Биологи 

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий болон тусгай шийдлийг хэрхэн олох вэ


Шугаман системийн шийдэл алгебрийн тэгшитгэл(SLAE) нь шугаман алгебрийн сургалтын хамгийн чухал сэдэв болох нь дамжиггүй. Их хэмжээматематикийн бүх салбарын асуудлыг шийдвэрлэх систем болгон бууруулдаг шугаман тэгшитгэл... Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэхүү нийтлэлийг үүсгэсэн шалтгааныг тайлбарлаж байна. Өгүүллийн материалыг сонгож, бүтэцтэй болгосон тул түүний тусламжтайгаар үүнийг хийх боломжтой болно

  • шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх оновчтой аргыг сонгох,
  • сонгосон аргын онолыг судлах,
  • ердийн жишээ, асуудлын дүн шинжилгээ хийсэн шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзээд шугаман тэгшитгэлийн системээ шийдээрэй.

Нийтлэлийн материалын товч тайлбар.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай бүх тодорхойлолт, ойлголтыг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж байна.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. Нэгдүгээрт, Крамерын аргад анхаарлаа хандуулъя, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуул, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан устгах арга) дүн шинжилгээ хийцгээе. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE -ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц доройтсон байдаг ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ханддаг. SLAE -ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог Kronecker - Capelli теоремыг томъёолъё. Матрицын үндсэн минор гэсэн ойлголтыг ашиглан системийн шийдэлд (нийцтэй тохиолдолд) дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид Гауссын аргыг авч үзэх бөгөөд жишээнүүдийн шийдлийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн бүтцийн талаар бид тодорхой ярих болно. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, үндсэн шийдлийн системийн векторуудыг ашиглан SLAE -ийн ерөнхий шийдэл хэрхэн бичигдсэнийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэдэн жишээг авч үзье.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулдаг тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно өөр өөр даалгавар, шийдэлд SLAEs үүсдэг.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, нэр томъёо.

Бид үл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно (p нь n -тэй тэнцүү байж болно)

Үл мэдэгдэх хувьсагч, - коэффициент (зарим бодит эсвэл нарийн тоо), - чөлөөт нэр томъёо (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

V матрицын хэлбэртэмдэглэгээ, энэхүү тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй,
хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын матриц -багана, - чөлөөт гишүүдийн матриц -багана.

Хэрэв бид А матрицыг (n + 1) р баганад чөлөөт нэр томъёоны матриц баганад нэмбэл бид гэж нэрлэгдэх болно. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн систем. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг Т үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт гишүүдийн баганыг бусад баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдснээргэдэг нь системийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц юм. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил өвөрмөц болж хувирдаг.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн системд ямар ч шийдэл байхгүй бол үүнийг дуудна нийцэхгүй.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол үүнийг дууддаг тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тэмдэглэгдээгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - олон янзын.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн анхан шатны системийн шийдэл.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол ийм SLAE -ийг дуудах болно. анхан шатны... Ийм тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагчид тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ийм SLAE -ийг судалж эхэлсэн ахлах сургууль... Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэл авч, үл мэдэгдэх нэг хувьсагчийг бусад нэр томъёогоор илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлээр орлуулж, дараа нь дараагийн тэгшитгэлийг авч, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, бусад тэгшитгэлээр орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмжээ. Эдгээр аргуудын талаар нарийвчлан ярихгүй, учир нь эдгээр нь Гауссын аргын өөрчлөлт юм.

Шугаман тэгшитгэлийн анхан шатны системийг шийдвэрлэх үндсэн арга бол Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэдэнд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэг биш, өөрөөр хэлбэл.

Системийн үндсэн матрицыг тодорхойлох хүчин зүйл болог - солих замаар А -аас авсан матрицын тодорхойлогчид 1, 2, ..., nбагана, чөлөөт гишүүдийн баганад тус тус:

Энэхүү тэмдэглэгээний тусламжтайгаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёогоор тооцоолно ... Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг Крамерын аргаар ингэж олдог.

Жишээ.

Крамерын арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц хэлбэртэй байна ... Түүний тодорхойлогчийг тооцоолъё (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэг биш тул систем нь Крамерын аргаар олж болох өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг зохиож, тооцоолж үзье (тодорхойлогчийг А матрицын эхний баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольж, тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольж, А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольж олж авна ):

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг томъёогоор олоорой :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болно) бол систем дэх тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, энд А матриц n -ээс n хэмжээтэй, түүний тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

А матриц нь урвуу, өөрөөр хэлбэл урвуу матриц байдаг. Хэрэв бид тэгш байдлын хоёр талыг зүүн тийш үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчдын баганын матрицыг олох томъёог олж авна. Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олж авлаа матрицын арга.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE -ийг матрицын аргаар шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно .

А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлт матрицыг ашиглан урвуу матриц байгуулъя (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Үл мэдэгдэх хувьсагчдын матрицыг урвуу матрицыг үржүүлэх замаар тооцоолох шаардлагатай байна чөлөөт гишүүдийн баганын матриц руу (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргаар шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгардаг гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг, ялангуяа гуравдахаас дээш дараалсан квадрат матрицуудын хувьд.

Гауссын аргаар шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл.

Үл мэдэгдэх хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэг биш юм.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан устгахаас бүрдэнэ: нэгдүгээрт, x 1 -ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хасах, хоёрдугаарт, дараа нь x 2 -ыг бүх тэгшитгэлээс хасах, гурав дахь хэсгээс эхлэн гэх мэт үл мэдэгдэх хувьсагч хүртэл. xn нь сүүлийн тэгшитгэлд хэвээр байна. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан устгах системийн тэгшитгэлийг өөрчлөх ийм процессыг нэрлэдэг Гауссын аргын шууд дамжлагаар... Гауссын аргын цаашдын гүйлтийг дуусгасны дараа сүүлийн тэгшитгэлээс x n-ийг олно, энэ утгыг ашиглан x n-1-ийг эцэс төгсгөлийн тэгшитгэлээс тооцоолох гэх мэт x 1-ийг эхний тэгшитгэлээс олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг нэрлэдэг хоцрогдсон Гауссын арга.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг устгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг өөрчилснөөр бид үүнд үргэлж хүрч чадна гэж бид үзэх болно. Үл мэдэгдэх x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс хас. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёрдахь тэгшитгэлд эхнийх нь үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлд эхнийх нь үржүүлж нэмсэн гэх мэтийг нэмээд n-р тэгшитгэлд эхнийхийг үржүүлж нэмнэ. Ийм хувиргалтын дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэрийг авдаг

хаана, ба .

Хэрэв бид системийн 1 -р тэгшитгэлд x 1 -ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчуудаар илэрхийлж, үүссэн бүх илэрхийлэлийг бусад бүх тэгшитгэлээр орлуулсан бол бид ижил үр дүнд хүрэх болно. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёрдахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй байдлаар ажилладаг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн системийн нэг хэсэг дээр л ажилладаг

Үүнийг хийхийн тулд системийн гуравдахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь үржүүлсэн, дөрөв дэх тэгшитгэлд хоёр дахь үржүүлсэн тоог нэмсэн гэх мэт n-р тэгшитгэлд хоёр дахь үржүүлсэн тоог нэмнэ. Ийм хувиргалтын дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэрийг авдаг

хаана, ба ... Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3 -ийг устгах ажлыг үргэлжлүүлж, зураг дээр тэмдэглэгдсэн системийн хэсэгтэй адилхан ажиллаж байна.

Тиймээс бид систем хэлбэрээ авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу чиглэлийг эхлүүлж байна: xn-ийг сүүлчийн тэгшитгэлээс тооцоолж, xn-ийн олж авсан утгыг ашиглан x n-1-ийг эцэс төгсгөлийн тэгшитгэлээс олж авна гэх мэтээс x 1-ийг олно. эхний тэгшитгэл.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргаар.

Шийдэл.

Үл мэдэгдэх x 1 хувьсагчийг системийн хоёр, гурав дахь тэгшитгэлээс хас. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь болон гурав дахь тэгшитгэлийн аль алинд нь эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгийг нэмж, үржүүлж, үржүүлнэ.

Одоо бид x 2 -ийг гурав дахь тэгшитгэлээс хасч, зүүн ба баруун талд нь хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмж, үржүүлэв.

Энэ нь Гауссын аргын урагшлах хөдөлгөөнийг дуусгаж, бид урвуу шилжилтийг эхлүүлнэ.

Үүсгэсэн тэгшитгэлийн системийн сүүлийн тэгшитгэлээс бид x 3 -ийг олно.

Хоёрдахь тэгшитгэлээс бид олж авдаг.

Эхний тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагчийг олж, энэ нь Гауссын аргын урвуу явцыг дуусгана.

Хариулт:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл.

Ерөнхий тохиолдолд p систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцдаггүй n:

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, ганц шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь дөрвөлжин, доройтсон тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронеккер - Капеллигийн теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. SLAE нь нийцтэй, нийцэхгүй байгаа тохиолдолд асуултын хариултыг өгсөн болно Кронеккер - Капеллигийн теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n -тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн системийг тууштай байлгахын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. (A) = зэрэглэл (T).

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлохын тулд Kronecker - Capelli теоремын хэрэглээг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системд байгаа эсэхийг олж мэдэх шийдэл.

Шийдэл.

... Хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэг биш. Гурав дахь эрэмбэлэгдсэн хүүхдүүдтэй хил залгаа орцгооё.

Гурав дахь эрэмбэтэй хил залгаа насанд хүрээгүй бүх хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Хариуд нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл гуравдагч эрэмбэтэй насанд хүрээгүй тул гуравтай тэнцүү байна

тэг биш.

Тиймээс, Rang (A) тул Кронеккер -Капелли теоремын дагуу шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нь хоорондоо зөрчилддөг гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Тиймээс бид Kronecker -Capelli теоремыг ашиглан системийн үл нийцэх байдлыг тогтоож сурсан.

Гэхдээ нийцтэй байдал нь тогтоогдсон бол SLAE -ийн шийдлийг хэрхэн олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын үндсэн минор гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн теорем хэрэгтэй.

А матрицын тэгээс бусад дээд эрэмбийн минорыг дуудна үндсэн.

Үндсэн насанд хүрээгүй хүний ​​тодорхойлолтоос харахад түүний дараалал нь матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү байна. А тэг матрицын хувьд хэд хэдэн үндсэн насанд хүрээгүй хүмүүс байж болно; үргэлж нэг үндсэн насанд хүрээгүй хүүхэд байдаг.

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гуравдахь эгнээний элементүүд нь эхний ба хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гуравдагч эрэмбэтэй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Дараахь хоёрдогч эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэгээс өөр байдаггүй

Насанд хүрээгүй хүмүүс үндсэн биш, учир нь тэдгээр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p дарааллаар n дараалсан матрицын зэрэглэл r -тэй тэнцүү бол сонгосон үндсэн минорыг үүсгээгүй матрицын мөр (баганууд) -ын бүх элементүүдийг эгнээний харгалзах элементүүдээр шугамаар илэрхийлнэ. баганууд) нь үндсэн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлдэг.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу өгдөг вэ?

Хэрэв Kronecker -Capelli теоремын дагуу бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч үндсэн минорыг сонгоно (түүний дараалал r -тэй тэнцүү), мөн бүх тэгшитгэлийг системээс хасна. сонгосон үндсэн насанд хүрээгүй хүүхдийг бүрдүүлж болохгүй. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь устгагдсан тэгшитгэлүүд нь илүүдэл хэвээр байна (матрицын зэрэглэлийн теоремын дагуу эдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн шаардлагагүй тэгшитгэлийг хаясны дараа хоёр тохиолдол боломжтой болно.

    Хэрэв үүссэн систем дэх r тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олж болно.

    Жишээ.

    .

    Шийдэл.

    Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй тул хоёртой тэнцүү байна тэг биш. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь эрэмбийн цорын ганц жижиг нь тэгтэй тэнцүү тул хоёртой тэнцүү байна

    мөн дээр дурдсан хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүн тэгээс өөр байна. Kronecker -Capelli теорем дээр үндэслэн Rank (A) = Rank (T) = 2 тул шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж чадна.

    Бид насанд хүрээгүй хүүхдийг авдаг ... Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентүүдээс бүрдэнэ.

    Системийн гуравдахь тэгшитгэл нь үндсэн минор үүсэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн бид үүнийг системээс хасдаг.

    Ингэж бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг олж авсан юм. Үүнийг Крамерын аргаар шийдье.

    Хариулт:

    x 1 = 1, x 2 = 2.

    Хэрэв олж авсан SLAE дахь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тооноос бага байвал тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн минорыг бүрдүүлж буй нэр томъёог үлдээж, үлдсэн гишүүдийг баруун тийш шилжүүлнэ. эсрэг тэмдэг бүхий системийн тэгшитгэлийн гар талууд.

    Тэгшитгэлийн зүүн талд үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r нь байдаг) гэж нэрлэдэг үндсэн.

    Баруун талд гарч ирэх үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (n - r ширхэг байдаг) дууддаг үнэгүй.

    Одоо үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчид дурын утгыг авч болно гэж үзэж байгаа бөгөөд r үл мэдэгдэх хувьсагчдыг үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлэх болно. Хүссэн SLAE -ийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар шийдвэрлэх замаар тэдний илэрхийлэлийг олж болно.

    Жишээ авч үзье.

    Жишээ.

    Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх .

    Шийдэл.

    Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олоорой насанд хүрээгүй хүүхдүүдтэй хил залгах аргаар. Бид 1 1 = 1-ийг 0-р бус анхны дарааллын насанд хүрээгүй хүн болгон авдаг. Энэ насанд хүрээгүй хүүхдийг тойрон хүрээлсэн хоёр дахь эрэмбэтэй бага насны хүүхдийг хайж эхэлье.

    Ингэж бид тэг бус хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдийг олсон юм. Гурав дахь эрэмбэтэй тэгээс өөр хил хязгааргүй насанд хүрээгүй хүүхдийг хайж эхэлье.

    Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурав байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь бас гурван, өөрөөр хэлбэл систем нь тууштай байдаг.

    Бид олдсон тэг бус гуравдагч эрэмбэтэй жижгийг үндсэн гэж үздэг.

    Ойлгомжтой болгохын тулд бид үндсэн насанд хүрээгүй элементүүдийг харуулав.

    Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн насанд хүрэгчдэд хамаарах нэр томъёог үлдээж, үлдсэнийг нь эсрэг талын тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлнэ.

    Үл мэдэгдэх үнэгүй x 2 ба x 5 хувьсагчдад дурын утгыг өгье, өөрөөр хэлбэл бид авна , дурын тоонууд хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE маягтыг авна

    Үүсгэсэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн системийг Крамерын аргаар шийддэг.

    Тиймээс,.

    Хариултандаа үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг оруулахаа бүү мартаарай.

    Хариулт:

    Дурын тоо хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд түүний нийцтэй байдлыг Kronecker - Capelli теоремыг ашиглан олж мэдэх болно. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү биш бол системийг нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү бол бид үндсэн минорыг сонгож, сонгосон үндсэн минор үүсэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг хаяна.

Хэрэв үндсэн насанд хүрээгүй хүүхдийн захиалга тоотой тэнцүүүл мэдэгдэх хувьсагчид, дараа нь SLAE нь бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олж авах өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Хэрэв үндсэн насанд хүрээгүй дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлүүдийн зүүн талд бид нэр томъёог үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай үлдээж, үлдсэн гишүүдийг баруун тийш шилжүүлж, үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдад дурын утга өгөх. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид үл мэдэгдэх гол хувьсагчдыг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олдог.

Гауссын ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга.

Гауссын аргыг аливаа төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг нийцтэй эсэхийг нь шалгахгүйгээр шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан устгах үйл явц нь SLAE -ийн нийцтэй байдал ба үл нийцэх байдлын аль алиныг нь дүгнэх боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжийг олгодог.

Тооцооллын ажлын үүднээс авч үзвэл Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Энийг үз Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтнийтлэл дэх ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг жишээ болгон авч үзсэн болно.

Шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдлийг бичих.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй олон шийдэл бүхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нийцтэй нэгэн төрлийн, нэгэн төрлийн бус системд анхаарлаа хандуулах болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

Шийдвэр гаргах үндсэн системҮл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн шугаман бие даасан шийдлүүдийн олонлог (n - r) бөгөөд энд r нь системийн үндсэн матрицын үндсэн минорын дараалал юм.

Хэрэв бид нэгэн төрлийн SLAE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) гэж тэмдэглэвэл n-by-1 байна. баганын матриц), дараа нь энэ нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг С 1, С 2, ..., С (nr) тогтмол коэффициент бүхий шийдлийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлсэн болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэл (орослау) -ын нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл гэсэн нэр томъёо юу гэсэн үг вэ?

Гол санаа нь энгийн: томъёо нь бүх зүйлийг тохируулдаг боломжтой шийдлүүданхны SLAE, өөрөөр хэлбэл дурын тогтмол С 1, С 2, ..., С (n-r) утгуудын олонлогийг авч томъёогоор бид анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн нэгийг авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлийн үндсэн системийг олж чадвал энэхүү нэгэн төрлийн SLAE -ийн бүх шийдлийг дараах байдлаар тодорхойлох боломжтой болно.

Нэг төрлийн SLAE -ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагч агуулсан бүх нэр томъёог эсрэг тэмдэг бүхий системийн тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдад 1,0,0, ..., 0 гэсэн утгыг өгч, олж авсан шугаман тэгшитгэлийн анхан шатны системийг ямар нэгэн байдлаар, жишээ нь Крамерын аргаар шийдвэрлэх замаар үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг тооцоолъё. Энэ нь үндсэн системийн анхны шийдэл болох X (1) -ийг өгөх болно. Хэрэв бид үнэгүй үл мэдэгдэх хүмүүст 0,1,0,0, ..., 0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг тооцоолвол X (2) авна. Гэх мэт Хэрэв бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0.0, ..., 0.1 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг тооцоолвол X (n-r) болно. Нэг төрлийн SLAE -ийн шийдлийн үндсэн системийг ингэж байгуулж, ерөнхий шийдлийг нь хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэг төрлийн бус системийн хувьд ерөнхий шийдлийг харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл хэлбэрээр, мөн үл мэдэгдэх утгыг өгөх замаар олж авсан анхны нэгэн төрлийн бус SLAE -ийн тусгай шийдэл хэлбэрээр илэрхийлнэ. 0,0, ..., 0 ба үндсэн үл мэдэгдэх утгыг тооцоолох.

Жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Шийдлийн үндсэн систем ба шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг ол .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь үргэлж өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү байдаг. Гол матрицын зэрэглэлийг хил залгаа насанд хүрээгүй хүмүүсийн аргаар олъё. Анхдагч эрэмбийн минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын a 1 1 = 9 элементийг авдаг. Хил хязгаартай тэгээс өөр хоёрдогч эрэмбийг олоорой:

Тэгш бус хоёрдогч эрийн бага насны хүүхэд олдсон байна. Гурав дахь эрэмбэлэгдсэн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тэгээс өөр хүн хайж олохыг хичээцгээе.

Гурав дахь эрэмбэтэй хил залгаа насанд хүрээгүй бүх хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна. Насанд хүрээгүй хүүхдийг авах. Илүү тодорхой болгохын тулд бид үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэж байна.

Анхны SLAE -ийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй тул үүнийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан нэр томъёог үлдээж, баруун талд нь үл мэдэгдэх нэр томъёог шилжүүлдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг бүтээцгээе. Энэхүү SLAE -ийн шийдлийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний үндсэн бага дарааллын дараалал нь хоёр байна. X (1) -ийг олохын тулд бид үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдад x 2 = 1, x 4 = 0 гэсэн утгыг өгч, дараа нь тэгшитгэлийн системийн гол үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.

Сургуульд байхдаа бид бүгд тэгшитгэл, тэгшитгэлийн системийг судалж үзсэн. Гэхдээ тэдгээрийг шийдэх хэд хэдэн арга байдгийг тэр бүр мэддэггүй. Өнөөдөр бид хоёроос илүү тэгшитгэлээс бүрдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх бүх аргыг нарийвчлан шинжлэх болно.

Түүх

Тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх урлаг нь эртний Вавилон, Египтээс гаралтай болохыг өнөөдөр мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч ердийн хэлбэрийн тэгш байдал нь 1556 онд Английн математикч Рекорд танилцуулсан "=" тэгш тэмдэг гарч ирсний дараа гарч ирэв. Дашрамд хэлэхэд энэ тэмдгийг нэг шалтгаанаар сонгосон: энэ нь хоёр зэрэгцээ тэнцүү сегмент гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ тэгш эрхийн тухай илүү сайн жишээ байхгүй.

Үл мэдэгдэх, зэрэглэлийн тэмдгийн орчин үеийн үсгийн тэмдэглэгээг үндэслэгч нь Францын математикч юм.Гэхдээ түүний нэр томъёо нь одоогийнхоос эрс ялгаатай байв. Жишээлбэл, тэр үл мэдэгдэх тооны квадратыг Q үсгээр (Латин "quadratus"), кубыг С үсгээр (Латин "cubus") тэмдэглэв. Энэ тэмдэглэгээ нь одоо эвгүй санагдаж байна, гэхдээ энэ нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг бичих хамгийн ойлгомжтой арга байсан.

Гэсэн хэдий ч тухайн үеийн шийдлийн аргуудын сул тал нь математикчид зөвхөн эерэг үндсийг авч үздэг байсан явдал юм. Магадгүй энэ нь сөрөг үнэт зүйл байхгүйтэй холбоотой юм практик хэрэглээ... 16 -р зуунд сөрөг үндсийг анх авч үзсэн Италийн математикчид Никколо Тарталья, Героламо Кардано, Рафаэль Бомбелли нар ийм байдлаар л байсан. А. орчин үеийн дүр төрх, (ялгаварлан гадуурхах замаар) шийдвэрлэх үндсэн аргыг зөвхөн 17 -р зуунд Декарт, Ньютоны бүтээлийн ачаар бий болгосон.

18-р зууны дунд үед Швейцарийн математикч Габриэль Крамер шугаман тэгшитгэлийн системийг хялбарчлах шинэ аргыг олжээ. Энэ аргыг дараа нь түүний нэрээр нэрлэсэн бөгөөд өнөөг хүртэл бид үүнийг ашиглаж байна. Гэхдээ бид Крамерын аргын талаар хэсэг хугацааны дараа ярих болно, гэхдээ одоогоор шугаман тэгшитгэл ба тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудыг системээс тусад нь авч үзэх болно.

Шугаман тэгшитгэл

Шугаман тэгшитгэл бол хувьсагчтай хамгийн энгийн тэгшитгэл юм. Тэдгээрийг алгебрийн гэж ангилдаг. ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... ба n * x n = b. Систем ба матрицыг цаашид эмхэтгэхэд бидэнд энэ хэлбэрийн төлөөлөл хэрэгтэй болно.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Энэ нэр томъёоны тодорхойлолт нь ийм байна: энэ нь нийтлэг үл мэдэгдэх, нийтлэг шийдэлтэй тэгшитгэлүүдийн багц юм. Дүрмээр бол, сургуульд хүн бүрийг хоёр, бүр гурван тэгшитгэл бүхий системээр шийддэг байв. Гэхдээ дөрвөн ба түүнээс дээш бүрэлдэхүүн хэсэгтэй системүүд байдаг. Ирээдүйд шийдвэрлэхэд тохиромжтой байхын тулд эхлээд тэдгээрийг хэрхэн яаж бичихээ олж мэдье. Нэгдүгээрт, бүх хувьсагчийг зохих индексээр x гэж бичвэл 1,2,3 гэх мэт шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд илүү сайн харагдах болно. Хоёрдугаарт, бүх тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.

Эдгээр бүх алхмуудыг хийсний дараа бид шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хэрхэн олох талаар хэлж эхэлж болно. Матрицууд үүнд маш их хэрэгтэй байдаг.

Матриц

Матриц гэдэг нь мөр багануудаас бүрдэх хүснэгт бөгөөд түүний элементүүд огтлолцсон байна. Эдгээр нь тодорхой утга эсвэл хувьсагч байж болно. Ихэнхдээ элементүүдийг тодорхойлохын тулд дэд индексийг тэдгээрийн доор байрлуулдаг (жишээлбэл, 11 эсвэл 23). Эхний индекс нь мөрийн дугаар, хоёр дахь нь багана юм. Матрицууд болон бусад математик элементүүд дээр янз бүрийн үйлдлүүдийг хийж болно. Тиймээс та:

2) Матрицыг дурын тоо, вектороор үржүүлэх.

3) Transpose: матрицын мөрүүдийг багана болгон, багануудыг мөр болгон хувиргана.

4) Аль нэгнийх нь мөрийн тоо нь нөгөөгийнхөө баганын тоотой тэнцүү бол матрицыг үржүүлнэ.

Эдгээр бүх техникийг ирээдүйд бидэнд ашигтай байх тул бид илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Матрицыг хасах, нэмэх нь маш энгийн. Бид ижил хэмжээтэй матриц авдаг тул нэг хүснэгтийн элемент бүр нөгөө элементийнхтэй тохирч байна. Тиймээс бид эдгээр хоёр элементийг нэмж (хасах) (матрицдаа нэг газар байрлуулах нь чухал юм). Матрицыг тоо эсвэл вектороор үржүүлэхдээ матрицын элемент бүрийг тухайн тоогоор (эсвэл вектороор) үржүүлэхэд л хангалттай. Шилжүүлэн суулгах нь маш сонирхолтой үйл явц юм. Түүнийг дотор нь харах нь заримдаа маш сонирхолтой байдаг жинхэнэ амьдралЖишээлбэл, та таблет эсвэл утасныхаа чиглэлийг өөрчлөх үед. Ширээний компьютер дээрх дүрсүүд нь матриц бөгөөд та байрлалыг өөрчлөхөд түүнийг шилжүүлж, өргөн болгоно, гэхдээ өндөр нь буурдаг.

Энэ үйл явцыг дүн шинжилгээ хийцгээе, гэхдээ энэ нь бидэнд ашиггүй ч гэсэн үүнийг мэдэх нь ашигтай байх болно. Зөвхөн нэг хүснэгтийн баганын тоо нөгөө хүснэгтийн мөрийн тоотой тэнцүү бол та хоёр матрицыг үржүүлэх боломжтой. Одоо нэг матрицын эгнээний элементүүд болон нөгөө матрицын харгалзах баганын элементүүдийг авч үзье. Тэднийг бие биенээрээ үржүүлээд дараа нь нэмье (жишээлбэл, a 11 ба 12 элементүүдийн үржвэрийг b 12 ба b 22 -ийн үржвэр: a 11 * b 12 + a 12 * b 22 -тэй тэнцүү болно) . Тиймээс хүснэгтийн нэг элементийг олж авсан бөгөөд үүнтэй төстэй аргаар цаашид бөглөнө.

Одоо бид шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэж болно.

Гауссын арга

Энэ сэдэв сургууль дээр хэрэгжиж эхэлдэг. Бид "хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем" гэсэн ойлголтыг сайн мэддэг бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвартай байдаг. Гэхдээ тэгшитгэлийн тоо хоёроос илүү байвал яах вэ? Энэ нь бидэнд туслах болно

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та системээс матриц хийвэл энэ аргыг ашиглахад тохиромжтой. Гэхдээ та үүнийг өөрчилж, цэвэр хэлбэрээр нь шийдэж чадахгүй.

Тэгэхээр энэ аргаар Гауссын шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийддэг вэ? Дашрамд хэлэхэд энэ аргыг түүний нэрээр нэрлэсэн боловч эрт дээр үеэс нээгдэж байжээ. Гаусс дараахь зүйлийг санал болгож байна: эцэст нь бүхэл бүтэн багцыг алхам алхам болгон багасгахын тулд тэгшитгэлээр үйл ажиллагаа явуулах. Өөрөөр хэлбэл, эхний тэгшитгэлээс сүүлчийн тэгшитгэлийг дээрээс доошоо (хэрэв зөв байрлуулсан бол) үл мэдэгдэх нэгээр буурах шаардлагатай байна. Өөрөөр хэлбэл, бид гурван тэгшитгэлийг олж авсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй: эхнийх нь гурван үл мэдэгдэх, хоёрдугаарт хоёр, гурав дахь нь нэг юм. Дараа нь сүүлчийн тэгшитгэлээс бид эхний үл мэдэгдэх зүйлийг олж, түүний утгыг хоёр дахь эсвэл эхний тэгшитгэлээр орлуулж, дараа нь үлдсэн хоёр хувьсагчийг олоорой.

Крамерын арга

Энэ аргыг эзэмшихийн тулд матриц нэмэх, хасах ур чадвартай байх нь чухал бөгөөд тодорхойлогчдыг олох чадвартай байх шаардлагатай. Тиймээс, хэрэв та энэ бүгдийг сайн хийгээгүй эсвэл яаж хийхээ мэдэхгүй байгаа бол сурч, дадлага хийх хэрэгтэй болно.

Энэ аргын мөн чанар нь юу вэ, шугаман Крамерын тэгшитгэлийн системийг олж авахын тулд үүнийг хэрхэн яаж хийх вэ? Бүх зүйл маш энгийн. Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тоон (бараг үргэлж) коэффициентээс матриц барих ёстой. Үүнийг хийхийн тулд бид тоонуудыг үл мэдэгдэх зүйлсийн өмнө аваад системд бичсэн дарааллаар нь хүснэгтэд байрлуулна. Хэрэв тооны өмнө "-" тэмдэг байгаа бол сөрөг коэффициентийг бичнэ үү. Тиймээс бид тэгш бус тэмдгүүдийн дараах тоонуудыг оруулалгүйгээр үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн анхны матрицыг эмхэтгэсэн болно (мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийг канон хэлбэрт оруулах ёстой, зөвхөн тоо баруун талд, коэффициент бүхий үл мэдэгдэх бүх зүйл. зүүн талд байна). Дараа нь та хэд хэдэн матриц үүсгэх хэрэгтэй - хувьсагч бүрт нэг. Үүнийг хийхийн тулд эхний матрицад эргээд тэнцүү тэмдгийн дараа багана бүрийг тоон багана бүхий коэффициентээр солино. Тиймээс бид хэд хэдэн матрицыг олж аваад дараа нь тэдгээрийн тодорхойлогчдыг олдог.

Бид урьдчилсан шатны тоглолтыг олсны дараа асуудал бага байна. Бид анхны матрицтай бөгөөд өөр өөр хувьсагчтай тохирох хэд хэдэн матрицууд байдаг. Системийн шийдлийг олж авахын тулд бид үүссэн хүснэгтийн тодорхойлогчийг эхний хүснэгтийн тодорхойлогчид хуваана. Үр дүн нь хувьсагчийн аль нэгний утга юм. Үүний нэгэн адил бид бүх үл мэдэгдэх зүйлийг олдог.

Бусад аргууд

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олж авах өөр хэд хэдэн арга байдаг. Жишээлбэл, системийн шийдлийг олоход ашигладаг Гаусс-Жордан гэж нэрлэгддэг арга квадрат тэгшитгэлмөн матриц ашиглахтай холбоотой. Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Jacobi арга бас бий. Энэ нь компьютерт дасан зохицоход хамгийн хялбар бөгөөд тооцоололд ашигладаг.

Хэцүү тохиолдлууд

Тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага байх үед ихэвчлэн бэрхшээл гардаг. Дараа нь систем нь хоорондоо нийцэхгүй (өөрөөр хэлбэл үндэсгүй), эсвэл түүний шийдлийн тоо хязгааргүй байх хандлагатай байгааг бид баттай хэлж чадна. Хэрэв бидэнд хоёр дахь тохиолдол байгаа бол шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг бичих хэрэгтэй. Энэ нь дор хаяж нэг хувьсагчтай байх болно.

Дүгнэлт

Энд бид эцэс хүртэл ирлээ. Дүгнэж хэлэхэд: бид систем ба матриц гэж юу болохыг шинжилж, шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг хэрхэн олох талаар олж мэдсэн. Үүнээс гадна бусад сонголтыг авч үзсэн. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийддэг болохыг бид олж мэдсэн: Гауссын арга, Бид хэцүү тохиолдлууд болон шийдлийг олох бусад аргуудын талаар ярилцсан.

Үнэн хэрэгтээ энэ сэдэв нь илүү өргөн хүрээтэй бөгөөд хэрэв та үүнийг илүү сайн ойлгохыг хүсч байвал илүү нарийн мэргэжлийн уран зохиол уншихыг танд зөвлөж байна.

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд. Лекц 6.

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

Үндсэн ойлголтууд.

Харах систем

дуудсан систем - үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.

Дугааруудыг дууддаг системийн коэффициент.

Тоонуудыг дууддаг системийн чөлөөт гишүүд, – системийн хувьсагчид... Матриц

дуудсан системийн үндсэн матрицба матриц

– матрицын өргөтгөсөн систем... Матриц - Багана

Мөн зохих ёсоор чөлөөт гишүүдийн матриц ба системийн үл мэдэгдэх зүйлс... Дараа нь матриц хэлбэрээр тэгшитгэлийн системийг энэ хэлбэрээр бичиж болно. Системийн шийдэлхувьсагчийн утгууд гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг орлуулах үед системийн бүх тэгшитгэлүүд жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирдаг. Системийн аливаа шийдлийг матриц - багана хэлбэрээр дүрсэлж болно. Дараа нь матрицын тэгш байдал хүчин төгөлдөр болно.

Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол нийцэхгүйхэрэв шийдэл байхгүй бол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх гэдэг нь нийцтэй эсэхийг олж мэдэх, нийцтэй тохиолдолд ерөнхий шийдлийг олох гэсэн үг юм.

Системийг дууддаг нэгэн төрлийнхэрэв түүний чөлөөт гишүүд бүгд тэгтэй тэнцүү бол. Нэг төрлийн систем нь шийдэлтэй тул үргэлж нийцтэй байдаг

Kronecker - Copelli теорем.

Шугаман системийн шийдэл байгаа эсэх, тэдний өвөрмөц байдлын талаархи асуултын хариулт нь тодорхойгүй шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи дараахь мэдэгдэл хэлбэрээр гаргаж болох дараах үр дүнг олж авах боломжийг бидэнд олгодог.

(1)

Теорем 2... Шугаман тэгшитгэлийн систем (1) нь үндсэн матрицын зэрэглэл өргөтгөсөн (.

Теорем 3... Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системийн үндсэн матрицын зэрэг нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болно.

Теорем 4... Хэрэв нийцтэй системийн үндсэн матрицын зэрэг нь үл мэдэгдэх тооноос бага байвал систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй болно.

Системийн шийдлийн дүрэм.

3. Үндсэн хувьсагчдын чөлөөт хэлбэрээр илэрхийлэлийг олж, системийн ерөнхий шийдлийг олж аваарай.

4. Чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг өгснөөр үндсэн хувьсагчдын бүх утгыг олж авна.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга.

Урвуу матрицын арга.

Үүнээс гадна, энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Системийг матриц хэлбэрээр бичье

хаана , , .

Бид матрицын зүүн талд байгаа матрицын тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ

Үүнээс хойш бид үл мэдэгдэх зүйлийг олох тэгш байдлыг хаанаас олж авдаг

Жишээ 27.Урвуу матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицаар тэмдэглэе

.

Ингээд шийдлийг томъёогоор олъё.

Тооцоолъё.

Түүнээс хойш систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болсон. Алгебрийн бүх нэмэлтийг олоорой

, ,

, ,

, ,

, ,

Тиймээс

.

Шалгаж үзье

.

Урвуу матрицыг зөв олсон. Эндээс томъёог ашиглан хувьсагчдын матрицыг олдог.

.

Матрицын утгыг харьцуулж үзвэл бид хариултыг авна.

Крамерын арга.

Үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье

Үүнээс гадна, энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Системийн шийдлийг матриц хэлбэрээр бичье

Бид илэрхийлнэ

. . . . . . . . . . . . . . ,

Тиймээс бид үл мэдэгдэх утгыг олох томъёог олж авдаг Крамерын томъёо.

Жишээ 28.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийднэ .

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олж мэдье

.

Үүнээс хойш систем нь ганц шийдэлтэй болсон.

Крамерын томъёоны үлдсэн тодорхойлогчдыг олж үзье

,

,

.

Крамерын томъёог ашиглан бид хувьсагчдын утгыг олдог

Гауссын арга.

Энэ арга нь хувьсагчдыг дараалан устгахаас бүрдэнэ.

Үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.

Гауссын шийдлийн процесс нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Эхний шатанд системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэр болгон өөрчлөх замаар багасгадаг

,

хаана, систем харгалзах

Үүний дараа хувьсагчид Үүнийг үнэгүй гэж үздэг бөгөөд тэгшитгэл бүрт баруун талд шилжүүлдэг.

Хоёрдахь шатанд хувьсагчийг сүүлийн тэгшитгэлээс илэрхийлж, үр дүнг нь тэгшитгэлээр орлуулна. Энэ тэгшитгэлээс

хувьсагчийг илэрхийлнэ. Энэ процесс эхний тэгшитгэл хүртэл үргэлжилнэ. Үр дүн нь чөлөөт хувьсагчдын хувьд үндсэн хувьсагчдын илэрхийлэл юм .

Жишээ 29.Дараах системийг Гауссын аргаар шийднэ

Шийдэл. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичээд шаталсан хэлбэр болгон бууруулъя

.

Учир нь үл мэдэгдэх тооноос илүү систем тогтвортой бөгөөд хязгааргүй олон шийдэлтэй болно. Шаталсан матрицын системийг бичье

Эхний гурван баганаас бүрдсэн энэхүү системийн өргөтгөсөн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул үүнийг үндсэн гэж үзнэ. Хувьсагч

Тэд үндсэн байх бөгөөд хувьсагч үнэгүй байх болно. Бид үүнийг бүх тэгшитгэлээр зүүн талд шилжүүлдэг

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлж байна

Энэ утгыг сүүлийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна

хаана ... Хувьсагчдын утгыг орлуулж, эхний тэгшитгэлд оруулан олох болно ... Бид хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн гол асуудлуудын нэг юм. Энэхүү асуудал нь шинжлэх ухаан, техникийн асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой бөгөөд үүнээс гадна тооцооллын математик, математикийн физик, туршилтын судалгааны үр дүнг боловсруулах олон алгоритмыг хэрэгжүүлэхэд туслах болно.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэрийн тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг: (1)

хаана – үл мэдэгдэх; - чөлөөт гишүүд.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх замаар(1) үл мэдэгдэх оронд (1) системд оруулсан аливаа тооны тоог дууддаг системийн бүх тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол, мөн нийцэхгүйхэрэв шийдэл байхгүй бол.

Хамтарсан тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг тодорхойхэрэв энэ нь нэг өвөрмөц шийдэлтэй бол, мөн тэмдэглэгдээгүйхэрэв энэ нь дор хаяж хоёр өөр шийдэлтэй бол.

Хоёр тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг -тай тэнцэнээсвэл эквивалентхэрэв тэд ижил шийдэлтэй бол.

Систем (1) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийнхэрэв үнэгүй нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бол:

Нэг төрлийн систем нь үргэлж нийцтэй байдаг - энэ нь шийдэлтэй байдаг (магадгүй цорын ганц биш).

Хэрэв (1) системд байвал бидэнд систем байна nбүхий шугаман тэгшитгэл nүл мэдэгдэх: хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициент, - чөлөөт гишүүд.

Шугаман системганц шийдэлтэй байж болно, хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл огт байхгүй.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Хэрэв систем өвөрмөц шийдэлтэй бол;

хэрэв системд ямар ч шийдэл байхгүй бол;

Хэрэв систем хязгааргүй олон шийдэлтэй бол.

Жишээ.Систем нь хос тооны өвөрмөц шийдэлтэй байдаг

Систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй байдаг. Жишээлбэл, энэ системийн шийдэл бол хос тоо гэх мэт.

Хоёр тооны зөрүү нь хоёр өөр утгыг авч чадахгүй тул системд ямар ч шийдэл байдаггүй.

Тодорхойлолт. Хоёрдахь дарааллын тодорхойлогчхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэнэ үү.

Тодорхойлогчийг D тэмдгээр тэмдэглэв.

Тоонууд a 11, …, a 22 -ийг сонгон шалгаруулалтын элемент гэж нэрлэдэг.

Элементүүдээс үүссэн диагональ a 11 ; a 22 дуудлага үндсэн,элементүүдээс үүссэн диагональ a 12 ; a 21 − тал

Тиймээс хоёр дахь дарааллын тодорхойлогч нь үндсэн ба хоёрдогч диагональ элементүүдийн бүтээгдэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хариулт нь тоо гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ.Тодорхойлогчдыг тооцоолъё.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье: хаана NS 1, NS 2 – үл мэдэгдэх; a 11 , …, a 22 - үл мэдэгдэх коэффициент, б 1 , б 2 - чөлөөт гишүүд.


Хэрэв хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан олж болно.

Тодорхойлолт.Үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициентээс бүрдсэн тодорхойлогчийг нэрлэдэг системийн тодорхойлогч: D =.

D тодорхойлогчийн баганууд нь коэффициентүүдийг агуулдаг NS 1 ба , NS 2 Хоёрыг танилцуул нэмэлт тодорхойлогч,баганын аль нэгийг чөлөөт нөхцлийн баганаар солих замаар системийн тодорхойлогчоос олж авдаг: D 1 = D 2 =.

Теорем 14(Крамер, n = 2 тохиолдолд).Хэрэв системийн тодорхойлогч D нь тэг биш бол (D¹0), систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.

Эдгээр томъёог нэрлэдэг Крамерын томъёогоор.

Жишээ.Крамерын дүрмийн дагуу системийг шийдье.

Шийдэл.Тоонуудыг хайж олох

Хариулт.

Тодорхойлолт. Гурав дахь дарааллыг тодорхойлох хүчин зүйлхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэнэ үү.

Элементүүд a 11; a 22 ; a 33 - гол диагоналыг үүсгэнэ.

Тоонууд a 13; a 22 ; a 31 - хажуугийн диагональ хэлбэртэй.

Нэмэлт оруулга нь: үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн бүтээгдэхүүн, бусад хоёр нэр томъёо нь үндсэн диагональтай параллель суурьтай гурвалжингийн орой дээр байрладаг элементүүдийн бүтээгдэхүүн юм. Хасах нэр томъёо нь хажуугийн диагональтай ижил схемийн дагуу үүсдэг.

Жишээ.Тодорхойлогчдыг тооцоолъё.

Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье: хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициент, - чөлөөт гишүүд.

Өвөрмөц шийдлийн хувьд 3 үл мэдэгдэх 3 шугаман тэгшитгэлийн системийг гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан шийдэж болно.

D системийн тодорхойлогч нь дараахь хэлбэртэй байна.

Бид гурван нэмэлт тодорхойлогчийг танилцуулж байна.

Теорем 15(Крамер, n = 3 тохиолдолд).Хэрэв системийн тодорхойлогч D нь тэг биш бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг Крамерын томъёогоор олно.

Жишээ.Крамерын дүрмийн дагуу системийг шийдье.

Шийдэл.Тоонуудыг хайж олох

Крамерын томъёог ашиглаж анхны системийн шийдлийг олцгооё.

Хариулт.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байх ба D системийн тодорхойлогч нь тэг биш байх үед Крамерын теорем хэрэглэгддэг болохыг анхаарна уу.

Хэрэв системийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү бол энэ тохиолдолд системд шийдэл байхгүй эсвэл хязгааргүй тооны шийдэл байж болно. Эдгээр хэргийг шалгаж байна.

Бид зөвхөн нэг тохиолдлыг тэмдэглэж байна. Хэрэв системийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү (D = 0), нэмэлт тодорхойлогчдын дор хаяж нэг нь тэг биш бол системд ямар ч шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл нийцэхгүй байна.

Крамерын теоремыг системд нэгтгэн дүгнэж болно nбүхий шугаман тэгшитгэл nүл мэдэгдэх: хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициент, - чөлөөт гишүүд.

Хэрэв үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийн тодорхойлогч бол системийн өвөрмөц шийдлийг Крамерын томъёогоор олно.

Үл мэдэгдэх коэффициентийн багана агуулсан бол D тодорхойлогчоос нэмэлт тодорхойлогч авна x iүнэгүй гишүүн баганаар солино.

Тодорхойлогч D, D 1, ..., D болохыг анхаарна уу nзахиалгатай байх n.

Гауссын шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг бол үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан устгах арга юм. - Гауссын арга. Энэ аргань орлуулах аргын ерөнхий дүгнэлт бөгөөд үл мэдэгдэх зүйлийг нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл байх хүртэл дараалан устгахаас бүрдэнэ.

Энэ арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн зарим өөрчлөлтөд суурилсан бөгөөд үүний үр дүнд анхны системтэй тэнцэх системийг олж авдаг. Аргын алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Эхний шатыг нэрлэдэг шууд курсГауссын арга. Энэ нь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг тууштай арилгахаас бүрдэнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхний алхамд системийн эхний тэгшитгэлийг хуваана (эс тэгвээс системийн тэгшитгэлийг дахин эмхлэх болно). Олсон бууруулсан тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг коэффициентоор үржүүлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс хасч, улмаар хоёр дахь тэгшитгэлээс хасах (коэффициентийг тэглэх).

Тэд бусад тэгшитгэлүүдтэй ижил зүйлийг хийж, хоёр дахь үеэс эхлэн бүх тэгшитгэлд коэффициентүүд нь зөвхөн тэг агуулдаг шинэ системийг олж авдаг. Мэдээжийн хэрэг, шинэ систем нь анхны системтэй тэнцэх болно.

Хэрэв шинэ коэффициентүүд бүгд тэгтэй тэнцүү биш бол гурав дахь болон дараагийн тэгшитгэлээс хасах боломжтой. Дараах үл мэдэгдэх үйлдлүүдийг үргэлжлүүлэн хийснээр системийг гурвалжин гэж нэрлэнэ.

Энд хөрвүүлэлтийн үр дүнд өөрчлөгдсөн тоон коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог тэмдэглэж, тэмдэглэв.

Системийг сүүлийн тэгшитгэлээс өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог бөгөөд дараа нь үл мэдэгдэх зүйлийг дараалсан орлуулалтаар тодорхойлдог.

Сэтгэгдэл.Заримдаа, хувиргалтын үр дүнд аливаа тэгшитгэлд бүх коэффициентүүд болон баруун тал нь алга болдог, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь 0 = 0 гэсэн утгатай болж хувирдаг. Ийм тэгшитгэлийг системээс хасснаар үл мэдэгдэх тоотой харьцуулахад тэгшитгэлийн тоо буурдаг. Ийм систем ганц шийдэлтэй байж чадахгүй.

Хэрэв Гауссын аргыг ашиглах явцад аливаа тэгшитгэл нь 0 = 1 хэлбэрийн тэгшитгэл болж хувирдаг (үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициент 0 болж, баруун тал нь тэгээс өөр утгыг авсан бол), анхны системд шийдэл байхгүй болно. Учир нь үл мэдэгдэх утгын хувьд ийм тэгш байдал буруу байна.

Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

хаана – үл мэдэгдэх; - үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициент, - чөлөөт гишүүд. орлуулагч олдсон

Шийдэл.Гауссын аргыг энэ системд ашигласнаар бид олж авдаг

Хаанаас Сүүлчийн тэгш байдал нь үл мэдэгдэх утгын хувьд буруу байдаг тул системд ямар ч шийдэл байдаггүй.

Хариулт.Системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Өмнө нь авч үзсэн Крамерын аргыг зөвхөн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгаа системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох бөгөөд системийн тодорхойлогч нь тэгээс хэтрэхгүй байх ёстойг анхаарна уу. Гауссын арга нь илүү түгээмэл бөгөөд ямар ч тооны тэгшитгэлтэй системд тохиромжтой.

Сэдэв 2. Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шууд аргаар шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем (SLAE гэж товчилсон) нь хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем юм

эсвэл матриц хэлбэрээр,

А. × x = Б , (2.2)

А. - хэмжээсийн системийн коэффициентүүдийн матриц n ´ n

x - үл мэдэгдэх вектор n бүрэлдэхүүн хэсэг

Б - системийн баруун гар талын вектор n бүрэлдэхүүн хэсэг.

А. = x = Б = (2.3)

SLAE -ийн шийдэл бол ийм багц юм n утгыг орлуулсан тоонууд x 1 , x 2 , … , x n (2.1) системд оруулах нь бүх тэгшитгэлд зүүн гар талууд баруун талуудтай тэгш байдлыг хангадаг.

SLAE бүр матрицын утгуудаас хамаарна А. ба Б байж болно

Нэг шийдэл

Хязгааргүй олон шийдэл

Ганц шийдэл биш.

Энэ сургалтанд бид өвөрмөц шийдэлтэй SLAE -ийг л авч үзэх болно. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлЭнэ бол матрицын тодорхойлогчийн тэгийн тэгш бус байдал юм А. .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хайж олохын тулд түүний шийдлийг өөрчилдөггүй зарим өөрчлөлтийг хийж болно. Эквивалент хувиргалтШугаман тэгшитгэлийн системийг шийдлийг нь өөрчлөхгүй ийм хувиргалт гэж нэрлэдэг. Үүнд:

Системийн аль ч хоёр тэгшитгэлийг өөрчлөх (доор авч үзсэн зарим тохиолдолд энэ хувиргалтыг ашиглах боломжгүй гэдгийг анхаарах хэрэгтэй);

Систем дэх аливаа тэгшитгэлийг тэгтэй тэнцүү биш тоогоор үржүүлэх (эсвэл хуваах);

Бусад тэгшитгэлийн системийн нэг тэгшитгэл дээр тэгээс бусад тоогоор үржүүлсэн (эсвэл хуваасан) тоог нэмж оруулав.

SLAE -ийг шийдвэрлэх аргуудыг хоёр том бүлэгт хуваадаг. шууд аргуудба давтагдах арга... SLAE -ийг шийдвэрлэх асуудлыг хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудал руу бууруулах арга байдаг бөгөөд дараа нь түүнийг экстремумыг олох аргуудаар шийддэг (холбогдох сэдвийг хөндөхдөө энэ талаар дэлгэрэнгүй үзнэ үү). Шууд аргууд нь нэг алхамаар системийн яг шийдлийг (хэрэв байгаа бол) өгдөг. Дахин давтагдах аргууд (хэрэв тэдгээрийн нэгдмэл байдал хангагдсан бол) нь SLAE -ийн хүссэн шийдэлд анх удаа ойртохоос хэд дахин илүү сайжруулах боломжийг олгодог бөгөөд ерөнхийдөө тодорхой шийдлийг хэзээ ч өгөхгүй болно. Гэсэн хэдий ч тооцооллын дунд үе шатанд зайлшгүй хийх ёстой алдааны улмаас шийдвэрлэх шууд аргууд нь тийм ч оновчтой биш шийдлийг өгдөг тул давтагдах арга нь ойролцоогоор ижил үр дүнг өгдөг.

SLAE -ийг шийдвэрлэх шууд аргууд. SLAE -ийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг шууд аргууд нь:

Крамерын арга,

Гауссын арга (ба түүний өөрчлөлт - Гаусс -Жордан арга)

Матрицын арга (матрицын урвалыг ашиглах А. ).

Крамерын арга үндсэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолоход үндэслэв А. ба матрицын тодорхойлогчид А. 1 , А. 2 , …, A n , матрицаас олж авсан болно А. нэгийг солих ( би-гурав дахь) багана ( би= 1, 2,…, n) вектор элемент агуулсан багана бүрт Б . Үүний дараа SLAE -ийн шийдлүүдийг эдгээр тодорхойлогчдын утгыг хуваах хувьсагчаар тодорхойлно. Илүү нарийвчлалтай тооцох томъёо нь дараах байдалтай байна

(2.4)

Жишээ 1... SLAE -ийн шийдлийг Крамерын аргаар хайж үзье

А. = , Б = .

Бидэнд байгаа

A 1 = , A 2 = , A 3 = , A 4 = .

Бүх таван матрицын тодорхойлогчдын утгыг тооцоолох (хүрээлэн буй орчны MOPEDED функцийг ашиглан) Excel). Бид авдаг

Матрицын тодорхойлогч учраас А. тэгтэй тэнцүү биш - систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Дараа нь бид үүнийг (2.4) томъёогоор тодорхойлно. Бид авдаг

Гауссын арга. Энэ аргаар SLAE -ийн шийдэл нь системийн өргөтгөсөн матрицыг эмхэтгэхийг хэлнэ А. * ... Өргөтгөсөн системийн матриц нь хэмжээтэй матриц юм nшугам ба n+1 анхны матрицыг багтаасан багана А. баруун талд нь вектор агуулсан багана хавсаргасан байна Б .

A * = (2.4)

Энд a in + 1 = b i (би = 1, 2, …, n ).

Гауссын аргын мөн чанар нь багасгах явдал юм эквивалент өөрчлөлтүүд) системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулна (ингэснээр зөвхөн диагоналаас доогуур тэг элементүүд байх болно).

А. * =

Дараа нь сүүлчийн мөрөөс эхлэн дээшээ шилжихийн тулд та уусмалын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгыг дараалан тодорхойлж болно.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг шаардлагатай хэлбэрт шилжүүлэх эхлэл нь коэффициентүүдийн утгыг харах явдал юм. x 1 мөн хамгийн их үнэмлэхүй утгыг агуулсан мөрийг сонгох (энэ нь дараагийн тооцоонд тооцоолох алдааны хэмжээг багасгахад шаардлагатай). Өргөтгөсөн матрицын энэ мөрийг эхний мөрөөр нь солих ёстой (эсвэл аль нь илүү сайн болохыг эхний эгнээнд нэмж (эсвэл хасаад) үр дүнг эхний мөрийн оронд байрлуулах ёстой). Үүний дараа энэ шинэ эхний эгнээний бүх элементүүдийг (түүний сүүлчийн баганад байгаа элементүүдийг оруулаад) энэ хүчин зүйлээр хуваах ёстой. Үүний дараа шинээр олж авсан коэффициент a 11 нэгтэй тэнцэнэ. Матрицын үлдсэн мөр бүрээс түүний эхний мөрийг коэффициентийн утгаар үржүүлэх шаардлагатай. x 1 энэ мөрөнд (өөрөөр хэлбэл хэмжээгээр a i 1 , хаана би =2, 3, … n ). Үүний дараа бүх мөрөнд, хоёр дахь хэсгээс эхлэн коэффициентүүд x 1 (өөрөөр хэлбэл бүх коэффициент a i 1 (би =2, …, n ) нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Бид зөвхөн ижил төстэй хувиргалт хийсэн тул шинээр олж авсан SLAE -ийн шийдэл нь анхны системээс ялгаатай биш юм.

Дараа нь матрицын эхний мөрийг хэвээр нь үлдээж, бид дээрх бүх үйлдлийг матрицын үлдсэн мөрүүд, үүний үр дүнд шинээр олж авсан коэффициентээр хийх болно. a 22 нэгтэй тэнцүү болж, бүх коэффициентүүд a i 2 (би =3, 4, …, n ) тэгтэй тэнцүү болно. Үүнтэй төстэй үйлдлүүдийг үргэлжлүүлэн хийснээр бид эцэст нь матрицаа бүх коэффициентийг бүрдүүлэх болно a ii = 1 (би =1, 2, …, n), мөн бүх коэффициентүүд a ij = 0 (би =2, 3, …, n, j< би). Хэрэв зарим үед коэффициентийн хамгийн том үнэмлэхүй утгыг хайх үед x j бид тэгтэй тэнцүү биш коэффициент олж чадахгүй - энэ нь анхны системд ганц шийдэл байхгүй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд шийдвэр гаргах үйл явцыг зогсоох ёстой.

Хэрэв эквивалент хувиргах үйл явц амжилттай дууссан бол "гурвалжин" хэлбэртэй өргөтгөсөн матриц нь дараах шугаман тэгшитгэлийн системтэй тохирч байх болно.

Энэ системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид утгыг олдог x n ... Цаашилбал, энэ утгыг сүүлчийн тэгшитгэлд орлуулснаар бид утгыг олдог x n -1 ... Үүний дараа эдгээр олсон утгыг хоёуланг нь системийн доод тэгшитгэлээс гурав дахь болгон орлуулснаар бид утгыг олно x n -2 . Үргэлжлүүлэн энэ системийн тэгшитгэлийг доороос дээш чиглүүлснээр бид бусад үндэсүүдийн утгыг дараалан олох болно. Эцэст нь олдсон утгыг орлуулах x n , x n -1 , x n -2 , x 3 ба x 2 системийн эхний тэгшитгэлд бид утгыг олдог x 1. Гурвалжин матрицаар үндэсийн утгыг олох ийм журмыг нэрлэдэг урвууАнхны өргөтгөсөн матрицыг эквивалент хэлбэрээр гурвалжин хэлбэртэй болгон бууруулах үйл явцыг нэрлэдэг шууд курсГауссын арга.

Гауссын аргаар SLAE -ийг шийдвэрлэх нэлээд нарийвчилсан алгоритмыг Зураг дээр үзүүлэв. .2.1 ба зураг. 2.1a.

Жишээ 2... Крамерын аргаар аль хэдийн шийдсэн Гауссын аргаар ижил SLAE -ийн шийдлийг олоорой. Эхлээд түүний өргөтгөсөн матрицыг бичье. Бид авдаг

А. * = .

Нэгдүгээрт, энэ матрицын эхний ба гурав дахь мөрүүдийг сольж үзье (эхний багана нь үнэмлэхүй утгын хамгийн том элементийг агуулдаг тул), дараа нь энэ шинэ эхний мөрийн бүх элементүүдийг 3 утгаар хуваана.

А. * = .

А. * =

Дараа нь бид энэ матрицын хоёр ба гурав дахь эгнээг сольж, дахин зохион байгуулсан матрицын хоёр дахь эгнээг 2.3333 -т хувааж, матрицын гурав, дөрөв дэх эгнээний хоёр дахь баганын коэффициентүүдийг дээрхтэй адил тэг болгоно. Бид авдаг

А. * = .

Матрицын гурав, дөрөв дэх эгнээнд ижил төстэй үйлдлийг хийсний дараа бид олж авна

А. * = .

Дөрөв дэх эгнээ одоо -5.3076 -аар хуваагдсанаар бид системийн өргөтгөсөн матрицыг диагональ хэлбэрээр зурж дуусгаж байна. Бид авдаг




Цагаан будаа. 2.1. Гауссын аргаар шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритм



Цагаан будаа. 2.1a. Макроблок"Шийдлийн үнэ цэнийн тооцоо".

А. * = .

Сүүлчийн мөрөөс бид шууд авдаг x 4 = 0.7536. Матрицын эгнээ рүү авирч, тооцоолол хийснээр бид дараалан олж авна x 3 = 0.7971, x 2 =- 0.1015 ба x 1 = 0.3333. Энэ аргаар олж авсан уусмалыг Крамерын аргаар олж авсан уусмалтай харьцуулж үзвэл тэдгээр нь давхцаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Гаусс-Жордан арга. SLAE -ийг шийдвэрлэх энэ арга нь олон талаараа Гауссын аргатай төстэй юм. Гол ялгаа нь эквивалент хувиргалтыг ашиглан тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт биш харин диагональ хэлбэрт оруулж, үндсэн диагонал дээр нь нэгжүүд, түүний гадна талд (сүүлчийнхээс бусад) n +1 багана) - тэг. Ийм хувиргалт дууссаны дараа өргөтгөсөн матрицын сүүлийн багана нь анхны SLAE -ийн шийдлийг агуулна. x i = a би n +1 (би = 1, 2, … , n ) үр дүнгийн матриц дээр). Уусмалын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгыг эцсийн тооцоолохын тулд урвуу алхам хийх шаардлагагүй (Гауссын аргын адил).

Матрицыг диагональ хэлбэрээр бууруулах ажлыг ерөнхийдөө Гауссын аргын нэгэн адил хийдэг. Хэрэв шугам би коэффициент x i (би = 1, 2, … , n ) үнэмлэхүй утгаараа жижиг, мөрийг хайх болно j , үүнд коэффициент x i үнэмлэхүй утгаараа энэ нь хамгийн том байх болно ( j -р) мөрийг элементээр элементээр нэмнэ би - 3 -р шугам. Дараа нь бүх элементүүд би - th мөрүүдийг элементийн утгаар хуваана x i Гэхдээ Гауссын аргаас ялгаатай нь үүний дараа мөр бүрээс тоогоор хасах болно j дугаарласан мөр би -аар үржүүлсэн а жи гэхдээ нөхцөл байдал j > би өөрөөр солигдсон Гаусс-Жордан аргад мөр бүрээс тоогоор хасах үйлдлийг хийдэг j , үүнээс гадна j # би , дугаарласан мөр би -аар үржүүлсэн а жи ... Тэдгээр нь. коэффициентийг үндсэн диагоналийн доор ба түүнээс дээш түвшинд тэг болгож тохируулна.

Гаусс - Жордан аргаар SLAE -ийг шийдвэрлэх нарийвчилсан алгоритмыг Зураг дээр үзүүлэв. 2.2.

Жишээ 3... Крамер, Гауссын аргуудаар аль хэдийн шийдсэн Гаусс-Жордан аргаар ижил SLAE-ийн шийдлийг олоорой.

Гауссын аргын нэгэн адил бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлдэг. Дараа нь бид энэ матрицын эхний ба гурав дахь эгнээнүүдийг өөрчилнө (эхний багана нь үнэмлэхүй утгын хамгийн том элементийг агуулдаг тул), дараа нь энэ шинэ эхний мөрний бүх элементүүдийг 3 -р утгаар хуваана. Дараа нь бид мөрийн мөр бүрээс хасна. матриц (эхнийхээс бусад) эхний мөрүүдийн элементүүдийг тухайн мөрийн эхний баганын хүчин зүйлээр үржүүлнэ. Бид Гауссын аргын адил зүйлийг олж авдаг

А. * = .

Дараа нь бид энэ матрицын хоёр ба гурав дахь мөрүүдийг дахин зохион байгуулж, дахин зохион байгуулсан матрицын хоёр дахь эгнээ 2.3333 ба ( аль хэдийн Гауссын аргаас ялгаатай) бид матрицын эхний, гурав, дөрөв дэх эгнээний хоёр дахь баганын коэффициентүүдийг тэглэнэ. Бид авдаг