Дифференциалагдах функцийн монотон байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл. Функцийн монотон байдлын интервалууд
Энэ нь тэмдгийг өөрчилдөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг биш байдаг. Хэрэв нэмэгдэл нь тэг биш бол функцийг дуудна хатуу монотон. Монотон функц нь ижил чиглэлд өөрчлөгддөг функц юм.
Хэрэв функц нэмэгдэнэ илүү өндөр үнэ цэнэаргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна. Хэрэв аргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал функц буурдаг.
Тодорхойлолт
Дараа нь функцийг өгье
. . . .(хатуу) нэмэгдэх буюу буурах функцийг (хатуу) монотон гэж нэрлэдэг.
Бусад нэр томъёо
Заримдаа нэмэгдүүлэх функцийг дууддаг буурдаггүй, болон буурах функцууд өсөхгүй. Дараа нь хатуу өсөн нэмэгдэж буй функцийг энгийнээр нэмэгдүүлэх, хатуу буурах функцийг буурах гэж нэрлэдэг.
Монотон функцүүдийн шинж чанарууд
Функц монотон байх нөхцөл
Ерөнхийдөө эсрэгээрээ үнэн биш юм. Хатуу монотон функцийн дериватив алга болж болно. Гэсэн хэдий ч, дериватив нь тэгтэй тэнцүү биш цэгүүдийн багц нь интервал дээр нягт байх ёстой
Үүний нэгэн адил, зөвхөн дараах хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд интервалд хатуу буурдаг.
Жишээ
Мөн үзнэ үү
Викимедиа сан.
- 2010 он.
- Шүлс
Горькийн төмөр зам
Бусад толь бичгүүдээс "Монотон функц" гэж юу болохыг харна уу:Монотон функц
- f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэх (өөрөөр хэлбэл энэ интервал дээрх аргументийн аль нэг утга их байх тусам функцийн утга их байх болно) эсвэл буурах (эсрэг тохиолдолд) байж болно. ...... ...МОНОТОН ФУНКЦ - аргумент нэмэгдэхэд үргэлж өсдөг (эсвэл ядаж буурахгүй), эсвэл үргэлж буурдаг (өсдөггүй) функц ...
- f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэх (өөрөөр хэлбэл энэ интервал дээрх аргументийн аль нэг утга их байх тусам функцийн утга их байх болно) эсвэл буурах (эсрэг тохиолдолд) байж болно. ...... ...Том нэвтэрхий толь бичиг - (монотони функц) Аргументийн утга нэмэгдэхийн хэрээр функцийн утга үргэлж нэг чиглэлд өөрчлөгддөг функц. Иймд хэрэв y=f(x) бол x-ийн бүх утгын хувьд dy/dx 0 байх ба энэ тохиолдолд у нэмэгдэж байна... ...
Бусад толь бичгүүдээс "Монотон функц" гэж юу болохыг харна уу:Эдийн засгийн толь бичиг Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг
монотон функц- аргумент нэмэгдэхэд үргэлж өсдөг (эсвэл ядаж буурахгүй), эсвэл үргэлж буурдаг (өсдөггүй) функц. * * * МОНОТОН ФУНКЦИ МОНОТОН ФУНКЦ, аргумент нэмэгдэхэд үргэлж нэмэгддэг функц (эсвэл... ... Нэвтэрхий толь бичиг
- f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэх (өөрөөр хэлбэл энэ интервал дээрх аргументийн аль нэг утга их байх тусам функцийн утга их байх болно) эсвэл буурах (эсрэг тохиолдолд) байж болно. ...... ...- нэг хувьсагчийн функц, бодит тоонуудын тодорхой дэд олонлог дээр тодорхойлогддог, тооны өсөлт нь тэмдэгт өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг биш байдаг. Хэрэв тэгээс их (бага) байвал M.f. гэж нэрлэдэг....... Математик нэвтэрхий толь бичиг
- f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэх (өөрөөр хэлбэл энэ интервал дээрх аргументийн аль нэг утга их байх тусам функцийн утга их байх болно) эсвэл буурах (эсрэг тохиолдолд) байж болно. ...... ...- аргумент нэмэгдэхэд үргэлж өсдөг (эсвэл ядаж буурахгүй), эсвэл үргэлж буурдаг (өсдөггүй) функц ... Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг
Монотоник дараалалтоо өсөхөд элементүүд нь багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дараалал юм. Ийм дараалал нь судалгаанд ихэвчлэн тааралддаг бөгөөд хэд хэдэн байдаг өвөрмөц онцлогболон нэмэлт шинж чанарууд ..... ... Википедиа
функц- Нэг буюу хэд хэдэн процесс, үйл ажиллагааг гүйцэтгэхэд ашигладаг баг эсвэл бүлэг хүмүүс, багаж хэрэгсэл эсвэл бусад нөөц. Жишээлбэл, хэрэглэгчийн дэмжлэг. Энэ нэр томъёо нь бас өөр утгатай: ... ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага
Чиг үүрэг- 1. Хамаарах хувьсагч; 2. Хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондох y=f(x) харгалзах байдал, үүний улмаас зарим х хэмжигдэхүүний (аргумент эсвэл бие даасан хувьсагч) авч үзсэн утга бүр нь тодорхой утгатай тохирч байна... ... Эдийн засаг, математикийн толь бичиг
Монотон функцфункц юм өсөлтЭнэ нь тэмдгийг өөрчилдөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг байдаггүй. Хэрэв нэмэгдэл нь тэг биш бол функцийг дуудна хатуу монотон. Монотон функц нь ижил чиглэлд өөрчлөгддөг функц юм.
Хэрэв том аргументын утга нь том функцийн утгатай тохирч байвал функц нэмэгдэнэ. Хэрэв аргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал функц буурдаг.
Дараа нь функцийг өгье
(хатуу) нэмэгдэх буюу буурах функцийг (хатуу) монотон гэж нэрлэдэг.
Экстремумын тодорхойлолт
Хэрэв x1-ийн хувьд y = f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэж (буурагдаж) байна гэж хэлнэ.< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).
Хэрэв дифференциал болох y = f(x) функц интервал дээр ихсэх (багарах) бол энэ интервал дээрх түүний уламжлал f "(x) > 0 болно.
(f" (x)< 0).
f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) тэгш бус байдал үүсэх xо цэгийн хөрш байгаа бол xо цэгийг f(x) функцийн орон нутгийн максимум (минимум) цэг гэнэ. )) бүх цэгүүдэд үнэн байна.
Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг экстремум гэж нэрлэдэг.
Экстремум цэгүүд
Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв xо цэг нь f(x) функцийн экстремум цэг бол f "(xо) = 0, эсвэл f (xо) байхгүй. Ийм цэгүүдийг критик гэж нэрлэх ба функц өөрөө критик цэг дээр тодорхойлогдоно. Функцийн экстремумыг түүний чухал цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.
Эхний хангалттай нөхцөл. Хо нь эгзэгтэй цэг байцгаая. Хэрвээ f "(x) xo цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжвэл xo цэгт функц максимумтай, үгүй бол минимумтай байна. Хэрэв эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол, функц нь хо цэгээр дамжин өнгөрөх үед хамгийн их утгатай байна. тэгвэл xo цэг дээр экстремум байхгүй.
Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f(x) функц нь xо цэгийн ойролцоо f " (x) дериватив ба өөрөө xо цэг дээр хоёр дахь деривативтэй байг. Хэрэв f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
Сегмент дээр y = f(x) функц нь эгзэгтэй цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгад хүрч болно.
7. Гүдгэр, хотгор функцүүдийн интервалууд .Гулзайлтын цэгүүд.
|
Функцийн график y=f(x)дуудсан гүдгэринтервал дээр (а; б), хэрэв энэ интервал дахь шүргэгчийн аль нэг доор байрласан бол. Функцийн график y=f(x)дуудсан хотгоринтервал дээр (а; б), хэрэв энэ интервал дээр түүний шүргэгчээс дээш байрласан бол. Зураг дээр гүдгэр муруйг харуулж байна (а; б)мөн дээр нь хонхорхой (б; в). Жишээ. Өгөгдсөн интервал дахь функцийн график нь гүдгэр эсвэл хотгор байх эсэхийг тодорхойлох хангалттай шалгуурыг авч үзье. Теорем. y=f(x)Болъё (а; б)-аар ялгах боломжтой (а; б). y = f(x)Хэрэв интервалын бүх цэгүүдэд функцийн хоёр дахь дериватив""(сөрөг, өөрөөр хэлбэл.) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же функцийн хоёр дахь дериватив""(сөрөг, өөрөөр хэлбэл.е x) > 0 – хотгор. функцийн хоёр дахь дериватив""(сөрөг, өөрөөр хэлбэл.) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Баталгаа .Үүнийг тодорхой гэж үзье График дээрх функцуудыг авч үзье 0 у = f(x) сөрөг, өөрөөр хэлбэл. 0 (дурын цэг; Мабсциссатай График дээрх функцуудыг авч үзье 0 а (а; б)б сөрөг, өөрөөр хэлбэл.) ба цэгээр зурна .шүргэгч. |
|
Түүний тэгшитгэл.
Функцийн график асаалттай байгааг бид харуулах ёстой энэ шүргэгчийн доор байрладаг, өөрөөр хэлбэл. ижил утгатай.
муруйн ординат шүргэгчийн ординатаас бага байх болно., ийм байдлаар энэ цэг дээр тасралтгүй, энэ цэг дээр хязгаарлагдмал буюу тодорхой тэмдэгт хязгааргүй дериватив байдаг, нэгэн зэрэг хатуу гүдгэрийн интервалын төгсгөл нь дээшээ, хатуу гүдгэрийн интервалын эхлэл нь доош, эсвэл эсрэгээр байна.
Албан бус
Энэ тохиолдолд гол зүйл бол гулзайлтын цэгфункцийн график, өөрөөр хэлбэл "нугалах" цэг дээрх функцийн график шүргэгчЭнэ үед түүн рүү: шүргэгч дээр графын доор, графын дээр байрладаг (эсвэл эсрэгээр)
Орших нөхцөл
Гулзайлтын цэг байх зайлшгүй нөхцөл: хэрэв тухайн цэгийн аль нэг хэсэгт хоёр дахин дифференциалагдах f(x) функц нь гулзайлтын цэгтэй байвал.
Гулзайлтын цэг байх хангалттай нөхцөл: Хэрэв тухайн цэгийн аль нэг хэсэгт байрлах функц тасралтгүй дифференциал, сондгой ба, болон, a гэсэн утгатай байвал функц нь гулзайлтын цэгтэй байна.
Тодорхойлолт: Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцын том утгатай тохирч байвал функц нь тодорхой интервалаар нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.
Def.: Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцын бага утгатай тохирч байвал функцийг тодорхой интервалаар буурч байна гэж нэрлэдэг.
Хэр их нэмэгдэж байна . Үүний нэгэн адил буурах функцийг монотон гэж нэрлэдэг.
Хэрэв функц монотон биш бол түүний тодорхойлолтын мужийг функцийн тогтмол байдлын интервалаар сольж болох хязгаарлагдмал тооны монотон интервалд хувааж болно.
y = f(x) функцийн монотон байдал нь түүний анхны уламжлалын f ¤ (x) тэмдгээр тодорхойлогддог, тухайлбал, хэрэв зарим интервалд f ¤ (x) > 0 байвал функц нь энэ интервалд нэмэгддэг, хэрэв -д байвал. зарим интервал f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.
y = f(x) функцийн монотон байдлын интервалыг олох нь түүний анхны уламжлал f ¤ (x) тогтмол тэмдгийн интервалыг олох хүртэл буурна.
Эндээс y = f(x) функцийн монотон байдлын интервалыг олох дүрмийг олж авна.
1. f ¤ (x) -ийн тэг ба тасархайн цэгийг ол.
2. 1-р алхамд олж авсан цэгүүд f (x) функцийн тодорхойлолтын мужийг хуваах интервал дахь f ¤ (x) тэмдгийг туршилтын аргаар тодорхойлно.
Жишээ:
y = - x 2 + 10x + 7 функцийн монотон байдлын интервалуудыг ол
f ¤ (x) -ийг олцгооё. y¢ = -2x +10
y¢ = 0 байх цэг нь нэг бөгөөд энэ нь функцийн тодорхойлолтын мужийг дараах интервалд хуваана: (– ∞,5) ба (5,+ ∞), тус бүрд y¢ тогтмол тэмдгийг хадгална. Функцийн тодорхой утгыг эдгээр интервалд орлуулж, заасан интервал дээрх y¢ тэмдгийг тодорхойлъё.
интервал дээр (– ∞,5] y¢ > 0,
интервал дээр функц нэмэгдэж, I (3 ,+ ∞) интервалд y¢ нь тогтмол тэмдэгтэй байна. Функцийн тодорхой утгыг эдгээр интервалд орлуулж, заасан интервалууд дээрх y¢ тэмдгийг тодорхойлъё.
нэмэгдэж байнаинтервал дээр \(X\) байвал \(x_1, x_2\-д X\) нь \(x_1) Функцийг дууддаг буурдаггүй \(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) функцийг дуудна буурч байнаинтервал дээр \(X\) байвал \(x_1, x_2\-д X\) нь \(x_1) Функцийг дууддаг өсөхгүйинтервал дээр \(X\) байвал \(x_1, x_2\-д X\) нь \(x_1) \(\blacktrianglerright\) Өсөх, буурах функцуудыг дуудна хатуу монотон, мөн өсөхгүй, буурахгүй нь энгийн нэг хэвийн. \(\blacktriangleright\) Үндсэн шинж чанарууд: I.Хэрэв \(f(x)\) функц нь \(X\) дээр хатуу монотон байвал \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) тэгшитгэлээс \(f()-ийг дагаж мөрддөг. x_1)= f(x_2)\) , мөн эсрэгээр. Жишээ: \(f(x)=\sqrt x\) функц нь \(x\in \) бүгдэд хатуу нэмэгдэж байгаа тул \(x^2=9\) тэгшитгэл нь энэ интервалд хамгийн ихдээ нэг шийдэлтэй байна. эсвэл нэг нь: \(x=-3\) . \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) функц нь \(x\in (-1;+\infty)\) бүгдэд хатуу нэмэгдэж байгаа тул тэгшитгэл \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) энэ интервалд нэгээс илүү шийдэлгүй, эс тэгвээс аль нь ч байхгүй, учир нь зүүн талын тоологч хэзээ ч тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. III.Хэрэв \(f(x)\) функц нь \(\) сегмент дээр буурахгүй (өсөхгүй) ба тасралтгүй байвал сегментийн төгсгөлд \(f(a)= утгыг авна. A, f(b)=B\), дараа нь \(C\in \) (\(C\in \) ) хувьд \(f(x)=C\) тэгшитгэл ямагт нэг шийдэлтэй байна. Жишээ нь: \(f(x)=x^3\) функц нь бүх \(x\in\mathbb(R)\) хувьд хатуу нэмэгдэж (өөрөөр хэлбэл хатуу монотон) бөгөөд үргэлжилдэг, тиймээс дурын \(C\ ( -\infty;+\infty)\) дахь \(x^3=C\) тэгшитгэл яг нэг шийдэлтэй байна: \(x=\sqrt(C)\) . Даалгавар 1 №3153 Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хялбар яг хоёр үндэстэй. Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье. \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]\(f(t)=t^3+t\) функцийг авч үзье. Дараа нь тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ: \(f(t)\) функцийг судалцгаая. \ Иймээс \(f(t)\) функц бүх \(t\)-д нэмэгддэг. Энэ нь \(f(t)\) функцын утга бүр нь \(t\) аргументын яг нэг утгатай тохирч байна гэсэн үг. Тиймээс тэгшитгэл үндэстэй байхын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай. \
Үүссэн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байхын тулд ялгах чадвар нь эерэг байх ёстой. \
Хариулт: \(\зүүн(-\infty;\dfrac1(12)\баруун)\) Даалгавар 2 №2653 Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ Тэгшитгэл болох \(a\) параметрийн бүх утгыг ол \
хоёр үндэстэй. (Захиалагчдын даалгавар.) Орлуулъя: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. \
\(f(w)=7^w+\sqrtw\) функцийг авч үзье. Дараа нь бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно. Деривативыг олцгооё \
\(w\ne 0\)-ын хувьд дериватив нь \(f"(w)>0\) гэдгийг анхаарна уу, учир нь \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . \(f(w)\) функц нь өөрөө бүх \(w\)-д тодорхойлогддог \(f(w)\) тасралтгүй байх тул \(f(w)\) бүхэлдээ нэмэгддэг гэж дүгнэж болно. \(\mathbb(R)\) . \
Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байхын тулд дөрвөлжин байх ёстой бөгөөд ялгах чадвар нь эерэг байх ёстой. \[\эхлэх(тохиолдол) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\төгсгөх(тохиолдол) \дөрөв\Зүүн баруун сум\дөрөв \эхлэх(тохиолдол)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Хариулт: \((-\infty;1)\аяга(1;2)\) Даалгавар 3 №3921 Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ Тэгшитгэлийн \(a\) параметрийн бүх эерэг утгыг ол хамгийн багадаа \(2\) шийдэлтэй. \(ax\) агуулсан бүх нэр томъёог зүүн тийш, \(x^2\) агуулсан бүх нэр томъёог баруун тийш шилжүүлж, функцийг авч үзье. Дараа нь анхны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. Деривативыг олцгооё: Учир нь \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), дараа нь \(f"(t)\geqslant 0\) дурын \(t\in \mathbb(R)\) . Түүнчлэн \(f"(t)=0\) хэрэв \((t-2)^2=0\) ба \(1+\cos(2t)=0\) зэрэг байвал энэ нь үнэн биш юм. for any \ (t\) Тиймээс, \(f"(t)> 0\) ямар ч \(t\ in \mathbb(R)\) . Тиймээс \(f(t)\) функц нь бүх \(t\in \mathbb(R)\) хувьд хатуу нэмэгдэж байна. Энэ нь \(f(ax)=f(x^2)\) тэгшитгэл нь \(ax=x^2\) тэгшитгэлтэй тэнцүү гэсэн үг юм. \(a=0\)-ийн \(x^2-ax=0\) тэгшитгэл нь нэг язгууртай \(x=0\), \(a\ne 0\) хоёр өөр язгууртай \(x_1) =0 \) ба \(x_2=a\) . Хариулт: \((0;+\infty)\) . Даалгавар 4 №1232 Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ Параметрийн бүх утгыг олоорой \(a\) , тус бүрийн хувьд тэгшитгэл байна \
өвөрмөц шийдэлтэй. Тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг \(2^(\sqrt(x+1))\) (\(2^(\sqrt(x+1))>0\) )-ээр үржүүлээд тэгшитгэлийг дахин бичье. хэлбэрээр: \
Функцийг авч үзье \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)нь \(t\geqslant 0\) (\(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) оноос хойш). Дериватив \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\баруун)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\баруун)\). Учир нь \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)бүгдэд нь \(t\geqslant 0\) , дараа нь \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Үүний үр дүнд \(t\geqslant 0\) үед \(y\) функц нэг хэвийн буурна. Тэгшитгэлийг \(y(t)=y(z)\) хэлбэрээр авч үзэж болно, энд \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Функцийн монотон байдлаас үзэхэд тэгш байдал нь зөвхөн \(t=z\) тохиолдолд л боломжтой болно. Энэ нь тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм: \(ax=\sqrt(x+1)\), энэ нь эргээд системтэй тэнцүү байна: \[\эхлэх(тохиолдол) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(тохиолдлууд)\] \(a=0\) үед систем нь \(ax\geqslant 0\) нөхцөлийг хангасан \(x=-1\) нэг шийдэлтэй байна. \(a\ne 0\) тохиолдлыг авч үзье. Бүх \(a\) системийн эхний тэгшитгэлийн ялгах \(D=1+4a^2>0\) . Иймээс тэгшитгэл нь үргэлж \(x_1\) ба \(x_2\) хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээр нь өөр өөр тэмдэгтэй байдаг (Вьетагийн теоремын дагуу). \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). Энэ нь \(а<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) нөхцөл эерэг язгуураар хангагдана. Тиймээс систем нь үргэлж өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Тэгэхээр, \(a\in \mathbb(R)\) . Хариулт: \(a\in \mathbb(R)\) . Даалгавар 5 №1234 Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ Параметрийн бүх утгыг олоорой \(a\) , тус бүрийн хувьд тэгшитгэл байна \
\([-1;0]\) сегментээс дор хаяж нэг үндэстэй. Функцийг авч үзье \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)зарим нь тогтмол \(a\) . Үүний деривативыг олцгооё: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). \(f"(x)\geqslant 0\) нь \(x\) ба \(a\) -ын бүх утгуудын хувьд бөгөөд зөвхөн \(x=a=1)-ийн хувьд \(0\)-тай тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. \(a=1\)-ийн хувьд: Энэ нь бүх \(a\ne 1\) хувьд \(f(x)\) функц хатуу нэмэгдэж байгаа тул \(f(x)=0\) тэгшитгэл нь нэгээс илүү үндэстэй байж болохгүй гэсэн үг юм. Куб функцийн шинж чанарыг харгалзан үзэхэд зарим тогтмол \(a\)-ийн \(f(x)\) график дараах байдалтай байна. Энэ нь тэгшитгэл нь \([-1;0]\ сегментээс үндэстэй байхын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай гэсэн үг юм. \[\begin(тохиолдол) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(тохиолдол) \Баруун сум \эхлэх(тохиолдол) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(тохиолдол) \Баруун сум \эхлэх(тохиолдол) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(тохиолдол) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] Тиймээс \(a\in [-2;0]\) . Хариулт: \(a\-д [-2;0]\) . Даалгавар 6 №2949 Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ Параметрийн бүх утгыг олоорой \(a\) , тус бүрийн хувьд тэгшитгэл байна \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] үндэстэй. (Захиалагчдын даалгавар) ODZ тэгшитгэл: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Тиймээс тэгшитгэл үндэстэй байхын тулд дор хаяж нэг тэгшитгэл байх шаардлагатай \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(эсвэл)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^) 2)=0\] ODZ-ийн талаар шийдвэрүүд гарсан. 1) Эхний тэгшитгэлийг авч үзье \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Зүүн баруун сум\quad \left[\эхлэх(цуглуулсан)\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \төгсгөл(зохицуулсан) \төгсгөл(цуглуулсан)\баруун. \дөрөв\Зүүн баруун сум\дөрөв \син x=2a+2\]Энэ тэгшитгэл нь \(\) -д үндэстэй байх ёстой. Тойрог авч үзье: Тиймээс, аливаа \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) тэгшитгэл нь нэг шийдтэй байх ба бусад бүхнийх нь хувьд шийдэлгүй болохыг бид харж байна. Тиймээс, хэзээ \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)тэгшитгэл нь шийдлүүдтэй. 2) Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Зүүн баруун сум\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) функцийг авч үзье. Үүний деривативыг олъё: \
ODZ дээр дериватив нь нэг тэгтэй байна: \(x=\frac34\) , энэ нь мөн \(f(x)\) функцийн хамгийн их цэг юм. Иймд тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд \(f(x)\) график нь \(y=-a\) шулуун шугамтай огтлолцох шаардлагатай (зурагт тохирох хувилбаруудын аль нэгийг харуулав). Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай гэсэн үг юм \
. Эдгээрийн хувьд \(x\): \(y_1=\sqrt(x-1)\) функц хатуу нэмэгдэж байна. \(y_2=5x^2-9x\) функцийн график нь парабол бөгөөд орой нь \(x=\dfrac(9)(10)\) цэг дээр байна. Иймээс бүх \(x\geqslant 1\) функцийн хувьд \(y_2\) мөн хатуу нэмэгдэж байна (параболын баруун салбар). Учир нь хатуу нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэр хатуу нэмэгдэж, дараа нь \(f_a(x)\) хатуу нэмэгдэж байна (\(3a+8\) тогтмол нь функцийн нэгэн хэвийн байдалд нөлөөлөхгүй). \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) бүх \(x\geqslant 1\) функц нь гиперболын баруун салааны хэсгийг төлөөлж, хатуу буурч байна. \(f_a(x)=g_a(x)\) тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь \(f\) ба \(g\) функцүүдийн огтлолцох цэгүүдийг олно гэсэн үг юм. Тэдний эсрэг монотон байдлаас харахад тэгшитгэл нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй байж болно. Хэзээ \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\ аяга Хариулт: \(a\in (-\infty;-1]\аяга)
Энэ нь \(f(t)=f(u)\) тэгш байдал нь зөвхөн \(t=u\) тохиолдолд л боломжтой гэсэн үг юм. Анхны хувьсагчид руу буцаж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдье.
\
\
\
Бид тэгшитгэл нь дор хаяж хоёр үндэстэй байх \(a\) утгыг олох хэрэгтэй, мөн \(a>0\) .
Тиймээс хариулт нь: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Баруун сум f(x)=2(x-1)^3 \Баруун сум\)\(2(x-1)^3=0\) тэгшитгэл нь нөхцөлийг хангахгүй нэг язгуур \(x=1\) байна. Тиймээс \(a\) нь \(1\) -тэй тэнцүү байж болохгүй.
\(f(0)=f(1)=0\) гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс, схемийн дагуу \(f(x)\) график дараах байдалтай байна. 
