k ба b илтгэлцүүрүүдийн тэмдгүүдийн харилцан хамаарал. ТЕГ

5. МономиалТоон ба цагаан толгойн хүчин зүйлийн үржвэрийг нэрлэдэг. Коэффицентмономиалын тоон хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.

6. Мономиал бичихийн тулд стандарт хэлбэр, шаардлагатай: 1) Тоон хүчин зүйлийг үржүүлж, тэдгээрийн бүтээгдэхүүнийг эхний байранд тавих; 2) Ижил суурьтай хүчийг үржүүлж, үр дүнгийн үржвэрийг тоон хүчин зүйлийн ард байрлуулна.

7. Олон гишүүнт гэж нэрлэдэг алгебрийн нийлбэрхэд хэдэн мономиалууд.

8. Нэг гишүүнийг олон гишүүнтээр үржүүлэх,Та мономийг олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй.

9. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд,Нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг өөр олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай.

10. Дурын хоёр цэгээр дамжуулан та шулуун шугам зурж болно, зөвхөн нэг.

11. Хоёр шулуун эсвэл зөвхөн нэг шугамтай нийтлэг цэг, эсвэл нийтлэг зүйл байхгүй.

12. Хоёр геометрийн дүрсийг давхцуулж нэгтгэж чадвал тэнцүү гэж нэрлэдэг.

13. Хэсэгийг хагас буюу тэнцүү хоёр сегмент болгон хуваах цэгийг сегментийн дунд цэг гэнэ.

14. Өнцгийн оройноос гарч түүнийг хоёр хуваах туяа тэнцүү өнцөг, өнцгийн биссектрис гэж нэрлэдэг.

15. Эргэлтийн өнцөг нь 180 ° байна.

16. 90°-тай тэнцүү бол өнцгийг зөв гэж нэрлэдэг.

17. Өнцөг нь 90 ° -аас бага, өөрөөр хэлбэл зөв өнцгөөс бага байвал хурц өнцөг гэж нэрлэдэг.

18. Өнцөг нь 90°-аас их, гэхдээ 180°-аас бага, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгөөс их, харин шулуун өнцгөөс бага байвал өнцгийг мохоо гэнэ.

19. Нэг тал нь нийтлэг, нөгөө хоёр нь бие биенийхээ үргэлжлэл байдаг хоёр өнцгийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.

20. Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° байна.

21. Хэрэв нэг өнцгийн талууд нь нөгөөгийн талуудын үргэлжлэл бол хоёр өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг.

22. Босоо өнцөг нь тэнцүү байна.

23. Хоёр огтлолцсон шугамыг перпендикуляр (эсвэл харилцан

перпендикуляр) хэрэв тэдгээр нь дөрвөн зөв өнцгийг үүсгэдэг бол.

24. Гурав дахь перпендикуляр хоёр шугам огтлолцохгүй.

25. Олон гишүүнт хүчин зүйлс- хэд хэдэн мономиал олон гишүүнтийн үржвэр хэлбэрээр дүрслэхийг хэлнэ.

26. Олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах аргууд:

a) нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах;

б) үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах;

в) бүлэглэх арга.

27. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж олон гишүүнт хүчин зүйл болгохын тулд танд хэрэгтэй:

a) энэ нийтлэг хүчин зүйлийг олох,

б) хаалтнаас гаргаж авах;

в) олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг энэ хүчин зүйлд хувааж, үр дүнг нэмнэ.

Гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

1) Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь өөр гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү бол ийм гурвалжин нь тэнцүү байна.

2) Хэрэв нэг гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь өөр гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй тэнцүү байвал ийм гурвалжнууд хоорондоо тохирно.

3) Хэрэв нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай тэнцүү бол ийм гурвалжнууд нь тэнцүү байна.

Боловсролын доод хэмжээ

1. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан үржүүлэх:

a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2)

2. Үржүүлэх товчилсон томъёо:

(a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

(a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

3. Гурвалжны оройг эсрэг талын дунд цэгтэй холбосон хэрчмийг гэнэ дундажгурвалжин.

4. Гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг. өндөргурвалжин.

5. IN тэгш өнцөгт гурвалжинСуурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

6. Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь руу татсан биссектрис нь дундаж ба өндөр юм.

7. Тойрогдуудсан геометрийн дүрс, дээр байрлах онгоцны бүх цэгүүдээс бүрддэг өгөгдсөн зайэнэ цэгээс.

8. Тойрог дээрх дурын цэгтэй төвийг холбосон сегментийг дуудна радиустойрог .

9. Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегментийг нэрлэдэг хөвч.

Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэг диаметр

10. Шууд пропорциональ байдал y = kx , Хаана X - бие даасан хувьсагч; руу - тэг биш тоо ( руу - пропорциональ коэффициент).

11. Шууд пропорционалийн графиккоординатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

12. Шугаман функцтомъёогоор өгч болох функц юм y = kx + b , Хаана X - бие даасан хувьсагч; руу Тэгээд б - зарим тоо.

13. Шугаман функцийн график- энэ бол шулуун шугам юм.

14 X – функцийн аргумент (бие даасан хувьсагч)

цагт – функцийн утга (хамааралтай хувьсагч)

15. At b=0функц хэлбэрийг авдаг y=kx, түүний график эх үүсвэрээр дамждаг.

At k=0функц хэлбэрийг авдаг y=b, түүний график нь цэгийг дайран өнгөрөх хэвтээ шугам юм ( 0;б).

Шугаман функцийн графикууд ба k ба b илтгэлцүүрүүдийн тэмдгүүдийн харилцан хамаарал

1. Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамыг гэнэ зэрэгцээ,Хэрэв тэд огтлолцохгүй бол.

Шугаман функц нь y=kx+b хэлбэрийн функц бөгөөд x нь бие даасан хувьсагч, k ба b нь дурын тоо юм.
Шугаман функцийн график нь шулуун шугам юм.

1. Бариулахын тулд функцийн график, Бидэнд функцийн графикт хамаарах хоёр цэгийн координат хэрэгтэй. Тэдгээрийг олохын тулд та хоёр х утгыг авч, функцийн тэгшитгэлд орлуулж, харгалзах у утгыг тооцоолоход ашиглах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, y= x+2 функцийн графикийг зурахдаа x=0 ба x=3 гэж авах нь тохиромжтой, тэгвэл эдгээр цэгүүдийн ординатууд y=2 ба y=3-тай тэнцүү болно. Бид A(0;2) ба B(3;3) оноо авдаг. Тэдгээрийг холбож, y= x+2 функцийн графикийг авъя:

2. y=kx+b томъёонд k тоог пропорциональ коэффициент гэж нэрлэдэг.
k>0 бол y=kx+b функц нэмэгдэнэ
хэрэв к
B коэффициент нь OY тэнхлэгийн дагуу функцийн графикийн шилжилтийг харуулна.
b>0 бол OY тэнхлэгийн дагуу b нэгжийг дээш шилжүүлснээр y=kx+b функцийн графикаас y=kx функцийн график гарна.
хэрэв b
Доорх зурагт y=2x+3 функцуудын графикуудыг харуулав; y= ½ x+3; y=x+3

Эдгээр бүх функцэд k коэффициент байгааг анхаарна уу тэгээс ихмөн функцүүд нь нэмэгдэж байна.Түүнээс гадна, илүү илүү үнэ цэнэ k, OX тэнхлэгийн эерэг чиглэл рүү шулуун шугамын налуугийн өнцөг их байх болно.

Бүх функцэд b=3 - ба бүх графикууд (0;3) цэг дээр OY тэнхлэгийг огтолж байгааг бид харж байна.

Одоо y=-2x+3 функцуудын графикуудыг авч үзье; y=- ½ x+3; y=-x+3

Энэ удаад бүх функцэд коэффициент k тэгээс багаболон функцууд буурч байна.Коэффицент b=3, графикууд нь өмнөх тохиолдлын адил OY тэнхлэгийг (0;3) цэг дээр огтолж байна.

y=2x+3 функцуудын графикуудыг авч үзье; y=2x; y=2x-3

Одоо бүх функцийн тэгшитгэлд k коэффициентүүд 2-той тэнцүү байна. Мөн бид гурван зэрэгцээ шугам авсан.

Гэхдээ b коэффициентүүд өөр бөгөөд эдгээр графикууд нь OY тэнхлэгийг өөр өөр цэгээр огтолж байна.
y=2x+3 (b=3) функцийн график нь OY тэнхлэгийг (0;3) цэг дээр огтолж байна.
y=2x (b=0) функцийн график нь OY тэнхлэгийг (0;0) цэг - эх цэг дээр огтолж байна.
y=2x-3 (b=-3) функцийн график нь OY тэнхлэгийг (0;-3) цэг дээр огтолж байна.

Тэгэхээр хэрэв бид k ба b коэффициентүүдийн тэмдгүүдийг мэдэж байвал y=kx+b функцийн график ямар байхыг шууд төсөөлж болно.
Хэрэв k 0

Хэрэв k>0 ба b>0 y=kx+b функцийн график дараах байдалтай байна.

Хэрэв k>0 ба b y=kx+b функцийн график дараах байдалтай байна.

Хэрэв k бол y=kx+b функцийн график дараах байдалтай байна.

Хэрэв k=0, тэгвэл y=kx+b функц y=b функц болж хувирах ба график нь дараах байдалтай байна.

y=b функцийн графикийн бүх цэгийн ординатууд b If-тэй тэнцүү байна b=0, тэгвэл y=kx (шууд пропорциональ) функцийн график эхийг дайран өнгөрнө:

3. x=a тэгшитгэлийн графикийг тусад нь тэмдэглэе.Энэ тэгшитгэлийн график нь OY тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам бөгөөд түүний бүх цэгүүд абсцисса x=a байна.

Жишээлбэл, x=3 тэгшитгэлийн график дараах байдалтай байна.
Анхаар! x=a тэгшитгэл нь функц биш тул нэг аргументын утга тохирч байна өөр өөр утгатайфункцийн тодорхойлолттой тохирохгүй функцууд.

4. Хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл:

y=k 1 x+b 1 функцийн график нь k 1 =k 2 бол y=k 2 x+b 2 функцийн графиктай параллель байна.

5. Хоёр шулуун перпендикуляр байх нөхцөл:

y=k 1 x+b 1 функцийн график нь k 1 *k 2 =-1 эсвэл k 1 =-1/k 2 бол y=k 2 x+b 2 функцийн графиктай перпендикуляр байна.

6. y=kx+b функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд.

OY тэнхлэгтэй. OY тэнхлэгт хамаарах аливаа цэгийн абсцисса нь тэгтэй тэнцүү байна. Иймд OY тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олохын тулд функцийн тэгшитгэлд x-ийн оронд тэгийг орлуулах хэрэгтэй. Бид y=b-г авна. Өөрөөр хэлбэл, OY тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0; b).

OX тэнхлэгтэй: OX тэнхлэгт хамаарах аливаа цэгийн ординат тэг байна. Иймд OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олохын тулд функцийн тэгшитгэлд y-ийн оронд тэгийг орлуулах хэрэгтэй. Бид 0=kx+b болно. Иймээс x=-b/k. Өөрөөр хэлбэл, OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (-b/k;0):

Шугаман функц нь бүх бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогдсон y = kx + b хэлбэрийн функц юм. Энд k нь налуу (бодит тоо), b нь огтлолцол (бодит тоо), x нь бие даасан хувьсагч юм.

Тодорхой тохиолдолд хэрэв k = 0 бол бид тогтмол y = b функцийг олж авах бөгөөд түүний график нь координаттай (0; b) цэгийг дайран өнгөрөх Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм.

Хэрэв b = 0 бол бид шууд пропорциональ болох y = kx функцийг авна.

Коэффициент b-ийн геометрийн утга нь шулуун шугамын Oy тэнхлэгийн дагуу огтолж буй сегментийн уртыг гарал үүслээс нь тоолох явдал юм.

k коэффициентийн геометрийн утга нь цагийн зүүний эсрэг тооцоолсон Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэл рүү шулуун шугамын хазайлтын өнцөг юм.

Шугаман функцийн шинж чанарууд:

1) Шугаман функцийг тодорхойлох муж нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг юм;

2) Хэрэв k ≠ 0 бол шугаман функцийн утгын муж нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг болно. Хэрэв k = 0 бол шугаман функцийн утгын муж нь b тооноос бүрдэнэ;

3) Шугаман функцийн тэгш ба сондгой байдал нь k ба b коэффициентүүдийн утгаас хамаарна.

a) b ≠ 0, k = 0, тиймээс у = b - тэгш;

b) b = 0, k ≠ 0, тиймээс y = kx - сондгой;

в) b ≠ 0, k ≠ 0, тиймээс y = kx + b нь ерөнхий хэлбэрийн функц;

d) b = 0, k = 0, тиймээс у = 0 нь тэгш ба сондгой функц юм.

4) Шугаман функц нь үечилсэн шинж чанартай байдаггүй;

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, тиймээс (-b/k; 0) нь х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.

Oy: y = 0k + b = b, тиймээс (0; b) нь ординаттай огтлолцох цэг юм.

Тайлбар: Хэрэв b = 0 ба k = 0 бол y = 0 функц нь x хувьсагчийн дурын утгын хувьд алга болно. Хэрэв b ≠ 0 ба k = 0 бол y = b функц нь x хувьсагчийн аль ч утгын хувьд алга болохгүй.

6) Тогтмол тэмдгийн интервалууд нь k коэффициентээс хамаарна.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - эерэг x-ийн (-b/k; +∞),

y = kx + b - (-∞; -b/k) -ийн x-ийн хувьд сөрөг.

б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - эерэг x үед (-∞; -b/k),

y = kx + b - сөрөг (-b/k; +∞).

в) k = 0, b > 0; y = kx + b нь бүх тодорхойлолтын хүрээнд эерэг,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Шугаман функцийн монотон байдлын интервалууд нь k коэффициентээс хамаарна.

k > 0, тиймээс y = kx + b нь тодорхойлолтын бүх муж даяар нэмэгддэг,

к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Шугаман функцийн график нь шулуун шугам юм. Шулуун шугам барихын тулд хоёр цэгийг мэдэхэд хангалттай. Шугамын байрлал дээр координатын хавтгай k ба b коэффициентүүдийн утгаас хамаарна. Үүнийг тодорхой харуулсан хүснэгтийг доор үзүүлэв, Зураг 1. (Зураг 1)

Жишээ: Дараах шугаман функцийг авч үзье: y = 5x - 3.

3) Ерөнхий чиг үүрэг;

4) Тогтмол бус;

5) Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:

Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, тиймээс (3/5; 0) нь x тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.

Ой: у = -3, тиймээс (0; -3) ординаттай огтлолцох цэг;

6) y = 5x - 3 - эерэг (3/5; +∞),

y = 5x - 3 - сөрөг (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд нэмэгддэг;

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Практикаас харахад квадрат функцийн шинж чанар, график дээрх даалгавар нь ноцтой хүндрэл учруулдаг. Энэ нь нэлээд хачирхалтай, учир нь тэд 8-р ангидаа квадрат функцийг судалж, дараа нь 9-р ангийн 1-р улиралд параболын шинж чанарыг "тарчлан", янз бүрийн параметрийн графикийг бүтээдэг.

Энэ нь оюутнуудыг парабол барихыг албадахдаа графикийг "унших" цагийг бараг зориулдаггүй, өөрөөр хэлбэл зургаас хүлээн авсан мэдээллийг ойлгох дасгал хийдэггүйтэй холбоотой юм. Арав, хоёр график байгуулсны дараа ухаалаг оюутан өөрөө томьёо дахь коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг олж, томъёолно гэж таамаглаж байгаа бололтой. гадаад төрхграфик. Практикт энэ нь ажиллахгүй байна. Ийм ерөнхий дүгнэлт гаргахын тулд математикийн мини-судалгааны ноцтой туршлага шаардлагатай бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг есдүгээр ангийн ихэнх хүүхдүүдэд байдаггүй. Үүний зэрэгцээ Улсын мэргэжлийн хяналтын газраас хуваарийн дагуу коэффициентийн тэмдгийг тодорхойлохыг санал болгож байна.

Бид сургуулийн сурагчдаас боломжгүй зүйлийг шаардахгүй бөгөөд ийм асуудлыг шийдэх алгоритмуудын аль нэгийг санал болгох болно.

Тэгэхээр, хэлбэрийн функц y = сүх 2 + bx + cквадрат гэж нэрлэгддэг, түүний график нь парабол юм. Нэрнээс нь харахад гол нэр томъёо нь сүх 2. Тэр нь Атэгтэй тэнцүү байх ёсгүй, үлдсэн коэффициентүүд ( бТэгээд -тай) тэгтэй тэнцүү байж болно.

Түүний коэффициентүүдийн шинж тэмдгүүд нь параболын харагдах байдалд хэрхэн нөлөөлж байгааг харцгаая.

Коэффициентийн хамгийн энгийн хамаарал А. Ихэнх сургуулийн хүүхдүүд итгэлтэйгээр хариулдаг: "Хэрэв А> 0, дараа нь параболын мөчрүүд дээш чиглэсэн, хэрэв А < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой А > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

IN энэ тохиолдолд А = 0,5

Тэгээд одоо А < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

Энэ тохиолдолд А = - 0,5

Коэффициентийн нөлөөлөл -тайҮүнийг дагахад бас маш хялбар байдаг. Нэг цэг дээрх функцийн утгыг олохыг хүсч байна гэж төсөөлье X= 0. Томъёонд тэгийг орлуулна.

y = а 0 2 + б 0 + в = в. Энэ нь харагдаж байна у = в. Тэр нь -тайпараболын у тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн ординат юм. Ерөнхийдөө энэ цэгийг график дээрээс олоход хялбар байдаг. Мөн тэгээс дээш эсвэл доор байгаа эсэхийг тодорхойлно. Тэр нь -тай> 0 эсвэл -тай < 0.

-тай > 0:

y = x 2 + 4x + 3

-тай < 0

y = x 2 + 4x - 3

Үүний дагуу хэрэв -тай= 0, тэгвэл парабола гарал үүслээр дамжих ёстой:

y = x 2 + 4x

Параметрийн хувьд илүү хэцүү байдаг б. Бид үүнийг олох цэг нь зөвхөн үүнээс хамаарна бгэхдээ бас А. Энэ бол параболын дээд хэсэг юм. Түүний абсцисса (тэнхлэгийн координат X) томъёогоор олно x in = - b/(2a). Тиймээс, b = - 2ax in. Өөрөөр хэлбэл, бид дараах байдлаар ажиллана: бид график дээр параболын оройг олж, түүний абсцисса тэмдгийг тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл бид тэгээс баруун тийш харна ( x in> 0) эсвэл зүүн талд ( x in < 0) она лежит.

Гэсэн хэдий ч энэ нь бүгд биш юм. Мөн коэффициентийн тэмдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй А. Өөрөөр хэлбэл, параболын мөчрүүд хаашаа чиглэж байгааг хараарай. Үүний дараа л томъёоны дагуу b = - 2ax inтэмдгийг тодорхойлно б.

Нэг жишээг харцгаая:

Салбарууд нь дээшээ чиглэсэн байдаг бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм А> 0 бол парабол тэнхлэгийг огтолно цагттэгээс доош гэсэн үг -тай < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Тэгэхээр b = - 2ax in = -++ = -. б < 0. Окончательно имеем: А > 0, б < 0, -тай < 0.

"Слайдад зориулсан зураг" - "Мультимедиа технологийн ертөнц" нэмэлт хичээл. Слайд дээрх зураг. C) та хулганаар дундаас нь барьж зурсан зургийг шилжүүлж болно. Слайд дээр зураг оруулах. Хотын захиргаа боловсролын байгууллагадундаж дунд сургууль No5. Мэдээллийн 95%-ийг хүн харааны эрхтнээр дамжуулан...

“Функц ба тэдгээрийн график” - 3. Шүргэх функц. Тригонометр. Функц нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. Тодорхойлолт: y = cos x томьёогоор өгөгдсөн тоон функцийг косинус гэнэ. 4. Котангентын функц. x = a цэгт функц байхгүй ч байж болно. Тодорхойлолт 1. y = f(x) функцийг интервал дээр тодорхойл.

"Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд" - Хамгийн агуу ба хамгийн бага утгафункцууд. Вейерштрассын теорем. Дотоод болон хилийн цэгүүд. 2 хувьсагчийн функцийн хязгаар. Функцийн график. Теорем. Тасралтгүй байдал. Хязгаарлагдмал талбай. Нээлттэй, хаалттай газар. Дээд зэрэглэлийн деривативууд. Хэсэгчилсэн дериватив. 2 хувьсагчтай функцийн хэсэгчилсэн өсөлт.

"Асфальт дээр 3D зураг зурах" - Курт 16 настайгаасаа Санта Барбара хотод анхны бүтээлээ туурвиж эхэлсэн бөгөөд тэрээр гудамжны урлагт донтсон. Асфальт дээрх 3D зураг. Курт Веннер бол энгийн өнгийн харандаа ашиглан асфальтан дээр 3D зураг зурдаг алдартай гудамжны зураачдын нэг юм. АНУ. Курт Веннер залуу байхдаа НАСА-д зураачаар ажиллаж, ирээдүйн сансрын хөлгүүдийн анхны зургийг бүтээжээ.

"Сэдвийн чиг үүрэг" - Хэрэв оюутнууд өөр өөрөөр ажилладаг бол багш тэдэнтэй өөрөөр ажиллах ёстой. Оюутан юу мэддэгийг биш, харин юу мэддэгийг нь олж мэдэх хэрэгтэй. Ерөнхий дүгнэлт. Синтез. Улсын нэгдсэн шалгалтын дүнматематикт. Нэмэлт сургалтын хөтөлбөр. Холбоо. Боловсролын болон сэдэвчилсэн төлөвлөгөө (24 цаг). Аналоги. Оюутан багшийг давж чадвал энэ нь багшийн аз жаргал юм.