Геометр прогресс bn 1. Геометр прогресс ба түүний томьёо
Арифметик ба геометрийн прогресс
Онолын мэдээлэл
Онолын мэдээлэл
Арифметик прогресс |
Геометрийн прогресс |
|
Тодорхойлолт |
Арифметик прогресс a nдараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор нэмэгдсэнтэй тэнцүү байна. г (г- явцын ялгаа) |
Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүний ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (qпрогрессийн хуваагч юм) |
Давтагдах томъёо |
Аливаа байгалийн хувьд n |
Аливаа байгалийн хувьд n |
N-р хугацааны томъёо |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Онцлог шинж чанар |  |
|
| n-эхний гишүүдийн нийлбэр |  |
 |
Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ
Дасгал 1
Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2
n-р гишүүний томъёоны дагуу:
а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д
Нөхцөлөөр:
a 1= -6, тэгэхээр а 22= -6 + 21 d.
Прогрессийн хоорондох ялгааг олох шаардлагатай:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Хариулт: а 22 = -48.
Даалгавар 2
Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6; ....
1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёогоор:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Учир нь б 1 = -3,
2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)
Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Хариулт: б 5 = -48.
Даалгавар 3
Арифметик прогрессоор ( a n) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.
Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь байна 
.
Тиймээс:
.
Өгөгдлийг томъёонд орлуулъя:
Хариулт: 95.
Даалгавар 4
Арифметик прогрессоор ( a n) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.
.
Аль нь байна энэ тохиолдолдхэрэглэхэд илүү тохиромжтой юу?
Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олж болно a 1, ба а 16ололгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглана.
Хариулт: 368.
Даалгавар 5
Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.
n-р гишүүний томъёоны дагуу:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.
Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн хоорондох ялгааг олох шаардлагатай:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Хариулт: а 22 = -48.
Даалгавар 6
Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүдийг бичнэ:
Х үсгээр тэмдэглэсэн прогрессийн гишүүнийг ол.
Шийдэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашигладаг b n = b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн анхны гишүүн. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд прогрессийн өгөгдсөн гишүүдээс аль нэгийг нь авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр та авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна, учир нь геометр прогрессоор өгөгдсөн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай.
Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
.
Хариулт:.
Даалгавар 7
n-р гишүүний томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл тохирохыг сонго а 27 > 9:
Өгөгдсөн нөхцөл нь прогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.
.
Хариулт: 4.
Даалгавар 8
Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Зана уу хамгийн том үнэ цэнэ n -ийн хувьд тэгш бус байдал a n > -6.
Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл гишүүн бүр өмнөхөөсөө q дахин ялгаатай байна. (Бид q ≠ 1 гэж таамаглах болно, эс тэгвээс бүх зүйл хэтэрхий өчүүхэн байдаг). Үүнийг харахад хэцүү биш юм ерөнхий томъёогеометр прогрессийн n -р гишүүн b n = b 1 q n - 1; b n ба b m тоотой нэр томъёо нь q n - m удаа ялгаатай.Эртний Египтэд тэд зөвхөн арифметик төдийгүй геометрийн прогрессийг мэддэг байсан. Жишээлбэл, Риндын папирусын нэг асуудал энд байна: “Долоон нүүрэнд тус бүр долоон муур байдаг; муур бүр долоон хулгана иддэг, хулгана бүр долоон чихээ иддэг, чих бүр долоон хэмжүүр арвай ургуулдаг. Энэ цувралын тоо, тэдгээрийн нийлбэр хэр их вэ?"
 |
|
Цагаан будаа. 1. Эртний Египетийн геометр прогрессийн асуудал |
Энэ даалгавар нь бусад ард түмний дунд өөр өөр цаг үед олон удаа давтагдсан. Жишээлбэл, XIII зуунд бичигдсэн байдаг. Пизагийн Леонардогийн (Фибоначчийн) "Абакийн ном" нь Ромыг зорьж буй 7 хөгшин эмэгтэй (мэдээж мөргөлчид), тус бүр нь 7 луустай, тус бүр нь 7 шуудайтай байдаг гэсэн асуудалтай байдаг. 7 талх, тус бүр нь 7 хутгатай, тус бүр нь 7 хутгууртай. Асуудал нь хичнээн зүйл байгааг асууж байна.
Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Энэ томьёог жишээ нь дараах байдлаар баталж болно: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
S n дээр b 1 q n тоог нэмээд дараахийг авна.
|
Эндээс S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) бөгөөд бид шаардлагатай томьёог олж авна.
6-р зуунд хамаарах Эртний Вавилоны шавар шахмалуудын нэг дээр аль хэдийн байдаг. МЭӨ д., нийлбэрийг агуулсан 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Үнэн, бусад хэд хэдэн тохиолдлын нэгэн адил энэ баримтыг вавилончуудад хэрхэн мэддэг байсныг бид мэдэхгүй. .
Хэд хэдэн соёл, тэр дундаа Энэтхэгт геометрийн дэвшлийн хурдацтай өсөлтийг орчлон ертөнцийн агуу байдлын харааны бэлгэдэл болгон дахин дахин ашигладаг. Шатар бий болсон тухай алдартай домогт эзэн зохион бүтээгчдээ шагналаа өөрөө сонгох боломжийг олгож, эхний нүдэнд нэгийг нь тавьбал хичнээн хэмжээний улаан буудай авахыг асуудаг. шатрын самбар, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь дөрөв, дөрөв дэх нь найм гэх мэт тоо хоёр дахин нэмэгдэх бүрт. Владика ингэж бодов ирдэг, хамгийн ихдээ, хэдэн цүнхний тухай, гэхдээ тэр буруу тооцоолсон. Шатрын тавцангийн бүх 64 квадратын хувьд зохион бүтээгч нь 20 оронтой тоогоор илэрхийлэгдсэн (2 64 - 1) үр тариа хүлээн авсан байх ёстой гэдгийг харахад хялбар байдаг; Дэлхийн гадаргууг бүхэлд нь тарьсан ч цуглуулахад дор хаяж 8 жил шаардагдана шаардлагатай хэмжээүр тариа. Энэ домог нь шатрын тоглоомд нуугдаж буй бараг хязгааргүй боломжуудыг харуулсан гэж заримдаа тайлбарладаг.
Энэ тоо үнэхээр 20 оронтой гэдгийг харахад хялбар байдаг:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6 ∙ 10 19 (илүү нарийвчлалтай тооцоолол нь 1.84 ∙ 10 19 болно). Гэхдээ энэ тоо ямар оронтой тоогоор төгссөнийг олж мэдэх болов уу?
Хэрэв хуваарь абсолют утгаараа 1-ээс их бол геометр прогресс нэмэгдэж, нэгээс бага бол буурна. Сүүлчийн тохиолдолд хангалттай том n-ийн хувьд q n тоо дур зоргоороо жижиг болж болно. Өсөж байхад геометрийн прогрессгэнэтийн хурдацтай өсөж, хурдан буурдаг.
N их байх тусам qn тоо нь тэгээс ялгаатай бөгөөд S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь S = b 1 / () тоонд ойртох тусам qn тоо бага байна. 1 - q). (Жишээ нь, Ф. Вьет ингэж тайлбарлав). S тоог хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр гэнэ. Гэсэн хэдий ч олон зууны туршид хязгааргүй тооны гишүүнчлэлийн геометрийн прогрессийн нийлбэр нь юу гэсэн үг вэ гэсэн асуулт математикчдад хангалттай тодорхойгүй байв.
Жишээлбэл, Зеногийн "Халвинг" ба "Ахиллес ба яст мэлхий" гэсэн апориауудаас геометрийн прогресс буурч байгааг харж болно. Эхний тохиолдолд бүхэл бүтэн зам (1-ийн урттай гэж бодъё) нь 1/2, 1/4, 1/8 гэх мэт хязгааргүй тооны сегментүүдийн нийлбэр гэдгийг тодорхой харуулсан. Тэгэхээр энэ нь мэдээжийн хэрэг Хязгаарлагдмал нийлбэр төгсгөлгүй геометр прогрессийн тухай ойлголтын үзэл бодол. Гэсэн хэдий ч - энэ нь яаж байж болох вэ?
|
Цагаан будаа. 2. 1/2 хүчин зүйлтэй ахиц дэвшил |
Ахиллесийн тухай апорид нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг, учир нь энд прогрессийн хуваагч нь 1/2 биш, харин өөр тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, Ахиллес v хурдтай гүйж, яст мэлхий u хурдтай хөдөлж, тэдгээрийн хоорондох анхны зай нь l байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайг l/v хугацаанд гүйх болно, яст мэлхий энэ хугацаанд lu/v зайтай хөдөлнө. Ахиллес энэ сегментийг ажиллуулахад яст мэлхий болон түүний хоорондох зай l (u / v) 2 гэх мэт болно. Яст мэлхийг гүйцэх нь эхний гишүүнтэй төгсгөлгүй буурч буй геометр прогрессийн нийлбэрийг олох гэсэн үг юм. l ба хуваагч u / v. Энэ нийлбэр - Ахиллес эцэст нь яст мэлхийтэй уулзах газар руу гүйх сегмент нь l / (1 - u / v) = lv / (v - u) -тэй тэнцүү байна. Гэхдээ дахин хэлэхэд, энэ үр дүнг хэрхэн тайлбарлах, яагаад энэ нь ямар ч утга учиртай болох нь удаан хугацааны туршид тодорхойгүй байсан.
|
Цагаан будаа. 3. 2/3 коэффициенттэй геометр прогресс |
Геометрийн прогрессийн нийлбэрийг Архимед параболын сегментийн талбайг тодорхойлоход ашигласан. Параболын өгөгдсөн хэрчмийг AB хөвчөөр тусгаарлаж, параболын D цэг дээрх шүргэгч шулууныг AB-тай параллель болгоё. С-г AB-ийн дунд цэг, Е-г АС-ийн дунд цэг, F-ийг CB-ийн дунд цэг гэж үзье. A, E, F, B цэгүүдээр DC-тэй параллель шулуун шугам татах; D цэг дээр татсан шүргэгчийг эдгээр шугамууд K, L, M, N цэгүүдээр огтолцгооё. Мөн AD ба DB сегментүүдийг зурцгаая. EL шулуун нь AD шулууныг G цэгт, параболыг H цэгт огтолцгооё; FM шугам нь DB шугамыг Q цэгт, параболыг R цэг дээр огтолно. дагуу ерөнхий онолконус хэсгүүд, DC нь параболын диаметр (өөрөөр хэлбэл түүний тэнхлэгтэй параллель сегмент); тэр болон D цэг дээрх шүргэгч нь x ба y координатын тэнхлэг болж болох бөгөөд параболын тэгшитгэлийг y 2 = 2px (x нь D-ээс өгөгдсөн диаметрийн дурын цэг хүртэлх зай, y нь a-ийн урт) гэж бичнэ. Энэ диаметрийн цэгээс параболын өөрийнх нь аль нэг цэг хүртэлх өгөгдсөн шүргэгч шугамтай параллель).
Параболын тэгшитгэлийн ачаар DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, DK = 2DL тул KA = 4LH болно. KA = 2LG тул LH = HG байна. Параболын АХБ сегментийн талбай нь ΔADB гурвалжны талбай ба AHD ба DRB сегментүүдийн талбайн нийлсэн талбайтай тэнцүү байна. Хариуд нь AHD сегментийн талбай нь AHD гурвалжны талбай болон үлдсэн AH ба HD сегментүүдийн талбайтай ижил төстэй бөгөөд та тус бүрдээ ижил үйлдлийг хийж болно - гурвалжин (Δ) болон хуваана. үлдсэн хоёр сегмент () гэх мэт:
ΔAHD гурвалжны талбай нь ΔALD гурвалжны талбайн талтай тэнцүү (тэдгээр нь нийтлэг AD суурьтай, өндөр нь 2 дахин ялгаатай) бөгөөд энэ нь эргээд гурвалжны талбайн талтай тэнцүү юм. ΔAKD, тиймээс ΔACD гурвалжны талбайн тал хувь. Тиймээс ΔAHD гурвалжны талбай нь ΔACD гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. Үүний нэгэн адил ΔDRB гурвалжны талбай нь ΔDFB гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. Тэгэхээр ΔAHD ба ΔDRB гурвалжны талбайг нийлээд авч үзвэл ΔADB гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. AH, HD, DR, RB сегментүүдэд хэрэглэсэн энэ үйлдлийг давтан хийснээр тэдгээрээс гурвалжнуудыг сонгох бөгөөд тэдгээрийн талбайг хамтад нь авч үзвэл ΔAHD ба ΔDRB гурвалжны талбайгаас 4 дахин бага байх болно. Энэ нь ΔADB гурвалжны талбайгаас 16 дахин бага гэсэн үг. гэх мэт:
Ийнхүү Архимед "шулуун шугам ба параболын хооронд оршсон хэрчмүүд нь ижил суурьтай, ижил өндөртэй гурвалжны гуравны дөрөв" гэдгийг баталжээ.
22.09.2018 22:00Геометрийн прогресс нь арифметикийн хамт судлагдсан чухал тооны цуврал юм сургуулийн курс 9-р ангид алгебр. Энэ нийтлэлд бид геометрийн прогрессийн хуваагч, түүний утга нь шинж чанарт хэрхэн нөлөөлдөг талаар авч үзэх болно.
Геометр прогрессийн тодорхойлолт
Эхлэхийн тулд энэ тооны цувралын тодорхойлолтыг өгье. Ийм цувралыг геометр прогресс гэж нэрлэдэг. рационал тоо, эхний элементээ хуваагч гэж нэрлэгддэг тогтмол тоогоор дараалан үржүүлснээр үүсдэг.
Жишээлбэл, 3, 6, 12, 24, ... эгнээний тоонууд нь геометрийн прогресс, учир нь 3-ыг (эхний элемент) 2-оор үржүүлбэл 6, 6-г 2-оор үржүүлбэл геометрийн прогресс болно. 12 гэх мэт.
Харж буй дарааллын гишүүдийг ихэвчлэн ai тэмдгээр тэмдэглэдэг ба энд i нь мөр дэх элементийн тоог харуулсан бүхэл тоо юм.
Прогрессийн дээрх тодорхойлолтыг математикийн хэлээр дараах байдлаар бичиж болно: an = bn-1 * a1, энд b нь хуваагч юм. Энэ томъёог шалгахад хялбар байдаг: хэрэв n = 1 бол b1-1 = 1, бид a1 = a1 авна. Хэрэв n = 2 бол an = b * a1, бид дахин авч үзэж буй тооны цувралын тодорхойлолтод хүрнэ. Үүнтэй төстэй үндэслэлийг n-ийн том утгын хувьд үргэлжлүүлж болно.
Геометр прогрессийн хуваагч
b тоо нь бүх тооны цуврал ямар тэмдэгттэй байхыг бүрэн тодорхойлдог. Б хуваагч нь эерэг, сөрөг, нэгээс их буюу түүнээс бага байж болно. Эдгээр бүх сонголтууд нь өөр өөр дараалалд хүргэдэг:
- b> 1. Рационал тооны өсөн нэмэгдэж буй цуваа байна. Жишээлбэл, 1, 2, 4, 8, ... Хэрэв a1 элемент сөрөг байвал бүх дараалал нь зөвхөн үнэмлэхүй утгаараа нэмэгдэх боловч тоонуудын тэмдгийг харгалзан буурна.
- b = 1. Ижил рационал тоонуудын энгийн цуваа байдаг тул ийм тохиолдлыг прогресс гэж нэрлэдэггүй. Жишээлбэл, -4, -4, -4.
Хэмжээний томъёо
Прогрессийн төрлийн хуваагчийг ашиглан тодорхой асуудлыг авч үзэхийн өмнө түүний эхний n элементийн нийлбэрийн чухал томъёог өгөх хэрэгтэй. Томъёо нь: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Хэрэв та явцын гишүүдийн рекурсив дарааллыг авч үзвэл энэ илэрхийллийг өөрөө авч болно. Дээрх томъёонд дурын тооны гишүүний нийлбэрийг олохын тулд зөвхөн эхний элемент болон хуваагчийг мэдэхэд хангалттай гэдгийг анхаарна уу.
Хязгааргүй буурах дараалал
Энэ нь юу болох талаар дээр тайлбар өгсөн. Одоо Sn-ийн томъёог мэдэж байгаа тул үүнийг энэ тооны цувралд хэрэглэнэ. Модуль нь 1-ээс хэтрэхгүй аливаа тоо их хэмжээгээр нэмэгдэхэд тэг болох хандлагатай байдаг тул -1 бол b∞ => 0 байна.
Зөрүү (1 - b) нь хуваагчийн утгаас үл хамааран үргэлж эерэг байх тул геометрийн S∞-ийн буурдаг хязгааргүй прогрессийн нийлбэрийн тэмдгийг түүний эхний элементийн a1 тэмдгээр онцгойлон тодорхойлно.
Одоо бид хэд хэдэн даалгаврыг авч үзэх бөгөөд энд олж авсан мэдлэгээ тодорхой тоон дээр хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.
Бодлогын дугаар 1. Прогрессийн үл мэдэгдэх элементүүд ба нийлбэрийн тооцоо
Танд геометр прогресс өгөгдсөн, прогрессийн хуваагч нь 2, эхний элемент нь 3. Түүний 7 ба 10 дахь гишүүн хэд байх вэ, эхний долоон элементийн нийлбэр хэд вэ?
Асуудлын нөхцөл нь маш энгийн бөгөөд дээр дурдсан томъёог шууд ашиглахад оршино. Тиймээс n тоотой элементийг тооцоолохдоо an = bn-1 * a1 илэрхийллийг ашиглана. 7-р элементийн хувьд бид: a7 = b6 * a1, мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулж, бид дараахийг авна: a7 = 26 * 3 = 192. Бид 10-р гишүүний хувьд ижил зүйлийг хийнэ: a10 = 29 * 3 = 1536.
Нийтийн сайн мэддэг томьёог ашиглан цувралын эхний 7 элементийн хувьд энэ утгыг тодорхойлъё. Бидэнд: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Асуудлын дугаар 2. Прогрессийн дурын элементүүдийн нийлбэрийг тодорхойлох
-2 нь экспоненциал прогрессийн хуваагч bn-1 * 4 байх ба энд n нь бүхэл тоо юм. Энэ цувралын 5-аас 10-р элементийг багтаасан дүнг тодорхойлох шаардлагатай.
Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжгүй. Үүнийг 2 өөр аргаар шийдэж болно. Бүрэн дүүрэн байхын тулд бид хоёуланг нь танилцуулж байна.
Арга 1. Үүний санаа нь энгийн: эхний нөхцлийн харгалзах хоёр нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь нөгөөг нь нэгээс хасах шаардлагатай. Бид бага хэмжээг тооцоолно: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Одоо бид том нийлбэрийг тооцоолно: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Сүүлийн илэрхийлэлд зөвхөн 4 гишүүнийг нэгтгэсэн болохыг анхаарна уу, учир нь 5 дахь нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тооцоолох шаардлагатай нийлбэрт аль хэдийн орсон байна. Эцэст нь ялгааг авна уу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Арга 2. Тоонуудыг орлуулах, тоолохын өмнө тухайн цувралын m ба n гишүүдийн хоорондох нийлбэрийн томъёог гаргаж болно. Бид 1-р аргатай яг ижил зүйлийг хийдэг, зөвхөн бид эхлээд нийлбэрийн бэлгэдлийн дүрстэй ажилладаг. Бидэнд: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Үүссэн илэрхийлэлд та мэдэгдэж буй тоонуудыг орлуулж, эцсийн үр дүнг тооцоолж болно: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.
Бодлого дугаар 3. Хуваагч нь юу вэ?
Хязгааргүй нийлбэр нь 3 байх тохиолдолд геометр прогрессийн хуваагчийг a1 = 2 гэж олоорой, энэ нь буурч буй тооны цуваа гэдгийг мэддэг.
Асуудлын нөхцөлөөр үүнийг шийдэхийн тулд аль томъёог ашиглахыг таахад хялбар байдаг. Мэдээжийн хэрэг, дэвшлийн нийлбэрийн хувьд хязгааргүй буурч байна. Бидэнд: S∞ = a1 / (1 - b). Бид хуваагчийг илэрхийлдэг газраас: b = 1 - a1 / S∞. Энэ нь орлуулах хэвээр байна мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэшаардлагатай тоог авна уу: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 эсвэл -0.333 (3). Хэрэв бид энэ төрлийн дарааллын хувьд модуль b нь 1-ээс хэтрэхгүй байх ёстойг санаж байвал энэ үр дүнг чанарын хувьд шалгаж болно. Таны харж байгаагаар | -1 / 3 |
Асуудлын дугаар 4. Цуврал тоонуудыг сэргээх
Тоон цувааны 2 элементийг өгье, жишээлбэл, 5 дахь нь 30, 10 нь 60-тай тэнцүү. Энэ нь геометр прогрессийн шинж чанарыг хангаж байгааг мэдэж байгаа тул эдгээр өгөгдлөөс бүхэл цувааг сэргээх шаардлагатай.
Асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд мэдэгдэж буй гишүүн бүрийн харгалзах илэрхийлэлийг бичих хэрэгтэй. Бидэнд: a5 = b4 * a1 ба a10 = b9 * a1 байна. Одоо бид хоёр дахь илэрхийлэлийг эхнийх нь хуваавал: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Эндээс асуудлын нөхцөлөөс мэдэгдэж буй нэр томъёоны харьцааны тав дахь язгуурыг авч хуваагчийг тодорхойлно b = 1.148698. Бид үүссэн тоог мэдэгдэж буй элементийн илэрхийллүүдийн аль нэгэнд орлуулж, бид дараахийг авна: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
Ингээд bn прогрессийн хуваагч, геометр прогресс bn-1 * 17.2304966 = an, энд b = 1.148698 болохыг олж мэдэв.
Геометрийн прогрессийг хаана ашигладаг вэ?
Хэрэв энэ тооны цувралыг практикт ашиглахгүй байсан бол түүний судалгаа нь зөвхөн онолын сонирхол болж буурах болно. Гэхдээ ийм програм байдаг.
Хамгийн алдартай 3 жишээг доор харуулав.
- Ухаантай Ахиллес удаан яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй гэсэн Зеногийн парадокс нь тоонуудын хязгааргүй багасах дарааллын тухай ойлголтыг ашиглан шийддэг.
- Хэрэв та шатрын талбайн дөрвөлжин дээр 1 ширхэг, 2-т 2 ширхэг, 2-т 3 ширхэг, 3-т 3 ширхэг гэх мэтээр шатарны талбайн дөрвөлжин дээр тавьсан бол бүх квадратыг дүүргэхэд 18446744073709551615 ширхэг хэрэгтэй болно. самбар!
- Tower of Hanoi тоглоомонд дискийг нэг саваагаас нөгөөд шилжүүлэхийн тулд 2n - 1 үйлдэл хийх шаардлагатай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн тоо ашигласан дискний тоо n-ээр экспоненциалаар өсдөг.
Киевян гудамж, 16 0016 Армен, Ереван +374 11 233 255
Зарим цувралыг авч үзье.
7 28 112 448 1792...
Түүний аль нэг элементийн үнэ цэнэ өмнөхөөсөө яг дөрөв дахин их байх нь туйлын тодорхой юм. Энэ нь энэ цуврал нь ахиц дэвшил гэсэн үг юм.
Төгсгөлгүй тоон дарааллыг геометр прогресс гэж нэрлэдэг. гол онцлогЭнэ нь өмнөх тооноос тодорхой тоогоор үржүүлж дараагийн тоог гаргана гэсэн үг юм. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
a z +1 = a z q, энд z нь сонгосон элементийн тоо юм.
Үүний дагуу z ∈ N.
Сургуулийн геометрийн прогрессийг судлах үе бол 9-р анги юм. Жишээ нь танд ойлголтыг ойлгоход тусална:
0.25 0.125 0.0625...
Энэ томъёонд үндэслэн прогрессийн хуваагчийг дараах байдлаар олж болно.
q, b z аль нь ч тэг байж болохгүй. Мөн прогрессийн элемент бүр нь тэг байх ёсгүй.
Үүний дагуу цувралын дараагийн тоог олохын тулд та сүүлчийн тоог q-аар үржүүлэх хэрэгтэй.
Энэ прогрессийг тохируулахын тулд та түүний эхний элемент болон хуваагчийг зааж өгөх ёстой. Үүний дараа дараагийн гишүүд болон тэдгээрийн нийлбэрийг олох боломжтой.
Сортууд
q ба 1-ээс хамааран энэ прогрессийг хэд хэдэн төрөлд хуваана.
- Хэрэв 1 ба q хоёулаа нэгээс их байвал ийм дараалал нь дараагийн элемент бүрээр нэмэгдэж буй геометр прогресс болно. Ийм жишээг доор үзүүлэв.
Жишээ нь: a 1 = 3, q = 2 - хоёр параметр нь нэгээс их байна.
Дараа нь тоон дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно.
3 6 12 24 48 ...
- Хэрэв | q | нэгээс бага, өөрөөр хэлбэл түүгээр үржүүлэх нь хуваахтай тэнцүү бол ижил нөхцөлтэй прогресс нь буурч буй геометр прогресс болно. Ийм жишээг доор үзүүлэв.
Жишээ нь: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 нь нэгээс олон, q нь бага.
Дараа нь тоон дараалалингэж бичиж болно:
6 2 2/3 ... - дурын элемент нь дагасан элементээс 3 дахин том байна.
- Хувьсах тэмдэг. Хэрэв q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Жишээ: a 1 = -3, q = -2 - хоёр параметр нь тэгээс бага байна.
Дараа нь тоон дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно.
3, 6, -12, 24,...
Томъёо
Геометрийн прогрессийг ашиглахад тохиромжтой олон томъёо байдаг.
- z-р гишүүний томъёо. Өмнөх тоонуудыг тооцохгүйгээр тодорхой тоон дор байгаа зүйлийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.
Жишээ:q = 3, а 1 = 4. Прогрессийн дөрөв дэх элементийг тооцоолох шаардлагатай.
Шийдэл:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Тоо нь байгаа эхний элементүүдийн нийлбэр z... хүртэлх дарааллын бүх элементүүдийн нийлбэрийг тооцоолноa zбагтаасан.
Түүнээс хойш (1-q) хуваарьт байгаа бол (1 - q)≠ 0 тул q нь 1-тэй тэнцүү биш байна.
Тайлбар: хэрэв q = 1 бол прогресс нь хязгааргүй давтагдах тоонуудын цуваа байх болно.
Геометр прогрессийн нийлбэр, жишээнүүд:а 1 = 2, q= -2. S 5-ийг тооцоол.
Шийдэл:С 5 = 22 - томъёогоор тооцоолно.
- дүн нь |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Жишээ:а 1 = 2 , q= 0.5. Хэмжээг нь ол.
Шийдэл:С з = 2 · = 4
С з = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Зарим шинж чанарууд:
- Онцлог шинж чанар. Дараах нөхцөл байвал аль нэгнийх нь төлөө гүйцэтгэсэнz, тэгвэл өгөгдсөн тооны цуваа нь геометр прогресс болно:
a z 2 = a z -1 · аz + 1
- Мөн геометрийн прогрессийн аль ч тооны квадратыг өгөгдсөн мөрөнд байгаа бусад хоёр тооны квадратыг нэмж, хэрэв тэдгээр нь энэ элементээс ижил зайд байвал олно.
a z 2 = a z - т 2 + a z + т 2 , хаанат- эдгээр тоонуудын хоорондох зай.
- Элементүүдq-д ялгаатайнэг удаа.
- Прогрессийн элементүүдийн логарифмууд нь мөн прогресс үүсгэдэг, гэхдээ аль хэдийн арифметик, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь өмнөхөөсөө тодорхой тоогоор том байна.
Зарим сонгодог асуудлын жишээ
Геометрийн прогресс гэж юу болохыг илүү сайн ойлгохын тулд 9-р ангийн шийдэл бүхий жишээнүүд тусална.
- Нөхцөл:а 1 = 3, а 3 = 48. Олноq.
Шийдэл: дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө том байнаq нэг удаа.Зарим элементүүдийг хуваагч ашиглан бусдаар дамжуулан илэрхийлэх шаардлагатай.
Тиймээс,а 3 = q 2 · а 1
Орлуулах үедq= 4
- Нөхцөл:а 2 = 6, а 3 = 12. S 6-г тооцоол.
Шийдэл:Үүнийг хийхийн тулд эхний элемент болох q-г олж, томъёонд орлуулахад хангалттай.
а 3 = q· а 2 , тиймээс,q= 2
a 2 = q A 1,Тийм ч учраас a 1 = 3
S 6 = 189
- · а 1 = 10, q= -2. Прогрессийн дөрөв дэх элементийг ол.
Шийдэл: Үүний тулд дөрөв дэх элементийг эхний болон хуваагчаар илэрхийлэхэд хангалттай.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Хэрэглээний жишээ:
- Банкны үйлчлүүлэгч 10,000 рубльтэй тэнцэх хэмжээний хадгаламж хийсэн бөгөөд түүний нөхцлийн дагуу жил бүр үйлчлүүлэгч үндсэн төлбөрийн 6% -ийг үндсэн төлбөрт нэмнэ. 4 жилийн дараа дансанд хэдэн төгрөг байх вэ?
Шийдэл: Эхний дүн нь 10 мянган рубль юм. Энэ нь хөрөнгө оруулалт хийснээс хойш нэг жилийн дараа данс 10,000 + 10,000-тай тэнцэх хэмжээний мөнгөтэй болно гэсэн үг юм. · 0.06 = 10000 1.06
Үүний дагуу дахин нэг жилийн хугацаанд дансны дүнг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000
Энэ нь жил бүр энэ хэмжээ 1.06 дахин нэмэгддэг. Энэ нь 4 жилийн хугацаанд дансанд байгаа хөрөнгийн хэмжээг олохын тулд эхний элементээр 10 мянга, хуваагч нь 1.06-тай тэнцэх прогрессийн дөрөв дэх элементийг олоход хангалттай гэсэн үг юм.
S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
Нийлбэрийг тооцоолох даалгаврын жишээ:
Геометрийн прогрессийг янз бүрийн бодлогод ашигладаг. Нийлбэрийг олох жишээг дараах байдлаар өгч болно.
а 1 = 4, q= 2, тооцоолS 5.
Шийдэл: Тооцоонд шаардлагатай бүх өгөгдөл мэдэгдэж байгаа тул та тэдгээрийг томъёонд орлуулахад л хангалттай.
С 5 = 124
- а 2 = 6, а 3 = 18. Эхний зургаан элементийн нийлбэрийг тооцоол.
Шийдэл:
Геомд. Прогрессийн хувьд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө q дахин их байна, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийг тооцоолохын тулд та элементийг мэдэх хэрэгтэй.а 1 ба хуваагчq.
а 2 · q = а 3
q = 3
Үүний нэгэн адил та олох хэрэгтэйа 1 мэдэха 2 болонq.
а 1 · q = а 2
a 1 =2
С 6 = 728.
Геометрийн прогрессийн жишээ: 2, 6, 18, 54, 162.
Энд эхнийхээс хойшхи нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө 3 дахин их байна. Өөрөөр хэлбэл, дараагийн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнийг 3-аар үржүүлсний үр дүн юм.
2 3 = 6
6 3 = 18
18 3 = 54
54 3 = 162 .
Бидний жишээн дээр хоёр дахь гишүүнийг нэгдүгээрт, гурав дахь гишүүнийг хоёрдугаарт хуваах гэх мэт. бид 3-ыг авна. 3-ын тоо нь энэ геометр прогрессийн хуваагч юм.
Жишээ:
2, 6, 18, 54, 162 гэсэн геометр прогресс руу буцъя. Дөрөв дэх гишүүнийг аваад квадрат болго.
54 2 = 2916.
Одоо 54 гэсэн тооны баруун ба зүүн талд байгаа нөхцлүүдийг үржүүлье.
18 162 = 2916.
Таны харж байгаагаар гурав дахь гишүүний квадрат нь зэргэлдээх хоёр ба дөрөв дэх гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.
Жишээ 1: Эхний гишүүн нь 2, геометр прогрессийн хуваагч нь 1.5 байх тодорхой геометр прогрессийг ав. Энэ прогрессийн 4-р гишүүнийг олох шаардлагатай.
Өгөгдсөн:
б 1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
б 4 - ?
Шийдэл.
Томъёог хэрэглээрэй б н= b 1 q n- 1, түүнд харгалзах утгуудыг оруулах:
б 4 = 2 · 1.5 4 - 1 = 2 · 1.5 3 = 2 · 3.375 = 6.75.
Хариулах: Өгөгдсөн геометр прогрессийн дөрөв дэх гишүүн нь 6.75 тоо юм.
Жишээ 2: Нэг ба гурав дахь гишүүн нь 12 ба 192 байвал геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол.
Өгөгдсөн:
б 1 = 12
б 3 = 192
————
б 5 - ?
Шийдэл.
1) Эхлээд бид геометр прогрессийн хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүнгүйгээр асуудлыг шийдэх боломжгүй юм. Эхний алхам болгон томъёогоо ашиглан бид b 3-ийн томъёог гаргаж авна.
б 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2
Одоо бид геометр прогрессийн хуваагчийг олж болно.
б 3 192
q 2 = —— = —— = 16
б 1 12
q= √16 = 4 эсвэл -4.
2) Энэ нь утгыг олоход л үлддэг б 5 .
Хэрэв q= 4, тэгвэл
б 5 = б 1 q 5 - 1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.
At q= -4 үр дүн нь ижил байх болно. Тиймээс асуудал нэг шийдэлтэй байна.
Хариулах: Өгөгдсөн геометр прогрессийн тав дахь гишүүн нь 3072 тоо юм.
Жишээ: Геометр прогрессийн эхний таван гишүүний нийлбэрийг ол ( б н), эхний гишүүн нь 2, геометр прогрессийн хуваагч нь 3 байна.
Өгөгдсөн:
б 1 = 2
q = 3
n = 5
————
С 5 - ?
Шийдэл.
Бид дээрх хоёрын хоёр дахь аргыг хэрэглэнэ:
б 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
С 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2
Хариулах: Өгөгдсөн геометр прогрессийн эхний таван гишүүний нийлбэр нь 242.
Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэр.
"Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэр" ба "нийлбэр" гэсэн ойлголтуудыг ялгах шаардлагатай. nгеометр прогрессийн гишүүд ". Хоёрдахь ойлголт нь аливаа геометрийн прогрессийг хэлдэг бөгөөд эхнийх нь зөвхөн хуваагч нь үнэмлэхүй утгаараа 1-ээс бага байх үед л хамаарна.
