Тэгш хуваарь, сондгой нэг. Функцийн паритет

Функцийн судалгаа.

1) D(y) - Тодорхойлолтын домэйн: x хувьсагчийн бүх утгуудын багц. f(x) ба g(x) алгебрийн илэрхийлэл нь утга учиртай.

Хэрэв функц нь томьёогоор өгөгдсөн бол тодорхойлолтын талбар нь томьёо нь утга учиртай бие даасан хувьсагчийн бүх утгуудаас бүрдэнэ.

2) Функцийн шинж чанарууд: тэгш/сондгой, үе үе:

ХачирхалтайТэгээд бүрАргументийн тэмдгийн өөрчлөлтийн хувьд график нь тэгш хэмтэй байдаг функцуудыг гэж нэрлэдэг.

Хачирхалтай функц- бие даасан хувьсагчийн тэмдэг өөрчлөгдөхөд утгыг эсрэгээр өөрчилдөг функц (координатын төвтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй).

Тэр ч байтугай функц- бие даасан хувьсагчийн тэмдэг өөрчлөгдөхөд (ординатын тэгш хэмтэй) утга нь өөрчлөгддөггүй функц.

Тэр ч байтугай сондгой ч биш (функц ерөнхий үзэл) - тэгш хэмгүй функц. Энэ ангилалд өмнөх 2 ангилалд хамаарахгүй функцүүд багтана.

Дээрх ангилалд хамаарахгүй функцуудыг дуудна тэгш, сондгой ч биш(эсвэл ерөнхий функцууд).

Хачирхалтай функцууд

Дурын бүхэл тоо бол сондгой хүч.

Тэр ч байтугай функцууд

Хүчин ч гэсэн хаана нь дурын бүхэл тоо.

Тогтмол функц- зарим тогтмол аргументын интервалаар утгуудыг давтдаг функц, өөрөөр хэлбэл аргумент дээр тэгээс бусад тогтмол тоог нэмэх үед утгыг нь өөрчилдөггүй ( хугацаафункцууд) тодорхойлолтын бүх хүрээг хамарна.

3) Функцийн тэг (үндэс) нь тэг болох цэгүүд юм.

Графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олох Өө. Үүнийг хийхийн тулд та утгыг тооцоолох хэрэгтэй е(0). Графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг мөн ол Үхэр, яагаад тэгшитгэлийн язгуурыг олох вэ? е(x) = 0 (эсвэл үндэс байхгүй эсэхийг шалгаарай).

График тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг нэрлэнэ функц тэг. Функцийн тэгийг олохын тулд тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл олох "x"-ийн эдгээр утга, энэ үед функц тэг болно.

4) Тэмдгүүдийн тогтмол байдлын интервал, тэдгээрийн доторх тэмдгүүд.

f(x) функц нь тэмдгийг хадгалах интервалууд.

Тэмдгийн тогтмол байдлын интервал нь интервал юм цэг бүртфункц нь эерэг эсвэл сөрөг байна.

x тэнхлэгийн ДЭЭШ.

тэнхлэгийн доор.

5) Тасралтгүй байдал (тасралт хийх цэгүүд, тасалдлын шинж чанар, асимптотууд).

Тасралтгүй функц- "үсрэлтгүй" функц, өөрөөр хэлбэл аргумент дахь жижиг өөрчлөлтүүд нь функцийн утгыг бага зэрэг өөрчлөхөд хүргэдэг.

Зөөврийн эвдрэлийн цэгүүд

Хэрэв функцийн хязгаар байдаг, гэхдээ энэ үед функц тодорхойлогдоогүй эсвэл хязгаар нь энэ цэг дэх функцын утгатай давхцахгүй байна:

,

дараа нь цэг гэж нэрлэдэг зөөврийн таслах цэгфункцууд (цогц шинжилгээнд, зөөврийн ганц цэг).

Хэрэв бид зөөврийн тасалдал болон тавих цэг дээр функцийг "засвал" , дараа нь бид өгөгдсөн цэг дээр тасралтгүй функцийг авна. Функц дээрх энэ үйлдлийг гэж нэрлэдэг функцийг тасралтгүй болгохэсвэл функцийг тасралтгүйгээр дахин тодорхойлох, энэ нь цэгийн нэрийг цэг гэж зөвтгөдөг зөөврийнхагарал.

Эхний болон хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Хэрэв функц өгөгдсөн цэг дээр тасалдалтай байвал (өөрөөр хэлбэл тухайн цэг дэх функцийн хязгаар байхгүй эсвэл тухайн цэг дэх функцийн утгатай давхцахгүй бол) тоон функцүүдийн хувьд хоёр боломжит хувилбар байна. тоон функц байгаатай холбоотой нэг талын хязгаарлалт:

хэрэв нэг талт хязгаар хоёулаа байгаа бөгөөд төгсгөлтэй байвал ийм цэгийг дуудна Эхний төрлийн тасархай цэг.

Зөөврийн тасалдлын цэгүүд нь эхний төрлийн тасалдалтын цэгүүд; Хэрэв нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь байхгүй эсвэл хязгаарлагдмал утга биш бол ийм цэгийг нэрлэнэ..

хоёр дахь төрлийн тасалдалын цэг - Асимптотшулуун , энэ нь муруй дээрх цэгээс энэ хүртэлх зай гэсэн шинж чанартайшууд

цэг мөчрийн дагуу хязгааргүйд шилжихэд тэг рүү чиглэдэг.

Босоо .

Босоо асимптот - хязгаарын шугам

Дүрмээр бол, босоо асимптотыг тодорхойлохдоо тэд нэг хязгаар биш, харин хоёр нэг талт (зүүн ба баруун) хязгаарыг эрэлхийлдэг. Янз бүрийн чиглэлээс босоо асимптот руу ойртох үед функц хэрхэн ажиллахыг тодорхойлохын тулд үүнийг хийдэг. Жишээ нь:

Хэвтээ АсимптотХэвтээ асимптот - төрөл зүйл, оршин тогтнохоос хамаарна

.

хязгаар

Налуу АсимптотХэвтээ асимптот - Ташуу асимптот -

хязгаар

Тайлбар: функц нь хоёроос илүүгүй ташуу (хэвтээ) асимптоттой байж болно.

Анхаарна уу: хэрэв дээр дурдсан хоёр хязгаарын ядаж нэг нь байхгүй (эсвэл -тэй тэнцүү) бол (эсвэл ) дээрх ташуу асимптот байхгүй болно. Хэрэв 2.), дараа нь , хязгаарыг томъёогоор олно, .

6) хэвтээ асимптотМонотоник байдлын интервалыг олох. е(xФункцийн монотон байдлын интервалыг ол е(x)(өөрөөр хэлбэл өсөлт ба буурах интервалууд). Энэ нь деривативын тэмдгийг шалгах замаар хийгддэг е(x). Үүнийг хийхийн тулд деривативыг олоорой е(x) ба тэгш бус байдлыг шийд е(x) нэмэгддэг. Урвуу тэгш бус байдал хаана байна е(x)0, функц е(x) буурч байна.

Орон нутгийн экстремумыг олох.Монотоник байдлын интервалыг олсны дараа бид өсөлтийг бууралтаар сольж, орон нутгийн максимум, бууралтыг өсөлтөөр сольсон орон нутгийн минимум байрладаг орон нутгийн экстремум цэгүүдийг нэн даруй тодорхойлж чадна. Эдгээр цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол. Хэрэв функц нь орон нутгийн экстремум цэг биш эгзэгтэй цэгүүдтэй бол эдгээр цэгүүдэд функцийн утгыг мөн тооцоолох нь ашигтай байдаг.

Сегмент дээрх y = f(x) функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох(үргэлжлэл)

1. Функцийн деривативыг ол: е(x). 2. Дериватив нь тэг байх цэгүүдийг ол. е(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Онооны хамаарлыг тодорхойлох X 1 ,X 2 , … сегмент [ а; б]: зөвшөөр x 1а;б, А x 2а;б . 4. Сонгосон цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг ол: е(x 1), е(x 2),..., е(x а),е(x б), 5. Олдсон функцуудаас хамгийн том, хамгийн бага функцийн утгыг сонгох. Сэтгэгдэл. Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ а; б] тасалдалтай цэгүүд байгаа тул тэдгээрийн нэг талын хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай бөгөөд дараа нь функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгохдоо тэдгээрийн утгыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

7) Гүдгэр ба хотгорын интервалыг олох. Энэ нь хоёр дахь деривативын тэмдгийг шалгах замаар хийгддэг е(x). Гүдгэр ба хотгор завсарын уулзвар дахь гулзайлтын цэгүүдийг ол. Гулзайлтын цэгүүд дээрх функцийн утгыг тооцоол. Хэрэв функц нь хоёр дахь дериватив нь 0 байх эсвэл байхгүй бусад тасралтгүй байдлын цэгүүдтэй (нугалах цэгээс бусад) байвал эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоолох нь бас ашигтай болно. Олоод л е(x), бид тэгш бус байдлыг шийддэг е(x)0. Уусмалын интервал бүр дээр функц нь доошоо гүдгэр байна. Урвуу тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх е(x)0, функц нь дээшээ гүдгэр (өөрөөр хэлбэл, хотгор) байх интервалуудыг олдог. Бид гулзайлтын цэгүүдийг функц нь гүдгэрийн чиглэлийг өөрчлөх (мөн тасралтгүй) цэгүүд гэж тодорхойлдог.

Функцийн гулзайлтын цэг- энэ нь функц тасралтгүй байх цэг бөгөөд дамжин өнгөрөх үед функц гүдгэрийн чиглэлийг өөрчилдөг.

Орших нөхцөл

Гулзайлтын цэг байх зайлшгүй нөхцөл:Хэрэв функц нь цэгийн зарим цоорсон хэсэгт хоёр дахин ялгагдах боломжтой бол , эсвэл .

Функцийн тэгш ба сондгой байдал нь түүний үндсэн шинж чанаруудын нэг бөгөөд паритет нь гайхалтай хэсгийг эзэлдэг сургуулийн курсматематикт. Энэ нь функцийн үйл ажиллагааг ихээхэн тодорхойлж, харгалзах графикийг бүтээхэд ихээхэн хөнгөвчилдөг.

Функцийн паритетийг тодорхойлъё. Ерөнхийдөө, судалж буй функц нь түүний тодорхойлолтын мужид байрлах бие даасан хувьсагчийн (x) эсрэг утгуудын хувьд y (функц) -ийн харгалзах утгууд тэнцүү байсан ч гэж үздэг.

Илүү хатуу тодорхойлолт өгье. D домэйнд тодорхойлогдсон зарим f (x) функцийг авч үзье. Тодорхойлолтын мужид байрлах аливаа x цэгийн хувьд энэ нь тэгш байх болно:

• -x (эсрэг цэг) мөн энэ хүрээнд оршдог,

• f(-x) = f(x).

Дээрх тодорхойлолтоос ийм функцийг тодорхойлох мужид шаардлагатай нөхцөл, тухайлбал координатын эх үүсвэр болох О цэгийн тэгш хэм, тэгш хэмийн тодорхойлолтын мужид зарим b цэг агуулагдаж байгаа тул дагалддаг. функц байгаа бол харгалзах цэг b нь мөн энэ домэйнд оршдог. Иймд дээрхээс дараах дүгнэлтийг гаргалаа. жигд функцординатын тэнхлэгтэй (Ой) тэгш хэмтэй харагдана.

Практикт функцийн паритетийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Үүнийг h(x)=11^x+11^(-x) томъёогоор тодорхойл. Тодорхойлолтоос шууд гарах алгоритмын дагуу бид эхлээд түүний тодорхойлолтын хүрээг шалгана. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь аргументийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл эхний нөхцөл хангагдсан байна.

Дараагийн алхам бол аргументыг (x) түүгээр орлуулах явдал юм эсрэг утгатай(-x).
Бид авах:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Нэмэлт нь солих (коммутатив) хуулийг хангадаг тул h(-x) = h(x) бөгөөд өгөгдсөн функциональ хамаарал тэгш байх нь ойлгомжтой.

h(x)=11^x-11^(-x) функцийн паритетийг шалгая. Ижил алгоритмын дагуу бид h(-x) = 11^(-x) -11^x-г авна. Хасах талыг нь авч үзвэл эцэст нь бидэнд байна
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Тиймээс h(x) сондгой байна.

Дашрамд хэлэхэд, эдгээр шалгуурын дагуу ангилах боломжгүй функцүүд байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийг тэгш эсвэл сондгой гэж нэрлэдэггүй.

Функцууд хүртэл хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг:

• ижил төстэй функцүүдийг нэмсний үр дүнд тэд нэг жигд функцийг авдаг;
• ийм функцийг хассаны үр дүнд тэгш нэгийг олж авна;
• тэгш, бас бүр;
• ийм хоёр функцийг үржүүлсний үр дүнд тэгш нэгийг олж авна;
• сондгой ба тэгш функцийг үржүүлсний үр дүнд сондгойг олж авна;
• сондгой ба тэгш функцийг хуваах үр дүнд сондгой нэгийг олж авна;
• ийм функцийн дериватив нь сондгой;
• Хэрэв та сондгой функцийг квадрат болговол тэгш нэгийг авна.

Функцийн паритетыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэгш функц байх g(x) = 0 гэх мэт тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хувьсагчийн сөрөг бус утгуудын шийдлийг олоход хангалттай. Тэгшитгэлийн үр дүнд үүссэн язгуурыг эсрэг тоонуудтай нэгтгэх ёстой. Тэдний нэг нь шалгалтад хамрагдах ёстой.

Үүнийг стандарт бус асуудлыг параметртэй шийдвэрлэхэд амжилттай ашигладаг.

Жишээлбэл, 2x^6-x^4-ax^2=1 тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байх a параметрийн ямар нэг утга байна уу?

Хэрэв хувьсагч тэгш тоогоор тэгшитгэлд ордогийг харгалзан үзвэл х-г - x-ээр солих нь тодорхой болно. өгөгдсөн тэгшитгэлөөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тодорхой тоо нь түүний үндэс бол эсрэг тоо нь мөн үндэс болно. Дүгнэлт нь тодорхой байна: тэгээс ялгаатай тэгшитгэлийн үндэс нь түүний шийдлийн багцад "хосоор" орсон болно.

Энэ тоо нь өөрөө 0 биш, өөрөөр хэлбэл ийм тэгшитгэлийн язгуурын тоо зөвхөн тэгш байж болох бөгөөд мэдээжийн хэрэг параметрийн аль ч утгын хувьд гурван үндэстэй байж болохгүй.

Гэхдээ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 тэгшитгэлийн язгуурын тоо сондгой, параметрийн дурын утгын хувьд байж болно. Үнэн хэрэгтээ, үндэс нь олонлог байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг өгөгдсөн тэгшитгэлхосолсон шийдлүүдийг агуулдаг. 0 нь үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулахад бид 2=2 болно. Тиймээс "хосолсон" тооноос гадна 0 нь язгуур бөгөөд энэ нь тэдний сондгой тоог баталж байна.

Функцийг тэгш (сондгой) гэж нэрлэдэг ба тэгш байдлын хувьд

.

Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
.

Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Жишээ 6.2.Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг шалгана уу

1)
; 2)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог
. Бид олох болно
.

Тэдгээр.
. Энэ нь энэ функц тэгш байна гэсэн үг юм.

2) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог

Тэдгээр.
. Тиймээс энэ функц нь хачирхалтай юм.

3) функц нь тодорхойлогдсон, i.e. Учир нь

,
. Тиймээс функц нь тэгш, сондгой биш юм. Үүнийг ерөнхий хэлбэрийн функц гэж нэрлэе.

3. Нэг хэвийн байдлын функцийг судлах.

Чиг үүрэг
Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцийн том (жижиг) утгатай тохирч байвал тодорхой интервал дээр нэмэгдэх (бууралт) гэж нэрлэгддэг.

Тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж буй (буурсан) функцийг монотон гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функц бол
интервалаар ялгах боломжтой
мөн эерэг (сөрөг) деривативтай
, дараа нь функц
энэ интервал дээр нэмэгддэг (буурдаг).

Жишээ 6.3. Функцийн монотон байдлын интервалыг ол

1)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог. Деривативыг олцгооё.

Хэрэв дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна
Тэгээд
. Тодорхойлолтын домэйн нь цэгээр хуваагдсан тооны тэнхлэг юм
,
интервалаар. Интервал бүр дэх деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.

Интервалд
дериватив нь сөрөг, функц нь энэ интервал дээр буурдаг.

Интервалд
дериватив эерэг тул энэ интервалд функц нэмэгдэнэ.

2) Энэ функц нь хэрэв гэж тодорхойлогддог
эсвэл

.

Бид интервал бүрт квадрат гурвалсан тэмдгийг тодорхойлно.

Тиймээс функцийг тодорхойлох домэйн

Деривативыг олцгооё
,
, Хэрэв
, өөрөөр хэлбэл
, Гэхдээ
. Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё
.

Интервалд
дериватив нь сөрөг тул функц нь интервал дээр буурдаг
. Интервалд
дериватив эерэг бол функц нь интервалаар нэмэгддэг
.

4. Экстремум дахь функцийг судлах.

Цэг
функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг
, цэгийн ийм хөрш байгаа бол энэ нь хүн бүрт зориулагдсан
Энэ хөршөөс тэгш бус байдал бий

.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэнэ.

Хэрэв функц бол
цэг дээр нь экстремумтай бол энэ цэг дэх функцын дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна (экстремум байх зайлшгүй нөхцөл).

Дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.

5. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл.

Дүрэм 1. Шилжилтийн үед (зүүнээс баруун тийш) эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрвөл дериватив
тэмдгийг "+"-ээс "-" болгож, дараа нь цэг дээр өөрчилнө функц
дээд талтай; хэрэв "-" -ээс "+" бол хамгийн бага; Хэрэв
тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол экстремум байхгүй болно.

Дүрэм 2. Үүн дээр байя
функцийн анхны дериватив
тэгтэй тэнцүү
, хоёр дахь дериватив нь байгаа бөгөөд тэгээс ялгаатай. Хэрэв
, Тэр – хамгийн дээд цэг, хэрэв
, Тэр – функцийн хамгийн бага цэг.

Жишээ 6.4 . Хамгийн их ба хамгийн бага функцуудыг судлах:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Шийдэл.

1) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
.

Деривативыг олцгооё
тэгшитгэлийг шийднэ
, өөрөөр хэлбэл
.Эндээс
- чухал цэгүүд.

Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.
.

Цэгээр дамжин өнгөрөх үед
Тэгээд
Дериватив тэмдэг нь "-"-ээс "+" болж өөрчлөгддөг тул дүрмийн 1-ийн дагуу
- хамгийн бага оноо.

Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг
- хамгийн дээд цэг.

,
.

2) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервалд тасралтгүй байна
. Деривативыг олцгооё
.

Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
, бид олох болно
Тэгээд
- чухал цэгүүд. Хэрэв хуваагч бол
, өөрөөр хэлбэл
, тэгвэл дериватив байхгүй болно. Тэгэхээр,
- гурав дахь чухал цэг. Деривативын тэмдгийг интервалаар тодорхойлъё.

Тиймээс функц нь цэг дээр хамгийн бага утгатай байна
, оноогоор дээд тал нь
Тэгээд
.

3) Функц нь тодорхойлогдсон ба тасралтгүй байвал
, өөрөөр хэлбэл цагт
.

Деривативыг олцгооё

.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Цэгүүдийн хөршүүд
тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй тул тэдгээр нь экстремум биш юм. Тиймээс, чухал цэгүүдийг авч үзье
Тэгээд
.

4) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
. 2-р дүрмийг ашиглая. Деривативыг ол
.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Хоёрдахь деривативыг олъё
цэгүүд дээр түүний тэмдгийг тодорхойлно

Цэгүүд дээр
функц хамгийн бага байна.

Цэгүүд дээр
функц нь дээд талтай.

Эдгээр нь танд нэг талаараа танил байсан. Мөн үйл ажиллагааны шинж чанаруудын нөөцийг аажмаар нөхөх болно гэж тэнд тэмдэглэв. Энэ хэсэгт хоёр шинэ үл хөдлөх хөрөнгийн талаар хэлэлцэх болно.

Тодорхойлолт 1.

X олонлогийн дурын x утгын хувьд f (-x) = f (x) тэгш байдал хангагдсан ч гэсэн y = f(x), x є X функц дуудагдана.

Тодорхойлолт 2.

X олонлогийн дурын x утгын хувьд f (-x) = -f (x) тэгш байдал хангагдсан бол y = f(x), x є X функцийг сондгой гэж нэрлэдэг.

y = x 4 тэгш функц гэдгийг батал.

Шийдэл. Бидэнд: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4 байна. Гэхдээ(-x) 4 = x 4. Энэ нь дурын x-ийн хувьд f(-x) = f(x) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. функц нь жигд байна.

Үүний нэгэн адил y - x 2, y = x 6, y - x 8 функцууд тэгш байна гэдгийг баталж болно.

y = x 3 ~ гэдгийг батал сондгой функц.

Шийдэл. Бидэнд: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3 байна. Гэхдээ (-x) 3 = -x 3. Энэ нь дурын x-ийн хувьд f (-x) = -f (x) тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг юм. функц нь сондгой юм.

Үүний нэгэн адил y = x, y = x 5, y = x 7 функцууд сондгой болохыг баталж болно.

Математикийн шинэ нэр томъёо нь ихэвчлэн "дэлхийн" гарал үүсэлтэй байдгийг бид нэг бус удаа харсан. тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тайлбарлаж болно. Энэ нь тэгш, сондгой функцүүдийн аль алинд нь тохиолддог. Харна уу: y - x 3, y = x 5, y = x 7 нь сондгой функц, харин y = x 2, y = x 4, y = x 6 нь тэгш функц юм. Ерөнхийдөө y = x" хэлбэрийн аливаа функцийн хувьд (доор бид эдгээр функцийг тусгайлан судлах болно) n нь натурал тоо бол бид дараахь дүгнэлтийг хийж болно: хэрэв n нь сондгой тоо бол y = x" функц нь байна. сондгой; хэрэв n нь тэгш тоо бол y = xn функц тэгш байна.

Мөн тэгш, сондгой биш функцүүд байдаг. Жишээлбэл, y = 2x + 3 функц байна. Үнэн хэрэгтээ, f(1) = 5, f (-1) = 1. Таны харж байгаагаар энд f(-x) = адилтгал байхгүй байна. f ( x), мөн адилтгах f(-x) = -f(x).

Тэгэхээр функц нь тэгш, сондгой, аль нь ч биш байж болно.

Өгөгдсөн функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг судлахыг ихэвчлэн паритетийн судалгаа гэж нэрлэдэг.

1 ба 2-р тодорхойлолтод бид ярьж байна x ба -x цэг дээрх функцийн утгуудын тухай. Энэ нь функц нь x цэг ба -x цэг дээр тодорхойлогддог гэж үздэг. Энэ нь -x цэг нь х цэгтэй нэгэн зэрэг функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарна гэсэн үг юм. Хэрэв X тоон олонлог нь х элемент тус бүрийн хамт эсрэг талын -x элементийг агуулж байвал X-ийг тэгш хэмт олонлог гэнэ. (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) нь тэгш хэмтэй олонлогууд гэж бодъё.учир нь y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 нь дурын x \in [-1;1] .

Хязгаарлагдмал\left | тэгш бус байдал үүсэх K > 0 тоо байгаа үед y=f(x), x \in X функцийг дуудах заншилтай. f(x)\right | \neq K нь дурын x \in X .

Хязгаарлагдмал функцийн жишээ: y=\sin x нь бүх тооны тэнхлэгт хязгаарлагддаг, учир нь \left | \sin x \right | \nq 1.

Өсөх, буурах функц

гэж авч үзэж буй интервал дээр нэмэгддэг функцийг ярих нь заншилтай байдаг функцийг нэмэгдүүлэхтэгвэл x-ийн том утга нь y=f(x) функцийн том утгатай тохирч байвал. Эндээс үзэхэд x_(1) ба x_(2) аргументын дурын хоёр утгыг авч үзэж буй интервалаас x_(1) > x_(2) байвал үр дүн нь y(x_(1)) > болно. у(x_(2)).

Харгалзан авч буй интервал дээр буурдаг функцийг дуудна буурах функц x-ийн том утга нь y(x) функцийн бага утгатай тохирч байвал. Эндээс харахад x_(1) ба x_(2) ба x_(1) > x_(2) аргументуудын дурын хоёр утгыг авч үзвэл үр дүн нь y(x_(1)) болно.< y(x_{2}) .

Функцийн үндэс F=y(x) функц абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (тэдгээрийг y(x)=0 тэгшитгэлийг шийдэж олно) гэж нэрлэдэг заншилтай.

a) Хэрэв x > 0-ийн хувьд тэгш функц нэмэгдэх бол x-ийн хувьд буурна< 0

b) Тэгш функц x > 0 үед буурах үед x үед нэмэгдэнэ< 0

в) Сондгой функц x > 0 үед нэмэгдэхэд x үед мөн нэмэгдэнэ< 0

d) Сондгой функц x > 0-д буурахад х-д мөн буурна< 0

Функцийн экстремум

Функцийн хамгийн бага цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөршүүд нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) > f тэгш бус байдал нь тэг болно. сэтгэл хангалуун (x_(0)) . y_(min) - мин цэг дэх функцийн тэмдэглэгээ.

Функцийн хамгийн дээд цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөрш нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) тэгш бус байдал хангагдана.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Урьдчилсан нөхцөл

Фермагийн теоремоор: x_(0) цэг дээр дифференциал болох f(x) функц энэ цэг дээр экстремумтай байх үед f"(x)=0 байна.

Хангалттай нөхцөл

1. Дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжих үед x_(0) нь хамгийн бага цэг болно;
2. x_(0) - хөдөлгөөнгүй x_(0) цэгээр дамжин өнгөрөх үед үүсмэл тэмдэг хасахаас нэмэх рүү шилжих үед л хамгийн их цэг байх болно.

Интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Тооцооллын алхамууд:

1. f"(x) деривативыг хайж байна;
2. Функцийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэгүүдийг олж, сегментэд хамаарахыг сонгоно;
3. f(x) функцийн утгууд нь сегментийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэг, төгсгөлд олддог. Хүлээн авсан үр дүн нь бага байх болно хамгийн бага утгафункцууд, ба түүнээс дээш - хамгийн том.