Хараас цагаан бөмбөг гаргаж авах. Магадлал нэмэх теорем: хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг (аль ч хамаагүй) үйл явдал тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Лекц 1 .

Анагаах ухаан, биологийн физикийн зорилго, зорилт, бүтэц. Анагаах ухааны боловсролын тогтолцоонд түүний байр суурь, үүрэг, бусад биоанагаах ухаан, эмнэлзүйн салбаруудтай салбар хоорондын холбоо.

Эмнэлгийн болон биологийн үйл явцын магадлалын шинж чанар. Магадлалын онолын элементүүд. Санамсаргүй тохиолдлын магадлал. Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх хууль.

Өвчний оношлогоо, прогнозын асуудалд магадлалын хандлагын зарчим.

Магадлалын онол

Магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдал, хэмжигдэхүүн, үйл явцтай холбоотой зүй тогтлыг судалдаг. Эмч нар онош тавих нь магадлалын шинж чанартай гэж бараг боддоггүй бөгөөд зөвхөн эмгэг судлалын шинжилгээгээр нас барсан хүний оношийг найдвартай тодорхойлж чадна.

§2.1. Санамсаргүй үйл явдал. Магадлал

Төрөл бүрийн үзэгдлүүдийг ажигласнаар S нөхцөл ба зарим үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдох хоёрын хооронд хоёр төрлийн холбоо байдгийг анзаарч болно. А.Зарим тохиолдолд S (туршилт) нөхцөлийг хэрэгжүүлэх нь мэдээжийн хэрэг үйл явдлыг үүсгэдэг А.Жишээлбэл, масстай материаллаг цэг Т 0 хүчний нөлөөн дор Ф (нөхцөл С) хурдатгал олж авдаг А= Ф/ м 0 (үйл явдал A).Бусад тохиолдолд туршилтыг олон удаа давтан хийх нь А үйл явдал тохиолдоход хүргэж болно, үгүй ч байж болно. Ийм үйл явдлыг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг. санамсаргүй: Үүнд тухайн өвчтэй өвчтөн эмчийн өрөөнд гарч ирэх, зоос шидэх үед тодорхой тал нь алга болох гэх мэт орно.

Хүн санамсаргүй үзэгдлийг шалтгаангүй, болзолгүй гэж бодож болохгүй. Олон үзэгдлүүд хоорондоо холбоотой, тусдаа үзэгдэл нь нөгөөгийнхөө үр дагавар бөгөөд өөрөө дараагийн үзэгдлийн шалтгаан болдог гэдгийг мэддэг. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдал, үйл явдлын хоорондын энэ холболтыг тоон байдлаар илрүүлэх нь ихэвчлэн хэцүү эсвэл бүр боломжгүй байдаг. Тиймээс, шоо шидэх үед (1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн зургаан талтай жигд шоо) шоо шидэх үеийн гарны хөдөлгөөн, агаарын эсэргүүцэл, шоо нь гадаргуу дээр хүрэх үед түүний байрлал, шоо унасан гадаргуугийн онцлог, тусад нь авч үзэх боломжгүй бусад хүчин зүйлүүд.

Үүнтэй холбоотойгоор өдөр тутмын амьдралдаа санамсаргүй үйл явдал"магадгүй", "магадгүй", "боломжгүй", "гайхалтай" гэсэн үгсийг ашигла. Зарим тохиолдолд ийм үнэлгээ нь тухайн үйл явдлын бодит боломж эсвэл боломжгүй байдлаас илүү илтгэгчийн хүслийг тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч санамсаргүй үйл явдлууд ч гэсэн, хэрэв тэдгээрийн тоо хангалттай том бол тодорхой хэв маягт захирагддаг. Санамсаргүй үйл явдлуудтай холбоотой хэв маягийн тоон үнэлгээг математикийн салбар гэж нэрлэдэг магадлалын онол.

Магадлалын онол нь масс (статистик) санамсаргүй үйл явдлуудад хамаарах хэв маягийг судалдаг.

Хувь хүний түүхэн баримтууд, "гайхшралууд", "гамшгууд" нь тусдаа, өвөрмөц мэт санагдах үйл явдлууд бөгөөд тэдгээрийн талаар тоон магадлалын дүгнэлт хийх боломжгүй юм. Түүхэнд, магадлалын онол нь мөрийтэй тоглоомын янз бүрийн үр дүнд хүрэх боломжийг тооцоолох оролдлоготой холбоотой гарч ирсэн. Одоогийн байдлаар үүнийг шинжлэх ухаан, түүний дотор биологи, анагаах ухаанд практик чухал үйл явдлын магадлалыг үнэлэхэд ашиглаж байна. Тоглоомоос үлдсэн бүх зүйл бол онолын санааг тайлбарлахад тохиромжтой жишээнүүдийн жишээ юм.

Магадлалын статистик тодорхойлолт.Магадлал P(A)ВМагадлалын онол нь туршилтыг олон удаа давтах үед ямар нэгэн тодорхой санамсаргүй үзэгдэл А тохиолдох боломжийн зэрэглэлийн тоон шинж чанар болдог.

1000 шидэхэд 4-ийн тоо 160 удаа гардаг гэж бодъё. 160/1000 = 0.16 харьцаа нь өгөгдсөн цуврал туршилтын 4-ийн харьцангуй давтамжийг харуулж байна. Ерөнхийдөө санамсаргүй А үйл явдал тохиолдох үед Тцувралд нэг удаа nбие даасан туршилтууд, харьцангуй давтамжтай байх өгөгдсөн цуврал туршилтууд эсвэл зүгээр л А үйл явдлын давтамж нь харьцаа юм

Олон тооны туршилтын үед үйл явдлын давтамж ойролцоогоор тогтмол байдаг: туршилтын тоог нэмэгдүүлэх нь тогтмол утгын эргэн тойронд үйл явдлын давтамжийн хэлбэлзлийг бууруулдаг.

Санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь туршилтын тоо хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр үйл явдлын давтамжийн хандлагатай байх хязгаар юм.

(2.2)

Мэдээжийн хэрэг, магадлалыг тодорхойлохын тулд хэн ч хязгааргүй тооны туршилт хийх боломжгүй болно. Ингэх шаардлага байхгүй. Магадлалын хувьд практикт [үзнэ үү. (2.2)] бид олон тооны туршилтын явцад үйл явдлын харьцангуй давтамжийг хүлээн зөвшөөрч чадна. Жишээлбэл, олон жилийн ажиглалтаар тогтоогдсон төрөлтийн статистик хэлбэрээс харахад шинэ төрсөн хүүхэд хөвгүүн болох үйл явдлын магадлалыг 0.515 гэж тооцдог.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт.Туршилтын явцад нэг санамсаргүй үйл явдал бусдаас илүү олон удаа гарч ирэх шалтгаан байхгүй бол (ижил боломжтой ноход тия), магадлалыг онолын үндэслэлд үндэслэн тодорхойлж болно. Жишээлбэл, зоос шидэх үед сүлд унах давтамжийг (үйл явдал) олж мэдье. A).Ийм үйл явдлын харьцангуй давтамж нь 0.5-тай ойролцоо утгыг авдаг болохыг янз бүрийн туршилтууд хэдэн мянга гаруй туршилтаар харуулсан. Төрийн сүлд болон зоосны эсрэг талын дүр төрх (үйл IN)зоос тэгш хэмтэй бол адил боломжтой үйл явдал юм, санал P(A)= P(B)= 0.5-ыг эдгээр үйл явдлын давтамжийг тодорхойлохгүйгээр хийж болно. Үйл явдлын "тэнцүү боломж" гэсэн ойлголт дээр үндэслэн магадлалын өөр нэг тодорхойлолтыг томъёолсон болно.

Туршилтын үр дүнд дараахь зүйлсийн зөвхөн нэг нь тохиолдох ёстой гэж үзье. nадил боломжтой үл нийцэх үйл явдлууд (тохирохгүй Хэрэв нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй бол үйл явдлыг дуудна). Асууж буй үйл явдлыг үзье А-д тохиолддог Ттохиолдлууд, тэдгээрийг таатай А гэж нэрлэдэг бөгөөд бусад тохиолдолд тохиолддоггүй p - t,таагүй А.Дараа нь магадлалыг таатай хандлага гэж нэрлэж болно одоо байгаа тохиолдлуудыг ижил боломжтой тохиолдлын нийт тоонд орон нутгийн үйл явдлууд:

P(A) =м/ n . (2.3)

Энэ магадлалын сонгодог тодорхойлолт.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

1. Нэг саванд 40 бөмбөг байдаг: 10 хар, 30 цагаан. Санамсаргүй байдлаар зурсан нэг бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.

Тааламжтай тохиолдлын тоо нь саванд байгаа хар бөмбөгний тоотой тэнцүү байна. t = 10. Тэнцүү боломжит үйл явдлын нийт тоо (нэг бөмбөг гаргах) нь савны бөмбөгний нийт тоотой тэнцүү байна. n= 40. Зөвхөн нэг бөмбөг сугалж байгаа тул эдгээр үйл явдлууд хоорондоо зөрчилддөг. (2.3) томъёоны дагуу бид:

P(A)= 10/40 = 1/4.

2. Шоо шидэх үед тэгш тоо гарах магадлалыг ол.

Шоо шидэх үед ижил төстэй нийцэхгүй зургаан үйл явдал тохиолддог: нэг тооны 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 гарч ирэх, өөрөөр хэлбэл. n = 6. 2, 4, 6 тоонуудын аль нэг нь гарч ирэхэд таатай тохиолдлууд орно. t = 3. Шаардлагатай магадлал:

P(A) =м/ n – 3/6 = 1/2.

Үйл явдлын магадлал (2.2) ба (2.3)-ын тодорхойлолтоос харахад бүх үйл явдлын хувьд 0  P(A) 1.

Эдгээр туршилтын явцад тохиолдох боломжгүй үйл явдлуудыг боломжгүй гэж нэрлэдэг: тэдгээрийн магадлал нь тэнцүү байна тэг.

Тиймээс, жишээлбэл, цагаан, хар бөмбөлөг бүхий савнаас улаан бөмбөг зурах боломжгүй, шоо дээр 7 тоог авах боломжгүй юм.

Энэ шалгалтанд заавал байх ёстой үйл явдал тохиолддог, найдвартай гэж нэрлэдэг, түүний магадлал тэнцүү байна дээр 1.

Найдвартай үйл явдлын жишээ бол зөвхөн цагаан бөмбөг агуулсан савнаас цагаан бөмбөг зурах явдал юм.

Зарим тохиолдолд, хэрэв та үүнийг энгийн үйл явдлуудын хослол гэж төсөөлвөл үйл явдлын магадлалыг тооцоолоход хялбар байдаг. Магадлалын онолын зарим теоремууд үүнд үйлчилдэг.

Магадлалын нэмэх теорем:үүсэх магадлал хэд хэдэн арга хэмжээний нэг (юу ч хамаагүй) үйл явдал орон нутгийн үйл явдлууд нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Тохиромжгүй хоёр үйл явдлын хувьд

П(Аэсвэл B) = P(A) + P(B).(2.4)

Энэ теоремыг баталъя. Болъё n - нийт тоотуршилтууд, Т 1 - А үйл явдалд таатай тохиолдлын тоо, Т 2 - үйл явдалд таатай тохиолдлын тоо IN.Үйл явдал эсвэл үйл явдлыг дэмжсэн тохиолдлын тоо А,эсвэл үйл явдал IN,тэнцүү байна м 1 +м 2 . Дараа нь П(Аэсвэл B) = (t 1 + т 2 )/n = t 1 /p + t 2 /х.Тиймээс (2.3)-ыг харгалзан үзвэл бид байна

П(Аэсвэл B) = P(A) + P(B).

* Үзүүр шидэх үед 1 эсвэл 6 оноо авах магадлалыг ол.

Үйл явдал А(өнхрөх 1) ба IN (уналт 6) адил боломжтой: P(A) = P(B) = 1/6, тиймээс бид (2.4)-ээс олно П(Аэсвэл B) =1/6 + 1/6 = 1/3.

Магадлалыг нэмэх нь зөвхөн хоёр биш, харинмөн олон тооны үл нийцэх үйл явдлын хувьд.

* Нэг саванд 50 бөмбөг байдаг: 10 цагаан, 20 хар, 5 улаан, 15 цэнхэр. Бөмбөгийг савнаас гаргах нэг удаагийн үйлдлээр цагаан, хар, улаан бөмбөг гарч ирэх магадлалыг ол.

Цагаан бөмбөг зурах магадлал (үйл явдал A)тэнцүү байна P(A) = 10/50 = 1/5, хар бөмбөг (үйл явдал B) - P(B) = 20/50 = 2/5 ба улаан (C үйл явдал) - P(C) = 5/50 = 1/10. Эндээс магадлалыг нэмэх томъёог ашиглан бид олж авна П(Аэсвэл INэсвэл C) = P(A) + P(B) + P(C)= 1/5 + 2/5 + + 1/10= 7/10.

Хэрэв хоёр үйл явдал цорын ганц боломжтой бөгөөд нийцэхгүй бол тэдгээрийг эсрэг гэж нэрлэдэг.

Ийм үйл явдлуудыг ихэвчлэн томилдог, жишээлбэл, АТэгээд .

Хоёр эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр, магадлалын теоремыг нэмснээр дараах байдлаар нэгтэй тэнцүү байна царай:

(2.5)

*Өмнөх жишээн дээр (2.5)-ын үнэн зөвийг тайлбарлая. Цагаан эсвэл хар эсвэл улаан бөмбөг зурах нь үйл явдал байг А 1 , П(А 1 ) = 7/10. Эсрэг үйл явдал цэнхэр бөмбөг авах явдал юм. 15 цэнхэр бөмбөг байгаа бөгөөд нийт бөмбөгний тоо 50 байгаа тул бид олж авна P() = 15/50 = 3/10 ба П(А 1 ) + P() = 7/10 + 3/10 = = 1.

*Урга нь цагаан, хар, улаан бөмбөлөгтэй. Хар эсвэл улаан бөмбөг авах магадлал 0.4 байна. Савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлалыг ол.

гэж тэмдэглэе Ахар эсвэл улаан бөмбөг зурах үйл явдал, P(A) = 0.4; эсрэг үйл явдал Цагаан бөмбөгийг зайлуулах бөгөөд дараа нь (2.5) энэ үйл явдлын магадлалыг үндэслэнэ P() = 1 - P(A) == 1 - 0,4 = 0,6.

Үйл явдлын систем (А 1 , А 2 , ... А к ) хэрэв бүрэн гүйцэд гэж нэрлэдэг туршиж үзэхэд эдгээр үйл явдлын нэг бөгөөд зөвхөн нэг нь тохиолдох болно. Бүрэн системийг бүрдүүлэх үйл явдлын магадлалын нийлбэрсэдэв нэгтэй тэнцүү байна.

* Уг саванд 40 бөмбөг байна: 20 цагаан, 15 хар, 5 улаан. Цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал (үйл явдал А) тэнцүү байна P(A) = 20/40 = 1/2, хар бөмбөг (үйл явдал B) - P(B) = 15/40 = 3/8, улаан бөмбөгний хувьд (үйл C) - P(S)= 5/40 = 1/8. Энэ тохиолдолд үйл явдлын систем А 1 , А 2 , А 3 бүрэн байна; гэдэгт итгэлтэй байж болно P(A) + P(B) + P(C) = 1/2 + 3/8 + + 1/8 = 1.

Магадлалын үржүүлэх теорем:магадлал хамтдаа бие даасан үйл явдал тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Хоёр үйл явдлын хувьд

П(АТэгээд B) = P(A) P(B).(2.6)

Энэ теоремыг баталъя. Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INбие даасан, дараа нь тус бүр Т 1 таатай тохиолдлууд А,харгалзах Т 2 таатай тохиолдлууд IN.Тиймээс, үйл явдлын хамт тохиолдохыг дэмжсэн тохиолдлын нийт тоо АТэгээд IN,тэнцүү байна Т 1 Т 2 . Үүнтэй адил боломжит үйл явдлын нийт тоо байна n 1 n 2 , Хаана n 1 Тэгээд n 2 - адил боломжтой үйл явдлын тоо, тус тус АТэгээд IN. Бидэнд байна

* Нэг саванд 5 хар, 10 цагаан бөмбөлөг, нөгөөд 3 хар, 17 цагаан бөмбөг байна. Бөмбөлөг тус бүрээс эхлээд сугалах үед хоёр бөмбөг хоёулаа байх магадлалыг ол.

1) хар; 2) цагаан; 3) эхний савнаас хар бөмбөг, хоёрдугаарт цагаан бөмбөг сугалж авна; 4) эхний савнаас цагаан бөмбөг, хоёрдугаарт хар бөмбөг сугалж авна.

Эхний савнаас хар бөмбөг зурах магадлал (үйл явдал А) тэнцүү байна P(A) =

= 5/15 = 1/3, хоёр дахь савнаас хар бөмбөг (үйл явдал IN) -P(B)= 3/20, эхний савнаас цагаан бөмбөг (үйл A")- P(A") = 10/15 = 2/3 ба эхний савнаас цагаан бөмбөг (үйл явдал IN")-P(B") = 17/20. Бид (2.6) томъёог ашиглан бие даасан хоёр үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлалыг олно.

1)П(АТэгээд B) = P(A) P(B) =(1/3) (3/20) = 3/60 - хоёр бөмбөг хар;

2) P(A"ба B") = P(A") P(B") =(2/3) (17/20) = 17/30 - бөмбөг хоёулаа цагаан;

3) P(A"ба B") = P(A) P(B") =(1/3) (17/20)= 17/60 - эхний савнаас хар бөмбөг, хоёрдугаарт цагаан бөмбөг сугалах болно;

4) P(A"ба B) = P(A") P(B) =(2/3) (3/20) = 1/10 - эхний савнаас цагаан бөмбөг, хоёрдугаарт хар бөмбөг сугалж авна.

Бүх дөрвөн боломжит тохиолдол АТэгээд IN, А"Тэгээд IN", АТэгээд IN", А"Тэгээд INүйл явдлын бүрэн системийг бүрдүүлдэг, тиймээс

П(АТэгээд B) + P(A"Тэгээд B") + P(AТэгээд B") + P(A"Тэгээд IN)= 3/60 + 17/30 + 17/60 + 1/10 = 1.

* Гурван хүүхэдтэй айлд гурвуулаа хүү байх магадлалыг ол. Хүүтэй болох магадлал өндөр байна гэж бодъё 0,515 дараагийн хүүхэд бүрийн хувьд өмнөх хүүхдүүдийн хүйсээс хамаарахгүй.

Магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу, П(АТэгээд INТэгээд ХАМТ)= 0,515 0,515 0.515  0.14.

Хэрэв магадлалын үржүүлэх теорем илүү төвөгтэй болно Харилцан хамааралтай хоёр үйл явдлын хамт тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тодорхойлно. Үүнднөхцөлөөр В үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд Хэрэв А тохиолдсон бол хамтдаа тохиолдох магадлал Энэ хоёр үйл явдлын хувьд тэнцүү байна

П(АТэгээд B) = P(A) P(B/A), (2.8)

Хаана P(V/A)-нөхцөлт магадлал,өөрөөр хэлбэл үйл явдлын магадлал INүйл явдал болсон тохиолдолд Аболсон.

* Уг саванд 5 бөмбөг байна: 3 цагаан, 2 хар. Хар цагаан бөмбөлгүүд ар араасаа зурагдах магадлалыг ол.

Эхлээд хар бөмбөгийг эргүүлэн татах магадлал (үйл явдал А), тэнцүү байна P(A) = t/p= 2/5. Хар бөмбөгийг зайлуулсны дараа саванд 4 бөмбөг үлдсэн: 3 цагаан, 1 хар. Энэ тохиолдолд цагаан бөмбөг зурах магадлал (үйл явдал INүйл явдал дууссаны дараа A)тэнцүү байна P(V/A) = 3/4. (2.8)-ыг ашиглан бид олж авна

П(АТэгээд B) =(2/5) (3/4) = 3/10.

Математикийн бие даасан даалгавар

Асуудал 1

Цүнхэнд 6 цагаан, 11 хар бөмбөг байна. Хоёр бөмбөгийг нэгэн зэрэг санамсаргүй байдлаар зурдаг. Хоёр бөмбөг байх магадлалыг ол:

Шийдэл

1) Сугалсан бөмбөгнүүдийн аль нэг нь цагаан өнгөтэй байх магадлал нь саванд байгаа бөмбөгний нийлбэрээс цагаан бөмбөг зурах боломжийн тоотой тэнцүү байна. Эдгээр боломжууд нь саванд байгаа цагаан бөмбөгний тоотой яг адилхан бөгөөд бүх боломжуудын нийлбэр нь цагаан, хар бөмбөгний нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хоёр дахь зурсан бөмбөг нь цагаан өнгөтэй байх магадлал нь тэнцүү байна

Цагаан бөмбөлгүүдийн нэг нь аль хэдийн зурагдсан тул.

Иймээс савнаас гаргаж авсан бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлал нь эдгээр магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна, учир нь эдгээр боломжууд нь бие даасан байдаг.

эсвэлхоёр хар бөмбөг:

3) Зурсан бөмбөг хоёулаа өөр өнгөтэй байх магадлал нь эхний бөмбөг цагаан, хоёр дахь нь хар өнгөтэй байх магадлал юм. эсвэлЭхний бөмбөг хар, хоёр дахь бөмбөг цагаан байх болно. Энэ нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1)

2) 3) .

Асуудал 2

Эхний саванд 6 цагаан бөмбөлөг, 11 хар, хоёр дахь саванд 5 цагаан, 2 хар байна. Бөмбөгийг сав бүрээс санамсаргүй байдлаар зурдаг. Хоёр бөмбөг байх магадлалыг ол:

1) цагаан, 2) ижил өнгөтэй, 3) өөр өөр өнгө.

Шийдэл

1) Бөмбөлөг хоёулаа цагаан байх магадлал нь эхний савнаас гарсан бөмбөг цагаан байх магадлалын хоёр дахь савнаас гарсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

2) Хоёр бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлал нь хоёулаа цагаан эсвэл хар өнгөтэй байх магадлал юм. Энэ нь магадлалын нийлбэртэй тэнцүү - хоёр цагаан бөмбөг зурах эсвэлхоёр хар бөмбөг:

3) Эхний савнаас гаргасан бөмбөг цагаан, хоёр дахь савнаас авсан бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал, эсвэлэсрэгээр, эхний бөмбөг хар, хоёр дахь нь цагаан өнгөтэй байх бөгөөд энэ нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1)

2) 3) .

Асуудал 3

Сугалааны 24 тасалбараас 11 нь хожсон байна. Худалдан авсан 2 тасалбараас ядаж нэг нь ялагч болох магадлалыг ол.

Шийдэл

Худалдан авсан 24 тасалбараас ядаж нэг нь ялагч болох магадлал нь нэг болон худалдаж авсан тасалбаруудын аль нь ч ялагч болохгүй байх магадлалын зөрүүтэй тэнцүү байна. Мөн худалдан авсан тасалбаруудын аль нь ч хожихгүй байх магадлал нь эхний тасалбар хожихгүй байх магадлалын хоёр дахь тасалбар хожихгүй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тиймээс, худалдаж авсан 24 тасалбараас ядаж нэг нь ялагч болох магадлал:

Хариулт:

Асуудал 4

Хайрцаг нь нэгдүгээр ангийн 6 хэсэг, хоёрдугаар ангийн 5, гуравдугаар ангийн 2 хэсгийг агуулдаг. Хоёр дэлгэрэнгүй мэдээллийг санамсаргүй байдлаар авдаг. Тэд хоёулаа ижил төрлийн байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл

Шаардлагатай магадлал нь хоёр хэсэг нь 1, 2, 3-р зэрэгтэй байх магадлал бөгөөд харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Авсан хоёр хэсэг нь нэгдүгээр зэрэгтэй байх магадлал:

Авсан хоёр хэсэг нь хоёрдугаар зэрэгтэй байх магадлал:

Авсан хоёр хэсэг нь гуравдугаар зэрэгтэй байх магадлал:

Тиймээс ижил төрлийн 2 хэсгийг татах магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

Хариулт:

Асуудал 5

0 ≤ t ≤ 1 цагт (t цагийг цагаар илэрхийлнэ) буудал дээр нэг автобус ирдэг.

Шийдэл

0 ≤ t ≤ 1 (үүнд t нь цаг, цаг) эсвэл 0 ≤ t ≤ 60 (энд t нь минутаар цаг) байвал автобус t ямар ч үед ирж болно.

Зорчигч t = 0 үед ирж, 28 минутаас илүүгүй хүлээдэг.

Энэ хугацаанд буюу үлдсэн 32 минутын хугацаанд автобус буудалд ирэх магадлал адил магадлалтай тул энэ зогсоол дээр t = 0 цагт ирсэн зорчигч 28 минутаас илүүгүй хугацаанд автобус хүлээх магадлал өндөр байна. тэнцүү байна

Хариулт:

Асуудал 8

Эхний мэргэн бууч онох магадлал 0.2, хоёр дахь нь 0.2, гурав дахь нь 0.2 байна. Гурван буудагч нэгэн зэрэг буудсан. Магадлалыг ол:

1) зөвхөн нэг буудагч байг онох болно;

2) хоёр буудагч байг онох;

3) ядаж нэг нь бай онох болно.

Шийдэл

1) Зөвхөн нэг буудагч бай онох магадлал нь эхний буудагч бай онох, хоёр, гурав дахь нь алга болох магадлалтай тэнцүү байна. эсвэлХоёр дахь буудагч оносон, нэг, гурав дахь нь алга болсон эсвэлГурав дахь мэргэн буучаар бай онож, эхний болон хоёрдугаарт алга болсон тул харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эхний буудагч байг онох, хоёр, гурав дахь нь алдах магадлал нь эдгээр магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр дахь мэргэн бууч нь бай онож, эхний болон гурав дахь нь алга болох, гурав дахь нь бай онох, эхний болон хоёр дахь нь алга болох магадлал:

, .

Тиймээс хүссэн магадлал:

2) Хоёр буудагч байг онох магадлал нь эхний болон хоёр дахь харваачид бай онох, гурав дахь нь алга болох магадлалтай тэнцүү байна. эсвэлэхний болон гурав дахь харваачийн бай онож, хоёр дахь нь алга болсон эсвэлХоёр, гурав дахь мэргэн бууч нь бай онож, эхнийх нь алга болсон нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү гэсэн үг юм.

Эхний болон хоёр дахь харвагчид бай онох, гурав дахь нь алдах магадлал нь эдгээр магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Эхний болон гурав дахь мэргэн бууч нь бай онож, хоёр дахь нь алга болох, мөн хоёр, гурав дахь нь бай онож, эхнийх нь алга болох магадлалтай.

А ба В хоёр үл нийцэх үйл явдлын хувьд эдгээр үйл явдлын магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

P(A эсвэл B) = P(A) + P(B).

Жишээ №3:үхэр шидэх үед 1 эсвэл 6 авах магадлалыг ол.

А (1 өнхрөх) ба B (6 өнхрөх) үйл явдлууд адилхан боломжтой: P(A) = P(B) = 1/6, тиймээс P(A эсвэл B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Магадлалыг нэмэх нь зөвхөн хоёр төдийгүй, ямар ч тооны үл нийцэх үйл явдлын хувьд хүчинтэй.

Жишээ №4:Уг саванд 50 бөмбөг байна: 10 цагаан, 20 хар, 5 улаан, 15 цэнхэр. Бөмбөгийг савнаас гаргах нэг удаагийн үйлдлээр цагаан, хар, улаан бөмбөг гарч ирэх магадлалыг ол.

Цагаан бөмбөг (А үйл явдал) зурах магадлал нь P(A) = 10/50 = 1/5, хар бөмбөг (B үйл явдал) P (B) = 20/50 = 2/5, улаан бөмбөг ( үйл явдал C) нь P (C) = 5/50 = 1/10. Эндээс магадлалыг нэмэх томъёог ашиглан бид P(A эсвэл B эсвэл C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/-г авна. 10

Магадлалыг нэмэх теоремоос дараах эсрэг тэсрэг хоёр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

P(A) + P( ) = 1

Дээрх жишээнд цагаан, хар, улаан бөмбөгийг гаргаж авбал A 1, P(A 1) = 7/10 үйл явдал болно. 1-ийн эсрэг үйл явдал бол цэнхэр бөмбөг зурах явдал юм. 15 цэнхэр бөмбөг байгаа бөгөөд нийт бөмбөгний тоо 50 байгаа тул бид P(1) = 15/50 = 3/10, P (A) + P () = 7/10 +3/10 = 1-ийг авна.

Хэрэв A 1, A 2, ..., A n үйл явдлууд нь хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн системийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Ерөнхийдөө А ба В хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлалыг дараах байдлаар тооцдог

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Магадлалын үржүүлэх теорем:

А ба В үйл явдлуудыг дуудна бие даасан , хэрэв А үйл явдал тохиолдох магадлал нь В үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй ба эсрэгээр бол В үзэгдэл үүсэх магадлал нь А үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй.

Бие даасан үйл явдлууд хамтдаа тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Хоёр үйл явдлын хувьд P(A ба B)=P(A)·P(B).

Жишээ:Нэг саванд 5 хар, 10 цагаан бөмбөлөг, нөгөө нь 3 хар, 17 цагаан бөмбөгтэй. Бөмбөлөг тус бүрээс эхлээд сугалахад хоёр бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.

Шийдэл: эхний савнаас хар бөмбөг зурах магадлал (А үйл явдал) P(A) = 5/15 = 1/3, хоёр дахь савнаас хар бөмбөг (В үйл явдал) P(B) = 3/ байна. 20

P(A ба B)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

Практикт В үйл явдлын магадлал нь ихэвчлэн А үйл явдал болсон эсэхээс хамаардаг. Энэ тохиолдолд тэд ярьдаг нөхцөлт магадлал , өөрөөр хэлбэл А үйл явдал тохиолдоход В үйл явдлын магадлал. Нөхцөлт магадлалыг P(B/A) гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв харилцан хамааралтай хоёр үйл явдлын хамтдаа тохиолдохоос бүрдэх үйл явдлын магадлалыг тодорхойлсон тохиолдолд магадлалын үржүүлэх теорем улам төвөгтэй болно. А үйл явдал болсон тохиолдолд В үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд эдгээр хоёр үйл явдлын хамт тохиолдох магадлал тэнцүү байна.

P(A ба B)=P(A)P(B/A).

Уг саванд 5 бөмбөг байна: 3 цагаан, 2 хар. Хар цагаан бөмбөлгүүд ар араасаа зурагдах магадлалыг ол.

Хар бөмбөгийг түрүүлж татах магадлал (А үйл явдал) P(A) = m/n = 2/5-тай тэнцүү байна. Хар бөмбөгийг салгасны дараа саванд 4 бөмбөг үлдсэн: 3 цагаан, 1 хар. Энэ тохиолдолд цагаан бөмбөг зурах магадлал (А үйл явдлын дараах В үйл явдал) P(B/A) = ¾-тэй тэнцүү байна. Бид P(A ба B) = P(A)P(B/A) = (2/5)(3/4) = 3/10-ыг авна.

Хэрэв А үйл явдал зөвхөн Н 1 , Н 2 ,…Н n үйл явдлуудын аль нэгээр тохиолдох боломжтой бол хосоороо үл нийцэх үйл явдлын бүрэн системийг бүрдүүлдэг бол А үйл явдлын магадлалыг дараах байдлаар тодорхойлно. нийт магадлалын томъёо

P(A) = P(A/N 1)P(N 1)+P(A/N 2)P(H 2)+...+P(A/N n)P(N n).

Энэ тохиолдолд P(H i /A) магадлалыг тооцоолохын тулд ашиглана уу Бэйсийн томъёо:

Аюулгүй байдлын асуултууд

1. Үйл явдлын магадлалыг тодорхойл.

2.Ямар үйл явдлыг тэгш боломжтой гэж нэрлэдэг вэ?

3.Ямар үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг вэ?

4.Ямар үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг вэ?

5.Ямар үйл явдлыг эсрэг гэж нэрлэдэг вэ?

6.Магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг томъёол.

7. Найдвартай үйл явдлын магадлал хэд вэ? Боломжгүй үйл явдал?

8.Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томьёог нэрлэ.

Гэрийн даалгавар

Бөглөх ажлын дэвтэрхичээл 11-12.

Лекц №6

Сэдэв: :Магадлалын онол, математик статистикийн үндсэн ойлголтууд

Математикийн бие даасан даалгавар

Хоёр дахь зурсан бөмбөг нь цагаан өнгөтэй байх магадлал нь тэнцүү байна

Цагаан бөмбөлгүүдийн нэг нь аль хэдийн зурагдсан тул.

3) Хоёр зурсан бөмбөг өөр өөр өнгөтэй байх магадлал нь эхний бөмбөг цагаан, хоёр дахь нь хар эсвэл эхний бөмбөг хар, хоёр дахь нь цагаан байх магадлал юм. Энэ нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1) 2) 3) .

1) цагаан, 2) ижил өнгөтэй, 3) өөр өөр өнгө.

2) Хоёр бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлал нь хоёулаа цагаан эсвэл хар өнгөтэй байх магадлал юм. Энэ нь хоёр цагаан бөмбөг эсвэл хоёр хар бөмбөг зурах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3) Эхний савнаас авсан бөмбөг цагаан, хоёр дахь савнаас авсан бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал, эсвэл эсрэгээр - эхний бөмбөг хар, хоёр дахь нь цагаан өнгөтэй байх магадлал нь харгалзах нийлбэртэй тэнцүү байна. магадлал:

Хариулт: 1) 2) 3) .

Сугалааны 24 тасалбараас 11 нь хожсон байна. Худалдан авсан 2 тасалбараас ядаж нэг нь ялагч болох магадлалыг ол.

Тиймээс, худалдаж авсан 24 тасалбараас ядаж нэг нь ялагч болох магадлал:

Хариулт:

Авсан хоёр хэсэг нь нэгдүгээр зэрэгтэй байх магадлал:

Авсан хоёр хэсэг нь хоёрдугаар зэрэгтэй байх магадлал:

Авсан хоёр хэсэг нь гуравдугаар зэрэгтэй байх магадлал:

Тиймээс ижил төрлийн 2 хэсгийг татах магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

0 ≤ t ≤ 1 цагт (t цагийг цагаар илэрхийлнэ) буудал дээр нэг автобус ирдэг.

0 ≤ t ≤ 1 (үүнд t нь цаг, цаг) эсвэл 0 ≤ t ≤ 60 (энд t нь минутаар цаг) байвал автобус t ямар ч үед ирж болно.

Зорчигч t = 0 үед ирж, 28 минутаас илүүгүй хүлээдэг.

Хариулт:

1) зөвхөн нэг буудагч байг онох болно;

2) хоёр буудагч байг онох;

3) ядаж нэг нь бай онох болно.

1) Зөвхөн нэг буудагч бай онох магадлал нь эхний буудагч байг онож, хоёр, гурав дахь нь алга болох, эсвэл хоёр дахь буудагч байг онож, нэг, гурав дахь буудагч, гурав дахь буудагч онох магадлалтай тэнцүү байна. зорилтот ба эхний болон хоёр дахь нь алга болсон тул харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эхний буудагч байг онох, хоёр, гурав дахь нь алдах магадлал нь эдгээр магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тиймээс хүссэн магадлал:

2) Хоёр буудагч байг онох магадлал нь эхний болон хоёр дахь харваачид байг онож, гурав дахь нь алга болох, эсвэл эхний болон гурав дахь харвагчид байг онож, хоёр дахь нь алга болсон, хоёр, гурав дахь харвах магадлалтай тэнцүү байна. байг онох ба эхний алга болсон, тиймээс харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эхний болон гурав дахь мэргэн бууч нь бай онож, хоёр дахь нь алга болох, хоёр дахь, гурав дахь нь байг онож, эхнийх нь алга болох магадлал:

Тиймээс хүссэн магадлал:

3) Ядаж нэг буудагч байг онох магадлал нь нэг ба нэг ч буудагч бай онохгүй байх магадлалын зөрүүтэй тэнцүү байна. Нэг ч буудагч бай онохгүй байх магадлал нь эдгээр магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1), 2) , 3) .

Оюутан программын 24 асуултаас 11 асуултыг мэддэг. Шалгалтын хуудас бүр гурван асуулттай. Магадлалыг ол: 1) оюутан бүх гурван асуултыг мэддэг; 2) зөвхөн хоёр асуулт; 3) шалгалтын карт дээр зөвхөн нэг асуулт байна.

1) Оюутан тасалбар дээрх гурван асуултыг бүгдийг нь мэдэх магадлал нь тус бүрийг мэдэх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Гурван асуулт бүгд өөр бөгөөд давтагдахгүй тул:

2) Оюутан тасалбар дээрх хоёр асуултыг л мэддэг байх магадлал нь эхний болон хоёр дахь асуултыг мэддэг боловч гурав дахь асуултыг мэдэхгүй байх, эсвэл эхний болон гурав дахь асуултыг мэддэг боловч мэдэхгүй байх магадлалтай тэнцүү байна. хоёрдугаарт, эсвэл тэр хоёр, гурав дахь асуултыг мэддэг боловч эхний асуултыг мэддэггүй. Өөрөөр хэлбэл, энэ магадлал нь эдгээр бүх магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ дүнгийн эхний хугацаа:

Энэ дүнгийн хоёр дахь хугацаа:

Мөн энэ дүнгийн гурав дахь хугацаа:

Тиймээс хүссэн магадлал:

3) Оюутан гурван асуултаас зөвхөн нэг асуултыг мэдэх магадлал нь нэг асуултын зөрүү ба нэг асуулт мэдэхгүй байх магадлалтай тэнцүү байна.

Хариулт: 1), 2) , 3) .

Эхний саванд 6 цагаан, 11 хар, хоёрдугаарт 5 цагаан, 2 хар бөмбөлөг байна. Нэг бөмбөгийг эхний савнаас хоёр дахь руу шилжүүлж, дараа нь нэг бөмбөгийг хоёр дахь савнаас гаргав. Хоёр дахь савнаас авсан бөмбөг: 1) цагаан, 2) хар өнгөтэй болох магадлалыг ол.

1) Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар авч, хоёр дахь руу шилжүүлсэн бөмбөг цагаан өнгөтэй болох магадлал:

Хэрэв эхний савнаас хоёр дахь руу шилжсэн бөмбөг цагаан өнгөтэй бол хоёр дахь саванд зургаан цагаан бөмбөг байна. Дараа нь хоёр дахь савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал:

Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар авч, хоёр дахь руу шилжүүлсэн бөмбөг хар өнгөтэй болох магадлал:

Хэрэв эхний савнаас хоёрдахь руу шилжсэн бөмбөг хар өнгөтэй бол хоёр дахь саванд гурван хар бөмбөг байна.

Дараа нь хоёр дахь савнаас авсан бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал нь:

Эдгээр хоёр үйл явдлын магадлал нь эдгээр магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1) , 2) .

Эхний саванд 6 цагаан, 11 хар бөмбөлөг, хоёрдугаарт 5 цагаан, 2 хар, гурав дахь саванд 7 цагаан бөмбөлөг байна. Урнаа санамсаргүй байдлаар сонгож, түүнээс бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Татсан бөмбөг байх магадлалыг ол:

1) цагаан, 2) хар.

1) Гурван савнаас аль нэгийг нь сонгох магадлал 1/3 байна.

Эхний савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал:

Энэ нь эхний савыг сонгож, түүнээс цагаан бөмбөг зурах магадлал дараах байдалтай байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил хоёр дахь савыг сонгож, түүнээс цагаан бөмбөг зурах магадлал нь:

Гурав дахь савыг сонгож, түүнээс цагаан бөмбөг зурах магадлал:

Санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал нь эдгээр магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Эхний савыг сонгож, түүнээс хар бөмбөг зурах магадлал:

Үүний нэгэн адил хоёр дахь савыг сонгож, түүнээс хар бөмбөг зурах магадлал нь:

Гурав дахь савыг сонгож, түүнээс хар бөмбөг зурах магадлал:

Гурав дахь саванд бүх бөмбөг цагаан өнгөтэй байна.

Санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас хар бөмбөг зурах магадлал нь эдгээр магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1), 2) .

Гурван савны нэг нь 6 цагаан, 11 хар бөмбөлөг, хоёр дахь нь 5 цагаан, 2 хар, гурав дахь нь 7 цагаан бөмбөгтэй. Гурван савнаас нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сонгож, түүнээс дахин нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сонгоно. Тэр цагаан болж хувирав. 1) эхний савнаас бөмбөг, 2) хоёрдугаар савнаас бөмбөг, 3) гурав дахь савнаас бөмбөг сугалах магадлал хэд вэ?

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид Bayes томъёог ашигладаг бөгөөд түүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна: хэрвээ туршилтаас өмнө H 1, H 2, ... N n таамаглалуудын магадлал P(H 1), P(-тэй тэнцүү байсан бол. H 2), ..., P(H n) ба үр дүнд нь А үйл явдал болсон тул таамаглалын шинэ (нөхцөлт) магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Энд Р(Н i) нь Н i таамаглалын магадлал, Р(А|Н i) нь энэ таамаглалын дагуу А үйл явдлын нөхцөлт магадлал юм.

Таамаглалуудыг тэмдэглэе:

N 1 – эхний савны сонголт, N 2 – хоёрдугаар савны сонголт, N 3 – гурав дахь савны сонголт.

Үйлдэл эхлэхээс өмнө эдгээр бүх таамаглал ижил магадлалтай байна:

Сонгосны дараа цагаан бөмбөг зурсан байна. Нөхцөлт магадлалыг олцгооё:

;

1) Байесийн томьёоны дагуу бөмбөгийг эхний савнаас гаргаж авсан арын (туршилтын дараа) магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

2) Үүнтэй адилаар бөмбөгийг хоёр дахь савнаас гаргасан байх магадлал нь:

3) Үүнтэй адилаар бөмбөгийг гурав дахь савнаас гаргасан байх магадлал нь:

1) ,

2) ,

3) .

Математикийн шалгалт өгсөн 24 сурагчаас 6 нь онц, 11 нь сайн, 5 нь дундаж, 2 нь тааруу байсан. IN шалгалтын хуудас 20 асуулт. Бэлтгэл сайтай оюутан бүх 20 асуултанд, сайн бэлтгэгдсэн оюутан 16 асуултанд, дунд зэргийн оюутан 10 асуултанд, муу бэлтгэлтэй оюутан 5 асуултанд хариулна. Санамсаргүй байдлаар дуудагдсан оюутан санамсаргүй байдлаар хуваарилагдсан гурван асуултанд хариулав. Энэ сурагчийн бэлтгэлтэй байх магадлалыг ол: 1) онц, 2) муу.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид Bayes-ийн томъёог ашигладаг.

Энд Р(Н i) нь Н i таамаглалын магадлал,

Р(А|Н i) – энэ таамаглалын дагуу А үйл явдлын нөхцөлт магадлал.

Таамаглалуудыг тэмдэглэе:

N 1 – сурагч бэлтгэл сайтай, N 2 – сурагч сайн бэлтгэгдсэн,

N 3 - сурагч дунд зэргийн бэлтгэлтэй, N 4 - сурагч муу бэлтгэгдсэн.

Шалгалтын өмнө эдгээр таамаглалуудын өмнөх магадлал нь:

, , ,

Шалгалтын шалгалтын дараа оюутнуудын нэг нь гурван асуултанд хариулсан болохыг олж мэдэв. Гүйцэтгэлийн бүлэг тус бүрийн сурагч гурван асуултанд хариулах нөхцөлт магадлалыг олцгооё.

, ,

, .

1) Байесийн томъёогоор дуудагдсан оюутан төгс бэлтгэгдсэн байх арын (шалгалтын дараа) магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

2) Үүний нэгэн адил, дуудагдсан оюутан муу бэлтгэлтэй байх магадлал нь:

1) Дуудсан оюутан төгс бэлтгэгдсэн байх магадлал:

2) Дуудсан оюутны бэлтгэл муу байх магадлал:

Зоосыг 11 удаа шиддэг. Сүлд гарах магадлалыг ол: 1) 2 удаа, 2) 2-оос ихгүй, 3) нэгээс багагүй, 2-оос ихгүй удаа.

Хэрэв туршилтыг n удаа хийж, p магадлал бүхий үйл явдал тохиолдох бүрт (мөн үүний дагуу 1 – p = q магадлалаар харагдахгүй) бол энэ үйл явдлын m удаа тохиолдох магадлалыг бином тархалтыг ашиглан тооцоолно. томъёо:

m-ийн n элементийн хослолын тоо.

1) Б энэ тохиолдолд p = 0.5 (сүлд унах магадлал),

q = 1 – p =0.5 (толгой авах магадлал),

Тиймээс төрийн сүлд унах магадлал 2 дахин их байна.

2) энэ тохиолдолд үйл явдал (сүлд) 0 удаа, 1 удаа эсвэл 2 удаа гарч ирэх боломжтой бөгөөд энэ нь шаардлагатай магадлалыг илэрхийлнэ:

3) энэ тохиолдолд үйл явдал (сүлд) 1 удаа эсвэл 2 удаа гарч ирэх боломжтой бөгөөд энэ нь шаардлагатай магадлалыг хэлнэ:

Төрийн сүлд авах магадлал:

1) яг 2 дахин тэнцүү

2) 2-оос илүүгүй удаа:

3) дор хаяж нэг удаа, хоёроос илүүгүй удаа:

Харилцаа холбооны сувгаар 11 мессежийг дамжуулдаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь бусдаас үл хамааран p = 0.2 магадлалтай хөндлөнгийн нөлөөгөөр гажууддаг. Магадлалыг ол: 1) 11 мессежээс яг 2 нь хөндлөнгийн нөлөөгөөр гажуудагдах,

2) бүх мессежийг гажуудалгүйгээр хүлээн авна, 3) дор хаяж хоёр мессежийг гажуудуулна.

1) энд p = 0.2 (гажих магадлал),

q = 1 – p =0.8 (гажилтгүй байх магадлал),

2) Бүх 11 мессежийг гажуудалгүйгээр хүлээн авах магадлал нь тус бүрийг гажуудалгүйгээр хүлээн авах бүх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

3) Дор хаяж хоёр мессежийг гуйвуулах нь хоёр эсвэл нэг мессежийг гажуудуулж болзошгүй гэсэн үг юм:

магадлал нь:

1) 11 мессежээс яг 2 нь гажуудсан байх болно.

Дахин үйл явдлууд болон... Үнэхээр бидэнд: *=, *=, =, = байна. L үйл явдлын алгебрийн өөр нэг жишээ бол дөрвөн үйл явдлын цуглуулга юм: . Үнэхээр: *=,*=,=,. 2.Магадлал. Магадлалын онол санамсаргүй үйл явдлыг судалдаг. Энэ нь тодорхой цаг хугацаа хүртэл ерөнхийдөө санамсаргүй А үйл явдлын талаар энэ үйл явдал болох эсэхийг урьдчилан хэлэх боломжгүй гэсэн үг юм. Зөвхөн...