Один из признаков параллельности двух прямых гласит. Н.Никитин Геометрия

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной .

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

накрест лежащие углы равны;

соответственные углы равны;

сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Рис. 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ. Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72).

Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ. Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б).

Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC 1 , равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C 1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 и \(\angle\)2 = \(\angle\)3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ. Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ. Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76).
По признаку параллельности прямых прямые a 1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1 .
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с
параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ. Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.

Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;

∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).

Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .

Но ∠3 + ∠2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

Признаки параллельных прямых:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Аксиома параллельности Евклида

Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;

получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.

На основании теоремы ("Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.") заключаем, что СD || АВ.

2-й с п о с о б (черт. 200).

Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы () заключаем, что ЕF || АВ.

Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

Принятая Евклидом в его "Началах" аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида .

Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

AB и С D пересечены третьей прямой MN , то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы : 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам , как углы вертикальные .

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

то первые две прямые параллельны.

Инструкция

Перед началом доказательства убедитесь, что прямые лежат в одной плоскости и их можно изобразить на ней. Наиболее простым способом доказательства является метод измерения линейкой. Для этого при помощи линейки измерьте расстояние между прямыми в нескольких местах как можно дальше друг от друга. Если расстояние остается неизменным, данные прямые параллельны. Но такой метод недостаточно точен, поэтому лучше используйте другие способы.

Проведите третью прямую, так, чтобы она пересекала обе параллельные прямые. Она образует с ними четыре внешних и четыре внутренних угла. Рассмотрите внутренние углы. Те, которые лежат через секущую прямую называются накрестлежащими. Те, что лежат по одной стороне называются односторонними. При помощи транспортира измерьте два внутренних накрестлежащих угла. Если они равны между собой, то прямые будут параллельными. Если остались сомнения, измерьте односторонние внутренние углы и сложите получившиеся значения. Прямые будут параллельными, если сумма односторонних внутренних углов будет равна 180º.

Если нет транспортира, возьмите угольник с углом 90º. С его помощью постройте перпендикуляр к одной из прямых. После этого продолжите этот перпендикуляр таким образом, чтобы он пересек другую прямую. С помощью того же угольника проверьте, под каким углом этот перпендикуляр пересекает ее. Если этот угол тоже равен 90º, то прямые параллельны между собой.

В том случае, если прямые заданы в декартовой системе координат, найдите их направляющие или нормальные векторы. Если эти векторы, соответственно, между собой коллинеарны, то прямые параллельны. Приведите уравнение прямых к общему виду и найдите координаты нормального вектора каждой из прямых. Его координаты равны коэффициентам А и В. В том случае, если отношение соответствующих координат нормальных векторов одинаково, они коллинеарны, а прямые параллельны.

Например, прямые заданы уравнениями 4х-2у+1=0 и х/1=(у-4)/2. Первое уравнение – общего вида, второе – канонического. Приведите второе уравнение к общему виду. Используйте для этого правило преобразования пропорций, в результате получите 2х=у-4. После приведения к общему виду получите 2х-у+4=0. Поскольку уравнение общего вида для любой прямой записывается Ах+Ву+С=0, то для первой прямой: А=4, В=2, а для второй прямой А=2, В=1. Для первой прямой координаты нормального вектора (4;2), а для второй – (2;1). Найдите отношение соответствующих координат нормальных векторов 4/2=2 и 2/1=2. Эти числа равны, а значит вектора коллинеарны. Поскольку вектора коллинеарны, прямые параллельны.