Функцийн паритет эсвэл сондгой байдлыг тодорхойлох. Тэгш ба сондгой функцууд

Чиг үүрэгматематикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Функц - хувьсагчийн хамаарал цагтхувьсагчаас x, хэрэв утга тус бүр Xнэг утгатай таарч байна цагт. Хувьсагч Xбие даасан хувьсагч эсвэл аргумент гэж нэрлэдэг. Хувьсагч цагтхамааралтай хувьсагч гэж нэрлэдэг. Бие даасан хувьсагчийн бүх утгууд (хувьсагч x) функцийн тодорхойлолтын мужийг бүрдүүлнэ. Хамаарах хувьсагчийн авдаг бүх утгууд (хувьсагч y), функцийн утгын мужийг үүсгэнэ.

Функцийн графикабсциссууд нь аргументийн утгатай тэнцүү, ординатууд нь функцын харгалзах утгатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, координатын хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг дуудна. хувьсагчийг абсцисса тэнхлэгийн дагуу зурна x, хувьсагчийн утгыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурна y. Функцийн графикийг зурахын тулд функцийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Функцийн үндсэн шинж чанаруудыг доор авч үзэх болно!

Функцийн графикийг бүтээхийн тулд бид өөрсдийн программ - График функцуудыг онлайнаар ашиглахыг зөвлөж байна. Хэрэв танд энэ хуудсан дээрх материалыг судлах явцад асуух зүйл байвал манай форум дээр үргэлж асууж болно. Мөн форум дээр тэд математик, хими, геометр, магадлалын онол болон бусад олон сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд туслах болно!

Функцийн үндсэн шинж чанарууд.

1) Функцийн домэйн ба функцийн хүрээ.

Функцийн домэйн нь бүх хүчинтэй олонлог юм бодит үнэ цэнэмаргаан x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон.
Функцийн муж нь бүх бодит утгуудын багц юм y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Анхан шатны математикийн хувьд функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.

2) Функцийн тэг.

Үнэ цэнэ X, аль үед y=0, дуудсан функц тэг. Эдгээр нь функцийн графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд юм.

3) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд нь утгуудын ийм интервалууд юм x, үүн дээр функцийн утгууд yзөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг гэж нэрлэдэг функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

4) Функцийн монотон байдал.

Өсөн нэмэгдэж буй функц (тодорхой интервалд) нь энэ интервалын аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч байх функц юм.

Буурах функц (тодорхой интервалд) нь энэ интервалын аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байх функц юм.

5) Тэгш (сондгой) функц.

Тэгш функц гэдэг нь тодорхойлолтын муж нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц юм X f(-x) = f(x). Тэгш функцийн график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Тодорхойлолтын муж нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функцийг сондгой функц гэнэ Xтодорхойлолтын талбараас тэгш байдал нь үнэн юм f(-x) = - f(x). Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Тэр ч байтугай функц
1) Тодорхойлолтын муж нь (0; 0) цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл, хэрэв цэг атодорхойлолтын домэйнд, дараа нь цэгт хамаарна -амөн тодорхойлолтын домэйнд хамаарна.
2) Аливаа утгын хувьд x f(-x)=f(x)
3) Тэгш функцийн график нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Хачирхалтай функцдараах шинж чанаруудтай:
1) Тодорхойлолтын муж нь (0; 0) цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
2) дурын утгын хувьд x, тодорхойлолтын домэйнд хамаарах тэгш байдал f(-x)=-f(x)
3) Сондгой функцийн график нь эх үүсвэртэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (0; 0).

Функц бүр тэгш эсвэл сондгой байдаггүй. Функцүүд ерөнхий үзэл тэгш, сондгой ч биш.

6) Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй функцууд.

|f(x)| гэсэн эерэг M тоо байвал функцийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг x-ийн бүх утгын хувьд ≤ M. Хэрэв ийм тоо байхгүй бол функц хязгааргүй болно.

7) Функцийн үечилсэн байдал.

Хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын х-ийн хувьд f(x+T) = f(x) үйлчилдэг тэгээс өөр T тоо байвал f(x) функц нь үечилсэн байна. Энэ хамгийн бага тоог функцийн үе гэж нэрлэдэг. Бүгд тригонометрийн функцуудүе үе байдаг. (Тригонометрийн томъёо).

Чиг үүрэг еямар нэг тоо байгаа бол үе үе гэж нэрлэдэг xтодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал f(x)=f(x-T)=f(x+T). Тфункцийн хугацаа юм.

Тогтмол функц бүр хязгааргүй тооны үетэй байдаг. Практикт хамгийн бага эерэг үеийг ихэвчлэн авч үздэг.

Үе үетэй тэнцүү интервалын дараа үечилсэн функцийн утгууд давтагдана. Үүнийг график байгуулахад ашигладаг.

Нэвтрүүлгийг нуух

Функцийг тодорхойлох аргууд

Функцийг y=2x^(2)-3 томъёогоор өгье. Бие даасан x хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн утгыг өгснөөр та энэ томьёог ашиглан хамааралтай хувьсагчийн y-ийн харгалзах утгуудыг тооцоолж болно. Жишээлбэл, хэрэв x=-0.5 бол томьёог ашиглан y-ийн харгалзах утга нь y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 болохыг олж мэднэ.

y=2x^(2)-3 томьёоны х аргументын авсан дурын утгыг авч үзвэл түүнд тохирох функцийн зөвхөн нэг утгыг тооцоолж болно. Функцийг хүснэгт хэлбэрээр илэрхийлж болно:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Энэ хүснэгтийг ашигласнаар −1 аргументын утгын хувьд −3 функцийн утга тохирно гэдгийг харж болно; x=2 утга нь y=0 гэх мэт утгатай тохирно. Хүснэгт дэх аргумент бүрийн утга нь зөвхөн нэг функцийн утгатай тохирч байгааг мэдэх нь бас чухал юм.

График ашиглан илүү олон функцийг тодорхойлж болно. График ашиглан функцийн аль утга нь тодорхой x утгатай хамааралтай болохыг тогтооно. Ихэнхдээ энэ нь функцийн ойролцоо утгатай байх болно.

Тэгш ба сондгой функц

Функц нь жигд функц, тодорхойлолтын мужаас дурын х-д f(-x)=f(x) байх үед. Ийм функц нь Oy тэнхлэгт тэгш хэмтэй байх болно.

Функц нь сондгой функц, тодорхойлолтын мужаас дурын х-д f(-x)=-f(x) байх үед. Ийм функц нь O (0;0) гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байх болно.

Функц нь бүр биш, сонин бишгэж нэрлэдэг ерөнхий функц, тэнхлэг болон гарал үүслийн талаар тэгш хэмгүй байх үед.

Паритын хувьд дараах функцийг авч үзье.

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) гарал үүсэлтэй харьцангуй тэгш хэмтэй тодорхойлолтын мужтай. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Энэ нь f(x)=3x^(3)-7x^(7) сондгой гэсэн үг.

Тогтмол функц

Ямар ч х-д f(x+T)=f(x-T)=f(x) тэгш байдал хангагдсан мужид y=f(x) функцийг гэнэ. үечилсэн функцТ үетэй \neq 0 .

T урттай х тэнхлэгийн аль ч сегмент дээр функцийн графикийг давтах.

Функц эерэг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл f(x) > 0 нь абсцисса тэнхлэгээс дээш байрлах функцийн графикийн цэгүүдэд тохирох абсцисса тэнхлэгийн сегментүүд юм.

f(x) > 0 асаалттай (x_(1); x_(2)) \аяга (x_(3); +\infty)

Функц сөрөг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \аяга (x_(2); x_(3))

Хязгаарлагдмал функц

Доороос нь хязгаарласанЯмар ч x \in X-д f(x) \geq A тэнцэхгүй байх А тоо байгаа тохиолдолд y=f(x), x \in X функцийг дуудах нь заншилтай байдаг.

Доороос хязгаарлагдсан функцийн жишээ: y=\sqrt(1+x^(2)) учир дурын x хувьд y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 байна.

Дээрээс нь хязгаарласан y=f(x), x \in X функцийг X-ийн дурын x-д f(x) \neq B тэнцэхгүй байх В тоо байгаа тохиолдолд дуудна.

Доор хязгаарлагдсан функцийн жишээ: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]учир нь y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 нь дурын x \in [-1;1] .

Хязгаарлагдмал\left | тэгш бус байдал үүсэх K > 0 тоо байгаа үед y=f(x), x \in X функцийг дуудах заншилтай. f(x)\right | \neq K нь дурын x \in X .

Хязгаарлагдмал функцийн жишээ: y=\sin x нь бүх тооны тэнхлэгт хязгаарлагдмал, учир нь \left | \sin x \right | \nq 1.

Өсөх, буурах функц

гэж авч үзэж буй интервал дээр нэмэгддэг функцийг ярих нь заншилтай байдаг функцийг нэмэгдүүлэхтэгвэл x-ийн том утга нь y=f(x) функцийн том утгатай тохирч байвал. Эндээс үзэхэд x_(1) ба x_(2) аргументын дурын хоёр утгыг авч үзэж буй интервалаас x_(1) > x_(2) байвал үр дүн нь y(x_(1)) > болно. у(x_(2)).

Харгалзан үзэж буй интервал дээр буурдаг функцийг дуудна буурах функц x-ийн том утга нь y(x) функцийн бага утгатай тохирч байвал. Эндээс харахад x_(1) ба x_(2) ба x_(1) > x_(2) аргументуудын дурын хоёр утгыг авч үзвэл үр дүн нь y(x_(1)) болно.< y(x_{2}) .

Функцийн үндэс F=y(x) функц абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (тэдгээрийг y(x)=0 тэгшитгэлийг шийдсэний үр дүнд олж авсан) гэж нэрлэх нь заншилтай байдаг.

a) Хэрэв x > 0-ийн хувьд тэгш функц нэмэгдэх бол х-ийн хувьд буурна< 0

b) Тэгш функц x > 0 үед буурах үед x үед нэмэгдэнэ< 0

в) Сондгой функц x > 0 үед нэмэгдэхэд x үед мөн нэмэгдэнэ< 0

d) Сондгой функц x > 0-д буурахад х-д мөн буурна< 0

Функцийн экстремум

Функцийн хамгийн бага цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөршүүд нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) > f тэгш бус байдал нь тэг болно. сэтгэл хангалуун (x_(0)) . y_(min) - мин цэг дэх функцийн тэмдэглэгээ.

Функцийн хамгийн дээд цэг y=f(x)-ийг ихэвчлэн x=x_(0) цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний хөрш нь өөр цэгүүдтэй (x=x_(0) цэгээс бусад) байх ба тэдгээрийн хувьд f(x) тэгш бус байдал хангагдана.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Урьдчилсан нөхцөл

Фермагийн теоремоор: x_(0) цэг дээр дифференциалагдах f(x) функц энэ цэг дээр экстремумтай байх үед f"(x)=0 байна.

Хангалттай нөхцөл

Дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжих үед x_(0) нь хамгийн бага цэг болно;
x_(0) - хөдөлгөөнгүй цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү шилжих үед л хамгийн их цэг байх болно.

Интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Тооцооллын алхамууд:

f"(x) деривативыг хайж байна;
Функцийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэгүүдийг олж, сегментэд хамаарахыг сонгоно;
f(x) функцийн утгууд нь сегментийн хөдөлгөөнгүй ба эгзэгтэй цэг, төгсгөлд олддог. Хүлээн авсан үр дүн нь бага байх болно хамгийн бага утгафункцууд, ба түүнээс дээш - хамгийн том.

. Үүнийг хийхийн тулд график цаас эсвэл график тооцоолуур ашиглана уу. Дурын тооны бие даасан хувьсагчийн утгыг сонгоно уу x (\displaystyle x)хамааралтай хувьсагчийн утгыг тооцоолохын тулд тэдгээрийг функцэд залгана уу y (\displaystyle y). Дээрх цэгүүдийн олсон координатыг зур координатын хавтгай, дараа нь эдгээр цэгүүдийг холбож функцийн графикийг гарга.

Функцэд эерэг тоон утгыг орлуулна уу x (\displaystyle x)ба харгалзах сөрөг тоон утгууд. Жишээлбэл, функцийг өгсөн f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Үүнд дараах утгыг орлуулна уу x (\displaystyle x):

Функцийн график нь Y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байгаа эсэхийг шалгана уу.Тэгш хэм гэдэг нь ординаттай харьцуулахад графикийн толин тусгал дүрсийг хэлнэ. Хэрэв графикийн Y тэнхлэгийн баруун талд байгаа хэсэг (бие даасан хувьсагчийн эерэг утга) нь Y тэнхлэгийн зүүн талд байгаа графикийн хэсэгтэй ижил байвал (бие даасан хувьсагчийн сөрөг утга) ), график нь Y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байвал функц нь тэгш хэмтэй байна.

Функцийн график гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй эсэхийг шалгана уу.Гарал үүсэл нь координаттай (0,0) цэг юм. Гарал үүслийн тэгш хэм нь эерэг утгатай гэсэн үг юм y (\displaystyle y)(эерэг утгатай x (\displaystyle x)) сөрөг утгатай тохирч байна y (\displaystyle y)(сөрөг утгатай x (\displaystyle x)), мөн эсрэгээр. Хачирхалтай функцууд нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг.

Функцийн график тэгш хэмтэй эсэхийг шалгана уу.Сүүлчийн төрлийн функц нь график нь тэгш хэмгүй, өөрөөр хэлбэл ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад болон эхлэлтэй харьцуулахад толин тусгал дүрсгүй функц юм. Жишээлбэл, функцийг өгсөн.

Функцэд хэд хэдэн эерэг ба харгалзах сөрөг утгыг орлуулна уу x (\displaystyle x):
Хүлээн авсан үр дүнгээс харахад тэгш хэм байхгүй байна. Үнэ цэнэ y (\displaystyle y)эсрэг утгуудын хувьд x (\displaystyle x)давхцахгүй, эсрэг тэсрэг биш. Тиймээс функц нь тэгш, сондгой биш юм.
функц гэдгийг анхаарна уу f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)ингэж бичиж болно: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Энэ хэлбэрээр бичихэд тэгш илтгэгч байгаа тул функц гарч ирнэ. Гэхдээ энэ жишээ нь бие даасан хувьсагчийг хаалтанд оруулбал функцийн төрлийг хурдан тодорхойлох боломжгүй гэдгийг баталж байна. Энэ тохиолдолд та хаалтыг нээж, олж авсан илтгэгчийг шинжлэх хэрэгтэй.

Функцийн тэгш ба сондгой байдал нь түүний үндсэн шинж чанаруудын нэг бөгөөд паритет нь гайхалтай хэсгийг эзэлдэг сургуулийн курсматематикт. Энэ нь функцийн үйл ажиллагааг ихээхэн тодорхойлж, харгалзах графикийг бүтээхэд ихээхэн хөнгөвчилдөг.

Функцийн паритетийг тодорхойлъё. Ерөнхийдөө, судалж буй функц нь түүний тодорхойлолтын мужид байрлах бие даасан хувьсагчийн (x) эсрэг утгуудын хувьд y (функц) -ийн харгалзах утгууд тэнцүү байсан ч гэж үздэг.

Илүү хатуу тодорхойлолт өгье. D домэйнд тодорхойлогдсон зарим f (x) функцийг авч үзье. Тодорхойлолтын мужид байрлах аливаа x цэгийн хувьд энэ нь тэгш байх болно:

-x (эсрэг цэг) мөн энэ хүрээнд оршдог,

f(-x) = f(x).

Дээрх тодорхойлолтоос ийм функцийг тодорхойлох мужид шаардлагатай нөхцөл, тухайлбал координатын эх үүсвэр болох О цэгийн тэгш хэм, тэгш хэмийн тодорхойлолтын мужид зарим b цэг агуулагдаж байгаа тул дагалддаг. функц байгаа бол харгалзах цэг b нь мөн энэ домэйнд оршдог. Иймээс дээрхээс дүгнэлт гарч байна: тэгш функц нь ординатын тэнхлэгтэй (Ой) тэгш хэмтэй хэлбэртэй байна.

Практикт функцийн паритетийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Үүнийг h(x)=11^x+11^(-x) томъёогоор тодорхойл. Тодорхойлолтоос шууд гарах алгоритмын дагуу бид эхлээд түүний тодорхойлолтын хүрээг шалгана. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь аргументийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл эхний нөхцөл хангагдсан байна.

Дараагийн алхам бол (x) аргументыг түүгээр орлуулах явдал юм эсрэг утгатай(-x).
Бид авах:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Нэмэлт нь солих (коммутатив) хуулийг хангадаг тул h(-x) = h(x) бөгөөд өгөгдсөн функциональ хамаарал тэгш байх нь ойлгомжтой.

h(x)=11^x-11^(-x) функцийн паритетийг шалгая. Ижил алгоритмын дагуу бид h(-x) = 11^(-x) -11^x-г авна. Хасах талыг нь авч үзвэл эцэст нь бидэнд байна
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Тиймээс h(x) сондгой байна.

Дашрамд хэлэхэд, эдгээр шалгуурын дагуу ангилах боломжгүй функцүүд байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийг тэгш эсвэл сондгой гэж нэрлэдэггүй.

Функцууд ч гэсэн хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг:

ижил төстэй функцүүдийг нэмсний үр дүнд тэд нэг жигд функцийг авдаг;
ийм функцийг хассаны үр дүнд тэгш нэгийг олж авна;
тэгш, бас бүр;
ийм хоёр функцийг үржүүлсний үр дүнд тэгш нэгийг олж авна;
сондгой ба тэгш функцийг үржүүлсний үр дүнд сондгойг олж авна;
сондгой ба тэгш функцийг хуваах үр дүнд сондгойг олж авна;
ийм функцийн дериватив нь сондгой;
Хэрэв та барихгүй бол жигд ажиллагаатайквадрат бол бид тэгш болно.

Функцийн паритетыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэгш функц байх g(x) = 0 гэх мэт тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хувьсагчийн сөрөг бус утгуудын шийдлийг олоход хангалттай. Тэгшитгэлийн язгууруудыг эсрэг тоотой нэгтгэх ёстой. Тэдний нэг нь шалгалтад хамрагдах ёстой.

Үүнийг стандарт бус асуудлыг параметртэй шийдвэрлэхэд амжилттай ашигладаг.

Жишээлбэл, 2x^6-x^4-ax^2=1 тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байх a параметрийн ямар нэг утга байна уу?

Хэрэв хувьсагч тэгшитгэлд тэгш зэрэглэлд ордогийг харгалзан үзвэл х-г - x-ээр солих нь тодорхой болно. өгөгдсөн тэгшитгэлөөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тодорхой тоо нь түүний үндэс бол эсрэг тоо нь мөн үндэс болно. Дүгнэлт нь тодорхой байна: тэгээс ялгаатай тэгшитгэлийн үндэс нь түүний шийдлийн багцад "хосоор" орсон болно.

Энэ тоо нь өөрөө 0 биш, өөрөөр хэлбэл ийм тэгшитгэлийн язгуурын тоо зөвхөн тэгш байж болох бөгөөд мэдээжийн хэрэг параметрийн аль ч утгын хувьд гурван үндэстэй байж болохгүй.

Гэхдээ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 тэгшитгэлийн язгуурын тоо сондгой, параметрийн дурын утгын хувьд байж болно. Үнэн хэрэгтээ, үндэс нь олонлог байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг өгөгдсөн тэгшитгэлхосолсон шийдлүүдийг агуулдаг. 0 нь үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулахад бид 2=2 болно. Тиймээс "хосолсон" тооноос гадна 0 нь язгуур бөгөөд энэ нь тэдний сондгой тоог баталж байна.

Функцийг тэгш (сондгой) гэж нэрлэдэг ба тэгш байдлын хувьд

Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
.

Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Жишээ 6.2.Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг шалгана уу

1)
; 2)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог
. Бид олох болно
.

Тэдгээр.
. Энэ нь энэ функц тэгш байна гэсэн үг юм.

2) Функц нь хэзээ тодорхойлогддог

Тэдгээр.
. Тиймээс энэ функц нь хачирхалтай юм.

3) функц нь тодорхойлогдсон, i.e. Учир нь

,
. Тиймээс функц нь тэгш, сондгой биш юм. Үүнийг ерөнхий хэлбэрийн функц гэж нэрлэе.

3. Нэг хэвийн байдлын функцийг судлах.

Чиг үүрэг
Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцийн том (жижиг) утгатай тохирч байвал тодорхой интервал дээр нэмэгдэх (бууралт) гэж нэрлэгддэг.

Тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж буй (буурсан) функцийг монотон гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функц бол
интервалаар ялгах боломжтой
мөн эерэг (сөрөг) деривативтай
, дараа нь функц
энэ интервал дээр нэмэгддэг (буурдаг).

Жишээ 6.3. Функцийн монотон байдлын интервалыг ол

1)
; 3)
.

Шийдэл.

1) Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог. Деривативыг олцгооё.

Хэрэв дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна
Тэгээд
. Тодорхойлолтын домэйн нь цэгээр хуваагдсан тооны тэнхлэг юм
,
интервалаар. Интервал бүр дэх деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.

Интервалд
дериватив нь сөрөг, функц нь энэ интервал дээр буурдаг.

Интервалд
дериватив эерэг тул энэ интервалд функц нэмэгдэнэ.

2) Энэ функц нь хэрэв гэж тодорхойлогддог
эсвэл

Бид интервал бүрт квадрат гурвалсан тэмдгийг тодорхойлно.

Тиймээс функцийг тодорхойлох домэйн

Деривативыг олцгооё
,
, Хэрэв
, өөрөөр хэлбэл
, Гэхдээ
. Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё
.

Интервалд
дериватив нь сөрөг тул функц нь интервал дээр буурдаг
. Интервалд
дериватив эерэг бол функц нь интервалаар нэмэгддэг
.

4. Экстремум дахь функцийг судлах.

Цэг
функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг
, цэгийн ийм хөрш байгаа бол энэ нь хүн бүрт зориулагдсан
Энэ хөршөөс тэгш бус байдал бий

.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэнэ.

Хэрэв функц бол
цэг дээр нь экстремумтай бол энэ цэг дэх функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна (экстремум байх зайлшгүй нөхцөл).

Дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.

5. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл.

Дүрэм 1. Шилжилтийн үед (зүүнээс баруун тийш) эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрвөл дериватив
тэмдгийг "+"-ээс "-" болгож, дараа нь цэг дээр өөрчилнө функц
дээд талтай; хэрэв "-" -ээс "+" бол хамгийн бага; Хэрэв
тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол экстремум байхгүй болно.

Дүрэм 2. Үүн дээр байя
функцийн анхны дериватив
тэгтэй тэнцүү
, хоёр дахь дериватив нь байгаа бөгөөд тэгээс ялгаатай. Хэрэв
, Тэр – хамгийн дээд цэг, хэрэв
, Тэр – функцийн хамгийн бага цэг.

Жишээ 6.4 . Хамгийн их ба хамгийн бага функцуудыг судлах:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Шийдэл.

1) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр тасралтгүй байна
.

Деривативыг олцгооё
тэгшитгэлийг шийднэ
, өөрөөр хэлбэл
.Эндээс
- чухал цэгүүд.

Интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.
.

Цэгээр дамжин өнгөрөх үед
Тэгээд
Дериватив тэмдэг нь "-"-ээс "+" болж өөрчлөгддөг тул дүрмийн 1-ийн дагуу
- хамгийн бага оноо.

Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг
- хамгийн дээд цэг.

,
.

2) Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд интервалд тасралтгүй байна
. Деривативыг олцгооё
.

Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
, бид олох болно
Тэгээд
- чухал цэгүүд. Хэрэв хуваагч бол
, өөрөөр хэлбэл
, тэгвэл дериватив байхгүй болно. Тэгэхээр,
- гурав дахь чухал цэг. Деривативын тэмдгийг интервалаар тодорхойлъё.