Хоёрдахь тоо толгой дохих. Хамтарсан тоо: тодорхойлолт, жишээ, шинж чанарууд
Санаж байна уу!
Хэрэв натурал тоозөвхөн 1 болон өөртөө хуваагддаг бол түүнийг анхны гэж нэрлэдэг.
Аливаа натурал тоо үргэлж 1 болон өөртөө хуваагддаг.
2 тоо нь хамгийн жижиг анхны тоо юм. Энэ бол цорын ганц тэгш анхны тоо, бусад нь анхны тоонууд- хачин.
Олон тооны анхны тоо байдаг бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь 2 тоо юм. Гэхдээ сүүлийн анхны тоо байхгүй. "Судлах" хэсэгт та 997 хүртэлх анхны тооны хүснэгтийг татаж авах боломжтой.
Гэхдээ олон натурал тоонууд бусад натурал тоонд хуваагддаг.
Жишээ нь:
- 12-ын тоо нь 1, 2, 3, 4, 6, 12-т хуваагддаг;
- 36 тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т, 18-д, 36-д хуваагдана.
Тоо бүхэлд хуваагддаг тоонуудыг (12-ын хувьд эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 6, 12) тоог хуваагч гэж нэрлэдэг.
Санаж байна уу!
Натурал тооны хуваагч нь өгөгдсөн “a” тоог үлдэгдэлгүйгээр хуваах натурал тоо юм.
Хоёроос дээш хуваагчтай натурал тоог нийлмэл тоо гэнэ.
12 ба 36 тоо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг анхаарна уу.
Эдгээр тоонууд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Санаж байна уу!
Эдгээр тоонуудын хамгийн том хуваагч нь 12 байна. Өгөгдсөн "a" ба "b" хоёр тооны нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн "a" болон "b" тоонуудыг хоёуланг нь үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо юм. Хамгийн том нийтлэг хуваагч(GCD) өгөгдсөн хоёр тооны “a” ба “b” байна
хамгийн их тоо:
, үүгээр “a” болон “b” тоо хоёулаа үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.
Товчхондоо “a” ба “b” тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг дараах байдлаар бичнэ.
GCD (a; b) . Жишээ нь: gcd (12; 36) = 12.Шийдлийн тэмдэглэгээнд байгаа тоон хуваагчийг заана
том үсэг
"D".
D (7) = (1, 7)
D (9) = (1, 9) GCD (7; 9) = 1.
Санаж байна уу!
7 ба 9 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай байдаг - 1 тоо.Ийм тоонуудыг дууддаг
харьцуулах тоо
Тоонуудыг харьцуулах
- - эдгээр нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай натурал тоонууд юм - 1 тоо. Тэдний gcd нь 1 байна.
Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ
Хоёр ба түүнээс дээш натурал тооны gcd-г олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй: тооны хуваагчдыг анхны хүчин зүйл болгон задлах;Босоо баар ашиглан тооцоо бичихэд тохиромжтой. Мөрийн зүүн талд бид эхлээд ногдол ашгийг, баруун талд - хуваагчийг бичнэ. Дараа нь зүүн баганад бид координатуудын утгыг бичнэ.
- Бид хоёр тоон дээр ижил үндсэн хүчин зүйлсийг онцолж байна.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Ижил анхны хүчин зүйлийн үржвэрийг олж, хариултыг бичнэ үү;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4Хариулт: GCD (28; 64) = 4
Та GCD-ийн байршлыг хоёр аргаар албан ёсны болгож болно: баганад (дээр дурдсанчлан) эсвэл "эгнэн".
Анхны болон нийлмэл тоо
Тодорхойлолт 1. Хэд хэдэн натурал тооны нийтлэг хуваагч нь эдгээр тоо тус бүрийн хуваагч тоо юм.
Тодорхойлолт 2. Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг нэрлэдэг хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD).
Жишээ 1. 30, 45, 60 тоонуудын нийтлэг хуваагч нь 3, 5, 15 гэсэн тоонууд юм.
Эдгээр тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь
GCD (30, 45, 10) = 15. Тодорхойлолт 3. Хэд хэдэн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1 бол эдгээр тоонуудыг дуудна.
харилцан ашигтай
Жишээ 2. 40 ба 3-ын тоо нь анхны тоо байх боловч 56 ба 21-ийн тоо нь 1-ээс их 7-ийн нийтлэг хүчин зүйлтэй тул 56 ба 21-ийн тоо нь анхны тоо биш юм.
Анхаарна уу. Бутархайн хуваагч ба бутархайн хуваагч нь харилцан анхны тоонууд бол ийм бутархайг багасгах боломжгүй юм.
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох алгоритм Ингээд авч үзьеХамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох алгоритм
дараах жишээнд хэд хэдэн тоо.
Жишээ 3. 100, 750, 800 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.
Шийдэл. Эдгээр тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон авч үзье. Анхны хүчин зүйл 2 нь эхний хүчин зүйлчлэлд 2-ын зэрэглэлд, хоёр дахь хүчин зүйлчлэлд 1-ийн зэрэглэлд, гурав дахь хүчин зүйлчлэлд 5-ын зэрэглэлд багтсан болно. гэж тэмдэглэе хамгийн жижиг = 1 .
a үсгээр эдгээр эрх мэдлийн. Анхны хүчин зүйл 2 нь эхний хүчин зүйлчлэлд 2-ын зэрэглэлд, хоёр дахь хүчин зүйлчлэлд 1-ийн зэрэглэлд, гурав дахь хүчин зүйлчлэлд 5-ын зэрэглэлд багтсан болно. Энэ нь ойлгомжтой а = 0 .
Анхны хүчин зүйл 3 нь эхний хүчин зүйлчлэлд 0-ийн зэрэглэлд ордог (өөрөөр хэлбэл 3-р хүчин зүйл нь эхний хүчин зүйлчлэлд огт ордоггүй), хоёр дахь хүчин зүйл нь 1-ийн зэрэгт, мөн Гурав дахь хүчин зүйлчлэл - 0-ийн зэрэглэлд. Анхны хүчин зүйл 2 нь эхний хүчин зүйлчлэлд 2-ын зэрэглэлд, хоёр дахь хүчин зүйлчлэлд 1-ийн зэрэглэлд, гурав дахь хүчин зүйлчлэлд 5-ын зэрэглэлд багтсан болно. гэж тэмдэглэе b үсгээр эдгээр эрх мэдлийг. = 2 .
09.07.2015 6119 0Энэ нь ойлгомжтой б
Анхны хүчин зүйл 5 нь 2-ын зэрэглэлд, хоёр дахь хүчин зүйлчлэлд 3-ын хүчинд, гурав дахь хүчин зүйлд 2-ын зэрэглэлд тусгагдсан болно.
гэж тэмдэглэе Эдгээр эрх мэдлийг c үсгээр илэрхийлнэ.Энэ нь ойлгомжтой
2. Бүх тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог нэрлэнэ үү. (Тэг.)
3. Хоёр бүхэл тооны нийлбэр сондгой. Тэдний бүтээгдэхүүн тэгш эсвэл сондгой юу? (Хоёр тооны нийлбэр сондгой бол нэг тоо тэгш, хоёр дахь нь сондгой байна. Хүчин зүйлийн аль нэг нь тэгш тоо тул 2-т хуваагдана, үржвэр нь 2-т хуваагдана гэсэн үг. Дараа нь Бүх бүтээгдэхүүн жигд байна.)
4. Нэг айлд ах дүү гурав нэг эгчтэй. Гэр бүлд хэдэн хүүхэд байдаг вэ? (4 хүүхэд: гурван хүү, тэдний нэг эгч.)
III . Хувь хүний ажил
210 тоог бүх боломжит аргаар өргөжүүл.
a) 2 үржүүлэгчээр; (210 = 21 10 = 14 15 = 7 30 = 70 3 = 6 35 = 42 5 = 105 2.)
б) 3 үржүүлэгчээр; (210 = 3 7 10 = 5 3 14 = 7 5 6 = 35 2 3 = 21 2 5 = 7 2 15.)
в) 4 хүчин зүйлээр. (210 = 3 7 2 5.)
IV. Хичээлийн сэдвийн мессеж
"Тоонууд дэлхийг захирдаг." Эдгээр үгс нь 5-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн математикч Пифагорынх юм. МЭӨ
Өнөөдөр бид харьцангуй анхны гэж нэрлэгддэг өөр нэг бүлэг тоотой танилцах болно.
V. Шинэ материал сурах
1. Бэлтгэл ажил.
No 146 х 25 (самбар болон дэвтэр дээр). (Одоогоор нэг оюутан бие даан ажиллаж байна арын талсамбар.)
Тоо бүрийн бүх хуваагчийг ол.
Тэдний нийтлэг хуваагчдын доогуур зур.
Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг бич.
Хариулт:
Ямар тоонд зөвхөн нэг нийтлэг хүчин зүйл байдаг вэ? (35 ба 88.)
2. Шинэ сэдэв дээр ажиллах.
(Бие даан, энэ үед нэг оюутан самбарын арын хэсэгт ажилладаг.)
Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол: 7 ба 21; 25 ба 9; 8 ба 12; 5 ба 3; 15 ба 40; 7 ба 8.
Хариулт:
GCD (7; 21) = 7; GCD (25; 9) = 1; GCD (8; 12) = 4;
GCD (5; 3)= 1; GCD (15; 40) = 5; GCD (7; 8) = 1.
Аль хос тоо ижил нийтлэг хуваагчтай вэ? (25 ба 9; 5 ба 3; 7 ба 8 - нийтлэг хуваагч 1.)
Ийм тоог харьцангуй энгийн гэж нэрлэдэг.
Хамтарсан тооны тодорхойлолтыг өг.
Хамтарсан тооны жишээг өг. (35 ба 88, 3 ба 7; 12 ба 35; 16 ба 9.)
VI. Түүхэн мөч
Эртний Грекчүүд хоёр натурал тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хүчин зүйлчлэлгүйгээр олох гайхалтай аргыг бодож олжээ. Үүнийг "Евклидийн алгоритм" гэж нэрлэдэг байв.
Грекийн математикч Евклидийн амьдралын талаар найдвартай мэдээлэл тодорхойгүй байна. Тэр шилдэгийг эзэмшдэг шинжлэх ухааны ажил, "Эхлэл" гэж нэрлэдэг. Энэ нь 13 номоос бүрдэх ба эртний Грекийн бүх математикийн үндсийг тодорхойлсон.
Хоёр натурал тооны хамгийн их нийтлэг хуваагч нь эдгээр тоонуудыг дараалан хуваахад тэгээс ялгаатай хамгийн сүүлчийнх нь үлдэгдэл байхаас бүрддэг Евклидийн алгоритмыг энд тайлбарласан болно. Дараалсан хуваах гэдэг нь их тоог бага тоонд хуваахыг хэлнэ. бага тооэхний үлдэгдэл, эхний үлдэгдэл хоёр дахь үлдэгдэл гэх мэтээр хуваагдал үлдэгдэлгүй дуусах хүртэл. Бид GCD (455; 312) олох хэрэгтэй гэж бодъё
455: 312 = 1 (үлдсэн 143), бид 455 = 312 1 + 143 авна.
312: 143 = 2 (үлдсэн 26), 312 = 143 2 + 26,
143: 26 = 5 (үлдсэн 13), 143 = 26 5 + 13,
26: 13 = 2 (үлдсэн 0), 26 = 13 2.
Сүүлчийн хуваагч буюу хамгийн сүүлчийн тэг бус үлдэгдэл нь 13 бөгөөд хүссэн gcd (455; 312) = 13 байх болно.
VII. Биеийн тамирын минут
VIII. Даалгавар дээр ажиллаж байна
1. No 152 х 26 (самбар болон дэвтэрт дэлгэрэнгүй тайлбартай).
Асуудлыг уншина уу.
Ямар асуудал яриад байгаа юм бэ?
Асуудал юу хэлэх вэ?
Асуудлын 1-р асуултыг нэрлэнэ үү.
Зул сарын гацуур мод дээр хэдэн хүүхэд байсныг яаж мэдэх вэ? (123 ба 82 тоонуудын gcd-г ол.)
Энэ асуудлын даалгаврыг дэвтэрээсээ уншина уу. (Жүрж, алимны тоо хамгийн их тоонд хуваагдах ёстой.)
Бэлэг болгонд хэдэн жүрж байгааг яаж мэдэх вэ? (Нийт жүржийн тоог модонд байгаа хүүхдүүдийн тоонд хуваа.)
Бэлэг болгонд хэдэн алим байгааг яаж мэдэх вэ? (Нийт алимны тоог модонд байгаа хүүхдүүдийн тоонд хуваа.)
Асуудлын шийдлийг хэвлэмэл дэвтэрт бичээрэй.
Шийдэл:
GCD (123; 82) = 41, энэ нь 41 хүн гэсэн үг.
123: 41 = 3 (AP.)
82: 41 = 2 (алим)
(Хариулт: 41 залуу, 3 жүрж, 2 алим.)
2. No 164 (2) 27-р хуудас (богино дүн шинжилгээ хийсний дараа нэг оюутан - самбарын арын хэсэгт, бусад нь бие даан, дараа нь өөрийгөө шалгах).
Асуудлыг уншина уу.
Боловсруулсан өнцгийн хэмжүүр хэд вэ?
Хэрэв нэг өнцөг 4 дахин бага бол хоёр дахь өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? (Энэ нь 4 дахин том.)
Үүнийг богино тэмдэглэлд бичээрэй.
Та асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? (Алгебр.)
Шийдэл:
1) RNS өнцгийн хэмжүүрийг x гэж үзье,
4x - өнцгийн хэмжүүрКОД.
RNS болон өнцгийн нийлбэрээс хойшКОД 180°-тай тэнцүү бол бид тэгшитгэлийг үүсгэнэ.
x + 4x = 180
5х = 180
x = 180: 5
x = 36; 36° нь SOC өнцгийн хэмжүүр юм.
2) 36 · 4 = 144° - өнцгийн градусын хэмжүүрКОД.
(Хариулт: 36°, 144°.)
Эдгээр өнцгүүдийг байгуул.
RNS өнцгийн төрлийг тодорхойлох баКОД . (SOK өнцөг нь хурц, өнцөг KOD - тэнэг.)
Яагаад?
IX. Сурсан материалыг бататгах
1. No 149 х 26 (дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий самбар дээр).
Тоонууд давхар анхны мөн эсэхийг тодорхойлохын тулд юу хийх ёстой вэ? (Тэдний хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол; хэрэв энэ нь 1-тэй тэнцүү бол тоонууд харьцангуй анхны байна.)
2. No 150 х 26 (аман).
Хариултаа баталгаажуулна уу. (9 ба 14; 14 ба 15; 14 ба 27 нь хос анхны тоо, учир нь тэдгээрийн gcd нь 1.)
3. No151 х 26 (нэг сурагч самбар дээр, үлдсэн нь дэвтэрт).
(Хариулт: 
.)
Хэн санал нийлэхгүй байна вэ?
4. Амаар, дэлгэрэнгүй тайлбартай.
Хэд хэдэн натурал тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ? (Хоёр тоотой ижил аргаар ол.)
Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол:
a) 18, 14, 6; b) 26, 15, 9; в) 12, 24, 48; d) 30, 50, 70.
Шийдэл:
a) 1. 18 ба 14 тоо 6-д хуваагддаг эсэхийг шалгацгаая. Үгүй.
2. Хамгийн бага 6 = 2 3 тоог үржвэрлэе.
3. 18 ба 14 тоо 3-т хуваагдах эсэхийг шалгая.Үгүй.
4. 18 ба 14 тоо 2-т хуваагдах эсэхийг шалгая. Тийм. Тиймээс GCD (18; 14; 6) = 2.
b) GCD (26; 15; 9) = 1.
Эдгээр тоонуудын талаар та юу хэлэх вэ? (Тэд харьцангуй сайн.)
в) GCD (12; 24; 48) = 12.
d) GCD (30; 50; 70) = 10.
X. Бие даасан ажил
Үе тэнгийн үнэлгээ. (Хариултуудыг хаалтын самбар дээр бичсэн.)
Сонголт I. No 161 (a, b) p 27, No 157 (b - 1st and 3rd) p.
Сонголт II . No 161 (c, d) p 27, No 157 (b - 2th and 3rd) 27-р тал.
XI. Хичээлийг дүгнэж байна
Ямар тоонуудыг анхны тоо гэж нэрлэдэг вэ?
Өгөгдсөн тоонууд хувь тэнцүү эсэхийг яаж мэдэх вэ?
Хэд хэдэн натурал тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ?
Гэрийн даалгавар
No 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 х 28.
Нэмэлт даалгавар:Анхны тооны 311-ийн цифрүүдийг өөрчилснөөр анхны тоо дахин гарч ирнэ (энгийн тооны хүснэгтээс үүнийг шалгана уу). Бүгдийг нь ол давхар тоо, ижил өмчтэй байх. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)
Тольятти хотын дүүрэг
"Хамгийн том нийтлэг хуваагч. Харилцан анхны тоонууд.
Багш Костина Т.К.
g.o. Тольятти
Хичээлийн сэдэв: “Хамгийн том нийтлэг хуваагч.
Харилцан анхны тоо"
Хичээлийн урьдчилсан бэлтгэл:оюутнууд "Хуваагч ба үржвэр", "10, 5, 2, 3, 9-д хуваагдах тест", "Эхний ба нийлмэл тоо", "Эхний үржүүлэх" сэдвүүдийг мэддэг байх ёстой.
Хичээлийн зорилго:
Боловсролын: gcd болон анхны тооны тухай ойлголтыг судлах; оюутнуудад тоонуудын gcd-ийг олохыг заах; судалсан материалыг нэгтгэн дүгнэх, дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх нөхцөлийг бүрдүүлэх.
Боловсрол: өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх; хариуцлагын мэдрэмжийг төлөвшүүлэх.
Хөгжүүлэлт: ой санамж, төсөөлөл, сэтгэлгээ, анхаарал, оюун ухааныг хөгжүүлэх.
Хичээлийн явц
Логик бодлогын минут Аман ажил.
1. Эмээ, өвөө хоёр ач зээдээ цэцэрлэгээс сондгой тооны чангаанз авчирчээ. Эдгээр гүйлсийг ач зээ нартаа тэнцүү хувааж болох уу? [Чадах]
2. Нэг тосгоноос нөгөө тосгон хүртэл 3 км. Эдгээр тосгоноос хоёр хүн ижил хурдтайгаар бие биенийхээ зүг гарч ирэв. Уулзалт хагас цагийн дараа болов. Тус бүрийн хурдыг ол.
3. Жуулчин нийт замын 2/5-ыг алхсан. Үүний дараа тэрээр өмнө нь туулсанаасаа 4 км илүү явах ёстой байв. Бүх замыг олох.
4. Сагсанд байгаа өндөгний тоо 40 хүрэхгүй. Хосоор нь тоолвол 1 өндөг үлдэнэ. Гурав дахин тоолвол нэг өндөг үлдэнэ. Сагсанд хэдэн өндөг байгаа вэ? (31)
2. Давталт.
Хүснэгтийг ашиглан бид хуваагч, олон тооны тодорхойлолт, хуваагдах шинж тэмдэг, анхны болон нийлмэл тоонуудын тодорхойлолтыг давтана. Дэлгэц дээр амьтдын дүрс бүхий слайдууд, Самара мужийн газрын зураг, VAZ-ийн гэрэл зургууд байдаг.
3. Шинэ материалыг харилцан яриа хэлбэрээр судлах.
18, 21, 24-ийн хуваагчдыг нэрлэ.
VAZ-ийн талбай нь 500 га. Энэ тоог ямар үндсэн хүчин зүйлд тооцож болох вэ? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
120 ба 80 тоонуудын нийтлэг хуваагч хэд вэ?
Баавгайн жин 525 кг. Зааны жин 5025 кг. Зарим нийтлэг хуваагчдыг нэрлэ
Минж 24 кг жинтэй, урт нь 97 см. Тэдний нийтлэг хуваагчдыг нэрлэ.
Зорчигч тээврийн 1 онгоц 9 цаг ажиллахад 56640 тонн хүчилтөрөгч хэрэглэдэг. Ийм хэмжээний хүчилтөрөгч 35 мянган га ойд фотосинтезийн явцад ялгардаг. Энэ тооны хэд хэдэн хуваагчийг нэрлэ.
Эдгээр тоонуудын аль нь анхны, аль нь нийлмэл тоо вэ? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Аль тоо нь бүх тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах вэ?
Аль тоо нь натурал тооны хуваагч вэ?
34*28+85*20 илэрхийлэл 17-д хуваагдах уу?
4132*7008 илэрхийлэл 3-т хуваагдах уу?
Хэмжилт (3*5*2*7*13)/(5*2*13)= хэд вэ?
Бүтээгдэхүүн (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3) гэж юу вэ?
Зарим анхны тоог жагсаа.
Байгалийн тоон цувааны дагуу цааш явах тусам анхны тоог олоход хэцүү болно. Бид байгалийн цуваа дагуу нисдэг онгоцонд нисч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Эргэн тойрон харанхуй бөгөөд зөвхөн анхны тоог гэрлээр зааж өгдөг. Аялалын эхэнд маш их гэрэл асч, дараа нь бага, бага байдаг.
Эртний Грекийн эрдэмтэн Евклид 2300 жилийн өмнө хязгааргүй олон анхны тоо байдаг бөгөөд хамгийн том анхны тоо байдаггүй гэдгийг нотолсон.
Анхны тооны асуудлыг эртний Грекийн эрдэмтэн Эратосфен зэрэг олон математикчид судалж байжээ. Түүний анхны тоог олох аргыг Эратосфенийн шигшүүр гэж нэрлэдэг байв.
18-р зуунд амьдарч байсан, Санкт-Петербургийн Шинжлэх ухааны академийн гишүүн Голдбах, Эйлер нар анхны тооны бодлого дээр ажиллаж байжээ. Тэд натурал тоо бүрийг анхны тоонуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно гэж таамагласан боловч энэ нь батлагдаагүй. 1937 онд Зөвлөлтийн академич Виноградов энэ саналыг баталжээ.
Энэтхэгийн заан 65 жил, матар 51 жил, тэмээ 23 жил, морь 19 жил насалсан байна. Эдгээр тоонуудын аль нь анхны ба нийлмэл тоо вэ?
Чоно туулайг гүйцэж байна, тэр лабиринтаар дамжин өнгөрөх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь анхны тоо бол та дамжуулж болно [тус бүр нь гурван жишээ бүхий дугуй хэлбэртэй лабиринт, голд нь байшин]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
Асуудлыг самбар дээр бичнэ үү.
Хуваагч 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Хуваагч 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
GCD (48; 36) = 12 12 бэлэг хуваагчийн GCD-г тодорхойлох GCD олох дүрэм
Бүх хуваагчдыг жагсаахад хэцүү үед их тооны gcd-ийг хэрхэн олох вэ. Хүснэгт болон сурах бичиг дээр үндэслэн бид дүрмийг гаргадаг. Бид үндсэн үгсийг онцлон тэмдэглэв: задлах, зохиох, үржүүлэх.
Би олон тооны GCD-г олох жишээг эндээс харж болно, бид Евклидийн алгоритмыг ашиглан олон тооны GCD-ийг олж болно. Бид энэ алгоритмын талаар хичээл дээр илүү ихийг мэдэх болно. математикийн сургууль.
Алгоритм гэдэг нь үйлдлийг гүйцэтгэх дүрэм юм. 9-р зуунд ийм дүрмийг Арабын математикч Алхваруими өгсөн.
4. 4 хүнтэй баг болон ажиллана.
Хүн бүр даалгаврын 4 сонголтын аль нэгийг хүлээн авдаг бөгөөд энэ нь дараахь зүйлийг харуулж байна.
Оюутан сурах бичгээс онолыг судалж, нэг асуултанд хариулах ёстой
GCD олох жишээг судал
Бие даасан ажлын даалгаврыг гүйцэтгэнэ.
Ажлын төгсгөлд бага зэрэг бие даасан ажил хийдэг.
CSR картууд
Сонголт 1
1. Ямар тоог анхны тоо гэж нэрлэдэг вэ? Ямар тоог нийлмэл гэж нэрлэдэг вэ?
2. GCD-г ол (96; 36)
Тоонуудын gcd-ийг олохын тулд өгөгдсөн тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
96 ба 36 тоонуудын gcd болох тооны задралд хамгийн бага илтгэгчтэй нийтлэг анхны хүчин зүйлс орно.
GCD (96;36)=2 2 *3=4*3=12
3. Өөрийнхөө төлөө шийд. GCD(102; 84), GCD(75; 28), GCD(120; 144)
Сонголт 2
1. Натурал тоог анхны үржүүлэгчид гэж юу гэсэн үг вэ? Эдгээр тоонуудын нийтлэг хуваагч гэж ямар тоог хэлэх вэ?
2. Жишээ gcd (54; 72)=18
3. Өөрийгөө шийдээрэй GCD(144; 128), GCD(81; 64), GCD(360; 840)
Сонголт 3
1. Ямар тоонуудыг харьцангуй энгийн тоо гэж нэрлэдэг вэ? Жишээ хэлье.
2. Жишээ gcd (72; 96) =24
3. Өөрийгөө шийдээрэй GCD(102, 170), GCD(45, 64), GCD(864, 192)
Сонголт 4
1. Тоонуудын нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ?
2. Жишээ GCD (360; 432)
3. Өөрийгөө шийдээрэй GCD (135; 105), GCD (128; 75), GCD (360; 8400)
Бие даасан ажил
| Сонголт 1 | Сонголт 2 | Сонголт 3 | Сонголт 4 |
| GCD (180; 120) | GCD (150; 375) | GCD (135; 315; 450) | GCD (250; 125; 375) |
| GCD (2016; 1320) | GCD (504; 756) | GCD (1575, 6615) | GCD (468; 702) |
| GCD (3120; 900) | GCD (1028; 1152) | GCD (1512; 1008) | GCD (3375; 2250) |
5. Хичээлийг дүгнэх. Бие даан хийсэн ажлын дүнг тайлагнах.
Энэ нийтлэлд бид анхны тоо гэж юу болох талаар ярих болно. Эхний догол мөрөнд бид хоёр, гурав ба түүнээс дээш харьцангуй анхны тоонуудын тодорхойлолтыг томъёолж, хэд хэдэн жишээ өгч, ямар тохиолдолд хоёр тоог бие биенээсээ анхны тоо гэж үзэж болохыг харуулах болно. Үүний дараа бид үндсэн шинж чанарууд, тэдгээрийн нотолгоог тодорхойлох томъёолол руу шилждэг. Сүүлийн догол мөрөнд бид холбогдох ойлголтын талаар ярих болно - хос анхны тоо.
Хамтарсан тоо гэж юу вэ
Хоёр буюу түүнээс дээш бүхэл тоо нь харилцан анхны байж болно. Эхлээд хамгийн том нийтлэг хуваагч гэсэн ойлголт хэрэгтэй байгаа хоёр тооны тодорхойлолтыг танилцуулъя. Шаардлагатай бол түүнд зориулсан материалыг давтана.
Тодорхойлолт 1
Ийм хоёр a ба b тоо нь харилцан анхны байх ба хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. GCD (a , b) = 1 .
-аас энэ тодорхойлолтХоёр хос анхны тооны цорын ганц эерэг нийтлэг хуваагч нь 1-тэй тэнцүү байна гэж бид дүгнэж болно. Зөвхөн хоёр ийм тоо нь хоёр нийтлэг хуваагчтай байдаг - нэг ба хасах нэг.
Хоёрдахь тоонуудын жишээ юу вэ? Жишээлбэл, ийм хос нь 5 ба 11 байх болно. Тэд 1-тэй тэнцүү зөвхөн нэг нийтлэг эерэг хуваагчтай бөгөөд энэ нь харилцан энгийн байдлыг баталгаажуулдаг.
Хэрэв бид хоёр анхны тоог авбал бие биентэйгээ харьцуулахад тэдгээр нь бүх тохиолдолд нэмэлт анхны тоо байх болно, гэхдээ ийм харилцан харилцааМөн нийлмэл тоонуудын хооронд үүсдэг. Харьцангуй анхны тоонуудын нэг тоо нийлмэл, хоёр дахь нь анхны буюу хоёулаа нийлмэл байх тохиолдол байдаг.
Энэ мэдэгдлийг дараах жишээгээр харуулав: нийлмэл тоо 9 ба 8 нь харьцангуй анхны хосыг бүрдүүлдэг. Тэдний хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тооцоолж үүнийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийн бүх хуваагчдыг бичдэг (бид тооны хуваагчийг олох тухай өгүүллийг дахин уншихыг зөвлөж байна). 8-ийн хувьд эдгээр тоо нь ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, 9-ийн хувьд - ± 1, ± 3, ± 9 байна. Бид бүх хуваагчаас нийтлэг бөгөөд хамгийн томыг нь сонгодог - энэ бол эв нэгдэл юм. Тиймээс, хэрэв GCD (8, − 9) = 1 бол 8 ба - 9 нь бие биентэйгээ харьцуулах болно.
Хамтарсан тоонууд нь 500 ба 45 биш, учир нь тэдгээр нь өөр нэг нийтлэг хуваагчтай байдаг - 5 (5-д хуваагдах шалгуурын талаархи нийтлэлийг үзнэ үү). Тав нь нэгээс их бөгөөд эерэг тоо. Өөр нэг ижил төстэй хос нь 201 ба 3 байж болно, учир нь хоёуланг нь 3-т хувааж болно, учир нь харгалзах хуваагдлын тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Практикт ихэвчлэн хоёр бүхэл тооны харьцангуй анхны байдлыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Үүнийг олж мэдсэнээр хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олж, нэгдмэл байдалтай харьцуулж болно. Шаардлагагүй тооцоо хийхгүйн тулд энгийн тоонуудын хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой: хэрэв өгөгдсөн тоонуудын аль нэг нь энэ хүснэгтэд байгаа бол энэ нь зөвхөн нэг болон өөрөө хуваагдана. Иймэрхүү асуудлын шийдлийг авч үзье.
Жишээ 1
Нөхцөл: 275 ба 84 тоонууд хос анхны мөн эсэхийг олж мэд.
Шийдэл
Энэ хоёр тоо нь нэгээс олон хуваагчтай тул бид тэдгээрийг харьцангуй анхны гэж шууд хэлж чадахгүй.
Бид Евклидийн алгоритмыг ашиглан хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тооцоолно: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.
Хариулт: GCD (84, 275) = 1 тул эдгээр тоонууд харьцангуй энгийн байх болно.
Өмнө дурьдсанчлан ийм тооны тодорхойлолтыг бид хоёр биш, харин түүнээс дээш тоотой тохиолдолд өргөжүүлж болно.
Тодорхойлолт 2
a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 бүхэл тоонууд нь 1-тэй тэнцүү хамгийн их нийтлэг хуваагчтай байх үед харилцан анхны тоо болно.
Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бидэнд хамгийн том эерэг хуваагч нь 1-ээс их байх зарим тооны багц байвал эдгээр бүх тоонууд бие биенээсээ урвуу биш юм.
Хэд хэдэн жишээ татъя. Тиймээс − 99, 17 ба − 27 бүхэл тоонууд харьцангуй анхны тоонууд юм. 2, 3, 11, 19, 151, 293, 667-р дарааллын нэгэн адил хүн амын бүх гишүүдийн хувьд ямар ч тооны анхны тоо анхны тоо байх болно. Гэхдээ 12, − 9, 900 ба тоонууд − 72 харьцангуй анхны биш байх болно, учир нь тэд нэгдмэл байдлаас гадна 3-тай тэнцэх нэг эерэг хуваагчтай байх болно. 17, 85, 187 тоонд мөн адил хамаарна: нэгээс бусад нь бүгдийг 17-д хувааж болно.
Ихэвчлэн тоонуудын харилцан адилгүй байдал нь анх харахад тодорхойгүй байдаг; Зарим тоо харьцангуй анхных эсэхийг мэдэхийн тулд тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олж, нэг тоогоор харьцуулан дүгнэлт гаргах хэрэгтэй.
Жишээ 2
Нөхцөл: 331, 463, 733 тоонууд харьцангуй анхных эсэхийг тодорхойлно.
Шийдэл
Анхны тооны хүснэгтийг шалгаж, эдгээр гурван тоо бүгд дотор нь байгааг тодорхойлъё. Дараа нь тэдний нийтлэг хуваагч нь зөвхөн нэг байж болно.
Хариулт:Эдгээр бүх тоонууд бие биетэйгээ харьцуулах болно.
Жишээ 3
Нөхцөл:− 14, 105, − 2 107 ба − 91 тоонууд хос анхны тоо биш гэдгийг нотлох.
Шийдэл
Тэдний хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тодорхойлж, дараа нь 1-тэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая. Сөрөг тоонууд нь эерэг тоонуудтай ижил хуваагчтай тул gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91) болно. Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох тухай өгүүлэлд бидний өгсөн дүрмийн дагуу энэ тохиолдолд GCD нь долоотой тэнцүү байх болно.
Хариулт:долоо нь нэгээс их байгаа нь эдгээр тоо харьцангуй анхдагч биш гэсэн үг юм.
Хамтарсан тооны үндсэн шинж чанарууд
Ийм тоо нь практик чухал шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийг дарааллаар нь жагсааж, баталцгаая.
Тодорхойлолт 3
Хэрэв бид a ба b бүхэл тоог тэдгээрийн хамгийн их нийтлэг хуваагчтай харгалзах тоонд хуваавал бид хоёр дахь анхны тоонуудыг авна. Өөрөөр хэлбэл, a: gcd (a, b) ба b: gcd (a, b) харьцангуй энгийн байх болно.
Бид энэ өмчийг аль хэдийн нотолсон. Нотлох баримтыг хамгийн их нийтлэг хуваагчийн шинж чанаруудын тухай өгүүллээс олж болно. Үүний ачаар бид харьцангуй анхны тооны хосыг тодорхойлж чадна: бид зүгээр л дурын хоёр бүхэл тоог аваад GCD-д хуваах хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид нэмэлт тоонуудыг авах ёстой.
Тодорхойлолт 4
Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл a ба b тоонуудын харилцан анхны байдал нь ийм бүхэл тоо байгаа явдал юм u 0Тэгээд v 0, үүний төлөө тэгш байдал a · u 0 + b · v 0 = 1үнэн байх болно.
Нотлох баримт 1
Энэ нөхцөл зайлшгүй шаардлагатайг нотлох замаар эхэлцгээе. Бидэнд а ба b гэж тэмдэглэгдсэн харьцангуй анхны хоёр тоо байна гэж бодъё. Дараа нь энэ ойлголтын тодорхойлолтоор тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь нэгтэй тэнцүү байх болно. gcd-ийн шинж чанаруудаас бид a ба b бүхэл тоонуудын хувьд Bezout хамаарал байдгийг мэднэ a · u 0 + b · v 0 = gcd (a, b). Үүнээс бид үүнийг олж авдаг a · u 0 + b · v 0 = 1. Үүний дараа бид нөхцөл байдлын хангалттай эсэхийг нотлох хэрэгтэй. Тэгш байя a · u 0 + b · v 0 = 1хэрэв энэ тохиолдолд үнэн байх болно GCD (a, b)хуваах ба a , ба b , тэгвэл энэ нь мөн нийлбэрийг хуваана a · u 0 + b · v 0, ба нэгж тус тус (энэ нь хуваагдах шинж чанарт үндэслэн маргаж болно). Мөн энэ нь зөвхөн тохиолдолд л боломжтой юм GCD (a, b) = 1, энэ нь a ба b-ийн харилцан энгийн байдлыг нотолж байна.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв a ба b нь хоёр дахин хэмжигдэхүүн бол өмнөх шинж чанарын дагуу тэгш байдал үнэн болно a · u 0 + b · v 0 = 1. Бид хоёр талыг c-ээр үржүүлээд үүнийг авна a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Бид эхний нэр томъёог хувааж болно a · c · u 0 + b · c · v 0 b-ээр, учир нь энэ нь a · c-д боломжтой бөгөөд хоёр дахь гишүүн нь мөн b-д хуваагддаг, учир нь бидний нэг хүчин зүйл b-тэй тэнцүү. Эндээс бид нийт нийлбэрийг b-д хувааж болох бөгөөд энэ нийлбэр нь c-тэй тэнцүү тул c-г b-д хувааж болно гэж дүгнэж байна.
Тодорхойлолт 5
Хэрэв a ба b хоёр бүхэл тоо нь нэгдэл бол gcd (a c, b) = gcd (c, b).
Нотлох баримт 2
GCD (a c, b) нь GCD (c, b) хуваагдана, үүний дараа GCD (c, b) нь GCD (a c, b) хуваагдана гэдгийг баталцгаая, энэ нь GCD тэгш байдлын зөв байдлын баталгаа болно. (a · c, b) = GCD (c , b) .
GCD (a · c, b) a · c ба b-г хоёуланг нь хувааж, GCD (a · c, b) b-г хуваадаг тул энэ нь мөн b · c-г хуваана. Энэ нь GCD (a c, b) нь a c ба b c хоёуланг нь хуваадаг тул GCD-ийн шинж чанараас шалтгаалан GCD (a c, b c) -ийг хуваадаг бөгөөд энэ нь c GCD (a, b ) = c -тэй тэнцүү байх болно. Тиймээс GCD (a · c, b) b ба c хоёуланг нь хуваадаг тул GCD (c, b) -ийг бас хуваадаг.
Түүнчлэн GCD (c, b) нь c ба b-г хоёуланг нь хуваадаг тул энэ нь c ба c хоёуланг нь хуваана гэж хэлж болно. Энэ нь GCD (c, b) нь a · c ба b-г хоёуланг нь хуваадаг тул GCD (a · c, b) -ийг бас хуваана гэсэн үг юм.
Тиймээс gcd (a c, b) ба gcd (c, b) нь бие биенээ харилцан хуваадаг бөгөөд энэ нь тэд тэнцүү гэсэн үг юм.
Тодорхойлолт 6
Хэрэв тоо нь дарааллаас гарсан бол a 1 , a 2 , … , a kдарааллын тоонуудын хувьд харьцангуй анхны байх болно b 1, b 2, …, b м(k ба m-ийн байгалийн утгын хувьд), дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн a 1 · a 2 · … · a kТэгээд b 1 · b 2 · … · b mбас харьцангуй сайн, ялангуяа a 1 = a 2 = … = a k = aТэгээд b 1 = b 2 = … = b m = b, Тэр a kТэгээд б м- харилцан энгийн.
Нотлох баримт 3
Өмнөх шинж чанарын дагуу бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг бичиж болно: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. Сүүлийн шилжилтийн боломжийг a k ба b m нөхцлөөр харьцангуй анхдагчаар баталгаажуулдаг. Энэ нь GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = 1 гэсэн үг.
a 1 · a 2 · … · a k = A гэж тэмдэглээд GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … ·) болохыг олъё. b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Дээрх баригдсан гинжин хэлхээний сүүлчийн тэгш байдлын улмаас энэ нь үнэн байх болно. Тиймээс бид GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1 тэгш эрхтэй бөгөөд үүгээрээ бид бүтээгдэхүүний харилцан адилгүй байдлыг баталж чадна. a 1 · a 2 · … · a kТэгээд b 1 · b 2 · … · b m
Эдгээр нь бидний танд хэлэхийг хүсч буй анхны тооны шинж чанарууд юм.
Хос анхны тооны тухай ойлголт
Хос анхны тоо гэж юу болохыг мэдсэнээр бид хос анхны тоонуудын тодорхойлолтыг томъёолж чадна.
Тодорхойлолт 7
Хос анхны тоо a 1 , a 2 , ... , a k бүхэл тоонуудын дараалал бөгөөд тоо бүр нь бусадтай харьцуулахад харьцангуй анхны байх болно.
Хос анхны тооны дарааллын жишээ нь 14, 9, 17, ба - 25 байж болно. Энд бүх хос (14 ба 9, 14 ба 17, 14 ба − 25, 9 ба 17, 9 ба − 25, 17 ба − 25) хос анхны тоо байна. Хос анхны тоонуудын хувьд харилцан анхны байх нөхцөл нь заавал байх ёстой боловч бүх тохиолдолд харилцан анхны тоо нь хос анхны тоо биш гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, 8, 16, 5, 15-р дарааллын тоо нь тийм биш, учир нь 8 ба 16 нь харьцангуй анхны тоо биш юм.
Та тодорхой тооны анхны тооны цуглуулгын тухай ойлголт дээр анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Тэд үргэлж харилцан, хосоороо энгийн байх болно. Жишээ нь 71, 443, 857, 991 гэсэн дараалал байж болно. Анхны тооны хувьд харилцан болон хос анхны анхны гэсэн ойлголтууд давхцах болно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу