Амьдралын нөөц 

y x 3 3x функцийн судалгаа. Кузнецовын цуглуулгаас гарсан асуудлууд Л

Шийдвэрлэгч Кузнецов.
III График

Даалгавар 7. Функцийг бүрэн судалж, графикийг нь байгуул.

        Сонголтуудаа татаж эхлэхээсээ өмнө 3-р сонголтын жишээний дагуу асуудлыг шийдэж үзнэ үү. Зарим сонголтууд .rar форматаар архивлагдсан байна.

        7.3 Функцийн бүрэн судалгаа хийж, графикийг зурна

Шийдэл.

        1) Тодорхойлолтын хамрах хүрээ:         эсвэл        , өөрөөр хэлбэл        .
.
Тиймээс:         .

        2) Үхрийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй. Үнэн хэрэгтээ         тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.
        тул Oy тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй.

        3) Функц нь тэгш, сондгой ч биш. Ординат тэнхлэгт тэгш хэм байхгүй. Мөн гарал үүслийн хувьд тэгш хэм байхгүй. Учир нь
.
Бид         болон         гэдгийг харж байна.

        4) Функц нь тодорхойлолтын мужид тасралтгүй байна
.

; .

; .
Иймээс         цэг нь хоёр дахь төрлийн тасалдал (хязгааргүй тасархай) цэг юм.

5) Босоо асимптотууд:       

Ташуу асимптот         олъё. Энд

;
.
Тиймээс бид хэвтээ асимптоттой байна: y=0. Ташуу асимптот байхгүй.

        6) Эхний деривативыг олъё. Эхний дериватив:
.
Тэгээд энд яагаад
.
Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх суурин цэгүүдийг олъё, өөрөөр хэлбэл
.

        7) Хоёр дахь деривативыг олцгооё. Хоёр дахь дериватив:
.
Үүнийг шалгахад хялбар байдаг, учир нь


Даалгавар бол функцийг бүрэн судалж, графикийг нь бүтээх явдал юм.

Оюутан бүр ижил төстэй даалгавруудыг даван туулсан.

Цаашдын танилцуулга таамаглаж байна сайн мэдлэг. Хэрэв танд асуулт байвал энэ хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.


Функцийн судалгааны алгоритм нь дараах алхмуудаас бүрдэнэ.

    Функцийн тодорхойлолтын мужийг олох.

    Энэ нь функцийг судлахад маш чухал алхам юм, учир нь цаашдын бүх үйлдлийг тодорхойлолтын талбарт хийх болно.

    Бидний жишээн дээр бид хуваагчийн тэгийг олж, бодит тооны мужаас хасах хэрэгтэй.

    (Бусад жишээнүүдэд үндэс, логарифм гэх мэт байж болно. Эдгээр тохиолдолд тодорхойлолтын домэйныг дараах байдлаар хайдаг гэдгийг сануулъя:
    тэгш зэрэгтэй язгуурын хувьд, жишээлбэл, тодорхойлолтын муж нь тэгш бус байдлаас олддог;
    логарифмын хувьд - тодорхойлолтын мужийг тэгш бус байдлаас олно ).

    Тодорхойлолтын домайн хил дээрх функцийн зан төлөвийг судлах, босоо асимптотуудыг олох.

    Тодорхойлолтын домэйны хил дээр функц нь байна босоо асимптотууд, хэрэв эдгээр хилийн цэгүүд хязгааргүй бол.

    Бидний жишээнд тодорхойлолтын домэйны хилийн цэгүүд нь .

    Эдгээр цэгүүдэд зүүн ба баруун тийш ойртох үед функцийн үйлдлийг судалж үзье, үүний тулд бид нэг талын хязгаарыг олдог.

    Нэг талт хязгаар нь хязгааргүй тул шулуун шугамууд нь графикийн босоо асимптотууд юм.

    Функцийн тэгш эсвэл сондгой байдлыг шалгах.

    Функц нь бүр, Хэрэв . Функцийн паритет нь ординаттай харьцуулахад графикийн тэгш хэмийг илэрхийлдэг.

    Функц нь хачин, Хэрэв . Функцийн сондгой байдал нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад графикийн тэгш хэмийг илэрхийлдэг.

    Хэрэв тэгш байдлын аль нь ч хангагдаагүй бол бид ерөнхий хэлбэрийн функцтэй болно.

    Бидний жишээн дээр тэгш байдал хангагдсан тул бидний үүрэг тэгш байна. График байгуулахдаа бид үүнийг анхаарч үзэх болно - энэ нь ойн тэнхлэгт тэгш хэмтэй байх болно.

    Өсөх, буурах функцүүдийн интервал, экстремум цэгүүдийг олох.

    Өсөх ба буурах интервалууд нь тэгш бус байдлын шийдэл юм.

    Дериватив алга болох цэгүүдийг дуудна суурин.

    Функцийн чухал цэгүүдФункцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа тодорхойлолтын хүрээний дотоод цэгүүдийг тэд гэж нэрлэдэг.

    СЭТГЭГДЭЛ(өсөх, буурах интервалд чухал цэгүүдийг оруулах эсэх).

    Хэрэв функцийн домэйнд хамаарах бол бид өсөх ба буурах интервалд чухал цэгүүдийг оруулах болно.

    Тиймээс, нэмэгдэх ба буурах функцийн интервалыг тодорхойлох

    • эхлээд бид деривативыг олох;
    • хоёрдугаарт, бид чухал цэгүүдийг олдог;
    • гуравдугаарт, бид тодорхойлолтын хүрээг чухал цэгүүдээр интервалд хуваадаг;
    • дөрөвдүгээрт, интервал тус бүр дээр деривативын тэмдгийг тодорхойлно. Нэмэх тэмдэг нь өсөлтийн интервалд, хасах тэмдэг нь буурах интервалтай тохирно.

    Явцгаая!

    Бид тодорхойлолтын домэйн дээрх деривативыг олдог (хэрэв хүндрэл гарвал хэсгийг үзнэ үү).

    Бид үүнд чухал ач холбогдолтой цэгүүдийг олдог:

    Бид эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр зурж, үүссэн интервал бүрийн дотор деривативын тэмдгийг тодорхойлно. Эсвэл та интервал дахь дурын цэгийг авч, тухайн цэг дэх деривативын утгыг тооцоолж болно. Хэрэв утга эерэг байвал бид энэ цоорхой дээр нэмэх тэмдэг тавьж, дараагийнх руу шилжинэ, хэрэв сөрөг байвал хасах тэмдэг гэх мэт. Жишээ нь, , тиймээс бид зүүн талын эхний интервалаас дээш нэмэх тэмдэг тавьсан.

    Бид дүгнэж байна:

    Схемийн дагуу нэмэх/хасах нь дериватив эерэг/сөрөг байх интервалыг тэмдэглэнэ. Өсөх/буурах сумнууд нь өсөлт/бууралтын чиглэлийг харуулна.

    Функцийн экстремум цэгүүдфункц тодорхойлогдох ба дамжин өнгөрөх үүсмэл тэмдэг өөрчлөгддөг цэгүүд юм.

    Бидний жишээн дээр экстремум цэг нь x=0 байна. Энэ цэг дэх функцийн утга нь . Дериватив нь x=0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул (0; 0) нь орон нутгийн максимум цэг болно. (Хэрэв үүсмэл тэмдэг нь хасахаас нэмэх тэмдэг рүү өөрчлөгдсөн бол бид орон нутгийн хамгийн бага цэгтэй болно).

    Функцийн гүдгэр ба хотгорын интервал ба гулзайлтын цэгийг олох.

    Функцийн гүдгэр ба гүдгэрийн интервалыг тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх замаар олно.

    Заримдаа хонхорыг доошоо гүдгэр, гүдгэрийг дээшээ гүдгэр гэж нэрлэдэг.

    Энд, өсөлт, бууралтын интервалын талаархи догол мөртэй төстэй тайлбарууд бас хүчинтэй байна.

    Тиймээс, функцийн гүдгэр ба гүдгэр интервалыг тодорхойлох:

    • нэгдүгээрт, бид хоёр дахь деривативыг олох;
    • хоёрдугаарт, бид хоёр дахь деривативын хүртэгч ба хуваагчийн тэгийг олно;
    • гуравдугаарт, бид тодорхойлолтын хүрээг олж авсан цэгүүдээр интервалд хуваадаг;
    • дөрөвдүгээрт, бид интервал тус бүр дээр хоёр дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлно. Нэмэх тэмдэг нь хонхорын интервалтай, хасах тэмдэг нь гүдгэр интервалтай тохирно.

    Явцгаая!

    Бид тодорхойлолтын домэйн дээрх хоёр дахь деривативыг олдог.

    Бидний жишээн дээр тоологч хэсэгт тэг байхгүй, харин хуваарьт тэг байдаг.

    Бид эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр зурж, үүссэн интервал бүрийн дотор хоёр дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлно.

    Бид дүгнэж байна:

    цэг гэж нэрлэдэг гулзайлтын цэг, хэрэв өгөгдсөн цэг дээр функцийн графикт шүргэгч байвал функцийн хоёр дахь дериватив нь дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг.

    Өөрөөр хэлбэл, гулзайлтын цэгүүд нь хоёр дахь деривативын тэмдэгийг өөрчилдөг цэгүүд байж болно, энэ нь тэг эсвэл байхгүй, гэхдээ эдгээр цэгүүд нь функцийн тодорхойлолтод багтдаг.

    Бидний жишээн дээр нугалах цэг байхгүй, учир нь хоёр дахь дериватив нь цэгүүдээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэгт өөрчлөгддөг бөгөөд тэдгээр нь функцийн тодорхойлолтод ороогүй болно.

    Хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг олох.

    Хэвтээ эсвэл ташуу асимптотуудыг зөвхөн функц нь хязгааргүйд тодорхойлсон үед хайх хэрэгтэй.

    Ташуу асимптотуудшулуун шугам хэлбэрээр хайдаг, хаана ба .

    Хэрэв k=0 ба b нь хязгааргүйтэй тэнцүү биш бол ташуу асимптот болно хэвтээ.

    Эдгээр асимптотууд хэн бэ?

    Эдгээр нь функцийн график хязгааргүйд ойртож буй шугамууд юм. Тиймээс тэд функцийн графикийг зурахад маш их тустай.

    Хэрэв хэвтээ ба ташуу асимптот байхгүй, гэхдээ функц нь нэмэх хязгааргүй ба (эсвэл) хасах хязгааргүй гэж тодорхойлогддог бол та функцийн хязгаарыг нэмэх хязгааргүй ба (эсвэл) хасах хязгааргүй дээр тооцоолох хэрэгтэй. функцийн графикийн зан байдал.

    Бидний жишээн дээр

    - хэвтээ асимптот.

    Энэ нь функцийн судалгааг дуусгаж, бид график зурах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

    Бид завсрын цэгүүдэд функцийн утгыг тооцдог.

    Илүү нарийвчлалтай зурахын тулд бид завсрын цэгүүдээс (өөрөөр хэлбэл функцийн тодорхойлолтын аль ч цэгээс) хэд хэдэн функцийн утгыг олохыг зөвлөж байна.

    Бидний жишээн дээр бид функцийн утгыг x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4 цэгүүдээс олох болно. Функцийн паритетаас шалтгаалан эдгээр утгууд нь x=2, x=1, x=3/4, x=1/4 цэгүүдийн утгуудтай давхцах болно.

    График бүтээх.

    Эхлээд бид асимптотуудыг байгуулж, функцийн орон нутгийн максимум ба минимум, гулзайлтын цэг, завсрын цэгүүдийг зурна. График байгуулахад хялбар болгохын тулд та өсөлт, бууралт, гүдгэр, хонхорхойн интервалуудыг схемийн дагуу тодорхойлж болно, бид функцийг судалсан нь хоосон биш юм =).

    Тэмдэглэгдсэн цэгүүдээр график шугамыг зурж, асимптот руу ойртож, сумыг дагаж мөрдөхөд л үлддэг.

    Энэхүү дүрслэх урлагийн гайхамшигт бүтээлээр функцийг бүрэн судлах, график байгуулах ажлыг гүйцэтгэсэн.

Зарим энгийн функцүүдийн графикийг үндсэн энгийн функцүүдийн график ашиглан байгуулж болно.

Хэрэв асуудал нь f (x) = x 2 4 x 2 - 1 функцийг графикийн хамт бүрэн судлах шаардлагатай бол бид энэ зарчмыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Асуудлыг шийдэхийн тулд энэ төрлийнүндсэн энгийн функцүүдийн шинж чанар, графикийг ашиглах ёстой. Судалгааны алгоритм нь дараах алхмуудыг агуулна.

Тодорхойлолтын домэйныг олох

Функцийг тодорхойлох талбарт судалгаа хийгдэж байгаа тул энэ алхамаас эхлэх шаардлагатай байна.

Жишээ 1

Учир нь энэ жишээ ODZ-аас хасахын тулд хуваагчийн тэгийг олохыг хэлнэ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Үүний үр дүнд та үндэс, логарифм гэх мэтийг авч болно. Дараа нь ODZ-аас g (x) 4 төрлийн тэгш зэрэгтэй язгуурыг g (x) ≥ 0 тэгш бус байдал, a g (x) логгарифмын хувьд g (x) > 0 тэгш бус байдлаас хайж болно.

ODZ-ийн хил хязгаарыг судалж, босоо асимптотуудыг олох

Функцийн хил дээр босоо асимптотууд байдаг бөгөөд ийм цэгүүдийн нэг талт хязгаар нь хязгааргүй байдаг.

Жишээ 2

Жишээлбэл, х = ± 1 2-тэй тэнцүү хилийн цэгүүдийг авч үзье.

Дараа нь нэг талт хязгаарыг олох функцийг судлах шаардлагатай. Дараа нь бид үүнийг олж авна: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Энэ нь нэг талт хязгаар нь хязгааргүй гэдгийг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь x = ± 1 2 шулуун шугамууд нь графикийн босоо асимптотууд гэсэн үг юм.

Функц нь тэгш, сондгой эсэхийг судлах

y (- x) = y (x) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд функцийг тэгш гэж үзнэ. Энэ нь график нь Oy-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлаж байгааг харуулж байна. y (- x) = - y (x) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд функцийг сондгой гэж үзнэ. Энэ нь тэгш хэм нь координатын гарал үүсэлтэй холбоотой гэсэн үг юм. Хэрэв дор хаяж нэг тэгш бус байдал хангагдаагүй бол бид ерөнхий хэлбэрийн функцийг олж авна.

y (- x) = y (x) тэгш байдал нь функц тэгш байгааг харуулж байна. Барилга барихдаа Ойтой харьцуулахад тэгш хэмтэй байх болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд f " (x) ≥ 0 ба f " (x) ≤ 0 нөхцлөөр нэмэгдэх ба буурах интервалуудыг тус тус ашиглана.

Тодорхойлолт 1

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд- эдгээр нь деривативыг тэг болгодог цэгүүд юм.

Чухал цэгүүд- эдгээр нь функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа тодорхойлолтын домэйны дотоод цэгүүд юм.

Шийдвэр гаргахдаа дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

  • f "(x) > 0 хэлбэрийн тэгш бус байдлын өсөлт ба бууралтын одоо байгаа интервалуудын хувьд эгзэгтэй цэгүүдийг шийдэлд оруулаагүй болно;
  • Төгсгөлтэй деривативгүйгээр функц тодорхойлогдсон цэгүүд нь нэмэгдэх ба буурах интервалд багтах ёстой (жишээ нь, y = x 3, x = 0 цэг нь функцийг тодорхойлсон бол дериватив нь энэ үед хязгааргүй утгатай байна) цэг, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 нь нэмэгдэж буй интервалд орсон);
  • Санал зөрөлдөөнөөс зайлсхийхийн тулд Боловсролын яамнаас санал болгосон математикийн ном зохиолыг ашиглахыг зөвлөж байна.

Функцийн тодорхойлолтын хүрээг хангаж байвал эгзэгтэй цэгүүдийг нэмэгдүүлэх ба буурах интервалд оруулах.

Тодорхойлолт 2

Учир нь Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохдоо олох шаардлагатай:

  • дериватив;
  • чухал цэгүүд;
  • эгзэгтэй цэгүүдийг ашиглан тодорхойлолтын хүрээг интервал болгон хуваах;
  • интервал тус бүр дээрх деривативын тэмдгийг тодорхойлох ба энд + нь өсөлт, - бууралт юм.

Жишээ 3

f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) тодорхойлолтын домэйн дээрх деривативыг ол. 1) 2 .

Шийдэл

Шийдвэрлэхийн тулд танд хэрэгтэй:

  • хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олох, энэ жишээнд x = 0 байна;
  • хуваагчийн тэгийг олох, жишээ нь x = ± 1 2 үед тэг утгыг авна.

Бид тоон тэнхлэг дээр цэгүүдийг байрлуулж интервал бүр дээрх деривативыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд интервалаас дурын цэгийг авч, тооцооллыг хийхэд хангалттай. Хэрэв үр дүн эерэг байвал бид график дээр +-г дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь функц нэмэгдэж, харин - буурч байна гэсэн үг юм.

Жишээ нь, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, энэ нь зүүн талын эхний интервал нь + тэмдэгтэй гэсэн үг юм. Тооны мөрөнд бодоорой.

Хариулт:

  • функц нь интервал дээр нэмэгддэг - ∞; - 1 2 ба (- 1 2 ; 0 ] ;
  • интервалын бууралт байна [ 0 ; 1 2) ба 1 2 ; + ∞ .

Диаграммд + ба - ашиглан функцийн эерэг ба сөрөг талыг дүрсэлсэн бөгөөд сумнууд нь бууралт, өсөлтийг заана.

Функцийн экстремум цэгүүд нь функц тодорхойлогдсон цэгүүд бөгөөд үүсэл нь тэмдэг өөрчлөгддөг.

Жишээ 4

Хэрэв бид x = 0 байх жишээг авч үзвэл түүн дэх функцын утга нь f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0-тэй тэнцүү байна. Деривативын тэмдэг нь +-ээс - хүртэл өөрчлөгдөж, x = 0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд координат (0; 0) цэгийг хамгийн их цэг гэж үзнэ. Тэмдэг нь --ээс + болж өөрчлөгдөхөд бид хамгийн бага оноо авдаг.

Гүдгэр ба хотгорыг f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдэж тодорхойлно. Цөөн хэрэглэгддэг нь гүдгэрийн оронд доош гүдгэр, гүдгэрийн оронд дээшээ гүдгэр гэсэн нэр юм.

Тодорхойлолт 3

Учир нь хотгор ба гүдгэрийн интервалыг тодорхойлохшаардлагатай:

  • хоёр дахь деривативыг олох;
  • хоёр дахь дериватив функцийн тэгийг олох;
  • тодорхойлолтын талбайг харагдах цэгүүдтэй интервал болгон хуваах;
  • интервалын тэмдгийг тодорхойлно.

Жишээ 5

Тодорхойлолтын мужаас хоёр дахь деривативыг ол.

Шийдэл

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Бид хуваагч ба хуваагчийн тэгийг олдог бөгөөд бидний жишээн дээр бид хуваагчийн тэг нь x = ± 1 2 байна.

Одоо та тоон шулуун дээрх цэгүүдийг зурж, интервал бүрээс хоёр дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлох хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

Хариулт:

  • функц нь интервалаас гүдгэр байна - 1 2 ; 1 2 ;
  • функц интервалаас хотгор байна - ∞ ; - 1 2 ба 1 2; + ∞ .

Тодорхойлолт 4

Гулзайлтын цэг– энэ бол x 0 хэлбэрийн цэг; f (x 0) . Функцийн графикт шүргэгч байвал x 0-ийг дайран өнгөрөхөд функц тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хоёр дахь дериватив дамждаг цэг бөгөөд тэмдэг өөрчлөгддөг бөгөөд цэгүүд нь өөрөө тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна. Бүх цэгүүдийг функцийн муж гэж үзнэ.

Хоёрдахь дериватив нь x = ± 1 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгддөг тул жишээн дээр нугалах цэг байхгүй нь тодорхой байв. Тэд эргээд тодорхойлолтын хүрээнд ороогүй болно.

Хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг олох

Хязгааргүй функцийг тодорхойлохдоо хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг хайх хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 5

Ташуу асимптотуудшулуун шугам ашиглан дүрсэлсэн, тэгшитгэлээр өгөгдсөн y = k x + b, энд k = lim x → ∞ f (x) x ба b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0 ба b нь хязгааргүйтэй тэнцүү биш тохиолдолд ташуу асимптот болохыг олж мэднэ. хэвтээ.

Өөрөөр хэлбэл асимптотууд нь функцийн график хязгааргүйд ойртож буй шугамууд гэж тооцогддог. Энэ нь функцын графикийг хурдан бүтээхэд тусалдаг.

Хэрэв асимптот байхгүй боловч функц нь хоёр хязгааргүйд тодорхойлогддог бол функцийн график хэрхэн ажиллахыг ойлгохын тулд эдгээр хязгааргүйд функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай.

Жишээ 6

Үүнийг жишээ болгон авч үзье

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

хэвтээ асимптот юм. Функцийг шалгасны дараа та үүнийг бүтээж эхлэх боломжтой.

Завсрын цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох

Графикийг илүү нарийвчлалтай болгохын тулд завсрын цэгүүдээс хэд хэдэн функцийн утгыг олохыг зөвлөж байна.

Жишээ 7

Бидний авч үзсэн жишээнээс x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 цэгүүдээс функцийн утгыг олох шаардлагатай. Функц нь тэгш байдаг тул утгууд нь эдгээр цэгүүдийн утгуудтай давхцаж байгааг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 гэсэн утгыг авна.

Бичиж, шийдье:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Функцийн максимум ба минимум, гулзайлтын цэг, завсрын цэгүүдийг тодорхойлохын тулд асимптотуудыг байгуулах шаардлагатай. Тохиромжтой тэмдэглэгээний хувьд өсөлт, бууралт, гүдгэр, хотгорын интервалыг тэмдэглэнэ. Доорх зургийг харцгаая.

Тэмдэглэгдсэн цэгүүдээр график шугам зурах шаардлагатай бөгөөд энэ нь сумыг дагаж асимптотуудад ойртох боломжийг олгоно.

Энэ нь функцийн бүрэн судалгааг дуусгаж байна. Геометрийн хувиргалтыг ашигладаг зарим энгийн функцийг бий болгох тохиолдол байдаг.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Функцийн графикийг зурахдаа дараах төлөвлөгөөг баримтлах нь зүйтэй.

1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг олж, хэрэв байгаа бол тасалдлын цэгүүдийг тодорхойл.

2. Функц тэгш, сондгой, аль нь ч биш эсэхийг тодорхойлно. Хэрэв функц тэгш эсвэл сондгой бол түүний утгыг харгалзан үзэхэд хангалттай x>0, дараа нь OY тэнхлэг эсвэл координатын гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэйгээр утгуудын хувьд үүнийг сэргээнэ үү. x<0 .

3. Функцийг үечилсэн байдлыг шалгана уу. Хэрэв функц нь үе үе байвал үүнийг нэг үе дээр авч үзэхэд хангалттай.

4. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол (боломжтой бол)

5. Экстремум дахь функцийн судалгаа хийж, функцийн өсөлт буурах интервалыг ол.

6. Муруйн гулзайлтын цэгүүд болон функцын гүдгэр ба хотгорын интервалуудыг ол.

7. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

8. 1-7-р алхамуудын үр дүнг ашиглан функцийн графикийг байгуул. Заримдаа илүү нарийвчлалтай байхын тулд хэд хэдэн нэмэлт цэгүүд олддог; тэдгээрийн координатыг муруйн тэгшитгэлийг ашиглан тооцоолно.

Жишээ. Функцийг судлах y=x 3 -3xмөн график байгуулах.

1) Функц нь (-∞; +∞) интервал дээр тодорхойлогддог. Хагарах цэг байхгүй.

2) Функц нь хачирхалтай, учир нь f(-x) = -x 3 -3(-x) = -x 3 +3x = -f(x), тиймээс энэ нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

3) Функц нь үе үе биш юм.

4) Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0,тэдгээр. функцийн график нь координатын тэнхлэгүүдийг цэгүүдээр огтолж байна: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Боломжит экстремум цэгүүдийг ол: y′ = 3x 2 -3; 3х 2 -3=0; x =-1; x = 1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞) интервалд хуваана. Үүссэн интервал бүр дэх деривативын шинж тэмдгийг олцгооё.

Интервал дээр (-∞; -1) у′>0 –функц нэмэгдэнэ

Интервал дээр (-1; 1) y'<0 – функц буурч байна

Интервал дээр (1; +∞) у′>0 –функц нэмэгдэнэ. Цэг x =-1 - хамгийн их оноо; x = 1 - хамгийн бага оноо.

6) Гулзайлтын цэгүүдийг ол: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Цэг x = 0тодорхойлолтын мужийг (-∞; 0), (0; +∞) интервалд хуваана. Үр дүнгийн интервал бүрт хоёр дахь деривативын шинж тэмдгийг олцгооё.

Интервал дээр (-∞;0) чи''<0 – функц нь гүдгэр байна

Интервал дээр (0; +∞) y′′>0 –функц нь хонхор юм. x = 0- гулзайлтын цэг.

7) График нь асимптотгүй

8) Функцийн графикийг байгуулъя:

Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь байгуул.

1) Функцийн тодорхойлолтын муж нь (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥) интервалууд юм. Утгын хүрээ Энэ функц нь интервал (-¥; ¥) юм.



Функцийн таслах цэгүүд нь x = 1, x = -1 цэгүүд юм.

2) Функц нь хачирхалтай, учир нь .

3) Функц нь үе үе биш юм.

4) График нь (0; 0) цэг дээр координатын тэнхлэгүүдийг огтолж байна.

5) Чухал цэгүүдийг олох.

Чухал цэгүүд: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Бид функцын өсөлт ба буурах интервалыг олдог. Үүнийг хийхийн тулд функцийн деривативын тэмдгүүдийг интервалаар тодорхойлно.

-¥ < x< -, y¢> 0 бол функц нэмэгдэж байна

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ > 0 бол функц нэмэгдэнэ

Гол нь ойлгомжтой X= -нь хамгийн их цэг, мөн цэг X= нь хамгийн бага цэг юм. Эдгээр цэгүүдийн функцын утгууд нь 3/2 ба -3/2-тэй тэнцүү байна.

6) Функцийн хоёр дахь деривативыг ол

Ташуу асимптот тэгшитгэл: у = x.

8) Функцийн графикийг байгуулъя.

Энэ хичээл нь "Функц ба холбогдох асуудлуудыг судлах" сэдвийг хамарна. Энэ хичээл нь дериватив ашиглан график дүрслэх функцуудыг авч үзнэ. Функцийг судалж, графикийг нь байгуулж, холбогдох хэд хэдэн асуудлыг шийддэг.

Сэдэв: Дериватив

Хичээл: Функцийг судлахболон холбогдох ажлууд

Энэ функцийг судлах, график байгуулах, монотон байдлын интервал, максимум, минимум, энэ функцийн талаархи мэдлэгийг дагалддаг ямар асуудлуудыг олох шаардлагатай.

Эхлээд үүсмэл хэлбэргүйгээр функцээс өгсөн мэдээллийн давуу талыг бүрэн ашиглацгаая.

1. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олж, функцийн графикийн тоймыг зур.

1) Олъё.

2) Функцийн үндэс: , эндээс

3) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд (1-р зургийг үз):

Цагаан будаа. 1. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Одоо бид интервал болон график нь X тэнхлэгээс дээш, интервалд - X тэнхлэгээс доогуур байгааг бид мэднэ.

2. Үндэс тус бүрийн ойролцоо график байгуулъя (2-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 2. Үндэсний ойролцоо байрлах функцийн график.

3. Тодорхойлолтын муж дахь тасалдал бүрийн цэгийн ойролцоо функцийн графикийг байгуул. Тодорхойлолтын домэйн цэг дээр тасарна. Хэрэв утга нь цэгт ойрхон байвал функцийн утга нь хандлагатай байна (3-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 3. Тасралтын цэгийн ойролцоох функцийн график.

4. Хязгааргүй цэгүүдийн ойролцоо график хэрхэн ажиллахыг тодорхойлъё.

Үүнийг хязгаарыг ашиглан бичье

. Маш том утгуудын хувьд функц нь нэгдмэл байдлаас бараг ялгаагүй байх нь чухал юм.

Дериватив, түүний тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олъё, тэдгээр нь функцийн монотон байдлын интервалууд байх болно, дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг олж, хамгийн их цэг хаана, хамгийн бага цэг хаана байгааг олж мэдье.

Эндээс, . Эдгээр цэгүүд нь тодорхойлолтын хүрээний дотоод цэгүүд юм. Интервалууд дээр деривативын ямар тэмдэг байгааг олж мэдье, эдгээр цэгүүдийн аль нь хамгийн их цэг, аль нь хамгийн бага цэг болохыг олж мэдье (4-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 4. Деривативын тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Зураг дээрээс. 4 цэг нь хамгийн бага цэг, цэг нь хамгийн их цэг гэдгийг харж болно. Цэг дэх функцийн утга нь . Цэг дэх функцийн утга 4. Одоо функцийн графикийг байгуулъя (5-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 5. Функцийн график.

Ингээд бид барьсан функцийн график. Үүнийг тайлбарлая. Функц монотон буурах интервалуудыг бичье: , дериватив нь сөрөг байх интервалууд юм. Функц нь интервалууд дээр монотон нэмэгдэнэ. - хамгийн бага цэг, - дээд цэг.

Параметрийн утгуудаас хамаарч тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол.

1. Функцийн графикийг байгуул. Энэ функцийн графикийг дээр зурсан (5-р зургийг үз).

2. Графикийг шулуун шугамын бүлгээр задлан, хариултыг бичнэ үү (6-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 6. Функцийн графикийн шулуун шугамтай огтлолцол.

1) Хэзээ - нэг шийдэл.

2) Хэзээ - хоёр шийдэл.

3) Хэзээ - гурван шийдэл.

4) Хэзээ - хоёр шийдэл.

5) Хэзээ - гурван шийдэл.

6) Хэзээ - хоёр шийдэл.

7) Хэзээ - нэг шийдэл.

Тиймээс бид чухал асуудлуудын нэгийг шийдсэн, тухайлбал, параметрээс хамааран тэгшитгэлийн шийдлүүдийн тоог олох. Өөр өөр онцгой тохиолдлууд байж болно, жишээлбэл, нэг шийдэл, хоёр шийдэл, гурван шийдэл байх болно. Эдгээр онцгой тохиолдлууд, эдгээр онцгой тохиолдлуудын бүх хариултууд ерөнхий хариултанд агуулагдаж байгааг анхаарна уу.

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд (профайлын түвшин) ed. A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2009.

2. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном (профайлын түвшин), ed. A. G. Мордкович. -М.: Мнемосине, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебр ба математик шинжилгээ 10-р ангийн хувьд ( сургалтын гарын авлагабүхий сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан гүнзгийрүүлсэн судалгааматематик).-М.: Боловсрол, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Алгебр, математик анализын гүнзгийрүүлсэн судалгаа.-М.: Боловсрол, 1997.

5. Дээд боловсролын байгууллагад элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга (М.И. Сканави хянан засварласан - М.: Дээд сургууль, 1992).

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебрийн симулятор.-К.: A.S.K., 1997.

7. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебр ба анализын эхлэл. 8-11 анги: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангиудад зориулсан гарын авлага (дидактик материал) - М.: Bustard, 2002.

8. Сахакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Алгебрийн асуудал ба шинжилгээний зарчмууд (ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага - М.: Просвещение, 2003).

9. Карп А.П. Алгебрийн асуудлын цуглуулга ба шинжилгээний зарчмууд: сурах бичиг. 10-11 ангийн тэтгэмж. гүнтэй суралцсан Математик.-М.: Боловсрол, 2006.

10. Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. 9-10-р анги (багш нарт зориулсан гарын авлага).-М.: Боловсрол, 1983

Нэмэлт вэб нөөц

2. Портал Байгалийн шинжлэх ухаан ().

Гэртээ хий

No 45.7, 45.10 (Алгебр ба шинжилгээний эхлэл, 10-р анги (хоёр хэсэг). А. Г. Мордковичийн найруулсан ерөнхий боловсролын байгууллагын асуудлын ном (профайлын түвшин). - М.: Мнемосине, 2007.)