Теоремоос гарсан үр дүн. III
Өмнө нь олон гишүүнт гэдэг ойлголтыг мономиалуудын алгебрийн нийлбэр гэж тодорхойлдог байсан. Хэрэв олон гишүүнт ижил төстэй бүх мономиалуудыг хувьсагчийн зэрэглэлээр буурах дарааллаар өгөгдсөн бол үр дүнгийн бичлэгийг гэнэ. каноник тэмдэглэгээолон гишүүнт.
Тодорхойлолт.Маягтын илэрхийлэл
Хаана x– зарим хувьсагч, бодит тоо, болон , гэж нэрлэдэг зэрэгтэй олон гишүүнт n хувьсагчаас x . Зэрэголон гишүүнт нь каноник тэмдэглэгээн дэх хувьсагчийн хамгийн том хүчин чадал юм. Хэрэв хувьсагч олон гишүүнт тэмдэглэгээнд харагдахгүй бол, i.e. олон гишүүнт нь тогтмолтой тэнцүү, түүний зэрэг нь 0-тэй тэнцүү гэж тооцогддог. Олон гишүүнтийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай тохиолдол. Энэ тохиолдолд түүний зэрэг нь тодорхойлогдоогүй гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.
Жишээ.хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт,
тав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт.
Тодорхойлолт.Хоёр олон гишүүнт тэнцүүхэрэв тэдгээр нь ижил хүчин чадалтай каноник хэлбэрээр ижил коэффициенттэй байвал.
Тодорхойлолт. дугаарыг дуудаж байна олон гишүүнтийн үндэс, оронд нь энэ дугаарыг тохируулах үед бол xОлон гишүүнт нь 0 утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл.
Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн үндэс болно
Тиймээс олон гишүүнтийн бүх язгуур, рационал тэгшитгэлийн язгуурыг олох бодлого нь нэг л асуудал юм.
Эхний болон хоёрдугаар зэргийн рационал тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй алгоритмуудыг ашиглан шийддэг. Гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг олох томьёо (Кардано, Феррари томьёо) байдаг ч нүсэр байдлаасаа болоод анхан шатны математикийн хичээлд ордоггүй.
Өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг олох ерөнхий санаа нь олон гишүүнт хүчин зүйл хийж, тэгшитгэлийг бага зэрэгтэй тэнцүү багц тэгшитгэлээр солих явдал юм.
Өмнөх сэдвүүдэд олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх үндсэн аргуудыг тэмдэглэсэн: нийтлэг хүчин зүйлийг авах; бүлэглэх; үржүүлэх товчилсон томъёо.
Гэсэн хэдий ч бүлэглэх арга нь алгоритмын шинж чанартай биш тул их хэмжээний олон гишүүнтэд хэрэглэхэд хэцүү байдаг. Илүү өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт хүчин зүйл хийх боломжийг олгодог зарим нэмэлт теоремууд болон аргуудыг авч үзье.Үлдэгдэлтэй хуваах тухай теорем.
Түүнээс гадна, градусаас бага зэргийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг хуваагддаг, олон гишүүнт хуваагч,олон гишүүнт бүрэн бус хувийн, ба олон гишүүнт үлдсэн .
Хэрэв хуваагдлын үлдсэн хэсэг нь 0 бол бид үүнийг хэлнэ хувьцаадээр бүрэн, мөн тэгш байдал нь дараах хэлбэртэй байна.
Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваах алгоритм нь тоог тоонд багана эсвэл булангаар хуваах алгоритмтай төстэй. Алгоритмын алхамуудыг тайлбарлая.
Хувьсагчийн бүх хүчийг оруулан ногдол ашгийг мөрөнд бичнэ (дутууг 0 коэффициентээр бич).
Хувьсагчийн бүх хүчийг багтаасан ногдол ашгийг "буланд" бичнэ үү.
Бүрэн бус категори дахь эхний гишүүн (мономиал)-ийг олохын тулд та ногдол ашгийн тэргүүлэх мономиалыг хувагчийн тэргүүлэх мономиалаар хуваах хэрэгтэй.
Үүссэн хэсгийн эхний гишүүнийг бүхэлд нь хуваагчаар үржүүлээд үр дүнг ногдол ашгийн доор бичээд хувьсагчийн ижил хүчийг бие биенийхээ доор бич.
Үүссэн бүтээгдэхүүнийг ногдол ашгаас хас.
Алгоритмыг 1-р цэгээс эхлэн гарсан үлдэгдэлд хэрэглэнэ).
Үүссэн ялгаа нь хуваагчийн зэргээс бага зэрэгтэй байвал алгоритм дуусна. Энэ бол үлдсэн хэсэг.
Жишээ. Олон гишүүнтийг хуваа.
Ногдол ашиг ба хуваагчийг бичих
Процедурыг давт
Зэрэг нь хуваагчийн зэргээс бага байна. Тэгэхээр энэ бол үлдсэн хэсэг. Хуваалтын үр дүнг дараах байдлаар бичнэ.
Хорнерын схем.Хэрэв хуваагч нь нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт байвал хуваах журмыг хялбарчилж болно. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах алгоритмыг авч үзье.
Жишээ. Олон гишүүнтийг Хорнерийн схемээр хуваа. Энэ тохиолдолд А=2. Алгоритмыг алхам алхмаар гүйцэтгэсний үр дүнг бичье.
Тиймээс бид хуваах үр дүнг дараах байдлаар бичнэ
Сэтгэгдэл.Хэрэв та хоёр гишүүнээр хуваах шаардлагатай бол
Дараа нь энэ нь дараа нь хэлбэрт шилждэг. Үүнээс үзэхэд Хорнерын схемээр хуваахдаа олсон зүйлийг хуваах замаар хүссэн хэсгийг олох болно А. Үлдсэн хэсэг нь ижил хэвээр байна.
Безутын теорем. Олон гишүүнтийг хуваахад үлдсэн хэсэг нь тухайн цэг дээрх олон гишүүнтийн утгатай тэнцүү байна x = А, өөрөөр хэлбэл . Олон гишүүнт нь үлдэгдэлгүй хуваагдана, хэрэв зөвхөн, хэрэв байвал x = Аолон гишүүнтийн үндэс юм.
Тиймээс олон гишүүнтийн нэг үндсийг оллоо А , та зэргээс нэг бага зэрэгтэй хүчин зүйлийг сонгох замаар үүнийг хүчин зүйл болгож болно. Энэ хүчин зүйлийг Хорнерын схемийг ашиглан эсвэл булангаар хуваах замаар олж болно.
Үндэс олох асуудлыг сонгох эсвэл олон гишүүнтийн рационал язгуурын теоремыг ашиглах замаар шийддэг.
Теорем.Олон гишүүнтийг үзье 
бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Хэрэв бууруулж болшгүй бутархай нь олон гишүүнтийн үндэс бол түүнийг тоологч болно хчөлөөт нэр томъёоны хуваагч ба хуваагч qнь тэргүүлэх коэффициентийн хуваагч юм.
Энэ теоремын үндэс суурь болно оновчтой үндсийг олох алгоритмолон гишүүнт (хэрэв байгаа бол).
Алгебрийн бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах
ТодорхойлолтТоолуур ба хуваагч нь олон гишүүнт агуулсан бутархайг нэрлэдэг алгебрийн бутархай .
Нэг хувьсагчийн алгебрийн бутархайг авч үзье. Тэдгээрийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: , энд тоологч нь градусын олон гишүүнийг агуулна n, хуваагч нь градусын олон гишүүнт юм к. Хэрэв бол бутархайг дуудна зөв .
TO энгийн алгебрийн бутархайХоёр төрлийн зөв бутархай байдаг:
Теорем.Аливаа алгебрийн бутархайг хамгийн энгийн алгебрийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж болно.
Алгебрийн бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах алгоритм.
- Олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнийг бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт бүхэл язгуурт хуваана (хэрэв тэргүүлэх коэффициент нь 1 бол бүх рационал язгуур нь бүхэл тоо болно).
- Бүхэл тооны коэффициент бүхий $P(x)$ багасгасан олон гишүүнтийн бүхэл язгуур нь $a$ байг. Дараа нь дурын бүхэл тоо $k$-ийн хувьд $P(k)$ тоо нь $a-k$ -д хуваагдана.
- · Өгөгдсөн бутархайн хувьд коэффициентийг үл мэдэгдэх гэж тооцсон өргөтгөлийг бичнэ;
- · Үүний дараа тэгш байдлын хоёр талыг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, тоологч дахь олон гишүүнтүүдийн үр дүнгийн коэффициентүүдийг тэнцүүлнэ.
Хуваагчийг хүчин зүйл.
Зөв бутархайн тоо, тэдгээрийн хуваагчийн төрлийг тодорхойл.
Зүүн талд нь анхны бутархай, баруун талд нь тодорхойгүй коэффициент бүхий хамгийн энгийн бутархайн нийлбэр байх тэгш байдлыг бич.
Баруун талд байгаа бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруул.
Бутархайн тоологч дахь олон гишүүнтүүдийг тэнцүүл.
Олон гишүүнтийн тэгш байдлын тодорхойлолтыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг үүсгэж тодорхойгүй коэффициентийг олох замаар шийднэ.
Безоутын теоремын баталгаа
f(x) нь x хувьсагчийн хувьд n-р зэрэглэлийн дурын олон гишүүнтийг тэмдэглэж, хоёр гишүүнд (x-a) хуваагдвал q(x) хэсэг, R үлдэгдэл нь R болно. q(x) нь ойлгомжтой. x-тэй харьцуулахад зарим олон гишүүнт ( n-1)-р зэрэгтэй байх ба үлдсэн R нь тогтмол утга байх болно, өөрөөр хэлбэл. х-ээс хамааралгүй.
Хэрэв үлдсэн R нь х-тэй харьцуулахад хамгийн багадаа нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт байсан бол энэ нь хуваагдал бүтэлгүйтсэн гэсэн үг юм. Тэгэхээр R нь x-ээс хамаарахгүй.
Хуваалтын тодорхойлолтоор (ногдол ашиг нь хуваагч ба хуваагчийн үржвэртэй тэнцүү, үлдэгдэлтэй тэнцүү) би ижил төстэй байдлыг олж авдаг.
f(x) =(x-a)q(x)+R.
Энэ тэгшитгэл нь x-ийн аль ч утгын хувьд хүчинтэй бөгөөд энэ нь x=a-д ч мөн адил хүчинтэй гэсэн үг.
Тэгш байдлын зүүн ба баруун талд x хувьсагчийн оронд a тоог орлуулснаар би дараахь зүйлийг олж авна.
f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)
Энд f(a) тэмдэг нь f(x)-г илэрхийлэхээ больсон, i.e. х-ийн олон гишүүнт биш, харин энэ олон гишүүнтийн x=a дахь утга. q(a) нь x=a үед q(x)-ийн утгыг илэрхийлнэ.
R нь x-ээс хамаарахгүй тул R-ийн үлдсэн хэсэг нь өмнөхтэй ижил хэвээр байна.
Тиймээс (1) тэгш байдлаас бид дараахь зүйлийг олж авна.
Q.E.D.
Теоремоос гарсан үр дүн
Дүгнэлт 1.
Олон гишүүнт f(x)-ыг хоёр гишүүнд (ax+b) хуваахад үлдсэн хэсэг нь утгатай тэнцүү байна.
энэ олон гишүүнт x=-b/a, i.e. R=f(-b/a).
Нотолгоо:
Олон гишүүнт хуваах дүрмийн дагуу:
f(x)= (ax+b)*q(x)+R.
f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Тэгэхээр, R=f(-b/a),
Q.E.D.
Үр дүн 2:
Хэрэв a тоо нь олон гишүүнт f(x) бол энэ олон гишүүнт (x-a) -д үлдэгдэлгүй хуваагдана.
Нотолгоо:
Безоутын теоремоор, олон гишүүнт f(x)-ийг (x-a)-д хуваахад үлдэгдэл нь f(a)-тай тэнцүү, а нөхцөлөөр бол f(x)-ийн үндэс нь f(a) = 0 гэсэн үг. нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Безоутын теоремын энэхүү үр дүнд f(x)=0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодлого нь f олон гишүүнтийн нэгдүгээр зэрэгтэй хуваагчийг (шугаман хуваагч) тодорхойлох асуудалтай дүйцэх нь тодорхой байна.
Үр дүн 3:
Хэрэв f(x) олон гишүүнт a 1 , a 2 ,… ,a n гэсэн хос язгууртай бол түүнийг үлдэгдэлгүй (x-a 1)...(x-a n) үржвэрт хуваана.
Нотолгоо:
Үндэсний тоогоор математикийн индукц ашиглан нотолгоог хийцгээе. n=1-ийн хувьд уг мэдэгдлийг 2-р дүгнэлтээр нотолсон. Үндэсний тоо k-тэй тэнцүү байх тохиолдолд аль хэдийн нотлогдсон байя, энэ нь f(x) нь үлдэгдэлгүй хуваагдана гэсэн үг юм.
(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), энд a 1, a 2,…, a k нь түүний үндэс юм.
f(x) нь (k+1) хос ялгаатай язгууртай байг. Индукцийн таамаглалаар a 1, a 2, a k,…, (a k+1) нь олон гишүүнтийн үндэс бөгөөд энэ нь олон гишүүнт (x-a 1)...(x-a k) үржвэрт хуваагдана гэсэн үг юм. тэр
f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).
Энэ тохиолдолд (a k+1) нь f(x) олон гишүүнтийн үндэс, өөрөөр хэлбэл.
Энэ нь x-г (a k+1) орлуулснаар бид зөв тэгшитгэлийг олж авна гэсэн үг юм.
f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.
Гэхдээ (a k+1) нь a 1 ,…, a k тоонуудаас ялгаатай тул (a k+1 -a 1),..., (a k+1 -a k) тоонуудын аль нь ч 0-тэй тэнцүү биш юм. Тиймээс тэг нь q(a k+1) -тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. (a k+1) нь q(x) олон гишүүнтийн үндэс юм. 2-р дүгнэлтээс харахад q(x) нь (x-a k+1)-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг.
q(x)=(x-a k+1)q 1 (x), тиймээс
f(x)=(x-a 1)...(x-a k)q(x)=(x-a 1)...(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).
Энэ нь f(x) нь (x-a 1)...(x-a k+1)-д үлдэгдэлгүй хуваагдана гэсэн үг.
Тэгэхээр k=1-д теорем үнэн болох нь батлагдсан ба n=k-ийн хувьд үнэн зөв болохоос n=k+1-д ч мөн адил үнэн болох нь батлагдсан. Тиймээс энэ теорем нь ямар ч тооны язгуурын хувьд үнэн бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Үр дүн 4:
n зэрэгтэй олон гишүүнт хамгийн ихдээ n өөр үндэстэй байна.
Нотолгоо:
Зөрчилдөөний аргыг хэрэглэцгээе: хэрвээ n зэрэгтэй олон гишүүнт f(x) нь n-ээс олон үндэстэй бол - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k нь түүний үндэс), дараа нь Өмнө нь батлагдсан үр дүн 3 үүнийг (x-a 1)...(x-a n+k) зэрэгтэй (n+k) бүтээгдэхүүнд хуваана, энэ нь боломжгүй юм.
Бид зөрчилдөөнд хүрсэн бөгөөд энэ нь бидний таамаглал буруу, n зэрэгтэй олон гишүүнт нь n-ээс олон үндэстэй байж болохгүй гэсэн үг бөгөөд үүнийг нотлох шаардлагатай болсон.
Үр дүн 5:
Аливаа олон гишүүнт f(x) болон a тооны хувьд ялгаа (f(x)-f(a)) нь хоёр гишүүн (x-a)-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.
Нотолгоо:
f(x) нь n зэрэгтэй өгөгдсөн олон гишүүнт, а нь дурын тоо байг.
f(x) олон гишүүнтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: f(x)=(x-a)q(x)+R, энд f(x)-г (x-a) хуваах үед q(x) нь олон гишүүнтийн коэффициент, R нь үлдэгдэл болно. f(x)-ээс (x-a) хуваах.
Түүнчлэн Безутын теоремын дагуу:
f(x)=(x-a)q(x)+f(a).
f(x)-f(a)=(x-a)q(x),
Энэ нь үлдэгдэлгүй хуваагдах боломжтой гэсэн үг (f(x)-f(a))
дээр (x-a), энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Үр дүн 6:
f(x) нь (x-a)-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдах тохиолдолд л a тоо нь хамгийн багадаа эхлээд f(x) зэрэгтэй олон гишүүнт үндэс юм.
Нотолгоо:
Энэ теоремыг батлахын тулд томъёолсон нөхцлийн хэрэгцээ ба хангалттай байдлыг авч үзэх шаардлагатай.
1. Шаардлагатай байдал.
a нь олон гишүүнт f(x) язгуур байя, үр дүнд нь 2 f(x) нь (x-a)-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.
Иймд f(x)-ийн (x-a)-д хуваагдах чадвар нь a f(x)-ийн үндэс байх зайлшгүй нөхцөл юм, учир нь үүний үр дагавар юм.
2. Хангалттай байдал.
Олон гишүүнт f(x)-ийг (x-a) үлдэгдэлгүй хуваая.
дараа нь R=0, энд R нь f(x)-ийг (x-a) хуваасны үлдэгдэл, харин Безоутын теорем R=f(a) бөгөөд энэ нь f(a)=0 гэсэн үг бөгөөд энэ нь a нь f язгуур гэсэн үг юм. (x).
Иймд f(x)-ийн (x-a)-д хуваагдах чадвар нь a нь f(x)-ийн үндэс байх хангалттай нөхцөл юм.
f(x)-ийн (x-a)-д хуваагдах чадвар нь a нь f(x)-ийн үндэс байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бөгөөд үүнийг нотлох шаардлагатай байв.
Үр дүн 7:
Бодит язгуургүй олон гишүүнт хүчин зүйлээр ялгахад шугаман хүчин зүйл агуулаагүй.
Нотолгоо:
Зөрчилдөөний аргыг хэрэглэцгээе: үндэсгүй олон гишүүнт f(x) хүчин зүйлжүүлсэн үед шугаман хүчин зүйл агуулна гэж бодъё.
тэгвэл (х-а)-д хуваагдах боловч 6-р үр дүнд a нь f(x)-ын үндэс байх ба нөхцөлөөр бол жинхэнэ язгуур агуулаагүй болно. Бид зөрчилдөөнд хүрсэн бөгөөд энэ нь бидний таамаглал буруу, жинхэнэ үндэсгүй олон гишүүнт хүчин зүйлчлэлд шугаман хүчин зүйл агуулаагүй гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай болсон.
Теорем
$P(x)$ олон гишүүнийг $(x-a)$ хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдэл нь $P(a)$-тай тэнцүү байна.
Безоутын теоремын үр дүн
$P(x)$ нь $x-a$ хоёр гишүүнд үлдэгдэлгүй хуваагдах тохиолдолд $a$ тоо нь $P(x)$ олон гишүүнтийн үндэс болно.
Эндээс ялангуяа $P(x)$ олон гишүүнт язгуурын олонлог нь $P(x)=0$ харгалзах тэгшитгэлийн язгуурын олонлогтой ижил байна гэсэн дүгнэлт гарна.
Безоутын теорем нь олон гишүүнтийн нэг язгуурыг олсны дараа зэрэг нь аль хэдийн нэгээр бага олон гишүүнтийн язгуурыг цаашид хайх боломжийг олгодог: хэрэв $P(a)=0$ бол өгөгдсөн олон гишүүнт $P(x)$ байна. хэлбэрээр төлөөлж болно:
$$P(x)=(x-a) Q(x)$$
Ийнхүү нэг язгуур олдсон ба дараа нь $Q(x)$ олон гишүүнтийн язгуурууд олдсон ба түүний зэрэг нь анхны олон гишүүнтийн зэрэгтэй харьцуулахад нэгээр бага байна. Заримдаа энэ аргыг ашиглан - үүнийг зэрэг бууруулах гэж нэрлэдэг - та өгөгдсөн олон гишүүнтийн бүх үндсийг олох боломжтой.
Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жишээ
Дасгал хийх.$f(x)=3 x^(2)-4 x+6$ олон гишүүнийг $(x-1)$ хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдлийг ол.
Шийдэл.Безутын теоремоор шаардлагатай үлдэгдэл нь $a=1$ цэг дээрх олон гишүүнтийн утгатай тэнцүү байна. Үүнийг хийхийн тулд $f(1)$-г олоод $x$-ийн оронд $f(x)$ олон гишүүнтийн илэрхийлэлд $a=1$ утгыг орлуулъя. Бидэнд:
$$f(1)=3 \cdot 1^(2)-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$
Хариулах.Үлдсэн нь 5
Жишээ
Дасгал хийх.Безоутын теоремыг ашиглан $f(x)=17 x^(3)-13 x^(2)-4$ олон гишүүнт $x=1$ хоёр гишүүнд үлдэгдэлгүй хуваагддаг болохыг батал.
Шийдэл.$x=1$ тоо нь өгөгдсөн олон гишүүнтийн язгуур бол заасан олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагдана, өөрөөр хэлбэл: $f(1)=0$ тэнцүү байна. $x=1$ цэг дээрх олон гишүүнтийн утгыг олъё.
Тоо нь олон гишүүнт хуваагдах тохиолдолд л үндэс болно
Олон гишүүнтийн үндэс нь _ байг, өөрөөр хэлбэл. Хэмжээ нь зэрэгтэй тэнцүү байна гэж хуваая. . гэсэн үг, . Учир нь сүүлчийн тэгшитгэлээс өөрөөр хэлбэл. .
Үүний эсрэгээр, түүнийг хуваахыг зөвшөөрөх, өөрөөр хэлбэл. . Дараа нь.
Үр дагавар.Олон гишүүнтийг хуваахад үлдсэн нь тэнцүү байна.
Нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнтийг шугаман олон гишүүнт гэнэ. Безоутын теорем нь олон гишүүнтийн язгуурыг олох нь түүний тэргүүлэх коэффициент 1-тэй шугаман хуваагчдыг олохтой тэнцүү болохыг харуулж байна.
Олон гишүүнтийг үлдэгдэл алгоритмаар хуваах замаар шугаман олон гишүүнт хувааж болох боловч Хорнерийн схем гэж нэрлэгддэг илүү тохиромжтой хуваах арга байдаг.
Хаана, зөвшөөрөх. Үл мэдэгдэх зэрэгтэй ижил түвшний коэффициентүүдийг сүүлчийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талуудтай харьцуулж үзвэл бид дараах байдалтай байна.
 |
 |
Олон гишүүнт хуваагдах боловч хуваагдахаа больсон тоог олон гишүүнтийн язгуур гэж нэрлэдэг.
Тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэх, түүний үржвэр нь юу болохыг шалгахын тулд та Хорнерийн схемийг ашиглаж болно. Нэгдүгээрт, энэ нь хуваагдана, дараа нь, хэрэв үлдэгдэл нь тэг байвал үр дүнгийн хуваана гэх мэт. тэгээс өөр үлдэгдэл гарах хүртэл.
Олон гишүүнтийн өөр өөр язгуурын тоо нь түүний зэрэглэлээс хэтрэхгүй.
Дараах гол теорем нь маш чухал юм.
Үндсэн теорем. Тэг биш градусын тоон коэффициент бүхий олон гишүүнт бүр дор хаяж нэг үндэстэй (комплекс байж болно).
Үр дагавар. С-д (нийлмэл тоонуудын олонлог) зэрэгтэй олон гишүүнт бүр өөрийн зэрэгтэй олон үндэстэй байх ба язгуур бүрийг үржвэрийнхээ хэмжээгээр тоолно.
хаана _ үндэс, өөрөөр хэлбэл. С олонлогт олон гишүүнт бүр шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болж задардаг. Хэрэв ижил хүчин зүйлсийг нэгтгэвэл:
аль хэдийн өөр өөр үндэс байгаа бол _ язгуурын олон талт байдал.
Бодит коэффициенттэй олон гишүүнт үндэстэй бол тоо нь мөн үндэс болно
Энэ нь бодит коэффициент бүхий олон гишүүнт хос хосолсон нийлмэл үндэстэй гэсэн үг юм.
Үр дагавар.Сондгой зэрэгтэй бодит коэффициент бүхий олон гишүүнт нь сондгой тооны бодит язгууртай.
Let ба үндэс Дараа нь хуваагдана, харин нийтлэг хуваагч байхгүй тул үржвэрт хуваагдана.
Мэдэгдэл 2.Бодит градусын коэффициент бүхий олон гишүүнт нь бодит тоонуудын олонлог дээр түүний бодит язгуурт тохирох шугаман олон гишүүнт болон хос хосолсон цогцолбор үндэст харгалзах 2-р зэргийн олон гишүүнтийн үржвэр болгон задалдаг.
Рационал функцүүдийн интегралыг тооцоолохдоо бид рационал бутархайг хамгийн энгийнийн нийлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно.
Рационал бутархай нь бодит коэффициенттэй олон гишүүнт ба олон гишүүнт байгаа бутархай юм. Тоолуурын зэрэг нь хуваагчаас бага байвал рационал бутархайг зөв гэж нэрлэдэг. Хэрэв рационал бутархай нь зөв бутархай биш бол олон гишүүнт хуваах дүрмийн дагуу хуваагчийг хуваах замаар түүнийг болон зарим олон гишүүнт байх хэлбэрээр дүрслэгдэж, зөв рационал бутархай болно.
Лемма 1.Хэрэв энэ нь зөв рационал бутархай бөгөөд тоо нь олон гишүүнтийн үржвэрийн бодит язгуур юм, i.e. ба, дараа нь бодит тоо ба олон гишүүнт бодит коэффициенттэй байх тул хаана нь зөв бутархай байна.
Энэ тохиолдолд үр дүнгийн илэрхийлэл нь бодит коэффициент бүхий оновчтой бутархай болохыг харуулахад хялбар байдаг.
Лемма 2.Хэрэв энэ нь зөв рационал бутархай бөгөөд тоо (болон бодит) нь олон гишүүнтийн үржвэрийн үндэс юм, i.e. ба, хэрэв бол, жинхэнэ тоонууд ба мөн жинхэнэ коэффициент бүхий олон гишүүнт байдаг бөгөөд энд нь зөв бутархай байна.
Бодит үндэсгүй бодит коэффициент бүхий гурвалсан хэлбэрийн рационал бутархайг энгийн (эсвэл энгийн) бутархай гэж нэрлэдэг.
Зөв оновчтой бутархай бүрийг энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.
Практикт ийм өргөтгөлийг олж авахдаа тодорхойгүй коэффициент гэж нэрлэгддэг арга нь тохиромжтой болж хувирдаг. Энэ нь дараахь зүйлсээс бүрдэнэ.
Түүгээр ч зогсохгүй хэрэв олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү бол нийтлэг хуваагч руу бууруулсны дараа тооны гишүүнд зэрэгтэй олон гишүүнийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. коэффициент бүхий олон гишүүнт.
Үл мэдэгдэх тоо нь мөн тэнцүү байна: .
Тиймээс үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг олж авна. Энэ системийн шийдэл байгаа нь дээр өгөгдсөн теоремоос үүдэлтэй.
1. Хуваах 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 дээр x − 1Хорнерын схемийг ашиглан.
Шийдэл:
Хоёр мөрийн хүснэгт хийцгээе: эхний мөрөнд 5 олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг бичнэ. x 4 +5x 3 +x 2 −11, хувьсагчийн градусын буурах дарааллаар байрлуулсан x. Энэ олон гишүүнт агуулаагүй гэдгийг анхаарна уу xэхний зэрэг, өөрөөр хэлбэл. өмнөх коэффициент xэхний зэрэглэл нь 0-тэй тэнцүү байна. Бид хуваах тул x−1, дараа нь хоёр дахь мөрөнд бид нэгийг бичнэ:
Хоёр дахь мөрөнд хоосон нүднүүдийг бөглөж эхэлцгээе. Хоёрдахь эгнээний хоёр дахь нүдэнд бид тоог бичнэ 5 , зүгээр л эхний мөрийн харгалзах нүднээс зөөнө:
Энэ зарчмын дагуу дараагийн нүдийг дүүргэцгээе. 1⋅ 5 + 5 = 10 :
Хоёр дахь эгнээний дөрөв дэх нүдийг ижил аргаар бөглөцгөөе. 1⋅ 10 + 1 = 11 :
Тав дахь нүдний хувьд бид дараахь зүйлийг авна. 1⋅ 11 + 0 = 11 :
Эцэст нь, сүүлийн зургаа дахь үүрэнд бид: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :
Асуудал шийдэгдсэн тул хариултаа бичих л үлдлээ.
Таны харж байгаагаар хоёр дахь мөрөнд байрлах тоонууд (нэг ба тэг хооронд) нь 5-д хуваагдсаны дараа олж авсан олон гишүүнтийн коэффициентүүд юм. x 4 +5x 3 +x 2 −11 тутамд x−1. Мэдээжийн хэрэг, анхны олон гишүүнтийн зэрэг нь 5 байна x 4 +5x 3 +x 2 −11 нь дөрөвтэй тэнцүү байсан бол үүссэн олон гишүүнтийн зэрэг нь 5 байна x 3 +10x 2 +11x+11 нь нэгээр бага, өөрөөр хэлбэл. гуравтай тэнцэнэ. Хоёрдахь эгнээний сүүлчийн тоо (тэг) нь олон гишүүнт 5-ын хуваагдлын үлдэгдлийг илэрхийлнэ x 4 +5x 3 +x 2 −11 тутамд x−1.
Манай тохиолдолд үлдэгдэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнтүүд тэгш хуваагддаг. Энэ үр дүнг мөн дараах байдлаар тодорхойлж болно: олон гишүүнтийн утга 5 байна x 4 +5x 3 +x 2 −11 цагт x=1 нь тэгтэй тэнцүү.
Дүгнэлтийг мөн ийм хэлбэрээр томъёолж болно: олон гишүүнтийн утга 5 тул x 4 +5x 3 +x 2 −11 цагт x=1 нь тэгтэй тэнцүү бол нэгдэл нь 5 олон гишүүнтийн үндэс болно x 4 +5x 3 +x 2 −11.
2. Олон гишүүнт хуваагдсан хэсгийн бүрэн бус хэсгийг ол
А(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– нэг бином бүрт 1 X – 1.
Шийдэл:
– 2 |
– 1 |
|||
|
α = 1 |
– 1 |
Хариулт: Q(x) = X 2 – X + 1 , Р(x) = 0.
3. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоол А(X) цагт X = – 1 бол А(X) = X 3 – 2 X – 1.
Шийдэл:
– 2 |
– 1 |
|||
|
α = – 1 |
– 1 |
– 1 |
Хариулт: А(– 1) = 0.
4. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолА(X) цагт X= 3, бүрэн бус хэсэг баүлдэгдэл, хаана
А(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.
Шийдэл:
– 7 |
– 2 |
|||||
|
α = 3 |
178 |
535 |
Хариулт: Р(x) = А(3) = 535, Q(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.
5. Тэгшитгэлийн язгуурыг олX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.
Шийдэл:
±1 чөлөөт гишүүний хуваагчийг ол; ± 2; ± 3; ± 6
1, 4, 1, – 6. Бид Хорнерын схемийг ашиглах хүснэгтийг бүтээдэг.