Гурвалжны хамгийн том өндрийг ол. Гурвалжингийн өндөр

Геометрийн олон асуудлыг шийдэхийн тулд өгөгдсөн дүрсийн өндрийг олох хэрэгтэй. Эдгээр даалгавар нь практик ач холбогдолтой. Барилга угсралтын ажлыг гүйцэтгэхдээ өндрийг тодорхойлох нь шаардлагатай материалын хэмжээг тооцоолохоос гадна налуу, нүхийг хэрхэн зөв хийж байгааг тодорхойлоход тусална. Ихэнхдээ хэв маягийг бий болгохын тулд шинж чанаруудын талаар ойлголттой байх хэрэгтэй

Сургуульд сайн сурдаг байсан ч олон хүмүүс энгийн геометрийн дүрсийг бүтээхдээ гурвалжин эсвэл параллелограммын өндрийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулттай байдаг. Мөн энэ нь хамгийн хэцүү байдаг. Учир нь гурвалжин нь хурц, мохоо, тэгш өнцөгт эсвэл зөв байж болно. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн барилга байгууламж, тооцооны дүрэмтэй байдаг.

Бүх өнцөг нь хурц байх гурвалжны өндрийг графикаар хэрхэн олох вэ

Хэрэв гурвалжны бүх өнцөг хурц байвал (гурвалжны өнцөг бүр 90 градусаас бага) өндрийг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Өгөгдсөн параметрүүдийг ашиглан бид гурвалжин байгуулна.
Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. A, B, C нь зургийн оройнууд байх болно. Орой тус бүрт тохирох өнцөг нь α, β, γ байна. Эдгээр өнцгүүдийн эсрэг талын талууд нь a, b, c.
Өндөр нь гурвалжны эсрэг талын өнцгийн оройгоос татсан перпендикуляр юм. Гурвалжны өндрийг олохын тулд бид перпендикуляруудыг байгуулдаг: α өнцгийн оройноос а тал руу, β өнцгийн оройноос b тал руу гэх мэт.
Өндөр ба а талын огтлолцох цэгийг H1, өндрийг нь h1 гэж тэмдэглэе. Өндөр ба b талын огтлолцлын цэг нь H2, өндөр нь h2 байна. c талын хувьд өндөр нь h3, огтлолцлын цэг нь H3 байна.

Мохоо өнцөг бүхий гурвалжин дахь өндөр

Одоо гурвалжин (90 градусаас дээш) байвал түүний өндрийг хэрхэн олохыг харцгаая. Энэ тохиолдолд мохоо өнцгөөс зурсан өндөр нь гурвалжин дотор байх болно. Үлдсэн хоёр өндөр нь гурвалжны гадна талд байх болно.

Манай гурвалжны α ба β өнцөг нь хурц, γ өнцөг нь мохоо байна. Дараа нь α ба β өнцгөөс ирж буй өндрийг барихын тулд перпендикуляр зурахын тулд тэдгээрийн эсрэг талын гурвалжны талуудыг үргэлжлүүлэх шаардлагатай.

Хоёр талт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Ийм дүрс нь хоёр тэнцүү тал, суурьтай байдаг бол суурийн өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Тал ба өнцгийн ийм тэгш байдал нь өндрийг барьж, тооцоолоход хялбар болгодог.

Эхлээд гурвалжинг өөрөө зуръя. b ба c талууд, түүнчлэн β, γ өнцгүүдийг тус тус тэнцүү болго.

Одоо α өнцгийн оройноос h1 гэж тэмдэглэсэн өндрийг зуръя. Энэ өндөр нь биссектриса ба медиан хоёулаа байх болно.

Нэг сууринд та зөвхөн нэг барилгын ажил хийж болно. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны орой ба эсрэг тал болох суурийг холбосон медианыг зурж, өндөр ба биссектрисийг олоорой. Нөгөө хоёр талын өндрийн уртыг тооцоолохын тулд та зөвхөн нэг өндрийг барьж болно. Тиймээс ижил өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн тооцоолохыг графикаар тодорхойлохын тулд гурван өндрийн хоёрыг олоход хангалттай.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг тодорхойлоход бусдаас хамаагүй хялбар байдаг. Энэ нь хөл нь өөрөө зөв өнцөг үүсгэдэг тул өндөр байдаг тул тохиолддог.

Гурав дахь өндрийг барихын тулд ердийнх шигээ зөв өнцгийн орой ба эсрэг талыг холбосон перпендикуляр зурдаг. Үүний үр дүнд, энэ тохиолдолд гурвалжин үүсгэхийн тулд зөвхөн нэг барилга байгууламж шаардлагатай.

Гурвалжны бүх параметрүүдийг нэмэлт барилга байгууламжгүйгээр тодорхойлох нь бараг хэзээ ч боломжгүй юм. Эдгээр байгууламжууд нь гурвалжны өвөрмөц график шинж чанар бөгөөд талууд болон өнцгийн хэмжээг тодорхойлоход тусалдаг.

Тодорхойлолт

Эдгээр шинж чанаруудын нэг нь гурвалжны өндөр юм. Өндөр гэдэг нь гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу нь татсан перпендикуляр юм. Орой гэдэг нь гурван талтайгаа нийлээд гурвалжин үүсгэдэг гурван цэгийн нэг юм.

Гурвалжны өндрийн тодорхойлолт нь иймэрхүү сонсогдож магадгүй юм: өндөр нь гурвалжны оройноос эсрэг талыг агуулсан шулуун шугам руу татсан перпендикуляр юм.

Энэ тодорхойлолт нь илүү төвөгтэй мэт санагдаж байгаа ч нөхцөл байдлыг илүү нарийвчлалтай тусгасан болно. Баримт нь мохоо гурвалжинд гурвалжин доторх өндрийг зурах боломжгүй юм. Зураг 1-ээс харахад энэ тохиолдолд өндөр нь гаднах байна. Үүнээс гадна, тэгш өнцөгт гурвалжинд өндрийг барих нь стандарт нөхцөл биш юм. Энэ тохиолдолд гурвалжны гурван өндрийн хоёр нь хөлөөр, гурав дахь нь оройноос гипотенуз хүртэл дамждаг.

Цагаан будаа. 1. Мохоо гурвалжны өндөр.

Ихэвчлэн гурвалжны өндрийг h үсгээр тэмдэглэдэг. Өндөрийг бусад зураг дээр мөн зааж өгсөн болно.

Гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

Гурвалжны өндрийг олох гурван стандарт арга байдаг.

Пифагорын теоремоор дамжуулан

Энэ аргыг тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжинд ашигладаг. Тэгш өнцөгт гурвалжны шийдэлд дүн шинжилгээ хийцгээе, дараа нь ижил талт гурвалжны хувьд ижил шийдэл яагаад хүчинтэй болохыг хэлье.

Өгсөн: АС суурьтай ижил өнцөгт гурвалжин ABC. AB=5, AC=8. Гурвалжны өндрийг ол.

Цагаан будаа. 2. Асуудлын зураг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд аль тал нь суурь болохыг мэдэх нь чухал. Энэ нь тэнцүү байх ёстой талууд, түүнчлэн тодорхой шинж чанаруудын ажиллах өндрийг тодорхойлдог.

Суурь руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн шинж чанарууд:

Өндөр нь медиан ба биссектрисатай давхцдаг
Суурийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Бид өндрийг ВD гэж тэмдэглэнэ. D цэгийн өндөр нь суурийг хагасаар хуваадаг тул бид DC-ийг суурийн хагас гэж олдог. DC=4

Өндөр нь перпендикуляр бөгөөд энэ нь BDC нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд BH өндөр нь энэ гурвалжны хөл юм.

Пифагорын теоремыг ашиглан өндрийг олъё: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Аливаа тэгш талт гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, зөвхөн суурь нь талуудтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, та ижил процедурыг ашиглаж болно.

Гурвалжингийн талбайгаар

Энэ аргыг ямар ч гурвалжинд ашиглаж болно. Үүнийг ашиглахын тулд та гурвалжны талбай болон өндрийг нь зурсан талыг мэдэх хэрэгтэй.

Гурвалжин дахь өндөр нь тэнцүү биш тул харгалзах тал нь харгалзах өндрийг тооцоолох боломжтой болно.

Гурвалжны талбайн томьёо нь: $$S=(1\over2)*bh$$, b нь гурвалжны тал, h нь энэ тал руу татсан өндөр юм. Өндөрийг томъёогоор илэрхийлье.

$$h=2*(S\б-ээс дээш)$$

Хэрвээ талбай нь 15 бол тал нь 5, өндөр нь $$h=2*(15\over5)=6$$ байна.

Тригонометрийн функцээр дамжуулан

Суурийн тал ба өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол гурав дахь арга нь тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд тригонометрийн функцийг ашиглах хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 3. Асуудлын зураг.

Өнцөг ВСН=300, тал BC=8. Бид ижил тэгш өнцөгт BCH гурвалжинтай хэвээр байна. Синусыг ашиглацгаая. Синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаа бөгөөд энэ нь: BH/BC=cos BCH гэсэн үг юм.

Хажуугийн адил өнцөг нь мэдэгдэж байна. Гурвалжны өндрийг илэрхийлье:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Косинусын утгыг ерөнхийдөө Брадисын хүснэгтээс авдаг боловч 30.45 ба 60 градусын тригонометрийн функцүүдийн утгууд нь хүснэгтийн тоо юм.

Бид юу сурсан бэ?

Бид гурвалжны өндөр гэж юу болох, ямар өндөр байдаг, тэдгээрийг хэрхэн тэмдэглэдэг талаар олж мэдсэн. Бид ердийн бодлогуудыг олж мэдээд гурвалжны өндрийн гурван томьёог бичсэн.

Сэдвийн тест

Нийтлэлийн үнэлгээ

Дундаж үнэлгээ: 4.6. Хүлээн авсан нийт үнэлгээ: 152.

Юуны өмнө гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй, гурван сегментээр холбогдсон гурван цэгээс үүссэн геометрийн дүрс юм. Гурвалжны өндрийг олохын тулд эхлээд түүний төрлийг тодорхойлох хэрэгтэй. Гурвалжингууд нь өнцгүүдийн хэмжээ, ижил өнцгүүдийн тоогоор ялгаатай байдаг. Өнцгийн хэмжээнээс хамааран гурвалжин нь хурц, мохоо, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно. Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжныг тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, масштаб гэж ялгадаг. Өндөр нь гурвалжны оройгоос эсрэг талд нь доошилсон перпендикуляр юм. Гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

Хоёр талт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь түүний суурийн талууд ба өнцгүүдийн тэгш өнцөгт шинж чанартай байдаг тул хажуу талууд руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг. Мөн энэ гурвалжны өндөр нь медиан ба биссектриса юм. Үүний дагуу өндөр нь суурийг хагасаар хуваана. Бид үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзээд Пифагорын теоремыг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжны талыг, өөрөөр хэлбэл өндрийг олно. Дараах томьёог ашиглан өндрийг тооцоолно: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, энд: a нь энэ тэгш өнцөгт гурвалжны тал, b нь энэ тэгш өнцөгт гурвалжны суурь юм.

Тэгш талт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Тэгш талуудтай гурвалжинг тэгш талт гэж нэрлэдэг. Ийм гурвалжны өндрийг ижил өнцөгт гурвалжны өндрийн томъёоноос гаргаж авдаг. Эндээс харахад: H = √3/2*a, энд a нь энэ тэгш талт гурвалжны тал юм.

Скален гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Аль ч хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү биш гурвалжинг масштаб гэнэ. Ийм гурвалжинд гурван өндөр нь өөр өөр байх болно. Та өндрийн уртыг дараах томъёогоор тооцоолж болно: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, энд a нь гурвалжны тал юм эсвэл эхлээд тодорхой гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тооцоолж болно. дараах байдлаар харагдана: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, энд a, b, c нь масштабын гурвалжны талууд, p нь түүний хагас периметр юм. Өндөр тус бүр = 2 * талбай/тал

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нэг өнцөгтэй. Нэг хөл рүү явах өндөр нь нэгэн зэрэг хоёр дахь хөл юм. Тиймээс, хөл дээр хэвтэж буй өндрийг олохын тулд өөрчлөгдсөн Пифагорын томъёог ашиглах хэрэгтэй: a = √ (c 2 - b 2), энд a, b нь хөл (a нь олох шаардлагатай хөл), c нь гипотенузын урт. Хоёр дахь өндрийг олохын тулд b-ийн оронд үүссэн a утгыг тавих хэрэгтэй. Гурвалжны дотор байрлах гурав дахь өндрийг олохын тулд дараах томъёог ашиглана: h = 2s/a, h - тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр, s - түүний талбай, a - өндөр байх талын урт. перпендикуляр.

Гурвалжны бүх өнцөг нь хурц байвал түүнийг хурц гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд бүх гурван өндөр нь хурц гурвалжин дотор байрладаг. Гурвалжин нэг мохоо өнцөгтэй бол түүнийг мохоо гэнэ. Мохоо гурвалжны хоёр өндөр нь гурвалжны гадна байх ба талуудын үргэлжлэл дээр унадаг. Гурав дахь тал нь гурвалжин дотор байна. Өндөр нь ижил Пифагорын теоремыг ашиглан тодорхойлогддог.

Гурвалжны өндрийг тооцоолох ерөнхий томъёо

Гурвалжны өндрийг талуудаар нь олох томьёо: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), h нь олох өндөр, a, b, c нь талууд. өгөгдсөн гурвалжин, p нь түүний хагас периметр, .
Өнцөг ба талыг ашиглан гурвалжны өндрийг олох томъёо: H=b sin y = c sin ß
Талбай ба хажуугаар гурвалжны өндрийг олох томьёо: h = 2S/a, энд a нь гурвалжны тал, h нь а тал руу босгосон өндөр юм.
Радиус ба талуудыг ашиглан гурвалжны өндрийг олох томъёо: H= bc/2R.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Гурвалжны хамгийн том эсвэл хамгийн бага өндрийг хэрхэн олох вэ? Гурвалжны өндөр бага байх тусам түүн рүү татсан өндөр нь их байх болно. Өөрөөр хэлбэл, гурвалжны өндрийн хамгийн том нь түүний хамгийн жижиг тал руу татсан өндөр юм. - гурвалжны хамгийн том тал руу зурсан хэсэг.

Гурвалжны хамгийн том өндрийг олохын тулд , гурвалжны талбайг энэ өндрийг зурсан талын уртаар (өөрөөр хэлбэл гурвалжны хамгийн жижиг талын уртаар) хувааж болно.

Үүний дагуу Д Гурвалжны хамгийн бага өндрийг олохын тулд Гурвалжны талбайг хамгийн урт талын уртаар нь хувааж болно.

Даалгавар 1.

Талууд нь 7 см, 8 см, 9 см гурвалжны хамгийн бага өндрийг ол.

Өгөгдсөн:

АС=7 см, АВ=8 см, ВС=9 см.

Ол: гурвалжны хамгийн бага өндөр.

Шийдэл:

Гурвалжны хамгийн бага өндөр нь түүний хамгийн урт тал руу татсан өндөр юм. Энэ нь бид BC тал руу татсан AF өндрийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Тэмдэглэгээ хийхэд хялбар болгох үүднээс бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна

BC=a, AC=b, AB=c, AF=га.

Гурвалжны өндөр нь гурвалжны талбайн хоёр дахин үржсэн хэсгийг энэ өндрийг зурсан талдаа хуваасантай тэнцүү байна. Хэроны томъёог ашиглан олж болно. Тийм ч учраас

Бид тооцоолно:

Хариулт:

Даалгавар 2.

1 см, 25 см, 30 см талуудтай гурвалжны хамгийн урт талыг ол.

Өгөгдсөн:

АС=25 см, АВ=11 см, ВС=30 см.

Олно:

ABC гурвалжны хамгийн том өндөр.

Шийдэл:

Гурвалжны хамгийн том өндрийг хамгийн богино тал руу нь татдаг.

Энэ нь бид AB тал руу зурсан CD-ийн өндрийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Тохиромжтой болгох үүднээс тэмдэглэе