Бөмбөрцөг тригонометрийн дүгнэлтийн үндсэн томъёо. Бөмбөрцөг тригонометр
Бөмбөрцөг тригонометр
ЧухалОдон орон, геодези, навигаци болон бусад салбарт хэрэглэгддэг тригонометрийн тодорхой хэсэг нь бөмбөрцөг дээрх том тойрог ба эдгээр том тойргийн нумын өнцгийн шинж чанарыг авч үздэг бөмбөрцөг тригонометр юм. Бөмбөрцгийн геометр нь Евклидийн планиметрээс эрс ялгаатай; Тиймээс, бөмбөрцөг гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь ерөнхийдөө 180 ° -аас ялгаатай нь гурвалжин нь гурван зөв өнцгөөс бүрдэж болно. Бөмбөрцөг тригонометрийн хувьд гурвалжны талуудын уртыг (бөмбөрцгийн том тойргийн нумууд) эдгээр нумануудад тохирох төв өнцгөөр илэрхийлдэг. Тиймээс, жишээлбэл, синусын бөмбөрцөг теоремыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
мөн бие биедээ хосолсон хоёр косинусын теорем байдаг.
Тригонометрийн тооцооллын хэрэглээ
Тригонометрийн тооцооллыг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Их үнэ цэнэнь одон орон судлалын чиглэлээр ойролцоох одод хүртэлх зай, газарзүйн тэмдэглэгээний хоорондох зайг хэмжих, хиймэл дагуулын навигацийн системийг удирдах боломжийг олгодог гурвалжингийн техниктэй. Хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалын онол, статистик, биологи, анагаах ухаан (хэт авиан болон тооцоолсон томограф зэрэг), эм зүй, хими, тооны онол зэрэг салбарт тригонометрийн хэрэглээ нь бас анхаарал татаж байна. үр дагавар, криптографи), сейсмологи, цаг уур, далай судлал, зураг зүй, физикийн олон салбар, байр зүй, геодези, архитектур, фонетик, эдийн засаг, электрон инженерчлэл, механик инженерчлэл, компьютер график, кристаллограф.
Тригонометр, тригонометрийн функцийг ашигладаг олон салбар байдаг. Жишээлбэл, гурвалжингийн аргыг одон орон судлалд ойролцоох одод хүртэлх зайг хэмжихэд, газарзүйд объект хоорондын зайг хэмжихэд, хиймэл дагуулын навигацийн системд ашигладаг. Синус ба косинус нь үечилсэн функцүүдийн онолын үндэс, жишээлбэл дуу, гэрлийн долгионыг дүрслэх.
Тригонометр эсвэл тригонометрийн функцийг одон орон судлалд (ялангуяа бөмбөрцөг тригонометр шаардлагатай үед селестиел биетүүдийн байрлалыг тооцоолоход), тэнгис, агаарын навигаци, хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалд ашигладаг. онол, статистик, биологи, эмнэлгийн дүрслэл (жишээлбэл, компьютерийн томографи ба хэт авиан), эм зүй, хими, тооны онол (иймээс криптологи), газар хөдлөлт судлал, цаг уур, далай судлал, физикийн олон шинжлэх ухаан, газрын хэмжилт, геодези, архитектур, дуу авиа зүй, эдийн засаг, цахилгаан инженерчлэл, механик инженерчлэл, барилгын инженерчлэл, in компьютер график, зураг зүй, талст зүй, тоглоомын хөгжил болон бусад олон салбарт.
Бөмбөрцөг тригонометр
Бөмбөрцөг гурвалжин.Бөмбөгний гадаргуу дээр хоёр цэгийн хоорондох хамгийн богино зайг том тойргийн тойргийн дагуу хэмждэг, өөрөөр хэлбэл хавтгай нь бөмбөгний төвөөр дамжин өнгөрдөг тойрог юм. Бөмбөрцөг гурвалжны оройнуудБөмбөгний төв ба бөмбөрцөг гадаргуугаас гарах гурван цацрагийн огтлолцох цэгүүд юм. Намууд а, б, вБөмбөрцөг гурвалжинг цацрагуудын хоорондох өнцөг гэж нэрлэдэг (хэрэв эдгээр өнцгүүдийн аль нэг нь тэнцүү бол бөмбөрцөг гурвалжин нь том тойргийн хагас тойрог болж хувирдаг). Гурвалжны тал бүр нь бөмбөгний гадаргуу дээрх том тойргийн нумтай тохирч байна (зураг харна уу).
Өнцөг А, Б, Cбөмбөрцөг гурвалжин, эсрэг талууд а, б, вҮүний дагуу тэдгээр нь гурвалжны талуудтай харгалзах том тойргийн нумуудын хоорондох, эсвэл эдгээр цацрагаар тодорхойлогдсон хавтгайнуудын хоорондох өнцгүүдийн хоорондох өнцөг юм.
Бөмбөрцөг тригонометрБөмбөрцөг гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг (жишээлбэл, дэлхийн гадаргуу ба тэнгэрийн бөмбөрцөг). Гэсэн хэдий ч физикч, инженерүүд олон асуудалд бөмбөрцөг хэлбэрийн тригонометрээс илүү эргэлтийн хувиргалтыг ашиглахыг илүүд үздэг.
Бөмбөрцөг гурвалжны шинж чанарууд.Бөмбөрцөг гурвалжны тал ба өнцөг бүр нь тодорхойлолтоор бага байдаг.
Бөмбөгний гадаргуу дээрх геометр нь Евклидийн бус; Бөмбөрцөг гурвалжин бүрт талуудын нийлбэр 0 ба хооронд, өнцгийн нийлбэр нь ба хооронд байна. Бөмбөрцөг гурвалжин бүрт том өнцөг нь том талын эсрэг байрладаг. Дурын хоёр талын нийлбэр нь гурав дахь талаас их, дурын хоёр өнцгийн нийлбэр нь гурав дахь өнцгөөс бага байна.
Бөмбөрцөг гурвалжин нь тэнгэрийн бөмбөрцгийн гадаргуугийн нэг хэсэг бөгөөд том тойргийн гурван нумаар хүрээлэгдсэн байдаг (Зураг 7).
Цагаан будаа. 7. Бөмбөрцөг гурвалжин.
Бөмбөрцөг гурвалжинг үүсгэсэн нумууд нь зөвхөн орой дээр нь огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийг бөмбөрцөг гурвалжны талууд гэж нэрлэдэг; тэдгээрийг харгалзах төв өнцгөөр хэмждэг. Бөмбөрцөг гурвалжны өнцгийг харгалзах том тойргийн хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгөөр хэмждэг; тэдгээр нь бөмбөрцөг гурвалжны харгалзах талууд руу татсан оройнуудын шүргэгч хоорондын өнцөгтэй тэнцүү байна. Өнцгийг ихэвчлэн том үсгээр тэмдэглэдэг Латин цагаан толгой A, B, C.....талууд - жижиг үсгээр, А тал нь үргэлж A өнцгийн (орой) эсрэг талд байрладаг гэх мэт.
Бүх тал нь 180 ° -аас бага бөмбөрцөг гурвалжинг энгийн гэж нэрлэдэг.
Бөмбөрцөг гурвалжны аль нэг өнцөг нь зөв бол тэгш өнцөгт, нэг тал нь 90° байвал дөрөвний нэг (квадрант) гэж нэрлэдэг.
Бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх цэгийг энэ том тойргийн тойргийн аль ч цэгээс 90°-ийн өнцгийн зайд орших цэгийг том тойргийн туйл гэж нэрлэе.
Нуманууд нь өгөгдсөн бөмбөрцөг гурвалжныг холбосон том тойргийн туйлуудаас үүссэн хочийг (энэ гурвалжны талуудын туйлууд нь харгалзах оройнуудын чиглэлд байрласан тохиолдолд) өгөгдсөн туйл гэж нэрлэдэг.
Цагаан будаа. 8. Туйлт гурвалжин.
Бөмбөрцөг хэлбэрийн элементүүдийн хоорондын хамаарал ABC гурвалжинба туйлшрал (Зураг 8) дараах харьцаагаар өгөгдөнө.
Хэрэв маягтын хамаарлыг өгсөн бол
Дараа нь өгөгдсөн туйлтай бөмбөрцөг гурвалжны хувьд бидэнд байна
өөрөөр хэлбэл харилцаа хэвээр байна
Энэ хувиргалтыг корреляци гэж нэрлэдэг.
1. Бөмбөрцөг гурвалжны янз бүрийн элементүүдийг холбосон харилцааны үндсэн системүүд.Систем I. Гурван тал ба нэг өнцгийн хоорондын хамаарал (косинусын теорем)
Систем II. Хоёр тал ба хоёр эсрэг талын өнцгийн хамаарал (синусын теорем):
Систем III. Гурван тал ба хоёр өнцгийн хоорондын хамаарал (таван элементийн томъёо):
Систем IV. Хоёр тал ба хоёр өнцгийн хоорондын хамаарал:
Корреляцийн харьцаа (1.1.005) нь:
Харьцаа (1.1.010) тус бүр нь гурван өнцөг ба нэг талыг холбодог.
Харилцааны хамаарлыг (1.1.008) ашиглан бид гурван өнцөг ба хоёр талын хамаарлыг олж авна.
Систем V. Зургаан элементийн хоорондын хамаарал (Кагноли томъёо):
Тэгш өнцөгт бөмбөрцөг гурвалжны хувьд дараах хамаарал хүчинтэй байна (Зураг 9).
Формула (1.1.013) нь энэ таван өнцөгтийн талуудыг зааж өгсөн дарааллаар Napier таван өнцөгт (Зураг 10) дээр үндэслэсэн Напиерийн дүрмийг ашиглан олж авч болно.
Цагаан будаа. 9. Зөв бөмбөрцөг гурвалжин.
Цагаан будаа. 10. Напиерийн дүрмийн анхны диаграмм.
Напиерийн таван өнцөгтийн хажуугийн косинус нь дараахтай тэнцүү байна.
1) эсрэг талын синусуудын үржвэр;
2) зэргэлдээ талуудын котангентын үржвэр.
2. Квадрант (дөрвөлжин) бөмбөрцөг гурвалжин.Томъёоны хамаарлыг (1.1.013) ашиглан квадрат бөмбөрцөг гурвалжны томъёог олж авна.
Томъёо (1.1.014)-ийг ерөнхий харилцаанаас гаргаж авч болно, тэдгээрт хамаарах эсвэл Напиерийн дүрмийн дагуу (Зураг 11).
Дөрөвний бөмбөрцөг гурвалжин ABC нь хавсаргасан бөмбөрцөг гурвалжинтай холбоотой байж болно (Зураг 12), тал нь хажуугийн үргэлжлэл бөгөөд түүнийг 90 ° хүртэл нөхдөг. Дараа нь бөмбөрцөг гурвалжинд хоёр байна
талууд нь 90°-тай тэнцүү, өнцөг . Зэргэлдээ бөмбөрцөг гурвалжинд
тиймээс (1.1.013) томъёог түүнд хэрэглэхэд (1.1.014) томъёо гарч ирнэ.
Цагаан будаа. 11. Напиерын засаглалын хоёр дахь схем.
Өгөгдсөн томъёонууд нь бусад гурвыг нь мэддэг бол бөмбөрцөг гурвалжны аль ч гурван элементийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно.
Үндсэн практик техниктооцоолол, түүнчлэн жижиг өнцгийн хувьд ойролцоо томъёог бөмбөрцөг одон орон судлалын гарын авлагаас олж болно, -.
Үнэ цэнэ тригонометрийн функцуударгументуудын хувьд - янз бүрийн хэмжигдэхүүнээр илэрхийлсэн өнцгийг харгалзах хүснэгтээс авсан болно.
Тригонометрийн функцүүдийн байгалийн утгуудын (болон логарифмын) хүснэгтүүд болон тооцоолуурт хэрэгтэй байж болох бусад математикийн хүснэгтүүдийн талаархи бүрэн мэдээллийг тусгай лавлах гарын авлагад багтаасан болно.
Манай зарим үйлчлүүлэгчдийн хувьд захиалгаар хийсэн үнэт эдлэл худалдаж авах нь гэр бүлийн капитал, үр хүүхэд, ач зээ нарын тогтвортой ирээдүйд хийх ашигтай хөрөнгө оруулалт юм. Бусад үйлчлүүлэгчид, ялангуяа үзэсгэлэнтэй бүсгүйчүүдийн хувьд онцгой гоёл чимэглэл нь тэдний хэв маяг, гоо үзэсгэлэн, нийгэмд атаархмаар байр суурийг онцлох бас нэг арга юм. Эрэгтэйчүүдийн хувьд энэ нь таны сонгосон хүнд хайр, анхаарал хандуулах сонголт юм.
Г.П. МатвиевскаяЭртний болон дундад зууны зүүн хэсэгт бөмбөрцөг ба бөмбөрцөг тригонометри / Аргын хөгжил одон орны судалгаа. 8-р дугаар, Москва-Ленинград, 1979 онГ.П. Матвиевская
Эртний болон дундад зууны зүүн хэсэгт бөмбөрцөг ба бөмбөрцөг тригонометр
1. Эртний болон Дундад зууны үед одон орон судлалын хэрэгцээ нь олон салбар, математик, юуны түрүүнд одон орон судлалын тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх математикийн аппарат болох бөмбөрцөг тригонометрийг хөгжүүлэхэд хамгийн чухал түлхэц болж байв. Одон орон судлал хөгжихийн хэрээр түүний асуудлууд илүү төвөгтэй болж, тооцооллын нарийвчлалд тавигдах шаардлага нэмэгдэж, энэ аппаратыг аажмаар сайжруулж, бөмбөрцөг тригонометрийн агуулгыг баяжуулж байв. Үүнийг одон орон судлалын танилцуулга, тусгай математикийн бүтээлүүдэд хоёуланг нь танилцуулсан.
Бөмбөрцөг тригонометрийн түүхэнд онцгой ач холбогдолтой зүйл бол бөмбөрцгийн талаархи эртний Грекийн бүтээлүүд - одон орон судлал, бөмбөрцөг дээрх геометр, тригонометрийн элементүүдийг багтаасан шинжлэх ухаан юм. Аль хэдийн 4-р зуунд. МЭӨ д. Энэ нь бүрэн хөгжсөн бөгөөд одон орон судлалын туслах салбар гэж тооцогддог. Бөмбөрцгийн талаархи хамгийн эртний бүтээлүүд 4-р зуунд бичигдсэн байдаг. МЭӨ д. - I зуун n. д. Автолик, Евклид, Теодосиус, Гипсикл, Менелаус зэрэг эртний шилдэг эрдэмтэд.
Эдгээр бүтээлүүд нь бөмбөрцөг тригонометрийн хөгжлийн эхний үе шаттай тодорхой танилцах боломжийг олгодог.
Грекчүүдийн одон орон судлал, тригонометрийн чиглэлээр олж авсан бүх үр дүнг 2-р зуунд ерөнхийд нь тодорхойлсон байдаг. Птолемейгийн "13 ном дахь математикийн цуглуулга" нэртэй бүтээлд. Хожим нь, магадгүй 3-р зуунд үүнийг "агуу" ном гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд Дундад зууны үед "Алмагест" хэмээх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн нэр хаанаас гаралтай: "Аль-мажисти" гэдэг үгийг араб хэлээр Латинаар ингэж дууддаг байв. "megiste" хэлбэр (хамгийн агуу).
Птолемейгийн "агуу" номоос ялгаатай нь одон орны тооцоололд шаардлагатай түүний өмнөх үеийн бүтээлүүдийг эллинистийн сүүлчээр (4-р зуунаас илүүгүй) нэг цуглуулгад нэгтгэн "Бяцхан одон орон судлал" гэж нэрлэжээ. Альмагестыг ойлгохын тулд тэдгээрийг Евклидийн элементүүдийн дараа судлах ёстой байсан. Тиймээс Арабын уран зохиолд эдгээр нь "дунд ном" (кутуб аль-мутавассита) нэрээр гарч ирдэг.
Энэхүү цуглуулгад Евклидийн "Өгөгдөл", "Оптик", "Үзэгдэл" болон псевдоевклидийн "Катоптриц" бүтээлүүд, Архимедийн бүтээлүүд ("Бөмбөлөг ба цилиндрийн тухай", "Тойрог хэмжих", "Лемма" зэрэг бүтээлүүд багтсан болно. ), Аристарх ("Нар, сарны хэмжээ ба зайны тухай"), Hypsicles ("Элиптикийн дагуух оддын өсөлтийн тухай"), Автолика ("Хөдөлгөөнт бөмбөрцөг дээр", "Тогтмол оддын мандах ба жаргах тухай" "), Теодосиус ("Бөмбөлөгүүд", "Өдөр ба шөнө", "Орон сууцанд") болон Менелаус ("Бөмбөлөгүүд"). Менелаусын бүтээлийг бага одон орон судлалд нэмж оруулсан, магадгүй хожим нь.
Грекийн шинжлэх ухааны сонгодог бүтээлүүдийн анхны орчуулгуудын дунд "дунд" номуудын араб орчуулга, тэр дундаа бөмбөрцөг хэлбэрийн бүтээлүүд гарч ирэв. Дараа нь тэдэнтэй дахин дахин тайлбар хийсэн. Орчуулагч, тайлбарлагчдаас Коста ибн Лука (IX зуун), аль-Махани (IX зуун), Сабит ибн Корра (X зуун), Ибн Ирак (X-XI зуун), Насир ад-Дин зэрэг нэрт эрдэмтдийг нэрлэж болно. -Туси (XIII зуун) гэх мэт.
Грекийн "Бага одон орон судлал"-д дорнодын эрдэмтэд хожим нь Бану Мусагийн "Зураг хэмжих тухай", Табит ибн Коррагийн "Өгөгдөл" болон "Бүрэн дөрвөлжингийн тухай ном", "Бүрэн дөрвөлжингийн тухай тууж" зэрэг бүтээлүүдийг нэмж оруулав. Насир ад-Дин ат-Туси.
"Дунд" номтой гүн гүнзгий танилцах хэрэгцээг дорнын математикч, одон орон судлаачид сайн хүлээн зөвшөөрч, 17-р зуунд ч онцлон тэмдэглэж байсан. Хажжи Халифын нэрт номзүйн нэвтэрхий толь бичигт "Ном ба шинжлэх ухааны нэрийг нээх нь". Эдгээр зохиолуудын текст, түүнчлэн тэдгээрийн тайлбарууд нь олон тооны араб гар бичмэлүүдэд хадгалагдан үлджээ. Тухайлбал, нэрэмжит Улсын нийтийн номын санд хадгалагдаж байгаа, хэн ч судлаагүй гараар бичсэн түүвэр орно. M. E. Салтыков-Щедрин Ленинград дахь (Ханыковын цуглуулга, No 144).
Тэртээ 1902 онд математикийн нэрт түүхч А.Бьорнбо эртний шинжлэх ухааны "одон орон судлалын удиртгал" гэж тодорхойлж болохуйц "дундаж"-д тусгагдсан энэ салбарт хэтэрхий бага анхаарал хандуулж байгаад харамсаж тэмдэглэжээ. номууд. Тэр тусмаа уг бүтээлийн бичвэрийг бүрэн шүүмжилсэн хэвлэлд оруулах шаардлагатайг тэрээр шаардаж, үүнтэй холбогдуулан тэдгээрийн араб хэл дээрх хувилбаруудыг судлах асуудлыг тавьжээ. "Жижиг одон орон судлал"-ын судалгаанд ихээхэн гавьяа байгуулсан нь А.Бьорнбогийн өөрөө, мөн Ф.Гулч, И.Л. Heiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Mogenet болон бусад хүмүүс энэ чиглэлд одоохондоо бүх зүйл хийгдээгүй байна. Энэ нь ялангуяа араб орчуулгатай "дунд" номуудад хамаатай.
Зүүн дундад зууны үеийн эрдэмтэд Грекийн бүтээлүүдэд ихээхэн нэмэлт өөрчлөлт хийж, теоремуудын өөрсдийн нотолгоог санал болгож, заримдаа эртний онолд шинэ санааг нэвтрүүлдэг байв. Энэ үүднээс авч үзвэл бөмбөрцөгт зориулсан бүтээлүүдийн араб хувилбарууд ихээхэн анхаарал хандуулах ёстой. Бөмбөрцөг тригонометрийн түүхэнд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн Абу Наср ибн Ирак, Насир ад-Дин ат-Туси нарын эмхэтгэсэн Менелаусын бүтээлийн тайлбарыг судлах нь онцгой чухал юм.
2. Бидэнд хүрч ирсэн бөмбөрцгийн тухай бүтээлүүдээс хамгийн эртний нь, ерөнхийдөө Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүд бол Питанагийн Автоликийн (МЭӨ 310 он) "Эргэдэг бөмбөрцгийн тухай", "Наран мандах тухай" зохиолууд юм. болон Тохиргоо." Тэд хоёулаа одон орон судлалд хамаарах бөмбөрцөг дээрх геометрийн асуудалтай холбоотой.
Автолик нь тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлдэж буй бөмбөрцөг ба түүн дээрх дугуй хэсгүүдийг судалдаг: хоёр туйлыг дайран өнгөрч буй том тойрог, тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайгаар бөмбөрцгийг огтолж авсан жижиг тойрог, түүн рүү ташуу өнгөрч буй том тойрог. Эдгээр тойргийн цэгүүдийн хөдөлгөөнийг төвөөр дамжин өнгөрөх зарим тогтмол огтлох хавтгайтай холбоотой гэж үздэг. Эндээс селестиел меридиан, параллель, экватор, эклиптик, давхрага бүхий тэнгэрийн бөмбөрцгийн загварыг харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч танилцуулга нь цэвэр геометрийн хэлээр хийгдсэн бөгөөд одон орны нэр томъёохэрэглэхгүй.
Автолик 12 өгүүлбэр бүхий "Хөдөлгөөнт бөмбөрцгийн тухай" эссэгтээ нэгэн жигд хөдөлгөөний тухай ойлголтыг ("цэг нь ижил хугацаанд ижил замыг туулж байвал жигд хөдөлдөг") танилцуулж, энэ ойлголтыг эргэдэг бөмбөрцөгт ашигладаг. Энэ нь юуны түрүүнд түүний гадаргуугийн тэнхлэг дээр хэвтдэггүй, жигд эргэлттэй цэгүүд нь бөмбөрцөгтэй ижил туйлтай, тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайтай зэрэгцээ тойргийг дүрсэлдэг болохыг харуулж байна (Санал 1). Цаашид ижил хугацаанд гадаргуу дээрх бүх цэгүүд ижил төстэй нумуудыг дүрсэлдэг (2-р санал) ба эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл зэрэгцээ тойргийн хоёр нумыг тэнцүү хугацаанд гаталж байвал тэдгээр нь ижил төстэй байдаг (3-р санал).
Энэ бөмбөрцгийн төв хэсэгт байрлах ажиглагчид харагдахуйц хэсгийг үл үзэгдэхээс тусгаарладаг том тойрог - тэнгэрийн хаяа гэсэн ойлголтыг танилцуулсны дараа Autolik гадаргуугийн цэгүүдийн хөдөлгөөнийг түүнтэй холбоотой гэж үздэг. Тэнгэрийн хаяа тэнхлэгт перпендикуляр, туйлуудыг дайран өнгөрч, тэнхлэг рүү налуу байх үед янз бүрийн боломжит байрлалуудыг судалдаг. Эхний тохиолдолд (дэлхийн туйлд явагддаг) жигд эргэлддэг бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх нэг ч цэг өгсөх эсвэл буурахгүй; Үзэгдэх хэсгийн бүх цэгүүд үргэлж харагдах бөгөөд үл үзэгдэх хэсгийн бүх цэгүүд үргэлж үл үзэгдэх хэвээр байна (Санал 4).
Дэлхийн экваторт явагддаг хоёр дахь тохиолдолд бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх бүх цэгүүд тэнгэрийн хаяанаас дээш ба доор ижил цагийг өнгөрөөж, дээшилж, тогтооно (Санал 5).
Эцэст нь, сүүлчийн ерөнхий тохиолдолд тэнгэрийн хаяа нь хоёр тэнцүү зэрэгцээ тойрогт хүрдэг бөгөөд тэдгээрийн харагдах туйлд байрлах нэг нь үргэлж харагддаг, нөгөө нь үргэлж үл үзэгддэг (Санал 6). Эдгээр тойргийн хооронд байрлах гадаргуугийн цэгүүд дээшилж, тогтож, үргэлж давхрагын ижил цэгүүдээр дамжин өнгөрч, тэнхлэгт перпендикуляр, ижил өнцгөөр тэнгэрийн хаяанд налуу тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг (Санал 7). Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр бэхлэгдсэн, тэнгэрийн хаяатай ижил параллель тойрогт хүрч буй том тойрог бүр нь бөмбөрцөг эргэх үед давхцах болно (Санал 8). Нэмж дурдахад, хэрэв тэнгэрийн хаяа тэнхлэг рүү хазайсан бол нэгэн зэрэг өгсөж буй хоёр цэг нь харагдахуйц туйлд ойрхон байгаа нь дараа нь тогтоогдсон бол хоёр цэгийг нэгэн зэрэг байрлуулсан бол харагдахуйц руу ойр байрлах нь тогтоогдсон туйл эрт босдог.
Тэнгэрийн хаяаг тэнхлэг рүү хазайсан тохиолдолд бөмбөрцгийн туйлуудыг дайран өнгөрч буй том тойрог (өөрөөр хэлбэл голчид) эргэлтийн явцад хоёр удаа тэнгэрийн хаяанд перпендикуляр болж хувирна гэдгийг харуулав (Санал 10), Автолик нь эклиптикийг үндсэндээ авч үздэг теоремыг (11-р санал) томъёолж, нотолж байна. тухай юмЭнэ том тойрог дээр байрлах цэгүүдийн өсөлт ба тогтох нь тэнгэрийн хаяатай харьцуулахад түүний байрлалаас хэрхэн хамаардаг тухай. Хэрэв хоёулаа тэнхлэг рүү хазайж, эклиптик нь бөмбөрцөг дээрх бие биетэйгээ параллель, тэнхлэгт перпендикуляр хоёр тойрог хүрч байвал тэнгэрийн хаяанд хүрэхээс том хэмжээтэй байвал эклиптикийн цэгүүд үргэлж байх болно гэдгийг баталсан. Тэд эклиптиктэй шүргэгч параллель тойргийн хооронд байрлах тэнгэрийн хаяаны сегмент дээр өсөж, тогтоно.
Сүүлчийн өгүүлбэрт: Хэрэв бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх тогтмол тойрог нь тэнхлэгт перпендикуляр биш, туйлуудыг дайран өнгөрөхгүйгээр бөмбөрцөгтэй эргэлддэг өөр тойргийг үргэлж хоёр хуваадаг бол тэдгээр нь том тойрог юм.
Автоликийн "Наран ургах ба жаргах тухай" хэмээх хоёр номоос бүрдсэн зохиол нь дээр дурдсан бүтээл дээр үндэслэсэн болно. Энэ нь тогтсон оддын хөдөлгөөнийг дүрсэлдэг (Ном 1), дээр байрлах арван хоёр одны ордод онцгой анхаарал хандуулсан; Эклиптик (II дэвтэр). Огторгуйн бөмбөрцөгт өөр өөр байрлалтай одод хэзээ мандаж, жаргах, ямар нөхцөлд харагдах, үл үзэгдэх нь тодорхойлогддог.
Анхан шатны сурах бичгийн шинж чанартай байсан бөмбөрцөгт зориулсан Autolik-ийн бүтээлүүд эртний болон Дундад зууны үед ч ач холбогдлоо алдаагүй. "Хөдөлгөөнт бөмбөрцгийн тухай" зохиолын агуулгыг Александрийн Паппус (МЭ 3-р зуун) "Математикийн цуглуулга" -ын 6-р номонд дурджээ. Шинжлэх ухааны хөгжилд Автоликийн гүйцэтгэсэн үүргийн ач холбогдлыг 6-р зуунд бичсэн байдаг. Симпликус, Жон Филопонус нар. Түүний хоёр бүтээлийн Грек бичвэр өнөөг хүртэл бүрэн хадгалагдан үлджээ.
Асаалттай АрабАвтоликийн бүтээлүүдийг орчуулсан IX-эхлэл X зуун Дорнодын эрдэмтдийн сонирхлыг татсан анхны Грекийн бүтээлүүдийн нэг. "Хөдөлгөөнт бөмбөрцгийн тухай" зохиолыг Грек эхээс орчуулах ажлыг алдарт орчуулагч Исхак ибн Хунайн (910/911 онд нас барсан) гүйцэтгэсэн. Түүний орчин үеийн одон орон судлаач, гүн ухаантан, эмч Куста ибн Лука аль-Баалбаки (912 онд нас барсан) “Наран ургах ба жаргах тухай” зохиолыг орчуулжээ. Дараа нь эдгээр орчуулгыг алдарт математикч, одон орон судлаач Сабит ибн Корра (901 онд нас барсан) зассан. Хожим нь 13-р зуунд. Автоликийн бүтээлүүдийг нэрт эрдэмтэн, Марага обсерваторын тэргүүн Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274) тайлбарлав.
Европт Автоликийн бүтээлүүдийн араб хувилбарууд 12-р зуунд алдартай болсон. Дундад зууны үеийн хамгийн том орчуулагч Кремонагийн Жерардогийн (1114-1187) хийсэн "Хөдөлгөөнт бөмбөрцгийн тухай" зохиолын латин орчуулга энэ үеэс эхлэлтэй.
10-15-р зууны хэд хэдэн гар бичмэлд хадгалагдан үлдсэн Автоликусын бүтээлүүдийн Грек хэл дээрх эх бичвэр нь 16-р зуунд Европт хүмүүнлэгийн үзэл санааны нөлөөн дор эртний шинжлэх ухааны өвийг сайтар судалж эхэлсэн үед эрдэмтдийн анхаарлыг татсан. . анх удаа латин хэл; Грек хэл дээрх хоёр зохиолын орчуулгыг 1501 онд Италийн соён гэгээрүүлэгч Жорж Баллагийн нэвтэрхий толь бичигт (Г. Валла, 1447-1500 он) нийтэлж, дараа нь энэ бөмбөрцгийн эртний бүтээлүүдийн цуглуулгад хэвлэгдсэн. 1558 онд Мессина хотод Франческо Мавролико (Ф. Мауролико, 1494-1575) .
Эртний зохиолчдын математик, одон орон судлалын бүтээлүүдийг хэвлэн нийтлэх идэвхтэй ажил энэ хугацаанд Францын сэргэн мандалтын үеийн нэрт зүтгэлтнүүдийн нэг, эртний шинжлэх ухааныг сурталчлагч П.Рамусын санаачилгаар эхэлсэн Францад хийгдэж байжээ. P. Ramus, Pierre de la Ramée, 1515-1572); Конрад Дасиподиусын (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600) гүйцэтгэсэн Autolicus-ийн бүтээлүүдийн Грекийн анхны хэвлэлийг түүнд зориулжээ; 1572 онд Страсбург хотод латин орчуулгын хамт хэвлэгджээ. Рамусын өөр нэг шавь П.Форкадел (Пьер Форкадел, ойролцоогоор 1520-1574) 1572 онд Автоликийн хоёр зохиолын франц орчуулгыг хэвлүүлсэн.
1587-1588 онд Ватиканы номын сангийн хэд хэдэн Грек гар бичмэл дээр үндэслэн И.Ауриа хийсэн өөр нэг латин хэвлэл гарч ирсэн бөгөөд 1644 онд М.Мерсенне (М.Мегсенн, 1588-1648) Грек хэл дээрх бусад бүтээлүүдийг багтаасан Автоликусын бүтээлүүдийн товчилсон латин орчуулгыг хэвлүүлжээ. математик, одон орон судлалын талаар.
1855 онд Ф.Гулч 1855 онд Автоликийн зохиолуудын Грек хэл дээрх бичвэрийг латин орчуулгын хамт шүүмжилсэн иж бүрэн хэвлэлд хийжээ. Энэ нь 1931 онд хэвлэгдсэн А.Чвалинагийн герман орчуулгын үндэс болсон юм.
Эцэст нь, 1950 онд Ж.Маугений амьд үлдсэн бүх гар бичмэлүүдийг сайтар судалсны үндсэн дээр Грек бичвэрийн шинэ хэвлэлийг хийсэн; Текстийн өмнө Автоликийн бүтээлүүдийн Европын хэвлэлүүдийн түүхийг сайтар судалсан болно. 1971 онд Бейрут хотод хэвлэгдсэн Англи хэлний орчуулгаГэсэн хэдий ч О.Нойгебауэрийн ноцтой шүүмжлэлийг дагуулсан энэхүү текст.
Автоликийн бүтээлүүд одон орон, математикийн олон түүхчдийн анхаарлыг татдаг. Автоликийн онол болон түүний бүтээлийн текстийг хоёуланг нь судалдаг. Жишээлбэл, "Наран ургах ба тохиргоо"-г бүрдүүлдэг хоёр ном нь нэг бүтээлийн хоёр хувилбар байх магадлалтайг харуулж байна.
Автоликийн "дунд ном"-ын араб хэл дээрх зохиолуудын хувилбарууд нь одоог хүртэл хамгийн бага судлагдсан хэвээр байгаа боловч тэдгээр нь олон тооны гар бичмэлд хадгалагдсан байдаг. өөр өөр номын сангуудЕвроп, Ази.
3. 4-р зууны хоёрдугаар хагаст. МЭӨ е., бөмбөрцөг дээрх өөр нэг бүтээл гарч ирэв, энэ нь Аутоликийн бүтээлтэй ойролцоо бөгөөд түүний орчин үеийн Элементүүдийн алдартай зохиолч Евклидийн бичсэн. "Үзэгдлүүд" нэртэй энэхүү зохиолд Евклид өмнөх үеээ давтсан боловч бөмбөрцөг ба практик одон орон судлалын хоорондын холбоог түүнд илүү тодорхой илэрхийлсэн байдаг.
Евклидийн үзэгдэл 18 өгүүлбэрээс бүрдэнэ. Эхнийх нь дэлхий ертөнцийг орчлон ертөнцийн төв болгон авдаг гэсэн дэлхийн геоцентрик системийн үндэс болсон мэдэгдлийг томъёолсон. Ажиглагчийн байр суурь болохоор дэлхийн гадаргуудур зоргоороо гэж үзэх ёстой бол энэ мэдэгдлээс үзэхэд бүх орчлон ертөнцтэй харьцуулахад Дэлхийг ажиглагчийн байрладаг цэг гэж үздэг.
2, 3-р өгүүлбэрт "Хөдөлгөөнт бөмбөрцгийн тухай" зохиолын Автоликийн долоо дахь теоремыг давтаж, Евклид зурхайн тэмдгүүдийн өсөлт, төлөв байдлыг судалж эхлэв - эклиптик дээр байрладаг 12 одны орд, өөрөөр хэлбэл. арван хоёр нум, эклиптик нь 30 ° -тай тэнцүү бөгөөд эдгээр одны ордуудад нөхцөлт тохирсон байдаг. Хэрэв эклиптик нь селестиел бөмбөрцөг дээрх үргэлж харагдахуйц хамгийн том тойрогтой огтлолцдоггүй бол, өөрөөр хэлбэл, ажиглалтын талбайн өргөрөг 66 ° -аас бага бол эхлээд босч буй одны ордууд мөн тогтдог гэдгийг тэрээр нотолж байна (4-р санал) эхлээд; Хэрэв түүнтэй огтлолцох юм бол, өөрөөр хэлбэл, ажиглалтын талбайн өргөрөг 66 ° -аас их байвал хойд зүгт байрлах одны ордууд өмнө зүгт байрлахаас илүү эрт босч, хожуу тогтдог (Санал 5). Тиймээс одны ургах, тогтоох онцлог нь ажиглалтын байршлын өргөрөгөөс, өөрөөр хэлбэл дэлхийн тэнхлэг ба тэнгэрийн хаяа хоорондын өнцөгөөс хамаарна.
Эклиптикийн диаметрийн эсрэг талын төгсгөлд байрлах оддын мандах ба жаргах нь бие биенээсээ эсрэг байдаг гэдгийг харуулсан (Санал 6) Евклид Автоликийн "Хөдөлгөөнт бөмбөрцгийн тухай" зохиолын арваннэгдүгээр теоремыг тайлбарлав: одууд. Эклиптик нь дээшлэх ба жаргах үед тэнгэрийн хаяаны хэсэг нь халуун орны хооронд оршдог бөгөөд энэ огтлолцол тогтмол цэгүүдэд тохиолддог (Санал 7).
Дараа нь тэр зурхайн тэмдгүүдийн тэгш нумууд дээшилж, тэнгэрийн хаяаны тэгш бус нумууд дээр тогтдог болохыг нотолж, тэдгээр нь тэгшитгэлд ойртох тусам тэд байрладаг; энэ тохиолдолд экватороос ижил алслагдсан нумууд дээшилж, тэнгэрийн хаяаны ижил нуман дээр тогтоно (Санал 8).
Дараах теоремууд нь янз бүрийн зурхайн нар мандах, жаргах үргэлжлэх хугацаатай холбоотой. Нэгдүгээрт, эклиптикийн хагасыг өргөхөд шаардагдах хугацаа нь анхны лавлах цэгийн байрлалаас хамаарч өөр өөр байх болно (санал 9). Энэ нь жилийн янз бүрийн улиралд өдөр, шөнийн өөр өөр урттай тухай мэдэгдэлд нийцэж байгаа бөгөөд нар нь зурхайн өөр өөр шинж тэмдгүүдэд байдаг. Дараа нь зурхайн тэгш ба эсрэг шинж тэмдгүүдийн ургах, тогтооход шаардагдах хугацааг харгалзан үзнэ.
Евклидийн тавьсан асуултын шийдэл нь өдөр, шөнийн цагийг тодорхойлох, хуанли тогтоох гэх мэт аргуудтай холбоотой байсан тул эртний одон орон судлаачдын хувьд маш чухал байв.
4. Ийнхүү Автолик ба Евклидийн авч үзсэн бүтээлүүдэд эртний Грекийн бөмбөрцгийн үндэс суурийг онолын болон практикийн аль алиныг нь тодорхойлсон болно. Гэсэн хэдий ч хоёр зохиолч хоёулаа энэ чиглэлээр хэд хэдэн саналыг нотлох баримтгүйгээр танилцуулж байсан тул аль аль нь эрт дээр үеийн хэв маягийг дагаж мөрдсөн бөгөөд үүнийг мэддэг гэж үзсэн бололтой. Тухайн үед нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бөмбөрцгийн тухай ийм бүтээлийн зохиогч нь Книдын агуу математикч, одон орон судлаач Евдокс (МЭӨ 408-355 он) байж магадгүй юм.
Энэхүү алдагдсан бүтээлийг сүүлд бичсэн Теодосиусын "Сферика" номоор шүүж байгаа боловч түүний агуулгыг үндсэндээ давтаж байгаа нь эргэлзээгүй.
5. Теодосиусын амьдрал, намтартай холбоотой янз бүрийн санал бодол байдаг бөгөөд энэ нь эртний түүхчдийн зөрчилдөөнтэй мэдээлэлд үндэслэсэн бөгөөд энэ нэрийг авсан хэд хэдэн дүрийг нэг хүнд андуурч нэгтгэсэн байдаг. "Сферика" зохиолын зохиогч нь урьд өмнө нь итгэж байсан бөгөөд түүний бүтээлүүдийн олон хэвлэлд гарчигт дурдсанчлан Триполиас биш Битиниагаас гаралтай болох нь тогтоогджээ. Тэрээр 2-р зууны 2-р хагаст амьдарч байсан байх магадлалтай. МЭӨ МЭӨ, түүнийг ихэвчлэн Цицероны үеийн хүн гэж нэрлэдэг байсан (МЭӨ 50 орчим).
Бөмбөрцөгөөс гадна "дунд номууд" -д багтсан Теодосиусын өөр хоёр бүтээл Грекийн эх хувилбарт хадгалагдан үлджээ. Хамгийн том "Орон сууцны тухай" зохиол нь 12 өгүүлбэрийг багтаасан бөгөөд өөр өөр газарт байрладаг ажиглагчдын үүднээс оддын тэнгэрийг дүрслэн харуулахад зориулагдсан болно. газарзүйн өргөрөг. Хоёр номоос бүрдэх "Өдөр, шөнийн тухай" нэртэй хоёр дахь зохиол нь нар нэг өдрийн дотор тэнүүчлэх эклиптикийн нумыг судалж, жишээлбэл, өдөр, шөнө тэнцэх үед яг таарч байх нөхцөлийг судалсан болно. бие биетэйгээ тэнцүү.
Эдгээр бүтээлүүдийг Арабын олон эрдэмтэд судалж, тайлбар хийсэн бөгөөд 16-р зуунд Грек хэл дээрх гар бичмэлүүд олдсон үед Европт олны анхаарлыг татсан. Тэдгээрийн эхнийх нь 1558 онд Ф.Мавролико бөмбөрцөг хэлбэрийн тухай хэд хэдэн бүтээлийн хамт латин орчуулгатайгаар хэвлэгдсэн бөгөөд дараа нь 1572 онд К.Дасиподиа дээрх номонд энэхүү трактатын теоремуудын грек, латин томъёоллыг нийтлэв. . Мөн 1572 онд П.Форкаделийн хийсэн Дасиподиагийн хувилбарт Теодосиусын бүтээлийн франц хэл дээрх орчуулга хэвлэгджээ. Дараах латин хэвлэлийг 1587 (I. Auria), 1644 онд (М, Мерсенне) хийсэн. "Орон сууцны тухай" зохиолын Грек хэл дээрх бүрэн эх бичвэрийг латин орчуулгын хамт Р.Фехт 1927 онд л хэвлүүлсэн. Мөн нэг хэвлэлд анх удаа хэвлэв эх текст"Өдөр, шөнө" бүтээлүүд болон түүний латин орчуулга. Өмнө нь C. Dasypodia 1572 онд хэвлэгдсэн Грек, Латин хэл дээрх өгүүлбэрийн томъёолол, I. Auria-ийн хэвлэлд бүрэн латин орчуулга хийсний ачаар мэдэгдэж байсан.
Теодосиусын бүтээлүүдийн хамгийн том алдар нэрийг түүний одон орон судлал, бөмбөрцөг тригонометр, Евклидийн бус геометрийн түүхэнд чухал байр суурь эзэлдэг "Бөмбөлөгүүд" авсан.
Теодосиус бөмбөрцөгийг янз бүрийн хавтгайгаар зүсэх замаар олж авсан гадаргуу дээрх шугамын шинж чанарыг нарийвчлан судалдаг. Түүний бүтээлд бөмбөрцөг гурвалжин хараахан гараагүй байгааг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Уг бүтээлийг Евклидийн элементүүдээс загварчилсан бөгөөд гурван номоос бүрдэнэ. 23 өгүүлбэр агуулсан эхний ном зургаан тодорхойлолтоор эхэлдэг. Бөмбөрцөг гэдэг нь "нэг гадаргуугаар хязгаарлагдсан хатуу дүрс бөгөөд энэ зургийн дотор байрлах нэг цэгээс түүн дээр унасан бүх шулуун шугамууд хоорондоо тэнцүү" гэж тодорхойлогддог. I, 15-р тодорхойлолт); Евклид өөрөө Элементүүдийн XI дэвтэрт бөмбөрцгийг өөр өөрөөр тодорхойлсон нь сонирхолтой юм - тогтмол диаметрийг тойрон хагас тойргийг эргүүлснээр үүссэн бие гэж (XI дэвтэр, 14-р тодорхойлолт). Бөмбөрцгийн төв, түүний тэнхлэг, туйлуудын тодорхойлолтыг доор харуулав. Бөмбөрцөг дээр зурсан тойргийн туйлыг дараах байдлаар тодорхойлно. Бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх тойргийн тойрог хүртэл түүгээр татсан бүх шугамууд хоорондоо тэнцүү байх цэг. Эцэст нь зургаа дахь тодорхойлолт нь бөмбөрцгийн төвөөс ижил зайд байгаа тойрогтой холбоотой: Теодосиусын хэлснээр эдгээр нь бөмбөрцгийн төвөөс тэдгээрийн хавтгай руу татсан перпендикулярууд хоорондоо тэнцүү байхаар тойрог юм.
1-р номын саналууд нь нэлээд энгийн зүйл юм: батлагдсан; тухайлбал, бөмбөрцгийн хавтгайгаар ямар ч хэсэг нь тойрог байх, бөмбөрцгийн төвөөс дугуй огтлолын төв хүртэл татсан шулуун шугам нь энэ хэсгийн хавтгайд перпендикуляр байх, бөмбөрцөг ба хавтгай нь ижил холбоо барих цэг гэх мэт.
Теодосиусын "Бөмбөлөг" номын хоёрдахь ном нь бөмбөрцөг дээрх хоёр тойрог бие биедээ хүрч байгаа тодорхойлолтоор эхэлсэн бөгөөд бие биендээ налуу тойргийн шинж чанарын тухай 23 өгүүлбэр агуулдаг.
Гурав дахь ном нь бөмбөрцөг дээрх параллель ба огтлолцох тойргийн системтэй холбоотой өмнөх өгүүлбэрүүдээс илүү төвөгтэй 14 өгүүлбэрээс бүрдэнэ. Энд бүх теоремуудыг цэвэр геометрийн аргаар томъёолж, нотолсон боловч одон орон судлалтай холбоотой сферикийн үйлчилгээний үүрэг тодорхой болсон.
Теодосиусын "Бөмбөлөг" -ийг эртний болон дундад зууны үед сайтар судалж байжээ. Энэ тухай Александрийн Паппус (III зуун) Математикийн цуглуулгынхаа 6-р номонд тайлбарлав. VI зуунд. Жон Филопонус Евклид, Автоликус, Теодосиусын бөмбөрцөг дээрх бүтээлүүдийг судалж үзэхэд сүүлийнх нь одон орны бодит объектуудаас бүрэн хийсвэрлэн авч үзэх сэдвийн хамгийн ерөнхий хийсвэр танилцуулгыг өгдөг гэж тэмдэглэжээ. Түүний бодлоор Автолик илүү онцгой тохиолдлыг авч үздэг, учир нь "зохиогч ямар нэгэн тодорхой объект бодоогүй байсан ч бөмбөрцөг дүрс, хөдөлгөөний хослолын ачаар бодит байдалд ойртдог." Одон орон судлалын судлагдсан объектууд болох тэнгэр, нар, одод, гаригууд үнэхээр бодитой байдаг тул Евклидийн "Үзэгдэл"-д хамгийн онцгой асуудлыг авч үздэг.
Теодосиус анх 9-р зуунд Сферикаг араб хэл рүү орчуулсан. Куста ибн Лука аль-Баалбаки; 2-р номын 5-р өгүүлбэрт хүргэсэн орчуулгыг Сабит ибн Коррах аль-Харрани гүйцэтгэсэн.
Энэ талаар болон 13-15-р зууны Дорнодын эрдэмтдийн эмхэтгэсэн Теодосиусын бусад бүтээлүүдийн талаар олон тооны тайлбарууд байдаг. Тэдний дунд Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274), Яхья ибн Мухаммад ибн Аби Шукр Мухи ад-Дин аль-Магриби (1285 онд нас барсан), Мухаммед ибн Ма' зэрэг томоохон математикч, одон орон судлаачдыг нэрлэж болно. руф ибн Ахмад Таки ад-Дин (1525/1526-1585) болон бусад.
13-р зууны алдарт Марагийн шинжлэх ухааны сургуулийн төлөөлөгч болох Теодосиусын "Бөмбөлөг" бүтээлийн зохион байгуулалт. Мухи ад-Дин аль-Магрибийг судалж, хэсэгчлэн орчуулсан ФранцБ.Каппа де Во. Энэхүү эмхэтгэлд Теодосиусын теоремуудыг танилцуулах, нотлоход ашигладаг одон орны нэр томъёонд анхаарлаа хандуулав. Тиймээс энд бөмбөрцөг ба одон орон судлалын хоорондын холбоо нь Грекийн эх сурвалжаас ч илүү тодорхой харагдаж байгаа нь Дорнодын шинжлэх ухаанд хамааралтай болохыг тайлбарлаж байна.
Европт Теодосиусын Сферика нь 12-р зуунд энэ бүтээлийн араб хувилбараас нь Латин хэлээр хоёр орчуулга гарч ирснээр алдартай болсон. Тэдгээрийг Испанид ажиллаж байсан шилдэг орчуулагчид Кремонагийн Герардо, Тиволийн Платон нар гүйцэтгэсэн. Сүүлчийн орчуулгыг 1518 онд Венецид хэвлүүлж, дараа нь 1529 онд И.Воегелин (1549 онд нас барсан), 1558 онд дээр дурдсан Ф.Мавроликогийн номонд дахин хэвлэв.
Бөмбөрцгийн Грек бичвэрийг анх 1558 онд Ж.Пена латин орчуулгын хамт хэвлүүлсэн. Энэхүү нийтлэл нь Теодосиусын бүтээлийн араб хувилбар болон эх хувилбарын хоорондох ялгааг тодруулах, теоремуудыг батлахад дорно дахины эрдэмтэд ямар нэмэлт, өөрчлөлт оруулсныг тогтоох боломжийг олгосон. Гэсэн хэдий ч Пенагийн ашигласан Грек гар бичмэл олон дутагдалтай байсан. Тиймээс 1707 онд Оксфордод И.Хант бусад гар бичмэлүүд дээр зарим засвар хийж, шинэ, сайжруулсан хэвлэлийг хийжээ. Дараа нь уг бүтээлийн Грек хэл дээрх текстийг (мөн латин орчуулгатай) 1862 онд Э.Ницца, 1927 онд И.Хейберг хоёр дахин хэвлэв.
16-р зууны 2-р хагасаас эхлэн "Бөмбөлөг" номын товчилсон, тохируулсан хувилбарууд латин хэл дээр гарч эхэлсэн бөгөөд энэ нь теоремуудыг шинэ хэллэгээр тайлбарласан болно. математикийн ойлголтуудба бөмбөрцөг тригонометрийг ашиглан. 1586 онд X. Clavius-ийн хэвлэл Ромд хэвлэгдсэн бөгөөд 17-р зуунд. М.Мерсенне (1644) болон И. Барроу (1675) нарын хэвлэлүүд зэрэг бусад хэд хэдэн хэвлэлүүд нь алгебрийн бэлгэдэл бүхий нарийвчилсан нотолгоо бүхий бөмбөрцөгүүдийн маш сул боловч латин орчуулгыг агуулдаг.
1826 онд “Сферика”-г Э.Ницца герман хэлнээс орчуулан хэвлүүлсэн. Уг бүтээлийн Герман хэл дээрх хоёр дахь хэвлэлийг 1931 онд А. Чвалина (Автоликийн зохиолуудын хамт) гүйцэтгэсэн. Д.Хенрионы хийсэн “Сферика”-гийн анхны франц орчуулга 1615 онд хэвлэгдсэн бол дараагийнх нь Ж.Б. Дугамел (J. V. Du Hamel), - 1660 онд; эцэст нь 1927 онд гарч ирэв орчин үеийн орчуулгаП.Вер Эке.
Математикийн олон түүхчдийн бүтээлүүд (A. Knock, I. Heiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Björnbo гэх мэт) нь Теодосиусын "Бөмбөлөг" зохиолын текст, агуулгыг судлахад зориулагдсан байв III-VII зууны үед эмхэтгэсэн энэхүү бүтээлд. ба хожим үеийн Грекийн гар бичмэлүүдэд хадгалагдаж байсан Теодосиусын Бөмбөрцөг ба Евклидийн үзэгдлүүд болон эртний зохиолчдын бусад бүтээлүүдийн хоорондын хамаарлыг авч үзсэн. Эдгээр судалгааны үр дүн нь математик, одон орон судлалын түүх, түүнчлэн Евклид, Автоликус, Теодосиус, тэдний бүтээлийн зарим тайлбарлагчдын намтартай холбоотой хэд хэдэн асуултыг тодруулах боломжтой болсон.
6. Бөмбөрцөг хэлбэрийн Грекийн бүтээлүүдтэй агуулгын хувьд ойр богино эссэ"Эклиптикийн дагуух оддын оргилд" ("Анафорикус") гарчигтай Александрийн Hypsicles (МЭӨ 200-100 оны хооронд амьдарч байсан). Hypsicles нь Евклидийн Элементүүдэд XIV ном болгон орсон ердийн олон талтуудын тухай зохиолын зохиогч гэдгээрээ алдартай; Түүний олон өнцөгт тоонуудын тухай, өнөөг хүртэл хадгалагдаагүй өөр нэг бүтээлийг Диофант "Арифметик" номд иш татсан болно.
Зургаан өгүүлбэрээс бүрдсэн "Хиртэлтэд оддын мандах тухай" зохиол нь эклиптикийн 1/12-ыг эзэлдэг зурхайн тэмдэг бүрийн мандах буюу жаргахад шаардагдах хугацааг тодорхойлох асуудлыг шийддэг. ” өөрөөр хэлбэл эклиптикийн 1/30 хэсэг. Энэ нь зурхайн үндэслэлд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн тул эртний болон Дундад зууны үед маш их алдартай байсан. Асуудлыг бөмбөрцөг тригонометрийн тусламжтайгаар шийдэж болох боловч ийм арга хэрэгсэл хараахан байгаагүй Hypsicles олон өнцөгт тооны тухай өөрт нь мэдэгдэж байсан теоремуудыг ашиглан үүнийг ойролцоогоор шийдсэн. Энэхүү бүтээлд анх удаа тойргийг 360 хэсэгт хуваасан нь түүний өмнөх үеийнхэнд, ялангуяа Автоликт олдоогүй байна.
Hypsicles зохиол нь "дунд номуудын" нэг байсан бөгөөд 9-р зуунд араб хэл рүү орчуулагдсан. Энэхүү орчуулгын олон гар бичмэл байдаг боловч удаан хугацаанд судлагдаагүй байсан бөгөөд Куста ибн Лука, аль-Кинди эсвэл Исхак ибн Хунайн хийсэн эсэх нь нарийн тогтоогдоогүй байна. Тэрээр уг бүтээлийн араб хувилбарыг 12-р зуунд латин хэл рүү орчуулсан. Кремонагийн Жерардо.
Кремонагийн Герардогийн Грек эх, Латин орчуулгын шүүмжлэлийн хэвлэлийг 1888 онд К.Манисиус гүйцэтгэсэн. 1966 онд хэвлэгдсэн хоёр дахь хэвлэлд В. Де Фалкогийн Грек хэл дээрх бичвэр, scholia болон орчуулга, араб хэл дээрх текст болон Герман орчуулгаМ.Краузе, түүнчлэн О.Нойгебауэрийн танилцуулга өгүүлэл.
7. Бөмбөрцгийн талаархи эртний бүтээлүүдээс шинжлэх ухааны түүхэнд хамгийн их үүрэг гүйцэтгэсэн нь 1-р зуунд Александрид ажиллаж байсан Менелаусын "Бөмбөлөг" юм. n. д. мөн түүнээс өмнө энэ чиглэлээр гарсан бүх үр дүнг нэгтгэн дүгнэв. Түүний ажил нь бөмбөрцөг дээрх геометрийг тайлбарлаад зогсохгүй бөмбөрцөг гурвалжны талаар анх удаа танилцуулж, бөмбөрцөг тригонометрийн үндэс болсон теоремуудыг тууштай нотолж, бий болгосон. онолын үндэслэлтригонометрийн тооцооллын хувьд.
Менелаусын амьдралын талаархи мэдээлэл маш ховор байдаг. 1998 онд үйлдвэрлэсэн нь мэдэгдэж байна одон орны ажиглалтРомд. Түүний гол бүтээл болох "Сферика" нь Грек хэл дээр хадгалагдаагүй бөгөөд зөвхөн дундад зууны үеийн араб орчуулгаас л мэдэгддэг.
Бөмбөрцөг нь гурван номоос бүрдэх ба Евклидийн элементүүдээс загварчилсан. Юуны өмнө Грекийн өмнөх бүтээлүүдэд байдаггүй бөмбөрцөг гурвалжин гэсэн ойлголтыг багтаасан үндсэн ойлголтуудын тодорхойлолтыг танилцуулав. Эссений нэлээд хэсэг нь энэ зургийн шинж чанарыг судлахад зориулагдсан болно.
Бөмбөрцөг дээрх шугам, дүрсүүдийн шинж чанарын талаархи саналыг нотлохдоо тэрээр Теодосиусын "Бөмбөлөг" дэх тодорхойлолт, теоремуудад тулгуурладаг. 2-р номонд эдгээр теоремууд болон Евклидийн үзэгдлүүд ба Гипсиклүүдийн анафорикуудад одон орон судлалын хэлбэрээр томъёолсон саналуудыг системчилж, шинэ хатуу нотолгоогоор хангасан болно.
Тригонометрийн түүхэнд онцгой чухал үүрэг бол "Менелаусын теоремууд" гэж нэрлэгддэг III номын 1-р өгүүлбэр (түүнчлэн "бүтэн дөрвөлжингийн теоремууд", "зургаан хэмжигдэхүүний дүрэм", "теоремууд") тоглосон. хөндлөн дээр"). А.Браунмюлийн хэлснээр энэ нь "Грекчүүдийн бүх бөмбөрцөг тригонометрийн үндэс суурь" байсан юм.
Хавтгай тохиолдлын талаархи Менелаусын теоремыг дараах байдлаар томъёолсон: ACGB дүрсийг үүсгэн харилцан огтлолцох AB, AC, BE, CD шулуунуудыг өгье (Зураг 1); Дараа нь дараахь харилцааг бий болгоно.
CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE
Бөмбөрцөг хэлбэрийн хувьд теорем нь Грекийн тригонометрийн заншилтай адил хоёр нумын хөвчийг агуулдаг. Бөмбөрцгийн гадаргуу дээрх том тойргийн нумуудаас үүссэн ACGB дүрсийг (Зураг 2) өгвөл дараах хамаарал үүснэ.
хөвч(2CE) / хөвч(2AE) = хөвч(2CG) / хөвч(2DG) * хөвч(2DB) / хөвч(2AB)
хөвч(2AC) / хөвч(2AE) = хөвч(2CD) / хөвч(2DG) * хөвч(2ГБ) / хөвч(2BE)
Менелаус мөн бөмбөрцөг тригонометрийн хөгжилд үндэслэсэн хэд хэдэн теоремуудыг нотолсон. Үүнд "дөрвөн хэмжигдэхүүний дүрэм" гэж нэрлэгддэг (III номын 2-р өгүүлбэр); хэрэв A ба D, C ба G өнцгүүд нь тус тус тэнцүү (эсвэл 180° хүртэл нийлбэр) ABC ба DEG хоёр бөмбөрцөг гурвалжинг өгвөл (Зураг 3)
хөвч (2AB) / хөвч (2BC) = хөвч (2DE) / хөвч (2EG)
Хожим нь "шүргэгчийн дүрэм" гэж нэрлэгдэх болсон Менелаусын "Бөмбөлөгүүд" номын III номын гурав дахь өгүүлбэрт: Хэрэв ABC ба DEG хоёр тэгш өнцөгт бөмбөрцөг гурвалжин өгвөл яах вэ (Зураг 4). хөвч (2AB) / хөвч (2AC) = хөвч (2ED) / хөвч (2GD) * хөвч (2ВН) / хөвч (2ET) 1. Geiberg I.L. Эртний сонгодог байгалийн шинжлэх ухаан, математик. Түүнтэй хамт орчуулга хийв. С.П. Кондратьев, ред. оршил үгтэй А.П. Юшкевич, М-Л., ОНТИ, 1936 он. 2. Сартон Г. Сэргэн мандалтын үеийн эртний болон дундад зууны шинжлэх ухааны үнэлэмж, Филадельфи, 1953 он. 3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498. 4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Лейпциг, 1900 он. 5. Björnbo A. Studien über Menelaus Spharik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Лейпциг, 1902 он. 6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Текстийн түүх, Ла Сферийн шинж чанаруудын шүүмжлэл, хөшүүрэг ба хөшүүрэг, Лувен, 1950 он. 7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Экс уламжлалт Мауро-личи... Menelai Sphaericorum lib. III. Хуучин уламжлал. Maurolyci, Sphàericorum libri II. Автолици. Чөлөөтэй хөдөлгөөн хийх боломжтой. Теодосий. Орон байргүй. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio and praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, and beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Математикийн эмхтгэлийг хураангуй болгох ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Мессана, 1558. 8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae хураангуй, Парис, 1644. 9. Auto1yсi. Де Сфаера чөлөөтэй хөдөлж болно. D.e ortibus et occasibus libri duo, бургас cum scholiis antiquis or libris manuscriptis edit, latina interpretatione and commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885. 10. Евклидис. Дуурийн бүх зүйл. Эд. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena and scripta musica, Лейпциг, 1916 он. 11. Арьс ширний үйлдвэр P. Recherches sur l"histoire sur l"astronomie ancienne, Парис, 1893 он. 12. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Theodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8-р сер., т. 17, 1894, 287-295.. 13. Теодосий Триполит. Сфаерика. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Gottihgen", фил. hist, Klasse, N.F., Bd 19, No. 3, Берлин, 1927. 14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco und M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. Zu Gottingen", фил-түүх. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966. 15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Али б. Ирак mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Берлин, 1936 он. Тэмдэглэл Энэхүү ховор хэвлэлийн хуулбар Номын санд байгаа. V.I. Ленин. Хуулбарыг ЗХУ-ын ШУА-ийн номын санд авах боломжтой. Бөмбөрцөг тригонометрийн даалгавар бол бөмбөрцөг гурвалжинг шийдэх, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн (мэдэгдэж байгаа) элементүүдээр дамжуулан түүний үл мэдэгдэх элементүүдийг тооцоолох явдал юм. Гурвалжны аль ч өнцөг эсвэл талыг олохын тулд түүний бусад гурван элементийг мэддэг байх шаардлагатай (өгөгдсөн). Бөмбөрцөг гурвалжны элементүүдийн хооронд шаардлагатай аналитик харилцааг бий болгодог бөмбөрцөг тригонометрийн дөрвөн үндсэн теоремыг (үүсэлтгүйгээр) авч үзье. I. Хажуугийн косинусын томъёо. Энэ томъёо нь бөмбөрцөг гурвалжны бүх гурван тал ба нэг өнцгийг холбодог. Эдгээр дөрвөн элементийн аль ч хослолын хувьд харилцаа тогтоогдсон ... “... бөмбөрцөг гурвалжны хажуугийн косинус нь нөгөө хоёр талын косинусын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд ижил талуудын синусын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар нэмсэнтэй тэнцүү байна...”. Цагаан будаа. 2.2. Бөмбөрцөг гурвалжин Хажуу талтай холбоотой А(Зураг 2.2) бөмбөрцөг гурвалжин AVMХажуугийн косинусын теоремыг удирдан чиглүүлснээр бид дараахь зүйлийг бичиж болно. cos a = cos b cos m + sin b sin m cos A Үдэшлэгт зориулсан бТэгээд мгурвалжны элементүүдийн хоорондын хамаарлыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ. Хэрэв бусад гурван элемент нь мэдэгдэж байгаа бол бичгийн тэгшитгэлд багтсан элементүүдийн аль нэгийг тооцоолоход синусын томъёог ашигладаг. III. Котангентын томъёозэрэгцэн орших бөмбөрцөг гурвалжны дөрвөн элементийг холбодог. “... туйлын өнцгийн котангенсыг дунд хэсгийн синусаар үржүүлбэл туйлын талын котангенс ба дунд талын элементийн косинусын үржвэргүй дунд талын синусуудын үржвэртэй тэнцүү байна. ..” AVM(Зураг 2.2) элементүүдийн хооронд хамаарлыг тогтооно А, м, БТэгээд А, дараа нь өнцөг Аба хажуу Ахэт туйлшрал, өнцөг INба хажуу м- дунд элементүүд, дараа нь: ctg A · sin B = ctg a · sin m - cos B · cos m Гурвалжинд нийтдээ зургаан ийм харилцааг бичиж болно, тухайлбал: Эдгээр томьёо нь өөр хоёр өнцгөөс өнцөг болон тэдгээрийн хоорондох талыг тооцоолоход тохиромжтой бөгөөд өгөгдсөн гурван өнцгөөс талыг олоход үйлчилдэг. Цагаан будаа. 2.3. Баруун бөмбөрцөг гурвалжин Шийдэл тэгш өнцөгт
гурвалжнууд нь ташуугаас хялбар байдаг, учир нь тэдгээрийн аль нэг элемент нь (90 ° өнцөг) үргэлж мэдэгддэг бөгөөд гурвалжинг шийдэхийн тулд зөвхөн хоёр элементийг мэдэхэд хангалттай. Үүнтэй адил зүйл хамаарна улирал
элементүүдийн аль нэг нь (90° тал) үргэлж мэдэгддэг гурвалжин. Хэрэв бөмбөрцөг гурвалжинд байвал AVM(Зураг 2.3) өнцгийг тодорхойлсон IN= 90°, хөл А
болон өнцөг М
, дараа нь үл мэдэгдэх өнцгийг тооцоолох А
та косинусын өнцгийн томъёог (6.4) → хэрэглэж болно cos A = sin B sin M cos a - cos B cos M
. Хэрэв бид одоо бүх өнцгийн функцийг солих юм бол IN= 90° утгаараа ( нүгэл B = 1, cos B= 0), тэгвэл бид авна cos A = sin M cos a 2.3. "МТ-75" тэнгисийн хүснэгтийн логарифм функцийн хүснэгтийг ашиглан гэрэлтүүлгийн хэвтээ координатыг тооцоолох. Тооцоолох өндрийг тооцоолохдоо ( h C) ба азимут ( А C) бөмбөрцөг тригонометрийн томъёоны дагуу гэрэлтүүлэгч, тригонометрийн функцүүдийн байгалийн утгууд болон логарифмын дагуу хамгийн тохиромжтой томъёонууд нь: Томъёонд "~" тэмдэг нь хэзээ гэсэн үг юм φ CТэгээд δ
ижил нэртэй, жижиг нь их тооноос хасагдаж, өөр өөр нэртэй → хэмжигдэхүүнүүд φ CТэгээд δ
нугалах. Тооцооллын явцад аргументуудыг хуваах шаардлагагүй болохын тулд болон утгуудыг хүснэгтэд үзүүлэв. З С, φ C~δ
Тэгээд т М, ба тригонометрийн функцүүдийн утгыг квадратаар тооцно, → эдгээр бүх үйлдлийг 5-р хүснэгтэд үзүүлэв. А (5б) "МТ-75" ("МТ-2000" дээр ийм хүснэгт байхгүй). Тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүдийн томъёог судлах шаардлагагүй, учир нь түүний баруун талын хоёр гишүүн үргэлж эерэг байдаг. Бид тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр MT-75 ашиглан гэрэлтүүлэгчийн хэвтээ координатыг тооцоолох аргыг авч үзэх болно. Даалгавар:Тоолж болох өндрийн утгыг тооцоолох ( hC) ба азимут ( А C) гэрэлтүүлэгч, хэрэв: φ C= 43°20.6′ Н; δ
= 17°36.7′ Н; т М= 17°12.4′ В.
Уран зохиол
(2.6)