Основные понятия геометрической оптики. Принцип Ферма Оптика
Доказательство
закона отражения света
из принципа Ферма
Принцип Ферма
Принцип Ферма (принцип наименьшего времени Ферма) в геометрической оптике - постулат, предписывающий лучу света двигаться из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему (реже - максимизирующему) время движения (или, что то же самое, минимизирующему оптическую длину пути).Этот принцип, сформулированный в I в. Героном Александрийским для отражения света, в общем виде был сформулирован Пьером Ферма около 1660 года в качестве самого общего закона геометрической оптики. В разнообразных конкретных случаях из него следовали уже известные законы: прямолинейность луча света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух прозрачных сред .
Законы геометрической оптики и принцип Ферма
Конечность и постоянство скорости света позволяет вывести из принципа Ферма все три закона геометрической оптики.Закон прямолинейного распространения
Поскольку свет распространяется в однородной среде с постоянной скоростью, то минимальность времени становится эквивалентной минимальному расстоянию. Поэтому доказательство закона прямолинейного распространения света из принципа Ферма тривиально: Свет в однородной среде движется по кратчайшему расстоянию, соединяющему две точки, т.е. по отрезку прямой.Закон отражения
Для доказательства закона отражения света можно обратиться к рисунку. Если отразить точечный источник S в зеркале, то для любой точки R" будет верно равенство длин отрезков: SR" = S"R" . Поэтому время прохождения света по пути S → R" → А будет равно времени прохождения света по пути S" → R" → А . Согласно принципу Ферма свет будет распространяться по «кратчайшему расстоянию», а из всех подобных расстояний минимальное будет для пути S" → R → А , когда точка R" будет находиться на отрезке S"А , соединяющем мнимое изображение источника и точку наблюдения (глаз). Не трудно видеть, что для этой точки угол падения равен углу отражения.Это доказательство, естественно, не является строгим. По старой доброй традиции вставлю фразу: «Пытливый читатель может провести строгое доказательство самостоятельно». Перечислю лишь теоремы планиметрии, которые в нем использовались:
- Признак равенства прямоугольных треугольников;
- Неравенство треугольника;
- Теорема о равенстве вертикальных углов;
Закон преломления
Доказательство закона преломления света исходя из принципа Ферма несколько более сложное, чем представленные выше.Принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для случая исчезающей малой длины волны света.
id="tabs-1">
В модели можно изменять следующие величины:
- Показатели преломления двух сред;
- Положение источника света;
- Положение приемника света;
- Положение точки на границе раздела двух сред.
- скорости распространения света в обоих средах;
- время прохождения света в каждой из сред
Управление интерактивной моделью
- Изменить масштаб: «CTRL + колесо мыши» или «CTRL + "+"»–«CTRL + "–"»
- Изменить позицию: перетащить при зажатой «CTRL + левая кнопка мыши»
- Стереть все «следы»: «CTRL + F »
Скачать модель
Авторами моделей, отмеченных знаком © CC-BY-SA, Являются указанные на сайте лица. Интерактивные модели распространяются по лицензии Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Attribution-ShareAlike (by-sa)
- Лицензия «С указанием авторства - Копилефт». Эта лицензия позволяет другим перерабатывать, исправлять и развивать произведение даже в коммерческих целях при условии указания авторства и лицензирования производных работ на аналогичных условиях. Эта лицензия является копилефт-лицензией. Все новые произведения основанные на лицензированном под нею будут иметь аналогичную лицензию, поэтому все производные будет разрешено изменять и использовать в коммерческих целях. При воспроизведении работ, распространяемых по данной лицензии ссылка на сайт обязательна!
1. Пьер Ферма (1601--1675) выдвинул принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Это было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей.
2. Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида
(где а(r) , Ф(r) - вещественные функции координат.
Волновое число
например порожденная точечным источником. Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2.
Если эйконал Ф - однозначная функция координат, то из уравнения gradФ=ns (где s - единичный вектор нормали к фронту волны) следует, что циркуляция вектора ns по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
где dl -- вектор элементарного смещения вдоль этого контура. Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией ADB. В силу (3)
На луче АСВ векторы s и dl направлены одинаково, следовательно, (sdl)=dl. На линии же ADB (sdl)=dl cos (s,dl) Знак равенства относится только к случаю, когда кривая ADB сама является лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения света вдоль него. Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Рассмотрим например, среду с сферически симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис. 3). Примером такой среды может служить планетная атмосфера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве так, что световой луч, выйдя из какой-либо точки перпендикулярно к радиусу, описывает окружность с центром в точке О. Пусть свет попадает из точки А в точку В по большой дуге АСВ этой окружности. Но он может пройти из А в В и по дуге ADB той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ADB. Все это противоречит принципу Ферма в приведенной выше формулировке. Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере эйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение nl , где l -- длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2mп1. Это и значит, что функция Ф неоднозначна. Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ODE и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку. Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает. 3. При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя из точки А (рис. 4), после отражений или преломлений в точках С, D,Е, попадает в точку В. Назовем виртуальным путем света любую линию AC"D"E"B между крайними точками А и В, которая получается из ACDEB в результате бесконечно малого бокового смещения ее и отличается от нее бесконечно мало по направлению. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна. Это значит, что разность оптических длин действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях. При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть MN -- граница раздела сред 1 и 2, а АСВ -- действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 5). Вообразим два бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В. За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча АС" и C"В, пересекающихся на границе раздела в точке С". Кривую АС"В можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С"В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча АС" . Обозначим через и эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А и В соответственно. Тогда Вариация интеграла при смещении точки С в произвольную бесконечно близкою точку С" границы раздела будет Если -- вектор смещения, то и аналогично, так что В силу закона преломления Снеллиуса вектор перпендикулярен к границе раздела сред в точке падения, а потому и к бесконечно малому смещению вдоль границы Таким образом, в первом порядке по вариация оптической длины луча АСВ обращается в нуль. При доказательстве предполагалось, что виртуальный путь состоит из отрезков лучей АС" и СВ". Однако результат отрезки заменить произвольными бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же точки A и С", С" и В, В самом деле, поскольку АС" и С" В -- действительные лучи в первой и второй средах, их оптические длины по доказанному выше минимальны. По этой причине замена действительных лучей АС" и С"В бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же крайние точки, не меняет в первом порядке оптические длины соответствующих путей. Следовательно, вариация оптической длины луча АСВ останется равной нулю, каков бы ни был виртуальный путь света. А к этому в рассматриваемом случае и сводится содержание принципа Ферма. 4. В применениях иногда удобна следующая теорема, являющая- ся непосредственным следствием принципа Ферма. Пусть А и В -- произвольные точки луча АСВ (рис.6). Проведем через точку В произвольную гладкую поверхность BE, ортогональную к лучу АСВ в точке В. Пусть BD -- бесконечно малое смещение вдоль этой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точкой D произвольной линией AHD, бесконечно мало отличающейся по направлению от луча АСВ. Тогда вариация оптической длины при переходе от истинного пути света АСВ к виртуальному AHD будет равна нулю. Для доказательства возьмем пучок лучей, исходящих из точки А. Все А эти лучи ортогональны к волновому фронту BF, а их оптические длины от точки А до волнового фронта одинаковы. В частности, (АСВ) = (АМК). Но по принципу Ферма с точностью до бесконечно малых высшего порядка (АМК) = (AHK). Далее, поскольку поверхности BDE и BKF касаются друг друга в точке В, длина луча KD будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с BD. Поэтому оптическая длина AHD будет отличаться от оптической длины АСВ также на величину высшего порядка малости по сравнению с боковым смещением BD. Это и требовалось доказать. 5. Если между собой, то в каждой среде путь света будет прямолинеен. В этом случае задача сводится только к нахождению точек на поверхностях раздела сред, в которых происходит отражение и преломление светового луча. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные виртуальные пути света. Достаточно ограничиться ломаными виртуальными путями, состоящими из отрезков прямых линий, причем изломы таких путей должны происходить на границах раздела рассматриваемых сред. Даже при таких ограничениях оптическая длина действительного светового пути может быть не только минимальной, но и максимальной или стационарной. Чтобы показать это в случае отражения света, возьмем эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения эллипса вокруг его большой оси (рис. 7). Пусть и - фокусы эллипсоида Если А --точка на его поверхности, то где 2а -- длина большой оси эллипсоида. Поверхность зеркала делит все пространство на две части: внутреннюю, сумма расстояний каждой точки которой от фокусов и меньше 2а, и внешнюю, для которой эта сумма больше 2а, Пусть световой луч выходит из фокуса Тогда после отражения от эллипсоидального зеркала в точке А он пройдет через второй фокус F 2, так как по известному свойству эллипса прямые A и F 2 A образуют одинаковые углы с нормалью к поверхности зеркала. При смещении вдоль поверхности зеркала сумма А+ F 2 A, а с ней и время распространения света из в F 2 не изменяются. Вариация времени распространения при таком смещении равна нулю. Однако это время ни минимально, ни максимально -- оно постоянно. Именно по этой причине любой луч, вышедший из F l, обязательно пройдет через F 2 , в какой бы точке зеркала он ни отразился. Убедиться в этом можно с помощью таких же рассуждений, какие были приведены в пункте 3. Вообразим теперь зеркало S, касающееся эллипсоида в точке А, обращенное вогнутостью в ту же сторону, что и эллипсоид, но имеющее большую кривизну. Световой луч A после отражения от этого зеркала снова попадает в точку F 2 . Однако при смещении точки А по поверхности зеркала S длина ломаной AF 2 уменьшается. Следовательно, время распространения света из в F 2 вдоль действительного пути максимально. Наоборот, если взять зеркало S" имеющее в точке касания меньшую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения света вдоль действительного пути будет минимально. В частности, оно минимально при отражении от плоского зеркала. Допустим, наконец, что зеркало SAS" имеет в А точку перегиба. Тогда при смещении точки падения луча по поверхности этого зеркала время распространения либо увеличится, либо уменьшится, либо останется неизменным, в зависимости от направления смещения. 6. Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие анаберрационной поверхности. Пусть точка Р находится в однородной среде с показателем преломления n, а точка Р" -- в однородной среде с показателем преломления n" (рис. 8). Поверхность АА", вдоль которой среды граничат друг с другом, называется анаберрационной, если любая точка А этой поверхности удовлетворяет условию n*РА + n"* АР" = С = const. (9) Для случая преломления анаберрационная поверхность имеет форму так называемого картезианского овала. Он обращен вогнутостью в сторону более преломляющей среды (n" > n). Анаберрационная поверхность делит пространство на две части, обладающие следующим свойством. Если точка М расположена в менее преломляющей среде, то сумма n*РМ + n"*MP" больше С; если же она лежит в более преломляющей среде, то эта сумма меньше С. Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки Р, после преломления на анаберрационной поверхности обязательно пройдет через точку Р". Действительно, пусть РА -- падающий луч, as -- единичный вектор, направленный вдоль него. Соединим точку А с точкой Р" и обозначим через s" единичный вектор, направленный вдоль прямой АР". По определению анаберрационной поверхности вариация оптической длины ломаной РAР" при смещении точки А по анаберрационной поверхности будет равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были проведены в пункте 2, найдем, что вектор ns -- n"s" перпендикулярен к анаберрационной поверхности в точке А. Отсюда следует, что АР" дает направление преломленного луча. Доказанной теореме можно дать также следующую формулировку. Если АА" -- анаберрационная поверхность относительно пары точек Р и Р", то каждая из этих точек будет оптическим изображением другой при преломлении лучей на этой анаберрационной поверхности. При этом на угловую ширину пучка лучей не накладывается никаких ограничений. Вернемся к исследованию характера экстремума оптической длины луча при преломлении. Наши рассуждения ничем не будут отличаться от рассуждений, проведенных выше для эллипсоидального зеркала. Допустим, например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности S (рис. 8), касающейся анаберрационной поверхности в точке A. Тогда падающий луч после преломления в точке А опять пройдет через точку Р". Пусть поверхность S обращена вогнутостью в ту же сторону, что и анаберрационная поверхность, и имеет в точке касания большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль S она окажется в менее преломляющей среде. Следовательно, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину, чем действительный: время распространения света вдоль действительного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности S в точке касания А меньше кривизны анаберрационной поверхности, а также тогда, когда поверхность S обращена вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения вдоль действительного пути минимально. В частности, оно Минимально при преломлении на плоской поверхности. Свет
- это электромагнитное излучение в диапазоне длин волн от до (ф 0,4-0,79 мкм кр).
Видимый свет
– это излучение в интервале длин волн: Принцип Ферма (первая формулировка):
свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время. Пусть свет распространяется из точки 1 в точку 2 .Для прохождения элементарного участка dS свету потребуется время. Абсолютный показатель преломления среды , где с – скорость света, – скорость света в среде, то Оптические свойства вещества характеризуются величиной, называемой абсолютным показателем преломления n. Абсолютный показатель преломления показывает во сколько раз скорость света в вакууме с больше скорости света в веществе v
n 21 = n 2 /n 1 ; n 21 = v 1 /v 2 . 2. Основные законы геометрической оптики.
1) З-н прямолинейного распространения света: в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. 2) З-н обратимости хода светового луча.(закон независимости световых лучей;) 3) З-н отражения света: а)луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча на границе раздела 2 сред, лежат в одной пл-ти. б)угол падения= углу отражения. 4) закон независимости световых пучков. · (эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того
, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены.
Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.) 5) З-н преломления света: а)луч падающий, луч преломляющий и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча на границе раздела 2 сред, лежат в одной плоскости. б)отношение sin угла падения к sin угла преломления есть величина постоянная, равная относительному показателю двух сред Закон отражения
(рис. 7.3): · отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром
, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения
; · угол падения
α равен углу отражения
γ:
α = γ Для вывода закона отражения
воспользуемся принципом Гюйгенса. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ
с
, падает на границу раздела двух сред
(рис. 7.4). Когда фронт волны АВ
достигнет отражающей поверхности в точке А
,
эта точка начнет излучать вторичную волну
. · Для прохождения волной расстояния ВС
требуется время Δt
= BC/υ.
За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD
которой равен: υ
Δt = ВС.
Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC,
а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC
и ADC
вытекает закон отражения
: угол падения
α равен углу отражения
γ.
Закон преломления
(закон Снелиуса
)
(рис. 7.5): · луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости;
· отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред.
Вывод закона преломления.
Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ
), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью с
, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна u
(рис. 7.6). Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС
, равно Dt
. Тогда ВС = с
Dt.
За это же время фронт волны, возбуждаемой точкой А
в среде со скоростью u,
достигнет точек полусферы, радиус которой AD = u
Dt.
Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC,
а направление ее распространения – лучом III.
Из рис. 7.6 видно, что Отсюда следует закон Снелиуса
:
3. Применение принципа Ферма к доказательству законов отражения и преломления.
Принцип Ферма
– основной принцип геометрической оптики
. Простейшая форма принципа Ферма – утверждение, что луч света
всегда распространяется в пространстве
между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Время
прохождения светом расстояния
l, заполненного средой с показателем преломления n
, пропорционально оптической длине пути
S
; S = l n
для однородной среды, а при переменном n
S = ∫ndl,
Поэтому можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути
. В первоначальной формулировке самого П. Ферма (около 1660) принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света
, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики
: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча
(в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред
из принципа Ферма можно получить законы отражения света и преломления света
. В более строгой формулировке принцип Ферма представляет собой вариационный принцип
, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем другим линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления n
. Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.1). Действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения
где А и В – точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку принципа Ферма. В волновой теории света принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса – Френеля
и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию
, принцип Ферма перестаёт быть применимым.
4.Преломоение света на плоской границе раздела 2-х сред. Полное внутреннее отражение
Если световой пучок падает на поверхность, разделяющую две прозрачные среды разной оптической плотности, например воздух и воду, то часть света отражается от этой поверхности, а другая часть - проникает во вторую среду. При переходе из одной среды в другую луч света изменяет направление на границе этих сред. Это явление называется преломлением света. Законы преломления света. Из всего сказанного заключаем: Пусть MN
-граница раздела двух про зрачных сред, например, воздуха и воды, АО
-падающий луч, ОВ
- преломленный луч, -угол падения, -угол преломления, -скорость распространения света в первой среде, - скорость распространения света во второй среде. Первый закон преломления звучит так: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной для данных двух сред:
Второй закон преломления света очень напоминает второй закон отражения света: падающий луч, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный в точку падения луча, лежит в одной плоскости.
Полное внутреннее отражение
Наблюдается для электромагнитных или звуковых волн на границе раздела двух сред, когда волна падает из среды с меньшей скоростью распространения (в случае световых лучей это соответствует бо́льшему показателю преломления). С увеличением угла падения , угол преломления также возрастает, при этом интенсивность отражённого луча растет, а преломленного - падает (их сумма равна интенсивности падающего луча). При некотором критическом значении интенсивность преломленного луча становится равной нулю и происходит полное отражение света. Значение критического угла падения можно найти, положив в законе преломления угол преломления равным 90°: 5. Призмы
Призма
- оптический элемент из прозрачного материала (например, оптического стекла) в форме геометрического тела - призмы, имеющий плоские полированные грани, через которые входит и выходит свет. Свет в призме преломляется. Важнейшей характеристикой призмы является показатель преломления материала, из которого она изготовлена. Виды призм:
Дисперсионные призмы. Отражательные призмы. Поляризационные призмы.
Дисперсионные призмы
Дисперсионные призмы используют в спектральных приборах для пространственного разделения излучений различных длин волн.
Отражательные призмы
Отражательные призмы используют для изменения хода лучей, изменения направления оптической оси, изменения направления линии визирования, для уменьшения габаритных размеров приборов. Классифицируются отражательные призмы по нескольким признакам:
6. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы
Линзой
называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой
. Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими
и рассеивающими
. Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше Линзы входят в состав практически всех оптических устройств
. Линзы (Рис.3) делятся на собирающие и рассеивающие
Схема тонкой линзы Рис.3,Собирающие (a) и рассеивающие (b) линзы и их условные обозначения. Главной оптической осью
линзы считается ось, прожодящая через центры кривизны её поверхностей. В тонкой линзе точки пересечения главной оптической оси с обеими поверхностями линзы сливаются в одну точку О.(Т.к. очень большие радиусы кривизны приближаются к плоскостям, то сферические поверхности теоретически сливаються в одну плоскость). Эта точка называется оптическим центром линзы. Тонкая линза имеет одну главную плоскость, которая общая для двух сферических поверхностей и проходит через центр призмы и перпендикулярна к главной оптической оси. Все прямые, проходящие через оптический центр линзы, называются побочными оптическими осями линзы. Важным является то, что все лучи, идущие через оптический центр линзы, не преломляются.
Поток монохроматических параллельных лучей или пучков лучей с осями их узких конусов, нормалльных к сферической границе раздела (к главной плоскости, называют парксиальными (приосевыми) пучками. При этом, пройдя через неё сходятся в главном фокусе линзы F 2 . Главные фокусы линзы лежат на главной оптической оси линзы. Точки, расположенные на главной оптической оси линзы с двух сторон оптического центра на равных расстояниях f
2
.
, называются главными фокусами линзы
. Плоскости, проходящие через главные фокусы f
2
линзы и перпендикулярные к её главной оптической оси
, называются фокальными плоскостями линзы
. Формула тонкой линзы. Формула тонкой линзы связывает между; собой три величины: расстояние от предмета до линзы d, расстояние
от линзы до изображения f
и фокус ное расстояние линзы F
: В формуле тонкой линзы фокусное расстояние ОF
обозначается буквой F.
Если линза собирающая, то > 0, если линза рассеивающая, то перед ставится знак «минус». Если изображение действительное, то > 0; если изображение воображаемое, то перед ставиться знак «минус». Все величины в формулу линзы подставляются в метрах. 7. Построение изображений в линзах
Опыт показывает, что параксиальные лучи света, выходящие из одной светящейся точки, после прохождения через линзу сходятся также в одной точке, которая является изображением
светящейся точки. Поэтому для построения изображения точки достаточно взять два любых луча, но лучше те, ход которых после преломления заранее известен: 1 - луч, идущий через оптический центр; 2 - луч, параллельный главной оптической оси; 3 - луч, проходящий через передний фокус собирающей линзы (или продолжение луча 3 проходит через задний фокус рассеивающей линзы) (рис. 16.41). Положение изображения действительного предмета и егоразмеры зависят от положения предмета относительно линзы. Пусть d
- расстояние от предмета до линзы, f
- расстояние от линзы до изображения. Построим изображение плоского предмета АВ
, расположенного на различных расстояниях d
от линзы. Если линза собирающая, то при d>2F
(рис. 16.42) изображение действительное, перевернутое, уменьшенное,F При F (рис. 16.43) изображение действительное, перевернутое, увеличенное, f>2F.
При d (рис. 16.44) изображение мнимое, прямое, увеличенное, находится с той же стороны от линзы, что и сам предмет, но дальше предмета (f>d).
В рассеивающей линзе (рис. 16.45) изображение действительного предмета всегда мнимое, прямое, уменьшенное, находится между линзой и ее фокусом со стороны изображаемого предмета. 8.Глаз как оптический прибор. Лупа, Микроскоп, фотоаппарат.
Глаз.
Основным источником зрения является глазное яблоко, за зрачком находится хрусталик, а сзади сетчатка. Оптическую роль в глазе выполняет элемент, имеющий форму двояковыпуклой линзы и наз-ся хрусталиком. К краям хрусталика прикреплены мышцы, которые сжимают или растягивают хрусталик, в результате меняются радиусы кривизны сферич. пов-ти хрусталика и соответственно фокусные расстояния. При изменении расстояния d до наблюдаемого объекта, расстояние f от хрусталика до сетчатки остается неизменным, а меняется фокусное расстояние. Недостатки зрения – близорукость и дальнозоркость. Лупой
называют собирающую тонкую линзу с малым фокусным расстоянием (5-10 см).увеличение лупы: Утверждающий в простейшей форме,
что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по
тому пути, вдоль к-рого время его прохождения меньше, чем вдоль любого из др.
путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l
в
среде с показателем преломления п
пропорционально оптич. длине пути S
. Для однородной среды S=nl
, а для неоднородной Т.о.,
в этой форме Ф.п. есть принцип наименьшей
оптич. длины пути. В первонач. формулировке, данной П. Ферма (P. Fermat, ок.
1660), принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света, из к-рого
следовали все (к тому времени уже известные) законы геом. оптики. Для однородной
среды Ф. п. приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии
с положением о том, что прямая есть линия, вдоль к-рой расстояние между двумя
точками наименьшее), а для случая падения луча на границу раздела между средами
с разными п
из Ф.п. можно получить законы зеркального отражения света
и преломления света
. В более строгой формулировке
Ф. п. представляет собой т.н. в а р и а ц и о н н ы й п р и н ц и п, утверждающий,
что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, вдоль
к-рой время его прохождения э к с т р е м а л ь н о или о д и н а к о в о по
сравнению с временами прохождения вдоль всех др. линий, соединяющих данные точки.
Это означает, что оптич. длина пути луча может быть не только минимальной, но
и максимальной либо равной всем остальным возможным путям между двумя точками.
Условие экстремальности оптич. длины пути сводится к требованию, чтобы была
равна нулю вариация от интеграла В волновой оптике
Ф.
п. представляет собой предельный случай Гюйгенса - Френеля принципа
и
применим, если можно пренебречь дифракцией света
(когда длина световой
волны мала по сравнению с наименьшими характерными для задачи размерами): рассматривая
лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении
света оптич. длины будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда
необходимо учитывать Принцип Ферма
Рассмотрим оптическую среду, в которой скорость света меняется от точки к точке , такая среда называется неоднородной. Рис. 1. Скорость света зависит от точки В неоднородной среде световые лучи не движутся по прямым, они искривляются. Рис. 2. Один из лучей, выходящих ииз точки Рис. 3. Все пути из в , среди них красным отмечен световой луч Часто вместо времени прохождения оперируют с оптической длиной
пути (коэффициентом пропорциональности служит скорость света в вакууме ), принцип Ферма может быть сформулирован и следующим образом А теперь покажем, что из принципа Ферма следуют все основные законы геометрической оптики. Этот выбор осуществляют с помощью следующего геометрического приема. Отразим точку в зеркале Рис. 5. Длины ломаных Введем систему координат, в которой ось Рис. 6. Отрезок На самом деле имеется единственная возможность устранить это противоречие – предположить, что время прохождения всех этих лучей одно и то же и, кроме того, оно минимально по отношению к времени прохождения всех других путей, соединяющих эти две точки. Этот принцип, являющийся следствием принципа Ферма, называется принципом таутохронности
или принципом равновремённости
. Приступим к конструированию нашего устройства. Самый примитивный эскиз может выглядеть следующим образом
Рис. 7. Первый набросок устройства, собирающего все лучи в одну точку Рис. 7. Второй набросок – примитивная линза Приведем еще один пример применения принципа таутохронности. Но нас опять спасает принцип таутохронности. Мы должны потребовать, чтобы длины всех этих лучей были одинаковы и минимальны по отношению к длинам всех других путей, соприкасающихся с отражающей кривой и соединяющих эти две точки. Точку, из которой выходят световые лучи, обозначим 
Оптика
- раздел физики, который занимается изучением природы света, законов распространения и взаимодействия с веществом.
. Геометрическая оптика –
раздел физики занимающийся изучением законов распространения света и получением изображений в оптических приборах. В основу геометрической оптики положено понятие светового луча
(это линия указывающая направление распространения света) и световой пучок
(это область пространства, в пределах которой распространяется свет). Световые пучки являются независимыми: каждый световой пучок при взаимном пересечении ведет себя самостоятельно, независимо от других пучков и не оказывает никакого влияния на другие пучки света. В основу г. о. положен принцип Ферма.
. Вторая формулировка:
величина называется оптической длиной пути.Если среда однородна (n
=с
onst
), то L=nS
, т. е. оптическая длина пути равнапроизведению показателя преломления среды на геометрическое расстояние между точками. Если заменить , т. е. пр. Ферма: свет распространяется по такому пути, длина которого минимальна, где s- геометрическая длина пути.
Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления в двух средах:
где v 1 и v 2 - скорость света в первой и во второй среде соответственно.
, где – относительный показатель преломления, – абсолютный показатель света.
Если зеркало имеет форму эллипсоида вращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча PO" + O"Q
по свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например PO"" + О"" Q
; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (MM
), реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало NN
) – максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация
от интеграла
1 . На границе раздела двух сред различной оптической плотности луч света при переходе из одной среды в другую меняет своё направление.
2. При переходе луча света в среду с большей оптической плотностью угол преломления меньше угла падения; при переходе луча света из оптически более плотной среды в среду менее плотную угол преломления больше угла падения.
Преломление света сопровождается отражением, причём с увеличением угла падения яркость отражённого пучка возрастает, а преломлённого ослабевает. Это можно увидеть проводя опыт, изображённом на рисунке. Следовательно, отражённый пучок уносит с собой тем больше световой энергии, чем больше угол падения.
, где - относительный показатель преломления (показатель преломления второй среды относительно первой).
Также, особую нишу среди отражательных призм занимают составные призмы, - состоящие из нескольких частей, разделённых воздушными промежутками. Некоторые широко распространённые призмы получили собственные имена.
количеству отражений в призме
наличию или отсутствию «крыши»
характеру конструкции призмы
углу излома оптической оси
Призма Аббе
Призма Аббе-Порро
Рис. 16.43
Рис. 16.44
, расстояние наилучшего зрения.
где
А
и В
-точки, между к-рыми распространяется свет. Примеры мин.
пути - упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение им
границы раздела двух сред с разными п
. Все три случая (минимальности,
максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, рассматривая
отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.). Если зеркало имеет форму эллипсоида
вращения, а свет распространяется
от одного его фокуса Р
к другому Q
(причём путь без
отражения невозможен), то оптич. длина пути луча РО" +
O"Q
по
свойствам эллипсоида равна всем остальным возмож
ным, напр. РО"" + O""Q;
если на пути между
теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны
(ММ)
, реализуется мин. путь, если же большей (зеркало NN
) - максимальный.
Геометрическая оптика может быть построена, исходя из разных принципов. С одной стороны мы можем воспользоваться законами отражения и преломления, с другой – можно использовать принцип Ферма или принцип Гюйгенса. С законами отражения и преломления мы работали уже достаточно долго, а сейчас обсудим принцип Ферма.
Можно сказать, что скорость света 
зависит от точки, а можно сказать, что показатель преломления 
зависит от точки 
. Это одно и то же, т.к. они связаны соотношением 
, где постоянная 
– скорость света в вакууме.
Время прохождения пути
. Пусть у нас имеется некоторый путь 
, соединяющий точки 
и 
, это может быть световой луч, а может и нет. Тем не менее, мы можем вычислить некоторое условное время – время, которое потратил бы световой луч, если бы он шел вдоль этого пути 
, имея в каждой точке 
скорость 
. Приближенно это время можно вычислить, разбив весь путь на маленькие отрезки длины 
и выбрав внутри каждого отрезка некоторую точку . Тогда время прохождения маленького отрезка можно оценить как 
, а общее время прохождения будет равно сумме этих времен
.
Равенство это конечно приближенное, но правая часть – это интегральная сумма для следующего криволинейного интеграла вдоль пути , дающего уже точный результат
.
Этот интеграл мы и назовем временем прохождения
пути . Для светового луча это время совпадает с тем временем, которое он на самом деле затрачивает на путь от до . Теперь можно сформулировать принцип Ферма.
П
ринцип Ферма
. Зафиксируем две точки и . Из точки выпустим световые лучи во всех возможных направлениях. Пусть, скажем, один из них попадет в точку .
, попадает в точку 
П
роведем все возможные пути из точки в точку , в том числе и сам световой луч.
Принцип Ферма говорит о том, чем реальный световой луч отличается от всех остальных путей, соединяющих эти точки,
время прохождения светового луча, идущего из одной точки в другую, наименьшее по сравнению со всеми другими путями, соединяющими эти точки.
Почему, скажем, световой луч может не пойти по отрезку, соединяющему точки, а пойдет по искривленному пути. По принципу Ферма это будет происходить в том случае, если скорость света в точках отрезка больше, чем в точках на искривленном пути.
.
Т.к. оптическая длина и время прохождения пропорциональны между собой
оптическая длина светового луча, идущего из одной точки в другую, наименьшая по сравнению со всеми другими путями, соединяющими эти точки.
На самом деле обе данные нами формулировки принципа Ферма требуют некоторого уточнения – вместо слова наименьшее
в них должно стоять слово стационарное
, но сейчас мы не будем на этом останавливаться.
Прямолинейность световых лучей в однородных средах
. Если среда однородна, т.е. скорость света в ней постоянна, 
, то вдоль любого пути время прохождения пропорционально длине этого пути
.
Здесь в правой части 
обозначает длину пути. Отсюда следует, что наименьшее время прохождения у того пути, у которого длина наименьшая, т.е. у отрезка прямой. Значит, по принципу Ферма свет пойдет по прямой.
П
ринцип Ферма 
закон отражения
. Пусть световой луч выходит из точки и после отражения попадает в точку . Исходя из принципа Ферма докажем, что угол падения равен углу отражения.
Рис. 4. Среди всех двузвенных ломаных нужно выбрать кратчайшую
Тут нужно небольшое уточнение к принципу Ферма. Чтобы учесть отражение, нам нужно будет сравнивать между собой не все пути из и , а только соприкасающиеся с зеркалом. Т.к. мы считаем, что свет распространяется в однородной среде, где свет движется по прямым, нужно будет сравнивать между собой двузвенные пути 
, состоящие из двух отрезков 
и 
с вершиной 
, лежащей на зеркале, и выбрать среди них ломаную наименьшей длины.
. Основное геометрическое утверждение состоит в следующем: для любой точки 
на зеркале длины ломаных и 
равны.
и 
равны, ломаная 
– кратчайшая
Это следует из равнобедренности треугольника 
. Поэтому вместо минимальной ломаной можно искать минимальную ломаную , но такой ломаной будет просто отрезок 
. Обозначим его точку пересечения с зеркалом 
. Равенство трех углов с вершиной следует из того, что два из них вертикальны, а для другой пары равенство вытекает из того, что в равнобедренном треугольнике 
высота является биссектрисой. И теперь углы падения и отражения равны как дополнительные до 90° к двум другим равным углам. Закон отражения доказан.
Принцип Ферма закон преломления
. На этот раз световой луч выходит из точки , находящейся в среде, где скорость света равна 
, и после преломления попадает в точку , которая находится в среде, где скорость света 
. Исходя из принципа Ферма, для определения траектории светового луча нам нужно найти такую точку , лежащую на границе между средами, чтобы время прохождения ломаной было наименьшим.
идет вдоль границы раздела сред, а ось 
проходит через точку . Будем считать, что 
, 
и 
.
имеет длину 
, длина отрезка 
равна 
Нам нужно минимизировать время прохождения двузвенного пути , подобрав подходящую точку , т.е. определив ее координату
.
Для нахождения минимума вычислим производную 
и приравняем ее нулю
.
Итак
.
Но второй множитель слева – это 
, а второй множитель справа – это 
, поэтому имеем
.
После умножения на скорость света получаем
.
С учетом равенства получаем закон преломления
,
где 
– показатель преломления первой среды, а 
– показатель преломления второй среды.
Линза как устройство, собирающее все лучи, выходящие из одной точки, в другую точку
. Сначала выразим сомнение в существовании такого устройства. Рассмотрим все лучи, проходящие через него. Эти лучи соединяют две точки. Выберем среди них тот луч, который требует для своего прохождения наименьшего времени. По принципу Ферма свет пойдет только по этому лучу, но никак не по остальным, – явное противоречие.
Я
сно, что эта неверна, т.к. средний луч проходится за наименьшее время и свет пойдет только по нему. В силу принципа таутохронности мы должны уравнять время прохождения всех лучей. Для этого поставим на пути каждого луча замедлитель – кусок стекла, там скорость в полтора раза меньше, чем в воздухе. Для коротких лучей замедлитель (кусок стекла) должен быть потолще, для длинных – потоньше.
Понятно, что полученное устройство – это примитивный прообраз линзы. На самом деле тут не так уж далеко до точного расчета формы идеальной линзы.
Оптическое определение эллипса
. На этот раз попытаемся сконструировать отражающее устройство, собирающее (фокусирующее) все лучи, выходящие из одной точки, в некоторой другой точке. Опять принцип Ферма как будто бы препятствует существованию такого устройства. Среди всех таких лучей нужно выбрать самый короткий, и свет будет распространять только вдоль него, но не вдоль остальных лучей.
, точку, в которой они собираются после отражения, – 
. Точку на кривой обозначим . Принцип таутохронности приводит к тому, что длина двузвеного пути 
должна быть постоянной величиной, не зависящей от выбора точки Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Полезным бывает и параметрическое уравнение эллипса
.
Добавим еще, что величины 
и 
, 
называются полуосями эллипса – большой и малой.