Параллелограммын талууд тэнцүү юу? Параллелограмм гэж юу вэ
Өгөгдсөн дүрс нь параллелограмм мөн эсэхийг тодорхойлохын тулд хэд хэдэн тэмдэгтүүд байдаг. Параллелограммын гурван үндсэн шинж чанарыг авч үзье.
1 параллелограммын тэмдэг
Дөрвөн өнцөгтийн хоёр тал тэнцүү ба параллель байвал энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно.
Нотолгоо:
ABCD дөрвөн өнцөгтийг авч үзье. AB ба CD талууд параллель байна. Мөн AB=CD гэж үзье. Үүнд BD диагональ зуръя. Энэ нь өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийг хоёр хуваах болно тэнцүү гурвалжин: ABD ба CBD.
Эдгээр гурвалжин нь хоёр талдаа бие биетэйгээ тэнцүү ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг (BD - нийтлэг тал, AB = Нөхцөлөөр CD, өнцөг1 = өнцөг2 AB ба CD параллель шулуунуудын хөндлөн BD-тай хөндлөн өнцгүүд.), тиймээс өнцөг3 = өнцөг4.
BC ба AD шугамууд BD таслагчтай огтлолцох үед эдгээр өнцөг нь хөндлөн хэвтэх болно. Үүнээс үзэхэд МЭӨ ба МЭ нь хоорондоо параллель байна. Бидэнд ABCD дөрвөлжин дээр эсрэг талууд нь хос параллель байдаг тул ABCD дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм.
Параллелограммын тэмдэг 2
Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд хосоороо тэнцүү бол энэ дөрвөлжин параллелограмм болно.
Нотолгоо:
ABCD дөрвөн өнцөгтийг авч үзье. Үүнд BD диагональ зуръя. Энэ дөрвөн өнцөгтийг АНУ ба CBD гэсэн хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана.
Эдгээр хоёр гурвалжин нь гурван талдаа бие биетэйгээ тэнцүү байх болно (BD нь нийтлэг тал, нөхцөлөөр AB = CD ба BC = AD). Эндээс бид өнцөг1 = өнцөг2 гэж дүгнэж болно. Үүнээс үзэхэд AB нь CD-тэй параллель байна. AB = CD ба AB нь CD-тэй параллель байх тул параллелограммын эхний шалгуурын дагуу ABCD дөрвөлжин параллелограмм болно.
3 параллелограммын тэмдэг
Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцож, огтлолцлын цэгээр хуваагдсан бол энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно.
ABCD дөрвөн өнцөгтийг авч үзье. Үүн дээр О цэгт огтлолцох ба энэ цэгээр хоёр хуваагдсан AC ба BD хоёр диагональ зурцгаая.
Гурвалжны тэгш байдлын эхний тэмдгийн дагуу AOB ба COD гурвалжнууд хоорондоо тэнцүү байна. (Нөхцөлөөр AO = OC, BO = OD, босоо өнцгөөр AOB өнцөг = өнцөг COD.) Иймээс AB = CD ба өнцөг1 = өнцөг 2. 1 ба 2 өнцгийн тэгшитгэлээс бид АВ нь CD-тэй параллель байна. Дараа нь бид ABCD дөрвөлжин дээр AB талууд нь CD ба параллельтай тэнцүү байх ба параллелограммын эхний шалгуурын дагуу ABCD дөрвөлжин параллелограмм байх болно.
Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Параллелограммын үлдсэн шинж чанарууд нь үүнээс үүдэлтэй бөгөөд теорем хэлбэрээр нотлогдсон тул энэ тодорхойлолт нь аль хэдийн хангалттай юм.
- Параллелограммын үндсэн шинж чанарууд нь:
- параллелограмм нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт;
- Параллелограмм нь хосоороо тэнцүү эсрэг талуудтай;
- Параллелограммд эсрэг талын өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна;
Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана.
Параллелограмм - гүдгэр дөрвөлжин Эхлээд энэ теоремыг баталъяпараллелограмм нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм
. Олон өнцөгтийн аль талыг нь шулуун болгон сунгасан бол олон өнцөгтийн бусад бүх талууд нь энэ шулуун шугамын нэг талд байрлана.
AB нь CD-ийн эсрэг тал, BC нь AD-ийн эсрэг тал байх ABCD параллелограммыг өгье. Дараа нь параллелограммын тодорхойлолтоос AB || гарч ирнэ CD, BC || А.Д. Узэрэгцээ сегментүүд Үгүйнийтлэг цэгүүд
, тэдгээр нь огтлолцохгүй. Энэ нь CD нь AB-ийн нэг талд байрладаг гэсэн үг юм. ВС хэрчм нь АВ хэрчмийн В цэгийг CD сегментийн С цэгтэй, AD сегмент бусад AB ба CD цэгүүдийг холбодог тул BC ба AD хэрчмүүд мөн AB шугамын CD байрлах нэг талд байрладаг. Тиймээс CD, BC, AD гурван тал нь AB-ийн нэг талд байрладаг.
Үүний нэгэн адил параллелограммын бусад талуудтай харьцуулахад бусад гурван тал нь нэг талд байрладаг нь батлагдсан.
Эсрэг талууд ба өнцөг нь тэнцүү байна Параллелограммын шинж чанаруудын нэг ньПараллелограммын эсрэг тал ба эсрэг өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна
. Жишээлбэл, ABCD параллелограмм өгөгдсөн бол AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D байна. Энэ теоремыг дараах байдлаар баталж байна. Параллелограмм бол дөрвөн өнцөгт юм. Энэ нь хоёр диагональтай гэсэн үг юм. Параллелограмм нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт тул тэдгээрийн аль нэг нь түүнийг хоёр гурвалжинд хуваадаг. ABCD параллелограммаар авч үзье ABC гурвалжин
Эдгээр гурвалжин нь нэг талтай - АС. BCA өнцөг өнцөгтэй тэнцүү CAD нь МЭӨ болон МЭ зэрэгтэй босоо байдлаар. AB ба CD параллель байх үед BAC ба ACD өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Иймд ∆ABC = ∆ADC хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал.
Эдгээр гурвалжинд AB тал нь CD талтай, ВС тал нь AD-тай тохирч байна. Тиймээс AB = CD, BC = AD байна.
B өнцөг нь D өнцөгтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл ∠B = ∠D. Параллелограммын А өнцөг нь ∠BAC ба ∠CAD гэсэн хоёр өнцгийн нийлбэр юм. C өнцөг нь ∠BCA ба ∠ACD-тай тэнцүү. Хос өнцгүүд хоорондоо тэнцүү тул ∠A = ∠C болно.
Ийнхүү параллелограммын эсрэг талууд ба өнцөг нь тэнцүү байх нь батлагдсан.
Диагональуудыг хагасаар хуваана
Параллелограмм нь гүдгэр дөрвөлжин тул хоёр диагональтай бөгөөд огтлолцдог. ABCD параллелограммыг өгье, түүний AC ба BD диагональууд нь Е цэгт огтлолцоно. Тэдгээрээс үүссэн ABE ба CDE гурвалжнуудыг авч үзье.
Эдгээр гурвалжнууд нь параллелограммын эсрэг талуудтай тэнцүү AB ба CD талуудтай. ABE өнцөг нь AB ба CD параллель шулуунуудтай хөндлөн хэвтэх CDE өнцөгтэй тэнцүү байна. Үүнтэй ижил шалтгаанаар ∠BAE = ∠DCE. Энэ нь ∆ABE = ∆CDE гэсэн хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал гэсэн үг юм.
AEB ба CED өнцгүүд нь босоо, тиймээс бас хоорондоо тэнцүү гэдгийг та анзаарч болно.
ABE ба CDE гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү тул тэдгээрийн харгалзах бүх элементүүд тэнцүү байна. Эхний гурвалжны AE тал нь хоёр дахь гурвалжны CE талтай тохирч байгаа нь AE = CE гэсэн үг юм. Үүнтэй адил BE = DE. Тэнцүү сегментийн хос бүр нь параллелограммын диагональыг бүрдүүлдэг. Ингэснээр энэ нь нотлогдож байна Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваана.
Энэ сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхдээ бусад үндсэн шинж чанарууд параллелограммболон харгалзах томъёоны хувьд та дараах зүйлийг санаж, хэрэглэж болно.
- Параллелограммын дотоод өнцгийн биссектриса нь түүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг таслав
- Параллелограммын аль нэг талын хажуугийн дотоод өнцгүүдийн биссектриса нь харилцан перпендикуляр байна.
- Параллелограммын эсрэг талын дотоод булангаас ирж буй биссектрис нь хоорондоо параллель эсвэл нэг шулуун дээр байрладаг.
- Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
- Параллелограммын талбай нь диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглах асуудлыг авч үзье.
Даалгавар 1.
ABCD параллелограммын С өнцгийн биссектриса нь M цэгт AD тал ба А цэгээс цааш AB талын үргэлжлэлийг Е цэгт огтолно. AE = 4, DM = 3 бол параллелограммын периметрийг ол.
Шийдэл.
1. Гурвалжин CMD нь тэгш өнцөгт юм. (1-р өмч). Тиймээс CD = MD = 3 см.
2. Гурвалжин EAM нь ижил өнцөгт байна.
Тиймээс AE = AM = 4 см.
3. AD = AM + MD = 7 см.
4. Периметр ABCD = 20 см.
Хариулах. 20 см.
Даалгавар 2.
Диагональуудыг ABCD гүдгэр дөрвөлжин хэлбэрээр зурсан. ABD, ACD, BCD гурвалжнуудын талбай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ дөрвөлжин параллелограмм гэдгийг батал.
Шийдэл.
1. ABD гурвалжны өндрийг BE, ACD гурвалжны өндрийг CF гэж үзье. Бодлогын нөхцлийн дагуу гурвалжны талбайнууд тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг AD суурьтай тул эдгээр гурвалжны өндөр нь тэнцүү байна. BE = CF.
2. BE, CF нь AD-д перпендикуляр байна. В ба С цэгүүд нь AD шулуун шугамтай харьцуулахад нэг талд байрлана. BE = CF. Тиймээс BC шулуун шугам || А.Д. (*)
3. ACD гурвалжны өндрийг AL, BCD гурвалжны өндрийг BK гэж үзье. Бодлогын нөхцлийн дагуу гурвалжны талбайнууд тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг CD-тэй тул эдгээр гурвалжны өндөр нь тэнцүү байна. AL = BK.
4. AL ба BK нь CD-тэй перпендикуляр байна. В ба А цэгүүд CD шулуун шугамтай харьцуулахад нэг талд байрлана. AL = BK. Тиймээс шулуун шугам AB || CD (**)
5. (*), (**) нөхцлөөс ABCD нь параллелограмм байна.
Хариулах. Батлагдсан. ABCD нь параллелограмм юм.
Даалгавар 3.
ABCD параллелограммын BC ба CD талуудад M ба H цэгүүдийг тус тус тэмдэглэсэн бөгөөд ингэснээр BM ба HD сегментүүд О цэг дээр огтлолцоно;<ВМD = 95 о,
Шийдэл.
1. DOM гурвалжинд<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. DHC тэгш өнцөгт гурвалжинд Дараа нь<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Гэхдээ CD = AB. Дараа нь AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Хариулт: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Даалгавар 4. 4√6 урттай параллелограммын диагональуудын нэг нь суурьтай 60°, хоёр дахь диагональ нь ижил суурьтай 45° өнцөг үүсгэнэ. Хоёр дахь диагональыг ол. Шийдэл.
1. AO = 2√6. 2. Бид синус теоремыг AOD гурвалжинд хэрэглэнэ. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОД = (2√6sin 60 о) / син 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Хариулт: 12.
Даалгавар 5. 5√2 ба 7√2 талуудтай параллелограммын хувьд диагональуудын хоорондох жижиг өнцөг нь параллелограммын жижиг өнцөгтэй тэнцүү байна. Диагональуудын уртын нийлбэрийг ол. Шийдэл.
Параллелограммын диагональууд d 1, d 2 байх ба диагональ ба параллелограммын жижиг өнцгийн хоорондох өнцөг нь φ-тэй тэнцүү байна. 1. Хоёр өөр тоолъё S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 АС ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Бид 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f буюу тэгш байдлыг олж авна. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Параллелограммын талууд ба диагональ хоорондын хамаарлыг ашиглан тэгш байдлыг бичнэ (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Системийг үүсгэцгээе: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлээд эхний дээр нэмье. Бид (d 1 + d 2) 2 = 576-г авна. Тиймээс Id 1 + d 2 I = 24. d 1 тул d 2 нь параллелограммын диагональуудын урт бөгөөд d 1 + d 2 = 24 болно. Хариулт: 24.
Даалгавар 6. Параллелограммын талууд нь 4 ба 6. Диагональуудын хоорондох хурц өнцөг нь 45 градус байна. Параллелограммын талбайг ол. Шийдэл.
1. AOB гурвалжнаас косинусын теоремыг ашиглан параллелограммын тал ба диагональуудын хоорондын хамаарлыг бичнэ. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 (d 1 /2) (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Үүнтэй адилаар бид AOD гурвалжны хамаарлыг бичнэ. Үүнийг анхаарч үзье<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Бид d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 тэгшитгэлийг авна. 3. Бидэнд тогтолцоо бий Хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал 2d 1 · d 2 √2 = 80 буюу d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 АС ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Жич:Энэ болон өмнөх асуудалд системийг бүрэн шийдэх шаардлагагүй бөгөөд энэ асуудалд талбайг тооцоолоход диагональуудын үржвэр хэрэгтэй болно. Хариулт: 10. Даалгавар 7. Параллелограммын талбай нь 96, талууд нь 8 ба 15. Жижиг диагональ квадратыг ол. Шийдэл.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВАД. Томъёонд орлуулалт хийцгээе. Бид 96 = 8 · 15 · нүгэл ВАД авна. Тиймээс нүгэл ВАД = 4/5. 2. cos VAD-ийг олцгооё. нүгэл 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Асуудлын нөхцлийн дагуу бид жижиг диагональ уртыг олдог. Хэрэв ВАD өнцөг хурц байвал диагональ ВD нь бага байх болно. Дараа нь cos VAD = 3/5. 3. ABD гурвалжнаас косинусын теоремыг ашиглан BD диагональ квадратыг олно. ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАД. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Хариулт: 145.
Асуулт хэвээр байна уу? Геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу? вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай. Параллелограммын тухай ойлголт Тодорхойлолт 1 Параллелограммнь эсрэг талууд нь хоорондоо параллель байрладаг дөрвөн өнцөгт юм (Зураг 1). Зураг 1. Параллелограмм нь хоёр үндсэн шинж чанартай байдаг. Тэднийг нотлох баримтгүйгээр авч үзье. Өмч 1:
Параллелограммын эсрэг талууд ба өнцөг нь тэнцүү байна. Үл хөдлөх хөрөнгө 2:
Параллелограммаар зурсан диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваана. Параллелограммын гурван шинж чанарыг авч үзээд теорем хэлбэрээр үзүүлье. Теорем 1 Дөрвөн өнцөгтийн хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү ба зэрэгцээ байвал энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно. Баталгаа. Бидэнд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгье. Үүнд $AB||CD$ ба $AB=CD$ диагональ $AC$ зуръя (Зураг 2). Зураг 2. $AB$ ба $CD$ параллель шулуунууд ба тэдгээрийн $AC$ секантыг авч үзье. Дараа нь \[\ CAB өнцөг =\ DCA өнцөг \] хөндлөн огтлолцсон булан шиг. Гурвалжны тэгш байдлын $I$ шалгуурын дагуу, Учир нь $AC$ нь тэдний нийтлэг тал бөгөөд нөхцөлөөр $AB=CD$. гэсэн үг \[\өнцөг DAC=\өнцгийн ACB\] $AD$ ба $CB$ шулуунууд ба тэдгээрийн секант $AC$-ыг хэвтэх өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр авч үзье. Бид $AD||CB$-ийг олж авна.) Иймээс $1$-ийн тодорхойлолтоор энэ дөрвөлжин параллелограмм байна. Теорем нь батлагдсан. Теорем 2 Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хоорондоо тэнцүү бол энэ нь параллелограмм юм. Баталгаа. Бидэнд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгье. Үүнд $AD=BC$ ба $AB=CD$ байна. Дотор нь $AC$ диагональ зуръя (Зураг 3). Зураг 3. $AD=BC$, $AB=CD$, $AC$ нь нийтлэг тал тул гурвалжны тэгш байдлын $III$ шалгуураар, \[\гурвалжин DAC=\гурвалжин ACB\] \[\өнцөг DAC=\өнцгийн ACB\] $AD$ ба $CB$ шулуунууд ба тэдгээрийн секант $AC$-ийг бид $AD||CB$-ийг олж авсан хэвтээ өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр авч үзье. Тиймээс $1$-ийн тодорхойлолтоор энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм. \[\өнцөг DCA=\CAB өнцөг\] $AB$ ба $CD$ шулуунууд ба тэдгээрийн $AC$-ыг бид $AB||CD$-ийг олж авсан хэвтээ өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр авч үзье. Тиймээс 1-р тодорхойлолтоор энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм. Теорем нь батлагдсан. Теорем 3 Дөрвөн өнцөгт зурсан диагональууд нь огтлолцох цэгээрээ хоёр тэнцүү хэсэгт хуваагдвал энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно. Баталгаа. Бидэнд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгье. Дотор нь $AC$ ба $BD$ диагональ зурцгаая. Тэдгээрийг $O$ цэгээр огтолцгооё (Зураг 4). Зураг 4. Нөхцөлөөр $BO=OD,\ AO=OC$, $\өнцөг COB=\өнцөг DOA$ босоо байх тул гурвалжны тэгш байдлын $I$ шалгуураар, \[\гурвалжин BOC=\гурвалжин AOD\] \[\өнцгийн DBC=\өнцгийн BDA\] $BC$ ба $AD$ шугамууд ба тэдгээрийн секант $BD$-ийг бид $BC||AD$-ийг олж авсан хэвтээ өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр авч үзье. Мөн $BC=AD$. Тиймээс $1$ теоремоор энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм байна. Баталгаа Юуны өмнө диагональ АС-ийг зуръя. Бид ABC ба ADC гэсэн хоёр гурвалжин авдаг. ABCD нь параллелограмм учраас дараах үнэн байна. AD || BC \Баруун сум \өнцөг 1 = \өнцөг 2хөндлөн хэвтэх шиг. AB || CD\Баруун сум\өнцөг3 =\ өнцөг 4хөндлөн хэвтэх шиг. Иймд \triangle ABC = \triangle ADC (хоёр дахь шалгуурын дагуу: ба AC нийтлэг). Тиймээс \triangle ABC = \triangle ADC, дараа нь AB = CD ба AD = BC болно. Батлагдсан! 2. Эсрэг өнцөг нь ижил байна. Баталгаа Нотлох баримтын дагуу шинж чанарууд 1бид үүнийг мэднэ \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Тиймээс эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. \triangle ABC = \triangle ADC гэдгийг харгалзан үзвэл \angle A = \angle C , \angle B = \angle D . Батлагдсан! 3. Диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана. Баталгаа Өөр диагональ зурцгаая. By өмч 1Эсрэг талууд нь адилхан гэдгийг бид мэднэ: AB = CD. Дахин нэг удаа хөндлөн хэвтэх ижил өнцгийг тэмдэглэ. Тиймээс гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу \triangle AOB = \triangle COD байх нь тодорхой байна (хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал). Өөрөөр хэлбэл, BO = OD (булангийн эсрэг талд \ өнцөг 2 ба \ өнцөг 1) ба AO = OC (булангийн эсрэг талд \ өнцөг 3 ба \ өнцөг 4 тус тус). Батлагдсан! Хэрэв таны асуудалд зөвхөн нэг шинж чанар байгаа бол зураг нь параллелограмм бөгөөд та энэ зургийн бүх шинж чанарыг ашиглаж болно. Илүү сайн цээжлэхийн тулд параллелограмм тэмдэг нь дараах асуултанд хариулах болно гэдгийг анхаарна уу - "Яаж мэдэх вэ?". Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн дүрс нь параллелограмм гэдгийг хэрхэн олж мэдэх вэ. 1. Хоёр тал нь тэнцүү ба параллель дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ. AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD нь параллелограмм юм. Баталгаа Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая. Яагаад AD || МЭӨ? \triangle ABC = \triangle ADC by өмч 1: AB = CD, AC - нийтлэг ба \angle 1 = \angle 2 зэрэгцээ AB ба CD ба хөндлөн АС-тай хөндлөн хэвтэнэ. Харин \triangle ABC = \triangle ADC , тэгвэл \angle 3 = \angle 4 (AB ба CD-ийн эсрэг талд тус тус хэвтэнэ). Тиймээс МЭ || BC (\angle 3 and \angle 4 - хөндлөн хэвтэх нь мөн тэнцүү). Эхний тэмдэг нь зөв. 2. Эсрэг талууд нь тэнцүү дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ. AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD нь параллелограмм юм. Баталгаа Энэ тэмдгийг авч үзье. Дахин диагональ хувьсах гүйдлийг зуръя. By өмч 1\triangle ABC = \гурвалжин ACD . Үүнээс үзэхэд: \өнцөг 1 = \өнцөг 2 \Баруун сум AD || МЭӨТэгээд \өнцөг 3 = \өнцөг 4 \Баруун сум AB || CD, өөрөөр хэлбэл ABCD нь параллелограмм юм. Хоёр дахь тэмдэг нь зөв. 3. Эсрэг өнцөг нь тэнцүү дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ. \angle A = \angle C, \angle B = \angle D \Баруун сум ABCD- параллелограмм. Баталгаа 2 \альфа + 2 \бета = 360^(\circ)(Нөхцөлөөр ABCD нь дөрвөлжин бөгөөд \angle A = \angle C , \angle B = \angle D тул). \alpha + \beta = 180^(\circ) болох нь харагдаж байна. Харин \alpha болон \beta AB секант дээр дотоод нэг талт байна. Мөн \alpha + \beta = 180^(\circ) гэдэг нь бас МЭ || МЭӨ Түүнчлэн, \alpha болон \beta нь AD секант дахь дотоод нэг талт байна. Энэ нь AB || гэсэн үг юм CD. Гурав дахь тэмдэг нь зөв. 4. Параллелограмм нь диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдсан дөрвөн өнцөгт юм. AO = OC; BO = OD\Баруун тийш параллелограмм. Баталгаа BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 босоо байдлаар \Баруун сум \гурвалжин AOB = \гурвалжин ХБХ, \Баруун сум \өнцөг 3 = \өнцөг 4, болон \Rightarrow AB || CD. Үүнтэй адилаар BO = OD; AO = OC, \өнцөг 5 = \ өнцөг 6 \ Баруун сум \ гурвалжин AOD = \ гурвалжин BOC \ Баруун сум \ өнцөг 7 = \ өнцөг 8, болон \Rightarrow AD || МЭӨ Дөрөв дэх тэмдэг нь зөв.
(
(Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30 ° өнцгийн эсрэг байрлах хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байдаг).
түүний талбайн арга замууд.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
Параллелограммын шинж тэмдэг
Параллелограммын шинж тэмдэг
