1-ээс 15 хүртэлх тооны нийлбэрийг ол. Хөгжилтэй математик: Гауссын дүрэм

туслаач!! нийлбэрийг тооцоол натурал тоонууд 1+2+3+4+...+97+98+99+100-аас. мөн хамгийн сайн хариултыг авсан

Alexander Heinonen[guru]-ийн хариулт
Германы нэрт математикч Карл Фридрих Гауссыг (1777-1855) түүний үеийнхэн "математикийн хаан" гэж нэрлэдэг байв.
Бага наснаасаа ч тэр ер бусын байсан математикийн ур чадвар. Гурван настайдаа Гаусс эцгийнхээ дансыг аль хэдийн засаж байв.
Тэд үүнийг дотор хэлдэг бага сургуульГаусс (6 настай) хаана сурч байсан бол багш нь удаан хугацаагаар хичээллэв. бие даасан ажил, оюутнуудад даалгавар өгсөн - 1-ээс 100 хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг тооцоолох. Бяцхан Гаусс асуултанд бараг тэр даруй хариулсан нь хүн бүрийг, юуны түрүүнд багшийг гайхшруулсан.
Дээрх тоонуудын нийлбэрийг олох асуудлыг амаар шийдэж үзье. Эхлээд 1-ээс 10 хүртэлх тооны нийлбэрийг авч үзье: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаусс 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11 гэх мэтийг олж мэдсэн. Тэрээр 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоог нэмэхэд ийм 5 хос гарч ирдэг бөгөөд 5-ыг 11-ээр үржүүлбэл 55 болно гэдгийг тогтоожээ.
Гаусс бүхэл цувралын тоог хос хосоор нь нэмэх ёстойг олж хараад 1-ээс 100 хүртэлх тоог хурдан нэмэх алгоритмыг бүтээжээ.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. 1-ээс 100 хүртэлх дараалсан хос тоонуудыг тоолох шаардлагатай. Бид 50 хос авдаг.
2. Бүх дарааллын эхний болон сүүлчийн тоог нэмнэ. Манай тохиолдолд эдгээр нь 1 ба 100. Бид 101-ийг авдаг.
3. Дараалсан хос тооны тоог 2-р алхам дээр олж авсан тоогоор үржүүлнэ. Бид 5050 авдаг.
Тиймээс 1-ээс 100 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэр нь 5050 байна.
Энгийн томьёо: 1-ээс n хүртэлх тооны нийлбэр = n * (n+1) : 2. n-ийн оронд сүүлийн тоог орлуулж тооцоол.
Үүнийг шалгаарай! Энэ нь ажилладаг!

-аас хариу бичих Яня Фертикова[шинэхэн]
5050

-аас хариу бичих Михаил Медведев[идэвхтэй]
5050

-аас хариу бичих Павел Соломенников[шинэхэн]
5050

-аас хариу бичих Алевтина Башкова[шинэхэн]
5050

-аас хариу бичих Игр Тихомиров[идэвхтэй]
5050

-аас хариу бичих Мария Дубровина[шинэхэн]
5050

-аас хариу бичих Явил Бадиров[шинэхэн]
5050

-аас хариу бичих Дмитрий[идэвхтэй]
5050

-аас хариу бичих Евгений Саяпов[идэвхтэй]
5050

-аас хариу бичих 2 хариулт[гуру]

Агуулга:

Бүхэл тоо нь бутархай эсвэл аравтын бутархайг агуулаагүй тоо юм. Хэрэв асуудал нь өгөгдсөн N утгад 1-ээс тодорхой тооны бүхэл тоо нэмэх шаардлагатай бол тэдгээрийг гараар нэмэх шаардлагагүй. Үүний оронд (N(N+1))/2 томьёог ашиглана уу, энд N байна хамгийн их тооэгнээ.

Алхам

1. 1 Хамгийн том бүхэл тоог (N) тодорхойлно уу. 1-ээс өгөгдсөн N тоо хүртэлх бүхэл тоог нэгтгэснээр та N-ийн утгыг тодорхойлох ёстой (N байж болохгүй. аравтынэсвэл бутархай эсвэл сөрөг тоо).
   • Жишээ. 1-ээс 100 хүртэлх бүх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг ол. Энэ тохиолдолд N=100, учир нь энэ нь танд өгөгдсөн тооны цувралын хамгийн том (болон эцсийн) тоо юм.
2. 2 N-ийг (N +1) үржүүлж, үр дүнг 2-т хуваа. N бүхэл тоон утгыг тодорхойлсны дараа (N(N+1))/2 томьёонд залгахад 1-ээс N хүртэлх бүх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг олох болно.
   • Жишээ. N=100-г орлуулаад (100(100+1))/2-ыг авна.
3. 3 Хариултаа бичээрэй.Эцсийн хариулт нь 1-ээс өгөгдсөн N хүртэлх бүх бүхэл тоонуудын нийлбэр юм.
   • Жишээ.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • 1-ээс 100 хүртэлх бүх бүхэл тоонуудын нийлбэр нь 5050 байна.
4. 4 Томъёоны гарал үүсэл (N(N+1))/2.Дээрх жишээг дахин харцгаая. Оюуны хувьд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 мөрийг хоёр эгнээ болгон хуваа - эхнийх нь 1-ээс 50 хүртэл, хоёр дахь нь 51-ээс 100 хүртэл. Хэрэв та эхнийх нь эхний тоог (1) нэмбэл. мөр болон хоёр дахь эгнээний сүүлчийн тоо (100 ) байвал 101 болно. Хэрэв та 2 ба 99, 3 ба 98, 4 ба 97 гэх мэтийг нэмбэл 101 болно. Хэрэв эхний бүлгийн тоо бүрийг хоёр дахь бүлгийн харгалзах тоогоор нэмбэл эцэст нь бид 50 тоо авах бөгөөд тус бүр нь 101-тэй тэнцүү байна. Тиймээс 50 * 101 = 5050 нь 1-ээс авсан тоонуудын нийлбэр юм. 100 хүртэл. 50 = 100/2 ба 101 = 100 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ энэ нь аливаа эерэг бүхэл тоонуудын нийлбэрийн хувьд үнэн юм: тэдгээрийн нийлбэрийг хоёр эгнээний тоо, харгалзах тоогоор хоёр алхам болгон хувааж болно. мөр бүрт бие биендээ нэмж болох бөгөөд нэмэлтийн үр дүн ижил байх болно.
   • 1-ээс N хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэр нь (N/2)(N+1)-тэй тэнцүү гэж хэлж болно. Энэ томъёоны хялбаршуулсан дүрслэл нь (N(N+1))/2 томъёо юм.

1-ээс N хүртэлх нийлбэрийг ашиглан хоёр тооны хоорондох тооны нийлбэрийг тооцоол

1. 1 Дүгнэлтийн сонголтыг тодорхойлох (хамааруулсан эсэх).Ихэнхдээ бодлогод 1-ээс өгөгдсөн N тоо хүртэлх тооны нийлбэрийг олохын оронд N 1-ээс N 2 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг олохыг хүсдэг бөгөөд энд N 2 > N 1 ба хоёр тоо > 1 байна. нийлбэр нь маш энгийн, гэхдээ эхлээд тооцооллыг эхлүүлэхийн өмнө N 1 ба N 2 дахь өгөгдсөн тоонууд эцсийн нийлбэрт багтсан эсэхийг тодорхойлох ёстой.
2. 2 N 1 ба N 2 хоёр тооны хоорондох бүхэл тоонуудын нийлбэрийг олохын тулд N 1 хүртэлх нийлбэрийг тусад нь олоод, N 2 хүртэлх нийлбэрийг тус тусад нь олоод, бие биенээсээ хасна (N-ээс бага утгатай N хүртэлх нийлбэрийг хасна). хүртэлх нийлбэр илүү их үнэ цэнэ N).
   • Үүнийг нэгтгэн дүгнэх эсэх нь чухал юм. Бүх нийтийг нэгтгэхдээ өгөгдсөн утгаас 1-ийг хасах шаардлагатай N 1 ; үгүй бол өгөгдсөн N 2 утгаас 1-ийг хасах хэрэгтэй.
     • Жишээ. N 1 = 75-аас N 2 = 100 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг ("хамааруулсан") олъё. Өөрөөр хэлбэл, бид 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100-ийг олох ёстой. Асуудлыг шийдэхийн тулд бид 1-ээс N 1 -1 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг олж, дараа нь 1-ээс N 2 хүртэлх тооны нийлбэрээс хасах хэрэгтэй (санаж: нийлбэр дүнг нэгтгэхдээ бид N 1-ээс 1-ийг хасдаг):
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
   • 5050 - 2775 = 2275. 75-аас 100 хүртэлх тооны нийлбэр ("хамааруулсан") нь 2275 байна.
     • Одоо өгөгдсөн тоог оруулахгүйгээр тоонуудын нийлбэрийг олъё (өөрөөр хэлбэл 76 + 77 + ... + 99-ийг олох ёстой). Энэ тохиолдолд бид N 2-оос 1-ийг хасна.
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
3. 3 4950 - 2850 = 2100. 75-аас 100 хүртэлх тооны нийлбэр (эдгээр тоог оруулаагүй) 2100 байна.Үйл явцыг ойлгох.
   • 1-ээс 100 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100, 1-ээс 75 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + гэж бод. 75. 75-аас 100 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэр ("хамааруулсан") нь тооцоолол юм: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. 1-ээс 75 хүртэлх тооны нийлбэр ба 1-ээс 100 хүртэлх тооны нийлбэр. 75 хүртэлх тоотой тэнцүү байх боловч 75-ын дараа 1-ээс 100 хүртэлх тооны нийлбэр үргэлжлэх болно: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Иймээс тоонуудын нийлбэрийг хасах замаар 1-ээс 100 хүртэлх тооны нийлбэрээс 1-ээс 75 хүртэл бид 75-аас 100 хүртэлх бүхэл тоонуудын нийлбэрийг "тусгаарлана".
   • Хэрэв бид бүгдийг нь нэгтгэж байгаа бол эцсийн нийлбэрт 75 гэсэн тоог оруулахын тулд 1-ээс 75 хүртэлх нийлбэрийг биш 1-ээс 74 хүртэлх нийлбэрийг ашиглах ёстой. Үүний нэгэн адил, хэрэв бид өгөгдсөн тоонуудыг оруулалгүйгээр нэмбэл 1-ээс 100 хүртэлх нийлбэрийг биш 1-ээс 99 хүртэлх нийлбэрийг ашиглан 100-ыг хасах хэрэгтэй.эцсийн дүн

• . Бид 1-ээс 75 хүртэлх нийлбэрийг ашиглаж болно, учир нь 1-ээс 99 хүртэлх нийлбэрээс хасах нь эцсийн нийлбэрээс 75 гэсэн тоог хасдаг.
• Нийлбэрийг тооцоолох үр дүн нь үргэлж бүхэл тоо байдаг, учир нь N эсвэл N +1 нь 2-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг тэгш тоо юм.
• Дүн = Дүн – Дүн.

Өөрөөр хэлбэл: Нийлбэр = n(n+1)/2

• Анхааруулга

Хэдийгээр энэ аргыг сөрөг тоо болгон өргөжүүлэх нь тийм ч хэцүү биш боловч энэ нийтлэлд зөвхөн N нь 1-ээс их эсвэл тэнцүү байх эерэг бүхэл тоо N-ийг авч үзнэ. Дугуй"Хөгжилтэй математик

Энэ цувралын эхний өгүүллийг Гауссын дүрэмд зориулав.

Бага зэрэг түүх

Германы нэрт математикч Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) бага насүе тэнгийнхнээсээ ялгаатай байв. Тэрээр ядуу айлын хүүхэд байсан ч нэлээд эрт уншиж, бичиж, тоолж сурсан. Тэр бүү хэл 4-5 настайдаа аавынхаа буруу тооцооны алдааг зүгээр л харж байж засч залруулж чадсан тухай намтарт нь дурдсан байдаг.

Түүний анхны нээлтүүдийн нэг нь 6 настайдаа математикийн хичээлийн үеэр хийсэн юм. Багш хүүхдүүдийн анхаарлыг удаан хугацаагаар татах шаардлагатай байсан тул дараахь асуудлыг санал болгов.

1-ээс 100 хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Залуу Гаусс энэ даалгаврыг маш хурдан гүйцэтгэж, өргөн тархсан бөгөөд өнөөг хүртэл оюун ухааны тооцоололд ашиглагдаж байгаа сонирхолтой хэв маягийг олж мэдэв.

Энэ асуудлыг амаар шийдэхийг хичээцгээе. Гэхдээ эхлээд 1-ээс 10 хүртэлх тоог авч үзье.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Энэ хэмжээг анхааралтай ажиглаад Гаусс ямар ер бусын зүйлийг харж болохыг таахыг хичээгээрэй? Хариулахын тулд та тоонуудын найрлагын талаар сайн ойлголттой байх хэрэгтэй.

Гаусс тоонуудыг дараах байдлаар бүлэглэсэн.

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Ийнхүү бяцхан Карл 5 хос тоо хүлээн авсан бөгөөд тус бүр нь тус бүрдээ 11 болно. Дараа нь 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг тооцоолохын тулд танд хэрэгтэй болно.

Анхны асуудал руугаа буцъя. Гаусс нэмэхээсээ өмнө тоог хосоор нь бүлэглэх шаардлагатайг анзаарсан бөгөөд ингэснээр 1-ээс 100 хүртэлх тоог хурдан нэмэх боломжийг олгодог алгоритмыг зохион бүтээжээ.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Натурал тооны цуваа дахь хосуудын тоог ол. IN энэ тохиолдолдтэдгээрийн 50 нь байдаг.

Энэ цувралын эхний болон сүүлчийн тоог нэгтгэн дүгнэе. Бидний жишээнд эдгээр нь 1 ба 100. Бид 101-ийг авдаг.

Бид цувралын эхний ба сүүлчийн гишүүний нийлбэрийг энэ цувралын хосын тоогоор үржүүлнэ. Бид 101 * 50 = 5050 авдаг

Тиймээс 1-ээс 100 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэр нь 5050 байна.

Гауссын дүрмийг ашиглах асуудал

Одоо бид Гауссын дүрмийг аль нэг хэмжээгээр ашигладаг асуудлуудыг та бүхэнд толилуулж байна. Дөрөвдүгээр ангийн хүүхэд эдгээр асуудлыг ойлгож, шийдвэрлэх чадвартай байдаг.

Та хүүхдэд өөрөө энэ дүрмийг "зохион бүтээх" боломжийг олгох боломжтой. Эсвэл хамтад нь салгаад түүнийг хэрхэн ашиглахыг харж болно. Доорх асуудлуудын дунд Гауссын дүрмийг өгөгдсөн дараалалд хэрэглэхийн тулд хэрхэн өөрчлөхийг ойлгох хэрэгтэй жишээнүүд байна.

Ямар ч тохиолдолд хүүхэд тооцоололдоо үүнийг ашиглах чадвартай байхын тулд Гауссын алгоритмын талаархи ойлголт, өөрөөр хэлбэл хосуудад зөв хувааж, тоолох чадвартай байх шаардлагатай.

Чухал!Томьёог ойлгохгүй цээжилчихвэл маш хурдан мартагдана.

Асуудал 1

Тоонуудын нийлбэрийг ол:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Шийдэл.

Нэгдүгээрт, та хүүхдэд эхний жишээг өөрөө шийдэх боломжийг олгож, түүний оюун ухаанд үүнийг хялбархан хийж болох арга замыг олохыг санал болгож болно. Дараа нь энэ жишээг хүүхэдтэй хамт шинжилж, Гаусс үүнийг хэрхэн хийснийг харуул. Тодорхой болгохын тулд цуврал бичиж, хос тоог нийлбэртэй шугамаар холбох нь дээр. ижил тоо. Хүүхэд хосууд хэрхэн үүсдэгийг ойлгох нь чухал юм - цуврал дахь тоонуудын тоо тэгш байх тохиолдолд бид үлдсэн тоонуудаас хамгийн бага, хамгийн томыг нь авдаг.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Даалгавар2

1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г гэсэн 9 жин байна. Эдгээр жинг ижил жинтэй гурван овоолго болгон байрлуулах боломжтой юу?

Шийдэл.

Гауссын дүрмийг ашиглан бүх жингийн нийлбэрийг олно.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Энэ нь овоо тус бүрд нийт 15 гр жинтэй байхаар жинг бүлэглэж чадвал асуудал шийдэгдэнэ гэсэн үг.

Сонголтуудын нэг нь:

• 9 гр, 6 гр
• 8 гр, 7 гр
• 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Бусад боломжит сонголтуудхүүхэдтэйгээ өөрөө олоорой.

Ижил төстэй асуудлыг шийдэхдээ илүү их жинтэй (тоо) бүлэглэж эхлэх нь дээр гэдгийг хүүхдийнхээ анхаарлыг тат.

Асуудал 3

Хэсэг бүрийн тоонуудын нийлбэр тэнцүү байхаар цагны дугуйг шулуун шугамаар хоёр хэсэгт хувааж болох уу?

Шийдэл.

Эхлээд 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 тоонуудын цувралд Гауссын дүрмийг хэрэгжүүл: нийлбэрийг олоод 2-т хуваагдах эсэхийг шалга.

Тиймээс үүнийг хувааж болно. Одоо яаж гэдгийг харцгаая.

Тиймээс, 3 хос нэг хагаст, гурав нь нөгөө рүү унахын тулд залгах дээр шугам зурах шаардлагатай.

Хариулт: шугам нь 3 ба 4, дараа нь 9 ба 10 тоонуудын хооронд дамжих болно.

Даалгавар4

Хэсэг тус бүрийн тоонуудын нийлбэр ижил байхаар цагийн хэлхээнд хоёр шулуун шугам зурж болох уу?

Шийдэл.

Эхлэхийн тулд 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 тоонуудын цувралд Гауссын дүрмийг хэрэгжүүл: нийлбэрийг олоод 3-т хуваагдах эсэхийг шалга.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь хуваагдаж болно гэсэн үг юм. Одоо яаж гэдгийг харцгаая.

Гауссын дүрмийн дагуу бид 6 хос тоо авах бөгөөд тус бүр нь 13 болно.

1 ба 12, 2 ба 11, 3 ба 10, 4 ба 9, 5 ба 8, 6 ба 7.

Тиймээс хэсэг бүр нь 2 хос байхаар залгах шугам дээр зурах шаардлагатай.

Хариулт: эхний мөр нь 2 ба 3 тоонуудын хооронд, дараа нь 10 ба 11 тоонуудын хооронд дамжих болно; хоёр дахь мөр нь 4 ба 5 тоонуудын хооронд, дараа нь 8 ба 9-ийн хооронд байна.

Асуудал 5

Шувуудын сүрэг нисэж байна. Урд талд нь нэг шувуу (манлайлагч), хойно хоёр, дараа нь гурав, дөрөв гэх мэт.Сүүлийн эгнээнд 20 шувуу байгаа бол сүрэгт хэдэн шувуу байх вэ?

Шийдэл.

Бид 1-ээс 20 хүртэлх тоог нэмэх шаардлагатайг олж мэдэв. Ийм нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид Гауссын дүрмийг ашиглаж болно.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Асуудал 6

Бүх торонд байхаар 45 туулайг 9 торонд яаж байрлуулах вэ өөр өөр тоо хэмжээтуулай?

Шийдэл.

Хэрэв хүүхэд 1-р даалгаврын жишээнүүдийг ойлгож, шийдсэн бол 45 нь 1-ээс 9 хүртэлх тооны нийлбэр гэдгийг тэр даруй санаж байна. Тиймээс бид туулайг дараах байдлаар тарьдаг.

• эхний нүд - 1,
• хоёр дахь - 2,
• гурав дахь - 3,
• найм дахь - 8,
• ес дэх - 9.

Гэхдээ хэрэв хүүхэд үүнийг шууд олж чадахгүй бол түүнд ийм асуудлыг харгис хүчээр шийдэж болох бөгөөд хамгийн бага тооноос эхлэх хэрэгтэй гэсэн санааг өгөхийг хичээ.

Асуудал 7

Гауссын техникийг ашиглан нийлбэрийг тооцоол.

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Шийдэл.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Асуудал 8

1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г гэсэн 12 жингийн багц байгаа. Багцаас 4 жин хасагдсан бөгөөд нийт жин нь нийт жингийн нийт массын гуравны нэгтэй тэнцүү байна. Үлдсэн жинг жин тус бүрт 4 ширхэгийг хоёр жинлүүр дээр байрлуулж, тэнцвэртэй байлгах боломжтой юу?

Шийдэл.

Жингийн нийт массыг олохын тулд бид Гауссын дүрмийг ашиглана.

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Бид хасагдсан жингийн массыг тооцоолно.

Тиймээс үлдсэн жин ( нийт масс 78-26 = 52г) жин тус бүр дээр 26 г байрлуулах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр тэд тэнцвэртэй байна.

Бид ямар жинг хассаныг мэдэхгүй тул бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй.

Гауссын дүрмийг ашиглан жинг ижил жинтэй 6 хос (тус бүр нь 13 гр) болгон хувааж болно.

1г ба 12г, 2г ба 11г, 3г ба 10, 4г ба 9г, 5г ба 8г, 6г ба 7г.

Дараа нь хамгийн сайн сонголт, 4 жинг арилгахад дээрхээс хоёр хосыг хасах болно. Энэ тохиолдолд бид 4 хос үлдэх болно: нэг масштаб дээр 2 хос, нөгөө дээр 2 хос.

Хамгийн муу тохиолдол бол 4 хасагдсан жин 4 хосыг эвдэх явдал юм. Бидэнд нийт 26 гр жинтэй 2 тасрахгүй хос үлдэх бөгөөд энэ нь бид жингийн нэг хайруулын тавган дээр байрлуулж, үлдсэн жинг жингийн нөгөө хайруулын тавган дээр байрлуулж болох бөгөөд тэдгээр нь мөн 26 гр байх болно.

Хүүхдүүдийнхээ хөгжилд амжилт хүсье.