Комплекс интеграл. X язгуур х-ийн эсрэг дериватив

Комплекс интеграл

Энэ нийтлэл нь тодорхойгүй интегралын сэдвийг төгсгөж, миний нэлээд төвөгтэй гэж үздэг интегралуудыг багтаасан болно. Хичээлийг сайт дээр илүү хэцүү жишээнүүдийг шинжлэхийг хүсч байгаагаа илэрхийлсэн зочдын давтан хүсэлтийн дагуу бүтээсэн.

Энэ текстийг уншигч сайн бэлтгэгдсэн бөгөөд үндсэн интеграцийн арга техникийг хэрхэн ашиглахаа мэддэг гэж үздэг. Дамми болон интегралд тийм ч итгэлтэй биш хүмүүс хамгийн эхний хичээлийг үзэх хэрэгтэй - Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ, та сэдвийг бараг эхнээс нь эзэмших боломжтой. Илүү туршлагатай оюутнууд миний нийтлэлд хараахан гараагүй интеграцийн техник, аргуудтай танилцах боломжтой.

Ямар интегралуудыг авч үзэх вэ?

Эхлээд бид шийдэлд дараалан ашигладаг үндэстэй интегралуудыг авч үзэх болно хувьсах солихТэгээд хэсгүүдээр нэгтгэх. Өөрөөр хэлбэл, нэг жишээнд хоёр техникийг нэгэн зэрэг хослуулсан болно. Тэгээд бүр илүү.

Дараа нь бид сонирхолтой, эх сурвалжтай танилцах болно интегралыг өөртөө багасгах арга. Цөөн хэдэн интегралыг ингэж шийддэг.

Хөтөлбөрийн гурав дахь дугаар нь өмнөх нийтлэлүүдэд кассын хажуугаар өнгөрч байсан нийлмэл бутархайн интегралууд байх болно.

Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нэмэлт интегралуудыг шинжлэх болно. Ялангуяа цаг хугацаа их шаарддаг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтаас зайлсхийх аргууд байдаг.

(2) Интеграл функцэд бид хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана.

(3) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Сүүлчийн интегралд нэн даруй функцийг дифференциал тэмдгийн доор тавина.

(4) Бид үлдсэн интегралуудыг авдаг. Логарифмд модулийн оронд хаалт хэрэглэж болно гэдгийг анхаарна уу, учир нь .

(5) Бид урвуу орлуулалтыг хийж, шууд орлуулахаас "te"-г илэрхийлнэ.

Масохист оюутнууд миний хийсэн шиг хариултыг ялгаж, анхны интегралыг гаргаж чадна. Үгүй, үгүй ​​ээ, би зөв утгаараа шалгалт хийсэн =)

Таны харж байгаагаар шийдлийн явцад бид хоёроос илүү шийдлийн аргыг ашиглах шаардлагатай байсан тул ийм интегралтай ажиллахын тулд танд өөртөө итгэлтэй интеграцийн ур чадвар, бага зэрэг туршлага хэрэгтэй болно.

Практик дээр мэдээж квадрат язгуур нь илүү түгээмэл байдаг, энд гурван жишээ байна бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол

Эдгээр жишээнүүд нь ижил төрлийнх тул өгүүллийн төгсгөлд байгаа бүрэн шийдэл нь зөвхөн 2-р жишээнд зориулагдсан болно. Жишээ 3-4 нь ижил хариулттай байна. Шийдвэр гаргах эхэнд аль орлуулалтыг ашиглах нь ойлгомжтой гэж бодож байна. Би яагаад ижил төрлийн жишээг сонгосон бэ? Тэдний дүрд ихэвчлэн олддог. Илүү олон удаа, магадгүй, зүгээр л нэг зүйл .

Гэхдээ дандаа биш, арктангенс, синус, косинус, экспоненциал болон бусад функцүүдийн дор язгуур байдаг. шугаман функц, та нэг дор хэд хэдэн аргыг ашиглах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тохиолдолд "хялбар гарах" боломжтой, өөрөөр хэлбэл орлуулсны дараа шууд авч болох энгийн интегралыг олж авдаг. Дээр санал болгож буй ажлуудын хамгийн хялбар нь 4-р жишээ бөгөөд орлуулсны дараа харьцангуй энгийн интегралыг олж авдаг.

Интегралыг өөртөө багасгах замаар

Ухаантай, үзэсгэлэнтэй арга. Энэ төрлийн сонгодог бүтээлүүдийг харцгаая.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол

Үндэс дор квадрат бином байдаг бөгөөд интегралдах гэж оролдох үед энэ жишээданх хэдэн цагийн турш зовж шаналж болно. Ийм интегралыг хэсэг хэсгээр нь авч, өөртөө багасгадаг. Зарчмын хувьд энэ нь хэцүү биш юм. Хэрэв та яаж гэдгийг мэддэг бол.

Харж байгаа интегралыг латин үсгээр тэмдэглээд шийдлийг эхлүүлье.

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

(1) Нэр томъёогоор хуваах интеграл функцийг бэлтгэх.

(2) Бид интеграл функцийн нэр томьёогоор хуваагдана. Энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байж болох ч би үүнийг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно:

(3) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг.

(4) Сүүлийн интегралыг ("урт" логарифм) ав.

Одоо шийдлийн эхэн үеийг харцгаая:

Тэгээд эцэст нь:

Юу болсон бэ? Бидний заль мэхийн үр дүнд интеграл өөрөө багассан!

Эхлэл ба төгсгөлийг тэнцүүлж үзье:

Тэмдгийн өөрчлөлтөөр зүүн тал руу шилжинэ:

Тэгээд бид хоёрыг баруун тийш шилжүүлнэ. Үүний үр дүнд:

Тогтмол, хатуухан хэлэхэд өмнө нь нэмэх ёстой байсан, гэхдээ би үүнийг төгсгөлд нь нэмсэн. Энд ямар хатуу ширүүн байгааг уншихыг зөвлөж байна:

Жич: Илүү хатуу эцсийн шатшийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна:

Тиймээс:

Тогтмолыг -аар дахин тодорхойлж болно. Яагаад дахин томилогдсон байж болох вэ? Учир нь тэр одоо ч гэсэн үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг ямар чутгууд ба энэ утгаараа тогтмол ба хоёрын хооронд ямар ч ялгаа байхгүй.
Үүний үр дүнд:

Тогтмол өөрчлөлттэй ижил төстэй заль мэхийг өргөн ашигладаг дифференциал тэгшитгэл. Тэнд би хатуу байх болно. Энд би ийм эрх чөлөөг зөвхөн шаардлагагүй зүйлээр төөрөлдүүлэхгүйн тулд, интеграцийн аргад анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд л зөвшөөрч байна.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол

Бие даасан шийдлийн өөр нэг ердийн интеграл. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт. Өмнөх жишээн дээрх хариултаас ялгаатай байх болно!

Хэрэв доор байвал квадрат язгуурХэрэв квадрат гурвалжин олдвол ямар ч тохиолдолд шийдэл нь хоёр жишээнд бууна.

Жишээлбэл, интегралыг авч үзье . Таны хийх ёстой зүйл бол эхлээд бүрэн дөрвөлжин сонгоно уу:
.
Дараа нь шугаман орлуулалт хийгддэг бөгөөд энэ нь "ямар ч үр дагаваргүйгээр" хийдэг.
, үр дүнд нь интеграл . Танил зүйл байна, тийм үү?

Эсвэл квадрат бином бүхий энэ жишээ:
Бүрэн квадратыг сонгоно уу:
Шугаман орлуулсны дараа бид интегралыг олж авдаг бөгөөд үүнийг аль хэдийн хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан шийддэг.

Интегралыг өөртөө хэрхэн бууруулах талаар өөр хоёр ердийн жишээг авч үзье.
– экспоненциалыг синусаар үржүүлсэн интеграл;
– экспоненциалыг косинусаар үржүүлсэн интеграл.

Жагсаалтад орсон интегралуудад та хоёр удаа интегралдах шаардлагатай болно.

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол

Интеграл нь экспоненциалыг синусаар үржүүлсэн тоо юм.

Бид хэсэг хэсгээр нь хоёр удаа нэгтгэж, интегралыг өөртөө багасгадаг.

Хэсэгчилсэн давхар интегралын үр дүнд интеграл өөрөө багассан. Бид шийдлийн эхлэл ба төгсгөлийг тэнцүүлж байна:

Бид үүнийг зүүн тал руу тэмдгээр шилжүүлж, интегралыг илэрхийлнэ.

Бэлэн. Үүний зэрэгцээ баруун талыг самнахыг зөвлөж байна, i.e. илтгэгчийг хаалтнаас гаргаж аваад хаалтанд синус болон косинусыг "сайхан" дарааллаар байрлуул.

Одоо жишээний эхэнд, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар хэсэгчлэн нэгтгэх рүү буцъя:

Бид илтгэгчийг дараах байдлаар тодорхойлсон. Асуулт гарч ирнэ: энэ нь үргэлж тэмдгээр тэмдэглэгдэх ёстой үзүүлэлт мөн үү? Заавал биш. Үнэн хэрэгтээ, авч үзсэн интегралд үндсэндээ хамаагүй, гэж юу гэсэн үг вэ, бид өөр замаар явж болох байсан:

Энэ яагаад боломжтой вэ? Экспоненциал нь өөрөө болж хувирдаг (дифференциал ба интегралын үед хоёулаа) синус ба косинус нь харилцан бие биедээ (дахин ялгах ба интегралын үед) хувирдаг.

Өөрөөр хэлбэл, бид тригонометрийн функцийг бас илэрхийлж болно. Гэхдээ авч үзсэн жишээн дээр фракцууд гарч ирэх тул энэ нь оновчтой биш юм. Хэрэв та хүсвэл хоёр дахь аргыг ашиглан энэ жишээг шийдэхийг оролдож болно.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдвэрлэхээсээ өмнө энэ тохиолдолд экспоненциал функц эсвэл тригонометрийн функцээр тэмдэглэх нь илүү ашигтай юу вэ гэдгийг бодоорой. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Мэдээжийн хэрэг, энэ хичээлийн ихэнх хариултыг ялгах замаар шалгахад хялбар гэдгийг мартаж болохгүй!

Үзсэн жишээнүүд нь хамгийн төвөгтэй биш байсан. Практикт интеграл нь тогтмол нь экспонент болон тригонометрийн функцийн аргументад хоёуланд нь байх үед илүү түгээмэл байдаг, жишээ нь: . Ийм интегралд олон хүн төөрөлдөх болно, би өөрөө ихэвчлэн эргэлздэг. Уусмал дахь фракцууд гарч ирэх магадлал өндөр байдаг нь анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ямар нэг зүйлийг алдах нь маш амархан байдаг. Нэмж дурдахад, тэмдгээр алдаа гарах магадлал өндөр байдаг бөгөөд энэ нь нэмэлт бэрхшээлийг үүсгэдэг.

Эцсийн шатанд үр дүн нь ихэвчлэн дараах байдалтай байдаг.

Шийдлийн төгсгөлд ч гэсэн та маш болгоомжтой байж, фракцуудыг зөв ойлгох хэрэгтэй.

Комплекс бутархайг нэгтгэх

Бид хичээлийн экватор руу аажмаар ойртож, бутархайн интегралуудыг авч үзэж эхэлдэг. Дахин хэлэхэд, тэд бүгд маш нарийн төвөгтэй биш, зүгээр л нэг шалтгааны улмаас жишээнүүд нь бусад нийтлэлд бага зэрэг "сэдвээс гадуур" байсан.

Үндэсийн сэдвийг үргэлжлүүлж байна

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол

Үндэс дор хуваагч дээр квадрат гурвалсан ба язгуурын гадна талд “X” хэлбэртэй “хавсралт” байна. Энэ төрлийн интегралыг стандарт орлуулалт ашиглан шийдэж болно.

Бид шийднэ:

Энд орлуулах нь энгийн:

Солигдсоны дараах амьдралыг харцгаая:

(1) Орлуулсны дараа бид хүртэл бууруулна нийтлэг хуваагчүндэс дор байгаа нэр томъёо.
(2) Бид үүнийг үндэснээс нь гаргаж авдаг.
(3) Тоолуур ба хуваагчийг -аар багасгасан. Үүний зэрэгцээ, үндэс дор би нөхцөлүүдийг тохиромжтой дарааллаар дахин зохион байгуулав. Зарим туршлагатай бол тайлбар хийсэн үйлдлүүдийг амаар гүйцэтгэх замаар (1), (2) алхмуудыг алгасаж болно.
(4) Хичээлээс санаж байгаагаар үүссэн интеграл Зарим бутархайг нэгтгэх, шийдвэрлэж байна дөрвөлжин олборлох бүрэн арга. Бүрэн квадратыг сонгоно уу.
(5) Интегралчлалаар бид ердийн "урт" логарифмийг олж авдаг.
(6) Бид урвуу солих ажлыг гүйцэтгэдэг. Хэрэв эхэндээ , дараа нь буцаж: .
(7) Эцсийн үйлдэл нь үр дүнг засахад чиглэгддэг: язгуурын дор бид нэр томъёог дахин нийтлэг хуваагч руу авчирч, үндэснээс нь гаргаж авдаг.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд ганц "X" дээр тогтмолыг нэмсэн бөгөөд орлуулах нь бараг ижил байна:

Таны нэмэлтээр хийх ёстой цорын ганц зүйл бол орлуулалтаас "x" -ийг илэрхийлэх явдал юм.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Заримдаа ийм интегралд язгуур дор квадрат бином байж болох бөгөөд энэ нь шийдлийн аргыг өөрчилдөггүй, бүр илүү хялбар байх болно. Ялгааг мэдэр:

Жишээ 11

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 12

Тодорхойгүй интегралыг ол

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариултууд. Жишээ 11 нь яг таарч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй бином интеграл, шийдвэрлэх аргыг ангид хэлэлцсэн Иррационал функцүүдийн интегралууд.

2-р зэрэглэлийн задрахгүй олон гишүүнтийн интеграл

(хүлээгчийн олон гишүүнт)

Интегралын илүү ховор төрөл боловч практик жишээн дээр тааралддаг.

Жишээ 13

Тодорхойгүй интегралыг ол

Гэхдээ азтай 13 дугаартай жишээ рүү буцъя (үнэнийг хэлэхэд би буруу таамаглаагүй). Энэ интеграл нь хэрвээ та хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байгаа бол маш их урам хугарах зүйлүүдийн нэг юм.

Шийдэл нь хиймэл өөрчлөлтөөс эхэлдэг:

Хүн бүр тоологчийг хуваагч гишүүнээр хуваахыг аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна.

Үүссэн интегралыг дараах хэсгүүдэд хуваана.

( – натурал тоо) хэлбэрийн интегралын хувьд бид гаргаж авдаг давтагдахбууруулах томъёо:
, Хаана - интеграл нэг градусаар бага.

Шийдвэрлэсэн интегралын хувьд энэ томьёо зөв эсэхийг шалгацгаая.
Энэ тохиолдолд: , , бид томъёог ашиглана:

Таны харж байгаагаар хариултууд ижил байна.

Жишээ 14

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Загварын шийдэл нь дээрх томъёог хоёр удаа дараалан ашигладаг.

Хэрэв зэрэгтэй бол хуваагдашгүйдөрвөлжин гурвалсан, дараа нь төгс квадратыг тусгаарлах замаар уусмалыг бином болгон бууруулна, жишээлбэл:

Тоолуурт нэмэлт олон гишүүнт байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд тодорхойгүй коэффициентийн аргыг хэрэглэж, интеграл функцийг бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ. Гэхдээ миний практикт ийм жишээ байдаг хэзээ ч уулзаагүйтиймээс би үүнийг алдсан энэ хэрэгнийтлэлд Бутархай-рационал функцүүдийн интеграл, Би үүнийг одоо алгасах болно. Хэрэв та ийм интегралтай тулгарсан хэвээр байгаа бол сурах бичгийг хараарай - тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Материалыг (энгийн ч гэсэн) оруулахыг зөвлөдөггүй гэж би бодож байна, учирч болох магадлал нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Нарийн төвөгтэй тригонометрийн функцуудыг нэгтгэх

Ихэнх жишээнүүдийн "төвөгтэй" гэсэн нэр томъёо нь дахин үндсэн нөхцөлтэй байдаг. Доторх шүргэгч ба котангентуудаас эхэлье өндөр зэрэгтэй. Ашигласан шийдвэрлэх аргын үүднээс авч үзвэл тангенс ба котангенс нь бараг ижил зүйл тул би тангенсийн талаар илүү их ярих болно, энэ нь интегралыг шийдэх үзүүлсэн арга нь котангентын хувьд ч хүчинтэй гэдгийг илтгэнэ.

Дээрх хичээл дээр бид үзсэн бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт-аас тодорхой төрлийн интегралыг шийдвэрлэх тригонометрийн функцууд. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын сул тал нь түүнийг ашигласнаар тооцоолол хийхэд хүндрэлтэй, төвөгтэй интеграл үүсдэг. Мөн зарим тохиолдолд бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтаас зайлсхийх боломжтой!

Нэгийн интегралыг синусаар хуваасан өөр нэг каноник жишээг авч үзье.

Жишээ 17

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энд та бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглаж, хариултыг авч болно, гэхдээ илүү оновчтой арга бий. Би алхам бүрийн тайлбар бүхий бүрэн шийдлийг өгөх болно:

(1) Бид давхар өнцгийн синусын тригонометрийн томьёог ашигладаг.
(2) Бид зохиомол хувиргалт хийдэг: хуваарьт хувааж, -ээр үржүүлнэ.
(3) Бид хуваагч дахь сайн мэддэг томьёог ашиглан бутархайг шүргэгч болгон хувиргана.
(4) Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг.
(5) Интегралыг ав.

Хос энгийн жишээнүүдбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 18

Тодорхойгүй интегралыг ол

Анхаар: Хамгийн эхний алхам бол багасгах томъёог ашиглах явдал юм өмнөх жишээтэй төстэй үйлдлүүдийг болгоомжтой хийх хэрэгтэй.

Жишээ 19

Тодорхойгүй интегралыг ол

За, энэ бол маш энгийн жишээ юм.

Хичээлийн төгсгөлд шийдлүүд болон хариултуудыг бөглөнө үү.

Одоо хэн ч интегралтай холбоотой асуудал гарахгүй гэж би бодож байна:
гэх мэт.

Аргын санаа юу вэ? Гол санаа нь хувиргалтыг ашиглан, тригонометрийн томъёозөвхөн шүргэгч ба шүргэгчийн деривативыг интегралд зохион байгуул. Энэ нь, бид ярьж байнасолих тухай: . 17-19-р жишээн дээр бид энэ орлуулалтыг ашигласан боловч интегралууд нь маш энгийн байсан тул функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулснаар ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэсэн.

Би дээр дурдсанчлан ижил төстэй үндэслэлийг котангентын хувьд хийж болно.

Дээрх орлуулалтыг хэрэглэх албан ёсны урьдчилсан нөхцөл бас бий.

Косинус ба синусын зэрэглэлийн нийлбэр нь сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо юм, Жишээ нь:

интегралын хувьд – сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо.

! Анхаарна уу : хэрэв интегралд ЗӨВХӨН синус эсвэл ЗӨВХӨН косинус байвал интегралыг мөн сөрөг сондгой градусаар авна (хамгийн энгийн тохиолдлууд жишээ №17, 18-д байна).

Энэ дүрмийн дагуу хэд хэдэн илүү утга учиртай ажлыг авч үзье:

Жишээ 20

Тодорхойгүй интегралыг ол

Синус ба косинусын зэрэглэлийн нийлбэр: 2 – 6 = –4 нь сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо бөгөөд энэ нь интегралыг шүргэгч болон түүний дериватив болгон бууруулж болно гэсэн үг юм.

(1) хуваагчийг өөрчилье.
(2) Бид сайн мэддэг томьёог ашиглан .
(3) Хусагчийг өөрчилье.
(4) Бид томъёог ашигладаг .
(5) Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг.
(6) Бид солих ажлыг гүйцэтгэдэг. Илүү туршлагатай оюутнууд орлуулалтыг хийхгүй байж болох ч шүргэгчийг нэг үсгээр солих нь дээр - төөрөлдөх эрсдэл бага байдаг.

Жишээ 21

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Түр хүлээгээрэй, аваргын тойргууд эхлэх гэж байна =)

Ихэнхдээ интеграл нь "hodgepodge" -ийг агуулдаг:

Жишээ 22

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэхүү интеграл нь эхлээд шүргэгчийг агуулдаг бөгөөд энэ нь тэр даруй аль хэдийн танил бодолд хүргэдэг:

Бүх зүйлийг дээр дурдсан тул би хиймэл өөрчлөлтийг эхэнд нь, үлдсэн алхмуудыг тайлбаргүйгээр орхих болно.

Өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн бүтээлч жишээ:

Жишээ 23

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 24

Тодорхойгүй интегралыг ол

Тийм ээ, тэдгээрт мэдээжийн хэрэг та синус ба косинусын хүчийг бууруулж, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглаж болно, гэхдээ шүргэгчээр дамжуулан шийдвэл илүү үр дүнтэй, богино байх болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариултууд

Та x антидеривативын үндэсийг хайсан уу? . Тодорхойлолт, тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл нь хамгийн төвөгтэй асуудлыг ч ойлгоход тань туслах бөгөөд язгуур x-ийн интеграл нь үл хамаарах зүйл биш юм. Бид танд гэрийн даалгавар, шалгалт, олимпиад, мөн их сургуульд элсэн ороход бэлтгэхэд тань туслах болно.

Ямар ч жишээ, ямар ч математикийн асуулгыг оруулсан бай, бидэнд шийдэл байгаа.

Жишээлбэл, "х нь x-ийн үндэс нь эсрэг дериватив юм."

Та манай вэб сайтаас x антидеривативын үндэс x асуудлыг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та бас харж болно видео зааварМөн манай вэбсайтад даалгавраа хэрхэн зөв оруулах талаар суралцаарай. Хэрэв танд асуулт байгаа бол тооцоолуур хуудасны зүүн доод талд байгаа чатаас асууж болно.

Эсрэг дериватив функцийн тодорхойлолт

• Чиг үүрэг y=F(x)функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг y=f(x)өгөгдсөн интервалд X,хэрэв хүн бүрт X ∈Xтэгш байдлыг хангана: F′(x) = f(x)

Хоёр аргаар уншиж болно:

1. е функцийн дериватив Ф
2. Ф функцийн эсрэг дериватив е

Эсрэг деривативуудын өмч

• Хэрэв F(x)- функцийн эсрэг дериватив f(x)өгөгдсөн интервал дээр f(x) функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай бөгөөд эдгээр бүх эсрэг деривативуудыг хэлбэрээр бичиж болно. F(x) + C, энд C нь дурын тогтмол юм.

Геометрийн тайлбар

• Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын графикууд f(x)аль нэг эсрэг деривативын графикаас олж авна зэрэгцээ шилжүүлэг O тэнхлэгийн дагуу цагт.

Антидеривативыг тооцоолох дүрэм

1. Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв F(x)- эсрэг дериватив f(x), мөн G(x) нь эсрэг дериватив юм g(x), Тэр F(x) + G(x)- эсрэг дериватив f(x) + g(x).
2. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно. Хэрэв F(x)- эсрэг дериватив f(x), Мөн к- тогтмол, тэгвэл k·F(x)- эсрэг дериватив k f(x).
3. Хэрэв F(x)- эсрэг дериватив f(x), Мөн к, б- тогтмол, ба k ≠ 0, Тэр 1/к F(kx + b)- эсрэг дериватив f(kx + b).

Санаж байна уу!

Аливаа функц F(x) = x 2 + C , энд C нь дурын тогтмол бөгөөд зөвхөн ийм функц нь функцийн эсрэг дериватив юм f(x) = 2x.

• Жишээ нь:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,учир нь F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,учир нь F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Функцийн график ба түүний эсрэг дериватив хоорондын хамаарал:

1. Хэрэв функцийн график бол f(x)>0интервал дээр, дараа нь түүний эсрэг деривативын график F(x)Энэ интервалд нэмэгддэг.
2. Хэрэв функцийн график бол f(x) интервал дээр, дараа нь түүний эсрэг деривативын график F(x)Энэ интервалд буурдаг.
3. Хэрэв f(x)=0, дараа нь түүний эсрэг деривативын график F(x)Энэ үед нэмэгдэхээс буурах хүртэл (эсвэл эсрэгээр) өөрчлөгддөг.

Эсрэг деривативыг тэмдэглэхийн тулд тодорхойгүй интегралын тэмдгийг, өөрөөр хэлбэл интегралын хязгаарыг заагаагүй интегралыг ашигладаг.

Тодорхой бус интеграл

Тодорхойлолт:

• f(x) функцийн тодорхойгүй интеграл нь F(x) + C илэрхийлэл, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог юм. Тодорхой бус интегралыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- интеграл функц гэж нэрлэдэг;
• f(x) dx- интеграл гэж нэрлэдэг;
• x- интеграцийн хувьсагч гэж нэрлэдэг;
• F(x)- f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг;
• ХАМТ- дурын тогтмол.

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Интегралын тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно. \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр функцүүдийн интегралуудын (ялгаанууд): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Хэрэв к, бтогтмолууд ба k ≠ 0, тэгвэл \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интегралын хүснэгт

Чиг үүрэг f(x)	Эсрэг дериватив F(x) + C	Тодорхой бус интегралууд \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\биш =-1	F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt ( x )	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt ( x ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) )	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) )	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) )	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) )	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 )	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Ньютон-Лейбницийн томъёо

Болъё f(x)энэ функц Фтүүний дурын эсрэг дериватив.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( б )= F(b) - F(a)

Хаана F(x)- эсрэг дериватив f(x)

Энэ нь функцийн интеграл юм f(x)интервал дээрх цэгүүдийн эсрэг деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байна бТэгээд а.

Муруй трапецын талбай

Муруй шугаман трапец интервал дээр сөрөг бус, тасралтгүй байх функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрс юм е, Үхрийн тэнхлэг ба шулуун шугамууд x = aТэгээд x = b.

Муруй трапецын талбайг Ньютон-Лейбницийн томъёогоор олно.

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx