Координатын аргын сэдэвт төсөл. "Координатын арга" сэдвийн удирдамж

"Дубна" байгаль, нийгэм, хүний олон улсын их сургууль

Хичээлийн хөтөлбөрийн төсөл

Энэ сэдвээр хичээл боловсруулах:

"Цэгээс шугам хүртэлх зай"

"Зэрэгцээ шугам хоорондын зай"

Дмитров, 2013 он

1. Introduction…………………………………………………………………………………......…3

2. Хичээлийн хөтөлбөрийн төсөл

"Координатын арга ба хавтгай дээрх аналитик геометрийн үндэс" …………………………………………………………………………………… ...4

3. Хичээлийн хөгжил:

“Цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай” хичээл-лекц…………………………8

“Зэрэгцээ шугам хоорондын зай” хичээл-лекц…..17

4. Дүгнэлт……………………………………………………………………………………..23

5. Ашигласан материал……………………………………………………………………………23

6. Хэрэглээ…………………………………………………………………………………….24

1. ТАНИЛЦУУЛГА

Мэдлэг, өндөр үр ашигтай технологид суурилсан орчин үеийн нийгмийг хөгжүүлэх стратеги нь сурган хүмүүжүүлэх онол, практикт томоохон өөрчлөлт оруулах, боловсролын шинэ загварыг эрэлхийлэх ажлыг эрчимжүүлэхийг бодитойгоор шаарддаг.

Суурь ерөнхий боловсролын түвшинд геометрийн судалгаа нь дараахь зорилгод хүрэхэд чиглэгддэг.

- мэдлэг, ур чадварын тогтолцоог эзэмшихпрактик үйл ажиллагаанд ашиглах, холбогдох хичээлүүдийг судлах, тасралтгүй боловсрол эзэмшихэд шаардлагатай;

- оюуны хөгжил, хүн орчин үеийн нийгэмд бүрэн дүүрэн амьдрахад шаардлагатай хувийн шинж чанарыг бүрдүүлэх, шинж чанар математикийн үйл ажиллагаа: бодлын тодорхой, үнэн зөв, шүүмжлэлтэй сэтгэлгээ, зөн совин, логик сэтгэлгээ, алгоритмын соёлын элементүүд, орон зайн дүрслэл, бэрхшээлийг даван туулах чадвар;

- төлөөллийг бүрдүүлэхшинжлэх ухаан, технологийн бүх нийтийн хэл, үзэгдэл, үйл явцыг загварчлах хэрэгсэл болох математикийн санаа, аргуудын тухай;

- хүмүүжилхувийн соёл, математикт хандах хандлага нь хүн төрөлхтний соёлын нэг хэсэг болох нийгмийн хөгжилд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг.

Энэхүү төсөлд аналитик геометрийн үндсийг судлах нь 7-р ангиас эхэлдэг бөгөөд энэ нь оюутнуудад координатын аргыг ашиглан стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ухамсартай, чанарын түвшинд хандах боломжийг олгоно.

2. ҮНДСЭН ХЭСЭГ

Хичээлийн хөтөлбөрийн төсөл

"Хавтгай дээрх аналитик геометрийн координатын арга ба үндэс"

суурь сургуулийн 7-8-р ангийн сурагчдад зориулсан

(Олон улсын байгаль, нийгэм, хүний их сургууль "Дубна")

болон Олон улсын их сургуулийн "Дубна

1. Хичээлийн санаа, зорилго, зорилтууд –

Хамааралтай байдалСуурь сургуульд ашиглаж байгаа математикийн хичээлийн агуулга, арга зүй зарим талаараа техникийн чиглэлээр мэргэжилтэн бэлтгэх орчин үеийн хэрэгцээ шаардлагад нийцэхгүй байгаатай холбоотой энэ сэдэв юм.

Зорилтот: Бага ангийн математикийн сургалтын агуулга, арга зүйг технологийн нийгмийн орчин үеийн хэрэгцээ шаардлагад ойртуулна.

Даалгаврууд:

1. Орчин үеийн технологийн нийгмийн хэрэгцээнд дүн шинжилгээ хийж, хэрэглээний бодлого шийдвэрлэхэд ашигладаг математикийн аппаратыг суурь сургуулийн математикийн агуулгатай харьцуулах.

2. "Хавтгай дээрх координатын арга ба аналитик геометрийн үндэс" хичээлийн хөтөлбөрийн төслийг боловсруулах

3. "Цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай", "Зэрэгцээ шугам хоорондын зай" сэдвээр хичээл боловсруулах РХэсэг " Харилцан зохицуулалтонгоцон дээрх объектууд"

2. Ерөнхий боловсролын сургуулийн хөтөлбөрт оруулах-7-9 анги. Эзлэхүүн - долоо хоногт 1 хичээл, уламжлалт геометрийн үндсэн хичээлтэй зэрэгцэн, жишээ нь сурах бичгээс заадаг. Атанасян (хамтран зохиогчидтой).Нийт эзлэхүүн нь 70 цаг бөгөөд энэ нь 7-9-р ангийн геометрийн хичээлийн нийт эзлэхүүний 1/3 юм. Хичээлийг дуусгахад санал болгож буй нэр томъёо: эхлэл - 7-р ангийн хоёрдугаар хагас, төгсгөл - 9-р ангийн 1-р хагас. Гэсэн хэдий ч тухайн сургууль тус бүрийн хөтөлбөрийг эзэмших тодорхой нөхцлөөс хамааран ( боловсролын төлөвлөгөө, ажлын хөтөлбөр, үндсэн сурах бичиг, геометрийн сургалтын сүлжээнд нэмэлт цаг байгаа эсэх) түүнийг хөгжүүлэх бусад нэр томъёо боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв нэмэлт цагаар ажиллах боломжтой бол долоо хоногт ажиллах цагийн тоог нэмэгдүүлэх замаар хөгжүүлэх хугацааг багасгаж болно

3. Үндсэн хэсэг, агуулга.

Бүлэг		үзэх
Хоёрдугаар улирал 7-р анги
1. Танилцуулга	Даалгавар, хэрэглээний жишээ.	1
2. Онгоц дээрх векторууд	Векторын тухай ойлголт. Вектор тэгш байдал. Векторуудын үндсэн шинж чанарууд ба үйлдлүүд (векторуудыг нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх). Тэг вектор. Вектор ба геометрийн дүрс. *Бие даасан ажил.*	4
3. Координатын арга	Декартын тэгш өнцөгт координатын систем. Тохируулах цэгүүд. Цэгүүдийн хоорондох зай (Пифагорын теорем). Векторын алгебрийн тодорхойлолт. Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн векторууд дээрх үйлдлүүд. Олон өнцөгтийн алгебрийн тодорхойлолт. *Бие даасан ажил.*	5
4. Векторуудын цэгийн үржвэр	Векторуудын хоорондох өнцөг. Вектор дээр векторыг проекцлох. Скаляр бүтээгдэхүүн (аксиомууд). Скаляр үржвэрийг тооцоолох алгебрийн дүрэм. Тойрог дээрх өнцгийн косинус ба синусын тодорхойлолт. Хамгийн энгийн өнцгийн синус ба косинусууд. Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус ба векторуудын скаляр үржвэр. Гурвалжны төрлийн алгебрийн тодорхойлолт. *Туршилт.*	8
8-р ангийн эхний улирал		17
5. Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл	Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл (тохируулах хоёр арга). Өгөгдсөн харьцаагаар сегментийг хуваах. Олон өнцөгтүүдийн тодорхойлолт. Шулуун шугамын тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд: каноник ба тодорхой. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл. геометрийн мэдрэмжшулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл дэх коэффициентүүд. Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл. Чиглэлийн косинусууд. *Бие даасан ажил.*	8
6. Хавтгай дээрх шугамуудын харилцан зохицуулалт	Хавтгай дээрх шулуун шугамын параллелизм: шулуун шугамыг тодорхойлох аргаас хамааран шалгуурыг томъёолох. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг өгөгдсөнтэй параллель байгуулах. Зэрэгцээ талуудтай олон өнцөгтүүдийн тодорхойлолт. Хавтгай дээрх шулуун шугамын перпендикуляр байдал: шулуун шугамыг тодорхойлох аргаас хамааран шалгуурыг томъёолох. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх перпендикуляр шугамыг барих. *Туршилт.*	9

8-р ангийн хоёрдугаар улирал	18
7. Хавтгай биетүүдийн харилцан зохион байгуулалт	Координатаар дөрвөн өнцөгтийн төрлийг тодорхойлох. Шугамын огтлолцлын цэгүүдийг олох. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай. Зэрэгцээ шугам хоорондын зай. *Бие даасан ажил.*	7
8. Хавтгайн тэгш хэм	төвийн тэгш хэм. Хамгийн энгийн олон өнцөгт дэх тэгш хэмийн тодорхойлолт ба жишээ. Өгөгдсөн тэгш хэмийн төвтэй холбоотой өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэг ба шугамыг барих (геометрийн барилга байгууламж ба алгебрийн тайлбар). Тэнхлэгийн тэгш хэм. Хамгийн энгийн олон өнцөгт дэх тэгш хэмийн тодорхойлолт ба жишээ. Тэгш хэмийн тэнхлэгийн талаархи өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэг ба шугамыг барих (геометрийн бүтэц, алгебрийн тайлбар). *Туршилт.*	11
9-р ангийн 1-р хагас		17
9. Хамгийн энгийн олон өнцөгт дэх ганц цэг ба хэрчмүүд	Медиануудын огтлолцох цэгийн геометрийн бүтэц, түүний алгебрийн олдвор. Биссектриса, өндөр ба перпендикуляр биссектрисийн огтлолцлын цэгүүдийн координатыг тооцоолох. тэдний онцгой шинж чанарууд. *Бие даасан ажил.*	6
10. Олон өнцөгтийг шийдвэрлэх	Координатын аргыг ашиглан геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх. Косинусын теорем. *Туршилт.*	6
*11. Хөдөлгөөн, Давталт**	Зэрэгцээ шилжүүлэг, эргэх	5

3. ХИЧЭЭЛИЙГ ХӨГЖҮҮЛЭХ

Хичээл-лекц: "Цэгээс шугам хүртэлх зай"

Зорилго:цэгээс шулуун хүртэлх зайны тухай ойлголтуудыг танилцуулж, тэдгээрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж байгааг харуулах.

1. Шинэ материалын тайлбар

Тодорхойлолт.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун руу татсан перпендикулярын урт

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь энэ цэгээс өгөгдсөн шугамын цэг хүртэлх зайн хамгийн бага нь гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг үзүүлье.

Шууд авч үзье ацэг Q, энэ нь цэгтэй давхцахгүй байна М1. Шугамын сегмент M1Qдуудсан ташууцэгээс зурсан М1шулуун шугам руу а. Бид цэгээс перпендикуляр зурсан гэдгийг харуулах хэрэгтэй М1шулуун шугам руу а, цэгээс зурсан налуугаас бага М1шулуун шугам руу а. Энэ нь үнэхээр: гурвалжин M1QH1гипотенузтай тэгш өнцөгт M1Q, ба гипотенузын урт нь аль нэг хөлний уртаас үргэлж их байдаг тулfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

үсгийн хэмжээ: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> Хэрэв цэгээс шулуун хүртэлх зайг олохдоо тэгш өнцөгт координатын системийг оруулах боломжтой бол координатын аргыг хэрэглэж болно. Энэ хичээлээр бид цэгээс зайг олох хоёр аргад анхаарлаа хандуулах болно М1шулуун руу а, тэдгээр нь тэгш өнцөгт декартын координатын системд өгөгдсөн Оксигадаргуу дээр. Эхний тохиолдолд цэгээс хол зай М1шулуун руу аБид цэгээс хол зайд хайх болно М1цэг хүртэл H1, хаана H1цэгээс татсан перпендикулярын суурь юм М1шууд а. Хоёр дахь аргаар цэгээс зайг олох М1шулуун руу абид шугамын хэвийн тэгшитгэлийг ашиглана а.

Тиймээс бид дараахь асуудлыг шийдье: тэгш өнцөгт координатын системийг хавтгай дээр тогтооё. Окси Бид цэгээс зайг олох томъёог ашиглан тооцоолж болно М1цэг хүртэл H1тэдгээрийн координатын дагуу:.

Энэ нь цэгийн координатыг олоход л үлддэг H1.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугам гэдгийг бид мэднэ Оксихавтгай дээрх шулуун шугамын зарим тэгшитгэлтэй тохирч байна. Шулуун шугамыг тодорхойлох аргыг бид таамаглах болно аасуудлын мэдэгдэлд бичих боломжийг танд олгоно ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ аэсвэл налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Үүний дараа бид шугамд перпендикуляр өгөгдсөн M1 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэж болно. а. Бид энэ мөрийг үсгээр тэмдэглэдэг б. Дараа нь цэг H1шугамуудын огтлолцох цэг юм a aболон б, шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana;color:#32322E">эсвэл;

4) цэгээс шаардагдах зайг тооцоол М1шулуун руу атомъёоны дагуу.

Тусдаа слайд дээрх үзүүлэнгийн тайлбар:

1 слайд

Слайдын тайлбар:

Боловсролын цогцолборзохиолчийн физик-математикийн 61-р сургууль-лицей.ТӨСӨЛ "Математик, газарзүйн хичээлийн координатын арга" Гүйцэтгэсэн: АФМСЛ-ийн Эрүүгийн хуулийн 61-р ангийн Б, 7-р ангийн сурагчид Евлашков Даниил Литтау Роман Хегай Владимир Удирдагч: Горборукова Н.В. Бишкек - 2012 он

2 слайд

Слайдын тайлбар:

Дэлхийн гадарга дээрх объектын байршил эсвэл хавтгайн аль нэг цэгийн байршлыг тодорхойлох нь тэдгээрийн хаягийг тодорхойлох явдал юм. Газарзүйн "хаяг" - газарзүйн өргөрөг; газарзүйн уртраг; үнэмлэхүй өндөр. Математикийн "хаяг" нь абсцисса буюу дээрх цэгийн ординат юм координатын хавтгай

3 слайд

Слайдын тайлбар:

Төслийн зорилго: Газарзүй, математикийн чиглэлээр объектын "хаяг"-ыг тодорхойлох арга замыг судалж, харьцуулах.

4 слайд

Слайдын тайлбар:

Төслийн зорилго: Дараах асуултуудад хариулах: "Координат" гэсэн ойлголтыг хэн, хэзээ, яагаад анх нэвтрүүлсэн бэ? Үзэл баримтлалуудын хооронд генетикийн холбоо байгаа эсэх газарзүйн координатууд" ба "координатын арга" математикт? Эсвэл тэд ижил утгатай үг үү? Координатын арга ямар шинжлэх ухаанд нөлөөлсөн бэ? Тэгш өнцөгтөөс гадна өөр ямар төрлийн координатын системүүд байдаг бөгөөд одоо хүмүүс практик үйл ажиллагаанд ашиглаж байна вэ?

5 слайд

Слайдын тайлбар:

Түүхийн лавлагаа. МЭӨ II-III зуунд. д. Меридиан ба параллелууд Эратосфенийн газрын зураг дээр анх гарч ирэв. Гэсэн хэдий ч тэд координатын сүлжээг хараахан төлөөлж чадаагүй байна.

6 слайд

Слайдын тайлбар:

7 слайд

Слайдын тайлбар:

II зуунд. МЭӨ д. Гиппарх анх удаа тойргийг 360 хэсэгт хувааж, дэлхийн бөмбөрцгийг газрын зураг дээр меридиан, параллель байдлаар бүслэхийг санал болгов. Тэрээр экваторын тухай ойлголтыг танилцуулж, параллель зурж, туйлуудыг дамжих меридиануудыг зурсан. Ийнхүү зураг зүйн сүлжээ бий болж, газарзүйн объектуудыг зураглах боломжтой болсон.

8 слайд

Слайдын тайлбар:

9 слайд

Слайдын тайлбар:

Эртний агуу одон орон судлаач, газар зүйч Клаудиус Птолемей (МЭӨ 190 - 168) галактикийг барьж дуусгасан. Тэрээр "Газарзүйн гарын авлага" хэмээх 8 номондоо 8000 гаруй газарзүйн объектын тодорхойлолтыг газарзүйн координатууд болох өргөрөг, уртрагыг зааж өгсөн.

10 слайд

Слайдын тайлбар:

1. Газарзүй: "гео" - Дэлхий, "графо" - Би бичдэг. 2. Геометр: "гео" - дэлхий, "метр" - хэмжих. Таны харж байгаагаар эдгээр хоёр шинжлэх ухаан нь хоорондоо нягт холбоотой байсан бөгөөд тэдгээрийн үүсэл нь үүнээс үүдэлтэй юм практик үйл ажиллагаатэр үеийн хүмүүс.

11 слайд

Слайдын тайлбар:

Яагаад газарзүйн өргөрөг, уртрагыг градусаар хэмждэг вэ? Газарзүйн өргөрөг гэдэг нь экватороос өгөгдсөн цэг хүртэлх меридиан нумын хэмжээ юм. Геометрийн хичээлээс харахад нумыг шугаман хэмжигдэхүүн болон өнцгөөр хэмждэг: градус ба радианаар хэмжигддэг. Газарзүйн уртраг гэдэг нь тэг меридианаас өгөгдсөн цэг хүртэлх зэрэгцээ нумын хэмжээ юм. Эндээс харахад газарзүйн координат нь математикийн ойлголт юм.

12 слайд

Слайдын тайлбар:

Математикийн нэг салбар болох алгебр үүссэн. 9-р зуунд Узбекийн математикч, одон орон судлаач Мухаммед аль-Хорезми "Китаб аль-жабр валь-мукабала" хэмээх тууж бичжээ. ерөнхий дүрэм 1-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. "Аль-жабр" ("сэргээх") гэдэг үг нь тэгшитгэлийн сөрөг нөхцөлийг түүний нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэх гэсэн утгатай байв. Түүнээс шинэ шинжлэх ухааннэрээ авсан - алгебр. Удаан хугацааны туршид алгебр, геометр хоёр зэрэгцэн хөгжиж, математикийн хоёр салбарыг төлөөлсөн.

13 слайд

Слайдын тайлбар:

XIV зуунд. Францын математикч Николас Оресме газарзүйн координаттай адилтган, хавтгай дээрх координатуудыг нэвтрүүлэхийг санал болгов. Тэр онгоцыг тэгш өнцөгт тороор бүрхэж, одоо бидний нэрлэж буй абсцисс ба ординатыг өргөрөг, уртраг гэж нэрлэхийг санал болгов. Энэ нь координатын арга, холбосон алгебр, геометрийг бий болгох эхлэлийг тавьсан юм.

14 слайд

Слайдын тайлбар:

Координатын арга Алгебр Хавтгайн цэгийг хос тоогоор тодорхойлно M (x;y) - алгебрийн объект Шулуун шугамыг y=ax+b тэгшитгэлээр олно Геометр Хавтгайн цэг нь геометрийн биет юм.

15 слайд

Слайдын тайлбар:

Рене Декарт (1596-1650) Францын математикч, философич, физикч, физиологич. Декарт бол аналитик геометр, орчин үеийн алгебрийн симболизмыг бүтээгчдийн нэг бөгөөд тэгшитгэл ашиглан муруйг тодорхойлох арга нь функцийн үзэл баримтлалд чиглэсэн шийдвэрлэх алхам байв. Математикийн хувьд түүний гол гавьяа нь аналитик геометрийн үндэс болсон координатын аргыг бий болгосон явдал юм.

16 слайд

Слайдын тайлбар:

1. Өнөөдрийн бидний нэрлэж буй декарт координатын систем Декарт хараахан байгаагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Декарт луужин ба шулуун шугамын тусламжтайгаар барих асуудлыг алгебрийн хэл рүү орчуулж эхэлсэн. 2. Декартын нэлээд ач холбогдол нь өнөө үед хэрэглэгддэг тохиромжтой тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн явдал юм: x, y, z - үл мэдэгдэх, a, b, c - коэффициентүүдийн хувьд, түүнчлэн градусын тэмдэглэгээ. 3. Одоогийн байдлаар декартын координатууд нь бүх чиглэлд ижил масштабтай ортогональ тэнхлэгүүд бөгөөд t.O нь эхлэл юм.

17 слайд

Слайдын тайлбар:

Математик, газарзүйн координатын системийг харьцуулж үзье. 1. Дэлхийн гадаргуу дээрх объектын байрлалыг тодорхойлохын тулд уртраг, өргөрөг гэсэн 2 координат шаардлагатай. 2. Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд 2 координат шаардлагатай: абсцисс ба ординат. 3. Параллель ба меридианууд харилцан перпендикуляр байна. 4. OX ба OY тэнхлэгүүд харилцан перпендикуляр байна. 5. Сансар огторгуйн цэгийг тодорхойлохын тулд 3-р координат шаардлагатай: үнэмлэхүй өндөр (газарзүйн хувьд); математикийн хэрэглээ. 6. Экватор ба Ерөнхий меридиангадаргууг хуваах бөмбөрцөг 4 хэсэг болгон 7. Координатын тэнхлэгүүд нь хавтгайг 4 хэсэгт, орон зайг 8 хэсэгт хуваана.

18 слайд

Слайдын тайлбар:

Туйлт ба бөмбөрцөг координатууд. Туйлын координатын системд t.O - туйл ба цацраг - туйлын тэнхлэг орно. Хавтгай дээрх цэг бүр нь хос P (r; f) тоонуудтай тохирч, объектын чиглэл ба туйлын тэнхлэгийн хоорондох өнцөг ба объект хүртэлх зайтай тохирч байна.Газарзүйн хувьд туйлын координатын аналог нь азимут юм. Объектын байршлыг тодорхойлохын тулд та тухайн объектын чиглэл ба хойд зүгийн чиглэл, объект хүртэлх зай хоорондын өнцгийг мэдэх хэрэгтэй.

19 слайд

Слайдын тайлбар:

Сансар огторгуй дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлох шаардлагатай бол бөмбөрцөг координатын системийг ашиглана. Энэ аргыг агаарын навигацид ашигладаг. Радарын тусламжтайгаар 3 координатыг тодорхойлно: агаарын хөлөг хүртэлх шулуун шугамын хамгийн богино зай; агаарын хөлөг тэнгэрийн хаяанаас дээш харагдах өнцөг; онгоцны чиглэл ба хойд чиглэлийн хоорондох өнцөг

20 слайд

Слайдын тайлбар:

ОЙЛГОЛТЫН ГАЗРЫН ЗУРАГ Газар зүй Зураг зүй солбицлын систем 1. Тэгш өнцөгт - газарзүйн өргөрөг - газарзүйн уртраг - үнэмлэхүй өндөр 2. Туйлт - азимут - объект хүртэлх зай - үнэмлэхүй өндөр Математик Алгебр геометр Координатын арга 1. Тэгш өнцөгт - абсцисса - ординат - хэрэглэх 2. Туйлт - өнцөг эргэлтийн - эхлэлээс цэг хүртэлх зай

21 слайд

Боловсролын яам Оросын Холбооны Улс

Хотын боловсролын байгууллага "Дунд иж бүрэн сургууль№18"

ЭССЭ

ГЕометрийн талаар

СЭДЭВ: Сансар огторгуй дахь КООРДИНАТЫН АРГА

11 "С" ангийн сурагч төгссөн

Мельник Роман

Удирдагч

математикийн багш Бакшеева И.К.

Бийск - 2008 он

Агуулга

Оршил……………………………………………………………..… 3.

1-р бүлэг.

2-р бүлэг

вектор……………………………………………………………………………..10

4. 3-р бүлэг

4.1. Стереометрийн шийдэлд координатын аргыг хэрэглэх

даалгавар ………………………………………………………..…………….. 19

Дүгнэлт. …………………………………………………………..26

Ном зүй……………………………………………………... 27

Оршил

Миний ажлын сэдэв бол "Орон зай дахь координатын арга" юм. Энэ сэдэвямар ч төгсөгчдийн хувьд өнөөдөр хамааралтай ахлах сургуульучир нь:

шалгалтын геометрийн олон асуудлыг аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь геометрийн талаар бага мэдлэг шаарддаг бөгөөд гүйцэтгэлийн хугацааг мэдэгдэхүйц бууруулдаг;

Энэ арга нь дээд математикийн хичээлд судлагдсан аналитик геометрийн үндэс суурь болдог.

Зорилго: сэдвийн талаархи мэдлэгийг системчлэх, програмыг авч үзэх энэ аргаянз бүрийн стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэх үед.
Зорилгодоо хүрэхийн тулд дараахь зүйлийг хийнэ даалгавар:

Хэрэглэсэн аргууд :

дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх арга,

харьцуулах арга.

1-р бүлэг

1. Координатын арга: хөгжлийн түүх.

Координатын арга нь тоо эсвэл бусад тэмдэглэгээг ашиглан цэг эсвэл биеийн байрлалыг тодорхойлох арга юм.

Цэгийн байрлалыг тодорхойлох тоонуудыг цэгийн координат гэнэ.

Бидний сайн мэдэх газарзүйн координатууд нь дэлхийн гадаргуу дээрх цэг бүрийн байрлалыг тодорхойлдог дэлхийн гадаргууөргөрөг ба уртраг гэсэн хоёр координаттай.

Орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд гурван тоо хэрэгтэй. Жишээлбэл, хиймэл дагуулын байрлалыг тодорхойлохын тулд та түүний дэлхийн гадаргуугаас дээш өндөр, түүнчлэн түүний байрлах цэгийн өргөрөг, уртрагыг зааж өгч болно.

Координатын аргыг ашигласнаар та бараг бүхэл бүтэн хичээлийг зааж өгч болно сургуулийн геометрнэг зураггүйгээр зөвхөн тоо, алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглана. Жишээлбэл, тойрог нь тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн цуглуулга, шулуун шугамыг тэгшитгэлийг хангах цэгүүдийн цуглуулга гэж тодорхойлж болно. Ийнхүү энэ аргын тусламжтайгаар шал өөр мэт санагдах алгебр, геометрийн шинжлэх ухааныг холбох боломжтой болсон. Энэхүү холболтыг бий болгосон нь үндсэндээ математикийн хувьсгал байв. Энэ нь математикийг нэг шинжлэх ухаан болгон сэргээсэн.

Координатын аргыг бүтээгч нь Францын философич, математикч Рене Декарт (1596-1650) бөгөөд 1637 онд хэвлэгдсэн Декартын гүн ухааны агуу зохиолын сүүлчийн хэсэгт координатын аргын тодорхойлолт, геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэх тухай тайлбарыг өгсөн байдаг. асуудлууд.

Декартын үзэл санааны хөгжил нь математикийн тусгай салбар үүсэхэд хүргэсэн бөгөөд үүнийг одоо аналитик геометр гэж нэрлэдэг.

Нэр нь өөрөө онолын гол санааг илэрхийлдэг. Аналитик геометр гэдэг нь геометрийн асуудлыг аналитик аргаар (өөрөөр хэлбэл алгебрийн аргаар) шийддэг математикийн нэг хэсэг юм.

Декарттай хамт аналитик геометрийг үндэслэгч нь Францын гайхалтай математикч П.Фермат юм. Ферма координатын аргыг ашиглан хоёр дахь эрэмбийн шулуун ба муруйг судалсан. Гурван хэмжээст орон зай дахь аналитик геометрийн судалгааг 18-р зуунд А.Клеро ихээхэн ахиулсан. Хавтгай ба гурван хэмжээст орон зай дахь аналитик геометрийг 1748 онд "Хязгааргүй байдлын шинжилгээний оршил" сурах бичигт Л.Эйлер тодорхой бөгөөд тууштай тайлбарласан байдаг.

AT XIXзуунд геометрийн хөгжилд өөр нэг алхам хийгдсэн - олон хэмжээст орон зайг судалжээ. Онол бүтээгчдийн гол санаа нь Декартын Геометрийн зүйрлэл байв. Түүний хувьд хавтгай дээрх цэг нь хос тоо, гурван хэмжээст орон зай дахь цэг нь гурвалсан тооны тоо юм; in шинэ онолдөрвөн хэмжээст орон зай дахь цэг нь дөрөв дахин тоо юм. Декартын хувьд - хавтгай дээрх тойргийн тэгшитгэл, - гурван хэмжээст орон зай дахь бөмбөгний гадаргуугийн тэгшитгэл; шинэ онолоор бол дөрвөн хэмжээст орон зай дахь бөмбөрцгийн гадаргуу. Үүний нэгэн адил, inn - Хэмжээст геометр нь хавтгай, шугам, цэгийн хоорондох зай, шугамын хоорондох өнцөг гэх мэтийг авч үздэг.

Олон хэмжээст геометрийн санаанууд эцэст нь математикт баттай орж ирэвXIXзуун, гэхдээ хамгийн эхэндXXОлон зууны турш тэд харьцангуйн тусгай онолд хэрэглэгдэх болсон бөгөөд үүнд дөрөв дэх цагийг орон зайн гурван координатад нэмдэг. Ийнхүү дараагийн үеийн эрдэмтдийн боловсруулсан Декартын геометрийн үзэл санаа нь орчин үеийн шинжлэх ухааны үндэс суурь болж байна.

2. Сансар огторгуйн цэгийн координат .

Тэд огторгуйн цэгээр гурван хос перпендикуляр шугамыг зурж, тус бүр дээр чиглэлийг сонгож, хэрчмүүдийн хэмжилтийн нэгжийг сонговол тэгш өнцөгт (декарт) координатын систем өгөгдсөн гэж тэд хэлдэг. Координатын тэнхлэгүүд болон , ба , ба , тус тус дамжин өнгөрөх онгоцуудыг дууднакоординатын хавтгайнууд ба , , гэж тэмдэглэгдсэн байна.

Сансар огторгуйн цэгийн координатууд нь энэ цэгийн координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцуудын координатууд юм.

Цэгийн координат: , , , , , , .

Орон зайд координатын тэнхлэгүүдээс гадна координатын хавтгайг авч үзэх нь тохиромжтой, жишээлбэл. дурын хоёр тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоцууд. Ийм гурван онгоц байдаг:

Хавтгай (тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрөх ба ) нь хэлбэрийн цэгүүдийн багц бөгөөд энд ба нь дурын тоо;

Хавтгай (тэнхлэгүүдийг дайран өнгөрөх ба ) нь хэлбэрийн цэгүүдийн багц бөгөөд энд ба нь дурын тоо юм.

Орон зайн аль ч М цэгийн хувьд та түүний координат болох гурван тоог олох боломжтой.

Эхний тоог олохын тулд бид М цэгээр координатын хавтгайтай параллель (тэнхлэгт перпендикуляр) хавтгайг зурна.x) Энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг (М цэг 1 ) энэ тэнхлэгт координат байна.Энэ тоо нь М цэгийн координат болно 1 тэнхлэг дээр - гэж нэрлэдэгабсциссаоноо М.

Хоёр дахь координатыг олохын тулд M цэгээр хавтгайг татна хавтгайтай зэрэгцээ(тэнхлэгт перпендикулярy), тэнхлэг дээр олддог yцэг M 2. Тоо y- М цэгийн координаттэнхлэг дээр 2 y- гэж нэрлэдэг ординатоноо М.

М цэгийн гурав дахь координатыг z тэнхлэгт перпендикуляр ижил төстэй бүтээн байгуулалтыг хийснээр олно. Үр дүнгийн z дугаарыг дуудах болно appliqueоноо М.

3. Сансар огторгуйд дүрсүүдийг байрлуулах.

Хавтгайн адил орон зай дахь координатууд нь зөвхөн цэгүүдийг төдийгүй шугам, гадаргуу болон бусад цэгүүдийн багцыг тоо, тоон харьцаагаар тодорхойлох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, зөвхөн хоёр координат өгвөл ямар багц цэгүүдийг олж авахыг харцгаая, гурав дахь нь дур зоргоороо гэж тооцогддог.

(жишээ нь, ), тэнхлэгтэй параллель орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлно.

Ийм шулууны бүх цэгүүд ижил абсцисса ба ижил ординаттай байна. Координат нь ямар ч утгыг авч болно.

Хэрхэн зааж өгч болохыг харуулсан хэд хэдэн жишээг харцгаая

координат хоорондын тэгшитгэл болон бусад хамаарлыг ашиглан өөр олонлог зай.

нэг). Тэгшитгэлийг авч үзье.

Гарал үүслийн цэгийн зайг илэрхийллээр өгөгдсөн тул геометрийн хэл рүү хөрвүүлбэл координаттай цэг нь хол зайд байна гэсэн үг юм.Р гарал үүслээс. Энэ нь хамаарал бүхий бүх цэгүүдийн багц нь бөмбөгний гадаргуу буюу гарал үүсэл ба радиус дээр төвлөрсөн бөмбөрцөг гэсэн үг юм.Р .

2). Координатууд нь хамаарлыг хангаж буй цэгүүд хаана байрлаж байгааг анхаарч үзээрэй.

Энэ хамаарал нь цэгийн эх цэгээс зай нь нэгээс бага байна гэсэн үг тул шаардлагатай олонлог нь эх цэг дээр төвлөрсөн бөмбөгний дотор байрлах, нэгтэй тэнцүү радиустай цэгүүдийн олонлог юм.

2-р бүлэг

1. Координатын векторын хувьд векторыг задлах. Вектор координат.

, , , тэмдгээр тэмдэглэгдсэн, давхцаагүй векторуудын аль нэг эрэмбэлэгдсэн гурвалсан .

Онцгой тохиолдол бол тэгш өнцөгт ортонормаль суурь юм, энд абсцисса тэнхлэгийн нэгж вектор, ординатын тэнхлэгийн нэгж вектор дамжуулан, хэрэглүүр тэнхлэгийн нэгж вектор, өөрөөр хэлбэл. , , , .

Энэ үндэс ба гарал үүсэлО орон зайд тэгш өнцөгт декартын координатын системийг тодорхойлох.

Теорем 1

Аливаа сансрын вектор координатын векторуудад тэлэх боломжтой, i.e. хэлбэрээр байгаа -

тэлэлтийн коэффициентийг тусгайлан тодорхойлсон байдаг.

Тоонуудвекторын координат гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. . Тэг векторыг -ээр илэрхийлж болох тул тэг векторын бүх координатууд тэгтэй тэнцүү байна. .

2. Координат дахь векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд.

Дүрэм 1

Тэнцүү координатууд векторууд нь тэнцүү, тэдгээр. Хэрэв векторууд болон тэнцүү, дараа нь, ба.

Дүрэм 2

Хоёр ба түүнээс дээш векторын нийлбэрийн координат бүр нь эдгээр векторуудын харгалзах координатын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв болон -өгөгдлийн векторууд, тэгвэл вектор координаттай байна.

Дүрэм 3

Хоёр векторын зөрүүний координат бүр нь эдгээр векторуудын харгалзах координатын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв болон -өгөгдсөн векторууд, тэгвэл вектор координаттай болно

Дүрэм 4

Векторын үржвэрийн координат бүр нь тухайн векторын харгалзах координатуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв - өгөгдсөн вектор, - өгөгдсөн дугаар, тэгвэл вектор координаттай байна. .

Жишээ.

, , бол векторын координатыг ол.

Шийдэл.

Вектор нь координаттай, вектор нь координаттай.

-ээс хойш түүний координатыг дараах байдлаар тооцоолж болно: , , Тэгэхээр вектор координаттай байна.

3. Векторын координат ба цэгийн координат хоорондын холболт.

Тодорхойлолт.

Төгсгөл нь өгөгдсөн цэгтэй давхцаж, эхлэл нь эхтэй давхцаж байгаа векторыг гэнэ радиус векторөгсөн оноо.

радиус вектор

Дүрэм 5

Аливаа цэгийн координатууд нь түүний радиус векторын харгалзах координатуудтай тэнцүү байна. ,.

Дүрэм 6

Векторын координат бүр нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

4. Координат дахь хоёр векторын коллинеар байдлын нөхцөл.

Хоёр векторыг координатын системд координат болон .

Дүрэм 7

Векторууд болон тус тусын координатууд нь пропорциональ байвал коллинеар байна, .

Жишээ.

a) ба векторуудыг авч үзье.

Вектор координатууд нь харгалзах вектор координатуудтай пропорциональ байна : Тиймээс , тэгэхээр векторууд нь коллинеар байна.

b) ба векторуудыг авч үзье.

Вектор координатууд нь харгалзах вектор координатуудтай пропорциональ биш, жишээлбэл Векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

5. Координат дахь хамгийн энгийн даалгаварууд.

Даалгавар 1.

Сегментийн дунд хэсгийн координат бүр нь түүний төгсгөлүүдийн харгалзах координатын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Хаана, ба .

,, ,

b) Векторын уртыг координатаар нь тооцоолох.

Векторыг авч үзье ,

векторын уртыг томъёогоор тооцоолно .

Учир нь ==, ==, ==, ба , тэгвэл тэгш байдлаас бид томъёог гаргана: .

онд) Хоёр цэгийн хоорондох зай.

Дурын хоёр цэгийг авч үзье: цэг ба цэг . Зайг илэрхийльег цэгүүдийн хооронд болон тэдгээрийн координатаар дамжуулан.

векторыг авч үзье, хаана .

Гэхдээ . Энэ замаар,цэгүүдийн хоорондох зай ба

томъёогоор тооцоолно .

6. Векторуудын скаляр үржвэр ба векторуудын хоорондох өнцгийг координатаар нь тооцоолох.

1) Векторуудын цэгийн үржвэр

Хоёр векторын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр юм.

тэдгээр.- халуун ногоотой.

Тэг биш векторуудын скаляр үржвэр нь зөвхөн векторуудын хоорондох өнцөг мохоо байвал сөрөг байна.

тэдгээр.- тэнэг.

Аливаа вектор , , , болон дурын тооны хувьдк тэгш байдал үнэн:

1. 0, 0-д >0.

2. (нүүлгэн шилжүүлэлтийн хууль).

3. (тараах хууль).

4. (ассоциатив хууль).

2) Векторуудын хоорондох өнцгийг координатаар нь тооцоолох.

Тэг биш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусболон томъёогоор тооцоолно ,

хаана

7. Шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн тооцоо.

1) Шугамын хоорондох өнцөг.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид шулуун шугамын чиглүүлэх вектор гэсэн ойлголтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт.

Тэг биш вектор нь a шулуун дээр эсвэл а-тай параллель шулуун дээр оршдог бол а шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Жишээ

Вектор ба шугамын хөтөча болон б , тус тус.

Тодорхойлолт.

Шугамын хоорондох өнцөг нь эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Шугамын хоорондох өнцөга болон б өнцөгтэй тэнцүү байнаӨгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторуудын хооронд ба .

2).Шугам ба хавтгай хоорондын өнцөг.

Тодорхойлолт.

Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь өгөгдсөн шулууны чиглүүлэх вектор ба хавтгайд перпендикуляр (нормаль) тэгээс ялгаатай вектор хоорондын өнцөг юм.

Болъё , ( , a - хүссэн өнцөг ().

Дараа нь

гэсэн үг.

3-р бүлэг

Стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд координатын аргыг хэрэглэх.

Даалгавар.1

MAWS пирамидын ёроолд байрладаг зөв гурвалжин ABC. ,АС=3, МЭӨ=5. AM ирмэг нь АС-д перпендикуляр, AM=4, . Пирамидын эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл.

1) цэг дээрх эх үүсвэртэй тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя. Бид тэнхлэгийг ирмэгийн дагуу чиглүүлдэгАС, мөн онгоц Өө y пирамидын суурийн дагууABC.

Энэ координатын системд: , , . Учир нь нөхцөл байдлын дагуу , тэгвэл M цэг хавтгайд байрланаxz мөн координаттай .

2) , .

Пирамидын өндрийг ол. Цэгээс унахМперпендикуляр М Д онгоц руу (ABC), дараа нь, учир нь . Тиймээс цэгүүдийн хоорондох зайМболон Дтэнцүү, учир нь .

Координатын утгыг олz Өгөгдсөн координатыг агуулсан цэгүүдийн хоорондох зайг ашиглан: , . , өөрөөр хэлбэл .

Бидэнд байгаа:

, тэгвэл пирамидын өндөр нь тэнцүү байна. Үүний үр дүнд .

Хариулт: .

Даалгавар.2.

Тэгш өнцөгт параллелепипедт , , . Олно: шугам хоорондын өнцөг ба .

Шийдэл.

1). цэг дээрх эхтэй координатын системийг нэвтрүүлье. Тэнхлэгүүд , болон тус тус ирмэгийн дагуу чиглэгддэг. Шулуун хоорондын өнцөг нь -ээс, векторуудын хоорондох өнцөг нь -ээс хооронд хэлбэлздэг тул, шулуунуудын хоорондох өнцөг ба векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү, хэрэв хурц байвал, эсвэл зэргэлдээх бол тэдгээрийн хоорондох өнцөг байна. векторууд нь мохоо байна.

Энэ замаар,

2). ба векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолъё.

Дараах цэгүүдийн координатыг ашиглан векторуудын координатыг ол.

, ,, .

Дараа нь векторуудын координат ба .

===

Үүний үр дүнд,

Хариулт: .

Даалгавар 3.

Тэгш өнцөгт параллелепипед өгөгдсөн. Шугаман ба суурийн хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Шийдэл.

1) Шугаман ба хавтгай хоорондын өнцөгAB 1 FROM- энэ бол шулуун ба түүний хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг. Хавтгайн норм ба шугамын хоорондох өнцөг нь түүнийг 90 болгож нөхдөг 0, тэгэхээр.

Тиймээс шулуун ба хавтгай () хоорондох өнцгийг олохын тулд шулуун ба хавтгайн () хоорондын өнцгийг олох хэрэгтэй..

2) цэг дээрх эхтэй координатын системийг нэвтрүүлье. Тэнхлэгүүд , болон тус тус ирмэгийн дагуу чиглэгддэг.

Цэгийн координат:

, , ,

a .

3) Хавтгайн хэвийн координатыг ол (). Цэгүүдийн координатыг орлуулж хавтгай () тэгшитгэлийг бичьеА , Б 1 болон FROM in хавтгай тэгшитгэл .

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг авна.

Тиймээс хавтгай тэгшитгэл () нь , эсвэл хэлбэртэй, хэвийн вектор нь координаттай байна.

гэсэн үг

БА .

Хариулт: .

Асуудлыг хоёр аргаар шийдвэрлэх талаар бодож үзээрэй.

Даалгавар 4. 1 арга: геометр.

Хавирга дээр, ба. . Шулуун шугам зурцгаая - дунд шугамгурвалжин ба, i.e. болон,

Судалсан онолын материалыг системчилсэн.

Асуудлыг шийдвэрлэх аргыг ашиглахдаа аргын хэрэглээний онцлог шинж чанарууд илэрсэн.

Ажлыг хийж байхдаа би зарим нэг бэрхшээлтэй тулгарсан:

Ном зүй.

Л .С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Е.Г.Позняк. Геометр, 10-11.М., Гэгээрэл, 2003.

В.Н.Литвиненко. Анхан шатны математикийн семинар. Стереометр: Заавар.-М .: Verbum-M, 2000.

ТЭД.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов.Координатын арга.-М.: Наука, 1968.

С.Г.Григорьев.Вектор алгебр ба аналитик геометр. Дээд математикийн сурах бичиг.-М .: Мэдээлэл, хэрэгжүүлэх төв "Маркетинг", 2000 он.

I. Иванова, З.Ильченкова.Координатын векторыг стереометрийн бодлогын шийдэлд хэрэглэх нь.//Математик, 2007, №2.

А.В.Дорофеев.Декарт ба түүний геометр.//Математик, 1992, No4.

Энэхүү төсөл нь хичээлийн дадлагад нэмэлт болж, математикт хандах сөрөг хандлагыг даван туулах онцгой боломжийг олгож байна. Төслийн мөн чанар нь оролцогчдод ердийн хичээлээр хамгийн ноцтой үр дагаварт хүргэдэг (сэтгүүл дээрх бэх гэх мэт) эрс хориглосон математикийн үйлдлүүдийг хийхийг зөвшөөрдөг явдал юм. Бид хоёр дахь эрэмбийн муруйг байгаль, технологи, урлаг, шинжлэх ухаан, жишээлбэл, эллипс - өндөгний хэлбэр, гаригуудын тойрог зам, архитектур, дизайн зэрэгт тааралддаг. янз бүрийн барилгууд, төмөр замын гулзайлт, гүүр барих .

Координатын арга нь бидний амьдралд хэрхэн нөлөөлдөг вэ? Асуудлын асуулт 1. Математикийн мэдлэгийн системд "Координатын арга" ямар байр суурь эзэлдэг вэ. 2. Эртний математикчид геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж байсан. 3. Хоёрдахь эрэмбийн муруй нь математикийн орон зайг хэрхэн өргөжүүлдэг вэ. Эрдмийн хичээлүүдТүлхүүр үгс: алгебр, геометр, зураг, мэдээлэл зүй. Төслийн оролцогчид: 9-р ангийн сурагчид.

Арга зүйн даалгавар: - - үндсэн ойлголтуудыг эзэмших сурах сэдэв; - - томьёо гаргаж авах, муруй зурах аргыг заах; - - боловсролын сэдвийн хүрээнд судалгаа явуулахад сургах; - оюутнуудын цуглуулсан мэдээллийг интернетэд байршуулах боломжтой хэлбэрээр хэрхэн цэгцлэхийг заах.

1. ЭЛЛИПС-ийн шинж чанарууд нь бусад "гайхалтай" муруйн шинж чанаруудтай хэрхэн холбоотой вэ? 2. ПАРАБОЛА-ийн шинж чанаруудыг тодорхой практик даалгаварт хэрхэн ашигладаг вэ? 3. ХИПЕРБОЛ-ийн шинж чанарыг тодорхой практик даалгаварт хэрхэн ашигладаг вэ? Судалгааны илтгэлийн үр дүн: танилцуулга Төсөлд зориулж дараах зүйлийг боловсруулсан: Танилцуулга Илтгэлийг үнэлэх шалгуур ZIU Хуанли

1. Л.С.Атанасян "Геометр": 7 - 9 нүдэнд зориулсан сурах бичиг. 2. "1-р сарын" сэтгүүлийн хавсралт "Математик" 3. Шарыгин И.Ф. Дүрслэлийн геометр.-М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, Хогарт В., Гоо сайхны шинжилгээ.-М.: Урлаг, Саранцев Г.И., Геометрийн хувиргалт хийх даалгаврын цуглуулга.-М., нэвтэрхий толь бичигзалуу математикч. - М .: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, Виленкин Н.Я., бусад. Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард. - М .: Боловсрол, 1985.