Хэсэгчилсэн дериватив бүхий нийт дифференциал холболт.

Хайлтын хэллэгээ оруулна уу

Функцийн шугаманчлал. Шүргэх хавтгай ба гадаргуугийн хэвийн.

Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал.

1. FNP-ийн хэсэгчилсэн деривативууд *) Функцийг авч үзье = Тэгээде (P), РÎDÌR n

Функцийг авч үзье = Тэгээд(эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 , эсвэл ижил зүйл юу вэ, 2 , ..., X).

x n эсвэл ижил зүйл юу вэ, 2 , ..., XХувьсагчдын утгыг засъя эсвэл ижил зүйл юу вэ,, болон хувьсагч эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 D-ийн өсөлтийг өгье Функцийг авч үзье 1. Дараа нь функц

= Тэгээд (эсвэл ижил зүйл юу вэ,тэгшитгэлээр тодорхойлогддог нэмэгдлийг авна эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 , эсвэл ижил зүйл юу вэ, 2 , ..., X) – Тэгээд(эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 , эсвэл ижил зүйл юу вэ, 2 , ..., X).

1 +D Энэ өсөлтийг гэж нэрлэдэгхувийн өсөлт Функцийг авч үзьефункцууд эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 .

хувьсагчаарТодорхойлолт 7.1. Хэсэгчилсэн дериватив функц = Тэгээд(эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 , эсвэл ижил зүйл юу вэ, 2 , ..., XТэгээд эсвэл ижил зүйл юу вэ,) хувьсагчаар эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1 нь функцын хэсэгчилсэн өсөлтийг D аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар юм. эсвэл ижил зүйл юу вэ, 1-д D

1 ® 0 (хэрэв энэ хязгаар байгаа бол). эсвэл ижил зүйл юу вэ,-д хамаарах хэсэгчилсэн дериватив

1 тэмдэгт

Тиймээс, тодорхойлолтоор эсвэл ижил зүйл юу вэ, 2 , ..., XБусад хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно . Тодорхойлолтоос харахад хувьсагчийн хувьд функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тодорхой байна x i нь нэг хувьсагчийн функцийн ердийн дериватив юм x i

, бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж үзэх үед. Иймд өмнө нь судалсан бүх дүрэм, ялгах томьёог хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн деривативыг олоход ашиглаж болно. Жишээлбэл, функцийн хувьд = у 3 + 3x – xy z

2 бидэнд байна

Тиймээс, хэрэв хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг тодорхой өгсөн бол оршин тогтнох, түүний хэсэгчилсэн деривативыг олох асуултуудыг нэг хувьсагчийн функцтэй холбоотой харгалзах асуултууд болгон бууруулж, деривативыг тодорхойлох шаардлагатай байна. у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F( y эсвэл ижил зүйл юу вэ,) = 0 нь нэг хувьсагчийн далд функцийг тодорхойлдог

. Шударга

Теорем 7.1. у 0 , Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F( F( у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F( 0) = 0 ба функцууд F( ), F¢(у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F( 0) = 0 ба функцууд F( X(у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F(цагт эсвэл ижил зүйл юу вэ, 0 , ) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна (цагт X(у 0 , Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F( 0), болон F¢ ) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна ( 0) ¹ 0. Дараа нь функц у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F(, тэгшитгэлээр далд өгөгдсөн F( у 0 , Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F() = 0, цэг дээр байна (

.

0) дериватив, энэ нь тэнцүү байна .

, бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж үзэх үед. Иймд өмнө нь судалсан бүх дүрэм, ялгах томьёог хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн деривативыг олоход ашиглаж болно. эсвэл ижил зүйл юу вэ, 3 –2) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна ( 4 + Хэрэв теоремын нөхцлүүд DÌ R 2 мужийн аль ч цэг дээр хангагдсан бол энэ мужийн цэг бүртхөөе

+ 1 = 0 гэж бид олдог у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F(, xyОдоо тэгшитгэлийг F( эсвэл ижил зүйл юу вэ,) = 0 нь хоёр хувьсагчийн далд функцийг тодорхойлдог. Олоод үзье. -д хамаарах деривативыг тооцохоос хойш ) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна (тогтмол (тогтмол) үед үйлдвэрлэсэн у, Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F(, дараа нь эдгээр нөхцөлд тэгш байдал F( xy=const, xy) = 0 тодорхойлно эсвэл ижил зүйл юу вэ,нэг хувьсагчийн функц байдлаар

.

7.1 теоремын дагуу бид олж авна .

Үүний нэгэн адил , хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах томъёогоор олно. ,

Функцийн хэсэгчилсэн деривативууд, хэрэв тэдгээр нь нэг цэг дээр биш, харин тодорхой олонлог дээр байдаг бол энэ олонлог дээр тодорхойлогдсон функцууд юм. Эдгээр функцууд нь тасралтгүй байж болох ба зарим тохиолдолд тэдгээрийн домэйны янз бүрийн цэгүүдэд хэсэгчилсэн деривативууд байж болно.

Эдгээр функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативуудыг хоёрдугаар дарааллын хэсэгчилсэн дериватив эсвэл хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь дарааллын хэсэгчилсэн деривативуудыг хоёр бүлэгт хуваадаг.

· хувьсагчийн хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив;

· хувьсагчийн хувьд холимог хэсэгчилсэн дериватив ба.

Дараагийн ялгах замаар гуравдагч эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэх мэтийг тодорхойлж болно. Үүнтэй төстэй үндэслэлээр дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойлж бичдэг.

Теорем.Тооцоололд орсон бүх хэсэгчилсэн деривативууд нь тэдгээрийн бие даасан хувьсагчийн функцууд нь тасралтгүй байвал хэсэгчилсэн дифференциалын үр дүн нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй.

Функцийн нийт дифференциал нь хэлбэрийн илэрхийлэл мөн эсэхийг тодорхойлох урвуу асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. тасралтгүй функцуудэхний эрэмбийн тасралтгүй деривативуудтай.

Нийт дифференциалын зайлшгүй нөхцөлийг бид нотолгоогүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг теорем хэлбэрээр томъёолж болно.

Теорем.Дифференциал илэрхийлэл нь тухайн мужид тодорхойлогдсон ба дифференциал болох функцийн нийт дифференциал байхын тулд энэ мужид бие даасан хувьсагчийн аль ч хосын нөхцөл ижил хангагдах шаардлагатай.

Функцийн хоёр дахь эрэмбийн нийт дифференциалыг тооцоолох асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно. Хэрэв нийт дифференциалын илэрхийлэл бас дифференциал болох юм бол хоёр дахь нийт дифференциал (эсвэл хоёр дахь эрэмбийн нийт дифференциал) нь дифференциал үйлдлийг эхний нийт дифференциалд хэрэглэснээр олж авсан илэрхийлэл гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл. . Хоёр дахь нийт дифференциалын аналитик илэрхийлэл нь:

Холимог дериватив нь ялгах дарааллаас хамаардаггүйг харгалзан томьёог дараах байдлаар бүлэглэж, төлөөлж болно. квадрат хэлбэр:

Квадрат хэлбэрийн матриц нь:

болон-д тодорхойлогдсон функцүүдийн суперпозицийг үзье

-д тодорхойлсон. Үүний зэрэгцээ. Дараа нь, хэрэв ба цэгүүд дээр хоёр дахь эрэмбэ хүртэл тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол хоёр дахь нийт дифференциал байна. нарийн төвөгтэй функцдараах хэлбэрийн:

Таны харж байгаагаар хоёр дахь бүрэн дифференциал нь хэлбэрийн өөрчлөлтийн шинж чанартай байдаггүй. Комплекс функцийн хоёр дахь дифференциалын илэрхийлэлд энгийн функцийн хоёр дахь дифференциалын томъёонд байхгүй хэлбэрийн нэр томъёо орно.

Дээд зэрэглэлийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг бүтээх ажлыг энэ функцийг дараалан ялгах замаар үргэлжлүүлж болно.

Индексүүд нь утгыг нь -аас авдаг, өөрөөр хэлбэл. захиалгын деривативыг дарааллын деривативын нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж үзнэ. Үүний нэгэн адил бид функцийн дарааллын бүрэн дифференциал гэсэн ойлголтыг эхний эрэмбийн дифференциалаас бүрэн дифференциал болгон оруулж болно: .

Хоёр хувьсагчийн энгийн функцийн хувьд функцийн дарааллын нийт дифференциалыг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна.

Ялгаварлах операторыг ашиглах нь Ньютоны бином томьёотой төстэй функцийн дарааллын нийт дифференциалыг тооцоолох авсаархан бөгөөд санахад хялбар тэмдэглэгээг олж авах боломжийг бидэнд олгодог. Хоёр хэмжээст тохиолдолд энэ нь хэлбэртэй байна.

Хэсэгчилсэн дериватив z = f(x, y) функцууд x хувьсагчаарүед энэ функцийн дериватив гэж нэрлэдэг тогтмол утга y хувьсагч, үүнийг z" x гэж тэмдэглэнэ.

Хэсэгчилсэн дериватив z = f(x, y) функцууд y хувьсагчаар y хувьсагчийн тогтмол утгад у-д хамаарах дериватив гэж нэрлэдэг; үүнийг z" y гэж тодорхойлсон.

Нэг хувьсагчтай холбоотой хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг үлдсэн хувьсагчдыг тогтмол байлгах тохиолдолд тухайн функцийн харгалзах хувьсагчийн дериватив гэж тодорхойлно.

Бүрэн дифференциал M(X, y) цэгийн z = f(x, y) функцийг илэрхийлэл гэнэ

,

Энд ба нь M(x, y), dx =, dy = y цэг дээр тооцоологддог.

Жишээ 1

Функцийн нийт дифференциалыг тооцоол.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 цэг дээр M(1; 2)

Шийдэл:

1) Хэсэгчилсэн деривативуудыг ол:

2) M(1; 2) цэг дэх хэсэгчилсэн деривативын утгыг тооцоол.

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Өөрийгөө хянах асуултууд:

1. Эсрэг дериватив гэж юу вэ? Эсрэг деривативын шинж чанарыг жагсаа.

2. Тодорхойгүй интеграл гэж юу вэ?

3. Тодорхой бус интегралын шинж чанарыг жагсаа.

4. Интеграцийн үндсэн томъёог жагсаа.

5. Интеграцийн ямар аргуудыг та мэдэх вэ?

6. Ньютон-Лейбницийн томьёоны мөн чанар юу вэ?

7. Тодорхой интегралын тодорхойлолтыг өг.

8. Орлуулах аргыг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохын мөн чанар юу вэ?

9. Тодорхой интегралыг хэсгээр нь тооцох аргын мөн чанар юу вэ?

10. Аль функцийг хоёр хувьсагчийн функц гэж нэрлэдэг вэ? Үүнийг хэрхэн тодорхойлсон бэ?

11. Аль функцийг гурван хувьсагчийн функц гэж нэрлэдэг вэ?

12. Функцийн тодорхойлолтын муж гэж ямар олонлогийг нэрлэх вэ?

13. Хавтгай дээрх битүү D мужийг ямар тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлж болох вэ?

14. z = f(x, y) функцийн х хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн дериватив нь юу вэ? Үүнийг хэрхэн тодорхойлсон бэ?

15. y хувьсагчтай z = f(x, y) функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь юу вэ? Үүнийг хэрхэн тодорхойлсон бэ?

16. Функцийн нийт дифференциал гэж ямар илэрхийлэл гэж нэрлэдэг вэ?

Сэдэв 1.2 Энгийн дифференциал тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлд хүргэдэг асуудлууд. Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл. Ерөнхий болон тусгай шийдэл. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлтогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалал.

Практик хичээл No7 “Ерөнхий ба тусгай шийдлийг олох дифференциал тэгшитгэлсалгаж болох хувьсагчтай"*

Практик хичээл No8 “Шугаман ба нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл”

Практик хичээл No9 “2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тогтмол коэффициентүүд»*

L4, 15-р бүлэг, хуудас 243 – 256

Удирдамж

Зөвхөн нэг аргументын өсөлтийг зааж өгөхдөө функцийг өөрчлөх талаар авч үзье - . Тодорхойлолтоос харахад хувьсагчийн хувьд функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тодорхой байна, тэгээд үүнийг нэрлэе.

Тодорхойлолт 1.7.Хэсэгчилсэн деривативаргументаар функцууд . Тодорхойлолтоос харахад хувьсагчийн хувьд функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тодорхой байнадуудсан.

Тэмдэглэл: .

Тиймээс хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь функцийн дериватив гэж тодорхойлогддог. нэг хувьсагч - x i. Иймд нэг хувьсагчийн функцэд батлагдсан деривативын бүх шинж чанарууд үүнд хүчинтэй байна.

Сэтгэгдэл. Хэсэгчилсэн деривативын практик тооцоонд бид нэг хувьсагчийн функцийг ялгах ердийн дүрмийг ашигладаг бөгөөд ялгах аргумент нь хувьсагч, үлдсэн аргументууд нь тогтмол байдаг гэж үздэг.

1. z = 2у² + 3 x –12Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F(² + 5 у – 4Далд тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. тэгшитгэлийг F( +2,

2. z = xy,

Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативын геометрийн тайлбар.

Гадаргуугийн тэгшитгэлийг авч үзье z = f(x,y)мөн онгоц зур x = const. Хавтгай ба гадаргуугийн огтлолцлын шугам дээрх цэгийг сонгоно М(х,у). Хэрэв та аргумент өгвөл ) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна (өсөлт Δ ) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна (мөн муруйн T цэгийг координаттай ( x, y+Δ y, z+Δy xy), дараа нь О тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй МТ секантын үүсгэсэн өнцгийн тангенс ) цэгийн зарим хөршид тасралтгүй байна (, -тэй тэнцүү байх болно. -ийн хязгаарт хүрэхэд хэсэгчилсэн дериватив нь тухайн цэг дээр үүссэн муруй руу шүргэгчээр үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тэнцүү болохыг олж мэднэ. М O тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй у.Үүний дагуу хэсэгчилсэн дериватив нь О тэнхлэгтэй өнцгийн тангенстай тэнцүү байна эсвэл ижил зүйл юу вэ,гадаргууг огтолсны үр дүнд олж авсан муруйн шүргэгч z = f(x,y)онгоц у= const.

Тодорхойлолт 2.1. Бүрэн өсөлт u = f(x, y, z) функцийг дуудна

Тодорхойлолт 2.2. (x 0 , y 0 , z 0) цэг дэх u = f (x, y, z) функцийн өсөлтийг (2.3), (2.4) хэлбэрээр дүрсэлж чадвал функцийг ялгах боломжтой гэж нэрлэдэг. Энэ цэг бөгөөд илэрхийллийг тухайн функцийн өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг буюу нийт дифференциал гэж нэрлэдэг.

Тэмдэглэгээ: du, df (x 0, y 0, z 0).

Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь тэдгээрийн дурын өсөлт гэж тооцогддог тул

Тайлбар 1. Тэгэхээр "функцийг ялгах боломжтой" гэсэн хэллэг нь "функц нь хэсэгчилсэн деривативтай" гэсэн үгтэй дүйцэхгүй - дифференциалын хувьд тухайн цэг дээрх эдгээр деривативуудын тасралтгүй байдлыг мөн шаарддаг.

4. Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба хэвийн. Дифференциалын геометрийн утга.

Функцийг зөвшөөр z = f (x, y)тухайн цэгийн ойролцоо ялгарах боломжтой М (x 0 , y 0). Дараа нь түүний хэсэгчилсэн деривативууд нь гадаргуугийн огтлолцлын шугамтай шүргэгчийн өнцгийн коэффициент юм. z = f (x, y)онгоцуудтай y = y 0Тэгээд x = x 0, энэ нь гадаргуутай өөрөө шүргэгч байх болно z = f (x, y).Эдгээр шулуунуудыг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуулъя. Шүргэх чиглэлийн векторууд нь (1; 0; ) ба (0; 1; ) хэлбэртэй байдаг тул хавтгайн хэвийн утгыг дараах байдлаар илэрхийлж болно. вектор бүтээгдэхүүн: n = (- ,- , 1). Тиймээс хавтгайн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хаана z 0 = .

Тодорхойлолт 4.1.(4.1) тэгшитгэлээр тодорхойлсон хавтгайг дуудна шүргэгч хавтгайфункцийн график руу z = f (x, y)координаттай цэг дээр (x 0, y 0, z 0).

Хоёр хувьсагчийн хувьд (2.3) томъёоноос функцийн өсөлт гарч ирнэ Тэгээдцэгийн ойролцоо Мдараах байдлаар төлөөлж болно.

Иймээс функцийн график ба шүргэгч хавтгайн хэрэглээний хоорондох ялгаа нь илүү өндөр эрэмбийн хязгааргүй бага байна. ρ, цагт ρ→ 0.

Энэ тохиолдолд функцийн дифференциал Тэгээдхэлбэртэй байна:

аль нь таарч байна Функцийн графикт шүргэгч хавтгайн хэрэглээний тоог нэмэгдүүлэх. Энэ бол геометрийн утгадифференциал.

Тодорхойлолт 4.2.Нэг цэг дээрх шүргэгч хавтгайд перпендикуляр тэгээс өөр вектор М (x 0 , y 0)гадаргуу z = f (x, y), дуудсан хэвийнэнэ үед гадаргуу дээр.

Векторыг авахад тохиромжтой -- n = { , ,-1}.

Функцийг зарим (нээлттэй) домэйнд тодорхойл Д оноо
хэмжээст орон зай, ба
– энэ бүс дэх цэг, i.e.
Д.

Функцийн хэсэгчилсэн өсөлтАливаа хувьсагчийн олон хувьсагчийн тоо нь бусад бүх хувьсагчдыг тогтмол утгатай гэж үзвэл энэ хувьсагчид нэмэгдэл өгвөл функцийн авах өсөлт юм.

Жишээлбэл, функцийг хувьсагчаар хэсэгчлэн нэмэгдүүлэх болно

Бие даасан хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн дериватив цэг дээр
функцийн хэсэгчилсэн өсөлтийн харьцааны хязгаар (хэрэв байгаа бол) гэж нэрлэдэг
нэмэгдүүлэх функцууд
хувьсагч хичээж байхдаа
тэг хүртэл:

Хэсэгчилсэн деривативыг дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

;
.

Сэтгэгдэл.Индекс Эдгээр тэмдэглэгээний доор байгаа нь зөвхөн хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийн алийг нь авахыг зааж өгсөн бөгөөд ямар үед хамаарахгүй.
энэ деривативыг тооцоолно.

Хэсэгчилсэн деривативын тооцоо нь ердийн деривативын тооцоотой харьцуулахад шинэ зүйл биш юм, та ямар нэгэн хувьсагчтай холбоотой функцийг ялгахдаа бусад бүх хувьсагчдыг тогтмол тоогоор авдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Үүнийг жишээгээр харуулъя.

Жишээ 1.Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол
.

Шийдэл. Функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохдоо
аргументаар функцийг авч үзье зөвхөн нэг хувьсагчийн функц байдлаар , өөрөөр хэлбэл гэдэгт бид итгэдэг тогтмол утгатай байна. Тогтмол үед функц
нь аргументийн чадлын функц юм .

Хүчин чадлын функцийг ялгах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. Үүнтэй адилаар, хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохдоо үнэ цэнэ нь тогтмол байна гэж бид таамаглаж байна
, функцийг авч үзье Яажэкспоненциал функц маргаан

.. Үүний үр дүнд бид:Жишээ 2 Н Мэдээллийн технологийн хэсэгчилсэн дериватив
.

Тэгээдфункцууд Шийдэл. -д хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг тооцохдоо өгөгдсөн функц Бид үүнийг нэг хувьсагчийн функц гэж үзэх болно
, агуулсан илэрхийллүүд цагт , тогтмол хүчин зүйлүүд байх болно, i.e.(
тогтмол коэффициентийн үүрэг гүйцэтгэдэг эрчим хүчний функц

.

). Энэ илэрхийллийг ялгах , бид авах: Одоо харин эсрэгээрээ функц нэг хувьсагчийн функц гэж үздэг
(
, илэрхийлэл агуулсан байхад , коэффициентийн үүрэг гүйцэтгэдэг

).Ялгах тригонометрийн функцийг ялгах дүрмийн дагуу бид дараахь зүйлийг олж авна.
Жишээ 3.
.

ТэгээдФункцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол
цэг дээр Бид эхлээд энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дурын цэгээс олдог
түүний тодорхойлолтын хүрээ. -д хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг тооцохдоо

гэдэгт бид итгэдэг байнгын байдаг.
:

-ээр ялгах үед байнгын байх болно болон хэсэгчилсэн деривативыг тооцохдоо
Н
болон өөр

, үүнтэй адил, тогтмол байх болно,
, тодорхой хувьсагчийн утгыг илэрхийлэл болгон орлуулах. Үүний үр дүнд бид:

11. Хэсэгчилсэн ба бүрэн дифференциал функцууд

Хэрэв одоо хэсэгчилсэн өсөлт рүү
хувьсагчийн хязгаарлагдмал өсөлтөд Лагранжийн теоремыг хэрэглэнэ , дараа нь авч үзвэл тасралтгүй, бид дараах харилцааг олж авна.

Хаана
,
- хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн.

Хэсэгчилсэн дифференциал функцхувьсагчаар хэсэгчилсэн өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг гэж нэрлэдэг
, энэ хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативын үржвэр ба энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, хэсэгчилсэн дифференциал нь хэсэгчилсэн өсөлтөөс дээд эрэмбийн хязгааргүй бага хэмжээгээр ялгаатай байдаг.

Бүрэн функцийн өсөлтолон хувьсагчийн өсөлтийг бид бүх бие даасан хувьсагчдад нэмэгдэл өгөх үед хүлээн авах өсөлт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.

бүгд хаана байна
, хамааралтай ба тэдэнтэй хамт тэглэх хандлагатай байна.

Доод бие даасан хувьсагчийн дифференциал илэрхийлэхээр тохиролцов дур зоргоороонэмэгдэл
мөн тэдгээрийг тодорхойлох
.

Тиймээс хэсэгчилсэн дифференциалын илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй болно. Жишээлбэл, хэсэгчилсэн дифференциал By

.

дараах байдлаар тодорхойлогддог.
Бүрэн дифференциал
хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг нийт өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг гэнэ , тэнцүү, i.e.

түүний бүх хэсэгчилсэн дифференциалуудын нийлбэр:
Хэрэв функц бол

тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай
цэг дээр дараа нь тэр.

тухайн цэг дээр ялгах боломжтой
Дифференциалагдах функцэд хангалттай бага байх үед

,

ойролцоогоор тэнцүү байна

үүний тусламжтайгаар та ойролцоогоор тооцоолол хийх боломжтой.Жишээ 4.
Функцийн бүрэн дифференциалыг ол
.

Тэгээдгурван хувьсагч

Юуны өмнө бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог.
Эдгээр нь бүх утгын хувьд тасралтгүй байдаг гэдгийг анзаарсан

, бид олдог: Н Олон хувьсагчийн функцүүдийн дифференциалын хувьд нэг хувьсагчийн функцүүдийн хувьд нотлогдсон дифференциалын шинж чанарын тухай бүх теоремууд үнэн байна, жишээлбэл: хэрэв
– хувьсагчийн тасралтгүй функцууд Н , бүх хувьсагчийн хувьд тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байх ба

(6)