Анхан шатны геометр - Sholaster N.N. Хоёр шугамын параллелизмын шинж тэмдэг

"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. 1-13 хүртэлх бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематикт. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Шуурхай шийдэл, бэрхшээлүүд болон Улсын нэгдсэн шалгалтын нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэх хуудас, хөгжүүлэлт орон зайн төсөөлөл. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Хоёр шугамын параллелизмын шинж тэмдэг

Теорем 1. Хэрэв хоёр шулуун таслагчтай огтлолцох үед:

хөндлөн өнцөг нь тэнцүү, эсвэл

харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл

нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180°, тэгвэл

шугамууд зэрэгцээ байна(Зураг 1).

Баталгаа. Бид 1-р тохиолдлыг нотлохоор хязгаарладаг.

Огтлолцож буй a ба b шулуунуудыг хөндлөн, AB өнцгүүдийг тэнцүү болго. Жишээлбэл, ∠ 4 = ∠ 6. || гэдгийг баталъя б.

a ба b шулуунууд параллель биш гэж бодъё. Дараа нь тэд M цэг дээр огтлолцдог тул 4 эсвэл 6 өнцгийн аль нэг нь ABM гурвалжны гадаад өнцөг болно. Тодорхой байхын тулд ABM гурвалжны гадаад өнцгийг ∠ 4, дотоод өнцгийг ∠ 6 гэж үзье. Гурвалжны гадаад өнцгийн тухай теоремоос ∠ 4 нь ∠ 6-аас их байх ба энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байгаа нь a ба 6 шулуун огтлолцох боломжгүй тул параллель байна гэсэн үг.

Дүгнэлт 1. Нэг шулуунд перпендикуляр хавтгайд байгаа хоёр өөр шулуун параллель байна(Зураг 2).

Сэтгэгдэл. Бидний дөнгөж сая теорем 1-ийн 1-р тохиолдлыг нотолсон аргыг зөрчилдөөн эсвэл утгагүй байдалд буулгах замаар нотлох арга гэж нэрлэдэг. Аргументийн эхэнд нотлох шаардлагатай зүйлээс эсрэг (эсрэг) таамаглал дэвшүүлсэн тул энэ арга анхны нэрийг авсан. Таамаглалд тулгуурлан бид утгагүй дүгнэлтэд (абсурд руу) хүрдэг тул үүнийг утгагүй байдалд хүргэх гэж нэрлэдэг. Ийм дүгнэлтийг хүлээн авснаар бид эхэндээ дэвшүүлсэн таамаглалыг үгүйсгэж, нотлох шаардлагатай байсан таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхөд хүргэдэг.

Даалгавар 1.дамжин өнгөрөх шугам байгуул энэ цэгМ ба өгөгдсөн a шулуунтай параллель, М цэгээр дамжихгүй.

Шийдэл. Шулуун шугаманд перпендикуляр M цэгээр бид p шулуун шугамыг зурна (Зураг 3).

Дараа нь бид p шулуунтай перпендикуляр М цэгээр b шулууныг зурна. 1-р теоремын үр дүнд b шугам нь а шулуунтай параллель байна.

Асуудлаас чухал дүгнэлт гарав.
өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай параллель шугам татах боломжтой.

Зэрэгцээ шугамын үндсэн шинж чанар нь дараах байдалтай байна.

Зэрэгцээ шугамын аксиом. Өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн цэгээр зөвхөн өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун дамждаг.

Энэ аксиомоос үүдэлтэй параллель шугамын зарим шинж чанарыг авч үзье.

1) Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно (Зураг 4).

2) Хэрэв хоёр өөр шугам гурав дахь шугамтай зэрэгцээ байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна (Зураг 5).

Дараах теорем бас үнэн.

Теорем 2. Хоёр зэрэгцээ шулуун хөндлөн огтлолцвол:

хөндлөн өнцөг нь тэнцүү байна;

харгалзах өнцөг нь тэнцүү;

нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

Дүгнэлт 2. Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна(2-р зургийг үз).

Сэтгэгдэл. Теорем 2-ыг теорем 1-ийн урвуу гэж нэрлэдэг. 1-р теоремын дүгнэлт нь теорем 2-ын нөхцөл мөн 1-р теоремын нөхцөл нь теорем 2-ын дүгнэлт юм. Теорем бүр урвуутай байдаггүй, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн теорем нь үнэн бол урвуу теорем худал байж болно.

Үүнийг босоо өнцгийн тухай теоремын жишээн дээр тайлбарлая. Энэ теоремыг дараах байдлаар томъёолж болно: хэрэв хоёр өнцөг босоо байвал тэдгээр нь тэнцүү байна. Эсрэг теорем нь: хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол тэдгээр нь босоо байна. Мөн энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм. Хоёр тэнцүү өнцөгогт босоо байх албагүй.

Жишээ 1.Хоёр зэрэгцээ шугамыг гуравны нэгээр гатлав. Хоёр дотоод нэг талын өнцгийн ялгаа нь 30 ° гэдгийг мэддэг. Эдгээр өнцгүүдийг ол.

Шийдэл. Зураг 6-д нөхцөлийг хангана.

Хэмжээ бүрээс хамааран өнцөг бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг.

Өнцгийн төрөл	Хэмжээ градусаар	Жишээ
Халуун ногоотой	90 ° -аас бага
Шууд	90 ° -тай тэнцүү. Зурган дээр зөв өнцгийг ихэвчлэн өнцгийн нэг талаас нөгөө талаас нь зурсан тэмдгээр тэмдэглэдэг.
Бүтэн	90 ° -аас дээш, гэхдээ 180 ° -аас бага
Өргөтгөсөн	180 ° -тай тэнцүү Бүтэн өнцөг нийлбэртэй тэнцүү байнахоёр тэгш өнцөг, тэгш өнцөг нь хагас шулуун өнцөг юм.
Гүдгэр	180 ° -аас дээш, гэхдээ 360 ° -аас бага
Бүрэн	360°-тай тэнцүү

Хоёр өнцгийг гэж нэрлэдэг зэргэлдээ, хэрэв тэдгээр нь нийтлэг нэг талтай, нөгөө хоёр тал нь шулуун шугам үүсгэдэг бол:

Өнцөг MOPТэгээд PONзэргэлдээ, цацраг оноос хойш OP - нийтлэг тал, нөгөө хоёр тал нь ОМТэгээд АСААЛТТАЙшулуун шугам үүсгэнэ.

Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийтлэг талыг гэж нэрлэдэг шулуун руу ташуузэргэлдээх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү биш тохиолдолд л нөгөө хоёр тал нь байрладаг. Хэрэв зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү бол тэдгээрийн нийтлэг тал байх болно перпендикуляр.

Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° байна.

Хоёр өнцгийг гэж нэрлэдэг босоо, хэрэв нэг өнцгийн талууд нөгөө өнцгийн талуудыг шулуун шугамтай нөхөж байвал:

1 ба 3-р өнцөг, түүнчлэн 2 ба 4-р өнцөг нь босоо байна.

Босоо өнцөг нь тэнцүү байна.

Босоо өнцгүүд тэнцүү гэдгийг баталцгаая.

∠1 ба ∠2-ийн нийлбэр нь шулуун өнцөг юм. Мөн ∠3 ба ∠2-ийн нийлбэр нь шулуун өнцөг юм. Тэгэхээр эдгээр хоёр хэмжээ тэнцүү байна:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Энэ тэгш байдлын хувьд баруун, зүүн талд ижил нэр томъёо байдаг - ∠2. Баруун, зүүн талын энэ нэр томъёог орхигдуулсан тохиолдолд тэгш байдал зөрчигдөхгүй. Дараа нь бид үүнийг авдаг.

Иваницкая В.П. - М .: РСФСР-ын Боловсролын яамны Улсын боловсрол, сурган хүмүүжүүлэх хэвлэлийн газар, 1959. - 272 х.
Татаж авах(шууд холбоос) : egnnsholaster1959.djvu Өмнөх 1 .. 11 > .. >> Дараагийн

Хэрэв зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү бол тэдгээр нь тус бүрийг тэгш өнцөг гэж нэрлэдэг. Тэдний нийтлэг талыг нөгөө хоёр талаас үүссэн шугамд перпендикуляр гэж нэрлэдэг. Урвуу өнцгийн биссектриса нь түүний талуудын үүсгэсэн шулуунтай перпендикуляр гэж бид бас хэлж болно.

Теорем. Хэрэв өнцөг нь тэнцүү бол зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү байна.

(h, k) = ^ байг. (I, m) ба ^ (h!, k) ба ^ (/", t) нь харгалзах зэргэлдээ өнцгүүд (Зураг 20) байх ёстой (Зураг 20) Цаашид ^ (h, k) байх хөдөлгөөнийг / гэж үзье. (I, tri) -д харуулав Энэ хөдөлгөөнийг хийснээр өргөтгөсөн ^ (h, K) нь өргөтгөсөн (I, /"). Эндээс ^(h, k) нь ^(V, m), өөрөөр хэлбэл ^(h!, k) = ^(V, m)-д дүрслэгдэх болно.

Теорем. Ямар ч өнцгийн биссектриса байдаг бөгөөд үүнээс гадна өвөрмөц өнцөг байдаг.

^(A, k) нь өргөссөнөөс ялгаатай, дотоод муж нь гүдгэр байна. О оройноос (Зураг 21, а) хажуу талдаа OA ба OB сегментүүдийг тэгшитгэж A ба B цэгүүдийг холбоноё. тэгш өнцөгт гурвалжин AOB A = ^ B (§ 8). АВ сегментийн дунд С-г О цэгтэй холбосноор бид эхний шинж чанараараа тэнцүү L OS ба BOC гурвалжнуудыг олж авна. Тиймээс AOC = BOC, тиймээс OS туяа нь биссектриса (h, k).

Хэрэв (h, k) нь гүдгэр биш (зураг дээр түүний дотоод бүс нь сүүдэргүй) байвал өмнөх дагуу

6}
т^

Теоремын дагуу түүний биссектриса нь туяаг нөхдөг m туяа / юм.

ACO ба BCO гурвалжны тэгш байдлаас үзэхэд ^ ACO = BCO1 өөрөөр хэлбэл CO туяа нь CA ба CB талуудтай урвуу өнцгийн биссектриса юм.

Одоо өргөтгөсөн ^ (p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB дотор гарч ирнэ

(p, q). CO туяа нь t цацрагт дүрслэгдсэн байна. ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO ба ^ACO= = (q, t) учир (p, t) = = ^(q, t), өөрөөр хэлбэл t -бисектор (p, q) болно. ).

Биссектрис / байг

(A, A), Г нь өнцгийн оройноос гарч буй дурын туяа бөгөөд түүний дотоод мужид байрладаг. Хэрэв Γ дотоод мужид ^(A, /) байвал ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Тиймээс ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Дүгнэлт 1. Өгөгдсөн шулуун дээр өгөгдсөн цэгээс үүсэж буй, энэ шулуунаар хязгаарлагдсан өгөгдсөн хагас хавтгайд хэвтэж буй түүнд перпендикуляр ганц бөгөөд ганц байна.

Дүгнэлт 2. Тэнцүү өнцгийн тал нь хоорондоо тэнцүү байна.

Үнэхээр, хэрэв ^(A, A) = ^(A, A") бол тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөр дүрсэлсэн хөдөлгөөн байдаг. Батлагдсан теоремын дагуу өгөгдсөн хөдөлгөөний хувьд тэдгээрийн биссектриса / ба Г-ийг мөн өөр хоорондоо дүрслэх ёстой. Тиймээс ^(A, /) = ^(A, Г).

Бүх шулуун өнцгүүд тэнцүү тул 2-р дүгнэлтийн онцгой тохиолдол бол бүх тэгш өнцөгтүүд хоорондоо тэнцүү байна.

Огтлолцохдоо тэгш өнцөг үүсгэдэг a ба А шулуун шугамуудыг перпендикуляр (a ± b) гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугамаас тусгал. Шулуун шугамыг a хавтгайд хэвтүүлнэ. Энэ тохиолдолд үүссэн хагас хавтгайг X ба p-ээр тэмдэглэнэ. (Зураг 22). А туяаг шулуун дээр авъя

О цэгээс гарч ирж байна. 6 хөдөлгөөний шинж чанараар (§ 7) h туяаг өөртөө, хагас X хавтгайг jx хагас хавтгайд буулгах өвөрмөц хөдөлгөөн байна. Энэ туяаны бүх цэгүүд нь 5 хөдөлгөөний шинж чанарын дагуу өөр хоорондоо дүрслэгдсэн байдаг. Шууд h туяаг нөхдөг k туяаны бүх цэгүүдийг мөн өөрсөд дээрээ буулгасан.

Тиймээс авч үзэж буй хөдөлгөөний явцад а шугамын бүх цэгүүд өөр хоорондоо дүрслэгддэг. Цаашид үүнийг харахад амархан

Одоо а шугамын гаднах цэгийг авч үзье.

Теорем. Шулуунд ороогүй дурын цэгээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр нэг шулуун дамждаг.

Баталгаа. Шулуун шугамын гадна байрлах M цэг байг (Зураг 23). a шугам нь энэ шугамаар тодорхойлсон хавтгайг хуваана ба

М цэгийг хоёр хагас хавтгайд оруулна: M цэгийг агуулсан хагас X хавтгай ба jx хагас хавтгай. Шулуун а шугамаас тусгах үед М цэгийг jx хагас хавтгайн M" цэгт буулгана. M ба M" цэгүүд өөр өөр хагас хавтгайд байрладаг тул,

аа, тэгээд шууд MM" болон Damn 23

зарим хэсэгт огтлолцоно

М0 цэгийг тусгах үед өөр дээрээ дүрсэлсэн байдаг. Үүнээс үзэхэд MM" шулуун шугамыг өөр дээрээ буулгасан тул a шулуун шугамаар үүсгэсэн өнцөг / ба 2 (Зураг 23-ыг үз) өөр хоорондоо дүрслэгдсэн байна.

Хагас хавтгай jx нь хагас X хавтгайд дүрслэгдсэн байна.

Харгалзан үзэж буй хөдөлгөөнийг a шулуунаас тусгал гэж нэрлэдэг.

Урвуу өнцгийн биссектриса байгаа тул а шулуун дээр байрлах дурын цэгээр а шулуунд перпендикуляр b шулууныг үргэлж татах боломжтой байдаг.

Энэ нь эдгээр өнцгүүд тэнцүү байна гэсэн үг бөгөөд тэдгээр нь нэмэлтээр зэргэлдээ байгаа тул MM" ± a. Одоо Af0 цэг дээр a шугамыг огтолж M-ээр өөр шулуун шугамыг татъя. Энэ нь M шулуунд дүрслэгдэх болно. "N0, a ^ MN0M0 нь M"N0M0-д дүрслэгдэх болно, тэгэхээр ^ 3 = ^i4, гэхдээ 1-р аксиомын дагуу (§ 2) M1 N0 ба M" цэгүүд нэг шулуун дээр оршдоггүй. тиймээс 3 ба 4 өнцгийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл ^ MN0M" нь урвуу өнцөг биш юм. Эндээс 3 ба 4 өнцгүүд нь зөв өнцгөөс ялгаатай бөгөөд MN0 шулуун нь a шулуунд перпендикуляр биш байх болно. MM" шулуун нь , тиймээс а-д перпендикуляр ба М цэгийг дайран өнгөрөх цорын ганц шулуун шугам.