Хүчин чадлын функцийн график гэж юу вэ? Сэдвийн алгебрийн хичээлийн (10-р анги) чадлын функц, түүний шинж чанар, график танилцуулга

Лавлах өгөгдлийг өгдөг экспоненциал функц- үндсэн шинж чанар, график, томъёо. Дараахь асуудлуудыг авч үзнэ: тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц, нэг хэвийн байдал, урвуу функц, дериватив, интеграл, чадлын цуваа өргөтгөх, комплекс тоо ашиглан дүрслэх.

Агуулга

Экспоненциал функцийн шинж чанарууд

Экспоненциал функц y = a x нь бодит тооны олонлог () дээр дараах шинж чанартай байна.
(1.1) тодорхойлогдсон ба тасралтгүй, төлөө , бүх ;
(1.2) нь ≠ 1 олон утгатай;
(1.3) үед хатуу нэмэгддэг, -д хатуу буурдаг,
тогтмол байна;
(1.4) үед;
үед;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Бусад ашигтай томъёо.
.
Өөр экспонент суурьтай экспоненциал функц рүү хөрвүүлэх томъёо:

b = e үед бид экспоненциалаар дамжуулан экспоненциал функцийн илэрхийлэлийг олж авна.

Хувийн үнэт зүйлс

, , , , .

a суурийн өөр утгуудын хувьд y = a x.

Зураг дээр экспоненциал функцийн графикуудыг харуулав
y (x) = a x
дөрвөн утгын хувьд зэрэглэлийн суурь: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ба a = 1/8 . 1 Эндээс харахад > 0 < a < 1 экспоненциал функц нь монотоноор нэмэгддэг. А зэрэглэлийн суурь нь том байх тусам өсөлт нь хүчтэй болно. At

экспоненциал функц нь монотоноор буурдаг. a экспонент бага байх тусам бууралт хүчтэй болно.

Өсөх, уруудах

	Экспоненциал функц нь хатуу монотон тул экстремумгүй. Үүний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
у = сүх,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Тодорхойлолтын домэйн	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Утгын хүрээ	Монотон	монотоноор нэмэгддэг
монотоноор буурдаг 0	Тэг, у =	Тэг, у =
Үгүй 0	Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 1	Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

у=

Урвуу функц

a суурьтай экспоненциал функцийн урвуу нь а суурийн логарифм юм.
.
Хэрэв бол
.

Хэрэв бол

Экспоненциал функцийг ялгах Экспоненциал функцийг ялгахын тулд түүний суурийг e тоо болгон бууруулж, деривативын хүснэгт болон ялгах дүрмийг хэрэглэнэ..

нарийн төвөгтэй функц
Үүнийг хийхийн тулд логарифмын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй
.

ба деривативын хүснэгтээс томъёо:
.
Экспоненциал функцийг өгье:

Бид үүнийг үндсэн e-д авчирдаг:

Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлье. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг танилцуулна уу

Дараа нь
.
Деривативын хүснэгтээс бид (х хувьсагчийг z-ээр солино уу):
.
Тогтмол тул x-тэй харьцах z-ийн дериватив нь тэнцүү байна
.

Экспоненциал функцийн дериватив

.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Экспоненциал функцийг ялгах жишээ

Функцийн деривативыг ол
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 3 5 х

Шийдэл

Экспоненциал функцийн суурийг e тоогоор илэрхийлье.
3 = e ln 3
Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлье. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг танилцуулна уу
.
Хувьсагч оруулна уу
.
Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлье. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг танилцуулна уу

Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.
Түүнээс хойш 5 лн 3тогтмол бол z-ийн x-тэй холбоотой дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу бид:
.

Хариулах

Интеграл

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

Функцийг авч үзье нийлмэл тоо z:
е (z) = a z
Энд z = x + iy; 2 = - 1 .
би
А комплекс тогтмолыг r модуль ба φ аргументаар илэрхийлье.
Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлье. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг танилцуулна уу


.
a = r e i φ
φ = φ φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Ерөнхийдөө,
0 + 2 πn Энд n нь бүхэл тоо. Тиймээс функц f(z)
.

бас тодорхойгүй байна. Үүний гол ач холбогдлыг ихэвчлэн авч үздэг Эрчим хүчний функц хэлбэрийн функц юм y = x p

, энд p нь өгөгдсөн бодит тоо.

1. Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд Хэрэв индикатор p = 2n
   • - тэгш натурал тоо:
   • тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо, өөрөөр хэлбэл R багц;
   • утгын багц - сөрөг бус тоо, өөрөөр хэлбэл y ≥ 0;
   • функц жигд байна;
   функц x ≤ 0 интервал дээр буурч, x ≥ 0 интервал дээр нэмэгдэж байна. p = 2n илтгэгчтэй функцийн жишээ:.


2. Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд y = x 4 p = 2n - 1
   • - сондгой натурал тоо:
   • тодорхойлолтын домэйн - R багц;
   • утгын багц - R багц;
   • функц нь сондгой;
   функц бүхэлдээ бодит тэнхлэгт нэмэгдэж байна. p = 2n - 1 илтгэгч функцийн жишээ:.


3. Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд у = x 5 p = -2n , Хаана n
   • - натурал тоо:
   • утгын багц - сөрөг бус тоо, өөрөөр хэлбэл y ≥ 0;
   • утгын багц - эерэг тоо y > 0;
   функц x 0 интервал дээр нэмэгдэж байна. p = -2n илтгэгчтэй функцийн жишээ:.


4. Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд y = 1/x 2 p = -2n , Хаана n
   • p = -(2n - 1)
   • тодорхойлолтын домэйн - R багц, x = 0-ээс бусад;
   • утгын багц - R багц;
   • утгын багц - y = 0-ээс бусад R-г тохируулна;
   функц x 0 интервалаар буурч байна. p = -(2n - 1) илтгэгч функцийн жишээ:.


5. Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд y = 1/x 3х
   • - эерэг бодит бүхэл бус тоо:
   • тодорхойлолтын домэйн - сөрөг бус тоонууд x ≥ 0;
   • утгын багц - сөрөг бус тоо y ≥ 0;
   функц x ≥ 0 интервал дээр нэмэгдэж байна. p нь эерэг бодит бус бүхэл тоо болох р илтгэгчтэй функцийн жишээ:.


6. Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд y = 1/x 3 y = x 4/3
   • - сөрөг бодит бүхэл бус тоо:
   • - натурал тоо:
   • тодорхойлолтын домэйн - эерэг тоо x> 0;
   функц x > 0 интервал дээр буурч байна. р илтгэгчтэй функцийн жишээ, энд p нь сөрөг бодит бус бүхэл тоо:.

y = x -1/3 Та функцуудыг мэддэг үү y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x гэх мэт Эдгээр бүх функцууд нь чадлын функцийн онцгой тохиолдлууд, өөрөөр хэлбэл функц юм y = x p
Хүчин чадлын функцийн шинж чанар ба график нь бодит илтгэгчтэй чадлын шинж чанар, ялангуяа түүний утгуудаас ихээхэн хамаардаг. xТэгээд хзэрэг нь утга учиртай x y = 1/x 3. Үүнээс хамааран янз бүрийн тохиолдлуудыг ижил төстэй байдлаар авч үзье
илтгэгч х.

1. Үзүүлэлт p=2n- тэгш натурал тоо.

y=x2n p = -2n , Хаана- натурал тоо нь дараах байдалтай байна

шинж чанарууд:

• - тэгш натурал тоо:
• утгын багц - сөрөг бус тоо, өөрөөр хэлбэл y нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна;
• функц y=x2nтэр ч байтугай, учир нь x 2n=(- x) 2n
• функц интервал дээр буурч байна x<0 мөн интервалаар нэмэгддэг x>0.

Функцийн график y=x2nжишээ нь функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна y=x 4.

2. Заагч p=2n-1- сондгой натурал тоо
Энэ тохиолдолд эрчим хүчний функц y=x2n-1, натурал тоо нь дараах шинж чанартай байна.

• - сондгой натурал тоо:
• тодорхойлолтын домэйн - R багц;
• функц y=x2n-1хачирхалтай, оноос хойш (- x) 2n-1=x2n-1;
• функц нь сондгой;

Функцийн график y=x 2n-1 нь жишээлбэл функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна y=x 3 .

3.Заагч p=-2n, Хаана n-натурал тоо.

Энэ тохиолдолд эрчим хүчний функц y=x -2n =1/x 2nдараах шинж чанаруудтай:

• тодорхойлолтын домэйн - R багц, x=0-ээс бусад;
• утгын багц - эерэг тоо y>0;
• функц y =1/x2nтэр ч байтугай, учир нь 1/(-x)2n=1/х 2н;
• функц x интервал дээр нэмэгдэж байна<0 и убывающей на промежутке x>0.

y функцийн график =1/x2nжишээ нь у функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна =1/х 2.

Үндсэн энгийн функцууд, тэдгээрийн төрөлх шинж чанарууд ба харгалзах графикууд нь үржүүлэх хүснэгттэй адил ач холбогдолтой математикийн мэдлэгийн нэг үндэс юм. Анхан шатны функцууд нь онолын бүх асуудлыг судлах үндэс суурь, дэмжлэг юм.

Доорх нийтлэлийг өгнө гол материалүндсэн үндсэн функцүүдийн сэдвээр. Бид нэр томъёог танилцуулж, тэдэнд тодорхойлолт өгөх болно; Энгийн функцүүдийн төрөл тус бүрийг нарийвчлан судалж, тэдгээрийн шинж чанарыг шинжлэхийг үзье.

Дараах үндсэн үндсэн функцуудыг ялгаж үздэг.

Тодорхойлолт 1

• тогтмол функц (тогтмол);
• n-р үндэс;
• цахилгаан функц;
• экспоненциал функц;
• логарифм функц;
• тригонометрийн функцууд;
• ах дүүсийн тригонометрийн функцууд.

Тогтмол функц нь: y = C (C нь тодорхой бодит тоо) томъёогоор тодорхойлогддог бөгөөд мөн тогтмол нэртэй байдаг. Энэ функц нь аль ч функцтэй таарч байна бодит үнэ цэнэ y хувьсагчийн ижил утгын бие даасан хувьсагч х – утга С.

Тогтмол хэмжигдэхүүний график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель, координаттай (0, C) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Ойлгомжтой болгох үүднээс y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 тогтмол функцуудын графикуудыг (зураг дээр хар, улаан, цэнхэр өнгөөр ​​тус тус харуулсан) үзүүлэв.

Тодорхойлолт 2

Энэхүү энгийн функцийг y = x n (n нь нэгээс их натурал тоо) томъёогоор тодорхойлно.

Функцийн хоёр хувилбарыг авч үзье.

1. n-р үндэс, n – тэгш тоо

Тодорхой болгохын тулд бид ийм функцүүдийн графикийг харуулсан зургийг зааж өгсөн болно. y = x, y = x 4 ба y = x8. Эдгээр шинж чанарууд нь өнгөт кодлогдсон: хар, улаан, цэнхэр.

Тэгш зэрэгтэй функцийн графикууд экспонентийн бусад утгуудын хувьд ижил төстэй харагдаж байна.

Тодорхойлолт 3

n-р язгуур функцын шинж чанарууд, n нь тэгш тоо юм

• тодорхойлолтын домэйн – бүх сөрөг бус бодит тоонуудын багц [ 0 , + ∞ ) ;
• x = 0 үед функц y = x n нь тэгтэй тэнцүү утгатай;
• өгсөн функц-функц ерөнхий үзэл(тэгш биш, сондгой биш);
• муж: [ 0 , + ∞) ;
• тэгш язгуур илтгэгчийн хувьд энэ функц y = x n нь тодорхойлолтын бүх муж даяар нэмэгддэг;
• функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд дээш чиглэсэн гүдгэр хэлбэртэй;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• асимптот байхгүй;
• тэгш n-ийн функцийн график (0; 0) ба (1; 1) цэгүүдээр дамждаг.

1. n-р үндэс, n – сондгой тоо

Ийм функц нь бүхэл бүтэн бодит тоон дээр тодорхойлогддог. Тодорхой болгохын тулд функцүүдийн графикийг анхаарч үзээрэй y = x 3 , y = x 5 ба x 9. Зурган дээр тэдгээрийг өнгөөр ​​​​тодорхойлсон болно: хар, улаан ба цэнхэрба муруй тус тус.

y = x n функцийн үндэс илтгэгчийн бусад сондгой утгууд нь ижил төрлийн графикийг өгнө.

Тодорхойлолт 4

n-р язгуур функцийн шинж чанарууд, n нь сондгой тоо

• тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоонуудын багц;
• энэ функц нь сондгой;
• утгын хүрээ - бүх бодит тоонуудын багц;
• сондгой язгуур илтгэгчийн y = x n функц нь тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгддэг;
• функц нь интервал дээр хотгортой (- ∞ ; 0 ], [ 0 , + ∞) интервал дээр гүдгэр;
• гулзайлтын цэг нь координаттай (0; 0);
• асимптот байхгүй;
• Сондгой n-ийн функцийн график (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ба (1 ; 1) цэгүүдээр дамждаг.

бас тодорхойгүй байна. Үүний гол ач холбогдлыг ихэвчлэн авч үздэг

Тодорхойлолт 5

Хүчин чадлын функцийг y = x a томъёогоор тодорхойлно.

Графикуудын харагдах байдал, функцийн шинж чанарууд нь экспонентийн утгаас хамаарна.

• Хэрэв чадлын функц нь бүхэл тоо a гэсэн илтгэгчтэй бол тухайн илтгэгч тэгш эсвэл сондгой эсэх, мөн илтгэгч ямар тэмдэгтэй байгаагаас чадлын функцийн графикийн төрөл, түүний шинж чанарууд хамаарна. Эдгээр бүх онцгой тохиолдлуудыг доор дэлгэрэнгүй авч үзье;
• экспонент нь бутархай эсвэл иррациональ байж болно - үүнээс хамааран графикийн төрөл, функцийн шинж чанарууд өөр өөр байдаг. Бид хэд хэдэн нөхцөлийг тогтоох замаар онцгой тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• чадлын функц нь тэг үзүүлэлттэй байж болно.

Эрчим хүчний функцэд дүн шинжилгээ хийцгээе y = x a, a нь сондгой эерэг тоо байх үед, жишээлбэл, a = 1, 3, 5...

Тодорхой болгохын тулд бид ийм чадлын функцүүдийн графикуудыг зааж өгсөн болно: y = x (хар график өнгө), y = x 3 (графикийн цэнхэр өнгө), y = x 5 (графикийн улаан өнгө), y = x 7 (график өнгө ногоон). a = 1 үед бид авна шугаман функцу = x.

Тодорхойлолт 6

Экспонент нь сондгой эерэг үед чадлын функцийн шинж чанарууд

• функц нь x ∈ (- ∞ ; + ∞) -ийн хувьд нэмэгдэж байна;
• функц нь x ∈ (- ∞ ; 0 ] хувьд гүдгэр, х ∈ [ 0 ; + ∞) -ийн хувьд хотгортой (шугаман функцийг эс тооцвол);
• гулзайлтын цэг нь координаттай (0 ; 0) (шугаман функцээс бусад);
• асимптот байхгүй;
• функцийн дамжих цэгүүд: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Эрчим хүчний функцэд дүн шинжилгээ хийцгээе y = x a, a нь тэгш эерэг тоо байх үед, жишээ нь, a = 2, 4, 6...

Тодорхой болгохын тулд бид ийм чадлын функцүүдийн графикийг харуулав. y = x 2 (хар график өнгө), y = x 4 (графикийн цэнхэр өнгө), y = x 8 (графикийн улаан өнгө). a = 2 үед бид авна квадрат функц, график нь квадрат парабол юм.

Тодорхойлолт 7

Экспонент эерэг байх үед чадлын функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• x ∈-ийн хувьд буурах (- ∞ ; 0 ] ;
• функц нь x ∈ (- ∞ ; + ∞)-ийн хувьд хотгортой;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• асимптот байхгүй;
• функцийн дамжих цэгүүд: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Доорх зурагт чадлын функцын графикуудын жишээг харуулав а нь сондгой сөрөг тоо байх үед y = x a: y = x - 9 (хар график өнгө); y = x - 5 (графикийн цэнхэр өнгө); y = x - 3 (графикийн улаан өнгө); y = x - 1 (график өнгө ногоон). a = - 1 үед бид урвуу пропорциональ байдлыг олж авдаг бөгөөд түүний график нь гипербол юм.

Тодорхойлолт 8

Экспонент нь сондгой сөрөг байх үеийн чадлын функцийн шинж чанарууд:

x = 0 үед lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, … байх тул бид хоёр дахь төрлийн тасалдлыг олж авна. Тиймээс x = 0 шулуун шугам нь босоо асимптот;

• муж: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функц нь сондгой, учир нь y (- x) = - y (x);
• функц нь x ∈ - ∞-ийн хувьд буурч байна; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функц нь x ∈ (- ∞ ; 0) хувьд гүдгэр, х ∈ (0 ; + ∞) хувьд хотгортой;
• гулзайлтын цэг байхгүй;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 байх үед a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• функцийн дамжих цэгүүд: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Доорх зурагт а нь тэгш сөрөг тоо байх үед y = x a чадлын функцийн графикуудын жишээг үзүүлэв. y = x - 8 (хар график өнгө); y = x - 4 (графикийн цэнхэр өнгө); y = x - 2 (графикийн улаан өнгө).

Тодорхойлолт 9

Экспонент нь бүр сөрөг байх үед чадлын функцийн шинж чанарууд:

• Тодорхойлолтын муж: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x = 0 үед lim x → 0 - 0 x a = + ∞, a = - 2, - 4, - 6, …-ийн хувьд lim x → 0 + 0 x a = + ∞ байх тул бид хоёр дахь төрлийн тасалдлыг олж авна. Тиймээс x = 0 шулуун шугам нь босоо асимптот;

• функц нь тэгш, учир нь y(-x) = y(x);
• функц x ∈ (- ∞ ; 0) үед нэмэгдэж, x ∈ 0 үед буурч байна; + ∞ ;
• функц нь x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) үед хотгортой;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• хэвтээ асимптот – шулуун шугам y = 0, учир нь:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 үед a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• функцийн дамжих цэгүүд: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Анхнаасаа дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй: a нь сондгой хуваарьтай эерэг бутархай байх тохиолдолд зарим зохиогчид энэ чадлын функцийг тодорхойлох муж болгон - ∞ интервалыг авдаг; + ∞ , a илтгэгчийг бууруулж болохгүй бутархай гэж заасан. Асаалттай одоогооролон зохиолчид боловсролын хэвлэлүүдАлгебр болон шинжилгээний зарчмуудад аргументийн сөрөг утгуудын хувьд экспонент нь сондгой хуваагчтай бутархай байх үед чадлын функцийг ТОГТООХГҮЙ. Цаашид бид яг энэ байр суурийг баримтлах болно: бид багцыг авах болно [ 0 ; + ∞). Оюутнуудад өгөх зөвлөмж: санал зөрөлдөхөөс зайлсхийхийн тулд энэ талаар багшийн байр суурийг олж мэдээрэй.

Тиймээс, эрчим хүчний функцийг харцгаая y = x a , илтгэгч нь рационал эсвэл иррационал тоо байх үед 0 байвал.< a < 1 .

Хүчин чадлын функцуудыг графикаар харуулъя y = x a үед a = 11 12 (график өнгө хар); a = 5 7 (графикийн улаан өнгө); a = 1 3 (графикийн цэнхэр өнгө); a = 2 5 (графикийн ногоон өнгө).

Экспонентийн бусад утгууд (0-г өгсөн< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Тодорхойлолт 10

0 дэх чадлын функцийн шинж чанарууд< a < 1:

• муж: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• функц нь x ∈ [ 0-ийн хувьд нэмэгдэж байна; + ∞);
• функц нь x ∈ (0 ; + ∞)-ийн хувьд гүдгэр;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• асимптот байхгүй;

Эрчим хүчний функцэд дүн шинжилгээ хийцгээе y = x a, илтгэгч нь бүхэл бус рационал эсвэл иррационал тоо байх үед a > 1 байвал.

Хүчин чадлын функцийг графикаар харуулъя Өгөгдсөн нөхцөлд y = x a дараах функцуудыг жишээ болгон ашиглана: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (хар, улаан, цэнхэр, ногоон график тус ​​тус).

a>1 гэж заасан экспонентийн бусад утгууд ижил төстэй графикийг өгнө.

Тодорхойлолт 11

a > 1-ийн чадлын функцын шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ [ 0 ; + ∞);
• муж: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• функц нь x ∈ [ 0-ийн хувьд нэмэгдэж байна; + ∞);
• функц нь x ∈ (0 ; + ∞)-ийн хувьд хотгортой байна (1 үед< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• асимптот байхгүй;
• функцийн дамжих цэгүүд: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

А нь сондгой хуваарьтай сөрөг бутархай байх үед зарим зохиолчдын бүтээлүүдэд тодорхойлолтын домэйн нь дараах байдалтай байна гэдгийг анхаарна уу! энэ тохиолдолд– интервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) нь а илтгэгчийг бууруулж болшгүй бутархай гэдгийг анхаарна уу. Одоогоор зохиогчид боловсролын материалалгебр, шинжилгээний зарчмуудад аргументийн сөрөг утгуудын хувьд сондгой хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илтгэгчтэй чадлын функцийг БҮҮ ТОДОРХОЙЛ. Цаашилбал, бид яг ийм үзэл баримтлалыг баримталдаг: бид (0 ; + ∞) олонлогийг бутархай сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцүүдийн тодорхойлолтын муж болгон авдаг. Оюутнуудад зориулсан зөвлөмж: Энэ үед санал зөрөлдөхөөс зайлсхийхийн тулд багшийнхаа алсын харааг тодорхой болго.

Сэдвээ үргэлжлүүлж, чадлын функцэд дүн шинжилгээ хийцгээе y = x a өгөгдсөн: - 1< a < 0 .

y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (хар, улаан, хөх, ногоон өнгөтэй) функцүүдийн графикийн зургийг үзүүлье. шугамууд тус тус).

Тодорхойлолт 12

Эрчим хүчний функцийн шинж чанарууд - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ үед - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• муж: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• гулзайлтын цэг байхгүй;

Доорх зурган дээр y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (хар, улаан, цэнхэр, ногоон өнгөмуруй тус тус).

Тодорхойлолт 13

А-д зориулсан чадлын функцийн шинж чанарууд< - 1:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ үед a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• муж: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• функц нь x ∈ 0-ийн хувьд буурч байна; + ∞ ;
• функц нь x ∈ 0-ийн хувьд хотгортой; + ∞ ;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• хэвтээ асимптот – шулуун шугам y = 0;
• функцийн дамжих цэг: (1; 1) .

a = 0 ба x ≠ 0 үед бид (0; 1) цэгийг хассан шугамыг тодорхойлох y = x 0 = 1 функцийг олж авна (0 0 илэрхийлэлд ямар ч утга өгөхгүй гэж тохиролцсон. ).

Экспоненциал функц нь хэлбэртэй байна y = a x, энд a > 0 ба a ≠ 1 байх ба энэ функцын график нь a суурийн утгаас хамаарч өөр харагдаж байна. Онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

Эхлээд экспоненциал функцийн суурь нь тэгээс нэг (0) хүртэлх утгатай байх нөхцөл байдлыг харцгаая.< a < 1) . Сайн жишээ бол a = 1 2 (муруйны цэнхэр өнгө) ба a = 5 6 (муруйны улаан өнгө) функцуудын графикууд юм.

Экспоненциал функцийн графикууд нь 0 нөхцлийн дагуу суурийн бусад утгуудын хувьд ижил төстэй харагдах болно< a < 1 .

Тодорхойлолт 14

Суурь нь нэгээс бага үед экспоненциал функцийн шинж чанарууд:

• муж: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• Суурь нь нэгээс бага экспоненциал функц нь тодорхойлолтын бүх мужид буурч байна;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• хэвтээ асимптот – y = 0 шулуун шугам, х хувьсагч + ∞ хандлагатай;

Одоо экспоненциал функцийн суурь нь нэгээс (a > 1) их байх тохиолдлыг авч үзье.

Энэхүү онцгой тохиолдлыг y = 3 2 x (муруйны цэнхэр өнгө) ба y = e x (графикийн улаан өнгө) экспоненциал функцийн графикаар дүрсэлцгээе.

Суурийн бусад утгууд, том нэгжүүд нь экспоненциал функцийн графиктай ижил төстэй харагдах болно.

Тодорхойлолт 15

Суурь нь нэгээс их байх үеийн экспоненциал функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн - бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц;
• муж: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• Суурь нь нэгээс их экспоненциал функц x ∈ - ∞ болж нэмэгдэж байна; + ∞ ;
• функц нь x ∈ - ∞ үед хотгортой; + ∞ ;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• хэвтээ асимптот – шулуун шугам y = 0 - ∞ хандлагатай х хувьсагчтай;
• функцийн дамжих цэг: (0; 1) .

Логарифм функц нь y = log a (x) хэлбэртэй бөгөөд a > 0, a ≠ 1 байна.

Ийм функцийг зөвхөн аргументийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлно: x ∈ 0-ийн хувьд; + ∞ .

Логарифм функцийн график нь байна өөр төрлийн, суурь a-ийн утгад үндэслэсэн.

Эхлээд 0 байх үеийн нөхцөл байдлыг авч үзье< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Илүү том нэгж биш суурийн бусад утгууд нь ижил төрлийн графикийг өгөх болно.

Тодорхойлолт 16

Суурь нь нэгээс бага үед логарифм функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ 0 ; + ∞ . X нь баруун талаасаа тэг рүү чиглэдэг тул функцийн утга нь +∞ байх хандлагатай байна;
• муж: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• логарифм
• функц нь x ∈ 0-ийн хувьд хотгортой; + ∞ ;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• асимптот байхгүй;

Одоо логарифмын функцийн суурь нэгээс их байх онцгой тохиолдлыг харцгаая: a > 1 . Доорх зурган дээр y = log 3 2 x ба y = ln x логарифм функцүүдийн графикуудыг (графикуудын хөх ба улаан өнгө) үзүүлэв.

Нэгээс их суурийн бусад утгууд нь ижил төрлийн графикийг өгнө.

Тодорхойлолт 17

Суурь нь нэгээс их бол логарифм функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ 0 ; + ∞ . X нь баруун талаас тэг рүү чиглэдэг тул функцийн утга нь - ∞ байх хандлагатай байна;
• муж: y ∈ - ∞ ; + ∞ (бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц);
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм (энэ нь сондгой, тэгш биш);
• логарифмын функц нь x ∈ 0-ийн хувьд нэмэгдэж байна; + ∞ ;
• функц нь x ∈ 0-ийн хувьд гүдгэр; + ∞ ;
• гулзайлтын цэг байхгүй;
• асимптот байхгүй;
• функцийн дамжих цэг: (1; 0) .

Тригонометрийн функцууд нь синус, косинус, тангенс, котангенс юм. Тэдгээрийн тус бүрийн шинж чанар болон холбогдох графикуудыг харцгаая.

Ерөнхийдөө бүх тригонометрийн функцууд нь үечилсэн шинж чанараараа тодорхойлогддог, i.e. функцын утгууд давтагдах үед өөр өөр утгатай f (x + T) = f (x) (T – үе) үеээр бие биенээсээ ялгаатай аргументууд. Тиймээс тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудын жагсаалтад "хамгийн бага эерэг үе" гэсэн зүйлийг нэмж оруулав. Нэмж дурдахад бид харгалзах функц тэг болох аргументуудын утгыг зааж өгөх болно.

1. Синусын функц: y = sin(x)

Энэ функцийн графикийг синусын долгион гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 18

Синусын функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: бодит тооны бүхэл бүтэн багц x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• x = π · k үед функц алга болно, k ∈ Z (Z нь бүхэл тооны олонлог);
• функц нь x ∈ - π 2 + 2 π · k -ийн хувьд нэмэгдэж байна; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ба x ∈ π 2 + 2 π · k-ийн хувьд буурах; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• синус функц нь π 2 + 2 π · k цэгүүдэд орон нутгийн максимумтай; 1 ба орон нутгийн минимумууд - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• x ∈ - π + 2 π · k үед синусын функц нь хонхор байна; x ∈ 2 π · k үед 2 π · k, k ∈ Z ба гүдгэр; π + 2 π k, k ∈ Z;
• асимптот байхгүй.

1. Косинусын функц: у = cos(x)

Энэ функцийн графикийг косинусын долгион гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 19

Косинусын функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• хамгийн бага эерэг үе: T = 2 π;
• утгын хүрээ: y ∈ - 1 ; 1 ;
• y (- x) = y (x) тул энэ функц тэгш байна;
• функц нь x ∈ - π + 2 π · k -ийн хувьд нэмэгдэж байна; 2 π · k, k ∈ Z ба x ∈ 2 π · k-ийн хувьд буурах; π + 2 π k, k ∈ Z;
• косинусын функц нь 2 π · k цэгүүдэд орон нутгийн максимумтай байна; 1, k ∈ Z ба π + 2 π · k цэгүүдийн орон нутгийн минимумууд; - 1, k ∈ z;
• x ∈ π 2 + 2 π · k үед косинусын функц нь хонхор байна; x ∈ - π 2 + 2 π · k үед 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ба гүдгэр; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• гулзайлтын цэгүүд нь координат π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптот байхгүй.

1. Тангенсийн функц: y = t g (x)

Энэ функцийн графикийг нэрлэнэ шүргэгч.

Тодорхойлолт 20

Тангенсийн функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, энд k ∈ Z (Z нь бүхэл тооны олонлог);
• lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → Тодорхойлолтын мужын зааг дээрх шүргэгч функцийн зан төлөв. . Тиймээс x = π 2 + π · k k ∈ Z шулуун шугамууд нь босоо асимптотууд;
• k ∈ Z-ийн хувьд x = π · k үед функц алга болно (Z нь бүхэл тооны олонлог);
• муж: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• y (- x) = - y (x) тул энэ функц сондгой;
• функц нь нэмэгдэж байна - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• шүргэгч функц нь x ∈ [π · k-ийн хувьд хотгор; π 2 + π · k) , k ∈ Z ба гүдгэр нь x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• гулзайлтын цэгүүд нь координатуудтай π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Котангентын функц: y = c t g (x)

Энэ функцийн графикийг котангентоид гэж нэрлэдэг. .

Тодорхойлолт 21

Котангенсийн функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ (π · k ; π + π · k) , энд k ∈ Z (Z нь бүхэл тооны олонлог);

lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , тодорхойлолтын мужын зааг дээрх котангенсийн функцийн зан төлөв. Тиймээс x = π · k k ∈ Z шулуун шугамууд нь босоо асимптотууд;

• хамгийн бага эерэг үе: T = π;
• k ∈ Z-ийн хувьд x = π 2 + π · k үед функц алга болно (Z нь бүхэл тооны олонлог);
• муж: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• y (- x) = - y (x) тул энэ функц сондгой;
• функц нь x ∈ π · k -ийн хувьд буурч байна; π + π k, k ∈ Z;
• котангентын функц нь x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ба гүдгэр нь x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z хувьд хотгор;
• гулзайлтын цэгүүд нь координат π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• налуу ба хэвтээ асимптотуудбайхгүй байна.

Урвуу тригонометрийн функцууд нь арксин, арккосин, арктангенс, арккотангенс юм. Ихэнхдээ нэрэнд "нуман" угтвар байдаг тул урвуу тригонометрийн функцийг нуман функц гэж нэрлэдэг. .

1. Нумын синусын функц: y = a r c sin (x)

Тодорхойлолт 22

Арксинус функцийн шинж чанарууд:

• y (- x) = - y (x) тул энэ функц сондгой;
• arcsine функц нь x ∈ 0-ийн хувьд хотгортой; 1 ба x ∈ - 1-ийн гүдгэр байдал; 0 ;
• гулзайлтын цэгүүд нь координаттай (0; 0) бөгөөд энэ нь мөн функцийн тэг юм;
• асимптот байхгүй.

1. Нумын косинусын функц: y = a r c cos (x)

Тодорхойлолт 23

Нумын косинусын функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ - 1 ; 1 ;
• муж: y ∈ 0 ; π;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэртэй (тэгш, сондгой биш);
• функц нь тодорхойлолтын бүх талбарт буурч байна;
• нумын косинусын функц нь x ∈ - 1 үед хонхорхойтой; 0 ба x ∈ 0-ийн хувьд гүдгэр; 1 ;
• гулзайлтын цэгүүд 0 координаттай; π 2;
• асимптот байхгүй.

1. Арктангенсийн функц: y = a r c t g (x)

Тодорхойлолт 24

Арктангенс функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• утгын хүрээ: y ∈ - π 2 ; π 2;
• y (- x) = - y (x) тул энэ функц сондгой;
• функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд нэмэгдэж байна;
• Арктангенс функц нь x ∈ (- ∞ ; 0 ], x ∈ хувьд гүдгэр [ 0 ; + ∞);
• гулзайлтын цэг нь координаттай (0; 0) бөгөөд энэ нь мөн функцийн тэг юм;
• хэвтээ асимптотууд нь x → - ∞ y = - π 2 шулуун, y = π 2 нь x → + ∞ (зураг дээрх асимптотууд нь ногоон шугамууд) юм.

1. Нуман тангенсийн функц: y = a r c c t g (x)

Тодорхойлолт 25

Арккотангенсийн функцийн шинж чанарууд:

• тодорхойлолтын домэйн: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• муж: y ∈ (0; π) ;
• энэ функц нь ерөнхий хэлбэртэй;
• функц нь тодорхойлолтын бүх талбарт буурч байна;
• нумын котангенсийн функц нь x ∈ [ 0-ийн хувьд хотгортой; + ∞) ба гүдгэр нь x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• гулзайлтын цэг нь 0 координаттай; π 2;
• хэвтээ асимптотууд нь x → - ∞ (зураг дээрх ногоон шугам) y = π шулуун ба x → + ∞ дээр y = 0 байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Та функцуудыг мэддэг үү y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xгэх мэт Эдгээр бүх функцууд нь чадлын функцийн онцгой тохиолдлууд, өөрөөр хэлбэл функц юм y=x y = 1/x 3, энд p нь өгөгдсөн бодит тоо. Хүчин чадлын функцийн шинж чанар ба график нь бодит илтгэгчтэй чадлын шинж чанар, ялангуяа түүний утгуудаас ихээхэн хамаардаг. xТэгээд y = 1/x 3зэрэг нь утга учиртай x y = 1/x 3. Экспонентээс хамааран янз бүрийн тохиолдлуудыг ижил төстэй авч үзэхийг үргэлжлүүлье х.

Үзүүлэлт p=2n- тэгш натурал тоо.

Энэ тохиолдолд эрчим хүчний функц y=x 2н, Хаана , Хаана- натурал тоо нь дараах байдалтай байна

шинж чанарууд:

тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо, өөрөөр хэлбэл R багц;

утгын багц - сөрөг бус тоо, өөрөөр хэлбэл y нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна;

функц y=x 2нтэр ч байтугай, учир нь x 2н =(-x) 2н

функц интервал дээр буурч байна x<0 мөн интервалаар нэмэгддэг x>0.

Функцийн график y=x 2нжишээ нь функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна y=x 4 .

2. Заагч p=2n-1- сондгой натурал тоо Энэ тохиолдолд чадлын функц y=x 2n-1, натурал тоо нь дараах шинж чанартай байна.

- сондгой натурал тоо:

тодорхойлолтын домэйн - R багц;

функц y=x 2n-1хачин учир нь (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функц бүхэлдээ бодит тэнхлэгт нэмэгдэж байна.

Функцийн график y=x2n-1жишээ нь функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна y=x3.

3.Заагч p=-2n, Хаана n-натурал тоо.

Энэ тохиолдолд эрчим хүчний функц y=x -2н =1/х 2н дараах шинж чанаруудтай:

утгын багц - эерэг тоо y>0;

функц y =1/х 2нтэр ч байтугай, учир нь 1/(-x) 2н =1/х 2н ;

функц x интервал дээр нэмэгдэж байна<0 и убывающей на промежутке x>0.

y функцийн график =1/х 2нжишээ нь у функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна =1/х 2 .

4.Заагч p=-(2n-1), Хаана , Хаана- натурал тоо. Энэ тохиолдолд эрчим хүчний функц y=x -(2n-1)дараах шинж чанаруудтай:

тодорхойлолтын домэйн - R багц, x=0-ээс бусад;

утгын багц - y=0-ээс бусад R-г тохируулна;

функц y=x -(2n-1)хачин учир нь (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функц интервалаар буурч байна x<0 Тэгээд x>0.

Функцийн график y=x -(2n-1)жишээ нь функцийн графиктай ижил хэлбэртэй байна y=1/x 3 .

1. Урвуу тригонометрийн функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикууд.

Урвуу тригонометрийн функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикууд.Урвуу тригонометрийн функцууд (дугуй функцууд, нуман функцууд) - тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай математик функцууд.

1. arcsin функц

Функцийн график .

арксинтоо мэнэ өнцгийн утгыг нэрлэдэг x, үүний төлөө

Функц нь тасралтгүй бөгөөд бүх тооны шугамын дагуу хязгаарлагддаг. Чиг үүрэг эрс нэмэгдэж байна.

1. [Засварлах]Arcsin функцийн шинж чанарууд

1. [Засварлах]Arcsin функцийг авч байна

Өгөгдсөн функцийг бүхэлд нь тодорхойлолтын домэйнтэр бол хэсэгчилсэн монотон, улмаар урвуу захидал харилцаа функц биш юм. Тиймээс, бид үүнийг хатуу нэмэгдүүлж, бүх утгыг авдаг сегментийг авч үзэх болно утгын хүрээ- . Интервал дээрх функцийн хувьд аргументын утга бүр функцийн нэг утгатай тохирч байгаа тул энэ интервал дээр байна. урвуу функц