Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн тайлбар

Хоёр хэмжээст тохиолдолд асуудлын мэдэгдэл

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээн босгох

9.1. Хоёр хэмжээст тохиолдолд асуудлын мэдэгдэл. 72

9.2. Шийдлийн тайлбар. 72

Энэ нь хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын хэрэглээний нэг юм.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын илэрхийлэл өгөгдсөн.

Функцийг ол.

1. Хэлбэрийн илэрхийлэл бүр нь зарим функцийн бүрэн дифференциал биш учраас У(x,y), дараа нь асуудлын мэдэгдлийн зөв эсэхийг шалгах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл 2 хувьсагчийн функцийн хувьд хэлбэр бүхий нийт дифференциалын шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг шалгах шаардлагатай. Энэ нөхцөл нь өмнөх хэсгийн теорем дахь (2) ба (3) мэдэгдлүүдийн эквивалент байдлаас үүдэлтэй. Хэрэв заасан нөхцөл хангагдсан бол асуудал нь шийдэлтэй, өөрөөр хэлбэл функцтэй байна У(x,y) сэргээх боломжтой; хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол асуудал шийдэлгүй болно, өөрөөр хэлбэл функцийг сэргээх боломжгүй болно.

2. Та функцийг түүний нийт дифференциалаас олж болно, жишээлбэл, хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг ашиглан тогтмол цэгийг холбосон шугамын дагуу ( x 0 ,y 0) ба хувьсах цэг ( x;y) (Цагаан будаа. 18):

Ийнхүү нийт дифференциалын хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг олж авна dU(x,y) нь функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна У(x,y) интеграцийн шугамын төгсгөл ба эхлэлийн цэгүүдэд.

Энэ үр дүнг одоо мэдэж байгаа тул бид орлуулах хэрэгтэй dUмуруйн интеграл илэрхийлэлд оруулж, тасархай шугамын дагуу интегралыг тооцоол ( ACB), интеграцийн шугамын хэлбэрээс хараат бус байдлыг харгалзан үзвэл:

дээр ( А.С.): дээр ( NE) :

(1)

Ийнхүү 2 хувьсагчийн функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх томъёог олж авлаа.

3. Функцийг нийт дифференциалаас нь зөвхөн тогтмол гишүүн хүртэл сэргээх боломжтой, учир нь г(У+ const) = dU. Тиймээс, асуудлыг шийдсэний үр дүнд бид бие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай функцүүдийн багцыг олж авдаг.

Жишээ (хоёр хувьсагчийн функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх)

1. Хай У(x,y), Хэрэв dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын нөхцөлийг шалгана.

Бүрэн дифференциал нөхцөл хангагдсан бөгөөд энэ нь функц гэсэн үг юм У(x,y) сэргээх боломжтой.

Шалгах: - үнэн.

Хариулт: У(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Ийм функцийг ол

Бид шаардлагатай эсэхийг шалгана хангалттай нөхцөлгурван хувьсагчийн функцийн нийт дифференциал: , , , илэрхийлэл өгөгдсөн бол.

Шийдэж буй асуудалд

Бүрэн дифференциалын бүх нөхцөл хангагдсан тул функцийг сэргээх боломжтой (асуудлыг зөв томъёолсон).

Бид хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл ашиглан функцийг сэргээж, тогтмол цэг ба хувьсах цэгийг холбосон тодорхой шугамын дагуу тооцоолно.

(энэ тэгш байдал нь хоёр хэмжээст тохиолдлын адилаар үүссэн).

Нөгөөтэйгүүр, нийт дифференциалаас хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь интегралын шугамын хэлбэрээс хамаардаггүй тул координатын тэнхлэгүүдтэй параллель хэрчмүүдээс бүрдсэн тасархай шугамын дагуу тооцоолоход хамгийн хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд тогтмол цэгийн хувьд та зөвхөн тодорхой тоон координат бүхий цэгийг авч болно, зөвхөн энэ цэг дээр болон интегралын бүх шугамын дагуу муруйн интеграл байх нөхцөл хангагдаж байгаа эсэхийг хянах боломжтой (өөрөөр хэлбэл, ийм функцууд , мөн тасралтгүй байна). Энэ тайлбарыг харгалзан энэ асуудалд бид жишээлбэл, M 0 цэгийг тогтмол цэг болгон авч болно. Дараа нь бид эвдэрсэн шугамын холбоос бүр дээр байх болно

10.2. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо. 79

10.3. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын зарим хэрэглээ. 81

Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн зүүн талд тохиолдож болно

нь зарим функцийн нийт дифференциал юм:

Тиймээс (7) тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.

Хэрэв функц нь (7) тэгшитгэлийн шийдэл бол , ба тиймээс

хаана нь тогтмол ба эсрэгээр, хэрэв зарим функц нь төгсгөлөг тэгшитгэлийг (8) адилтгал болгон хувиргавал үр дүнд нь ялгаж салгаснаар бид олж авна, тиймээс, хаана дурын тогтмол бол эхийн ерөнхий интеграл болно. тэгшитгэл.

Хэрэв анхны утгыг өгсөн бол тогтмолыг (8) ба түүнээс тодорхойлно

нь хүссэн хэсэгчилсэн интеграл юм. Хэрэв цэг дээр байвал тэгшитгэл (9) нь далд функц гэж тодорхойлогдоно.

(7) тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн бүрэн дифференциал байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Хэрэв Эйлерийн тодорхойлсон энэ нөхцөл хангагдсан бол (7) тэгшитгэлийг хялбархан нэгтгэж болно. Үнэхээр, . Нөгөө талаас, . Тиймээс,

Интегралыг тооцоолохдоо хэмжигдэхүүнийг тогтмол гэж үздэг тул энэ нь дурын функц юм. Функцийг тодорхойлохын тулд бид олсон функцийг -ээр нь ялгаж, учир нь олж авдаг

Энэ тэгшитгэлээс бид тодорхойлж, интегралдах замаар олно.

Та курсээс мэдэж байгаа математик шинжилгээ, бүр илүү энгийн, та ямар нэг тогтмол цэг болон дурын замын дагуух хувьсах координаттай цэгийн хоорондох муруйн интегралыг авч функцийг нийт дифференциалаар нь тодорхойлж болно.

Ихэнх тохиолдолд интеграцийн замын хувьд координатын тэнхлэгтэй зэрэгцээ хоёр холбоосоос бүрдсэн тасархай шугамыг авах нь тохиромжтой байдаг; энэ тохиолдолд

Жишээ. .

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм

Тиймээс ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Функцийг тодорхойлох өөр аргыг ашиглаж болно:

Жишээлбэл, бид координатын гарал үүслийг эхлэлийн цэг болгон, эвдэрсэн шугамыг нэгтгэх замыг сонгодог. Дараа нь

ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Энэ нь өмнөх үр дүнтэй давхцаж, нийтлэг хуваагч руу хөтөлдөг.

Зарим тохиолдолд (7) тэгшитгэлийн зүүн тал нь бүрэн дифференциал биш бол (7) тэгшитгэлийн зүүн тал нь бүрэн дифференциал болж хувирах функцийг сонгоход хялбар байдаг. Энэ функцийг нэрлэдэг нэгтгэх хүчин зүйл. Интеграцчлах хүчин зүйлээр үржүүлэх нь энэ хүчин зүйлийг тэг болгон хувиргах шаардлагагүй хэсэгчилсэн шийдлүүд гарч болзошгүйг анхаарна уу.

Жишээ. .

Мэдээжийн хэрэг, хүчин зүйлээр үржүүлсний дараа зүүн тал нь нийт дифференциал болж хувирдаг. Үнэхээр бид үржүүлсний дараа авна

эсвэл, нэгтгэх, . 2-оор үржүүлж, хүчирхэгжүүлэхэд бид .

Мэдээжийн хэрэг, нэгтгэх хүчин зүйлийг үргэлж тийм амархан сонгодоггүй. Ерөнхий тохиолдолд интегралчлах хүчин зүйлийг олохын тулд тэгшитгэлийн дор хаяж нэг хэсэгчилсэн дериватив эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл тэг биш нэг хэсгийг сонгох шаардлагатай.

хувааж, зарим нэр томьёог тэгш байдлын өөр хэсэгт шилжүүлсний дараа хэлбэрт оруулдаг

Ерөнхий тохиолдолд энэхүү хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх нь анхны тэгшитгэлийг нэгтгэхээс хялбар ажил биш боловч зарим тохиолдолд (11) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тийм ч хэцүү биш юм.

Нэмж дурдахад, интегралчлах хүчин зүйл нь зөвхөн нэг аргументын функц (жишээ нь, энэ нь зөвхөн эсвэл зөвхөн функц, эсвэл зөвхөн, эсвэл зөвхөн функц гэх мэт) бөгөөд тэгшитгэлийг (11) хялбархан нэгтгэж болно. авч үзэж буй төрлийн интеграцийн хүчин зүйл байгаа нөхцөлийг заана. Энэ нь нэгтгэх хүчин зүйлийг хялбархан олох боломжтой тэгшитгэлийн ангиллыг тодорхойлдог.

Жишээлбэл, тэгшитгэл нь зөвхөн -ээс хамаарах интегралч хүчин зүйлтэй байх нөхцлийг олцгооё. . Энэ тохиолдолд (11) тэгшитгэлийг хялбаршуулж, хаанаас авч үзвэл хэлбэрийг авна тасралтгүй функц-аас бид авдаг

Хэрэв энэ нь зөвхөн -ийн функц байвал зөвхөн -ээс хамаарах интегралчлах хүчин зүйл байгаа бөгөөд (12)-тай тэнцүү байна, эс бөгөөс хэлбэрийн интегралч хүчин зүйл байхгүй болно.

Зөвхөн үүнээс хамаарч нэгтгэх хүчин зүйл байх нөхцөл хангагдсан, жишээлбэл шугаман тэгшитгэлэсвэл . Үнэхээр, тиймээс. Маягтын интеграцчлах хүчин зүйлүүд байх нөхцөлийг ижил төстэй байдлаар олж болно.

Жишээ.Тэгшитгэл нь хэлбэрийн интегралч хүчин зүйлтэй юу?

гэж тэмдэглэе. (11)-ийн тэгшитгэл нь , хаанаас эсвэл хэлбэртэй байна

Өгөгдсөн төрлийн интеграцийн хүчин зүйл байхын тулд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд тасралтгүй байдлын таамаглалын дагуу энэ нь зөвхөн функц байх нь хангалттай. IN энэ тохиолдолд, тиймээс интегралчлах хүчин зүйл байгаа бөгөөд (13)-тай тэнцүү байна. Биднийг хүлээж авах үед. Анхны тэгшитгэлийг -ээр үржүүлснээр бид үүнийг хэлбэрт оруулна

Интеграцчилснаар бид олж авдаг бөгөөд хүчирхэгжүүлсний дараа бид , эсвэл туйлын координатаар - логарифмын спираль гэр бүлтэй болно.

Жишээ. Зэрэгцээ туссан толины хэлбэрийг ол энэ чиглэлөгөгдсөн цэгээс гарч буй бүх туяа.

Координатын гарал үүслийг энд байрлуулъя өгсөн оноо x тэнхлэгийг асуудлын нөхцөлд заасан чиглэлтэй параллель чиглүүлнэ. Толин тусгал дээр туяа тусах болно. Абсцисса тэнхлэг ба цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар толины хэсгийг авч үзье. Тухайн цэг дээр авч үзэж буй толины гадаргуугийн зүсэлт рүү шүргэгч зуръя. Цацрагийн тусгалын өнцөгөөс хойш өнцөгтэй тэнцүүтусгал, тэгвэл гурвалжин нь тэгш өнцөгт болно. Тиймээс,

Хүлээн авсан нэгэн төрлийн тэгшитгэлхувьсагчийг өөрчилснөөр амархан нэгтгэгддэг боловч хуваагч дахь зохисгүй байдлаас ангид, хэлбэрээр дахин бичих нь бүр ч хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэл нь , , , (параболын бүлэг) тодорхой интегралчлагч хүчин зүйлтэй.

Энэ асуудлыг илүү энгийн координатаар шийдэж болох бөгөөд , хаана , шаардлагатай гадаргуугийн хэсгийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна.

Хэрэв функцүүд тасралтгүй деривативтай ба эдгээрийн ядаж нэг нь байвал интегралчлах хүчин зүйл байгаа эсэхийг нотлох боломжтой, эсвэл ижил зүйл бол зарим мужид хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн (11) тэгээс өөр шийдэл байгаа эсэхийг батлах боломжтой. функцууд алга болохгүй. Тиймээс интегралчлах хүчин зүйлийн аргыг хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгтгэх ерөнхий арга гэж үзэж болох боловч интегралчлах хүчин зүйлийг олоход хэцүү байдаг тул интегралчлах хүчин зүйл нь тодорхой байгаа тохиолдолд энэ аргыг ихэвчлэн ашигладаг.

Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн танихыг харуулав бүрэн дифференциалууд. Үүнийг шийдвэрлэх аргуудыг өгсөн болно. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдвэрлэх жишээг өгөв.

Агуулга

Танилцуулга

Нийт дифференциал дахь эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(1) ,
Энд тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим U функцийн нийт дифференциал юм (х, у) x, y хувьсагчдаас:
.
Үүний зэрэгцээ.

Хэрэв ийм функц U олдвол (х, у), тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
dU (x, y) = 0.
Үүний ерөнхий интеграл нь:
У (x, y) = C,
Энд C нь тогтмол байна.

Хэрэв нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг деривативаар нь бичвэл:
,
дараа нь хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (1) . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг dx-ээр үржүүлнэ.
(1) .

Дараа нь . Үүний үр дүнд бид дифференциалаар илэрхийлсэн тэгшитгэлийг олж авна.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанар (1) Тэгшитгэл хийхийн тулд
(2) .

Энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байсан тул харилцааг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм:

Баталгаа Бид цаашид нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y хувьсагчдын утгын зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна. x цэг

0 , y 0.
мөн энэ бүсэд хамаарна. (1) Нөхцөл (2) шаардлагатайг баталцгаая. (х, у):
.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үзье
;
.
нь зарим U функцийн дифференциал юм
;
.
Дараа нь (2) Хоёрдахь дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул

Үүнийг дагадаг..
Шаардлагатай нөхцөл (2) :
(2) .
батлагдсан. (х, у)Нөхцөл (2) хангалттай гэдгийг баталъя.
.
Нөхцөл хангагдах болтугай (х, у)Ийм U функцийг олох боломжтой гэдгийг харуулъя
(3) ;
(4) .
түүний дифференциал нь: (3) Энэ нь ийм U функц байгаа гэсэн үг юм 0 , энэ нь тэгшитгэлийг хангадаг:
;
;
(5) .
Ийм функцийг олцгооё. Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (2) :

.
x-ээс x-ээр (4) y-г тогтмол гэж үзвэл x хүртэл:
.
Бид x-г тогтмол гэж үзээд у-д хамааруулан ялгадаг 0 Тэгшитгэл
;
;
.
байвал гүйцэтгэнэ (5) :
(6) .
y-ээс y дээр интеграл
.
танд:

Орлуулах (6) Тиймээс бид дифференциалтай функцийг олсон Хангалттай нь батлагдсан.тогтмол байна - U функцийн утга (х, у) x цэг дээр Бид цаашид нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y хувьсагчдын утгын зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна..

Энэ нь ямар ч утгыг оноож болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн таних вэ
(1) .
Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. (2) :
(2) .
Энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй

Хэрэв энэ нь тохирч байвал энэ тэгшитгэл нийт дифференциал болно. Хэрэв тийм биш бол энэ нь нийт дифференциал тэгшитгэл биш юм.

Жишээ
.

Тэгшитгэл нийт дифференциал байгаа эсэхийг шалгана уу:
, .
Энд


.
Бид x тогтмолыг харгалзан y-г ялгадаг:


.
Ялгаж үзье
,
Учир нь:

тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь нийт дифференциал болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дараалсан дифференциал олборлох арга
Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн энгийн арга бол дифференциалыг дараалан тусгаарлах арга юм. Үүнийг хийхийн тулд бид дифференциал хэлбэрээр бичсэн ялгах томъёог ашигладаг. du ± dv = d;
(u ± v) v du + u dv = d;
;
.
(UV)

Эдгээр томъёонд u болон v нь хувьсагчдын дурын хослолоос бүрдсэн дурын илэрхийлэл юм.

Жишээ 1
.

Тэгшитгэлийг шийд:
Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгааг олж мэдсэн. Үүнийг өөрчилье: .
(P1)
;
;
;
;

.
байвал гүйцэтгэнэ Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгааг олж мэдсэн. Үүнийг өөрчилье::
;
.

Бид дифференциалыг дараалан тусгаарлах замаар тэгшитгэлийг шийддэг.

Дараалсан интеграцийн арга (х, у)Энэ аргад бид U функцийг хайж байна
(3) ;
(4) .

, тэгшитгэлийг хангах: (3) Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье
.
x-д y тогтмолыг авч үзвэл: Энд φ(y) (4) :
.
- тодорхойлох шаардлагатай y-ийн дурын функц. Энэ нь интеграцийн тогтмол юм. Тэгшитгэлд орлуулна уу
.
Эндээс: Энд φИнтеграцчилснаар бид φ-ийг олно (х, у).

улмаар У

Жишээ 2
.

Тэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийд:
, .
Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгааг олж мэдсэн. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. (х, у) U функцийг хайж байна
.
, дифференциал нь тэгшитгэлийн зүүн тал нь:
(3) ;
(4) .
Дараа нь: (3) Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье
Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье
.
(P2)

.
y-ээр ялгах: (4) :
;
.
Орлуулж орцгооё
.
y-ээр ялгах: Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:

.
Нэгтгэцгээе:
У Тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл:.
(x, y) = const

Бид хоёр тогтмолыг нэг болгон нэгтгэдэг.

Муруй дагуу нэгтгэх арга
U функц нь хамаарлаар тодорхойлогддог: dU = p,
(x, y) dx + q(x, y) dy Хангалттай нь батлагдсан.цэгүүдийг холбосон муруйн дагуу энэ тэгшитгэлийг интегралчлах замаар олж болно (х, у):
(7) .
Тэгээд
(8) ,
Түүнээс хойш Хангалттай нь батлагдсан.тэгвэл интеграл нь зөвхөн анхны координатаас хамаарна (х, у)ба эцсийн (7) цэгүүдийг холбосон муруйн дагуу энэ тэгшитгэлийг интегралчлах замаар олж болно (8) оноо бөгөөд муруй хэлбэрээс хамаарахгүй. -аас
(9) .
бид олдог: 0 Энд x 0 болон y Хангалттай нь батлагдсан.- байнгын. Тиймээс У

- бас тогтмол.
(6) .
U-ийн ийм тодорхойлолтын жишээг нотлох баримтаас авсан болно. Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэ(x 0 , y 0 ) цэг хүртэл. цэг хүртэл(x 0 , y 0 ) (х, у) .

Дараа нь цэгээс x тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу интеграцийг гүйцэтгэнэ Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэцэгүүдийг холбосон муруйн дагуу энэ тэгшитгэлийг интегралчлах замаар олж болно (х, у)Ерөнхийдөө та муруй холбох цэгүүдийн тэгшитгэлийг илэрхийлэх хэрэгтэй
параметрийн хэлбэрээр: x 1 = s(t 1) ;;
параметрийн хэлбэрээр: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

ба т дээр нэгтгэх Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэцэгүүдийг холбосон муруйн дагуу энэ тэгшитгэлийг интегралчлах замаар олж болно (х, у)-аас т
параметрийн хэлбэрээр: т. 1 = s(t 1) Интеграцийг гүйцэтгэх хамгийн хялбар арга бол сегментийг холбох цэгүүд юм;
. 0 = 0 Энэ тохиолдолд: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = y 0 + (y - y 0) t 1т ;.
t = 0 dx 1 .
1 = (x - x 0) dt 1;

dy
1 = (y - y 0) dt 1

Орлуулсны дараа бид t-ийн интегралыг олж авна руу.

Энэ арга Гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.Ашигласан уран зохиол:

V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, "LKI", 2015 он. Гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.зарим функцууд. Хэрэв бид функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээвэл дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл олно. Доор бид ярих болно функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх арга

Дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм .

U(x, y) = 0 , нөхцөл хангагдсан бол.

Учир нь бүрэн дифференциал функц Гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг..

Жишээ.

Энэ .

, энэ нь нөхцөл хангагдсан үед .

Дараа нь,

Системийн эхний тэгшитгэлээс бид олж авна Гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан функцийг олно.

Ингэснээр бид шаардлагатай функцийг олох болно DE-ийн ерөнхий шийдлийг олъё Гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.Шийдэл.

.

Бидний жишээнд. Энэ нөхцөл хангагдсан учир нь: xДараа нь анхны дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал юм y. Бид энэ функцийг олох хэрэгтэй.

.

Учир нь

нь функцийн нийт дифференциал юм , гэсэн утгатай:Бид нэгтгэдэг

Системийн 1-р тэгшитгэл ба ялгаатай үр дүн:Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид . гэсэн утгатай: .

Хаана ХАМТ- дурын тогтмол. Тиймээс, ерөнхий интегралөгөгдсөн тэгшитгэл болно: Хоёрдахь нь бий

Жишээ.

Энэ .

, энэ нь нөхцөл хангагдсан үед .

функцийг нийт дифференциалаас нь тооцоолох арга

. Энэ нь тогтмол цэгийн шулууны интегралыг авахаас бүрдэнэ Гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.(x 0 , y 0) (1; 1) dx болнохувьсах координаттай цэг хүртэл (х, у). Энэ тохиолдолд интегралын утга нь интегралын замаас хамааралгүй байна. Холбоос нь координатын тэнхлэгтэй параллель байгаа тасархай шугамыг нэгтгэх зам болгон авах нь тохиромжтой. (1, 1) Бид нөхцөлийн биелэлтийг шалгана: Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн бүрэн дифференциал юм. Цэгийн муруйн интегралыг тооцоолж энэ функцийг олъё Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн бүрэн дифференциал юм dx болно:

. Интеграцийн замын хувьд бид тасархай шугамыг авдаг: хугарсан шугамын эхний хэсэг нь шулуун шугамын дагуу дамждаг. .

Жишээ.

y = 1

, энэ нь нөхцөл хангагдсан үед .

Учир нь , энэ нь нөхцөл хангагдаагүй гэсэн үг юм, тэгвэл дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь функцийн бүрэн дифференциал болохгүй тул та шийдлийн хоёр дахь аргыг ашиглах хэрэгтэй (энэ тэгшитгэл нь дифференциал тэгшитгэлсалгаж болох хувьсагчтай).