Филиппов А. е

Агуулгын хүснэгт
Өмнөх үг 5
1-р бүлэг Дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдэл 7
§ 1. Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт 7
§ 2. Шийдэл олох хамгийн энгийн аргууд 14
§ 3. Тэгшитгэлийн дарааллыг багасгах арга 22
2-р бүлэг Оршихуй ба ерөнхий шинж чанаруудшийдэл 27
§ 4. Системийн хэвийн хэлбэр дифференциал тэгшитгэлба түүний вектор тэмдэглэгээ 27
§ 5. Шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдал 34
§ б. Шийдлийн үргэлжлэл 47
§ 7. Шийдлийн тасралтгүй хамаарал анхны нөхцөл 52-р тэгшитгэлийн баруун тал
§ 8. Деривативын хувьд шийдэгдээгүй тэгшитгэл 57
3-р бүлэг Шугаман дифференциал тэгшитгэл ба систем 67
§ 9. Шугаман системийн шинж чанар 67
§ 10. Шугаман тэгшитгэлдурын захиалга 81
§ 11. -тэй шугаман тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд 92
§ 12. Хоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэл 109
§ 13. Хилийн утгын бодлого 115
§ 14. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем 124
§ 15. Экспоненциал функц J 137 матрицууд
§ 16. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем 145
4-р бүлэг Автономит систем ба уян хатан байдал 151
§ 17. Автономит систем 151
§ 18. Тогтвортой байдлын тухай ойлголт 159
§ 19. Ляпуновын функцийг ашиглан тогтвортой байдлын судалгаа 167
§ 20. Эхний ойролцоогоор 175-ын дагуу тогтвортой байдал
§ 21. Тусгай оноо 181
§ 22. Хязгаарлалтын мөчлөг 190
5-р бүлэг Параметр болон түүний хэрэглээтэй холбоотой шийдлийн ялгавартай байдал 196
§ 23. 196-р параметрийн хувьд уусмалын ялгавартай байдал
§ 24. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асимптот арга 202
§ 25. Эхний интеграл 212
§ 26. Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл 221
Уран зохиол 234
Сэдвийн индекс 237

Номонд бүгдийг багтаасан боловсролын материалИх дээд сургуулийн механик, математик, физик-математикийн мэргэжлээр ялгах тэгшитгэлийн курсын дээд боловсролын яамны хөтөлбөрийн дагуу. Мөн техникийн хэрэглээтэй холбоотой бага хэмжээний нэмэлт материал байдаг. Энэ нь их сургуулийн профайлаас хамааран лекцийн материалыг сонгох боломжийг танд олгоно. Нэмэлт материалыг багасгаж, илүү ихийг сонгосноор номын хэмжээ одоо байгаа сурах бичгүүдтэй харьцуулахад мэдэгдэхүйц багассан. энгийн нотолгоо-д байгаа зүйлсээс боловсролын уран зохиол. Онолыг хангалттай дэлгэрэнгүй танилцуулсан бөгөөд зөвхөн хүчирхэг төдийгүй дундаж оюутнуудад ч хүртээмжтэй байдаг. Ердийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээг тайлбарын хамт өгсөн болно. Догол мөрний төгсгөлд A.F.-ийн "Дифференциал тэгшитгэлийн асуудлын цуглуулга"-аас дасгал хийх асуудлын тоог зааж өгсөн болно. Филиппов мөн танилцуулсан асуудлуудтай холбоотой зарим онолын чиглэлийг уран зохиолын ишлэлээр зааж өгсөн болно.

Шугаман бус системийн шийдлийн тухай.
Зөвхөн зарим энгийн системд хязгаарлагдмал тооны үйлдлийг ашиглан шийдлийг олох боломжтой. Өгөгдсөн системээс үл мэдэгдэх зүйлийг шууд арилгах замаар илүү өндөр эрэмбийн дериватив бүхий тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх нь өгөгдсөн системээс хялбар биш юм.

Ихэнх тохиолдолд интегралдах хослолыг олох замаар системийг шийдэх боломжтой байдаг. Интегралдах хослол нь зөвхөн хоёр хувьсагч агуулсан системийн тэгшитгэлийн хослол юм
хэмжигдэхүүнүүд ба аль нь шийдэж болох дифференциал тэгшитгэл эсвэл хоёр тал нь тэдгээрийн хослол юм бүрэн дифференциалууд. Интегралчлагдсан хослол бүрээс өгөгдсөн системийн эхний интегралыг олж авна. Өгөгдсөн системээс үл мэдэгдэх зүйлийг эхний интеграл ашиглан арилгахад деривативын дараалал нэмэгдэхгүй.

Агуулгын хүснэгт
Өмнөх үг 5
1-р бүлэг Дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдлүүд 7
§ 1. Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт 7
§ 2. Шийдэл олох хамгийн энгийн аргууд 14
§ 3. Тэгшитгэлийн дарааллыг багасгах арга 22
2-р бүлэг Уусмалын оршихуй ба ерөнхий шинж чанарууд 27
§ 4. Дифференциал тэгшитгэлийн системийн хэвийн хэлбэр, түүний вектор дүрслэл 27
§ 5. Шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдал 34
§ б. Шийдлийн үргэлжлэл 47
§ 7. 52-р тэгшитгэлийн баруун гар талын эхний нөхцөл ба шийдлийн тасралтгүй хамаарал.
§ 8. Деривативын хувьд шийдэгдээгүй тэгшитгэл 57
3-р бүлэг Шугаман дифференциал тэгшитгэл ба систем 67
§ 9. Шугаман системийн шинж чанар 67
§ 10. Дурын эрэмбийн шугаман тэгшитгэл 81
§ 11. Тогтмол коэффициенттэй шугаман тэгшитгэл 92
§ 12. Хоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэл 109
§ 13. Хилийн утгын бодлого 115
§ 14. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем 124
§ 15. J 137 матрицын экспоненциал функц
§ 16. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем 145
4-р бүлэг Автономит систем ба уян хатан байдал 151
§ 17. Автономит систем 151
§ 18. Тогтвортой байдлын тухай ойлголт 159
§ 19. Ляпуновын функцийг ашиглан тогтвортой байдлын судалгаа 167
§ 20. Эхний ойролцоогоор 175-ын дагуу тогтвортой байдал
§ 21. Ганц тоо 181
§ 22. Хязгаарлалтын мөчлөг 190
5-р бүлэг Параметр болон түүний хэрэглээтэй холбоотой шийдлийн ялгавартай байдал 196
§ 23. 196-р параметрийн хувьд уусмалын ялгавартай байдал
§ 24. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асимптот арга 202
§ 25. Эхний интеграл 212
§ 26. Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл 221
Уран зохиол 234
Сэдвийн индекс 237.

Үнэгүй татаж авах цахим номтохиромжтой форматаар үзэж, уншина уу:
Дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга, Филиппов А.Ф., 2007 - fileskachat.com номыг хурдан, үнэгүй татаж авах.

• Анхан шатны математикийн сонгосон асуултууд, Математик анализын элементүүд, Лебедева С.В., Рычагова И.А., 2019
• Хүмүүнлэгийн чиглэлээр оюутнуудыг бэлтгэхэд математикийн хичээлүүдийн сурган хүмүүжүүлэх боломж, Монография, Кислякова М.А., Полика А.Е., 2019 он.

Дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. Филиппов А.Ф.

2-р хэвлэл, илч. - М.: 2007.- 240 х.

Энэхүү номонд Их дээд сургуулийн механик, математик, физик-математикийн мэргэжлийн дифференциал тэгшитгэлийн курст зориулсан Дээд боловсролын яамны хөтөлбөрийн дагуу бүх сургалтын материалыг багтаасан болно. Мөн техникийн хэрэглээтэй холбоотой бага хэмжээний нэмэлт материал байдаг. Энэ нь их сургуулийн профайлаас хамааран лекцийн материалыг сонгох боломжийг танд олгоно. Нэмэлт материалыг багасгаж, боловсролын ном зохиолд байгаа энгийн нотолгоонуудыг сонгосноор номын хэмжээ одоо байгаа сурах бичгүүдтэй харьцуулахад мэдэгдэхүйц буурсан байна. Онолыг хангалттай дэлгэрэнгүй танилцуулсан бөгөөд зөвхөн хүчирхэг төдийгүй дундаж оюутнуудад ч хүртээмжтэй байдаг. Ердийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээг тайлбарын хамт өгсөн болно. Догол мөрний төгсгөлд А.Ф.Филипповын "Дифференциал тэгшитгэлийн асуудлын цуглуулга"-аас дасгалын бодлогуудын тоог зааж өгсөн бөгөөд энэ асуудалтай холбоотой онолын зарим чиглэлийг уран зохиолын ишлэлээр зааж өгсөн болно.

Формат: pdf

Хэмжээ: 6.5 MB

Үзэх, татаж авах:drive.google

Агуулгын хүснэгт
Өмнөх үг 5
1-р бүлэг Дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдэл 7
§ 1. Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт 7
§ 2. Шийдэл олох хамгийн энгийн аргууд 14
§ 3. Тэгшитгэлийн дарааллыг багасгах арга 22
2-р бүлэг Уусмалын оршихуй ба ерөнхий шинж чанарууд 27
§ 4. Дифференциал тэгшитгэлийн системийн хэвийн хэлбэр, түүний вектор дүрслэл 27
§ 5. Шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдал 34
§ б. Шийдлийн үргэлжлэл 47
§ 7. 52-р тэгшитгэлийн баруун гар талын эхний нөхцөл ба шийдлийн тасралтгүй хамаарал.
§ 8. Деривативын хувьд шийдэгдээгүй тэгшитгэл 57
3-р бүлэг Шугаман дифференциал тэгшитгэл ба систем 67
§ 9. Шугаман системийн шинж чанар 67
§ 10. Дурын эрэмбийн шугаман тэгшитгэл 81
§ 11. Тогтмол коэффициенттэй шугаман тэгшитгэл 92
§ 12. Хоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэл 109
§ 13. Хилийн утгын бодлого 115
§ 14. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем 124
§ 15. J 137 матрицын экспоненциал функц
§ 16. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем 145
4-р бүлэг Автономит систем ба уян хатан байдал 151
§ 17. Автономит систем 151
§ 18. Тогтвортой байдлын тухай ойлголт 159
§ 19. Ляпуновын функцийг ашиглан тогтвортой байдлын судалгаа 167
§ 20. Эхний ойролцоогоор 175-ын дагуу тогтвортой байдал
§ 21. Ганц тоо 181
§ 22. Хязгаарлалтын мөчлөг 190
5-р бүлэг Параметр болон түүний хэрэглээтэй холбоотой шийдлийн ялгавартай байдал 196
§ 23. 196-р параметрийн хувьд уусмалын ялгавартай байдал
§ 24. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асимптот арга 202
§ 25. Эхний интеграл 212
§ 26. Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл 221
Уран зохиол 234
Сэдвийн индекс 237

Өмнөх үг
Энэхүү номонд их дээд сургуулиудын механик-математик, физик-математикийн мэргэжлийн ердийн дифференциал тэгшитгэлийн хичээлийн хөтөлбөрийн бүх асуудлууд, түүнчлэн дифференциал тэгшитгэлийн орчин үеийн онол, хэрэглээний бусад асуудлууд: хилийн утгын бодлоготой холбоотой дэлгэрэнгүй танилцуулгыг багтаасан болно. , үечилсэн коэффициент бүхий шугаман тэгшитгэл, дифференциал тэгшитгэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асимптот арга; Тогтвортой байдлын онолын материалыг өргөжүүлсэн.
Хичээлд уламжлалт байдлаар орсон шинэ материал болон зарим асуултуудыг (жишээлбэл, хэлбэлзэх шийдлийн теоремууд) өгсөн боловч дифференциал тэгшитгэлийн онолтой анх удаа танилцахад шаардлагагүй болно. жижиг хэвлэмэл, эхлэл ба төгсгөл нь хэвтээ сумаар тусгаарлагдсан байна. Их сургуулийн профайл, тэнхимийн оюутнуудын сургалтын чиглэлээс хамааран эдгээр асуултуудын алийг нь лекц, шалгалтын хөтөлбөрт оруулахыг сонгох нь хэвээр байна.
Нэмэлт (заавал хөтөлбөрт ороогүй) материалыг багасгаж, боловсролын ном зохиолд байгаа энгийн нотолгоонуудыг сонгон авснаас болж номын хэмжээ энэ хичээлийн алдартай сурах бичгүүдийн хэмжээнээс хамаагүй бага байна.
Материалыг дэлгэрэнгүй танилцуулсан бөгөөд дундаж түвшний сургалттай оюутнуудад ашиглах боломжтой. Зөвхөн сонгодог хувилбаруудыг ашигладаг
үзэл баримтлал математик шинжилгээмөн шугаман алгебрийн үндсэн мэдээлэл, түүний дотор матрицын Жорданы хэлбэр. Хамгийн бага тооны шинэ тодорхойлолтуудыг нэвтрүүлсэн. Онолын материалыг танилцуулсны дараа түүний хэрэглээний жишээг нарийвчилсан тайлбартайгаар өгсөн болно. Филипповын "Дифференциал тэгшитгэлийн асуудлын цуглуулга" -аас дасгалын бодлогуудын тоог харуулав.
Бараг догол мөр бүрийн төгсгөлд хэд хэдэн чиглэлээр судалгаа хийсэн энэ асуудал, - аль хэдийн мэдэгдэж байгаа ойлголтуудыг ашиглан нэрлэж болох чиглэлүүд, орос хэл дээрх уран зохиолууд байдаг.
Номын бүлэг бүр өөрийн гэсэн теорем, жишээ, томъёоны дугаарлалттай. Бусад бүлгүүдийн материалын лавлагаа нь ховор бөгөөд бүлэг эсвэл догол мөрийн дугаарыг зааж өгсөн болно.

Филиппов Алексей Федорович Дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга: Сурах бичиг. Эд. 2-р, илч. М., 2007. - 240 х.
Энэхүү номонд Их дээд сургуулийн механик, математик, физик-математикийн мэргэжлийн дифференциал тэгшитгэлийн курст зориулсан Дээд боловсролын яамны хөтөлбөрийн дагуу бүх сургалтын материалыг багтаасан болно. Мөн техникийн хэрэглээтэй холбоотой бага хэмжээний нэмэлт материал байдаг. Энэ нь их сургуулийн профайлаас хамааран лекцийн материалыг сонгох боломжийг танд олгоно. Нэмэлт материалыг багасгаж, боловсролын ном зохиолд байгаа энгийн нотолгоонуудыг сонгосноор номын хэмжээ одоо байгаа сурах бичгүүдтэй харьцуулахад мэдэгдэхүйц буурсан байна.
Онолыг хангалттай дэлгэрэнгүй танилцуулсан бөгөөд зөвхөн хүчирхэг төдийгүй дундаж оюутнуудад ч хүртээмжтэй байдаг. Ердийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээг тайлбарын хамт өгсөн болно. Догол мөрний төгсгөлд А.Ф.Филипповын "Дифференциал тэгшитгэлийн асуудлын цуглуулга"-аас дасгалын бодлогуудын тоог зааж өгсөн бөгөөд энэ асуудалтай холбоотой зарим онолын чиглэлийг уран зохиолын лавлагаа (орос хэл дээрх ном) зааж өгсөн болно.
Агуулгын хүснэгт
Өмнөх үг.................................................. ......... .................5
1-р бүлэг
Дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдэл.................................7
§ 1. Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт................................7
§ 2. Шийдвэр олох хамгийн энгийн аргууд...................................14
§ 3. Тэгшитгэлийн дарааллыг багасгах арга......................................22
2-р бүлэг
Уусмалын оршихуй ба ерөнхий шинж чанар......................27
§4. Дифференциал тэгшитгэлийн системийн хэвийн үзэгдэл
ба түүний вектор тэмдэглэгээ................................................. ............ ..27
§ 5. Шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдал................................34
§ б. Үргэлжлүүлэн шийдвэрлэх арга замууд...................................47
§ 7. Уусмалын анхны нөхцлөөс тасралтгүй хамааралтай байх
ба тэгшитгэлийн баруун тал......................................52
§ 8. Деривативын талаар шийдэгдээгүй тэгшитгэлүүд... 57
3-р бүлэг
Шугаман дифференциал тэгшитгэл ба систем................67
§ 9. Шугаман системийн шинж чанар...................................... ......67
§ 10. Аливаа эрэмбийн шугаман тэгшитгэл.................................81

§ 11. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман тэгшитгэл. .........1
§ 12. Хоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэл.......................109
§ 13. Хилийн утгын бодлого...................................115
§ 14. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем.....124
§ 15. Матрицын экспоненциал функц................137
§ 16. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман систем... 145
4-р бүлэг
Автономит систем ба уян хатан байдал................................151
§ 17. Автономит систем...................................151
§ 18. Тогтвортой байдлын тухай ойлголт................................159
§ 19. Ашиглах тогтвортой байдлын судалгаа
Ляпуновын функцууд......................167
§ 20. Эхний ойролцоо тооцооллын дагуу тогтвортой байдал......175
§21. Ганц цэг.................................181
§ 22. Хязгаарлалтын мөчлөг.......................190
5-р бүлэг
Параметрийн хувьд шийдлийн ялгавартай байдал, түүний хэрэглээ............196
§ 23. Уусмалын параметрийн хувьд ялгах чадвар.........196
§ 24. Дифференциалыг шийдвэрлэх асимптот аргууд
тэгшитгэл...........................202
§ 25. Нэгдүгээр интеграл......................212
§ 26. Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл... 221
Уран зохиол.................................. 234
Сэдвийн индекс.......................237

Танилцуулга

Дифференциал тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэл нь нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчийн хүссэн функц, эдгээр хувьсагч ба энэ функцын янз бүрийн эрэмбийн деривативуудыг холбосон тэгшитгэл юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийн онолын асуултуудыг деривативтай холбоотой шийдвэрлэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн жишээн дээр авч үзье. хэлбэрээр төлөөлүүлж болох тэдгээр

Хаана е- хэд хэдэн хувьсагчийн зарим функц.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. Дифференциал тэгшитгэлд (1.1) функц ба түүний хэсэгчилсэн дериватив нь нээлттэй олонлог дээр тасралтгүй байна. Г координатын хавтгай Өө.Дараа нь:

1. Багцын аль ч цэгийн хувьд Гшийдэл байх болно у=у(х)нөхцөлийг хангасан тэгшитгэл (1.1). у();

2. Хоёр шийдэлтэй бол у=(x)Тэгээд у=(x)тэгшитгэл (1.1) нь дор хаяж нэг утгын хувьд давхцдаг x=, өөрөөр хэлбэл Хэрэв эдгээр шийдлүүд нь хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд давхцаж байвал X,Үүний тулд тэдгээрийг тодорхойлсон. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлэх боломжтой бол салгаж болох тэгшитгэл гэнэ

эсвэл хэлбэрээр

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,(1.3)

Хаана, M(x), P(x)- зарим хувьсах функцууд X, g(y), N(y), Q(y)- хувьсах функцууд у.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүнийг хувьсагчийн дифференциал ба функцууд байх хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй. Xтэгш байдлын нэг талд дуусах болно, хувьсагч цагт- нөгөө рүү. Дараа нь үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэнэ. Жишээлбэл, (1.2) -аас = ба = гэсэн үг гарч ирнэ. Интеграцийг гүйцэтгэснээр бид (1.2) тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд dx = xydy.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг илэрхийлэлд хуваах X

(цагт X?0), бид тэгш байдалд хүрнэ. Интеграцчилснаар бид олж авдаг

(зүүн талын интеграл (a) нь хүснэгтэн хэлбэртэй байдаг тул баруун талын интегралыг жишээлбэл = гэж орлуулж олох боломжтой. т, 2ydy=2tdtТэгээд .

Бид (b) шийдлийг хэлбэрээр дахин бичнэ x=±эсвэл x=C,Хаана C=±.

Бүрэн бус дифференциал тэгшитгэл

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг (1.1) функц нь бүрэн бус гэж нэрлэдэг езөвхөн нэг хувьсагчаас хамаарах нь тодорхой: аль нэг X,аль аль нь у.

Ийм хараат байдлын хоёр тохиолдол байдаг.

1. f функц нь зөвхөн x-ээс хамааралтай байг. Энэ тэгшитгэлийг дахин бичих

түүний шийдэл нь функц мөн эсэхийг шалгахад хялбар байдаг

2. f функц нь зөвхөн у-аас хамааралтай байг, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл (1.1) хэлбэртэй байна

Энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бие даасан.Ийм тэгшитгэлийг байгалийн болон физикийн үйл явцын математик загварчлал, судалгааны практикт ихэвчлэн ашигладаг, жишээлбэл, бие даасан хувьсагч үед. Xбайгалийн хуулиудыг дүрсэлсэн харилцаанд ороогүй цаг хугацааны үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд гэж нэрлэгддэг тэнцвэрийн цэгүүд,эсвэл суурин цэгүүд - функцийн тэг е(цагт), дериватив хаана байна y" = 0.