Амьдралын нөөц 

Түүний дунд шугамын урт. Дунд шугам

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

  • Таныг сайтад хүсэлт гаргахад бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

  • Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
  • Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
  • Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
  • Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

  • Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
  • Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Энэ нийтлэлд бид трапецын шинж чанарыг аль болох бүрэн тусгахыг хичээх болно. Ялангуяа бид ярих болно ерөнхий шинж тэмдэгба трапецын шинж чанарууд, түүнчлэн бичээстэй трапецын шинж чанарууд ба трапецын дотор бичигдсэн тойргийн тухай. Бид мөн адил тэгш өнцөгтүүдийн шинж чанарыг хөндөх болно тэгш өнцөгт трапец.

Хэлэлцсэн шинж чанаруудыг ашиглан асуудлыг шийдэх жишээ нь үүнийг толгойнхоо хэсэгт ангилж, материалыг илүү сайн санахад тусална.

Трапец ба бүх зүйл

Эхлэхийн тулд трапец гэж юу болох, түүнтэй өөр ямар ойлголтууд холбоотой болохыг товч дурдъя.

Тиймээс трапец бол дөрвөлжин дүрс бөгөөд хоёр тал нь хоорондоо параллель байдаг (эдгээр нь суурь). Мөн энэ хоёр нь зэрэгцээ биш - эдгээр нь талууд юм.

Трапецын хувьд өндрийг бууруулж болно - суурьтай перпендикуляр. Төвийн шугам ба диагональ зурсан байна. Мөн трапецын аль ч өнцгөөс биссектрис зурах боломжтой.

Одоо бид эдгээр бүх элементүүд болон тэдгээрийн хослолуудтай холбоотой янз бүрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Трапецын диагональуудын шинж чанарууд

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд уншиж байхдаа ACME трапецын зургийг цаасан дээр зурж, диагональ зур.

  1. Хэрэв та диагональ тус бүрийн дунд цэгүүдийг (эдгээр цэгүүдийг X ба T гэж нэрлэе) олж, тэдгээрийг холбовол сегментийг авна. Трапецын диагональуудын нэг шинж чанар нь HT сегмент нь дунд шугам дээр байрладаг явдал юм. Мөн түүний уртыг суурийн зөрүүг хоёроор хуваах замаар олж авч болно. ХТ = (a – b)/2.
  2. Бидний өмнө ижил трапецын ACME байна. Диагональууд нь О цэг дээр огтлолцдог.Трапецын сууриудтай хамт диагональуудын хэрчмүүдээс үүссэн AOE ба MOK гурвалжнуудыг харцгаая. Эдгээр гурвалжин нь ижил төстэй. Гурвалжны ижил төстэй байдлын k коэффициентийг трапецын суурийн харьцаагаар илэрхийлнэ. k = AE/KM.
    AOE ба MOK гурвалжны талбайн харьцааг k 2 коэффициентээр тодорхойлно.
  3. Ижил трапец, ижил диагональууд О цэг дээр огтлолцдог. Зөвхөн энэ удаад бид диагональуудын сегментүүд трапецын талуудтай хамт үүссэн гурвалжнуудыг авч үзэх болно. AKO ба EMO гурвалжны талбайн хэмжээ тэнцүү - талбайнууд нь ижил байна.
  4. Трапецын өөр нэг шинж чанар нь диагональ барих явдал юм. Тиймээс, хэрэв та АК ба ME-ийн талуудыг жижиг суурийн чиглэлд үргэлжлүүлбэл эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэд тодорхой цэг дээр огтлолцох болно. Дараа нь трапецын суурийн дундуур шулуун шугам зур. Энэ нь X ба T цэгүүд дээр сууриудтай огтлолцдог.
    Хэрэв бид одоо XT шугамыг сунгах юм бол энэ нь трапецын О диагональуудын огтлолцох цэг, X ба T суурийн хажуугийн өргөтгөл ба дунд хэсгийн огтлолцох цэгийг хооронд нь холбох болно.
  5. Диагональуудын огтлолцох цэгээр бид трапецын суурийг холбосон сегментийг зурах болно (T нь бага KM суурь дээр, X нь том AE дээр байрладаг). Диагональуудын огтлолцлын цэг нь энэ сегментийг дараах харьцаагаар хуваана. TO/OX = KM/AE.
  6. Одоо диагональуудын огтлолцлын цэгээр бид трапецын суурьтай параллель сегментийг (a ба b) зурах болно. Уулзвар цэг нь үүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Та томьёог ашиглан сегментийн уртыг олох боломжтой 2ab/(a + b).

Трапецын дунд шугамын шинж чанарууд

Трапецын дунд шугамыг суурьтай параллель зур.

  1. Трапецын дунд шугамын уртыг суурийн уртыг нэмж, хагас болгон хуваах замаар тооцоолж болно. m = (a + b)/2.
  2. Хэрэв та трапецын хоёр суурийн дундуур аль нэг сегментийг (жишээлбэл, өндөр) зурвал дунд шугам нь үүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Трапец хэлбэрийн биссектрисын шинж чанар

Трапецын аль ч өнцгийг сонгоод биссектрис зур. Жишээлбэл, манай трапецын ACME-ийн KAE өнцгийг авч үзье. Барилга угсралтын ажлыг өөрөө дуусгасны дараа биссектрис нь хажуугийнхтай ижил урттай сегментийг сууринаас (эсвэл зургийн гаднах шулуун шугамын үргэлжлэл) таслаж байгааг хялбархан шалгаж болно.

Трапецын өнцгийн шинж чанарууд

  1. Хажуугийн хажууд байрлах хоёр хос өнцгийн алийг нь сонгох нь хамаагүй, хос дахь өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 0 байна: α + β = 180 0 ба γ + δ = 180 0.
  2. Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг TX сегментээр холбоно. Одоо трапецын суурийн өнцгүүдийг харцгаая. Хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь өнцгийн нийлбэр нь 90 0 байвал TX сегментийн уртыг суурийн уртын зөрүүг үндэслэн хагас болгон хувааж хялбархан тооцоолж болно. TX = (AE – KM)/2.
  3. Хэрэв трапецын өнцгийн хажуу талуудаар параллель шугамууд татагдах юм бол тэдгээр нь өнцгийн талуудыг пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Адил хажуу талт трапецын шинж чанарууд

  1. Хоёр талт трапецын аль ч суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
  2. Одоо бидний ярьж буй зүйлийг төсөөлөхөд хялбар болгохын тулд трапецийг дахин бүтээ. AE суурийг анхааралтай ажиглаарай - эсрэг талын M суурийн орой нь AE-г агуулсан шугамын тодорхой цэг рүү проекц байна. А оройноос М оройн проекцын цэг хүртэлх зай ба ижил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамын хоорондох зай тэнцүү байна.
  3. Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанарын талаар хэдэн үг хэлье - тэдгээрийн урт нь тэнцүү байна. Мөн эдгээр диагональуудын трапецын суурь руу хазайх өнцөг нь ижил байна.
  4. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 - тул зөвхөн ижил өнцөгт трапецын эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно. урьдчилсан нөхцөлүүний төлөө.
  5. Хоёр талт трапецын шинж чанар нь өмнөх догол мөрөөс гардаг - хэрэв трапецын ойролцоо тойрог дүрслэх боломжтой бол энэ нь тэгш өнцөгт юм.
  6. Хоёр талт трапецын шинж чанараас трапецын өндрийн шинж чанарыг дагаж мөрддөг: хэрэв түүний диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог бол өндрийн урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна. h = (a + b)/2.
  7. Дахин хэлэхэд TX сегментийг трапецын суурийн дунд цэгүүдээр зурна - ижил тэгш өнцөгт трапецын хувьд суурьтай перпендикуляр байна. Үүний зэрэгцээ TX нь ижил өнцөгт трапецын тэгш хэмийн тэнхлэг юм.
  8. Энэ удаад трапецын эсрэг оройноос өндрийг том суурь руу буулгана (үүнийг a гэж нэрлэе). Та хоёр сегментийг авах болно. Хэрэв суурийн уртыг нэмж, хагасаар хуваавал нэгийн уртыг олж болно. (a + b)/2. Том баазаас жижигийг нь хасаад гарсан зөрүүг хоёр хуваахад бид хоёр дахь нь болно. (а – б)/2.

Тойрог дотор бичсэн трапецын шинж чанарууд

Бид аль хэдийн тойрог хэлбэрээр бичсэн трапецын тухай ярьж байгаа тул энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье. Ялангуяа тойргийн төв нь трапецтай харьцуулахад хаана байна. Энд бас харандаа авч, доор хэлэлцэх зүйлээ зурах цаг гаргахыг зөвлөж байна. Ингэснээр та илүү хурдан ойлгож, илүү сайн санах болно.

  1. Тойргийн төвийн байрлалыг трапецын диагональ түүний хажуу тийш налуу өнцгөөр тодорхойлно. Жишээлбэл, диагональ нь трапецын дээд хэсгээс хажуу тийшээ зөв өнцгөөр сунгаж болно. Энэ тохиолдолд том суурь нь хүрээлэгдсэн тойргийн төвийг яг дундуур нь огтолно (R = ½AE).
  2. Диагональ ба хажуу талууд нь доор уулзаж болно хурц өнцөг– тэгвэл тойргийн төв нь трапецын дотор байна.
  3. Хэрэв трапецын диагональ ба хажуугийн хооронд мохоо өнцөг байгаа бол хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь трапецын гадна, түүний том суурийн гадна байж болно.
  4. ACME трапецын диагональ ба том суурийн (бичсэн өнцөг) үүссэн өнцөг нь түүнд тохирох төв өнцгийн хагас юм. MAE = ½MOE.
  5. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг олох хоёр аргын талаар товчхон дурдъя. Нэгдүгээр арга: зурсан зургаа анхааралтай хараарай - та юу харж байна вэ? Диагональ нь трапецийг хоёр гурвалжин болгон хувааж байгааг та амархан анзаарч болно. Радиусыг гурвалжны хажуугийн эсрэг талын өнцгийн синусыг хоёроор үржүүлсэн харьцаагаар олж болно. Жишээ нь, R = AE/2*sinAME. Үүнтэй адилаар томьёог гурвалжны аль алинд нь бичиж болно.
  6. Хоёрдугаар арга: трапецын диагональ, хажуу ба суурийн хэсгээс үүссэн гурвалжны талбайгаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол. R = AM*ME*AE/4*S AME.

Тойрог тойрон хүрээлэгдсэн трапецын шинж чанарууд

Хэрэв нэг нөхцөл хангагдсан бол та дугуйг трапец хэлбэрээр байрлуулж болно. Энэ талаар доороос уншина уу. Мөн энэ тоонуудын хослол нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

  1. Хэрэв тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн бол түүний дунд шугамын уртыг талуудын уртыг нэмж, нийлбэрийг хагас болгон хуваах замаар хялбархан олох боломжтой. m = (c + d)/2.
  2. Тойрог дүрсэлсэн ACME трапецын хувьд суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. AK + ME = KM + AE.
  3. Трапецын суурийн энэ шинж чанараас урвуу мэдэгдэл дараах байдалтай байна: суурийн нийлбэр нь түүний талуудын нийлбэртэй тэнцүү трапецын дотор тойрог бичиж болно.
  4. Трапецын дотор бичээстэй r радиустай тойргийн шүргэгч цэг нь хажуу талыг хоёр хэрчим болгон хуваадаг тул тэдгээрийг a, b гэж нэрлэе. Тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолж болно. r = √ab.
  5. Бас нэг өмч. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд энэ жишээг өөрөө зур. Бидэнд дугуй тойруулан дүрсэлсэн хуучин сайн ACME трапец байна. Энэ нь О цэг дээр огтлолцдог диагональуудыг агуулдаг. Диагональ ба хажуу талуудын сегментүүдээс үүссэн AOK ба EOM гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
    Гипотенуз руу буулгасан эдгээр гурвалжны өндөр (жишээлбэл, трапецын хажуу тал) нь бичээстэй тойргийн радиустай давхцдаг. Мөн трапецын өндөр нь бичээстэй тойргийн диаметртэй давхцдаг.

Тэгш өнцөгт трапецын шинж чанарууд

Нэг өнцөг нь зөв байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Мөн түүний шинж чанарууд нь энэ нөхцөл байдлаас үүдэлтэй.

  1. Тэгш өнцөгт трапецын аль нэг тал нь сууриндаа перпендикуляр байдаг.
  2. Зэргэлдээх трапецын өндөр ба хажуу тал зөв өнцөг, тэнцүү байна. Энэ нь тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно ( ерөнхий томъёо S = (a + b) * h/2) зөвхөн өндрөөр төдийгүй зөв өнцгөөр зэргэлдээх хажуугаар дамжина.
  3. Тэгш өнцөгт трапецын хувьд дээр дурдсан трапецын диагональуудын ерөнхий шинж чанарууд хамааралтай.

Трапецын зарим шинж чанарын нотолгоо

Хоёр талт трапецын суурь дээрх өнцгийн тэгш байдал:

  • Энд бидэнд дахин AKME трапец хэрэгтэй болно гэж та аль хэдийн таамагласан байх - ижил өнцөгт трапец зур. М оройноос AK (MT || AK) талтай параллель MT шулуун зурна.

Үүссэн дөрвөлжин AKMT нь параллелограмм байна (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT тул ∆ MTE нь ижил өнцөгт, MET = MTE.

АК || MT, тиймээс MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME хаана байна.

Q.E.D.

Одоо ижил өнцөгт трапецын (диагональуудын тэгш байдал) шинж чанарт үндэслэн бид үүнийг баталж байна трапецын ACME нь тэгш өнцөгт юм:

  • Эхлэхийн тулд MX – MX || шулуун шугамыг зуръя KE. Бид KMHE параллелограммыг (суурь – MX || KE ба KM || EX) авдаг.

AM = KE = MX, MAX = MEA тул ∆AMX нь ижил өнцөгт байна.

MH || KE, KEA = MXE, тиймээс MAE = MXE.

AKE ба EMA гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү болох нь тогтоогдсон, учир нь AM = KE ба AE – нийтлэг талхоёр гурвалжин. Мөн MAE = MXE. Бид AK = ME гэж дүгнэж болох бөгөөд эндээс AKME трапецын тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Даалгаврыг хянах

ACME трапецын суурь нь 9 см ба 21 см, хажуугийн KA нь 8 см-тэй тэнцүү, жижиг суурьтай 150 0 өнцөг үүсгэдэг. Та трапецын талбайг олох хэрэгтэй.

Шийдэл: K оройноос бид өндрийг трапецын том суурь хүртэл бууруулна. Тэгээд трапецын өнцгийг харж эхэлцгээе.

AEM болон KAN өнцөг нь нэг талт байна. Энэ нь нийтдээ 180 0 өгдөг гэсэн үг. Тиймээс KAN = 30 0 (трапецын өнцгийн шинж чанарт үндэслэн).

Одоо тэгш өнцөгт ∆ANC-г авч үзье (энэ цэг нь нэмэлт нотлох баримтгүйгээр уншигчдад ойлгомжтой гэж би бодож байна). Үүнээс бид трапецын KH өндрийг олох болно - гурвалжинд энэ нь 30 0 өнцгийн эсрэг байрлах хөл юм. Тиймээс KH = ½AB = 4 см.

Бид трапецын талбайг томъёогоор олно: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2.

Дараах үг

Хэрэв та энэ өгүүллийг анхааралтай, нухацтай судалж, гартаа харандаагаар өгөгдсөн бүх шинж чанаруудын трапецийг зурж, практик дээр дүн шинжилгээ хийхээс залхуураагүй бол материалыг сайн эзэмшсэн байх ёстой.

Мэдээжийн хэрэг, энд янз бүрийн, заримдаа бүр төөрөгдүүлсэн маш олон мэдээлэл байдаг: тайлбарласан трапецын шинж чанарыг бичээстэй шинж чанаруудтай төөрөлдүүлэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ ялгаа асар их байгааг та өөрөө харсан.

Одоо та трапецын бүх ерөнхий шинж чанаруудын нарийвчилсан тоймтой байна. Түүнчлэн тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапецын өвөрмөц шинж чанар, шинж чанарууд. Энэ нь шалгалт, шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглахад маш тохиромжтой. Өөрөө туршиж үзээд холбоосыг найзуудтайгаа хуваалцаарай!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Анги: 8

Хичээлийн зорилго:

1) оюутнуудад трапецын дунд шугамын тухай ойлголтыг танилцуулж, түүний шинж чанарыг харгалзан үзэж, нотлох;

2) хэрхэн барихыг заах дунд шугамтрапец;

3) оюутнуудын трапецын дунд шугамын тодорхойлолт, трапецын дунд шугамын шинж чанарыг асуудлыг шийдвэрлэхдээ ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;

4) шаардлагатай математикийн нэр томъёог ашиглан оюутнуудын чадварлаг ярих чадварыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх; өөрийн үзэл бодлыг батлах;

5) хөгжүүлэх логик сэтгэлгээ, санах ой, анхаарал.

Хичээлийн явц

1. Хичээлийн явцад гэрийн даалгавраа шалгана. Гэрийн даалгавар нь аман байсан, санаарай:

а) трапецын тодорхойлолт; трапецын төрлүүд;

б) гурвалжны дунд шугамыг тодорхойлох;

в) гурвалжны дунд шугамын шинж чанар;

г) гурвалжны дунд шугамын тэмдэг.

2. Шинэ материал судлах.

a) Самбар нь ABCD трапецийг харуулж байна.

б) Багш танаас трапецын тодорхойлолтыг санахыг хүсч байна. Ширээ бүр дээр "Трапец" сэдвийн үндсэн ойлголтуудыг санахад туслах зөвлөмжийн диаграм байдаг (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү). 1-р хавсралтыг ширээ тус бүрд өгсөн болно.

Сурагчид дэвтэр дээрээ ABCD трапецийг зурдаг.

в) Багш танаас дунд шугамын тухай ойлголт аль сэдвээр тохиолдсоныг санахыг хүсч байна ("Гурвалжны дунд шугам"). Оюутнууд гурвалжны дунд шугам, түүний шинж чанаруудын тодорхойлолтыг санаж байна.

д) Трапецын дунд шугамын тодорхойлолтыг дэвтэрт зурж бич.

Дунд шугамТрапец бол түүний хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Трапецын дунд шугамын шинж чанар энэ үе шатанд батлагдаагүй хэвээр байгаа тул хичээлийн дараагийн шатанд трапецын дунд шугамын өмчийг нотлох ажил орно.

Теорем. Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн: ABCD - трапец,

MN – дунд шугам ABCD

Нотлох, Юу:

1. МЭӨ || MN || А.Д.

2. MN = (МЭ + МЭӨ).

Теоремын нөхцлөөс үүдэн гарах зарим үр дагаварыг бид бичиж болно.

AM = MB, CN = ND, BC || А.Д.

Зөвхөн жагсаасан шинж чанарууд дээр үндэслэн юу шаардагдахыг батлах боломжгүй юм. Асуулт, дасгалын систем нь оюутнуудыг трапецын дунд шугамыг зарим гурвалжны дунд шугамтай холбох хүсэлд хөтлөх ёстой бөгөөд тэдгээрийн шинж чанарыг аль хэдийн мэддэг байх ёстой. Хэрэв санал байхгүй бол та асуулт асууж болно: MN сегмент нь дунд шугам байх гурвалжинг хэрхэн байгуулах вэ?

Тохиолдлуудын аль нэгэнд нэмэлт бүтээн байгуулалтыг бичье.

AD талын үргэлжлэлийг K цэгт огтолж BN шулуун зуръя.

Нэмэлт элементүүд гарч ирнэ - гурвалжин: ABD, BNM, DNK, BCN. Хэрэв бид BN = NK гэдгийг нотлох юм бол энэ нь MN нь ABD-ийн дунд шугам гэсэн үг бөгөөд гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанарыг ашиглаж, шаардлагатайг баталж чадна.

Нотолгоо:

1. BNC болон DNK-г авч үзье, тэдгээр нь:

a) CNB =DNK (босоо өнцгийн шинж чанар);

b) BCN = NDK (дотоод хөндлөн огтлолын өнцгийн шинж чанар);

в) CN = ND (теоремын нөхцлийн үр дүнд).

Энэ нь BNC =DNK (хажуу тал ба хоёр зэргэлдээ өнцөг) гэсэн үг юм.

Q.E.D.

Нотлох баримтыг ангид амаар хийж, гэртээ сэргээж, дэвтэрт бичиж болно (багшийн үзэмжээр).

Энэ теоремыг батлах бусад боломжит аргуудын талаар хэлэх шаардлагатай.

1. Трапецын диагональуудын аль нэгийг зурж, гурвалжны дунд шугамын тэмдэг, шинж чанарыг ашиглана.

2. CF || хийх BA ба ABCF ба DCF параллелограммыг авч үзье.

3. EF || хийх BA ба FND болон ENC-ийн тэгш байдлыг авч үзэх.

g) Энэ үе шатанд үүнийг зааж өгсөн болно гэрийн даалгавар: 84-р зүйл, сурах бичиг хэвлэл. Атанасян Л.С. (трапецын дунд шугамын шинж чанарыг векторын аргаар нотлох) дэвтэртээ бичнэ үү.

h) Бид бэлэн зураг ашиглан трапецын дунд шугамын тодорхойлолт, шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийддэг (Хавсралт 2-ыг үзнэ үү). Хавсралт 2-ыг оюутан бүрт өгч, асуудлын шийдлийг нэг хуудсан дээр богино хэлбэрээр бичнэ.

  1. Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна.
  2. Трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжин ба тэдгээрийн огтлолцох цэг хүртэлх диагональуудын сегментүүд нь ижил төстэй байдаг.
  3. Трапецын хажуугийн хажуу тал дээр байрлах трапецын диагональ хэсгүүдээс үүссэн гурвалжингууд - ижил хэмжээтэй (ижил талбайтай)
  4. Хэрэв та трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамтай нэг цэг дээр огтлолцоно.
  5. Трапецын сууриудыг холбож, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийг трапецын суурийн уртын харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр энэ цэгт хуваана.
  6. Трапецын сууриудтай параллель, диагональуудын огтлолцлын цэгээр татсан хэрчмийг энэ цэгээр хагас болгон хувааж, урт нь 2ab/(a+b)-тэй тэнцүү байх ба энд a ба b нь суурийн суурь болно. трапец

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн шинж чанарууд

ABCD трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбоно, үүний үр дүнд бид LM сегменттэй болно.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент трапецын дунд шугам дээр байрладаг.

Энэ сегмент трапецын суурьтай зэрэгцээ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн урт нь суурийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

LM = (МЭ - МЭӨ)/2
эсвэл
LM = (a-b)/2

Трапецын диагональуудаас үүссэн гурвалжны шинж чанарууд


Трапецын суурь ба трапецын диагональуудын огтлолцох цэгээс үүссэн гурвалжингууд - төстэй.
BOC ба AOD гурвалжин ижил төстэй. BOC ба AOD өнцгүүд нь босоо тул тэнцүү байна.
OCB ба OAD өнцгүүд нь AD ба BC параллель шулуунууд (трапецын суурь нь хоорондоо параллель байдаг) ба AC таслагч шугамтай хөндлөн хэвтэх дотоод өнцөг тул тэдгээр нь тэнцүү байна.
OBC болон ODA өнцөг нь ижил шалтгаанаар тэнцүү байна (дотоод хөндлөн).

Нэг гурвалжны гурван өнцөг нь өөр гурвалжны харгалзах өнцөгтэй тэнцүү тул эдгээр гурвалжнууд ижил төстэй байна.

Үүнээс юу гарах вэ?

Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд гурвалжны ижил төстэй байдлыг дараах байдлаар ашигладаг. Хэрэв бид харгалзах хоёр элементийн уртыг мэддэг бол ижил төстэй гурвалжин, дараа нь бид ижил төстэй байдлын коэффициентийг олдог (бид нэгийг нь нөгөөгөөр нь хуваадаг). Эндээс бусад бүх элементүүдийн уртууд хоорондоо яг ижил утгатай холбоотой байдаг.

Трапецын хажуу тал ба диагональ дээр байрлах гурвалжны шинж чанарууд


AB ба CD трапецын хажуу тал дээр байрлах хоёр гурвалжинг авч үзье. Эдгээр нь AOB ба COD гурвалжин юм. Хэдийгээр эдгээр гурвалжны бие даасан талуудын хэмжээ нь огт өөр байж болох ч хажуу талуудаас үүссэн гурвалжны талбай ба трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл гурвалжин нь тэнцүү хэмжээтэй байна.


Хэрэв бид трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал талуудын огтлолцох цэг нь болно. суурийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугамтай давхцана.

Тиймээс аливаа трапецийг гурвалжин болгон өргөжүүлж болно. Энэ тохиолдолд:

  • Өргөтгөсөн талуудын огтлолцлын цэгт нийтлэг оройтой трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжнууд ижил төстэй байна.
  • Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам нь нэгэн зэрэг баригдсан гурвалжны медиан юм.

Трапецын суурийг холбосон сегментийн шинж чанарууд


Хэрэв бид трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгт (KN) байрлах трапецын суурин дээр төгсгөлүүд нь байрлах хэрчмийг зурвал суурийн хажуугаас огтлолцох цэг хүртэлх түүний бүрдүүлэгч сегментүүдийн харьцааг тодорхойлно. диагональуудын (KO/ON) трапецын суурийн харьцаатай тэнцүү байх болно(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Энэ шинж чанар нь харгалзах гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй (дээрхийг үзнэ үү).

Трапецын суурьтай параллель сегментийн шинж чанарууд


Хэрэв бид трапецын суурьтай параллель сегментийг зурж, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрвөл энэ нь дараахь шинж чанартай байх болно.

  • Заасан зай (KM) трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр хоёр хуваагдсан
  • Хэсгийн урт, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх ба суурьтай зэрэгцээ, тэнцүү байна KM = 2ab/(a + b)

Трапецын диагональуудыг олох томьёо


а, б- трапец хэлбэрийн суурь

в, г- трапецын талууд

d1 d2- трапецын диагональууд

α β - трапецын илүү том суурьтай өнцөг

Суурийн суурь, хажуу ба өнцгөөр дамжин трапецын диагональуудыг олох томъёо

Эхний бүлгийн томъёо (1-3) нь трапец хэлбэрийн диагональуудын үндсэн шинж чанаруудын нэгийг тусгасан болно.

1. Трапецын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь талуудын квадратуудын нийлбэр дээр суурийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна. Трапецын диагональуудын энэ шинж чанарыг тусдаа теорем болгон баталж болно

2 . Энэ томъёоөмнөх томьёог хувиргах замаар олж авсан. Хоёрдахь диагональ квадратыг тэнцүү тэмдгээр шидэж, дараа нь илэрхийллийн зүүн ба баруун талаас квадрат язгуурыг гаргаж авна.

3 . Трапецын диагональ уртыг олох энэхүү томьёо нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд илэрхийллийн зүүн талд өөр диагональ үлдсэн байдгаараа ялгаатай.

Дараагийн бүлэг томьёо (4-5) нь утгын хувьд ойролцоо бөгөөд ижил төстэй харилцааг илэрхийлдэг.

Томъёоны бүлэг (6-7) нь трапецын том суурь, нэг тал ба суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол трапецын диагональыг олох боломжийг олгодог.

Трапецын диагональуудыг өндрөөр олох томьёо

Анхаарна уу. Энэ хичээл нь трапецын талаархи геометрийн асуудлуудын шийдлийг өгдөг. Хэрэв та сонирхож буй төрлийн геометрийн асуудлын шийдлийг олж чадаагүй бол форум дээр асуулт асуугаарай.

Даалгавар.
ABCD (AD | | BC) трапецын диагональууд О цэг дээр огтлолцоно.Трапецын суурийн ВС суурийн уртыг ол AD = 24 см, урт AO = 9 см, урт OS = 6 см бол.

Шийдэл.
Энэ асуудлын шийдэл нь үзэл суртлын хувьд өмнөх асуудлуудтай яг адилхан юм.

AOD ба BOC гурвалжин нь гурван өнцгөөр төстэй - AOD ба BOC нь босоо, үлдсэн өнцөгүүд нь нэг шугам ба хоёр зэрэгцээ шугамын огтлолцолоор үүссэн тул хосоороо тэнцүү байна.

Гурвалжингууд ижил төстэй тул асуудлын нөхцлийн дагуу бидэнд мэдэгдэж байгаа AO ба OC сегментүүдийн геометрийн хэмжээсүүдтэй адил тэдгээрийн бүх геометрийн хэмжээсүүд хоорондоо холбоотой байдаг. Тэр нь

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / МЭӨ
МЭӨ = 24 * 6 / 9 = 16

Хариулт: 16 см

Даалгавар.
ABCD трапецын хувьд AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 гэдгийг мэддэг. Трапецын талбайг ол.

Шийдэл.
Б ба С жижиг суурийн оройноос трапецын өндрийг олохын тулд бид хоёр өндрийг том суурь руу буулгана. Трапец тэгш бус тул бид уртыг AM = a, урт KD = b () гэж тэмдэглэнэ. томьёоны тэмдэглэгээтэй андуурч болохгүйтрапецын талбайг олох). Трапецын суурь нь параллель бөгөөд том суурьтай перпендикуляр хоёр өндрийг буулгасан тул MBCK нь тэгш өнцөгт болно.

гэсэн үг
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM ба ACK гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул тэдгээрийн тэгш өнцөг нь трапецын өндрөөс үүсдэг. Трапецын өндрийг h гэж тэмдэглэе. Дараа нь Пифагорын теоремоор

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Тэгээд
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Эхний тэгшитгэлд a = 16 - b гэдгийг анхаарч үзье
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Пифагорын теоремыг ашиглан олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлд өндрийн квадратын утгыг орлъё. Бид авах:
425 - (8 + б) 2 + (24 - б) 2 = 169
-(64 + 16б + б) 2 + (24 - б) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64б = -768
b = 12

Тэгэхээр KD = 12
Хаана
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Трапецын талбайг өндрөөр нь ба суурийн нийлбэрийн хагасыг ол
, энд a b - трапецын суурь, h - трапецын өндөр
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Хариулт: трапецын талбай нь 80 см2.

Дунд шугамПланиметрийн тоонууд - өгөгдсөн зургийн хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент. Энэхүү үзэл баримтлал нь гурвалжин, дөрвөлжин, трапецын дүрслэлд ашиглагддаг.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

    1 / 3

    ✪ 8-р анги, 25-р хичээл, Гурвалжингийн дунд шугам

    ✪ геометр ГУРВАЛЖНЫ ДУНД ЗУРАГ Атанасян 8-р анги

    ✪ Гурвалжны дунд шугам | Геометр 7-9 анги №62 | Мэдээллийн хичээл

    Хадмал орчуулга

Гурвалжны дунд шугам

Үл хөдлөх хөрөнгө

  • гурвалжны дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.
  • Гурван дунд шугам огтлолцоход 4 үүснэ тэнцүү гурвалжин, 1/2 коэффициенттэй анхныхтай ижил төстэй (бүр гомотетик).
  • Дунд шугам нь үүнтэй төстэй гурвалжинг таслах бөгөөд түүний талбай нь анхны гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна.
  • Гурвалжны дундах гурван шугам нь түүнийг анхны гурвалжинтай төстэй 4 тэнцүү (ижил) гурвалжинд хуваана. Ийм 4 ижил гурвалжинг бүгдийг дунд гурвалжин гэж нэрлэдэг. Эдгээр 4 ижил гурвалжны төв хэсгийг нэмэлт гурвалжин гэнэ.

Шинж тэмдэг

  • хэрчм нь гурвалжны аль нэг талтай параллель бөгөөд гурвалжны нэг талын дунд цэгийг нөгөө талд байрлах цэгтэй холбовол энэ нь дунд шугам болно.

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам

Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугам- дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Эхний мөр нь эсрэг талын 2 талыг холбодог. Хоёр дахь нь нөгөө 2 эсрэг талыг холбодог. Гурав дахь нь хоёр диагональ төвүүдийг холбодог (бүх дөрвөн өнцөгт диагональууд огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваагддаггүй).

  • Хэрэв гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй бол дунд шугам үүснэ тэнцүү өнцөгдөрвөн өнцөгтийн диагональуудтай бол диагональууд нь тэнцүү байна.
  • Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамын урт нь бусад хоёр талын нийлбэрийн талаас бага буюу эдгээр талууд параллель байвал үүнтэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд.
  • Дурын дөрвөн өнцөгтийн талуудын дунд цэгүүд нь параллелограммын оройнууд юм. Түүний талбай нь дөрвөн өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд төв нь дунд шугамын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Энэ параллелограммыг Вариньоны параллелограмм гэж нэрлэдэг;
  • Сүүлчийн цэг нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: Гүдгэр дөрвөн өнцөгт та дөрөв зурж болно хоёр дахь төрлийн дунд шугамууд. Хоёр дахь төрлийн дунд шугамууд- Дөрвөн өнцөгт доторх дөрвөн сегмент түүний дунд цэгүүдийг дайран өнгөрнө зэргэлдээ талууддиагональуудтай зэрэгцээ. Дөрөв хоёр дахь төрлийн дунд шугамуудгүдгэр дөрвөн өнцөгтийг дөрвөн гурвалжин, нэг төв дөрвөн өнцөгт болгон хайчилж ав. Энэхүү төв дөрвөн өнцөгт нь Вариньон параллелограмм юм.
  • Дөрвөн өнцөгтийн дунд шугамуудын огтлолцох цэг нь тэдгээрийн нийтлэг дунд цэг бөгөөд диагональуудын дундын цэгүүдийг холбосон сегментийг хоёр хуваана. Түүнээс гадна тэр