правило, количество влияющих факторов достаточно велико, точные зависимости неизвестны, математическую формализацию задачи выполнить практически невозможно. Эксперт также испытывает трудности при оценке влияния факторов на объект. Удивительно, но задача решается легче, если проводить попарное сравнение влияния факторов на объект. (Суть в том, что трудно ответить на вопрос, сколько весит А, гораздо проще решить, что тяжелее: А или В)

Для аналитического планирования развития предприятия необходимо описать начальное состояние (положение «как есть»), целевое состояние (цели) и средства, позволяющие связать эти состояния. Ниже приведен пример применения метода анализа иерархий, в качестве объекта выбрана цель из политики по качеству «Устойчивый рост прибыли предприятия» и выделены некоторые факторы, влияющие на цель (таблица 8).

Специалистами - экспертами предприятия были составлены матрицы приоритетов по выбранным критериям (пример приведен в таблице 9).

Менеджмент Материально - техническое снабжение

Планиров ание, закупки,

Инвестиции, отношения с поставщиками,

Р еклама, входной контроль,

Отпу скные це ны, контр оль р есур сов.

Маркетинговая стратегия. Персонал и Разработки

Производ ство квалификация,

Соблюдение сроков, подготов ка пер сонал а,

Технология, мотивация персонала,

Качество, тв ор ческий поте нц иал,

Организация производства, контроль затрат. планир ование новых р азр аботок

Т аблица 9. Пример матрицы «Производство»

Производство Соблюдение сроков поставки пр одукции Т ехнология Качество Организация производства Контр оль затрат

Соблюдение сроков поставки пр одукции 1 5 1 3 3

Т ехнология 1/5 1 3 1 3

Качество 1 1/3 1 3 1

Организация производства 1/3 1 1/3 1 1

Контроль затрат 1/3 1/3 1 1 1

Шкала отношений и заполнение таблиц 1 - равнозначность факторов, 3 - доминирование одного фактора над другим фактором,

5 - сильное доминирование одного фактора над другим фактором, 2,4 - возможные промежуточные значения.

Математическая обработка матриц состояла в нахождении вектора приоритетов, как собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу. В качестве примера ниже приведены результаты обработки оценок эксперта N (таблица 10). В столбцах указаны компоненты вектора приоритетов по различным факторам, например, по критерию «Менеджмент»

приоритет отдан инвестициям.

На рис. 1. приведены результаты вычислений приоритетов экспертов по указанным выше критериям. Достижение цели связывается с инвестициями, качеством,

планированием новых разработок и контролем ресурсов.

Таблица 10. Результаты обработки оценок эксперта N

Цель - Устойчивый рост прибыли предприятия

Менед- жмент Произ- водство Мат - тех снабжение Персонал и разработки

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Менеджмент

Производство

S & I ^ TO о i_ CO

Персонал и Разработки

Рис. 1. Результаты вычислений приоритетов экспертов

Знание распределения приоритетов по выбранным критериям позволяет высшему менеджменту предприятия проводить обоснованную политику для достижения поставленной цели.

Список литературы

1. Глудкин О.П., Горбунов НМ., Гуров А.И., Зорин Ю.В. Всеобщее Управление Качеством. - М.: Радио и связь, 1999.

2. Кузин Б., Юрьев В., Шахдинаров Г. Методы и модели управления фирмой. -СПб: Питер, 2001.

3. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. - М.: Мир, 1966.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. / пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1993.

MATRIX ANALYSIS IN ENTERPRISE EXECUTIVE SYSTEM

\cSamara - Aviagas»

Samara State Aerospace University

In work various ways of matrixes application in business operation are analyzed. The relation (connection) between elements of two and more sets can be submitted in the matrix form. The composition of relations allows to simplify the analysis of connections between elements of sets. The example of use of priorities matrixes in a control system of the enterprise is resulted.

В стратегическом планировании и маркетинге применяется достаточно много матриц той или иной направленности. Существует необходимость систематизации этих матриц, а также поэтапного внедрения матричного подхода на всех этапах стратегического анализа и планирования.

Уровни стратегического планирования при матричном измерении. В стратегическом планировании можно выделить уровень корпорации, бизнес-уровень, функциональный уровень.

Матрицы стратегического планирования на уровне корпорации анализируют входящие в корпорацию бизнесы, т.е. помогают осуществлять портфельный анализ, а также анализ ситуации в корпорации в целом.

Бизнес-уровень включает матрицы, которые имеют отношение к данной бизнес-единице. Матрицы и относятся чаще всего к одному товару, анализируют свойства этого товара, ситуацию на рынке данного товара и т.д.

Матрицы функционального уровня исследуют факторы, влияющие на функциональные сферы предприятия, из которых наиболее важными являются маркетинг, персоналом.

Классификация матриц стратегического анализа и планирования.

Существующие матрицы стратегического анализа и планирования исследуют различные аспекты данного процесса. Классификация матриц необходима для выявления закономерностей и особенностей применения матричного метода в стратегическом анализе и планировании.

Матрицы по существующим признакам можно классифицировать следующим образом:

Классификация по количеству исследуемых ячеек .

Чем больше ячеек содержит матрица, тем она сложнее и более информативна. В этом случае возможно деление матриц на четыре группы. К первой группе относятся матрицы, состоящие из четырех ячеек. Во второй группе находятся матрицы, состоящие из девяти ячеек, в третьей - из шестнадцати, в четвертой - более шестнадцати ячеек.

Классификация по объекту изучения .

Классификация по объекту изучения делит матрицы на группы в зависимости от изучаемого объекта. В матрице «Осведомленность – отношение» объектом изучения является персонал, так же как и в матрице «Влияние оплаты на взаимоотношения в группе». Другим объектом исследования выступает портфель компании. В этой группе примерами могут служить матрицы Shell/DPM, BCG.

Классификация по получаемой информации .

Данная классификация разделяет матрицы на две группы по получаемой информации: либо количественной, либо смысловой. В этой группе примером матрицы, образованной за счет информации в виде числа, является матрица вектора экономического состояния организации, а образованной за счет логической информации - матрица основных форм объединений.

Внедрение матричного инструментария в анализ и планирование деятельности предприятия.

На первом этапе предлагается произвести первичный анализ деятельности предприятия. Для этой цели подобраны три матрицы. Матрица SWOT широко описана в литературе. Матрица MCC предполагает анализ соответствия миссии предприятия и его основных возможностей. Матрица вектора экономического развития предприятия представляет собой таблицу, в которой представлены числовые данные основных показателей предприятия. Из этой матрицы можно почерпнуть информацию для других матриц, а также на основе этих данных сделать различные выводы уже на данном этапе.

Вторым этапом применения матричных методов является анализ рынка и отрасли. Здесь анализируются рынки, на которых функционирует предприятие, а также отрасль в целом. Основными в подгруппе «Рынок» являются матрица BCG, исследующая зависимость темпов роста и доли рынка, и матрица GE, анализирующая сравнительную привлекательность рынка и конкурентоспособность в отрасли и имеющая две разновидности: вариант Дэйа и вариант Мониенсона. Подгруппа «Отрасль» содержит матрицы, исследующие отраслевое окружение, закономерности развития отрасли. Основной в данной подгруппе является матрица Shell/DPM, исследующая зависимость отраслевой привлекательности и конкурентоспособности.

Следующие этапы стратегического планирования – анализ дифференциации и анализ качества. Дифференциация и качество выступают в данном случае как составляющие, с помощью которых возможно получение требуемого результата. В группе «Дифференциация» находятся три матрицы. Матрица «Улучшение конкурентной позиции» позволяет наглядно выявить закономерности и зависимости дифференциации от охвата рынка. Матрица «Дифференциация – относительная эффективность затрат» выявляет зависимость относительной эффективности затрат на данном рынке от дифференциации. Матрица «Производительность – инновации/дифференциации» показывает зависимость между производительностью данной бизнес-единицы и внедрением инноваций.

Объект исследования группы «Анализ качества» – выявление факторов и закономерностей, влияющих на такой аспект, как качество производимой продукции. Группа может включать две матрицы. Матрица «Стратегии установления цен» позиционирует продукты в зависимости от качества и цены. Матрица «Качество – ресурсоемкость» определяет соотношение качества произведенного продукта и ресурсов, на него потраченных.

Группы «Анализ управления» и «Анализ маркетинговой стратегии» не входят в процесс пошагового внедрения матричного метода в стратегическое планирование. Эти группы являются обособленными. Матрицы, из которых состоят данные группы, могут применяться на всех стадиях стратегического планирования и затрагивают вопросы функционального планирования. Группа «Анализ управления» состоит из двух подгрупп. Первая подгруппа - «Руководство» - рассматривает руководство компании в целом, процессы, влияющие на руководство, менеджмент компании. Подгруппа «Персонал» рассматривает процессы, протекающие между сослуживцами, влияние различных факторов на работоспособность персонала.

В предложенной схеме стратегического анализа и планирования в каждой группе матрицы взаимодействуют друг с другом, но нельзя опираться на результат или вывод только одной матрицы – необходимо учитывать выводы, получаемые из каждой матрицы в группе. После проведения анализа в первой группе проводится анализ в следующей. Анализ в группах «Управление» и «Маркетинговая стратегия» осуществляется на всех этапах анализа в стратегическом планировании.

Характеристика отдельных матриц

SWOT-анализ – это один из самых распространенных видов анализа в стратегическом управлении на сегодняшний день. SWOT: Strengths (Cилы); Weaknesses (Слабости); Opportunities (Возможности); Threats (Угрозы). SWOT-анализ позволяет выявить, структурировать сильные и слабые стороны компании, а также потенциальные возможности и угрозы. Достигается это за счет сравнения внутренних сил и слабостей своей компании с возможностями, которые дает им рынок. Исходя из качества соответствия, делается вывод о том, в каком направлении должна развивать свой бизнес, и в конечном итоге определяется распределение ресурсов по сегментам.

Цель SWOT-анализа – сформулировать основные направления развития предприятия через систематизацию имеющейся информации о сильных и слабых сторонах фирмы, а также о потенциальных возможностях и угрозах.

Самое привлекательное, в этом методе то, что информационное поле формируется непосредственно самими руководителями, а также наиболее компетентными сотрудниками компании на основании обобщения и согласования собственного опыта и видения ситуации. Общий вид матрицы первичного SWOT-анализа приведен на Рис.1.

Рис.1. Матрица первичного стратегического SWOT - анализа.

На основании последовательного рассмотрения факторов, принимаются решения по корректировке целей и стратегий предприятия (корпоративных, продуктовых, ресурсных, функциональных, управленческих), которые, в свою очередь, определяют ключевые моменты организации деятельности.

Анализ бизнес-портфеля компании должен помочь менеджерам оценить поле деятельности компании. Компания должна стремиться вкладывать средства в более прибыльные области своей деятельности и сокращать убыточные. Первым шагом руководящего звена при анализе бизнес-портфеля является выявление ключевых направлений деятельности, определяющих миссию компании. Их можно назвать стратегическими элементами бизнеса – СЭБ.

На следующем этапе анализа бизнес-портфеля руководство должно оценить привлекательность различных СЭБ и решить, какой поддержки заслуживает каждое из них. В некоторых компаниях это происходит неформально в процессе работы. Руководство изучает совокупность направлений деятельности и товаров компании и, руководствуясь здравым смыслом, решает, сколько каждый СЭБ должен приносить и получать. Другие компании используют формальные методы для планирования портфеля.

Формальные методы можно назвать более точными и основательными. Среди наиболее известных и удачных методов анализа бизнес-портфеля с помощью формальных методов можно назвать следующие:

Метод компании Boston Consulting Group (BCG);
Метод компании General Electric (GE).

Метод BCG основан на принципе анализа матрицы рост/доля рынка. Этот метод планирования портфеля, который оценивает СЭБ компании с точки зрения темпов роста их рынка и относительной доли этих элементов на рынке. СЭБ делятся на «звезд», «дойных коров», «темных лошадок» и «собак» (см. рис. 2).

Т е м п р о с т а р ы н к а	в ы с о к и й	“Звезда”	“Дойные коровы”
Т е м п р о с т а р ы н к а	н и з к и й	“Дойная корова”	“Собака”
		высокое	низкое
Относительное долевое участие на рынке

Рис.2. Матрица BCG.

Вертикальная ось на рис.2, темпы роста рынка, определяет меру привлекательности рынка. Горизонтальная ось, относительная доля рынка, определяет прочность положения компании на рынке. При делении матрицы рост/доля рынка на секторы можно выделить четыре типа СЭБ.

«Звезды». Быстро развивающиеся направления деятельности, товары, имеющие большую долю рынка. Они требуют обычно мощного инвестирования для поддержания своего роста. Со временем их рост замедляется, и они превращаются в «дойных коров».

«Дойные коровы». Направления деятельности или товары с низкими темпами роста и большой долей рынка. Этим устойчивым преуспевающим СЭБ для удержания их доли рынка требуется меньше инвестиций. При этом они приносят высокий доход, который компания использует для оплаты своих счетов и для поддержания других СЭБ, требующих инвестирования.

«Темные лошадки». Элементы бизнеса, имеющие небольшую долю быстрорастущих рынков. Они требуют большого количества средств даже для поддержания своей доли рынка, не говоря уже об ее увеличении. Руководству следует тщательно продумать, каких «темных лошадок» стоит превратить в «звезды», а какие поэтапно ликвидировать.

«Собаки». Направления деятельности и товары с низкой скоростью роста и небольшой долей рынка. Они могут приносить достаточный доход для поддержания самих себя, но не обещают стать более серьезными источниками дохода.

Каждый СЭБ выносится на данную матрицу пропорционально ее доли в валовом доходе компании. После классификации СЭБ компания должна определить роль каждого элемента в будущем. В отношении каждого СЭБ можно применить одну из четырех стратегий. Компания может увеличить инвестиции в какой-либо элемент бизнеса, чтобы отвоевать для него долю рынка. Либо она может инвестировать ровно столько, сколько нужно для сохранения доли СЭБ на текущем уровне. Она может выкачивать ресурсы из СЭБ, изымая его краткосрочные денежные ресурсы в течение определенного промежутка времени, не считаясь с отдаленными последствиями. Наконец, она может изъять капиталовложения из СЭБ, продав его или приступив к поэтапной ликвидации, и использовать ресурсы в другом месте.

С течением времени СЭБ меняет свое положение в матрице рост/доля рынка. У каждого СЭБ свой жизненный цикл. Многие СЭБ начинают как «темные лошадки» и при благоприятно складывающихся обстоятельствах переходят в категорию «звезд». Позже, по мере замедления роста рынка, они становятся «дойными коровами» и, наконец, на закате своего жизненного цикла угасают или превращаются в «собак». Компании необходимо непрерывно вводить новые товары и виды деятельности, чтобы часть из них становилась «звездами», а затем и «дойными коровами», помогающими финансировать другие СЭБ.

Матричные методы играют очень важную роль в стратегическом анализе, планировании и маркетинге. Матричный метод очень удобен – именно этим объясняется его распространенность. Однако использование только матричных методов не является достаточным, так как матрицы позволяют исследовать стратегическое планирование и маркетинг с отдельных сторон, и не показывают полной картины, но в соединении с остальными методами матричный подход дает возможность наглядно увидеть закономерности в процессах, происходящих на предприятии, и сделать правильные выводы.

Таблица 1. Матричный инструментарий в анализе и планировании деятельности организации

№	Уровни решения задач	Матрица	Основные характеристики
1	Первичный анализ	Матрица SWOT	Анализ сильных и слабых сторон предприятия, возможностей и угроз
2		Матрица MCC	Анализ соответствия миссии предприятия и его основных возможностей
3		Матрица вектора экономического развития предприятия	Анализ статистических данных
4	Анализ рынка/отрасли	Матрица BCG	Анализ темпов роста и доли рынка
5		Матрица GE	Анализ сравнительной привлекательности рынка и конкурентоспособности
6		Матрица ADL	Анализ жизненного цикла отрасли и относительного положения на рынке
7		Матрица HoferSchendel	Анализ положения среди конкурентов в отрасли и стадии развития рынка
8		Матрица Ансоффа (“рынок-продукт”)	Анализ стратегии по отношению к рынкам и продуктам
9		Матрица Портера (пяти конкурентных сил)	Анализ стратегических перспектив развития бизнеса
10		Матрица эластичности конкурентной реакции на рынке	Анализ действия фирмы по факторам конкурентоспособности товара в зависимости от эластичности реакции приоритетного конкурента по товару
11		Матрица группировки товара	Анализ группировки товара
12		Матрица “Воздействие неопределенность”	Анализ уровня воздействия и степени неопределенности при выходе на новый рынок
13	Отрасль	Матрица Купера	Анализ привлекательности отрасли и силы бизнеса
14		Матрица ShellDPM	Анализ привлекательности ресурсоемкой отрасли в зависимости от конкурентоспособности
15		Матрица стратегий переживающего спад бизнеса	Анализ конкурентных преимуществ в отраслевом окружении
16		Матрица основных форм объединений	Анализ объединения в отраслевом окружении
17	Анализ дифференциации	Матрица улучшения конкурентной позиции	Анализ дифференциации и охвата рынка
18		Матрица “Дифференциация относительная эффективность затрат”	Анализ дифференциации и относительной эффективности затрат
19		Матрица “Производительность - инновации/ дифференциации”	Анализ инноваций/ дифференциации и производительности
20	Анализ качества	Матрица “Цена-качество”	Позиционирование продукта в зависимости от качества и цены
21	Анализ качества	Матрица “Качество- ресурсоемкость”	Анализ зависимости качества от ресурсоемкости
22	Анализ маркетинговой стратегии	Матрица стратегии расширения марочных семейств	Анализ зависимости отличительных преимуществ и сегментации целевого рынка
23		Матрица “Осведомленность- отношениек марке товара”	Анализ зависимости маржи валовой прибыли и ответной реакции сбыта
24		Матрица маркетинговых каналов	Анализ зависимости темпов развития рынка и ценности, добавляемой каналом
25		Матрица “Контакт- уровень приспособления услуг”	Анализ зависимости уровня приспособления услуг к требованиям клиентов от степени контакта с клиентом
26		Матрица “Диагностика маркетинга”	Анализ зависимости стратегии от осуществления стратегии
27	Анализ управления Руководство	Матрица способов стратегического управления	Анализ зависимости стратегии и влияния планирования
28		Матрица модели стратегического менеджмента	Анализ зависимости модели менеджмента от типа изменений
29		Матрица Херси-Бланшара	Анализ ситуативной модели руководства
30		Матрица “Комбинации размерностей стилей руководства университета Огайо”	Анализ комбинаций размерностей стилей руководства
31		Матрица “Управленческая решетка”	Анализ типов руководства
32	Персонал	Матрица “Изменение – в организации”	Анализ зависимости изменений, происходящих в организации и сопротивления этим изменениям
33		Матрица влияния оплаты на взаимоотношения в группе	Анализ зависимости взаимоотношений в группе от дифференциации оплаты
34		Матрица типов включения человека в группу	Анализ зависимости отношения к ценностям организации и отношения к нормам поведения в организации
35		Матрица “Основные деловые способности”	Анализ рынка и основных деловых способностей
36		Матрица “Важность работы”	Анализ зависимости выполнения работы от важности
37		Матрица существующих формальных систем критерия качества работы	Анализ существующих формальных систем критерия качества работы
38		Матрица результатов управления критериями качества работы	Анализ результатов управления критериями качества работы
39		Матрица Блейка-Моутона	Анализ зависимости выполнения работы от количества людей и от количества задач
40		Матрица Мак-Дональда	Анализ производительности

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

Определение функции.

Df. Пусть функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) многочлен: , тогда.

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение, собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда, т.е. (3), .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать.

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) (3) (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при.

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре.

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n 0 n кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

, r(0)=f(0), r (0)=f (0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) .

Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а, то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

Посчитаем. Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на, получим:

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица и собственные значения матрицы А, f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны.

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что, а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны.

ЧТД.

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, т.е. , и f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), .

ЧТД.

Свойство № 4. Если А блочно-диагональная матрица, то

Следствие: Если, то, где f(x) функция, определенная на спектре матрицы А.

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана. Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):

Пусть f(x) функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут. Надо построить.

Построим:

Обратим внимание, что.

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при.

Если в (**) положить, получим:

Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

Пример: Найти f(A), если , где t некоторый параметр,

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d 2 (x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

Умножим (*) на :

Вычислим, взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А f(1), f (1), f(2), f (2), f (2) определены.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f (1)=1

f(2)=ln 2 f (2)=0.5 f (2)=-0.25

4. Простые матрицы.

Пусть матрица, так как С алгебраически замкнутое поле, то ха

Дает возможность определить оптимальную последовательность изучения учебных предметов, включенных в учебный план. Каждый предмет в учебном плане имеет собственный номер.

Пусть учебный план включает 19 предметов. Строим квадратную матрицу с основой, что равно числу предметов в учебном плане (19).

Методом экспертной оценки опытными преподавателями определяются наиболее существенные взаимосвязи между учебными предметами. Столбцы матрицы считаются потребителями, а строки - носителями информации. Например, для столбца 10 важными носителями информации являются строки 7, 9, 11, то есть знания по предметам с этими номерами. Эти строки в столбике отражены единицами (1), отсутствие наличного связи - нулями (0). В результате проведенного анализа была образована матрица девятнадцатого порядке.Анализ матрицы заключается в последовательном удалении столбцов и строк. До столбцов, заполненных нулями, не поступает информация из других предметов, т. е. изучение их не основывается на логической взаимосвязи с другими предметами, хотя они в свою очередь могут быть носителями первичной информации. Значит предметы, которые имеют номера этих столбцов, могут изучаться в первую очередь. Строки, заполненные нулями, не считаются носителями информации и не будут основой для изучения других предметов, а значит, могут изучаться последними.

Сначала вычеркиваются столбцы 7,8, 9,18 и соответствующие им строки. Получаем первую сокращенную матрицу пятнадцатого порядка, которая в свою очередь имеет нулевые столбцы 4, 16, 17. Избавившись от них, получаем вторую сокращенную матрицу. Проведя, таким образом, все последующие сокращения, получаем матрицу, в которой отсутствуют столбца без единиц, но имеются нулевые строки, которые также вычеркиваются вместе с соответствующими им столбцами. Последовательно выполнив подобные действия, приходим к матрице такого вида, как это показано на схеме.

Образована матрица соответствует графу, приведенному на рисунке 3.2. В этом графе три замкнутых двойных контуры(13-15), (5-6), (11-10). С некоторым приближением можно считать, что предметы, которые вошли в эти контуры, должны изучаться параллельно, причем сначала изучаются предметы с номерами 13 и 15, а уже потом предметы 5, 6, 10, 11.

в Результате проведенного матричного анализа становится возможным создать схематическую (блочную) модель изучение предметов в учебном плане:

Схема показывает комбинированную систему подключения учебных предметов. В ячейках содержатся номера предметов с параллельным изучением. Образованную систему подключения следует понимать не как обязательную последовательность подключения одной группы предметов только после окончания предыдущей, а лишь как необходимость опережения в их изучении. Она лишь указывает на общую тенденцию в подключении предметов.

Матричный анализ программы

Дает возможность оценить логическую последовательность расположения учебного материала внутри учебного предмета и соответствующим образом совершенствовать ее.

Пусть учебный предмет включает 6 тем. Матрица А! составлена по тематическому плану этого учебного предмета. Номера тем, что при составлении матрицы рассматриваются в плане их использования при изучении других тем, расположены по вертикали, номера, расположенные по горизонтали, соответствуют темам, рассмотренным в плане использования ими информации из других тем.

Для выявления замкнутых контуров, наличие которых свидетельствует о невозможности установления прохождения последовательности прохождения отдельных тем, проводим преобразования (укорачивания) матрицы Аи. Удаляем строку 5, состоящий из нулей, и столбец, соответствующий ему, а также нулевой столбец 3 с соответствующей строкой. Образуется матрица А2.

В матрице А2 недостающие строки и столбцы, состоящие из одних нулей. Для установления замкнутых контуров приводим соответствующий матрице А2 граф (см. рис. 3.3, а).

По изучению графа следует, что наличие замкнутых контуров вызвано взаимосвязью между содержанием учебного материала тем 1 и 6, а также тем 4 и 6. Причиной отмеченного взаимосвязи является неудачный перераспределение содержания учебного материала между указанными темами. Просмотрев содержание этих тем, становится возможным устранить имеющиеся замкнутые контуры графа. Таким образом образуется новый граф (рис. 3.3,б) и соответствующая ему матрица А3.

Сокращение этой матрицы дает новую матрицу А4.

После удаления дуг(6, 4), (6, 1) и (1, 6) получаем новую исходную матрицу В1, граф которой не имеет замкнутых контуров.

Теперь, когда замкнутые контуры разорваны, приступим к корректировке порядка расположения тем. Для этого последовательно будем удалять столбцы, состоящие из нулей, и одноименные с ними строки. При изучении тем, соответствующие таким столбцам, не используются сведения из других тем, и поэтому их можно изучать в первую очередь.

В матрице! нулевыми являются столбцы 1 и 3. Таким образом, тема 1 может занять свое место в тематическом плане. При изучении причин, требующих постановки темы 3 перед темой 2, выясняется, что некоторые сведения по теме 2 имеют место в теме 3. Однако их логичнее и полезнее оставить их в теме 3.

После перестановки учебного материала вместо дуги (3, 2) получаем дугу (2, 3); удалим столбец 1 - получаем матрицу В2.

Теме 2 присваиваем бывший номер 2. Удаляем столбец 2 строка 2. Получаем матрицу В3.

Темы 3 и 4 остаются с прежними номерами. Удаляем столбцы 3, 4 с соответствующими строками; получим матрицу В4

Теме 6 присваиваем номер 5, а теме 5 - номер 6.

Составляем матрицу С1 согласно нового распределения тем.

Проведем преобразования матрицы, последовательно удаляя нулевые строки и одноименные с ними столбцы. Соответствующие им темы перемещаем в конец ряда, потому что информацию этих тем не используют при изучении других тем. Теме 5 присваиваем номер 6.

Удаляем строку и столбец 6. Присваиваем теме 6 номер 5.

Удаляем строки 4 и 3 и темам, что им отвечают, присваиваем бывшие номера 4 и 3.

По темам 1 и 2 остаются прежние номера в тематическом плане. В результате проведенной матричной обработки получается следующее окончательное расположение тем в структуре учебного предмета:

Из приведенной последовательности видно, что после матричной обработки структуры тематического плана поменялись местами темы 5 и 6. Кроме того, возникла необходимость перемещения учебного материала по теме 5 в тему 1, а также из темы 2 в тему 3.

Как видно из приведенного примера, матричный анализ структуры учебного материала дает возможность в определенной степени упорядочить его и усовершенствовать взаимное расположение темам учебной программы.

Следует учитывать, что матричный анализ учебных планов и программ требует от исполнителей большого практического опыта и глубокого знания содержания обучения. В первую очередь это относится к составлению исходной матрицы, точнее, к определению связей между учебными предметами или учебными темами внутри предмета. Связей между такими крупными элементами, как темы программы, существует много, но исполнители матричного анализа должны уметь "читать между строк" (найти скрытые, но реально существующие связи), определить значимость различных связей в отношении целей матричного анализа, а иногда и критически относиться к содержанию темам учебных предметов.