Хавтгайн тэгшитгэл, хавтгайн тэгшитгэлийн төрлүүд. Хавтгай тэгшитгэл: ерөнхий, гурван цэгээр дамждаг, орон зай дахь ердийн хавтгай

ЛЕКЦ 6-7. Аналитик геометрийн элементүүд.

Гадаргуу ба тэдгээрийн тэгшитгэл.

Жишээ 1.

Бөмбөрцөг

Жишээ 2.

F(x,y,z)=0(*),

Энэ - гадаргуугийн тэгшитгэл

Жишээ:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

Онгоц.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл.

Сансарт байгаа онгоцыг авч үзье. M 0 (x 0, y 0, z 0) нь P хавтгайн өгөгдсөн цэг, хавтгайд перпендикуляр вектор ( хэвийн вектор онгоц).

(1) – хавтгайн вектор тэгшитгэл.

Координат хэлбэрээр:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бид олж авсан.

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

(2) дахь хаалтуудыг нээцгээе: Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 эсвэл

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Хавтгайн үр дүнд үүссэн тэгшитгэл шугаман, өөрөөр хэлбэл x, y, z координатуудын 1-р зэргийн тэгшитгэл. Тиймээс онгоц нэгдүгээр зэрэглэлийн гадаргуу .

Мэдэгдэл: x,y,z-тэй холбоотой шугаман тэгшитгэл нь хавтгайг тодорхойлно.

Аливаа онгоц m.b. гэж нэрлэдэг (3) тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

Ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. Учир нь O(0, 0, 0) цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангавал түүгээр заасан хавтгай эхийг дайран өнгөрнө.

b) C=0: Ax + By + D = 0. Энэ тохиолдолд хавтгайн хэвийн вектор Тиймээс онгоц, тэгшитгэлээр өгөгдсөн OZ тэнхлэгтэй параллель.

в) C=D=0: Ax + By = 0. Хавтгай нь OZ тэнхлэгтэй параллель (C=0 тул) бөгөөд координатын эхийг дайран өнгөрдөг (D=0). Энэ нь OZ тэнхлэгээр дамждаг гэсэн үг юм.

d) B=C=0: Ax + D = 0 эсвэл . Вектор, өөрөөр хэлбэл. Мөн . Үүний үр дүнд онгоц нь OY ба OZ тэнхлэгтэй параллель байна, өөрөөр хэлбэл. YOZ хавтгайтай параллель байх ба цэгийг дайран өнгөрдөг .

Тохиолдлуудыг өөрөө авч үзье: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл.

Учир нь бүх дөрвөн цэг нь хавтгайд хамаарна, тэгвэл эдгээр векторууд хоорондоо уялдаатай, өөрөөр хэлбэл. тэдний холимог ажилтэгтэй тэнцүү:

Бид гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг олж авлаа вектор хэлбэрээр.

Координат хэлбэрээр:

(7)

Хэрэв бид тодорхойлогчийг өргөжүүлбэл хавтгайн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр авна.

Ax + By + Cz + D = 0.

Жишээ. M 1 (1,-1,0) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ;

M 2 (-2,3,1) ба M 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл

Өгчихье ерөнхий тэгшитгэлхавтгай Ax + By + Cz + D = 0 ба D ≠ 0, өөрөөр хэлбэл. онгоц эх үүсвэрийг дайран өнгөрдөггүй. Хоёр талыг хуваана -D: ба тэмдэглэнэ: ; ; . Дараа нь

хүлээн авсан сегмент дэх хавтгай тэгшитгэл .

a, b, c нь координатын тэнхлэгүүд дээр хавтгайгаар таслагдсан сегментүүдийн утгууд юм.

Жишээ 1. A(3, 0, 0) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ;

B(0, 2, 0) ба C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3, эсвэл 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Жишээ 2.Онгоцоор таслагдсан сегментүүдийн утгыг ол

Координатын тэнхлэгүүд дээр 4x – y – 3z – 12 = 0.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Ердийн хавтгай тэгшитгэл.

Тодорхой Q хавтгайг өгье. Координатын эхлэлээс хавтгайд перпендикуляр OP зур. |OP|=p ба вектор : . Хавтгайн одоогийн M(x, y, z) цэгийг авч : векторуудын скаляр үржвэрийг бодъё.

Хэрэв бид М цэгийг чиглэл рүү чиглүүлбэл P.T.O. цэг рүү хүрвэл тэгшитгэлийг авна.

(9).

Орон зайд шугам тавих.

Орон зай дахь L шугамыг хоёр гадаргуугийн огтлолцол гэж тодорхойлж болно. L шулуун дээр байрлах M(x, y, z) цэг нь Р1 гадаргуу ба Р2 гадаргууд хоёуланд нь хамаарагдана. Дараа нь энэ цэгийн координатууд нь хоёр гадаргуугийн тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тиймээс доор орон зай дахь L шугамын тэгшитгэл Тус бүр нь харгалзах гадаргуугийн тэгшитгэл болох хоёр тэгшитгэлийн багцыг ойлгох.

L шугам нь координат нь (*) дээрх хоёр тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийг агуулна. Дараа нь бид орон зайд шугамыг тодорхойлох өөр аргуудыг авч үзэх болно.

Цөөн хэдэн онгоц.

Бөөн онгоц– өгөгдсөн шулуун шугамыг дайран өнгөрөх бүх хавтгайн багц – цацрагийн тэнхлэг.

Онгоцны багцыг тодорхойлохын тулд түүний тэнхлэгийг тодорхойлоход хангалттай. Энэ шугамын тэгшитгэлийг өгье ерөнхий үзэл:

Цацрагийн тэгшитгэл бич- нэмэлт нөхцлөөр b.m-ээс бусад цацрагийн аль ч хавтгайн тэгшитгэлийг гаргаж болох тэгшитгэлийг бүрдүүлэх гэсэн үг юм. нэг. II тэгшитгэлийг l-ээр үржүүлээд I тэгшитгэлд нэмье.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) эсвэл

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – параметр – авч болох тоо бодит үнэ цэнэ. Сонгосон l-ийн аливаа утгын хувьд (1) ба (2) тэгшитгэлүүд нь шугаман байна, өөрөөр хэлбэл. Эдгээр нь тодорхой хавтгайн тэгшитгэл юм.

1. Бид танд үзүүлэх болноЭнэ хавтгай L цацрагийн тэнхлэгийг дайран өнгөрдөг. М 0 (x 0, y 0, z 0) дурын цэгийг ав L. Үүний үр дүнд M 0 P 1 ба M 0 P 2. гэсэн утгатай:

Иймээс (1) эсвэл (2) тэгшитгэлээр тодорхойлсон хавтгай нь цацрагт хамаарна.

2. Үүний эсрэгээр бас нотлогдож болно: шулуун шугамыг дайран өнгөрөх аливаа хавтгайг l параметрийн тохирох сонголтоор (1) тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Жишээ 1. x + y + 5z – 1 = 0 ба 2x + 3y – z + 2 = 0 хавтгайн огтлолцлын шугамаар M(3, 2, 1) цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Бид цацрагийн тэгшитгэлийг бичнэ: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. l-ийг олохын тулд бид M R-ийг харгалзан үзнэ.

Сансар огторгуйн аливаа гадаргууг бүх цэгүүдэд нийтлэг шинж чанартай цэгүүдийн локус гэж үзэж болно.

Жишээ 1.

Бөмбөрцөг – өгөгдсөн С цэгээс (төв) ижил зайд орших цэгүүдийн багц. С(x 0 ,y 0 ,z 0). Тодорхойлолтоор |CM|=R эсвэл . Энэ тэгшитгэл нь бөмбөрцгийн бүх цэгүүдэд хүчинтэй бөгөөд зөвхөн тэдгээрт хамаарна. Хэрэв x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0 бол .

Үүнтэй адилаар, хэрэв координатын системийг сонгосон бол ямар ч гадаргуу дээр тэгшитгэл үүсгэж болно.

Жишээ 2. x=0 – YOZ хавтгайн тэгшитгэл.

Гадаргуугийн геометрийн тодорхойлолтыг одоогийн цэгийн координатаар илэрхийлж, бүх нэр томъёог нэг хэсэгт цуглуулснаар бид хэлбэрийн тэгш байдлыг олж авна.

F(x,y,z)=0(*),

Энэ - гадаргуугийн тэгшитгэл , хэрэв гадаргуу дээрх бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгш байдлыг хангаж байгаа бол гадаргуу дээр хэвтээгүй цэгүүдийн координат хангадаггүй.

Тиймээс сонгосон координатын систем дэх гадаргуу бүр өөрийн тэгшитгэлтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч (*) хэлбэрийн тэгшитгэл бүр нь тодорхойлолтын утгаараа гадаргуутай тохирохгүй.

Жишээ:

2x – y + z – 3 = 0 (хавтгай)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 – ямар ч цэгийн координат хангагдахгүй.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – цорын ганц цэг (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – шулуун шугам (OZ тэнхлэг).

График арга. Координатын хавтгай (x;y)

Параметр бүхий тэгшитгэл нь ноцтой логик бэрхшээлийг үүсгэдэг. Ийм тэгшитгэл бүр нь үндсэндээ тэгшитгэлийн гэр бүлийн богино хувилбар юм. Хязгааргүй гэр бүлийн тэгшитгэл бүрийг бичих боломжгүй нь ойлгомжтой, гэхдээ тэдгээр нь тус бүрийг шийдэх ёстой. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол хувьсагчийн параметрээс хамаарлын график дүрслэлийг ашиглах явдал юм.

Хавтгай дээр функц нь параметрээс хамааран муруйн бүлгийг тодорхойлдог. Гэр бүлийн бусад муруй руу шилжихийн тулд ямар хавтгай хувиргалтыг ашиглаж болохыг бид сонирхох болно (харна уу, , , , , , ).

Зэрэгцээ шилжүүлэг

Жишээ. Параметрийн утга бүрийн хувьд тэгшитгэлийн шийдлүүдийн тоог тодорхойлно.

Шийдэл. Функцийн графикийг байгуулъя.

Ингээд авч үзье. Энэ нь OX тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм.

Хариулах. Хэрэв ямар ч шийдэл байхгүй;

хэрэв, дараа нь 3 шийдэл;

хэрэв, дараа нь 2 шийдэл;

Хэрэв, 4 шийдэл.

Эргээрэй

Муруйн гэр бүлийн сонголт нь монотон биш (асуудлуудаас ялгаатай), эс тэгвээс энэ нь адилхан гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй: бүх асуудалд - шулуун шугамууд. Түүнээс гадна эргэлтийн төв нь шулуун шугамд хамаарна.

Жишээ. Параметрийн ямар утгуудын хувьд тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй вэ?

Шийдэл. ба функцийг авч үзье. Хоёр дахь функцийн график нь координат ба радиус =1 цэгт төвтэй хагас тойрог юм (Зураг 2).

Арк AB.

OA ба OB хооронд дамжих бүх туяа нэг цэгт огтлолцдог ба OB ба OM (шүргэгч) мөн нэг цэгт огтлолцоно. OA болон OB өнцгийн коэффициентүүд тус тус тэнцүү байна. Шүргэгчийн налуу нь тэнцүү байна. Системээс амархан олно

Тиймээс шулуун гэр бүлүүд нь нумтай нэг л нийтлэг цэгтэй байдаг.

Хариулах. .

Жишээ. Ямар нөхцөлд тэгшитгэл нь шийдэлтэй байдаг вэ?

Шийдэл. Функцийг авч үзье. Үүнийг монотон байдлыг шалгаж үзэхэд энэ нь интервал дээр нэмэгдэж, буурч байгааг олж мэдэв. Point - хамгийн дээд цэг юм.

Функц гэдэг нь нэг цэгийг дайран өнгөрөх шугамын бүлгийг хэлнэ. Зураг 2. Функцийн график нь AB нум байна. OA ба OB шулуунуудын хооронд байрлах шулуун шугамууд нь асуудлын нөхцлийг хангаж байна. OA шулуун шугамын налуугийн коэффициент нь тоо, OB нь .

Хариулах. Тэгшитгэл 1 шийдэлтэй бол;

Параметрийн бусад утгуудын хувьд шийдэл байхгүй байна.

Гомотети. Шулуун болгон шахах

Жишээ. Тэгшитгэлд яг 8 шийдэл байгаа параметрийн бүх утгыг ол.

Шийдэл. Бидэнд байна. Функцийг авч үзье. Эхнийх нь координаттай цэг дээр төвтэй хагас тойргийн бүлгийг, хоёр дахь нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын бүлгийг тодорхойлдог.

Хагас тойргийн радиус том, жижиг байх үед үндэсийн тоо 8-тай тохирно. байгааг анхаарна уу.

Хариулах. эсвэл.

График арга. Координатын хавтгай (x;a)

Ерөнхийдөө тэгшитгэлүүдпараметр агуулсан , тодорхой, аргачлалаар боловсруулсан шийдлийн системээр хангагдаагүй болно. Олон тооны завсрын тэгшитгэлийг хайх, шийдвэрлэх замаар тодорхой параметрийн утгыг хайх хэрэгтэй. Энэ арга нь тэгшитгэлд шийдэлгүй эсвэл нэг, хоёр ба түүнээс дээш шийдэлтэй параметрийн бүх утгыг олоход амжилтыг үргэлж баталгаажуулдаггүй. Ихэнхдээ зарим параметрийн утгууд алдагдах эсвэл нэмэлт утгууд гарч ирдэг. Үүнийг хийхийн тулд тусгай судалгаа хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь нэлээд хэцүү байдаг.

Параметртэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ажлыг хялбарчлах аргыг авч үзье. Арга нь дараах байдалтай байна

1. Хувьсагчтай тэгшитгэлээс xба параметр аПараметрийг функцээр илэрхийлье x: .

2. Б координатын хавтгай xО афункцийн график байгуулах.

3. Шулуун шугамуудыг авч үзээд O тэнхлэгийн тэдгээр интервалуудыг сонго а, эдгээр мөрүүдийг хангасан дараах нөхцөлүүд: a) функцын графикийг огтлолцдоггүй, б) функцийн графикийг нэг цэгт, в) хоёр цэгт, г) гурван цэгт гэх мэт.

4. Хэрэв даалгавар бол утгуудыг олох x, дараа нь бид илэрхийлнэ xдамжуулан аолсон утгын интервал тус бүрийн хувьд атусад нь.

Параметрийг тэнцүү хувьсагч гэж үзэх нь график аргуудад тусгагдсан байдаг. Тиймээс координатын хавтгай гарч ирнэ. Координатын хавтгайн уламжлалт тэмдэглэгээг үсгээр няцаах гэх мэт өчүүхэн нарийн ширийн зүйл мэт санагдаж байна. xТэгээд yаль нэгийг нь тодорхойлдог хамгийн үр дүнтэй аргуудпараметртэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх.

Тайлбарласан арга нь маш тодорхой юм. Нэмж дурдахад алгебрийн хичээлийн бараг бүх үндсэн ойлголт, шинжилгээний зарчмууд үүнд хэрэглэгдэх болно. Функцийг судлахтай холбоотой бүхэл бүтэн мэдлэгийг багтаасан болно: экстремум цэгийг тодорхойлохын тулд дериватив ашиглах, функцийн хязгаар, асимптотыг олох гэх мэт.. d. (харна уу, , ).

Жишээ. Ямар параметрийн утгууд дээр тэгшитгэл хоёр үндэстэй юу?

Шийдэл. Ижил төстэй систем рүү шилжье

Графикаас харахад тэгшитгэл нь 2 үндэстэй болохыг харуулж байна.

Хариулах. Тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй үед.

Жишээ. Тэгшитгэл нь зөвхөн хоёр өөр үндэстэй бүх тооны олонлогийг ол.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

Одоо үүнийг алдахгүй байх нь чухал юм - анхны тэгшитгэлийн үндэс нь зөвхөн нөхцөлийн дагуу. Координатын хавтгай дээр график байгуулах нь илүү тохиромжтой гэдгийг анхаарч үзье. Зураг 5-д хүссэн график нь хатуу шугамуудын нэгдэл юм. Энд хариулт нь босоо шугамаар "уншиж" байна.

Хариулах. At, or, or.

Энэ хичээлээр бид тодорхойлогчийг бий болгоход хэрхэн ашиглах талаар авч үзэх болно хавтгай тэгшитгэл. Хэрэв та тодорхойлогч гэж юу болохыг мэдэхгүй бол хичээлийн эхний хэсэг болох "Матриц ба тодорхойлогч" руу очно уу. Үгүй бол та өнөөдрийн материалаас юу ч ойлгохгүй байх эрсдэлтэй.

Гурван цэгийг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл

Бидэнд яагаад хавтгай тэгшитгэл хэрэгтэй байна вэ? Энэ нь маш энгийн: бид үүнийг мэдсэнээр C2 асуудлын өнцөг, зай болон бусад зүйлсийг хялбархан тооцоолж чадна. Ерөнхийдөө та энэ тэгшитгэлгүйгээр хийж чадахгүй. Тиймээс бид асуудлыг томъёолж байна:

Даалгавар. Нэг шулуун дээр оршдоггүй орон зайд гурван цэг өгөгдсөн. Тэдний координатууд:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Та эдгээр гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэх хэрэгтэй. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдах ёстой.

Ax + By + Cz + D = 0

Энд A, B, C, D тоонууд нь үнэндээ олох шаардлагатай коэффициентүүд юм.

Зөвхөн цэгүүдийн координатыг мэддэг бол онгоцны тэгшитгэлийг яаж гаргах вэ? Хамгийн хялбар арга бол координатыг Ax + By + Cz + D = 0 тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Та амархан шийдэж болох гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Олон оюутнууд энэ шийдлийг туйлын уйтгартай, найдваргүй гэж үздэг. Өнгөрсөн жилийн математикийн улсын нэгдсэн шалгалт тооцооллын алдаа гаргах магадлал үнэхээр өндөр байгааг харуулсан.

Тиймээс хамгийн дэвшилтэт багш нар илүү энгийн, илүү гоёмсог шийдлүүдийг хайж эхлэв. Тэгээд тэд олсон! Үнэн бол олж авсан техник нь дээд математиктай холбоотой байдаг. Би хувьдаа энэ техникийг ямар ч үндэслэл, нотлох баримтгүйгээр ашиглах эрхтэй гэдэгт итгэлтэй байхын тулд Холбооны сурах бичгийн жагсаалтыг бүхэлд нь гүйлгэх шаардлагатай болсон.

Тодорхойлогчоор дамжин хавтгайн тэгшитгэл

Дууны үг хангалттай, ажилдаа орцгооё. Эхлэхийн тулд матрицын тодорхойлогч ба хавтгайн тэгшитгэл хоорондоо хэрхэн холбогддог тухай теорем.

Теорем. Хавтгайг зурах ёстой гурван цэгийн координатыг өгье: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Дараа нь энэ хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлогчоор бичиж болно.

Жишээ болгон, C2 асуудалд үнэхээр тохиолдох хос онгоцыг олохыг хичээцгээе. Бүх зүйл хэр хурдан тооцоолж байгааг хараарай:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Бид тодорхойлогчийг зохиож, үүнийг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Бид тодорхойлогчийг өргөжүүлнэ:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Таны харж байгаагаар d тоог тооцоолохдоо би x, y, z хувьсагчдыг зөв дараалалд оруулахын тулд тэгшитгэлийг бага зэрэг "самнасан". Ингээд л болоо! Онгоцны тэгшитгэл бэлэн боллоо!

Даалгавар. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Бид цэгүүдийн координатыг тодорхойлогч болгон нэн даруй орлуулна.

Бид тодорхойлогчийг дахин өргөжүүлэв:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Тиймээс онгоцны тэгшитгэлийг дахин олж авлаа! Дахин хэлэхэд, хамгийн сүүлийн шатанд бид илүү "сайхан" томъёог олж авахын тулд тэмдэгтүүдийг өөрчлөх шаардлагатай болсон. Энэ шийдэлд үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ асуудлын цаашдын шийдлийг хялбарчлахыг зөвлөж байна.

Таны харж байгаагаар онгоцны тэгшитгэл зохиох нь одоо илүү хялбар болсон. Бид цэгүүдийг матрицад орлуулж, тодорхойлогчийг тооцоолно - тэгээд л тэгшитгэл бэлэн боллоо.

Энэ нь хичээлийг дуусгаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч олон оюутнууд тодорхойлогч дотор юу байдгийг байнга мартдаг. Жишээ нь, аль мөрөнд x 2 эсвэл x 3, аль мөрөнд зөвхөн x орсон байна. Үүнийг арилгахын тулд тоо бүр хаанаас ирснийг харцгаая.

Тодорхойлогчтой томъёо хаанаас гардаг вэ?

Тэгэхээр тодорхойлогчтой ийм хатуу тэгшитгэл хаанаас гарсныг олж мэдье. Энэ нь танд үүнийг санаж, амжилттай хэрэгжүүлэхэд тусална.

Бодлого С2-д гарч буй бүх хавтгайг гурван цэгээр тодорхойлно. Эдгээр цэгүүдийг зураг дээр үргэлж тэмдэглэдэг, эсвэл асуудлын текстэнд шууд зааж өгдөг. Ямар ч тохиолдолд тэгшитгэл үүсгэхийн тулд бид тэдгээрийн координатыг бичих хэрэгтэй болно.

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Хавтгай дээрх өөр нэг цэгийг дурын координаттай авч үзье.

T = (x, y, z)

Эхний гурван цэгээс дурын цэгийг (жишээ нь, M цэг) авч, үлдсэн гурван цэг тус бүрээс векторуудыг зур. Бид гурван векторыг авдаг:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Одоо эдгээр векторуудаас квадрат матриц гаргаж тодорхойлогчийг тэгтэй тэнцүүлье. Векторуудын координатууд нь матрицын мөрүүд болох бөгөөд бид теоремд заасан тодорхойлогчийг авах болно.

Энэ томъёо нь MN, MK, MT векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс гурван вектор бүгд нэг хавтгайд оршдог. Ялангуяа дурын T = (x, y, z) цэг нь бидний хайж байсан зүйл юм.

Тодорхойлогчийн цэг ба шугамыг солих

Тодорхойлогч нь үүнийг бүр ч хялбар болгодог хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг C2 асуудлын шийдэл. Жишээлбэл, бид аль цэгээс вектор зурах нь хамаагүй. Тиймээс дараах тодорхойлогч нь дээрхтэй ижил хавтгай тэгшитгэлийг өгнө.

Та мөн тодорхойлогчийн мөрүүдийг сольж болно. Тэгшитгэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ. Жишээлбэл, олон хүмүүс хамгийн дээд талд нь T = (x; y; z) цэгийн координаттай шугам бичих дуртай байдаг. Хэрэв танд тохиромжтой бол:

Нэг мөрөнд x, y, z гэсэн хувьсагчууд агуулагдаж, цэгийг орлуулахад алга болдоггүй нь зарим хүмүүсийн төөрөлддөг. Гэхдээ тэд алга болохгүй! Тодорхойлогчийн тоонуудыг орлуулснаар та дараах бүтцийг авах хэрэгтэй.

Дараа нь тодорхойлогчийг хичээлийн эхэнд өгсөн диаграммын дагуу өргөжүүлж, хавтгайн стандарт тэгшитгэлийг олж авна.

Ax + By + Cz + D = 0

Нэг жишээг харна уу. Энэ бол өнөөдрийн хичээлийн сүүлчийнх юм. Хариулт нь онгоцны ижил тэгшитгэлийг өгөх эсэхийг шалгахын тулд би мөрүүдийг зориудаар солих болно.

Даалгавар. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Тиймээс бид 4 цэгийг авч үзье.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Эхлээд стандарт тодорхойлогч үүсгэж, тэгтэй тэнцүүлье.

Бид тодорхойлогчийг өргөжүүлнэ:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ингээд л бид x + y + z − 2 = 0 гэсэн хариултыг авлаа.

Одоо тодорхойлогч дахь хэд хэдэн мөрийг дахин цэгцэлж, юу болохыг харцгаая. Жишээлбэл, x, y, z хувьсагчтай мөрийг доод талд биш, харин дээд талд бичье.

Бид үүссэн тодорхойлогчийг дахин өргөжүүлэв:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Бид яг ижил хавтгай тэгшитгэлийг авсан: x + y + z − 2 = 0. Энэ нь үнэхээр мөрүүдийн дарааллаас хамаардаггүй гэсэн үг юм. Хариултаа бичих л үлдлээ.

Тиймээс, хавтгайн тэгшитгэл нь шугамын дарааллаас хамаардаггүй гэдэгт бид итгэлтэй байна. Бид ижил төстэй тооцооллыг хийж, онгоцны тэгшитгэл нь координатыг нь бусад цэгээс хасах цэгээс хамаарахгүй гэдгийг баталж чадна.

Дээр авч үзсэн бодлогод бид B 1 = (1, 0, 1) цэгийг ашигласан боловч C = (1, 1, 0) эсвэл D 1 = (0, 1, 1) авах бүрэн боломжтой байв. Ерөнхийдөө, мэдэгдэж буй координат бүхий дурын цэг нь хүссэн хавтгай дээр хэвтэж байна.

Дараах догол мөрөнд авч үзэх хавтгайн бүх тэгшитгэлийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлээс олж авч, мөн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл болгон бууруулж болно. Тиймээс тэд хавтгайн тэгшитгэлийн талаар ярихдаа өөрөөр заагаагүй бол хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг хэлнэ.

Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Хавтгай тэгшитгэлийг харах , энд a, b ба c нь тэг биш бодит тоонуудыг дууддаг сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Энэ нэр нь санамсаргүй биш юм. a, b ба c тоонуудын үнэмлэхүй утгууд нь гарал үүсэлээс нь тооцвол Ox, Oy, Oz координатын тэнхлэгүүд дээр онгоц огтолж буй сегментүүдийн урттай тэнцүү байна. a, b, c тоонуудын тэмдэг нь координатын тэнхлэгт сегментүүдийг аль чиглэлд (эерэг эсвэл сөрөг) зурах ёстойг заана.

Жишээлбэл, сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тэгш өнцөгт координатын Oxyz системд хавтгайг байгуулъя. . Үүнийг хийхийн тулд абсцисса тэнхлэгийн сөрөг чиглэлд эхээс 5 нэгж, ордны тэнхлэгийн сөрөг чиглэлд 4 нэгж, хэрэглээний тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 4 нэгж зайтай цэгийг тэмдэглэнэ. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамаар холбоход л үлддэг. Үүссэн гурвалжны хавтгай нь хэлбэрийн сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлд тохирох хавтгай юм. .

Илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийн өгүүллийг үзнэ үү, энэ нь сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл болгон бууруулж байгааг харуулсан бөгөөд энд та ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан шийдлүүдийг олох болно.

Ердийн хавтгай тэгшитгэл.

Маягтын ерөнхий хавтгай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг хэвийн хавтгай тэгшитгэл, Хэрэв нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, , Мөн .

Хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичдэг болохыг та олонтаа харж болно. Нэгж урттай өгөгдсөн хавтгайн хэвийн векторын чиглэлийн косинусууд, өөрөөр хэлбэл p нь эхээс хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгайн хэвийн тэгшитгэл Oxyz нь уг хавтгайн хэвийн векторын эерэг чиглэлд р зайд эхээс хасагдсан хавтгайг тодорхойлдог. . Хэрэв p=0 бол онгоц эхийг дайран өнгөрнө.

Ердийн хавтгай тэгшитгэлийн жишээг өгье.

Хавтгайг тэгш өнцөгт координатын системд Oxyz хэлбэрийн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойл. . Энэ хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь хавтгайн хэвийн тэгшитгэл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ хавтгайн хэвийн вектор нь юм оноос хойш нэгдмэл урттай тэнцүү байна .

Ердийн хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэл нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох боломжийг олгодог.

Энэ төрлийн хавтгай тэгшитгэлийг илүү нарийвчлан ойлгож, ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан шийдлүүдийг үзэх, мөн ерөнхий хавтгай тэгшитгэлийг хэрхэн хэвийн хэлбэрт оруулах талаар сурахыг зөвлөж байна. Та үүнийг нийтлэлд хандах замаар хийж болно.

Лавлагаа.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11-р ангийн сурах бичиг.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын Oxyz системийг авч үзье.

Гадаргуугийн тэгшитгэлТэгшитгэлийг F(x,y,z)=0 гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь гадаргуу дээр байрлах цэг бүрийн координатаар хангагдах ба гадаргуу дээр байрлахгүй цэгүүдийн координатаар хангагддаггүй.

Жишээлбэл, бөмбөрцөг нь бөмбөрцгийн төв гэж нэрлэгддэг тодорхой цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал юм. Тиймээс тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд
О(0.0.0) цэгт төвтэй, R радиустай бөмбөрцөг дээр хэвтэнэ (Зураг 1).

Өгөгдсөн бөмбөрцөгт ороогүй аливаа цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангахгүй.

Орон зай дахь шугамхоёр гадаргуугийн огтлолцлын шугам гэж үзэж болно. Тиймээс 1-р зурагт бөмбөрцөг Окси хавтгайтай огтлолцол нь О цэг дээр төвтэй, R радиустай тойрог юм.

Хамгийн энгийн гадаргуу нь онгоц, орон зайн хамгийн энгийн шугам нь шулуун.

2. Сансар дахь хавтгай.

2.1. Цэг ба хэвийн векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл.

Oxyz координатын системд хавтгайг авч үзье (Зураг 2). Түүний байрлалыг векторыг зааж өгснөөр тодорхойлно энэ хавтгайд перпендикуляр ба тогтмол цэг
Энэ онгоцонд хэвтэж байна. Вектор
хавтгайд перпендикуляр
дуудсан хэвийн вектор(хэвийн вектор). Хавтгайн дурын M(x,y,z) цэгийг авч үзье . Вектор
хавтгай
хэвийн векторт перпендикуляр байх болно Векторын ортогональ байдлын нөхцөлийг ашиглах
Бид тэгшитгэлийг олж авна: хаана

Тэгшитгэл ( 2.2.1 )

цэг ба нормаль вектортой холбоотой хавтгай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид (2.1.1) тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, нөхцлүүдийг дахин цэгцэлвэл бид тэгшитгэл буюуAx + By + Cz + D = 0 болно.

D=
.

2.2. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

Тэгшитгэл Ax + By + Cz +D = 0 ( 2.2.1 )

хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, хаана
- хэвийн вектор.

Энэ тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

1).D = 0. Тэгшитгэл нь: Ax + By + Cz = 0. Ийм хавтгай эхийг дайран өнгөрдөг. Түүний хэвийн вектор

2). C = 0: Ax + By + D = 0
онгоц унц тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
онгоц нь тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 4).

4). A = 0: By + Cz + D = 0

онгоц нь үхрийн тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 5).

5). C = D = 0: Ax + By = 0
онгоц унц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг (Зураг 6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
онгоц тэнхлэгийг дайран өнгөрдөг (Зураг 7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
онгоц үхрийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг (Зураг 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||оз
онгоц нь Окси хавтгайтай параллель байна (Зураг 9).

9). B = C = 0: Ax + D = 0

||үхэр
онгоц

n Ойз хавтгайтай параллель (Зураг 10).

10).A = C = 0: By + D = 0

||өө
хавтгай нь Oxz хавтгайтай параллель байна (Зураг 11).

Жишээ 1.Цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич
векторт перпендикуляр
Энэ хавтгайн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

Шийдэл.(2.1.1) томъёоны дагуу бид байна

2x – y + 3z + 3 = 0.

Үхрийн тэнхлэгтэй энэ хавтгайн огтлолцлыг олохын тулд үүссэн тэгшитгэлд y = 0, z = 0-ийг орлуулна. x = – 1.5.

Хүссэн хавтгайн үхрийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай байна.

Онгоцны ой тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд x = 0 гэж авъя; z = 0. Бидэнд байна

– y + 3 = 0 y = 3. Тэгэхээр,

Оц тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олохын тулд x = 0; y = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. Тэгэхээр,

Хариулт: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Жишээ 2.Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгайг судлах:

a).

3x – y + 2z = 0

б). 2x + z – 1 = 0

Шийдэл. V). – y + 5 = 0 A).Энэ онгоц

гарал үүсэл (D = 0) дамжин өнгөрч, хэвийн вектортой байна
б). Eq-д.
коэффициентВ = 0. Иймд

Онгоц нь тэнхлэгтэй параллель байна.

V). Тэгшитгэлд – y + 5 = 0, коэффициентүүд нь A = 0, C = 0. Энэ нь гэсэн үг юм.

Онгоц нь oxz хавтгайтай параллель байна.

G). B = 0, C = 0 үед хавтгай нь ойз хавтгайтай параллель байх тул x = 0 тэгшитгэл нь ойзын хавтгайг тодорхойлно.Жишээ 3.
А(2,3,1) цэгийг дайран өнгөрөх, векторт перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Энд B(1,0, –1), C(–2,2,0).

Векторыг олъё
Вектор

нь A(2,3,1) цэгээр дамжин өнгөрөх хүссэн хавтгайн хэвийн вектор юм. (2.1.1) томъёоны дагуу бид:
– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0 – 3x + 2y + z – 1 = 0

Хариулт: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. 3x – 2y – z + 1 = 0.

Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл.
Нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг нь нэг хавтгайг тодорхойлдог (12-р зургийг үз). Цэгүүд нэг шулуун дээр хэвтэж болохгүй. Хавтгайн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд та онгоцны нэг цэг болон хэвийн векторыг мэдэх хэрэгтэй. Онгоцонд хэвтэж буй цэгүүд нь мэдэгдэж байна:
Та аль нэгийг нь авч болно. Ердийн векторыг олохын тулд бид векторуудын вектор үржвэрийн тодорхойлолтыг ашигладаг. Болъё
Тиймээс,
Цэгийн координатыг мэдэх ба хэвийн вектор

(2.1.1) томъёог ашиглан хавтгайн тэгшитгэлийг олъё.
Гурван векторын харьцуулах нөхцөлийг ашиглан өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг өөр аргаар гаргаж болно. Үнэхээр векторууд

Энд M(x,y,z) нь хүссэн хавтгайн дурын цэг, coplanar (13-р зургийг үз). Тиймээс тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь 0 байна:

(2.3.1)

Жишээ 1.Холимог бүтээгдэхүүний томъёог координат хэлбэрээр ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Шийдэл.Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич

(2.3.1) томъёоны дагуу бид байна

Үүссэн хавтгай нь ойн тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний хэвийн вектор

Хариулах: x + z – 4 = 0.

2.4. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг.

Хоёр хавтгай огтлолцож, хосоороо тэнцүү дөрвөн өнцөгт өнцөг үүсгэдэг (14-р зургийг үз). Хоёр талт өнцгүүдийн нэг өнцөгтэй тэнцүүЭдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын хооронд.

Онгоцуудыг өгье:

Тэдний хэвийн векторууд нь координатуудтай:

Вектор алгебраас үүнийг мэддэг
эсвэл

(2.4.1)

Жишээ:Хавтгай хоорондын өнцгийг ол:

Шийдэл:Норматив векторуудын координатыг олъё: Томъёо (2.4.1)-ийг ашиглан бид:

Эдгээр хавтгайг огтолсноор олж авсан хоёр талт өнцгийн нэг нь тэнцүү байна
Та мөн хоёр дахь өнцгийг олж болно:

Хариулах:

2.5. Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл.

Хоёр онгоц өгье:

Тэгээд

Хэрэв эдгээр онгоцууд параллель байвал тэдгээрийн хэвийн векторууд болно

collinear (15-р зургийг үз).

Хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байна.

(2.5.1 )

Эсрэг заалт нь бас үнэн юм: хэрэв хавтгайнуудын хэвийн векторууд нь коллинеар байвал онгоцууд параллель байна.

Жишээ 1.Дараахь хавтгайн аль нь параллель байна:

Шийдэл: A). Нормал векторуудын координатыг бичье.

Тэдний уялдаа холбоог шалгая:

Үүнийг дагадаг

б). Координатуудыг бичье

Хамтарсан байдлыг шалгая:

Векторууд
collinear биш, онгоцууд
зэрэгцээ биш.

Жишээ 2.Цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич

M(2, 3, –2) хавтгайтай параллель

Шийдэл:Хүссэн хавтгай нь өгөгдсөн хавтгайтай параллель байна. Тиймээс онгоцны хэвийн вектор хүссэн хавтгайн хэвийн вектор болгон авч болно.
(2.1.1) тэгшитгэлийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт:
.

G). B = 0, C = 0 үед хавтгай нь ойз хавтгайтай параллель байх тул x = 0 тэгшитгэл нь ойзын хавтгайг тодорхойлно.Ямар a ба b хавтгай параллель болохыг тодорхойлно уу.

Шийдэл:Ердийн векторуудын координатыг бичье.

Хавтгайнууд параллель байх тул векторууд
collinear нөхцөлөөр (2.5.1)
Тиймээс b = – 2; a = 3.